제 7 장 면적모멘트와 도심

(1)

제 7 장 면적모멘트와 도심

7.1 서론

y

x x

r y

dA

그림 7.2 y

x

z 그림 7.1

(2)

7.2 면적 1차 모멘트와 도심

7.2.1 면적 1차 모멘트

O

r

F

(a)

x

y y

x dA

(b)

_

y x

y y

x dA

-x C

(c) 그림 7.3 면적 1차 모멘트(first moment of the area)와 도심(centroid)의 개념

_  ⋅ (7.1)

　 _  ⋅ (7.2)

_  ⋅ (7.3)

(3)

_ 



^⋅^ ^



  



__

(7.4)

_ 



^⋅^ ^



  



__

(7.5)

(4)

7.2.2 도심

_ 



_^{ }^ ^



  



__  ⋅ (7.6)

_ 



_^{ }^ ^



  



__  ⋅ (7.7)

  



_^{ }^

 

  





_

  





_⋅_

(7.8)

  



_^{ }^

 

  





_

  





_⋅_

　 (7.9)

(5)

y

C x

x1

y1 dA

y y1

그림 7.4 임의도형의 도심을 지나는 좌표축

_ 



^⋅^ ^ ^^^ ^



^^^^ ^{ }

_ 



^⋅^ ^ ^^ 



^^^^ ^{ }

(6)

+x dA

+y dA -x

+y

dA +x

-y

-x dA -y

y

C x

그림 7.5 선대칭 도형

C dA

dA

+x -x

+y

-y y

x

그림 7.6 점대칭 도형

_ 



  



_ _

_ 



  



__

  



^^^

  



^^



^^^^



^^^^^

(7.10)

(7)

7.3 면적 2차 모멘트(면적 관성모멘트)

7.3.1 면적 2차 모멘트

_ 



^^^^

(7.11)

_ 



^^^^

(7.12)

y

x x

y dA

그림 7.12

(8)

7.3.2 회전반경

_ 



^^^^ ^{ }^^^⋅^ ^(7.13)

_ 



^^^^ ^{ }^^^⋅^ ^(7.14)

_ 



^^ 



^



^^^^^^

(7.15)

_ 



^^ 



^



^^^^^^

(7.16)

(9)

7.3.3 면적 관성모멘트에 대한 평행축 정리

x D_x

_

D_y y_c

dA

C

y

x

y y_c

_

그림 7.14

_ 



^^^^





^^^ ^^^^^^





^^^^^ ^{ }^^



^^^^ ^^^^



^^

(7.17)

(10)

_  _  _^ 

(7.18)

_  _  _^ 

(7.19)

(11)

7.4 면적 극관성모멘트

7.4.1 면적 극관성모멘트

y

x x

r y

dA

z

그림 7.15

_ 



^^^^

(7.20)

　 _ 



^^^^ ^



^^ ^{ }^^^

∴_  _ _

(7.21)

(12)

7.4.2 극관성모멘트에 대한 평행축 정리

_  _ _^

_  _  _^ 

_  _  _

_  _  _  _^  _^ (7.22)

_  _ _  ^  _^ _ 이므로 ^

　 _  _  ^ (7.23)

(13)

D_x ^^

Dy

_

dA

C

x

y y_c

x_c

D

그림 7.16

(14)

7.5 면적 관성상승모멘트

7.5.1 면적 관성상승모멘트

_ 



_^{ }^

(7.24)

7.5.2 면적 관성상승모멘트의 평행축 정리

_ 



^^





^^ ^ ^^^^^ ^^^^





^^ ^^^^^ ^^



^^^^^ ^^



^^^^^ ^^^^



^^





^^ ^^^^^ ^^ ^^



^^

(7.25)

_  _

_ __

　 (7.26)