편도함수
1. 편도함수
2. 미분 가능한 함수와 전미분 3. 연쇄법칙과 음함수 미분법
1. 편도함수
1.1 정의 2변수 함수
⊂ ℝ → ℝ에 대해, (1) ≡
lim
→
: 에서의 의 에 대한 편미분계수
(2)
≡
lim
→
: 에서의 의 에 대한 편미분계수 의미: 2변수 함수 의 편미분계수는 그래프 위에 있는 점 을 지나는 곡선의 접선의 기울기이다.
(3)
≡
lim
→
: 의 에 대한 편도함수
(4)
≡
lim
→
: 의 에 대한 편도함수
Note. 3변수 함수
⊂ ℝ → ℝ 에 대해서도 비슷하게 정의한다.e. g.
≡
lim
→
: 의 에 대한 편도함수
1.2 정리
(1) ±
±
±
±
(2) (3)
1.3 보기
(1) 에 대해 에서의 편미분계수를 구하라.
(2) sin
의 편도함수를 모두 구하시오.
풀이:
cos
이고
cos
(3) ln의 편도함수를 모두 구하시오.
풀이: ln, ln,
.
1.4 Exercise 다음 함수의 편도함수를 구하시오.
(1) log
(2) sin
(3)
1.5 Remark 앞에서 다루어 왔던 1변수함수에 대해서는 미분가능인 함수는 항상 연속이다. 2 변수 함수에 대해서는 의 1계 편도함수 가 모두 존재하고 연속이면 는 연속이다. 그 러나 1계 편도함수의 존재성만으로는 의 연속성을 보장할 수 없다. 예를 들어, 다변수 함수 의 극한[2.3 보기 (2)]에서 다뤘던 2변수 함수
≠
에 대해 편도함수의 정의를 써서 임을 확인할 수 있다. 그러나 는
에서 극한이 존재하지 않으므로 연속이 아니다.
1.6 정의 (2계 편도함수)
,
,
1.7 보기 2변수 함수 sin
의 2계 편도함수를 모두 구하시오.
Sol.
1.8 Exercise
≠
에 대해, 임을 보이시오. 즉, .
Note. (1)
lim
→
이다(Why?). 즉, 는 연속이다.
(2) for all ∈ ℝ이므로 정의에 의해 .
(3)
. .
결국,
lim
→
and
lim
→
.
1.9 정리 이변수 함수 에 대해 일반적으로 ≠ 이지만, 가 모두 존재하 고 가 연속함수이면 도 존재하고 이다.
2. 미분 가능한 함수와 전미분
2.1 정의 2변수 함수 ℝ→ ℝ에 대해 : 의 증분,
: 의 증분,
: 의 증분이라 한다.
2.2 정의 주어진 점 에 대해
,
lim
→
lim
→ 가 성립하면 는 점 에서 미분가능하다고 한다.
2.3 정리 (1) 2변수함수 가 에서 미분가능하면 는 에서 연속이다.
(2) 2변수함수 가 에서 미분가능하면 에서 의 1계 편도함수가 존재한다. 마찬가지 로 3변수함수 가 에서 미분가능하면 에서 의 1계 편도함수가 존재한다.
Note. 역은 성립하지 않는다. 예를 들어,
≠
은 원점에서 편도
함수가 둘 다 존재하지만 연속이 아니므로 미분가능하지 않다.
2.4 정리 의 근방에서 의 1계 편도함수가 모두 존재하고 에서 연속이면 는
에서 미분가능하다.
2.5 보기 는 모든 점에서 미분가능하다.
Way? 가 존재하고 모든 점에서 연속이다.
2.6 Remark ( 근삿값 구하기 )
ℝ → ℝ에 대해 에서 와
가 충분히 작으면 ≈ 이다.
2.7 보기 에 대해 에서의 의 근삿값을 구하라.
Sol.
2.8 Exercise
의 근삿값을 구하라.2.9 정의 (1) ℝ → ℝ에 대해, 의 전미분 는
(2) ℝ → ℝ에 대해, 의 전미분 는
(3) 전미분 을 의 오차, 비율
을 의 상대오차,
× 을 백분율오차라고 한다.
2.10 보기 2변수 함수 의 전미분 를 구하라.
Sol.
3. 연쇄법칙과 음함수 미분법
3.1 정리 가 에서 미분가능하고 가 에서 미분가능
할 때, 는 에서 미분가능하고
3.2 보기
(1) 에 대해
를 구하시오.
Sol.
(2) cos sin 이고 일 때
를 구하시오.
Sol.
3.3 정리
(1) 일 때
,
(2) 이고 가 와 에 관해 편미분가능하면
,
3.4 보기
(1) 일 때
와
을 구하시오.
Sol.
(2) ln 일 때
와
을 구하시오.
Sol.
3.5 Exercise (1) sin
에 대해
를 구하시오.
(2)
(3) 이고 일 때
와
을 구하시오.
3.6 정의 두 변수 사이의 관계를 방정식 에 의해 나타낼 수 있을 때 를
의 음함수라고 한다.
Note. 음함수의 도함수를 편미분을 써서 구할 수 있다.
3.7 정리 (1) 이고
≠ 이면
(2) 의 2변수 함수 가 음함수 꼴 로 나타날 때,
,
Proof. (2) 에서 를 와 의 함수로 보고 와 로 각각 편미분하면
,
이므로 정리하면 원하는 공식을 얻는다.
3.8 보기
(1) sin cos 일 때
을 구하시오.
Sol.
(2) 일 때 와 을 구하시오.
Sol.
3.9 Exercise
(1) 일 때,
를 구하라.
(2) 일 때
를 구하라.
