ɍ Ò Ås ð ' [ Ò ÷ƒ »4 õ u § “ Ó Þ” X ¢ ° ‚ Ç{ ¿ ?  ¹ Å4

± n

ɍ Ò Ås ð ' [ Ò ÷ƒ »4 õ u §  “ Ó Þ” X ¢ ° ‚ Ç{ ¿ ?  ¹ Å4 

T

A I4 w H ^∗

Ø 

æ· ¡ ¤ @ /† < Ɠ § Ó ü t o † < Æõ , ' õ AÅ Ò 361-763

T

„ ç ¡ 4 w H

[

j" î “ ¦1 p x † < Ɠ §, ] j…  ; 390-230 (2009¸   5 Z 4 6{ 9  ~ à Î6 £ §)

Ï ã

L # Q”   r / B N ç ß –\ " f  " é ¶ p ì  r ƒ  í ß – [ þ t _  \ P Ù þ ˜(heat kernel) „  > h\  ¦ ƒ  ½ ¨ % i  . s \  ¦ 0 A # Œ ] X ‚   7 ˜' (tangent vector) ý a³ ð> \  ¦  6   x “ ¦ Æ Ò– Ð t 2 £ §U  ´(geodesic)`  ¦   " f  © œ[ þ t`  ¦ ¨ î ' Ÿ s 1 l x   H ~ ½ Ó Z O

`  ¦  6   x % i  . Õ ª   õ  ƒ  í ß – [ þ t s  / B N  $ í `  ¦ s 6   x l  / 'î  r g 1 J – Ð ³ ð‰ & ³| ¨ c à º e ” % 3  . ¢ ¸ô  Ç 4>  ƒ   í

ß – ü < ° ú  “ É r “ ¦>  ƒ  í ß – _   â Ä º\ • ¸ & h 6   x 0 p x ô  Ç \ P Ù þ ˜ „  > h ~ ½ ÓZ O `  ¦ ] jr  % i “ ¦ # Œl \  0 A_  ý a³ ð> 

\ 

¦  6   x # Œ > í ß –`  ¦ é ß –í  H  o % i  . s  ~ ½ ÓZ O _  6 £ x6   x Ü ¼– Ð { 9 ì ø Í& h “   " é ¶ \ " f { 9 ì ø Í& h “   2>  ¢ ¸  H 4 >  ƒ   í

ß – _  \ P Ù þ ˜ „  > h_  % ƒ6 £ § ¿ º † ½ Ó`  ¦ > í ß – % i  .

PACS numbers: 03.70.+k, 04.62.+v, 11.10.+z Keywords: \ P Ù þ ˜,  " é ¶ƒ  í ß – , ] X ‚   7 ˜' 

I. " e  ] Ø

€

ª œ  © œ : r \ " f  Õ ª| ½ Ót î ß –_  î  r1 l x † ½ Ó(kinetic term)\ " f

^

 ¦ à º e ”   H p ì  rƒ  í ß –   H # Œ Q— ¸– Ð ×  æ כ ¹ô  Ç _ p \  ¦ 

”

  . ¹ Õ ª ƒ  í ß – _  % i  ƒ  í ß –   H  – Ð € ª œ  © œ_  „   



(propagator)  ) a  . ¢ ¸ô  Ç € ª œ  © œ : r \ " f 1  [ O 1 l x : r

\

 K { © œ   H ô  Ç “ ¦o (one-loop) ´ òõ   Œ •6   x | ¾ ӓ É r Õ ª p ì  rƒ   í

ß – _  \ P Ù þ ˜(heat kernel)Ü ¼– Ð ³ ð‰ & ³| ¨ c à º e ”  . ² ´ òõ  Œ •6   x

|

¾ Ó_   ü @µ 1 Ïí ß – † ½ Ó[ þ t“ É r \ P Ù þ ˜_  „  > h† ½ Ó[ þ t`  ¦ ½ ¨† < ÊÜ ¼– Ð   

&

ñ ½ + É Ã º e ”  . ¢ ¸ô  Ç s  † ½ Ó[ þ t“ É r # Œ Qt   © œs  : r \ " f s 



© œ† ½ Ó(anomaly)[ þ t s 
 à º† < Æ\ " f  H p ì  rƒ  í ß – _  t ³ ðs 



: r(index theorem) õ  › ' aº  s  e ”    H  כ s  · ú ˜ 94 R e ”  .

s

 „  > h† ½ Ó[ þ t`  ¦ > í ß –   H ¼ # o ô  Ç ~ ½ ÓZ O “ É r DeWitt _  ~ ½ Ó Z O

`  ¦  6   x   H  כ s   [1]. „  > h† ½ Ó[ þ t \  @ /ô  Ç DeWitt _ 

[ O (ansatz)`  ¦  6   x “ ¦ # Œl \  î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” \ " f % 3 # Q t

  H „  > h† ½ Ó[ þ t ç ß –_  › ' a > d ” `  ¦  6   x # Œ s  † ½ Ó[ þ t`  ¦ > í ß –

½

+ É Ã º e ”   H  כ s  . Õ ª Q
 s  ~ ½ ÓZ O “ É r 2 >   " é ¶ p ì  rƒ  í ß –



_   â Ä º\ ë ß –  6   x ½ + É Ã º e ”  . # Œ Q  © œs  : r \  1 p x  © œ   H 4 >  s  © œ_  “ ¦>  ƒ  í ß – _   â Ä º\ • ¸ & h 6   x ½ + É Ã º e ” • ¸2 Ÿ ¤

∗

E-mail: [email protected]

1

# Œl " f  H p ì  rƒ  í ß – [ þ t s  ü @ Ò_  C  ⠁ © œ`  ¦ Ÿ í† < Ê “ ¦ e ”   H  â Ä º• ¸

“

¦ 9ô  Ç .

2

ô  Ç “ ¦o  ´ òõ   Œ •6   x | ¾ Ó`  ¦ \ P Ù þ ˜Ü ¼– Ð ³ ð‰ & ³   H  כ “ É r Õ ª ƒ  í ß –   " é ¶

&

h (elliptic){ 9  0 p x  .   " f ` …Ø Ôp “ : r  © œ_   â Ä º\ 
 
  H ƒ   í

ß –   H 1 >  ƒ  í ß – – Ð  " é ¶& h s   m  . s   â Ä º\   H s  ƒ  í ß – \  ¦ Y  L

# Œ 2>  ƒ  í ß – \  ¦ ë ß –× ¼  H ~ ½ ÓZ O `  ¦  6   x ô  Ç .

{ 9

ì ø Í o÷ &# Q  ½ + É  כ s  . “ ¦> ƒ  í ß –  2> ƒ  í ß – _  Y  L Ü

¼– Ð æ ¼# Œt   H  â Ä º # 3 † < Êà º' Ÿ § > =d ” _  Y  L! l r $ í | 9 `  ¦  6   x

# Œ „  > h† ½ Ó[ þ t`  ¦ ½ ¨   H ~ ½ ÓZ O s   6   x ÷ &l • ¸ % i   [2].

Õ

ª Q
 s  Qô  Ç ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ѝ  H & h ì  r Ê ê\  \ O # Qt   H † ½ Ó[ þ t“ É r

½

¨½ + É Ã º \ O >   ) a  .

