Reflection and Transmission Coefficients by a Circular Pile Breakwater

(1)

38

단 보

원형 파일 방파제에 의한 반사율과 투과율

Reflection and Transmission Coefficients by a Circular Pile Breakwater

조일형*·고혁준*

Il-Hyoung Cho* and Hyeokjun Koh*

요 지 : Bennet ^등(1992)^이^제안한^수학적^모델을^사용하여^원형^파일^방파제에^의한^반사율과^투과율을^살펴

보았다. ^파가^파일^방파제를^{통과하면서}^갑작스런^{단면형상의}^변화로^{박리현상이}^발생하며^이로^인하여^파^에너

지의일부분이소멸된다. ^따라서^수학적^모델의^신뢰성을^높이기^위해서는^에너지^{손실계수를}^정확히^산정하는^것

이중요하다. ^본^{연구에서는} FLUENT ^{상용코드를}^사용하여 2^차원^{난류유동을}^해석하고^파일^방파제^전후의^압

력차로부터에너지손실계수를구하였다. 에너지손실계수는공극률의함수이며, 둘사이의관계식을제안하였다. 손 실계수산정식의타당성을검증하기위하여수리모형실험결과와비교하였다. 4가지공극률에대하여반사율과투 과율을 비교한 결과해석결과와모형실험결과는 잘 일치하고있음을 확인하였다.

핵심용어 : 에너지손실계수, ^파일^방파제, ^반사율, ^박리, ^투과율, ^난류유동.

Abstract :

Using the mathematical model suggested by Bennet et al.(1992), the reflection and transmission coefficients by a circular pile breakwater has been investigated in the framework of potential theory. Flow separation due to sudden contraction and expansion is generated and is the main cause of significant energy loss.

Therefore, evaluation of exact energy loss coefficient is critical to enhance the reliability of mathematical model.

To obtain the energy loss coefficient, 2-dimensional turbulent flow is analyzed using the FLUENT commercial code. The energy loss coefficient can be obtained from the pressure difference between upstream and down- stream. Energy loss coefficient is the function of porosity and the relation equation between them is suggested throughout the curve fitting processing. To validated the suggested relation, comparison between the analytical results and the experimental results is made for four different porosities with good agreement.

Keywords :

energy loss coefficient, pile breakwater, reflection coefficient, separation, transmission coefficient, turbulent flow.

1. 서 론

파일방파제

(pile breakwater)

의기본구조는원기둥을

일정한간격을가지고수직으로배열하여만든형태이다

.

이런형태의방파제는환경친화적인항만개발에필요 한많은장점들을지니고있다

.

즉

,

항만활동에지장을주 지않는범위내에서파의일부와흐름을허용하므로항 내수질개선에기여한다

.

또한중량이가볍기때문에연 약지반에서도설치가가능하며

,

방파제로부터반사되는파 의에너지를줄여방파제주변에서운항하는선박의안

정성에도움을준다

.

먼외해에서만들어진파가항내로 진입하면서파일방파제를만나면갑작스런단면형상의변 화로뚫린부분을통해강한제트흐름이형성된다

.

이로

인하여점성에의한박리

(separation)

현상이발생하여파

에너지의일부분이소멸된다

.

Jarlan(1961)

이음파에너지를소멸시키기위해무향실

의벽에설치한유공판의소파개념을방파제에적용한 이후투과성방파제에대한많은이론연구와실험연구가 수행되었다

. Mei

et al.

(1974)

은유공벽전후의압력차이

를 물입자의 속도의 제곱에 비례하는 점성항

(viscous

*제주대학교해양산업공학부(Department of Marine Industrial Engineering, Cheju National University, Ara 1, Jeju 690-756, Korea, [email protected])

(2)

term)

과물입자의가속도에비례하는관성항

(inertial term)

의합으로표현하였고

,

각항에포함된계수들을구하는 방법을제시하였다

. Bennett

et al.

(1992)

은슬릿판의외 부영역에서는선형포텐셜이론을적용하였고

,

슬릿판내 부영역에서는

Mei

et al.

