12 Z 4, pp. 1268∼1281

(1)

12 Z 4, pp. 1268∼1281

X ì

ÈV R Ë ºÇ k Ä; c" e Ö ¨] § × I í Ä; c 8 ýA 0 ® ot c Ü R ì Å ü ¤V R Ë

+ ä ¹ ÿ

@

/ @ / < Æ § Ó ü t o < Æõ , í ; 487-711

-

! H) ç <

@

/ @ / < Æ § : x / B N < Æõ , í ; 487-711

+ ä

ô 6 ;£ Ó

@

/ @ / < Æ § / B N < Æõ , í ; 487-711

(2010¸ 9 Z 4 15{ 9 ~ Ã Î6 £ §, 2010¸ 11 Z 4 1{ 9 Ã º& ñ : r ~ Ã Î6 £ §, 2010¸ 12 Z 4 10{ 9 > F S X & ñ )

6 £

§ ¾ Ó 4 ¤ § 4 \ _ ô Ç ¸f \ " f_ 0 A µ 1 ÏÒ q t x 9 \ & h $ í s p u H ´ òõ \ ¦ Õ ª 2 ; < ÊÃ º(Green’s function) ì r$ 3 Z O Ü ¼ Ð ¸ % i . s \ ¦ 0 AK & h $ í s H â Ä º\ ¸ & h 6 x| ¨ c Ã º e H, Ð { 9 ì ø Í& h + þ A I

_ & h ò ø Í$ í Õ ª 2 ; < ÊÃ º\ ¦ Ä » ¸ % i . s : r& h ³ ð & ³d É r Ã ºu > í ß ÷ & ¦, / B N ç ß x 9 r ç ß % ò % i \ " f & h ò ø Í$ í Õ

ª 2 ; < ÊÃ º_ : £ ¤$ í s ì r$ 3 ÷ &% 3 . & h ò ø Í$ í ¸f \ " f_ 3D 0 A > í ß É r " é ¶ ^ + þ AI _ ^ & h § 4 ì r í\ @ / K

Ã º' % i . : £ ¤ y , r ç ß % ò % i + þ A` ¦ | 9 × æ& h Ü ¼ Ð ì r$ 3 # 0 A þ j@ /r ç ß \ @ /ô Ç H d ` ¦ ¸Ø ¦

%

i . Ä »ô Çכ ¹ èZ O \ _ ô Ç 0 A > í ß õ ü <_ q §\ ¦ : x K s : r& h Õ ª 2 ; < ÊÃ º_ { © $ í ` ¦ S X % i .

í6 £ § c _ » ¡ ¤ ~ ½ Ó ¾ Ó © » ¡ ¤ _ U ´s é ß » ¡ ¤ \ q K B Ä º H " é ¶ ^ + þ A ^ & h § 4 \ @ /K 0 A þ j@ /r ç ß

É

r é ß » ¡ ¤ U ´s \ + þ A& h Ü ¼ Ð 7 £ x ¦, & h $ í ¢ ¸ô Ç 0 A þ j@ /r ç ß ` ¦ 7 £ x r ( .

Ù þ

d # Q: Õ ª 2 ; < ÊÃ º, 6 £ § ¾ Ó 4 ¤ § 4 , ò ø Í$ í % ò © , ¸f

Displacement Characteristics Generated in Viscous Tissue by an Acoustic Radiation Force

Jeong Man Park

Department of Physics, Daejin University, Pocheon 487-711

Sung Jae Kwon

Department of Communication Engineering, Daejin University, Pocheon 487-711

Mok Kun Jeong ^∗

Department of Electronic Engineering, Daejin University, Pocheon 487-711 (Received 15 September, 2010 : revised 1 November, 2010 : accepted 10 December, 2010)

The effects of viscosity on the generation and propagation of displacements induced in soft tissue by an acoustic radiation force were investigated using the Green’s function formalism. To this end, a more general Green’s function for viscoelastic media was formulated and was shown to be applicable to the case of high viscosity. The theoretical expression was numerically computed, and the characteristics of the viscoelastic Green’s function were analyzed in the spatial, as well as the

-1268-

(2)

temporal, domain. For viscoelastic tissue, a calculation of the 3D displacement was carried out for a distribution of a body force taking the form of a spheroid. In particular, an approximate expression for the time to peak displacement was obtained by analyzing displacement waveforms in the temporal domain. The validity of the theoretically established Green’s function was confirmed by comparison with the result of a displacement computation using a finite element method. For a spheroidal body force whose major axis (i.e., in the direction of ultrasound beam propagation) is significantly longer than the minor axis, the time to peak displacement is found to increase linearly with increasing length of the minor axis. The viscosity also turns out to be a factor affecting the time to peak displacement.

PACS numbers: 43.20.+g, 43.80.+p

Keywords: Green’s function, Acoustic radiation force, Elasticity imaging, Soft tissue

I. " e Â ] Ø

^ _ ¸f \ s 7 á x ª s µ 1 ÏÒ q t # î ¸f

É

r Å Ò0 A ¸f Ð é ß é ß ô Ç : £ ¤$ í ` ¦ [1]. _ « Ñ6 x ò ø Í

$ í

% ò © Z O (elasticity imaging) É r ^ ? /_ ¸f _ % i < Æ

&

h

$ í | 9 \ l í # ¸f ` ¦ % ò © o ¦ # î ` ¦ Ø ¦

9 H l Õ ü t s [2]. ¸f _ ò ø Í$ í É r ü @Â Ò§ 4 ` ¦ 6 x r & Õ ª î

r1 l x` ¦ 8 £ ¤& ñ < ÊÜ ¼ Ð+ í ß & ñ | ¨ c Ã º e . ü @Â Ò§ 4 É r ¸f ³ ð

\ & ñ & h · ú § 4 s 1 l x` ¦ [3–6] 6 £ § ¾ Ó 4 ¤

§ 4 (acoustic radiation force)` ¦ 6 x # [7–11] µ 1 ÏÒ q tr

~

´ Ã º e .

:

£

¤ y 6 £ § ¾ Ó 4 ¤ § 4 ` ¦ s 6 x ô Ç ü @Â Ò§ 4 _ µ 1 ÏÒ q t É r í6 £ § c

` ¦ | 9 5 Å q < Ê\ _ K ¸f ? /Â Ò\ " é ¶ Ü ¼ Ð " é ¶ H t

&

h \ | ¨ c Ã º e H © & h s e # Q ' a d _ @ / © s ÷ & ¦ e

. ¸f ? / a % v É r % ò % i \ ) a 6 £ § ¾ Ó 4 ¤ § 4 É r 0

Aü < S \ ¦ µ 1 ÏÒ q tr v ¦, 0 A ß ¼l S ² ú : £ ¤$ í

`

¦ 8 £ ¤& ñ # ò ø Í$ í % ò © s % 3 # Q . 4 ¤ § 4 l ì ø Í ò ø Í$ í

% ò

© Z O Ü ¼ Ð H 6 £ § ¾ Ó 4 ¤ § 4 ` ¦ µ 1 ÏÒ q tr v H ~ ½ ÓZ O s 8 £ ¤

&

ñ H Ó ü t o & h Ã º\ , | 9 5 Å q í6 £ § ` O Û ¼ c ` ¦ 6

x H S ò ø Í$ í % ò © Z O (shear wave elasticity imaging;

SWEI) [12], 6 £ § ¾ Ó 4 ¤ § 4 e ` O Û ¼ % ò © Z O (acoustic radi- ation force impulse imaging; ARFI imaging) [13], í6 £ § 5

Å

q é ß % ò © Z O (supersonic shear imaging; SSI) [14]s e Ü

¼ 9, | 9 5 Å q 5 Å q(CW) í6 £ § c ` ¦ 6 x H 1 l x 6 £ § ¾ Ó

% ò

© Z O (vibro-acoustography) [15], ² D G è ¸ oî r1 l x % ò © Z O

(harmonic motion imaging; HMI) [16] 1 p x s ] jî ß ÷ &# Q e

.