‘

: r  7 Hë  H _  $   ×  æ _  ô  Ç " î “ É r „  \  { 9 ì ø Í& h “   “ ¦>  ƒ   í

ß – \ • ¸ & h 6   x ½ + É Ã º e ”   H \ P Ù þ ˜ „  > h ~ ½ ÓZ O `  ¦ ] jr  % i % 3 

“

¦ s \  ¦  6   x # Œ 4 " é ¶ \ " f { 9 ì ø Í& h “   4> ƒ  í ß – _  % ƒ 6

£

§ ¿ º> h_  „  > h† ½ Ó[ þ t`  ¦ ¢ - a„  y  > í ß –ô  Ç   e ”   [3]. # Œ l

" f  6   x ) a ] X ‚   7 ˜'  ý a³ ð>   H \ P Ù þ ˜ „  > h ü @_    É r 6   x

•

¸– Е ¸  6   x ½ + É Ã º e ”   H Ä »6   x ô  Ç ý a³ ð> – Ð" f ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f



 H „  _  ƒ  ½ ¨ü <  H   É r ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð ] X ‚   7 ˜'  ý a³ ð> \  ¦ • ¸ { 9

 “ ¦ s „  \  % 3 # Q”     õ \  ¦ { 9 ì ø Í& h “   " é ¶ n Ü ¼– Ð S X ‰



© œ # Œ ] jr  “ ¦  ô  Ç .

é

ß –t  ] X ‚   7 ˜'  ý a³ ðë ß –`  ¦  6   x   H  כ s   m   t 2 £ § U



´(geodesic)`  ¦     © œ[ þ t`  ¦ ¨ î ' Ÿ s 1 l x   H  כ `  ¦ # î ' Ÿ  



 H X < s    õ  p ì  r ƒ  í ß – [ þ t“ É r / B N  & h : £ ¤$ í `  ¦ ”   r / B N ç

ß – ý a³ ð x_  † < Êà ºü < ] X ‚   7 ˜' [ þ t ¢ ¸  H ] X ‚   7 ˜' \  @ /ô  Ç p

ì  rƒ  í ß – [ þ t _  é ß –† ½ Ód ” `  ¦ Y  L ô  Ç + þ AI _  † ½ Ó[ þ t _  ½ + ËÜ ¼– Ð ³ ð

‰

&

³ ) a  . s ] j ƒ  í ß – [ þ t“ É r ] X ‚   7 ˜'  ý a³ ð\  @ /ô  Ç p ì  rƒ   í

ß – – Ð ^  ¦ à º e ” “ ¦ x   H   à º\  ¦ ° ú   H / B N  & h  † < Êà º[ þ t“ É r



© œÃ ºü < ° ú  s  2 [/ å L ) a  . ƒ  í ß – \  ¦ s X O >  ³ ð‰ & ³ €   \ P Ù þ ˜

„

 > h† ½ Ó`  ¦ ½ ¨   H X < / B N  $ í s  † ½ Ó © œ Ä »t ÷ &“ ¦ > í ß –s  é ß – í

 H # Œt >   ) a  .

-654-

II. ò i @# aà à ŠŒ Ÿ «‡ ˜ m; c" e8 ý ° ‚ Ç{ ¿ ?

€

 $  ç ß –é ß –y  \ P Ù þ ˜(heat kernel)\  @ /K  4 Ÿ ¤_ þ v`  ¦ # Œ ˜ Ð l

– Ð  . / B N  p ì  rƒ  í ß –  (covariant derivative) ∇ ^µ ü <

C

 ⠁ © œ(background field) [ þ t – Ð ³ ð‰ & ³ ) a  " é ¶ p ì  rƒ  í ß – 

\

 ¦ M s  “ ¦  . # Œl " f  H r / B N ç ß –`  ¦ n " é ¶`  ¦ ° ú   H o  ë

ß –  € ª œ^ ‰ “ ¦ “ ¦ (+, · · · , +)_   Ҡ ñ\  ¦ ° ú   H B jà Ôa Ë : J $

™" f g µν (x)\  ¦  6   x ô  Ç . / B N  p ì  rƒ  í ß –  ∇ µ “ É r ∇ _µ =

∂ ν − iA µ + Γ µ õ  ° ú  s  j þ t à º e ”  . # Œl " f A ^µ ≡ A ^a _µ T ^a   H Yang-Mills  © œ`  ¦ Ø Ôv “ ¦ Γ ^µ   H r / B N ç ß – J $ ™" f
 Û ¼x  -

\

  Œ •6   x   H o ë ß – s 6 £ §(connection) s  . \ V\  ¦ [ þ t # Q 2>  ü

< 4> _   " é ¶ƒ  í ß –   H { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð  6 £ § õ  ° ú  s  æ ¼# Œ| 9  Ã

º e ”  .

−∇ ² − B ^µ ∇ µ − C, (1) (∇ ² ) ² + B ^µνλ ∇ _µ ∇ _ν ∇ _λ + C ^µν ∇ _µ ∇ _ν + D ^µ ∇ _µ . (2)

#

Œl " f B ^µ , B ^µνλ , C ^µν , D ^µ , Õ ªo “ ¦ E  H e ” _ _  J $ ™" f ¢ ¸



 H Û ¼º ú ˜   © œs  .