(1974)

이제시한식을사용하였 다

.

슬릿판 외부영역의 해와 내부영역의 해를 정합

(matching)

시켜비선형적분방정식을유도하고

Newton

Raphson

의축차법

(iteration method)

을사용하여슬릿판에 의한반사율을계산하였다

. Fugazza and Natale(1992)

와

Kim(1998)

은에너지손실을나타내는점성항을물입자의

속도에선형적으로비례한다고가정하여선형손실계수를

Lorenz

변환을통하여구하였다

. Kakuno and Liu(1993)

와

Kakuno and Nakata(1998)

은정합점근전개법

(matched asymptotic

expansion method)

을사용하여슬릿방파제에의한반사

율과투과율을구하고모형실험결과와비교하였다

. Kakuno

et al.

(1993,1998)

은해석결과와모형실험결과가잘맞도 록에너지손실계수를사각형단면일때는α

=1.5

로원형 단면일때는α

=0.75

로제안하였다

. Kakuno and Oda(1986)

는원기둥을배열하여만든유공벽의차단계수

(blockage

coefficient)

를비정상포텐셜이론에근거하여급수형태로

표현하였다

.

조일형

(2002)

은후면에벽이있는경우와없는

경우에대하여슬릿판에의한반사율과투과율을

Bennett

et al.

(1992)

이제안한비선형적분방정식을풀어구하였

다

.

조일형

(2003)

은벽앞에일정깊이잠긴사각기둥이배

열된유공벽에의한반사율을고유함수전개법

(eigenfunction

expansion method)

을 사용하여해석하였으며

, Zhu and

Chawang(2001)

의모형실험결과와비교하였다

. Suh

et

al.

(2006)

는상부는커튼월방파제하부는파일방파제로

구성된커튼월

-

파일방파제를제안하였다

.

윤등

(2006)

은 난류유동수치모형인

FLUENT

를이용하여두께를고려한 사각형단면에대한에너지손실계수산정식을구하였다

.

손실계수에대한공식을이용하여반사율을구하고모형 실험결과와비교하였다

.

본연구에서는원기둥을배열하여만든파일방파제에 의한반사율과투과율의특성을

Bennett

et al.

(1992)

이 제안한수학적모델을이용하여살펴보았다

.

파일방파제 전후의압력차이를관성항과점성항의합으로표현하고

,

Kakuno and Oda(1986)

의해석해를이용하여관성항계

수인차단계수를구하였다

.

또한점성항계수인에너지손

실계수를정확히구하기위하여

FLUENT

상용코드에서

난류유동을계산할수있는

Spalart-Allmars

모형을사용

하였다

(

윤등

, 2006).

파일방파제의

2

차원단면에흐름

을주고박리현상에의해유기된파일방파제전후에서 의압력차를수치적으로구하여이로부터손실계수를산 정하였다

.

에너지손실계수는공극률의함수이며둘사이 의관계식은난류유동해석결과를곡선맞춤

(curve fitting)

하여구하였다

.

손실계수산정식의타당성을검증하기위

하여

Kakuno and Liu(1993)

의모형실험결과와비교하

였다

.

해석결과는수리모형실험결과를잘따라가고있 음을확인하였다

.

2. 문제의 정식화

Fig. 1

과같이수심

(

h

)

이일정한유체영역내에원기둥

을배열하여만든파일방파제가놓여있다고생각하자

.

입 사파는 x축의양의방향으로주파수ω을갖고진행한다

.

포 텐셜이론에따라속도포텐셜

(

Φ

)

을도입하고

,

유동은주파 수ω를갖고조화운동을한다고가정하면속도포텐셜과 유공벽에서의수평방향속도는아래와같이쓸수있다

.

(1)

여기서 A는 입사파의 진폭이며 g는 중력가속도이다

.

파일방파제에의하여나누어진유체영역을각각영역

1,

영역

2

라하자

.