ò

ø Í$ í % ò © l Õ ü t \ " f ò ø Í$ í % ò © ` ¦ ½ ¨$ í ½ + É M : ´ ú § É r â Ä º\

¸f ` ¦ ò ø Í$ í B | 9 Ð ç ß Å Ò # ò ø Í$ í > Ã º\ ¦ í ß & ñ ô Ç . Õ ª

Q ¸f É r ì r í ß B | 9 (dispersive medium)s 9, & h $ í

É

r 0 A_ ß ¼l r ç ß % ò % i + þ A, S 5 Å q ¸, S ` O Û ¼

∗

E-mail: [email protected]

¸ ª 1 p x \ % ò ¾ Ó` ¦ Å Ò# Q & ñ S X ô Ç ò ø Í$ í > í ß ` ¦ # Q§ > > ë ß H

. ¸f é ß ò ø Í$ í > Ã º(shear modulus)_ & ñ S X ô Ç í ß & ñ , Õ

ªo ¦ : £ ¤ y & h ò ø Í$ í % ò © _ ½ ¨ & ³` ¦ 0 AK " f H & h $ í ´ òõ

\

@ /ô Ç ¦ 9 כ ¹½ ¨ ) a . & h ò ø Í$ í ¸f \ " f 6 £ § ¾ Ó 4 ¤ § 4

\

_ ô Ç S µ 1 ÏÒ q t x 9 H Sarvazyan 1 p x [12] \ _ K 2

[/ å L ÷ &% 3 . Õ ª[ þ t É r S _ > r F ë ß ` ¦ & ñ # Ä ºr î

ß í6 £ § | 9 5 Å q c \ _ K µ 1 ÏÒ q t ) a 0 A\ @ /ô Ç ³ ð & ³d ` ¦

¸Ø ¦ % i . 7 á x ü < S ¸¿ º\ ¦ ¦ 9 # & h ò ø Í$ í ¸f

\

@ /ô Ç H & h Õ ª 2 ; < ÊÃ º(Green’s function) H Bercoff 1 p x [17] \ _ K Ä » ¸÷ &% 3 . H Õ ª 2 ; < ÊÃ º ¸Ø ¦ \ É r & h

$ í

> Ã º\ ¦ & ñ % i Ü ¼ 9, é ß & h $ í > Ã º 0.1 ∼ 0.3 Pa·s

&

ñ ¸ Ð q §& h É r ½ ) 3 \ " f & h $ í _ ´ òõ \ ¦ Ð# Å Ò% 3

. Giannoula 1 p x [18] É r Bercoff 1 p x [17] _ H Õ ª 2 ; < Ê Ã

º\ ¦ 6 x # 1 l x Ã º _ > r S 5 Å q ¸ x 9 y û Z ° ú É r ì r í

ß : £ ¤$ í s 6 £ § ¾ Ó 4 ¤ § 4 \ _ K µ 1 ÏÒ q t ) a S \ p u

H % ò ¾ Ó` ¦ ¸ % i ¦, ¢ ¸ô Ç S ² ú : £ ¤$ í Ü ¼ ÐÂ Ò' & h ò

ø Í$ í ` ¦ í ß & ñ H ~ ½ ÓZ O ` ¦ ¸Ò o % i . z ´] j ¸f _ é

ß & h $ í > Ã º H @ /| Ä Ì 0.5 ∼ 3 Pa·s # 3 0 A\ 5 g e Ü ¼Ù ¼ Ð [19–22], 6 £ § ¾ Ó 4 ¤ § 4 \ _ ô Ç ¸f ? / 0 A µ 1 ÏÒ q t` ¦ Ð

&

ñ S X > s K l 0 AK " f H Z } É r & h $ í > Ã º\ ¦ ° ú H B

| 9

\ " f ¸ & h 6 x| ¨ c Ã º e H Õ ª 2 ; < ÊÃ º 9 כ ¹ .

: r 7 Hë H \ " f H a % v É r % ò % i \ ÷ & H ^ & h § 4 (body force) \ _ ô Ç ¸f ? /\ " f_ 0 A µ 1 ÏÒ q tõ 1 l x ² ú

\

& h $ í s p u H % ò ¾ Ó` ¦ \ V8 £ ¤ l 0 AK Õ ª 2 ; < ÊÃ º ì r$ 3 Z O

` ¦ 6 x % i . $ íß ¼à Ô ¸+ þ A(Voigt model) [23]\ l

í # & h ò ø Í$ í B | 9 (viscoelastic medium)\ " f_ Õ ª 2 ;

< ÊÃ º\ @ /ô Ç Ð { 9 ì ø Í& h s : r& h ³ ð & ³d ` ¦ Ä » ¸ % i

. s Ê ê s : rd _ Ã ºu > í ß ` ¦ : x K / B N ç ß x 9 r ç ß % ò % i

\

" f & h ò ø Í$ í Õ ª 2 ; < ÊÃ º_ : £ ¤$ í ` ¦ ì r$ 3 % i . 3D ^ & h § 4

\

_ ô Ç 0 A> í ß É r Ä ºr î ß " é ¶ ^ + þ A ^ & h § 4 ì r í\

@

/K Ã º' % i ¦, : £ ¤ y 0 A_ r ç ß % ò % i + þ A\ & h $ í s p

u H ´ òõ | 9 × æ& h Ü ¼ Ð ¸ ÷ &% 3 . s : r _ { © $ í

`

¦ 7 £ x l 0 AK Ä »ô Çכ ¹ è(finite element) ¸+ þ A` ¦ ½ ¨$ í

¦ 0 A\ ¦ > í ß # s : r& h õ ü < q § % i .

(3)

II. X ì È mV R Ë 8 0ù m Ç8 ý § Û Ã Å] K ¤ ¤

6 £

§ ¾ Ó 4 ¤ § 4 õ ° ú É r ¸f ? /Â Ò\ 6 x H ^ & h § 4

\

_ K µ 1 ÏÒ q t÷ & H 0 A_ > í ß \ H Õ ª 2 ; < ÊÃ º ì r$ 3 Z O s

6 x| ¨ c Ã º e [24]. & h ò ø Í$ í B | 9 _ Õ ª 2 ; < ÊÃ º\ @ /ô Ç { 9 ì

ø Í& h ³ ð & ³d s ò ø Í$ í B | 9 \ " f Õ ª 2 ; < ÊÃ º\ ¦ ½ ¨ H õ & ñ [25,26] õ Ä » ô Ç õ & ñ ` ¦ : x # ¸Ø ¦ ) a .

ç

H| 9 , 1 p x ~ ½ Ó$ í , Á ºô Ç & h ò ø Í$ í B | 9 \ @ /K , íß ¼à Ô ¸+ þ A

`

¦ 6 x ^ & h § 4 _ > r F \ " f B | 9 0 A ~u(~r, t) H

6 £ § õ ° ú É r q # Q(Navier) ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ ë ß 7 á ¤ ô Ç [23]:

λ + η p

∂

∂t

+

µ + η s

∂

∂t

∇~ ~ ∇ · ~ u

+

µ + η s

∂

∂t

∇ ² ~ u + ~ f (~ r, t) = ρ ∂ ² ~ u

∂t ² , (1)

#

l " f λü < µ H B j © Ã º, ρ H B | 9 _ x 9 ¸, η p ü < η s H y

y ^ & h (bulk) x 9 é ß & h $ í > Ã º(shear viscosity)s 9, f ~ H ^ & h § 4 Ü ¼ Ð é ß 0 A ^ & h { © j Ë µs . ß ¼l h(t), ¦& ñ ) a

~

e ~ ½ Ó ¾ ÓÜ ¼ Ð ý a³ ð " é ¶& h \

f (~ ~ r, t) = ~ e h(t)δ(~ r) (2) ü

< ° ú É r & h " é ¶(point source) s 6 x H â Ä º\ ¦ ¦ 9ô Ç .

ó ¡

2 £ §f . Ë ç ¼ ì r K Z O (Helmholtz decomposition) [26]\

^

& h § 4 ` ¦

f = ~ ~ ∇F + ~ ∇ × ~ F (3)

Ð ì r K , 6 £ § s % 3 # Q .

F = −h(t) ~ ∇ ·

~ e 4πr

, ~ F = h(t) ~ ∇ ×

~ e 4πr

. (4)

0 A 7 ' \ ¦ Û ¼º ú ü < 7 ' ( J $ [ > A ^p ü < ~ A ^s Ð

~ u = ~ ∇A ^p + ~ ∇ × ~ A ^s (5) ü

< ° ú s ³ ð & ³ ¦, ¿ º Û ¼º ú < ÊÃ º ψ ^p ü < ψ ^s \ ¦ ¸{ 9 # A ^p = ~ ∇ · (ψ ^p ~ e), ~ A ^s = − ~ ∇ × (ψ ^s ~ e) (6)

Ð ¿ º , d (1) É r ψ ^p ü < ψ ^s \ @ /ô Ç ¿ º > h_ 1 l x ~ ½ Ó& ñ d Ü ¼

Ð ì r o ) a :

c ² _m + a _m ∂

∂t

∇ ² ψ ^m − ∂ ² ψ ^m

∂t ² = h(t)

4πρr (m = p, s), (7)

#

l " f c ^p = p(λ + 2µ)/ρü < c ^s = pµ/ρ H y y 7 á x x 9 S 5 Å q ¸s ¦, a p = (η p + 2η s )/ρ, a s = η s /ρ s .

d

(7)_ K \ ¦ ½ ¨ l 0 AK A ü < ° ú s É Òo \ ¨ 8

`

¦ & ñ _ # Å Ò Ã º / B N ç ß Ü ¼ Ð ¨ 8 ô Ç .

