• 동기기 (synchronous machine)
– 회전기기의 종류의 분류는 앞서 공부한 평균 파워 변환을 위한 주파수 조건을 어떠한 방식으로 만족시키는가에 따라 결정된다.
– 2상 회전기기의 평균 파워 변환 조건은 이었다. 여기서 회전자에 직류 전류(
r= 0)를 인가하고 고정자에는 주파수
s인 2상 평형 전류를 인가하면, 이 기기는 회전자가 의 단일 각속도로 회전할 때만 평균 파워가 변환된다. 이러한 제한이 주어지는 기기를 동기기(同期機,
synchronous machine)라 한다. 동기기라는 이름은, 고정자 권선의 여기(excitation) 주파수에 의해 결정되는 동기 속도(synchronous speed)
s라 불리는 오직 하나의 속도로 회전자가 기계적으로 회전할 때만 평균 파워를 변환시킬 수 있기 때문에 붙게 되었다.
– 비슷한 방식으로 고정자에 직류 전류를 인가하고 회전자에 교류를 인가하여 동기기를 구성할 수도 있다. 이 경우 동기 속도는 회전자 전류의 각주파수에 의해 결정된다.
– 균일 공극형 동기기는 주로 발전기로 사용되며, 동기 발전기(alternator) 혹은 터보 동기 발전기
(turboalternator) 라고 불리워지는데 주로 증기 터빈으로 전력을 생성시킨다. 이러한 기기에는 고정자 위에는 전기자(電機子, armature) 권선이라고 부르는 교류 권선이 감겨져 있고, 회전자 위에는
계자(界磁, field) 권선이라고 부르는 직류 권선이 감겨 있다. 계자 권선을 위한 직류 전류는 탄소나 금속 graphite로 되어 있는 브러쉬(brush)를 통해 공급되는데, 이 브러쉬는 회전자 위에 형성되는 슬립 링(slip ring)과 접촉된다.
m s r
=
−m s
=
• 동기기의 단자 쇄교 자속 및 토크
– 동기기의 모델링은 앞서 강의노트 13-2와 13-3에서 유도한 일반적인 2상 회전기기의 쇄교 자속 및 토크식에 동기기의 제한 조건을 적용하여 얻을 수 있다(직접 계산). 동기기는 회전자 전류가 직류이므로 2상 권선을 모두 생각할 필요가 없이 하나의 상에 대해서만 생각하면 된다. 따라서ibr= 0으로 놓고ar과 iar은 간단히r, ir로 표현한다.
– 동기기는 보통 고정자 권선을 전압원으로 여자(勵磁, excited) 시키지만, 고정자 전류를 아래와 같이 해석적으로 2상 평형 전류로 제한하고(constrain), Is는 해석에 있어서 미지수로 생각하면 편리하다.
이 식들을 사용하여 회전자 쇄교 자속을 구하면 이 되며(직접 계산), 이 값은 상수이다.
따라서정상상태에서 회전자 회로에 유도(induced)되는 전압(= dr / dt)은 없다.그러므로 실제로 보통 그러하듯이 정전압원을 사용할 수 있다. 이 경우 회전자 전류는 일정하며, 그 크기는 가해준 전압원의 크기와 회전자 회로의 저항값에 의해서만 결정된다. 따라서 회전자 전류를 바로 직류 전류로 가정하여도 일반성을 잃지 않는다.
그러나 과도 상태에서는 회전자를 전류로 여자하는 것과 전압으로 여자하는 것에는 차이가 있다.
( )
( )
cos sin
cos sin cos sin
as s as r
bs s bs r
r r r as bs
e
r bs as
L i Mi L i Mi
L i M i i
T Mi i i
= +
= +
= + +
= −
cos , sin
as s bs s
i
=
I
t i=
I
t회전자 전류 및 각변위는 다음과 같이 정의한다.
,
r r
i
=
I =
t+
r L Ir r MIs
cos
= +
• 동기기의 해석
– 앞서 계산한 토크식 에 고정자의 2상 평형 전류식과 회전자의 직류 전류를 대입하면 순시 토크는 다음과 같은 일정한 값을 가진다.
– 대형 동기기에서는 관성 모멘트가 매우 커서, 변환되는 파워에 비해 기계적 (마찰) 손실은 미미한 편이므로 무시한다.