Å

Ò# Q”    " é ¶ƒ  í ß –  M\  @ /K  \ P Ù þ ˜“ É r  6 £ § _  d ” Ü ¼– Ð

&

ñ _   ) a  .

hx ⁰ τ |xi ≡ hx ⁰ | e ^{−τ M} |xi (3) d ”

 (1)õ  ° ú  “ É r 2 >  ƒ  í ß – \  @ /K " f  H DeWitt [1] \  _ 

€    6 £ § õ  ° ú  “ É r „  > h 0 p x  .

hx ⁰ τ |xi = 1

τ ^n/2 e ⁻

^{σ(x0 ,x)2τ}

(4)

× a 0 (x ⁰ , x) + a 1 (x ⁰ , x)τ + a 2 (x ⁰ , x)τ ² + · · ·
,

#

Œl " f σ(x ⁰ , x)  H  s Û ¼º ú ˜ (biscalar)– Ð x\ " f x ⁰  t  _

 þ jé ß – o (geodesic distance) ] jY  L _  ì ø Ís “ ¦, a 0 , a ₁ 1 p x

“

É r x ⁰ ü < x_  † < Êà º– Ð x ⁰ = x \ " f ½ ©g Ë :& h (regular)s  . s 

>

à º[ þ t“ É r ×  æ§ 4  J $ ™" f g ^µν , > s t  © œ A ^µ Õ ªo “ ¦ Õ ª ü @_   

 É

r C  ⠁ © œ[ þ t – Ð ³ ð‰ & ³÷ &# Q”   .

d ”

 (2)ü < ° ú  “ É r “ ¦> ƒ  í ß – _   â Ä º\   H 0 Aü < ° ú  “ É r „  > h

 Ô  ¦ 0 p x  . @ /’  \  x ⁰ = x“    â Ä º\   H q 5 p w ô  Ç „  > h

 0 p x   [3].

hxτ |xi = 1 τ ^n/d



a 0 (x) + a 1 (x)τ ^2/d + a 2 (x)τ ^4/d + · · ·  , (5)

#

Œl " f d  H ƒ  í ß –  M_  à º(order)\  ¦
 ? /  H X < € ª œ_ 

‹

Œ

•Ã º° ú כ`  ¦ ”   .

0

A\  ˜ Ѐ   hx ⁰ | e ^{−τ M} |xi ü < ° ú  “ É r ³ ð‰ & ³s  e ”   H X < Ï ã L # Q”   /

B

N ç ß –\ " f_  s _  & ñ _  # Qb  G>  ÷ &  H t  · ú ˜ ˜ Ð . ¿ º   1

l

x † < Êà º Ψü < Φ ç ß –_  ? /& h “ É r  6 £ § õ  ° ú  s  & ñ _   ) a  .

(Ψ, Φ) ≡ hΨ|Φi =

Z d ⁿ x

pg(x) Ψ ^† (x)Φ(x), (6)

#

Œl " f g(x) = det g ^µν (x) s  . ³ 0 Au  “ ¦Ä » 7 ˜'  |xi  H   A

ü < ° ú  s  ½ ©   o÷ &# Q e ”  .

hx ⁰ |xi = δ(x ⁰ − x) p

g(x), (7) x ü @\  ? /Â Ò  Ä »• ¸\  @ /ô  Ç “   oÛ ¼ a• ¸ " î r ô  Ç €  

hx ⁰ a ⁰ |xai = δ(x ⁰ − x)δ a,a

⁰

p g(x) (8) s

 . # Œl " f  H ™ D ¥1 l x ÷ &  H  â Ä º\  ¦ ] jü @ “ ¦  H s  ³ ðl \  ¦ Ò q

t| Ä Ìô  Ç . ¢ ¸ô  Ç d ”  (6)\ " f  6 £ § _  › ' a > d ” `  ¦ ˜ Ð{ 9  à º e ” 



.

Φ(x) = hx|Φi (9)

¢

¸ô  Ç |xi ¢ - a„  > \  ¦ s ê  r    H  z  ´\ " f 1 =

Z d ⁿ x

pg(x) |xi hx| (10) e ”

`  ¦ ˜ Ð{ 9  à º e ”  . ¢ ¸ô  Ç p ì  r ƒ  í ß –  ∂ µ \  @ /K " f  H hx ⁰ | ∂ µ |xi = ∂ _µ ⁰ hx ⁰ |xi (11)

 $ í w n ô  Ç .

s

] j D h– Ðî  r ý a³ ð>  ˜ x\  ¦  6   x ô  Ç €   # Qb  G>  ÷ &  H t 

¶ ú

˜( R˜ Ð . s M :_  B jà Ôa Ë :J $ ™" f ˜g µν (˜ x)  H ˜ g _µν (˜ x)d˜ x ^µ d˜ x ^ν = g _µν (˜ x)dx ^µ dx ^ν \  _ K    & ñ ÷ &“ ¦

d ⁿ x

pg(x) = d ⁿ x ˜

p˜g(˜ x) (12)

  ) a  . D h– Ðî  r ý a³ ð> \ " f  1 l x † < Êà º ˜ Ψ(˜ x)  H " é ¶ A _    1

l

x † < Êà º Ψ(x)ü <  6 £ § _  › ' a > d ” `  ¦ ë ß –7 á ¤ ô  Ç .

Ψ _a (x) = ˜ Ψ _a (˜ x) (13)

III. ç g Ë{  ET Ž Ò Þù p § • ¤Œ ˜ m” X ¢ ± n ɍ Ò Ås ð ' [ Ò ÷ƒ »4 

s

] j ] X ‚   ý a³ ð> \  @ /K  “ ¦ 9K  ˜ Ðl – Ð  . €  

$

 r / B N ç ß –_  l ï  r& h  x\  ¦ ‚  × þ ˜ô  Ç . r / B N ç ß –_    É r & h  x ⁰   H & h  x\ " f_  ] X ‚   7 ˜'  X ^µ \ " f Ò'    & ñ | ¨ c à º e ” 

`

 ¦  כ s  . 7 £ ¤ & h  x \ " f ] X ‚   7 ˜'  X µ ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð U  ´ s

 pX µ X ν g ^µν (x)“   t 2 £ §U  ´`  ¦ Õ ªo €   ì ø Í@ /¼ #  = å Q& h  s

 x ⁰  ÷ &>    H  כ s  . s  Qô  Ç ý a³ ð> \  ¦ ³ ðï  r  o 

³

ð(normal coordinate system) “ ¦• ¸  ҏ É r  . x ⁰ õ  X ^µ ü <

3

# Œl " f Ψ 1 p x s  r / B N ç ß – J $ ™" f“    â Ä º\   H ¿ º J $ ™" f ç ß –\  B jà Ôa Ë : J $ ™" f

\

 ¦ Y  L K  s  ? /& h `  ¦ & ñ _ ô  Ç . Õ ª Q
 s   â Ä º\ • ¸ n-bein e

^mµ

`  ¦   6

 

x # Œ r / B N ç ß – “   oÛ ¼ µ 1 p x`  ¦ Lorentz “   oÛ ¼ m 1 p x Ü ¼– Ð  7 u €   d ”

 (6)_  & ñ _ ë ß – t “ ¦• ¸ Ø  æì  r  .