Q(r, ω) = Z ∞

−∞

q(r, t)e ^−jωt dt, (8)

q(r, t) = 1 2π

Z ∞

−∞

Q(r, ω)e ^jωt dω. (9)

d

(7)` ¦ r ç ß É Òo \ ¨ 8

(c ² _m + ja _m ω)∇ ² Ψ ^m (~ r, ω) + ω ² Ψ ^m (~ r, ω) = H(ω) 4πρr (10)

% 3 # Qt ¦, # l " f Ψ ^m (~ r, ω) ü < H(ω) H y y ψ ^m (~ r, t) ü <

h(t) _ r ç ß É Òo \ ¨ 8 s . í ß ∇ ² ` ¦ ½ ¨ ý a³ ð>

\

" f ³ ð & ³ ¦ Ψ ^m = −X ^m /(4πρr) (m = p, s) Ð u ¨ 8

, d (10) É r r > 0 \ @ /K 6 £ § õ ° ú s ) a .

c ² _m + ja m ω ∂

2 X ^m (~ r, ω)

∂r ² + ω ² X ^m (~ r, ω) = −H(ω).

(11) d

(11)_ { © ô Ç K H " é ¶& h Ü ¼ ÐÂ Ò' Y O # Qt H ~ ½ Ó ¾ ÓÜ ¼ Ð

" f ß ¼l y è÷ & H 1 l x + þ AI s # Q Ù ¼ Ð,

6 £ § õ ° ú s Å Ò# Q :

X ^m (~ r, ω) = H(ω)

ω ² e ^−jκ

^m

^(ω)r − H(ω)

ω ² , (12)

#

l " f κ ^m (ω) = ω/(c ² _m + ja m ω) ^1/2 s 9 κ(ω) = β(ω) − jα(ω)+ þ AI Ð z ´Ã ºÂ Òü < ) Ã ºÂ Ò Ð ¾ º# Q . " f d (10) _ K H

Ψ ^m (~ r, ω) = − 1 4πρ

1 r

H(ω)

ω ² e ^−jκ

^m

^(ω)r − H(ω) ω ²

(13) s

. d (5)ü < (6)\ _ K , k-~ ½ Ó ¾ ÓÜ ¼ Ð 6 x H & h " é ¶ \ _

ô Ç i-~ ½ Ó ¾ Ó_ 0 A u ik (~ r, t) _ r ç ß É Òo \ ¨ 8 ) a 0 A

$ í

ì r U ik (~ r, ω) H U _ik (~ r, ω) = ∂

∂x i

∂

∂x k

[Ψ ^p (~ r, ω) − Ψ ^s (~ r, ω)]

+∇ ² Ψ ^s (~ r, ω)δ ik (14)

Ð ³ ð & ³÷ & 9, # l " f δ ^ik H ß ¼ ÐW 1& 4 S q (Kronecker delta) s . d (13)` ¦ d (14)\ @ /{ 9 # > í ß ` ¦ Ã º'

0 A H 6 £ § õ ° ú :

U ik (~ r, ω) = U _ik ^p (~ r, ω) + U _ik ^s (~ r, ω) + U _ik ^ps (~ r, ω), (15)

#

l " f

U _ik ^p (~ r, ω) = H(ω) 4πρω ²

x _i x _k

r ³ κ ² _p e ^−jκ

^p

^r , (16)

(4)

U _ik ^s (~ r, ω) = H(ω) 4πρω ²

δ _ik

r − x _i x _k r ³

κ ² _s e ^−jκ

^s

^r , (17)

U _ik ^ps (~ r, ω) = H(ω) 4πρω ²

j(r ² δ ik − 3x i x k ) r ⁴

×(κ p e ^−jκ

^p

^r − κ s e ^−jκ

^s

^r ) + (r ² δ _ik − 3x i x _k )

r ⁵ (e ^−jκ

^p

^r − e ^−jκ

^s

^r )

(18) s

.

r

ç ß & h Ü ¼ Ð 4 S q < ÊÃ º & h " é ¶ s 6 x ô Ç , h(t) = δ(t), H(ω) = 1 s ¦, d (15)∼(18) É r & h ò ø Í$ í B | 9 \ @ /ô Ç Å

Ò Ã º % ò % i \ " f_ Õ ª 2 ; < ÊÃ º G ik (~ r, ω) ) a . 7 £ ¤, G ik (~ r, ω) = G ^p _ik (~ r, ω) + G ^s _ik (~ r, ω) + G ^ps _ik (~ r, ω), (19)

#

l " f G ^p ik , G ^s _ik , G ^ps _ik H y y d (16)∼(18)\ H(ω) = 1 Ð ¿ º % 3 # Q . G ^p ik H Õ ª 2 ; < ÊÃ º_ í H Ã º 7 á x $ í ì r, G ^s _ik H í H Ã º S $ í ì r, G ^ps _ik H 7 á x ü < S s _ ½ + Ë

½ Ó(coupling term)s . r ç ß % ò % i Õ ª 2 ; < ÊÃ º g ik (~ r, t) H d (19) _ % i É Òo \ ¨ 8 Ü ¼ Ð % 3 # Qt 9 6 £ § Ü ¼ Ð ³ ð & ³ ) a .

g _ik (~ r, t) = g ^p _ik (~ r, t) + g _ik ^s (~ r, t) + g _ik ^ps (~ r, t), (20)

#

l " f g ^p ik , g ^s _ik , g ^ps _ik H y y G ^p ik , G ^s _ik , G ^ps _ik _ d (9) Ð & ñ _

) a % i É Òo \ ¨ 8 Ü ¼ Ð 6 £ § õ ° ú :

g ^p _ik (~ r, t) = 1 8π ² ρ

x _i x _k r ³

Z κ ² _p

ω ² e ^−j(κ

^p

^r−ωt) dω, (21) g ^s _ik (~ r, t) = 1

8π ² ρ

δ _ik r − x i x k

r ³

Z κ ² _s

ω ² e ^−j(κ

^s

^r−ωt) dω, (22) g ^ps _ik (~ r, t) = 1

8π ² ρ

j(r ² δ ik − 3x i x k ) r ⁴

× Z 1

ω ² (κ p e ^−jκ

^p

^r − κ s e ^−jκ

^s

^r )e ^jωt dω + (r ² δ ik − 3x i x k )

r ⁵

Z 1

ω ² (e ^−jκ

^p

^r − e ^−jκ

^s

^r )e ^jωt dω

. (23) ò

ø Í$ í B | 9 â Ä º\ κ m = ω/c _m ÷ & 9, d (21)∼(23)_ s

: r& h & h ì r` ¦ : x K ò ø Í$ í B | 9 \ @ /ô Ç Õ ª 2 ; < ÊÃ º % 3 # Q

:

g _ik ^p (~ r, t) = 1 4πρc ² _p

x i x k

r ³ δ

t − r

c p

, (24)

g _ik ^s (~ r, t) = 1 4πρc ² _s

δ _ik

r − x _i x _k r ³

δ

t − r

c s

, (25)

g _ik ^ps (~ r, t) = 1 4πρ

3x _i x _k r ⁵ − δ _ik

r ³

Z

^r

cs

r cp

τ δ(t − τ )dτ. (26)

Fig. 1. Spatial coordinates and distribution of body force: (a) point source and (b) spheroidal source.

k- ~ ½ Ó ¾ ÓÜ ¼ Ð 6 x H e _ _ ^ & h § 4 ì r í f ^k (~ r, t) \ _ K

B | 9 \ µ 1 ÏÒ q t÷ & H 0 A_ i-$ í ì r u i (~ r, t) H Õ ª 2 ; < ÊÃ º_ r

/ B N ç ß % ò % i B HZ O À Ò (spatiotemporal convolution) u i (~ r, t) =

Z dτ

Z Z Z

V

f k (~ ξ, τ )g ik (~ r − ~ ξ, t − τ )d~ ξ (27)

\

_ K % 3 # Q| 9 Ã º e . # l " f f ^k _ é ß 0 A N/m ³ , g ik H m/(N · s){ 9 M :, u i _ é ß 0 A H m ) a .