따라서 위의 토크는 모두 샤프트(shaft)의 기계적 부하(혹은 source)에 가해진다고 가정한다 (교과서 그림 4.1.5의 Tm).
– 전기적 단자 특성을 알기 위해서는 고정자의 단자 전압을 계산해 볼 필요가 있다. 쇄교 자속은 다음과 같이 씌여진다.
– 대형 동기기의 에너지 변환 해석을 가정하여, 권선 저항을 무시하고 고정자 a 상의 단자 전압을 구하면 다음과 같다.
단일 주파수의 정현적 함수를 가지는 정상 상태의 해석이므로 앞서 공부한 복소 함수 해석 기법을 동원한다.
( cos sin )
e
r bs as
T
=
Mi i −
i ( ) ( ) ( )
sin cos cos sin sin
e
r s s r s
T
=
MI
I
t
t+ −
I
t
t+ =
MI I
t−
t− =
−MI Ir s sin
( )
( )
cos cos cos sin sin sin
as s as r as s s r
bs s bs r bs s s r
L i Mi L I t MI t
L i Mi L I t MI t
= + = + +
= + = + +
두 쇄교 자속들은 시간적으로 90도의 위상차가 나는 점만을 제외하면 형태상으로 완전히 동일하며, 두 권선들의 여기 전류 역시 진폭이 같고 시간적으로 90도의 위상차만을 가진다. 따라서 두 고정자 권선의 전기적인 거동은 시간적으로 90도 위상차가 나는 점만을 제외하면 완전히 같다고 생각할 수 있다. 따라서해석은 한 상에 대해서만 수행하면 된다.
고정자에 입출력되는 파워를 고려할 때는 한 상에서의 계산 결과의 2 배를 취하면 된다.
( )
cos cos
as
as s s r
d d
v L I t MI t
dt dt
= = + +
– 고정자 a 상 권선의 단자 전압식의 표현은 다음과 같았다.
복소 해석 기법을 이용하기 위해 로 표현하고 ( : 실수, : 복소수), 이를 위의 전압식에 대입하면
시간에 대한 미분은 j 가 곱해지는 것과 같으므로, 이를 수행한 후 양변의 Re 와 e jt을 제거하여 생각하면,
여기서 는회전자(계자) 전류 Ir과 회전자의 위상각 에 의존하는 (종속) 전압원이다. 전기기계 교과서에서는 보통내부 (생성) 전압 (internal (generated) voltage) 과 같은 용어로 기술되어 있다.
– 위의 정상상태 고정자(전기자) 단자 전압은 평형 2상 동기기의 한 상의 정상상태 등가회로를 구축하는데 이용된다.
한 상의 등가 회로는 오른쪽 그림과 같다. 의 식을 보면 이는 (회전자 전류 Ir 만으로) 독립적으로 조절되므로, 고정자 전류 Is의 크기나 에 대한 위상이 제어될 수 있고 따라서 동기기는 전동기 혹은 발전기의 어느 쪽으로도
동작시킬 수 있다.
– 고정자 전압식에 나타나는Ls(교과서에는sLs로 표현되었으나 같은 양)는 관습적으로동기 리액턴스 (synchronous reactance) 라고 불리며, 고정자 권선의 자기 인덕턴스로 인한 리액턴스 성분을 나타낸다.
( )
cos cos
as
as s s r
d d
v L I t MI t
dt dt
= = + +
( ) ( ˆ )
Re
j t, Re
j tas s as s
i
=
I e v=
V e Is Vˆ
s( ˆ ) ( ) (
( ))
Re
s j t d s sRe
j t rRe
j tV e L I e MI e
dt
=
+
+
ˆ
js s s r
V
=
j L I +
j MI e
→
ˆ ˆs s s f
V = j L I +E
ˆ j
f r
E = j MI e
ˆs
V ˆf
E
• 동기기의 고정자 상세 등가회로 [Ref.) A. E. Fitzgerald, C. Kingsley Jr. and S. D.
Umans, Electric Machinery, 6
thed., McGraw Hill, 2003., Ch. 5]
– 강의노트 14-4의 등가회로는 매우 단순화된 형태이며, 전기자의 저항 성분을 고려한 조금 더 실제적인 등가회로는 아래 그림과 같다.