_

 › ' a >   H / B I & ñ _ ½ + É  s Û ¼º ú ˜  σ(x ⁰ , x) – Ð ¸ ú ˜
 è ­ qà º e ”

 .  s Û ¼º ú ˜  σ(x ⁰ , x)  H  – Ð x\ " f x ⁰  t _  þ jé ß –



o (geodesic distance) _  ] jY  L _  ì ø ÍÜ ¼– Ð & ñ _ ÷ &“ ¦ x ⁰ õ  X _µ ü <_  › ' a >   H  6 £ § d ” Ü ¼– Ð Å Ò# Q”   .

X µ = −∇ µ σ(x ⁰ , x) = − ∂

∂x ^µ σ(x ⁰ , x). (14) σ(x ⁰ , x)  H Hamilton-Jacobi ~ ½ Ó& ñ d ” 

X µ X ^µ = 2σ (15)

\

 ¦ ë ß –7 á ¤ r †   . ¢ ¸ô  Ç lim _x

⁰

_→x ∇ _µ ∇ _ν σ(x ⁰ , x) = g _µν (x) s 



.

] X

‚   7 ˜'  ý a³ ð> \ " f  H { 9 ì ø Í& h “   & h  x ⁰ @ /’  \  X ^µ \  ¦



6   x ô  Ç . p ì  r ƒ  í ß –  M• ¸ X\  ¦  6   x # Œ  r  æ ¼# Œ 4

R  ô  Ç . s „  \  €  $  l ï  r& h  x\ " f & h  x ⁰  t _  t 2 £ § U



´`  ¦   " f ¨ î ' Ÿ s 1 l x(parallel transportation)`  ¦ # Œ˜ Ð



. s M :_  ¨ î ' Ÿ s 1 l x ' Ÿ § > =(matrix) I(x ⁰ , x)  H  6 £ § _  d ” 

`

 ¦ ë ß –7 á ¤ ô  Ç .

X _µ ⁰ ∇ ^0µ I(x ⁰ , x) = 0 = X µ I(x ⁰ , x) ← −

∇ ^µ

I(x, x) = 1, I(x ⁰⁰ , x ⁰ )I(x ⁰ , x) = I(x ⁰⁰ , x). (16)

#

Œl " f X µ ⁰ =∇ ⁰ _µ σ(x ⁰ , x) = _∂x ^∂

0µ

σ(x ⁰ , x) s “ ¦ I(x ⁰ , x) ← −

∇ ^µ =

∂

∂x

^µ

I(x ⁰ , x) − I(x ⁰ , x)(−iA _µ + Γ _µ )\  ¦ _ p ô  Ç . ¢ ¸ô  Ç 0 A\ 

"

f [ j & h  x, x ⁰ Õ ªo “ ¦ x ⁰⁰   H ° ú  “ É r t 2 £ §U  ´  © œ\  e ” # Q  ô  Ç



.

p

ì  r ƒ  í ß –  M“ É r / B N  p ì  rƒ  í ß –  ∇ ^µ ü < C  ⠁ © œ (background field) φ – Ð ³ ð‰ & ³÷ &# Q M(∇ ⁰ , φ(x ⁰ )) ü < ° ú  s 
 

è ­ q à º e ”  . s ] j ¨ î ' Ÿ s 1 l x ' Ÿ § > =`  ¦  6   x # Œ D h– Ðî  r ƒ   í

ß –  M\  ¦  6 £ § õ  ° ú  s  & ñ _   .

M ≡ I(x, x ⁰ )M (∇ ⁰ , φ ⁰ )I(x ⁰ , x) = M (∇, φ). (17)

#

Œl " f ∇=I(x, x ⁰ ) ∇ ⁰ I(x ⁰ , x) s “ ¦ φ=I(x, x ⁰ ) φ ⁰ I(x ⁰ , x) s

 . 7 á §  8 ½ ¨^ ‰& h “   ³ ð‰ & ³“ É r / B I ˜ Ð# Œ×  ¦  כ s  . s \  ¦ 0 A K

" f  H  A _  d ” `  ¦ ë ß –7 á ¤   H   É r  s J $ ™" f(bi-tensor) g µν (x ⁰ , x)\  ¦ • ¸{ 9  # Œ  ô  Ç .

X _µ ⁰ ∇ ^0µ g αβ (x ⁰ , x) = 0 = X µ ∇ ^µ g αβ (x ⁰ , x), g µν (x, x) = g µν (x), g µν (x ⁰ , x) = g νµ (x, x ⁰ ) g _µν (x ⁰⁰ , x ⁰ )g ^ν _λ (x ⁰ , x) = g _µλ (x ⁰⁰ , x). (18)

#

Œl " f• ¸ [ j & h  x, x ⁰ Õ ªo “ ¦ x ⁰⁰   H ° ú  “ É r t 2 £ §U  ´  © œ\  e ” # Q



 ô  Ç . g ^µν (x ⁰ , x) \ " f ' Í   P : “   oÛ ¼ µ  H ' Í   P : ý a³ ð x ⁰ \  5 Å q “ ¦ ¿ º  P : “   oÛ ¼ ν  H ¿ º  P : ý a³ ð x\  5 Å q ô  Ç .



 " f / B N   p ì  r`  ¦ ½ + É M :\   H o ë ß – s 6 £ §“ É r K { © œ÷ &  H “  

 oÛ ¼\ ë ß –  Œ •6   x ô  Ç . € ª œA á ¤ = å Q& h \ " f B jà Ôa Ë : J $ ™" f\  ¦ Y  L 

#

Œ “   oÛ ¼\  ¦ `  ¦ o “ ¦ ? /w n = à º e ”  . \ V\  ¦ [ þ t€   g ^µ _ν (x ⁰ , x) = g ^µλ (x ⁰ )g _λν (x ⁰ , x) s  .

M _  ³ ð‰ & ³`  ¦ % 3   H X < g ^µν (x ⁰ , x)\  ¦  6   x ô  Ç . \ V\  ¦ [ þ t # Q d ”

 (1)_  ô  Ç † ½ Ó B µ ⁰ ∇ ^0µ \  @ /K  Ò q ty Œ • # Œ ˜ Ð .