III. = kX ì ÄI í Ä; c 8 ý X ¢ ì Å ü8 ý ¤V 4 m

6 £

§ ¾ Ó 4 ¤ § 4 \ _ ô Ç & h ò ø Í$ í B | 9 \ " f_ 0 A µ 1 ÏÒ q t: £ ¤

$ í

` ¦ ¸ l 0 A # , Fig. 1õ ° ú s y~ ½ Ó ¾ ÓÜ ¼ Ð 6 x

H & h " é ¶(point source) õ " é ¶ ^ (spheroid) + þ AI _ ^ & h § 4 ì

r í\ ¦ ¦ 9 % i . r ç ß & h Ü ¼ Ð 4 S q < ÊÃ º & h " é ¶ \ _ ô

Ç Õ ª 2 ; < ÊÃ º H d (21)∼(23)` ¦ Ã ºu > í ß # % 3 # Qt ¦, 3 " é ¶ ^ & h § 4 ì r í\ _ K µ 1 ÏÒ q t ) a 0 A H d (27)_ r /

B

N ç ß % ò % i B HZ O À Ò Ü ¼ Ð > í ß ÷ &% 3 . Ã ºu > í ß \ " f / B N :

x& h Ü ¼ Ð 7 á x 5 Å q ¸ c p = 1,500 m/s, ^ & h & h $ í > Ã º η p

= 0.01 Pa·s, B | 9 x 9 ¸ ρ = 1,000 kg/m ³ ` ¦ 6 x % i ¦, S 5 Å q ¸ c s = 1 ∼ 1.5 m/s, é ß & h $ í > Ã º η s = 0 ∼ 2.0 Pa·s # 3 0 A_ ° ú כ` ¦ ¦ 9 % i . ¸f _ 7 á x 5 Å q ¸ H 1,440 ∼ 1,626 m/s [27], ç ß s Ä »~ ½ Ó ¸f \ @ /K ò ø Í$ í

>

Ã º ÐÂ Ò' í ß & ñ ) a S 5 Å q ¸ H @ /| Ä Ì 0.8 ∼ 4 m/s, 8 £ ¤& ñ

)

a é ß & h $ í > Ã º H 0.55 ∼ 2.8 Pa·s # 3 0 As [20,21].

1. X ì È mV R Ë 8 0ù m Ç; c" e § Û Ã Å] K ¤ ¤8 ý ¤V R Ë

Figure 2 H # Q é ß & h $ í > Ã º\ ¦ ° ú H B | 9 \ " f & h " é ¶

\

_ K µ 1 ÏÒ q t ) a y ~ ½ Ó ¾ Ó 0 A_ x» ¡ ¤ © ì r í\ ¦ · p .

(5)

r

ç ß É r 0.8 ms s ¦, > í ß \ 6 x ) a S 5 Å q ¸ H c s = 1 m/s s . x» ¡ ¤ © \ " f í H Ã º 7 á x _ 0 A H % ò s ÷ & 9, í H Ã

º S _ 0 A H ª _ ° ú כs ¦ ½ + Ë ½ Ó_ 0 A H 6 £ § Ü ¼ Ð

"

f Ð ì ø Í@ / ~ ½ Ó ¾ Ós . " f ò ø Í$ í B | 9 â Ä º, S H " é ¶

&

h Ü ¼ ÐÂ Ò' 0.8 mm t & h \ ¸² ú ÷ &# Q e ¦, s Ê ê ½ + Ë ½ Ó _

0 A l r H Â Òì r \ Y J l + þ A$ í H d

`

¦ ^ ¦ Ã º e . ½ + Ë ½ Ó_ 0 A H 1/r ² \ q Y V Ù ¼ Ð o

7 £ x < Ê\ Ø Ô> y è ) a . & h $ í > Ã º 7 £ x

S 4 x Ä ºo (peak) H ß ¼l y è÷ & ¦, Ð V , > (

. Õ ªo ¦ " é ¶& h H ~ ½ Ó_ 0 A © @ /& h Ü ¼ Ð ß ¼> 7 £ x

9, S 4 x Ä ºo _ 0 Au " é ¶& h A á ¤ Ü ¼ Ð s 1 l x ) a .

&

h

$ í > Ã º, 7 £ ¤ a s = η _s /ρ \ É r S 4 x Ä ºo 0 Au x _peak _ s 1 l x \ @ /ô Ç © [ jô Ç â ¾ Ó É r Fig. 3 \ " f Ð# Å Ò

¦ e . Â Ò ñ\ O H z ´ É r í H Ã º S ë ß _ 0 A\ " f % 3 # Q

כ s ¦, Â Ò ñe H z ´ É r 7 á x , S x 9 ½ + Ë ½ Ó ¸¿ º

\

_ ô Ç ^ 0 A\ " f í ß & ñ ) a כ s . Fig. 3\ " f H q

§\ ¦ 0 AK , Bercoff 1 p x [17] s % 3 É r H Õ ª 2 ; < ÊÃ º ÐÂ Ò'

%

3 # Q x peak _ o Õ ªA á Ô & h Ü ¼ Ð Õ ª 94 R e . Õ ª [

þ

t É r Å Ò É r & h $ í a _s ω c ² _m (m = p, s) _ & ñ \

"

f & h ò ø Í$ í B | 9 _ H & h Õ ª 2 ; < ÊÃ º\ @ /ô Ç K $ 3 & h ³ ð & ³ d

` ¦ % 3 % 3 Ü ¼ 9, í H Ã º S $ í ì r \ @ /ô Ç ³ ð & ³d É r 6 £ § õ

° ú :

g _ik ^s (~ r, t) = 1 4πρc s

√ 1 2πa s t

δ _ik r − x _i x _k

r ³

×e

^{−(t−r/cs)}

2 c2s

2ast

. (28)

í

H Ã º 7 á x ü < ½ + Ë ½ Ó\ @ /K " f ¸ s ü < Ä » ô Ç ~ ½ Ód Ü ¼ Ð

³

ð & ³| ¨ c Ã º e . x» ¡ ¤ © \ " f í H Ã º S ë ß _ H & h 4 x Ä º o

0 Au H d (28)` ¦ x \ @ /K p ì r # % 3 ` ¦ Ã º e Ü ¼ 9

xpeak,approx = c _s t + pc ² _s t ² − 4a s t

2 (29)

Ð Å Ò# Q . s d _ Õ ªA á Ô H Fig. 3 \ " f Â Ò ñ\ O H & h

Ü ¼ Ð ³ ðr ÷ &# Q e . & h $ í > Ã º x 9 4 x Ä ºo 0 Au \ ¦ Õ ªa Ë >

\

" fü < ° ú s d ¦ ´ ú » ¡ § , " f Ð É r r ç ß x 9 S 5 Å q ¸

\

" f % 3 # Q Õ ªA á Ô H _ Ð { 9 u ÷ & H כ ` ¦ ^ ¦ Ã º e

. Å Ò# Q r ç ß \ " f & h $ í > Ã º, 7 £ ¤ a s % ò \ ] X H

¢ -

a ô Ç K ü < H K ¸¿ º_ 4 x Ä ºo 0 Au H S ¸² ú 0 A u

xpeak = c ^s t \ ] X H ô Ç . & h $ í > Ã º 7 £ x H

K Ð H ¢ - a K _ S 4 x Ä ºo 0 Au 8 Ø Ô> " é ¶

&

h

A á ¤ Ü ¼ Ð s 1 l x # " f Ðç ß _ s 7 £ x @ / ) a .

&

h

$ í s 7 £ x S 4 x Ä ºo 0 Au " é ¶& h A á ¤ Ü ¼ Ð s 1

l

x ÷ &# Q " é ¶& h H ~ ½ Ó\ " f 7 £ x ÷ & H 0 Aü < × æ^ o ?÷ &

#

Q 4 x Ä ºo t H t & h s > r F > ) a (Fig. 2 Ã Ð

¸). s t & h É r Fig. 3 _ ¢ - a K / B G \ " f ¸ É rA á ¤ = å Q S& h

Fig. 2. Distribution of displacement on the x axis due to a point source at t = 0.8 ms.

Fig. 3. Shift of the location of shear wave peak for various viscosity values.