파일이수면에서바닥까지설치되어있

으므로비진행파

(non-propagating wave)

를무시하면각

영역에서의속도포텐셜은아래식과같이표현된다

. (2)

여기서 이며

,

파수 k는선형분산식 Φ x y t( , , ) Re ig

–

ω

----

Aφ x y( , )e^–^{iω t}

⎩ ⎭

⎨ ⎬

⎧ ⎫

=

U y t( ) Re ig,

–

ω

----

Au y( )e^–^iωt

⎩ ⎭

⎨ ⎬

⎧ ⎫

=

φ₁(x y, )

=

(e^ikx

+

R_fe^–^ikx)f y( ) φ₂(x y, ) T

=

_re^ikxf y( )

f y( )

cosh

k y h(

+

) kh

---

cosh

=

Fig. 1.

Definition sketch of a circular pile breakwater.

(3)

을만족한다

.

는미지수들로서 각각반사율과투과율을뜻한다

.

두영역이만나는유공벽

(

x

=0)

에서정합조건식

을적용하고양변에f

(

y

)

을곱한뒤

-

h부 터

0

까지적분하면미지수R_f

,

T_r을유공벽에서의속도함 수로표현할수있다

.

(3)

여기서 이다

.

식

(3)

을식

(2)

에대입하여 영역

1,2

에서의속도포텐셜을다시쓰면다음식과같다

.

(4)

식

(4)

에서미지수인u

(

y

)

을구하기위해서는추가적인 정합조건식이필요하다

.

유공벽이놓인경계면에서의정 합조건식은아래와같이표현된다

(Mei, 1974).

(5)

위에주어진방정식은비선형방정식이다

.

따라서하나 의입력주파수

(

ω

)

에대하여많은응답주파수들이발생한 다

.

만약응답주파수와입력주파수가같다고가정하면등 가선형화

(equivalent linearization)

기법을도입할수있다

(Mei, 2005).

(6)

여기서 이다

.

식

(6)

의 오른쪽의첫 번째 항 은물입자의가속도에비례하는 관성항을나타낸다

.

본 연구에서는

Kakuno and Oda(1986)

의해석해를이용하 여차단계수

(

C

)

를구하였다

.

식

(6)

의오른쪽의두번째 항은 박리에 의한 에너지손실을 나타내는 점성항이 다

.

α는에너지손실계수로

3

절에서자세히다루도록하 겠다

.

식

(4)

을정합조건식인식

(6)

에대입하여정리하면아 래와같은비선형적분방정식을유도할수있다

.

(7)

여기서 이다

.

식

(7)

에 주어진 비선형적분방정식을수치적으로풀기위하여유공벽을

y

방향으로 N개의선분으로분할하고

,

각선분에서수평방 향속도가일정하다고가정하면식

(7)

은아래식과같이 대수방정식으로바뀐다

.

(8)

여기서 이며

,

는분할요소의길 이를 뜻한다

.

윗식을 행렬식으로 바꿔 정리하면

(9)

이다

.

여기서 이며

, [

I

]

는N

×

N단 위행렬이다

.

본연구에서는비선형대수방정식을푸는대 표적인 수치해법인

Newton Raphson

의 축차법

(iteration

method)

을 사용하였다

.

이수치해법을 사용하면미지수

(

u

)

는 다음식으로 표현된다

.

(10)

여기서 k는 축차수

(iteration number)

를 나타낸다

.

식

(10)

에서 속도분포에 대한 초기치

(

u₁

)

를 주고 허용오차 범위내의 값을가질 때까지 위의 계산을 반복한다

.

유공벽에서의속도분포가구해지면식

(3)

을사용하여 반사율과투과율을얻을수있다

.

또한유공벽에작용하 는단위폭당수평방향의파력은유공판전후의압력의 차를적분하여다음과같이구할수있다

.

(11)

3. 손실계수 산정 난류모델

파가원형파일방파제를통과하면서갑작스런단면현 상의변화로박리현상이발생하여에너지가손실된다

.

이 러한박리현상은유공판의공극률그리고국부형상과밀 접한관계가있다

.