I(x, x ⁰ ) B _µ ⁰ ∇ ^0µ
I(x ⁰ , x)

= I(x, x ⁰ )B _µ ⁰ I(x ⁰ , x)I(x, x ⁰ )∇ ^0µ I(x ⁰ , x)

= g _µ ^ν (x, x ⁰ )I(x, x ⁰ )B _ν ⁰ I(x ⁰ , x) g ^µ _λ (x, x ⁰ )I(x, x ⁰ )∇ ^0λ I(x ⁰ , x)

= B µ ∇ ^µ . (19)

#

Œl " f ∇ ^µ = g ^µ _λ (x, x ⁰ )I(x, x ⁰ )(∇ ^0λ )I(x ⁰ , x) s “ ¦ B µ = g _µ ^ν (x, x ⁰ )I(x, x ⁰ )B ⁰ _ν (x ⁰ )I(x ⁰ , x) s  .

s

] j ý a³ ð x ⁰ @ /’  \  ] X ‚   7 ˜'  X\  ¦  6   x # Œ ƒ  í ß – 

 C  ⠁ © œ[ þ t`  ¦ — ¸¿ º xü < X– Ð ³ ð‰ & ³ô  Ç . €  $  ∇ ^µ   H  6 £ § õ

 ° ú  s  j þ t à º e ”  .

∇ ^µ = g ^µν (x, x ⁰ )



I(x, x ⁰ )(∇ ⁰ _ν I(x ⁰ , x))−∇ _α ∇ ⁰ _ν σ(x ⁰ , x) ∂

∂X α



(20) C

 ⠁ © œ φ_   â Ä º  H 0 A_  \ V\ " f s p  ¶ ú ˜( R‘ : r  ü < ° ú   .

C

 ⠁ © œ φ J $ ™" f €   y Œ • J $ ™" f “   oÛ ¼\  @ /K  g ^µν (x, x ⁰ )\  ¦ Y

 L K   ô  Ç . \ V\  ¦ [ þ t€  

φ _µ = g _µ ^ν (x, x ⁰ )I(x, x ⁰ )φ ν (x ⁰ )I(x ⁰ , x). (21)

· ú

¡Ü ¼– Ѝ  H ] X ‚   7 ˜'  X– Ð ³ ð‰ & ³ ) a ƒ  í ß –  M`  ¦ M x – Ð
 

? /l – Ð  . M ^x _  & ñ _ – РÒ'  Ä ºo   H M x  & h  x\ 

@

/K  / B N  & h e ” `  ¦ ~ 1 >  · ú ˜ à º e ”  . ¢ ¸ô  Ç M _x   H x \  @ /K 

"

f  H ² D G ™ è(local) † < Êà º– Ð" f x\  @ /ô  Ç p ì  rƒ  í ß – \  ¦ Ÿ í† < Ê

t  · ú §  H  .



 " f M ^x \  ¦ X µ ü < ∂X ^∂

_µ

– Ð „  > h\  ¦ €    6 £ § õ  j þ t à º e ”

`  ¦  כ s  .

M _x = Σ a _{α···βµ···ν} (x)X ^α···β ∂

∂X µ

· · · ∂

∂X ν

, (22)

#

Œl " f X ^α···β ≡ X ^α · · · X ^β s “ ¦ a ^{α···βµ···ν} (x)  H / B N  & h 

“

  x_  J $ ™" f ' Ÿ § > = † < Êà ºs  . ƒ  í ß – _  à º(order) ds 



€   X\  @ /ô  Ç p ì  r ƒ  í ß – _  à º• ¸ d\  ¦  Å t  · ú §`  ¦  כ s

 . Ä ºo   H / B I 0 Aü < ° ú  “ É r „  > h\  ¦ > í ß –   H ~ ½ ÓZ O `  ¦ ™ è

>

h½ + É  כ s  . 0 A_  y Œ • † ½ Ó\ " f / B N  † < Êà º a ^{α···βµ···ν} _  | 9 | ¾ Ó

" é ¶`  ¦ Dim(a) – Ð
 ? /“ ¦, X\  @ /ô  Ç à º\  ¦ #(X) – Ð

∂

∂X

_µ

\  @ /ô  Ç à º\  ¦ #(∂) – Ð
  · p €   d = Dim(a) −

#(X)+#(∂)   ) a  . ¢ ¸ô  Ç s p  ƒ  / å L ô  Ç @ /– Ð #(∂) ≤ ds 



.

d ”

 (22)ü < ° ú  “ É r „  > h\  ¦ l  0 AK   6 £ § õ  ° ú  “ É r ƒ  í ß – 

\

 ¦ & ñ _  # Œ ˜ Ð .

D ≡ X µ

 ∂

∂X µ



x

= X µ

∂x ^0ν

∂X µ

 ∂

∂x ^0ν



x

= X ^0µ

 ∂

∂x ^0ν



x

= ∇ ^0µ σ(x ⁰ , x)

 ∂

∂x ^0ν



x

. (23)

#

Œl " f  t } Œ • ×  ¦ _  d ” [ þ t“ É r X _µ ⁰ X ^0µ = 2σ(x ⁰ , x) _  € ª œ  

`

 ¦ x ^ν – Ð p ì  r “ ¦ › ' a > d ”   _∂X

µ

∂x

^0ν



x

= −  _∂X

0 ν

∂x

^µ



x

⁰

`

 ¦  6   x

# Œ 7 £ x" î ½ + É Ã º e ”  . X– Ð „  > h “ ¦ z  ·“ É r † < Êà º e ” `  ¦ M

: # Œl \  D\  ¦  Œ •6   x r †   . X_  k   † ½ Ód ” \   Œ •6   x r  v

€   “ ¦Ä »u  k
“ : r  . \ V\  ¦ [ þ t€   X_  1   † ½ Ód ” `  ¦

™

è   9€   D − 1`  ¦  Œ •6   x “ ¦ 1-2   † ½ Ód ” `  ¦   ™ è  



9€   (D − 1)(D − 2)\  ¦  Œ •6   x r †   . s  Qô  Ç ~ ½ ÓZ O `  ¦  6   x

# Œ d ”  (20) î ß –_  † ½ Ó[ þ t`  ¦ X – Ð „  > hô  Ç .

ô

 Ç \ V– Ð g ^µν (x, x ⁰ )I(x, x ⁰ )∇ ⁰ _ν I(x ⁰ , x)\  ¦ X – Ð „  > h½ + É M : 1  † ½ Ó`  ¦ ½ ¨ l  0 AK  D\  ¦  Œ •6   x r &  ˜ Ð .