\

@ /6 £ x ÷ & 9, ý a³ ð H xpeak ^,S /(c s t S ) = 0.344, a s /(c ² _s t S )

= 0.264 s . # l " f xpeak ,S H S 4 x Ä ºo t

H t & h , ¢ ¸ H ì r o ÷ &l r H t & h s . t S H & h " é ¶ s

6 x ) a Ê ê\ S 4 x Ä ºo " é ¶& h H ~ ½ Ó_ 0 A ÐÂ Ò' xpeak ^,S \ " f ì r o ÷ &l r H r ç ß s 9, S _

' a ¹ 1 Ï÷ &l r H r ç ß s . xpeak ,S ü < t S H 6 £ § õ

° ú

s B | 9 _ Ó ü t$ í õ ' aº ) a :

xpeak ^,S = 1.303 η s

ρc s

, t S = 3.788 η s

ρc ² _s . (30) S 4 x Ä ºo _ ì r o 0 Au ü < r ç ß É r & h $ í \ q Y V # 7 £ x

¦, y y 5 Å q ¸ü < 5 Å q ¸ ] jY L \ ì ø Íq Y V # y è ) a .

Fig. 2 \ " fü < ° ú s r ç ß s t = 0.8 ms â Ä º, S ì r o

{ 9 # Q H & h $ í > Ã º H d (30)_ 2 P : d \ " f η s = 0.211 Pa·s Ð ô Ç . " f Fig. 2\ " f & h $ í > Ã

º 0.2 Pa·s Õ ªA á Ô\ " f H @ /| Ä Ì x = 0.36 mm\ " f S 4

x Ä ºo ' a ¹ 1 Ï÷ & , & h $ í > Ã º 0.5 Pa·s Õ ªA á Ô\ " f H ì

r o ) a 4 x Ä ºo t · ú § H . Bercoff 1 p x [17] _ H

(6)

Õ ª 2 ; < ÊÃ º\ " f í H Ã º S ë ß _ 4 x Ä ºo ì r o 0 Au x 9 r ç

ß É r d (29)\ " f H ñ î ß s % ò s ÷ & H ¸| \ " f % 3 # Q| 9 Ã

º e Ü ¼ 9, xpeak ,S = 2η _s /(ρc _s ), t _S = 4η _s /(ρc ² _s ) s ¦ Fig.

3 \ " f Q Ð ³ ðr ) a t & h \ K { © ) a . Õ ªo ¦ d (29)_ H

ñ î ß s 6 £ § Ã º ÷ & xpeak,approx H 4 ¤ èÃ º ÷ &# Q S

4 x Ä ºo ' a ¹ 1 Ï÷ &t · ú §6 £ §` ¦ · p .

S ì r o r ç ß s 0 p y H כ É r j Ë µs 6 x ô Ç s Ê ê\ S

_ Ø ¦ µ 1 Ï r ç ß s 0 p y6 £ §` ¦ _ p Ù ¼ Ð, Å Ò# Q 0 Au \ S

_ ¸² ú r ç ß É r & h $ í s 7 £ x 0 p y # Q . s \ ¦ Ðs l

0 AK , Fig. 3_ Â Ò ñe H z ´ Ü ¼ Ð ³ ðr ) a ¢ - a K / B G

` ¦ q + þ A H 6 £ § õ ° ú :

xpeak

(c s t) = (1 − 0.142 e −41(0.264−a

s

/c

²_s

t) ) − 1.875 a s

(c ² _s t) (0 ≤ a s /c ² _s t ≤ 0.264). (31) q

+ þ A H ) a / B G É r Fig. 3 \ " f " é ¶+ þ A Â Ò ñ Ð ³ ðr ÷ &# Q e

. @ /| Ä Ì a ^s /(c ² _s t) < 0.2 ½ ¨ç ß \ " f H 0 A d _ t Ã º\ ¦

í < Ê H 2 P : ½ Ó É r 0.01 Ð 4 R" f Á ºr ½ + É Ã º e Ü ¼ 9, + þ A _ > r$ í s t C & h s ) a . + þ A _ > r$ í ë ß ` ¦ ¦

9 , Å Ò# Q 0 Au xpeak\ S 4 x Ä ºo ¸² ú H r

ç ß É r t ∼ xpeak/c ^s + 1.875 η _s /(ρc ² _s ) ÷ &# Q & h $ í > Ã º 7

£

x \ S ¸² ú r ç ß É r 0 p y # Q . Å Ò# Q 0 Au

"

é

¶& h Ü ¼ ÐÂ Ò' Å Ò Y O & h $ í > Ã º É r â Ä º\ S

¸² ú r ç ß É r xpeak/c ^s \ 0 >t ¦, s H ò ø Í$ í B | 9

\

" f_ S ¸² ú r ç ß s .

Figure 4 \ " f H η s = 0.2 Pa·s â Ä º\ # Q r ç ß \

"

f & h " é ¶ \ _ ô Ç 0 A_ x» ¡ ¤ © ì r í\ ¦ Ð . S 5 Å q ¸ c s = 1 m/s Õ ª 2 ; < ÊÃ º > í ß \ 6 x ÷ &% 3 . í H ç ß & h j Ë µ s

6 x " é ¶& h H ~ ½ Ó_ 0 A 7 £ x % i , r ç ß _ 7

£

x \ S µ 1 ÏÒ q t÷ &# Q ÷ & " f & h × æ © F G

@

/_ ; ¤ s y è ) a . s M : S 4 x Ä ºo ì r o ÷ &# Q ' a8 £ ¤

÷

&l r H r ç ß õ 0 Au H d (30)\ " f % 3 # Q| 9 Ã º e Ü

¼ 9, t S = 0.758 ms, xpeak ,S = 0.261 mm s . " f Fig. 4 _ 0.7 ms 0 A ì r í\ " f H S 4 x Ä ºo ì r o ÷ &

#

Q e t · ú §Ü ¼ , 0.8 ms 0 A ì r í\ " f H x = 0.36 mm

H ~ ½ Ó\ " f H S 4 x Ä ºo è ß . µ 1 ÏÒ q t ) a S

H " f & h $ í \ _ ô Ç y û Zü < 3 " é ¶ / B N ç ß \ " f_ (

f ´ òõ Ð K ß ¼l Ø Ô> y è ) a .

Figure 5(a) \ " f H # Q η s \ @ /K í H ç ß & h & h " é ¶ \ _ K

µ 1 ÏÒ q t ) a 0 A_ r ç ß % ò % i o\ ¦ Ðs ¦ e . 0 A H x» ¡ ¤ © x = 0.1 mm 0 Au \ " f > í ß ) a כ s . & h $ í > Ã º

7 £ x S 4 x Ä ºo H ( t ¦, þ j@ /° ú כ É r y è ) a .

Õ

ªo ¦ 0 A þ j@ /\ ¸² ú H r ç ß É r 7 £ x ) a . Fig.

5(b) H Bercoff 1 p x [17] _ H Õ ª 2 ; < ÊÃ º\ _ ô Ç r ç ß + þ A õ

q § # Ð כ s . H Õ ª 2 ; < ÊÃ º H & h $ í s 7 £ x

Fig. 4. Distribution of displacement due to a point source on the x axis as the time advances from 0.5 ms to 2.0 ms.

Fig. 5. (a) Variation of displacement due to a point source with time and (b) comparison with the result of Bercoff et al. [17].

0 A_ © 5 p x r ç ß s À 1 Ï 4 R þ j@ / 0 A\ ¸² ú H r

ç ß s y è÷ & 9, ¢ - a K ü < H ì ø Í@ / â ¾ Ó` ¦ Ð . Å Ò# Q

0 Au \ " f r ç ß + þ As þ j@ /\ ¸² ú H r ç ß tmax_

© [ jô Ç â ¾ Ó É r Fig. 6 \ ? /% 3 . Ã º¨ î » ¡ ¤ õ Ã ºf » ¡ ¤ É r y

y d ¦ ´ ú » ¡ § ) a & h $ í > Ã º x 9 0 A þ j@ /r ç ß s 9, d ¦ ´ ú ð r ý

a³ ð» ¡ ¤` ¦ 6 x " f Ð É r 0 Au x 9 S 5 Å q ¸\ " f % 3

#

Q Õ ªA á Ô H _ Ð { 9 u ) a . Õ ªa Ë >\ " f H K

H & h Ü ¼ Ð, ¢ - a K H z ´ Ü ¼ Ð ³ ðr % i ¦, Â Ò ñ\ O H

[ þ t É r í H Ã º S _ 0 A\ " f % 3 # Q 0 A þ j@ /r ç ß s

(7)

Fig. 6. Variation of the time to peak displacement due to a point source for different values of viscosity, shear velocity and position of the x axis.