본연구에서는박리에의한에너지손 ω²⁄g

=

k

tanh

kh

( ) R_f T, _r

(

∂ φ₁⁄ =∂x

∂φ₂⁄∂ x u y

=

( )

)

R_f

1

_kNⁱ

---

o

∫

_–⁰_hu y( )f y( ) yd

+

=

T_r i kN_o

--- ∫

_–⁰_hu y( )f y( ) yd

–

=

N_o

= ∫

_–⁰_hf y( )²dy

φ₁(x y, ) (e^ikx

+

e^{– kx}ⁱ )f y( ) ie^{– kx}ⁱ f y( ) kN_o

--- ∫

_–⁰_hu y( )f y( ) yd

+

=

φ₂(x y, ) ie^ikxf y( ) kN_o

--- ∫

_–⁰_hu y( )f y( ) yd

–

=

∂Φ₂

---

∂t

–

^∂Φ

---

_{∂ t}¹

2

C∂U

---

∂ t

+

^α

2---

^{U U}

=

φ₂(

0

,y) φ

–

₁(

0

,y)

= 2

Cu y( ) iβ u y

+

( ) u y( ) β

4

Aαg

3

π ω²

---

=

Q y y( , _o)u y( ) y_od _o

+

iβ u y( ) u y( )

+ 2

Cu y( )

+ 2

f y( )

h –

∫

0

= 0

Q y y( , _o)

2

i kN_o

---

f y( )f y( )_o

=

X_i( )u_i Q_iju_j

+

iβ u_iu_i

+ 2

Cu_i

+ 2

f_i

j 1=

∑

N

0 = =

i

= 1 2

, , ,… N

( )

Q_ij Q y( _i,y_j)

Γj dΓ_j

= ∫

Γ_j

X

=

[ ]u iβ uH

+

^T[ ]uI

+ 2

Cu

+ 2

f

= 0

u u y

=

( ) i_i (

= 1 2

, , ,… N)

u_{k 1}₊ u_k X_k ∂X_k

∂ u_k

---

×

1

–

=

F ρgA [φ₂(

0

,y) φ

–

₁(

0

,y)] yd

h –

∫

0

–

=

ρgA(

1 +

R_f

–

T_r)

tanh

kh

---

k

=

(4)

실을수치적으로구하기위하여

FLUENT

상용코드에서 난류유동을계산할수있는

Spalart-Allmars

모형을사용 하였다

.

계산영역은

FLUENT

에서제공하는격자생성프로

그램인

Gambit

을사용하여구성하였으며계산모델은

Fig. 2

와같다

.

원기둥주변에서는격자를촘촘히배열하여총격 자수는

36,162

개로 잡았다

. 7

개의 공극률

(0.03,0.05,0.08, 0.13,0.23,0.33,0.43)

과

3.0×10

³

~1.0×10

⁵범위내의

7

가지

Reynolds

수를택하여수치계산을수행하였다

.

난류유동해석결과로부터에너지손실계수α를구하는

식은다음과같다

(Mei, 2005).

(12)

여기서 ∆p는유공벽의 상류정수압과하류 정수압의차 를나타내며

,

V는 상류유입부에서의단면평균유속을의 미한다

. Fig. 3

은공극률이

0.13, Re = 1.5 × 10

⁴에서의정 수압 분포를나타내고 있다

.

그림에서의압력차이가 박 리에 의한 에너지손실이다

.

압력이 급격히 떨어지는

x = 5 m

가 입구가가장 좁은지점으로 유속은 가장빠

르다

. Fig. 4

는 같은 조건에서 계산된 유공벽 주변에서

의유선

(streamline)

을보여주고있다

.

원기둥을지나벽

쪽으로커다란와류가대칭으로형성되어 있음을볼수

있다

. Fig. 5

는 공극률변화에따른난류유동해석에의

한에너지 손실계수의 변화를보여주고 있다

.

그림에서

동그라미는 난류유동해석을 통하여얻은 수치계산결과 이며

,

실선은 수치계산 결과를이용하여 곡선맞춤법을

통하여 얻은 맞춤식

(fitted equation)

을 그린 그림이다

.