D g ^µν (x, x ⁰ )I(x, x ⁰ )∇ ⁰ _ν I(x ⁰ , x)

= ∇ ^0α σ(x ⁰ , x) g ^µν (x, x ⁰ )I(x, x ⁰ )∇ ⁰ _α ∇ ⁰ _ν I(x ⁰ , x)

= ∇ ^0α σ(x ⁰ , x) g ^µν (x, x ⁰ )I(x, x ⁰ )R ⁰ αν I(x ⁰ , x)

−∇ ⁰ _ν ∇ ^0α σ(x ⁰ , x) g ^µν (x, x ⁰ )I(x, x ⁰ )∇ ⁰ _α I(x ⁰ , x)

= 1

2 X ^α R αν (x) + O(X ² ) (24)

#

Œl " f d ”  (16,18)\  ¦  6   x % i “ ¦ R ^αβ ≡ [∇ α , ∇ β ]  H /

B

GÒ  ¦J $ ™" fƒ  í ß – – Ð + '\  ¦  Ø Ô  H J $ ™" f\   Œ •6   x ô  Ç . ¢ ¸ô  Ç

∇ ⁰ _ν ∇ ^0α σ(x ⁰ , x) = g µν + O(X ² )“   $ í | 9 s   Å Ò  6   x ) a



. s  Qô  Ç ~ ½ ÓZ O `  ¦ ÷ &Û  ¦ s  # Œ & h 6   x # Œ ∇ ^µ ü < C  ⠁ © œ φ _µ \  ¦ X µ – Ð „  > h½ + É Ã º e ”  . s  õ & ñ \ " f x ⁰ = x{ 9  M :

∇ µ · · · ∇ ν ∇ ⁰ _α · · · ∇ ⁰ _β σ(x ⁰ , x) ü < ° ú  “ É r € ª œ[ þ t`  ¦  Å Ò > í ß – 

>

 ÷ &  H X < s \  @ /ô  Ç  [ jô  Ç õ & ñ “ É r Ò q t| Ä Ìô  Ç  [1]. X\ 

@

/ô  Ç 4  † ½ Ó t _    õ \  ¦ & h # Q˜ Ѐ    6 £ § õ  ° ú   .

∇ µ = ∂

∂X µ

+ 1

2 X ^ν R νµ − 1

6 X ^νλ R δλµν

∂

∂X δ

+ 1

3 X ^νδ ∇ δ R νµ − 1

12 X ^νλβ ∇ β R δλµν

∂

∂X δ

+X ^νλβ  1

8 ∇ λ ∇ β R νµ + 1

24 R ^γ _νλµ R βγ



− 1

40 X ^νλβξ ∇ ξ ∇ β R µλδν

∂

∂X δ

+ 7

360 X ^νλβξ R µλν R ^ _ξδβ ∂

∂X δ

+O(X ⁵ ). (25)

φ _µ = φ _µ + X ^ν ∇ ν φ _µ + 1

2 X ^νλ ∇ λ ∇ ν φ _µ + 1

6 X ^νλδ ∇ δ ∇ λ ∇ ν φ _µ + 1

24 X ^νλδξ ∇ ξ ∇ δ ∇ λ ∇ ν φ _µ + O(X ⁵ ). (26)

#

Œl " f R αβγδ   H o ë ß –/ B GÒ  ¦J $ ™" fs  . s    õ \  ¦ ƒ  í ß –  M \  & h 6   x €   M _x \  ¦ d ”  (22)\  Å Ò# Q”   + þ AI – Ð
 è ­ q à º e ”

 . # Œl " f  6 £ §`  ¦ 0 AK  Y > t  & ñ _ \  ¦ # Œé  H  . Ricci J $

™" f  H R αβ = R ^µ _αβµ s “ ¦ Û ¼º ú ˜  / B GÒ  ¦“ É r R = R ^µ _µ s  .

IV. ° ‚ Ç{ ¿ ? ¹ Å4 

s

] j \ P Ù þ ˜ „  > h\  ¦ 0 Aü < ° ú  “ É r ³ ð‰ & ³`  ¦  6   x # Œ # Qb  G> 

% 3

`  ¦ à º e ”   H t  ç ß –é ß – >  ™ è> hô  Ç . \ P Ù þ ˜`  ¦ 7 ˜  ý a³ ð> 

\

" f ³ ð‰ & ³ ) a M x \  ¦  6   x # Œ
 ? /€    6 £ § õ  ° ú  `  ¦  כ s 



. M = I(x ⁰ , x) M I(x, x ⁰ ) s Ù ¼– Ð

hx ⁰ | e ^{−τ M} |x ⁰⁰ i = I(x ⁰ , x) hx ⁰ | e ^{−τ M} |x ⁰⁰ i I(x, x ⁰⁰ )

= I(x ⁰ , x) hX| e ^{−τ M}

^x

|X ⁰⁰ i I(x, x ⁰⁰ ) (27) s

 . # Œl " f x, x ⁰ Õ ªo “ ¦ x ⁰⁰   H ° ú  “ É r t 2 £ §U  ´  © œ\  e ” `  ¦

€ 9

כ ¹ \ O  . ¢ ¸ô  Ç X _µ ⁰⁰ = −∇ _µ σ(x ⁰⁰ , x) s  . x ⁰⁰  l ï  r& h  x ü < ° ú   €    6 £ § õ  ° ú  s  j þ t à º e ”  ..

hx ⁰ | e ^{−τ M} |xi = I(x ⁰ , x) hX| e ^{−τ M}

^x

|0i (28)

¢

¸ô  Ç # Œl \  x ⁰ • ¸ xü < ° ú   €    8¹ ¡ ¤ ç ß –é ß – >  j þ t à º e ”  .

hx| e ^{−τ M} |xi = h0| e ^{−τ M}

^x

|0i . (29) r

/ B N ç ß –s  Ï ã L # Q4 R e ” t  · ú §“ ¦ ¢ ¸ô  Ç C  ⠁ © œs  \ O  €   ƒ   í

ß –  M ^x   H

M x0 =



−g ^µν (x) ∂

∂X ^µ

∂

∂X ^ν

 d/2

. (30)

 | ¨ c  כ s  .  z  ´ M _x \  ¦ d ”  (22)õ  ° ú  s  „  > h½ + É M : / B N



 † < Êà º a ^{α···βµ···ν} _  | 9 | ¾ Ó " é ¶ Dim(a) s  0“   † ½ Ós   – Ð M x0 s  .