. í H Ã º S _ tmax Ð ^ 0 A_ Õ ª כ s 8 H ° ú כ

`

¦ t 9, s H ½ + Ë ½ Ó É r x» ¡ ¤ © \ " f í H Ã º S ü < H 0

A ì ø Í@ / ~ ½ Ó ¾ Ó 6 £ § _ ° ú כ` ¦ f Ü ¼ Ð S 4 x Ä ºo _ © 5

p

x` ¦ ~ ½ ÓK # tmax\ ¦ 7 £ x r v H כ ` ¦ · ú Ã º e . d ¦

´ ú

ð r & h $ í > Ã º a s /(xc _s ) 7 £ x H Õ ª 2 ; < ÊÃ º_

^

0 A_ þ j@ /r ç ß (/ B G D) É r ì ø Í& h Ü ¼ Ð y è H ì ø Í

\ , ¢ - a K _ ^ 0 A_ þ j@ /r ç ß (/ B G C) É r 7 £ x ô Ç

. H K _ 0 A þ j@ /r ç ß É r a s /(xc s ) ∼ 0 H ~ ½ Ó(Õ ª a Ë

>\ " f A Ð ³ ðr ) a Â Òì r) \ " f H ¢ - a K ü < Ä » > 7 £ x

÷ & H â ¾ Ó` ¦ Ðs 9, " f Bercoff 1 p x [17] _ H Õ ª

2 ; < ÊÃ º H & h $ í > Ã º Å Ò " é ¶& h Ü ¼ ÐÂ Ò' o

â Ä º\ ë ß & h $ í ´ òõ \ ¦ H & h Ü ¼ Ð ì ø Í% ò ½ + É Ã º e 6 £ §

`

¦ · ú Ã º e .

Figure 6 \ " f_ ¢ - a K _ tmax(/ B G C)\ ¦ q + þ A H

6 £ § õ ° ú É r ' a > d s % 3 # Q| 9 Ã º e Ü ¼ 9, " é ¶+ þ A Â Ò

ñ Ð ³ ðr ÷ &# Q e :

tmax = x c s

(1.202−0.202 e ^−3.164a

^s

^/xc

^s

)+0.0256 a s

c ² _s . (32) d

¦ ´ ú ð r & h $ í > Ã º a ^s /(xc s )>0.9 % ò % i \ " f H d (32)_ t

Ã º\ ¦ í < Ê H 2 P : ½ Ós ' Í P : ½ Ó Ð 100C s ©

t 9, tmax ∼ 1.202x/c s + 0.0256η _s /(ρc ² _s ) Ü ¼ Ð + þ A H

) a . " f " é ¶& h H ~ ½ Ós & h $ í > Ã º Å Ò ß ¼ ,

0 A þ j@ /r ç ß É r & h $ í \ q Y V # 7 £ x ô Ç . s \ q K

H s : r \ " f H a s /(xc _s ) Å Ò & t tmax → 0 Ð ] X

H ô Ç . ô Ç¼ # a s /(xc s ) → 0 ¸| \ " f H tmax ∼ x/c ^s + 0.6647η _s /(ρc ² _s ) Ü ¼ Ð + þ A H ÷ & 9, " é ¶& h Ü ¼ ÐÂ Ò' o

0 Au s & h $ í > Ã º Å Ò t 0 A þ j@ / r

ç ß É r ò ø Í$ í B | 9 \ " f_ x/c s \ ] X H ô Ç .

2. 3D = kX ì ÄI í Ä; c 8 ý X ¢ X ì È mV R Ë 8 0ù m Ç; c" e8 ý ì Å ü

/ B

N ç ß & h Ü ¼ Ð ì r í ) a ^ & h § 4 \ _ ô Ç 0 A > í ß \ s : r` ¦

&

h

6 x K Ðl 0 AK r " é ¶ ^ + þ AI _ 3D ^ & h § 4 ì r í\ ¦

¦ 9 % i (Fig. 1(b)). s " é ¶ ^ + þ A ^ & h § 4 ì r í H é ß { 9

è | 9 5 Å q à Ô ½ Û ¼¿ »" f_ í& h H ~ ½ Ó\ " f c » ¡ ¤(y» ¡ ¤) ~ ½ Ó

¾

ÓÜ ¼ Ð Ð U ´> + þ A$ í ÷ & H r (cigar) + þ AI _ 6 £ § ¾ Ó 4 ¤

§ 4 ì r í\ ¦ ¸+ þ A oô Ç כ s [12,28]. r " é ¶ ^ H é ß

»

¡

¤ U ´s W ^xz , © » ¡ ¤ U ´s W ^y \ ¦ t 9, ~ ½ Ó& ñ d x ² + z ²

(W _xz /2) ² + y ²

(W _y /2) ² = 1 (33)

Ð & ñ _ ÷ & H ³ ð ? /Â Ò\ ^ & h § 4 s ì r íô Ç . ^ & h § 4 _

~

½ Ó ¾ Ó É r y» ¡ ¤ ~ ½ Ó ¾ Ós 9, ^ & h § 4 ß ¼l H Ä ºr î ß ì r í\ ¦

° ú

¸2 ¤ % i . r / B N ç ß % ò % i \ " f ^ & h § 4 É r

f y (x, y, z, t) = f 0 Φ(x, y, z)h(t) (34)

Ð ³ ð & ³÷ & 9, # l " f f ⁰ H " é ¶& h \ " f_ ß ¼l s ¦ h(t) H t

= 0 \ " f r ÷ & H ; ¤ τ 0 10 % È Òv ½ Óë H(Tukey win- dow) s & h 6 x ) a y + þ A ` O Û ¼ < ÊÃ ºs . Φ(x, y, z) H " é ¶

^

/ B N ç ß % ò % i ? /\ " f Ä ºr î ß ì r í + þ AI Ð ß ¼l -20 dB t y è÷ & H / B N ç ß ì r í < ÊÃ º Ð 6 £ § õ ° ú :

Φ(x, y, z) = e ^{−(ln 10)}

x2 +z2 (Wxz /2)2

+

^y2

(Wy /2)2

. (35)

^

& h § 4 _ 8 ú xj Ë µ f tot H f 0 Φ(x, y, z)\ ¦ " é ¶ ^ % ò % i © / B N ç ß

&

h

ì r # ½ ¨½ + É Ã º e Ü ¼ 9, f tot = 0.1588 f ₀ W _xz ² W _y s .

" f 8 ú xj Ë µ` ¦ 6 x # ^ & h § 4 ì r í H f y (x, y, z, t) = f _tot

0.1588 W _xz ² W y

Φ(x, y, z)h(t) (36)

Ð ³ ð & ³ ) a .

Figure 7 \ " f H & h $ í > Ã º " f Ð É r B | 9 \ " f " é ¶

^

? /% 3 . > í ß ) a r ç ß É r 0.8 ms s ¦, f 0 = 1 N/m ³ ` ¦

6 x % i . ^ & h § 4 _ ; ¤ É r W y = 8 mm, W xz = 0.4 mm s 9, τ ⁰ = 100 µs, c s = 1 m/s s . B | 9 _ & h $ í

>

Ã º 7 £ x & h " é ¶ â Ä º(Fig. 2)ü < Ä » > S 4

x Ä ºo H " é ¶& h A á ¤ Ü ¼ Ð s 1 l x ÷ & " f 8¹ ¡ ¤ 8 V , > ( .

ô

Ç¼ # , ò ø Í$ í B | 9 { 9 M :_ 0 A(Fig. 7_ & h )\ ¦ & h " é ¶ 0

A(Fig. 2_ & h )ü < q § , ^ & h § 4 ì r í H & h $ í ´ òõ ü

< Ä » > S 4 x Ä ºo \ ¦ ( t > " f " é ¶& h A á ¤ Ü ¼ Ð s

. Fig. 7\ " f Ã ºf z ´ É r ò ø Í$ í B | 9 \ " f " é ¶& h \ e

H & h " é ¶ Ü ¼ ÐÂ Ò' µ 1 ÏÒ q t ) a S ¸² ú ) a 0 Au \ ¦ ³ ðr

¦ e Ü ¼ 9, ^ & h § 4 ì r í\ _ K S 4 x Ä ºo H " é ¶& h A á ¤ Ü ¼

(8)

Fig. 7. Distribution of displacement due to a spheroidal source on the x axis at t = 0.8 ms.

Ð s 1 l xH d` ¦ ^ ¦ Ã º e . & h $ í \ _ ô Ç S 4 x Ä ºo o

\

H Å Ò# Q r ç ß \ " f S 4 x Ä ºo ì r o | ¨ c Ã º e H η s ° ú כ

`

¦ & h " é ¶ \ q K 8 > ë ß [ þ t ¦, Å Ò# Q η s \ " f_ S 4 x Ä

ºo _ ì r o r ç ß ` ¦ 8 0 p y # Qt > ô Ç . ô Ç \ V Ð, Å Ò# Q r

ç ß 0.8 ms\ " f & h " é ¶ â Ä º(Fig. 2) η s = 0.2 Pa·s{ 9 M : ì

r o ) a S 4 x Ä ºo ' a ¹ 1 Ï÷ & , 3D ^ & h § 4 â Ä º(Fig.