– (a)의 전동기 동작시는 단자에 고정자 전원이 인가되는 것이며, (b)의 발전기 동작시는 회전자를 기계적으로 돌려 생성된 E
f가 고정자 단자에 부하에 따라 나타나게 된다.
– 전류 방향의 차이를 유의하자. 등가회로에서 성립하는 식은 아래와 같다.
ˆ ˆ ˆ ˆ
a a a s a af
V = R I + jX I + E ˆ ˆ ˆ ˆ
a a a s a af
V = − R I − jX I + E
• 벡터 다이어그램을 이용한 동기기의 토크 해석
– 앞서 구한 고정자 전압의 복소 관계식과 등가 회로는 동기기의 특성을 해석하는데 사용할 수 있다. 이를 위해 구해진 복소 관계식을 복소 평면상에 벡터도로서 도시해 보자.
– 해석을 전통적인 전기기계 표현 방식과 일치시키기 위해 로부터 까지 측정된 각을 토크각 (torque angle)으로 정의한다.
– 그림을 참고하면 이므로
토크의 식은 이었으므로
위 식이 일반적으로 동기기 해석에 이용되는 토크의 식이다. 보통 고정자 전압은 일정한 값을 가지기 때문에 식을 고정자 전압으로 표시했다.
– 위의 그림은 결국 동기기 동작의 두 가지 모드를 표시한 것이다. 강의노트 13-7에서 는 회전자 자축이 고정자 자축을 앞서가는 각도이며 > 0 이면 발전기, <0 이면 모터로 동작함을 설명하였다. 그림 (a)는 가 양수이므로 (반시계 방향이 양의 회전 각도) 발전기 동작을 나타내며 회전자를 먼저 돌려 회전자계를 만들면 고정자 자축이 그를 따라가며 전기적 출력이 나타나는 상황을 의미한다. 그림 (b)는 가 음수이며, 고정자에 전기적 입력을 투입하여 회전 자계를 발생시키면 그에 따라 회전자 자축이 쫓아가면서 기계적 출력을 만드는 상황을 의미한다.
ˆs
V ˆ
Ef
sin sin
s s s
L I V
=
e sin
r s
T = −MI I sin ssin
s
s
I V
L
=
2
sin sin
e s r s
r
s s
V MI V
T MI
L L
= − = − =
ˆ ˆ
s s s f
V = j L I +E
ˆ j
f r
E = j MI e
2 f ssin
s
E V L
−
Generator operation
Motor operation
• 동기기의 파워 해석
– 고정자 권선에 투입되는 전기적 순시 파워는 이다. 고정자 단자 전압 및 전류는
이므로 이를 위의 파워 식에 대입하여 정리하면(각자 계산) 전기적 파워는 와 같이 얻어진다.
– 앞 페이지의 토크 식의 유도 과정으로부터 다음과 같은 관계식이 성립함을 이미 알고 있다.
이를 위에서 계산한 전기적 파워의 식에 대입하면
이므로,고정자 권선에 들어가는 전기적 파워와 샤프트로부터 나오는 기계적 파워는 같음 (pe= pm)을 알 수 있다.
– 따라서 전기기계적파워의 변환은 고정자 회로와 샤프트에 연결된 기계시스템 사이에서 일정 속도(constant rate)로 발생한다.회전자(계자) 회로는 종속 전원 Ef 를 제어하는 역할을 제외하고는 전체 에너지 변환 과정에는 참여하지 않는다.
– 계자 권선을 여자시키는 데 필요한 전력은 고정자(전기자) 정격 전력(power rating)의 0.5 %에서 수 %에 지나지 않는다.
따라서 계자 권선은 보통 회전자 위에 형성시켜 미끄럼 접촉부(sliding contact)가 보다 적은 전력을 다루도록 한다.
e as as bs bs
p
=
v i+
v i( ) ( )
( ) ( )
cos cos sin sin
sin sin cos cos
cos , sin
as
as s s r s s r
bs
bs s s r s s r
as s bs s
d d
v L I t MI t L I t MI t
dt dt
d d
v L I t MI t L I t MI t
dt dt
i I t i I t
= = + + = − − +
= = + + = + +
= =
e r ssin
p = −MI I
sin ssin ,
s f r
s
I V E MI
L
= =
2
sin sin
sin s f s e
e r s f m
s s
V E V
p MI I E T p
L L
= − = − = − = =
• 동기기의 토크 특성 곡선과 탈조
– 동기기를 일정한 고정자 전압원 (Vs)와 일정한 계자 전류 (Ef) 로 운전할 경우 토크각에 대한 토크 특성은 아래 그림과 같이 나타난다.