M _x0 _  \ P Ù þ ˜“ É r ~ 1 >  > í ß –½ + É Ã º e ”  .

hX| e ^{−τ M}

^x

|0i = τ ⁻

^nd

Φ( X ²

2τ

^2d

), (31)

#

Œl " f Φ(z)  H z = 0   H % ƒ\ " f K $ 3 & h “   † < Êà ºs  . s \ 

@

/ô  Ç ½ ¨^ ‰& h “   ³ ð‰ & ³“ É r / B I Å Ò# Q| 9   כ s  .

s

] j M ^x _  \ P Ù þ ˜ „  > h\  ¦ > í ß –   H X <  6 £ § _  › ' a > d ” `  ¦



6   x ô  Ç .

hX| e ^{−τ M}

^x

|0i = e ^{−τ M}

^x

e ^{+τ M}

^x0

hX| e ^{−τ M}

^x0

|0i

= τ ⁻

^nd

e ^{−τ m}

^x

Φ( X ²

2τ

^2d

), (32)

#

Œl " f ƒ  í ß –  m x   H e ^{−τ m}

^x

≡ e ^{−τ M}

^x

e ^{+τ M}

^x0

\ " f   

&

ñ  ) a  . m ^x   H Campbell-Hausdorf / B Nd ” `  ¦  6   x # Œ >  í

ß –½ + É Ã º e ”   H X < s   H M x0 ü < M ^x ç ß –_   [ þ v ÷ &  H “ § ¨ 8 Š



(commutator)[ þ t _  ½ + ËÜ ¼– Ð
 ? /# Q”   . x ⁰ = x{ 9  M : _

 \ P Ù þ ˜ „  > h  H

h0| e ^{−τ M}

^x

|0i = lim

X→0 e ^{−τ m}

^x

Φ  X ² 2τ

^2d



. (33)

\

 ¦  6   x # Œ > í ß –½ + É Ã º e ”  .

d ”

 (4)ü < ° ú  “ É r „  > h  H d = 2{ 9  M :ë ß – 0 p x    H  כ `  ¦

˜

Ð{ 9  à º e ”  . Õ ª Q
 x ⁰ = x“    â Ä º_  \ P Ù þ ˜„  > h d ”  (5)  H e ”

_ _  d\ " f @ /K " f † ½ Ó © œ 0 p x  . s \  7 £ x" î “ É r Ò q t| Ä Ì ô

 Ç . @ /’  \  d ”  (1-2)\  Å Ò# Q”   ƒ  í ß – [ þ t \  @ /ô  Ç a 1 (x) ü <

a ₂ (x) _  > í ß –   õ \  ¦ ] jr  “ ¦  ô  Ç .

ƒ

 í ß –  m x • ¸ d ”  (22)õ  ° ú  “ É r g 1 J – Ð ³ ð‰ & ³ ) a  . d ”  (33)`  ¦

>

í ß –½ + É M :  Å Ò  A ü < ° ú  “ É r ³ ð‰ & ³`  ¦ ë ß –
>   ) a  .

lim

X→0

∂

∂X ^µ · · · ∂

∂X ^ν Φ  X ² 2



. (34) 0

A\ " f ç ß –é ß –ô  Ç ³ ð‰ & ³`  ¦ 0 AK  τ =1– Ð % i  . † < Êà º Φ( ^X ₂

²

)  H

Φ  X ² 2



=

Z d ⁿ p

(2π) ⁿ e ^ip

^µ

^X

^µ

^−(p

²

⁾

^d/2

. (35)

–

Ð Å Ò# Qt   H X < s \  ¦  6   x # Œ lim

X→0

∂

∂X ^µ

¹

· · · ∂

∂X ^µ

^2j

Φ  X ² 2



= 1 C _j

(−1) ^j Γ( ^n+2j _d )

(4π)

ⁿ²

^d ₂ Γ( ⁿ ₂ ) g µ

₁

···µ

2j

, (36) e ”

`  ¦ ˜ Ð{ 9  à º e ”  . 0 A\ " f C j = 2 ^j Q j

i=1 ( ⁿ ₂ + i − 1) s 

“

¦ g ^µ

1

···µ

_2j

  H  A ü < ° ú  “ É r F ) & h “   › ' a > d ” Ü ¼– Ð & ñ _ ÷ &



 H J $ ™" fs  .

g µ

₁

···µ

k

=

k

X

j=2

g µ

₁

µ

_j

g µ

₂

···µ

j−1

µ

_j+1

···µ

k

. (37)

s

] j \ P Ù þ ˜ „  > h\  ¦ > í ß – l  0 Aô  Ç — ¸Ž  H ï  r q  ÷ &% 3 



. €  $  K   ½ + É { 9 “ É r Å Ò# Q”   M \  @ /K  M ^x \  ¦ ½ ¨   H

 כ

s  . \ V\  ¦ [ þ t # Q Ms  d ”  (1)\  Å Ò# Q”   ƒ  í ß – ü < ° ú  



€   M _x = −∇ _µ ∇ ^µ − B ^µ ∇ µ − C ü < ° ú   . # Œl " f ∇ µ , B ^µ Õ ªo “ ¦ C  H d ”  (25-26)\ " f & ñ _ ÷ &% 3  .  6 £ § \   H M x \  ¦ d ”  (22)õ  ° ú  “ É r ³ ðï  r+ þ AÜ ¼– Ð
  · p . y Œ • † ½ Ó\ " f a α···βµ···ν (x) _  | 9 | ¾ Ó " é ¶ Dim(a) s  ± ú “ É r í  H Ü ¼– Ð & ñ o  

€

  ¼ # o   . ¢ ¸ô  Ç a _n  t _  „  > h† < Êà º\  ¦ > í ß – “ ¦ z  ·



€   Dim(a) ≤ 2n“   † ½ Ó[ þ t ë ß – “ ¦ 9 €    ) a  .  6 £ § \   H Campbell-Hausdorf / B Nd ” `  ¦  6   x # Œ m x \  ¦ ½ ¨ “ ¦ s \  ¦

d ”

 (33)\  V ,   H  . > í ß – ×  æ \   H † ½ Ó © œ Dim > 2n“   † ½ Ó[ þ t“ É r Á

ºr ô  Ç . t À Òô  Ç p ì  r > í ß –s  € 9 כ ¹ # Œ z  ´] j_  > í ß –\ 

"

f  H Mathematica \  ¦  6   x % i  .

d ”

 (1)– Ð Å Ò# Qt   H 2 >  ƒ  í ß – _   â Ä º_    õ   H  6 £ § õ

 ° ú   .

a ₀ (x) = 1 (4π)

ⁿ²

a 1 (x) = 1

(4π)

ⁿ²

× [C + 1 6 R − 1

2 ∇ ^µ B µ − 1 4 B µ B ^µ ] a 2 (x) = 1

(4π)