7) η s = 0.2 Pa·s \ " f H S 4 x Ä ºo ì r o ÷ &t · ú § ¦ 7 á §

8 É r & h $ í > Ã º 0.12 Pa·s{ 9 M :_ 0 A/ B G \ " f H ì r o

÷ &# Q e .

&

h

$ í É r 0 A ß ¼l \ ¦ y èr v Ù ¼ Ð(Fig. 5 Ã Ð ¸), 0

~

´ Ã º e [29]. s \ @ /ô Ç ô Ç t @ /î ß Ü ¼ Ð 6 £ § ¾ Ó 4 ¤

í& h % ò % i \ " f r ç ß < ÊÃ º Ð 0 A\ ¦ 8 £ ¤& ñ # 0 A þ j@ /r ç

ß tmax 1 p x` ¦ í ß & ñ ¦ ¸f _ & h ò ø Í$ í (S 5 Å q ¸ü < & h

$ í

> Ã º)` ¦ > í ß H ~ ½ ÓZ O ` ¦ Ö ¸6 x ½ + É Ã º e . t F K Â Ò'

H W xz < W _y " é ¶ ^ + þ A ^ & h § 4 Ü ¼ ÐÂ Ò' µ 1 ÏÒ q t÷ & H 0

A_ r ç ß + þ A\ ^ & h § 4 ; ¤, S 5 Å q ¸, ` O Û ¼; ¤, Õ ªo ¦

&

h

$ í > Ã º p u H % ò ¾ Ó` ¦ ¸ # tmax\ @ /ô Ç ½ ¨^

&

h H d ` ¦ ¸Ø ¦ ô Ç . $ ^ & h § 4 ì r í # 3 0 A 0

A\ p u H ´ òõ \ ¦ l 0 AK , ò ø Í$ í B | 9 \ " f é ß » ¡ ¤ U

´s " f Ð É r ^ & h § 4 \ _ ô Ç " é ¶& h \ " f_ 0 A o

\

¦, c ^s = 1 m/s, τ 0 = 100 µs s . Fig. 8(a) H " é ¶& h \

"

f_ ^ & h § 4 ß ¼l \ ¦ f 0 = 1 N/m ³ Ü ¼ Ð ¦& ñ ô Ç â Ä ºs 9(d (34) Ã Ð ¸), Fig. 8(b) H 8 ú xj Ë µ` ¦ f tot = 10 ⁻⁸ N Ü ¼

Ð ¦& ñ ¦ > í ß ô Ç כ s (d (36) Ã Ð ¸). 0 A H r ç ß

\

7 £ x þ j@ /\ ¸² ú ) a Ê ê y èô Ç . é ß » ¡ ¤ U ´s

7 £ x ¦& ñ f ₀ â Ä º\ H 0 A þ j@ /° ú כ u y, max H 7

£

x ) a . ¦& ñ f _tot â Ä º, 0 A H d (36)\ _ K ¦

&

ñ f ₀ _ 0 A\ 6.297 × 10 ⁻⁸ /(W _xz ² W y ) s Y L K t Ù ¼ Ð,

Fig. 8. Variation of displacement at the origin in an elastic medium due to spheroidal sources whose minor axis lengths are distinct. (a) f ₀ = 1 N/m ³ , (b) f _tot = 10 ⁻⁸ N.

é

ß » ¡ ¤ U ´s 7 £ x u y, max H y è ) a . ` O Û ¼; ¤ s S

^ & h § 4 _ é ß » ¡ ¤ ~ ½ Ó ¾ Ó` ¦ : x õ H r ç ß Ð ` ¦ M :, 7

£ ¤ τ 0 < W _xz /(2c _s ){ 9 M :, u y, max H ¦& ñ f ₀ â Ä º\ W _xz \ + þ A& h Ü ¼ Ð q Y V # 7 £ x 9(Fig. 8(a)_ & h

Ã

Ð ¸), ¦& ñ f _tot â Ä º\ H H & h Ü ¼ Ð 1/W xz \ q Y V

# y èô Ç (Fig. 8(b)_ & h Ã Ð ¸). ô Ç¼ # , r ç ß \

É

r 0 A_ o + þ AI (r ç ß % ò % i + þ A) H Φ(x, y, z)h(t) \ _

K " f & ñ ÷ &Ù ¼ Ð, ¿ º â Ä º ¸¿ º\ @ /K 0 A þ j@ /r ç ß tmax ^,e H 1 l x{ 9 ¦ é ß » ¡ ¤ U ´s 7 £ x ½ + É M : tmax ^,e H 7 £ x

ô Ç . s Ê êÂ Ò' ¸ H 0 A > í ß \ H f 0 = 1 N/m ³ ` ¦ 6

x ô Ç .

Figure 9 H ò ø Í$ í B | 9 \ " f W ^y , c s , Õ ªo ¦ τ ⁰ " f Ð

É r â Ä º\ W ^xz \ É r 0 A þ j@ /r ç ß tmax ^,e _ o

\

´s W y & t f _ l Ö ¦ l H 7 £ x ¦ f _ Ã º f

» ¡ ¤ ] X ¼ # É r y è (/ B G B, C q §), 8 £ § { 9 & ñ ô Ç

° ú

כÜ ¼ Ð ] X H ô Ç (/ B G A, B q §). ^ & h § 4 ì r í ; ¤ õ 5 Å q

¸ H ° ú Ü ¼ ` O Û ¼; ¤ s τ 0 = 100 µs ü < 200 µs Ð " f Ð

É

r ¿ º / B G Aü < D_ f Â Òì r É r " f Ð ¨ î ' Ã ºf » ¡ ¤ ] X

¼ # É r ` O Û ¼; ¤ \ 7 £ x ô Ç . / B G A\ q K c s = 1.5

m/s Ð 5 Å q ¸ H / B G E_ f l Ö ¦ l ü < Ã ºf » ¡ ¤ ] X ¼ #

(9)

Fig. 9. Variation of the time to peak displacement at the origin as a function of the minor axis length of a spheroidal body force in an elastic medium.

É

r y è ) a . s Qô Ç f l Ö ¦ l ü < Ã ºf » ¡ ¤ ] X ¼ # _ o :

£ ¤$ í ` ¦ 7 á x ½ + Ë # , tmax ,e _ + þ A% ò % i É r 6 £ § õ ° ú s W y , c s \ @ /K q + þ A H | ¨ c Ã º e :

tmax ,e = B _e (c _s , W _y )W _xz + D _e (c _s , τ ₀ , W _y ),

(2c _s τ ₀ < W _xz , W _xz < W _y ), (37)

#

l " f

B _e (c _s , W _y ) = 1 c s

(b ₁ − b 2 e ^−b

³

^W

^y

), D _e (c _s , τ ₀ , W _y ) = d ₁ τ ₀ + d ₂

c s

e ^−d

³

^W

^y

(38) s

_ ì r í\ @ /K W ^y ≥4 mm, W xz ≥0.6 mm Â Òì r _ X

<s ' \ ¦ 6 x # q + þ A H ) a ° ú כ É r b 1 = 0.290, b ₂

= 0.125, b 3 = 3.58 × 10 ² m ⁻¹ , d 1 = 0.614, d 2 = 4.31

× 10 ⁻⁵ m, d 3 = 3.13 × 10 ² m ⁻¹ s . Fig. 9\ " f y

&

h

É r d (37)` ¦ 6 x # H ô Ç tmax ^,e Ð + þ A% ò % i ` ¦

¸ ú

³ ð & ³ ¦ e . 0 A þ j@ /r ç ß É r 2c s τ ₀ < W _xz { 9 M : W xz ü < τ ⁰ \ q Y V # 7 £ x 9, c ^s \ ì ø Íq Y Vô Ç . © » ¡ ¤ U

´s H ^ & h § 4 \ @ /K " f tmax ^,e H W y \ Á º ' a K t ¦ τ ₀ ü < W xz \ _ K & ñ ) a .

&

h ò ø Í$ í B | 9 \ " f W xz \ É r 0 A þ j@ /r ç ß tmax_

o H Fig. 10 \ " f Ðs ¦ e . ò ø Í$ í B | 9 â Ä º(Fig.