점선은 윤 등

(2006)

이 제안한 사각형 파일에서의손실

계수 산정식을 나타내며일점쇄선은

Mei(1974)

가 제안 한 얇은슬릿판에 대한 손실계수를 보여주고 있다

. 3

가지 모델을 비교한 결과 곡선의 형태는 유사하나 예 상대로원기둥일 때 손실계수가가장 적게나타나는 것 을 볼수 있다

.

이는

3

가지모델에대한 손실계수의산 정식을 비교해 보면 더욱 명확해진다

.

얇은 슬릿판에

대한

Mei(1974)

가제안한경험식은 이며

,

α ∆p

1 2---

^ρV²

---

=

α

1

PC_c

--- 1 –

⎝ ⎠

⎛ ⎞²

=

Fig. 2.

Computational domain for turbulent flow analysis (FLUENT).

Fig. 3.

Pressure distribution along the center line of orifice (P = 0.13, D = 0.1 m, 2B = 0.1149 m, 2a = 0.0149 m, Re = 1.5 × 10

⁴

).

Fig. 4.

Streamline pattern around a circular cylinder (P = 0.13, D = 0.1 m, 2B = 0.1149 m, 2a = 0.0149 m, Re = 1.5×10

⁴

).

(5)

사각형파일에서의윤등

(2006)

이제안한수정식은α

= 0.6

이다

.

본연구에서얻은손실계수와공극률사 이의맞춤식은다음과같다

.

(13)

여기서C_c

(=0.6+0.4P

²

)

는수축계수이다

.

윤등

(2006)

이 제안한손실계수가

Mei(1974)

의손실계수의

60%

이며

,

본 연구에서구한원형단면의손실계수가윤등

(2006)

이제 안한사각형단면의손실계수의

20%

로나타났다

.

4. 반사율과 투과율

원형파일방파제에의한반사율과투과율을살펴보기

에앞서

Fig. 6

은본계산에서사용한차단계수를보여주

고있다

. Kakuno and Oda(1986)

의비정상포텐셜이론에

근거한급수형태의식에서

19

개항을취해차단계수를구 하였다

.

단면의급축소

,

급확대를뜻하는공극률이작은 영역에서는차단계수는급격한변화를보이다가공극률이 커지면변화폭이줄어들면서작은값을갖는다

.

계산결과의타당성을검증하기위하여길이

50 m,

깊이

1.75 m,

폭

1 m

인

2

차원수조에서 수행한

Kakuno and

Liu(1993)

의 모형실험결과와 비교하였다

. Kakuno and

Liu(1993)

가수행한모형실험조건은수심이

50 cm

이며

,

파

의기울기는

0.01

이다

.

모형실험에서사용한원기둥의직경은

2

종류로

5.1cm( )

와

15.3cm

이다

.

4

개의공극률

( )

에대하여반사율

과투과율을비교하였다

. Fig. 7a,b,c,d

는계산결과와

Kakuno

and Liu(1993)

의모형실험결과를비교한그림이다

.

여기서

x축은원기둥의간격과파장의비인 이며

,

y축은투과 율과반사율을나타낸다

.

계산결과는전주파수에걸쳐서실 험결과를잘따라가고있음을보여주고있다

.

Fig. 8a,b,c,d

는

4

가지 공극률

(

P

= 0.05,0.1,0.2,0.3)

에 대하여투과율

,

반사율

,

파력그리고에너지손실을보여 주고있다

.

여기서원기둥의직경과수심의비

(

D

/

h

)

는

0.1

이며

,

파의기울기

( )

는

0.01

이다

.

예상했던바와같

이공극률이작을수록투과율은감소되고반사율이커지

는경향을볼수있다

. Fig. 8c

는유공벽에작용하는단

위폭당파력의절대값을공극률이

0

인벽면에작용하 는파력 로무차원화시킨값을보 여주고있다

.

입사파가장파일때유공벽에의하여대부 분에너지는반사된다

.

따라서 는

1.0

에수렴한다

. 4

가지공극률에대하여비교하면예상대로공극률이클수 록파력은상대적으로작아지는것을알수있다

. Fig. 8c

의무차원화된파력곡선은반사율곡선과일치함을보 여주고있다

.