ⁿ²

(h 0 + h 1 ) h 0 = − 1

180 R αδ R ^αδ + 1

180 R αµγδ R ^αµγδ + 1 72 R ² + 1

12 Ω αδ Ω ^αδ + 1

6 CR + 1

6 ∇ µ ∇ ^µ C + 1

2 C ² + 1

30 ∇ ² R (38) d ”

 (2)– Ð Å Ò# Qt   H 4 >  ƒ  í ß – _   â Ä º\   H   õ \  ¦   6

£

§ õ  ° ú  s  כ ¹€  •½ + É Ã º e ”  .

a 0 (x) = Γ( ⁿ ₄ ) 2(4π)

ⁿ²

Γ( ⁿ ₂ ) a 1 (x) = −Γ( ⁿ⁺² ₄ )

2(4π)

ⁿ²

Γ( ⁿ ₂ )

×[ 1 3 R + 1

n C − 1

2n g ^µγδα ∇ µ B γδα

− 1

8n(n + 4) g ^µγδασ B µγδ B ασ ] a 2 (x) = Γ( ⁿ ₄ )

2(4π)

ⁿ²

Γ( ⁿ ₂ ) (h 0 + h 1 ) h 0 = − n − 2

180 R αδ R ^αδ + n − 2

180 R αµγδ R ^αµγδ + n − 2 72 R ² + n − 2

12 Ω αδ Ω ^αδ − 1

6 C αδ R ^αδ + 1 12 CR + 1

4(n + 2) C αδ C ^αδ + n + 4 12(n + 2) ∇ ² C + 1

8(n + 2) C ² − E + n − 2 30 ∇ ² R

− n + 1

3(n + 2) ∇ ^α ∇ ^δ C αδ + 1

2 ∇ ^α D α . (39) d ”

 (39)\ " f C≡C µ ^µ s  . ¢ ¸ô  Ç 0 A ¿ º   õ d ” \ " f h 1 “ É r B µ

¢

¸  H B µνλ \  ¦ Ÿ í† < Ê   H † ½ Ó[ þ t – Ð B Ä º 4 Ÿ ¤ ¸ ú š “ ¦ U  ´# Q" f # Œ l

" f  H Ò q t| Ä Ìô  Ç . 2>  ƒ  í ß – _   â Ä º\   H a 1 õ  a 2  „  

^

‰& h “    © œÃ º\  ¦ ] jü @ “ ¦  H r / B N ç ß – " é ¶ n õ   H Á º › ' a  .

V. + s Ç Â ] Ø

Ï ã

L # Q”   r / B N ç ß –\ " f & ñ _   ) a { 9 ì ø Í& h “   / B N  p ì  rƒ  í ß – 

\

 ¦ ] X ‚   7 ˜' ý a³ ð> `  ¦  6   x # Œ ³ ð‰ & ³ ÷ & ¨ î ' Ÿ s 1 l x`  ¦ # î '

Ÿ    H ~ ½ ÓZ O `  ¦ ] jr  % i  . Õ ª   õ  / B N  p ì  rƒ  í ß – ü <

l

  J $ ™" fC  ⠁ © œ[ þ t`  ¦ Ÿ í† < Ê   H  " é ¶ p ì  rƒ  í ß –   H / B N  

$ í

s  ì  r" î ô  Ç + þ AI – Ð  r  ³ ð‰ & ³÷ &# Q”     H  כ `  ¦ ˜ Ð% i  .

\ P

Ù þ ˜ „  > h\  ¦ > í ß –   H X < s  ~ ½ ÓZ O `  ¦  6   x ½ + É Ã º e ”   H X < / B N



 $ í “ É r > í ß –`  ¦ B Ä º ç ß –é ß – >  ë ß –Ž  H  . 4>  s  © œ_  “ ¦> 

ƒ

 í ß – _  \ P Ù þ ˜ „  > h  H l ” > r _  DeWitt_  ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ѝ  H % 3 

`

 ¦ à º \ O  .   " f ] X ‚  ý a³ ð> \  ¦  6   x   H  כ õ  Z > • ¸– Ð s

  â Ä º\ • ¸ & h 6   x ½ + É Ã º e ”   H D h– Ðî  r ~ ½ ÓZ O `  ¦ “ ¦î ß – % i  .

s

ü < ° ú  “ É r ~ ½ ÓZ O [ þ t`  ¦  6   x # Œ { 9 ì ø Í& h “   " é ¶ n \ " f & ñ _

  ) a  © œ { 9 ì ø Í& h “   2> ü < 4>   " é ¶ p ì  rƒ  í ß – _  \ P Ù þ ˜

„

 > h_  % ƒ6 £ § ¿ º † ½ Ó`  ¦ > í ß – # Œ   õ \  ¦ ] jr  % i  .

P

c p 8 ý ò k >

s

  7 Hë  H“ É r 2007 † < Ƹ  • ¸ Ø  æ· ¡ ¤ @ /† < Ɠ § † < ÆÕ ü tƒ  ½ ¨t " é ¶  \ O  _

 ƒ  ½ ¨q t " é ¶ \  _  # Œ ƒ  ½ ¨÷ &% 3 _ þ v m  .

Y

c p w Š à U Ø ”  ô

[1] B. S. DeWitt, Dynamical Theory of Groups and Fields (Gordan and Breach, New York, 1965); Phys.

Rep. 19C, 295 (1975).

[2] A. O. Barvinsky and G. A. Vilkovisky, Phys. Rep.

119, 1 (1985); and references therein.

[3] Haewon Lee, Pong Youl Park and Hyun Kuk Shin, Phys. Rev. D 35, 2440 (1987).

Heat Kernel Expansions Using Tangent Vector Coordinate Systems

Haewon Lee

Department of Physics, Chungbuk National University, Cheongju 361-763 Sang Won Lee ^∗

Semyung High School, Jechun 390-230 (Received 6 May 2009)

The heat kernel expansion of the general elliptic differential operators defined in a curved space- time is investigated. For this, we introduce a method using the tangent vector coordinate system with parallel transport along geodesics. As a result, the new differential operators have better covariance properties. We also propose a method of expanding the heat kernels, the method can be used in higher-order operators like fourth-order operators. As an application of this formalism, we calculate the first few terms of the heat kernel expansion of general second-order operators and general fourth-order operators in a general space-time dimension.

PACS numbers: 03.70.+k, 04.62.+v, 11.10.+z

Keywords: Heat kernel, Elliptic operator, Tangent vector

∗

E-mail: [email protected]