토크각에 대해 토크를 표현하면 그림과 같이 정현파 곡선으로 표시된다.
– 동기기는 샤프트 부하에서 요구하는 토크가
의 범위 안에 있는 경우, 이 범위 내에서의 임의의 토크를 공급할 수 있으며, 모터나 발전기로 동작할 수 있다.
– 만일 부하에서 이 범위를 벗어나는 토크를 요구(혹은 공급)하는 경우, 기기는 필요한 토크를 공급하지 못하므로 더 이상 동기 속도로 회전하면서 평균 파워를 발생시키지 못하게 된다. 이와 같이동기기의 동기성(synchronism)을 상실하는 과정을 탈조(脫調, pulling out of step) 현상이라 하며, 기기가 공급할 수 있는 최대 토크를 탈조 토크 (pull-out torque)라 한다.
2 f s sin
e
s
T E V
L
= −
2 2
f s e f s
s s
E V E V
L T L
−
• 동기기의 역률 조정 기능
– 동기기의 또 하나의 특성인계자 전류 변화를 통한 역률 조정 기능에 대해 알아보자. 역률 (力率, power factor)이란 고정자 단자 전압과 전류 간의 위상각을 의미한다.
– 고정자 권선에 진폭이 일정한 평형 2상 전압이 인가된 경우의 모터 동작을 가정하여 설명한다. 일정한 부하 토크 Tm이 기기에 가해지고, 계자 전류 Ir은 서로 다른 값으로 설정될 수 있다. 고정자 권선 저항 및 마찰 손실 등은 무시한다.
– 오른쪽 그림 (a)와 같이 계자 전류가 Ir1, Ir2, Ir3 로 점점 커지는 경우를 생각하자. 계자 전류가 커지면서 Ef의 크기가 증가하는데, 고정자 전압의 크기는 고정되어 있으므로, 의 관계를 만족시키기 위해서는 그림 (b)~(d)와 같은 형태로 벡터도의 벡터 들의 형태가 변화하게 된다. 이 때
(1) 계자 전류가 증가하면서 고정자 전류의 크기 Is는 하나의 최소점을 통과하며,
(2) 계자 전류가 증가하면서 고정자 전압 Vs와 고정자 전류 I의 위상각의 부호가 반전된다.
2 f ssin
e
s
T E V
L
= −
ˆ ˆ
s s s f
V = j L I +E
1
r r
I =I
2
r r
I =I
3
r r
I =I
2 f ssin
e
s
T E V
L
= −
1
r r
I =I
2
r r
I =I
3
r r
I =I – 그림 (e)는 고정자 전압 진폭과 부하 토크가 일정할 때
계자 전류에 대한 고정자 전류의 진폭을 그린 것이다.
이를동기기의 V-곡선 (V-curve) 이라 한다.
– 계자 전류가 작은 경우 (그림 (b)), 이 동기기는부족 여자 (不足勵磁, underexcited)되었다고 한다. 이 때 기기는 전원에 대해 유도성(inductive)으로 인덕터와 유사하게 보이며, 역률은지상(遲相, lagging) 역률이 된다.
즉 전류의 위상이 전압에 비해 뒤지게 된다.
– 계자 전류가 커지면 (그림 (d)), 이 동기기는과여자 (過勵磁, overexcited) 되었다고 한다. 이 때 기기는 전원에 대해 용량성(capacitive)으로 커패시터와 유사 하게 보이며, 역률은진상(進相, leading) 역률이 된다.
즉 전류의 위상이 전압에 비해 앞서게 된다.
– 동기기가 용량성으로 보이는 것은 매우 중요한 특성이다.
대부분의 전기기계 및 부하들은 유도성이므로, 전력 전송 시스템 (electric power transmission system)에서는 동기 전동기를 무부하 상태로 운전하며 가변 커패시터 (variable capacitor)로 동작시켜시스템의 전체 부하를 용량성으로 유도하여 역률을 개선시킨다. 이를동기 조상기(同期調相機, synchronous condenser)라 한다.