즉

,

파일방파제에의한반사율이줄어들면 수평방향의파력도줄어든다

. Fig. 8d

는원기둥을통과하 면서발생하는에너지손실

( )

를계산하였 다

.

이값이

1

이면입사파의모든에너지가유공판을통 과하면서완전히소멸된다는것을의미하며

, 0

이면에너 지손실이없다는것을뜻한다

.

에너지손실은원기둥의 간격과파장의비인 와공극률과밀접한관계가있다

.

4

개의공극률을비교한결과저주파수영역 에

서는공극률이작을수록에너지손실이커지지만주파수 PC

1

_c

--- 1 –

⎝ ⎠

⎛ ⎞²

α

0.12 1

_PC

--- 1

c

–

⎝ ⎠

⎛ ⎞²

=

B λ⁄ ≤

0.02

(B λ⁄ ≥

0.025

)

P

= 0.03 0.08 0.13 0.23

, , ,

B λ⁄

H λ⁄

F_o(

= 2

ρA

tanh

kh k⁄ ) F F⁄ _o

1 –

R_f ²

–

T_r²

=

B λ⁄

B λ⁄ <

0.025

( )

Fig. 5.

Comparison of energy loss coefficients.

^{Fig. 6.}

Blockage coefficients for circular cylinder (Kakuno

and Oda, 1986).

(6)

Fig. 7.

Comparison between numerical solution and experimental data for circular cylinders.

●●●

: measured transmission coefficient,

^○○○

: measured reflection coefficient.

Fig. 8.

Transmission, reflection, wave force, and energy loss of a pile breakwater as a function of non-dimensional wavelength and

porosity for

D/h

=0.1,

H/λ

=0

.

01.

(7)

가큰단파영역에서는불규칙적인경향을보이고있다

.

Fig. 9

는파의기울기변화에따른에너지손실을살펴

보았다

.

파기울기가크다는것은비선형효과가크게작 용한다는것을의미한다

.

이러한비선형효과는박리현상 을나타내는점성항에서발생한다

.

다시말하여파기울 기가클수록박리현상이더크게일어나에너지손실의 증가로나타난다

.

5. 결 론

본연구에서는

FLUENT

상용코드를사용하여원형단 면에대한에너지손실계수산정식을구하였다

.

손실계수

와차단계수

(Kakuno and Oda, 1986)

의값을이용하여

파일방파제에의한반사율과투과율을구하고

Kakuno

and Liu(1993)

의모형실험결과와비교하였다

.

이로부터

다음과같은결론을내릴수있다

.

1) FLUENT

상용코드를사용하여구한원형파일방

파제에의한에너지손실계수산정식은

이다

.

이는윤등

(2006)

이제안한사각형파일에대한손

실계수의

20%

이며

, Mei(1974)

가사용한얇은슬릿판손

실계수의

12%

이다

.

2)

해석결과와

Kakuno and Liu(1993)

의모형실험결 과는대체로잘일치하였다

.

이는난류유동해석을통하여 구한에너지손실계수산정식이타당하다는것을의미한다

.

3)

파일방파제에의한반사율과파력은서로밀접한관

련이있음을확인하였다

.

또한저주파수영역

에서는공극률이작을수록에너지손실이커지지만고주 파수영역에서는불규칙적인경향을보이고있다

.

파기울

기가클수록박리현상이크게일어나에너지손실의증 가로나타난다

.

4)

개발된해석모델을다방향불규칙파를고려할수있 는해석모델로확장한다면환경친화적인파일방파제제 작에필요한많은설계정보들을제공할수있을것이다

.

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Received December 4, 2006 Accepted February 1, 2007

α

0.12 1

_PC

--- 1

c

–

⎝ ⎠

⎛ ⎞²

=

B λ⁄ <

0.025

( )

Fig. 9.

Energy loss of a pile breakwater as a function of non- dimensional wavelength and wave steepness for

^D/

h=

0.1,

^P

=0.1