9) ü < Ä » > 2c s τ ₀ < W _xz % ò % i \ " f tmax H _ + þ

A _ > r$ í ` ¦ Ð . ¢ ¸ô Ç f _ l Ö ¦ l H W y \ 7

£

x 9(/ B G C, B, A q §), ` O Û ¼; ¤ _ 7 £ x H f _ Ã

ºf » ¡ ¤ ] X ¼ # ` ¦ 7 £ x r v ¦(/ B G A, E q §), c ^s _ 7 £ x H l

Ö ¦ l ü < ] X ¼ # ` ¦ y èr (/ B G A, F q §). 0 A þ j

@

/r ç ß \ & h $ í É r @ /^ & h Ü ¼ Ð l Ö ¦ l \ ¦ y èr v ¦(/ B G

Fig. 10. Variation of the time to peak displacement at the origin as a function of the minor axis length of a spheroidal body force in a viscoelastic medium.

D ü < G, Cü < H q §), Ã ºf » ¡ ¤ ] X ¼ # ` ¦ 7 £ x r ( Ü ¼ Ð+ (/ B G

G, D, A q §) % ò ¾ Ó` ¦ p 2 ; . " f ò ø Í$ í B | 9 _ l Ö

¦ l ü < ] X ¼ # \ & h $ í ´ òõ \ ¦ é ß í H y ' # , & h ò ø Í$ í B

| 9

_ + þ A% ò % i tmax\ @ /ô Ç 6 £ § õ ° ú É r H + þ AI \ ¦ 2 [ ô

Ç :

tmax = B t (η _s , c _s , W _y )W _xz + D _t (η _s , c _s , τ ₀ , W _y ), (2c _s τ ₀ < W _xz , W _xz < W _y ), (39)

#

l " f

B _t (η _s , c _s , W _y ) = B _e (c _s , W _y ) − B _v (η _s , c _s , W _y ), D _t (η _s , c _s , τ ₀ , W _y ) = D _e (c _s , τ ₀ , W _y ) + D _v (η _s , c _s , W _y )

(40) s

. 0 A d \ " f B t x 9 D _t H y y ò ø Í$ í B | 9 l Ö ¦ l B e ü <

] X

¼ # D e \ & h $ í ´ òõ B ^v ü < D ^v ì ø Í% ò ) a & h ò ø Í$ í B | 9 _ l

Ö ¦ l x 9 ] X ¼ # s . Fig. 10\ " f y & h É r A \ " f

&

ñ | ¨ c < ÊÃ º B v ü < D v , d (38) Ð Å Ò# Q B _e x 9 D _e , Õ ªo ¦ d

(39)\ ¦ 6 x # % 3 # Q H & h â ¾ Ó` ¦ Õ ª 2 ; כ Ü ¼ Ð, tmax_ + þ A % ò % i ` ¦ ¸ ú H ¦ e 6 £ §` ¦ ^ ¦ Ã º e .

< ÊÃ º B ^v x 9 D v _ + þ AI \ ¦ & ñ l 0 AK , & h ò ø Í$ í B | 9 _

f l Ö ¦ l ü < Ã ºf » ¡ ¤ ] X ¼ # Ü ¼ ÐÂ Ò' B v = B e − B t ,

(10)

Fig. 11. Behavior of functions B _v and D _v when the major axis length W _y is varied.

D v = D t − D e \ ¦ > í ß # Fig. 11\ ? /% 3 . H

&

h Ü ¼ Ð W y 4 mm Ð H % ò % i \ " f B v H W y _ 7 £ x \

_ t Ã º& h Ü ¼ Ð y è 9, W ^y & t B v ' 0 s

÷

&# Q & h ò ø Í$ í B | 9 \ " f_ l Ö ¦ l H ò ø Í$ í { 9 M :ü < _ ° ú

. Å Ò# Q W _y \ " f B v H & h $ í \ 7 £ x 9, s

H & h $ í s 7 £ x d (40)\ _ K tmax_ f l Ö ¦ l B t H y è H d` ¦ · p . S 5 Å q ¸ c ^s _ 7 £ x H B v \ ¦ y

èr (/ B G A, D q §). s Qô Ç B v _ o : £ ¤$ í ` ¦

ì ø Í& h Ü ¼ Ð ë ß 7 á ¤ r v H q + þ A H < ÊÃ º Ð 6 £ §` ¦ × þ ½ + É Ã

º e :

B _v (η _s , c _s , W _y ) = p ₁ c s

e ^−p

²

^/η

^s

e ^−p

³

^W

^y

. (41) Fig. 11(a) \ ] jr ) a W y ≥ 4 mm Â Òì r _ X <s ' \ ¦

6 x # H ) a ° ú כ É r p 1 = 0.116, p ₂ = 0.210 Pa·s, p ₃

= 0.909 × 10 ² m ⁻¹ s . Fig. 11(a)\ " f y & h É r d (41) Ð H ) a כ s .

Ã

ºf » ¡ ¤ ] X ¼ # \ @ /ô Ç & h $ í l # D v (Fig. 11(b)) H W y \

7 £ x 8 £ § { 9 & ñ K t H : £ ¤$ í ` ¦ Ð . " f D v H W y \ _ > r H ½ Óõ _ > r t · ú § H ½ ÓÜ ¼ Ð ì r o

| ¨

c Ã º e Ü ¼ 9, η ^s ü < c s _ > r$ í ` ¦ ¦ 9 # 6 £ § õ ° ú É r q

+ þ A H d ` ¦ 6 x ½ + É Ã º e :

D v (η s , c s , W y ) = K(η s , c s ) − M (η s , c s , W y ), (42)

#

l " f

M (η s , c s , W y ) = q 4

c s

r η s

c s

e ^−q

⁵

^c

^s

^W

^y

^/η

^s

(43) s

. M(η s , c s , W y ) _ + þ AI H Fig. 11(b) \ " f Ð / B G

[ þ t _ : £ ¤$ í ` ¦ H & h Ü ¼ Ð ë ß 7 á ¤ ¸2 ¤ & ñ ) a כ s 9, K(η s , c s ) H & h $ í > Ã ºü < 5 Å q ¸ë ß _ q + þ A < ÊÃ ºs 9 A

\

" f 7 H _ ) a . Fig. 11(b)_ / B G A ÐÂ Ò' & ñ ) a d (43) _ © Ã º H q 4 = 2.29 × 10 ⁻⁴ m ^3/2 /(Pa·s ² ) ^1/2 , q 5 = 2.61 × 10 ² Pa·s ² /m ² s . Fig. 11(b)\ " f_ y & h É r

A \ " f % 3 # Q| 9 K(η _s , c _s ) ü < d (42)\ ¦ 6 x # % 3 # Q

H & h â ¾ Ó` ¦ Õ ª 2 ; כ s .

s

] j d (42)\ " f < ÊÃ º K(η ^s , c s )\ ¦ & ñ H 7 H _ \ ¦

' ô Ç . K(η s , c _s ) H W y 9 þ t M : tmax\ @ /ô Ç & h $ í ë ß _

´ òõ \ ¦ ì r o K · p ³ ð & ³d Ü ¼ Ð Ò q ty ½ + É Ã º e . Fig.

12(a) \ " f H # Q & h $ í > Ã º\ @ /K " é ¶ ^ + þ A ^ & h § 4 \ _

ô Ç " é ¶& h \ " f_ 0 A r ç ß + þ A` ¦ ? /% 3 . 0 A > í

ß \ H W y = 20 mm, W _xz = 0.6 mm, c _s = 1.0 m/s, τ ₀

= 100 µs 6 x ÷ &% 3 . Fig. 12(b) H : £ ¤$ í o_

s 6 x s > þ j@ /° ú כ 1s ÷ & ¸2 ¤ d ¦ ´ ú » ¡ § ô Ç כ s . & h

"

é

¶ â Ä º(Fig. 5)ü < Ä » > & h $ í s 7 £ x S 4 x Ä

ºo H ß ¼l y è÷ & " f V , > ( t ¦, tmax H 7 £ x ô Ç

. Fig. 12(b)\ " f ' a ¹ 1 Ï÷ & H ¢ ¸ É r : £ ¤$ í É r, íl r ç ß

\

H 0 A_ 7 £ x & ñ ¸ _ q 5 p w # , \ V\ ¦ [ þ t # Q þ j

@

º ' a > { 9 & ñ H כ s . Fig. 12(b)\ " f t ^R É r @ /| Ä Ì 0.13 ms s 9, ò ø Í$ í B | 9 \ " f_ tmax = 0.237 ms_ 55%

&

ñ ¸s . t R s Ê ê tmax t _ r ç ß ç ß tmax − t R É r

&

h

A # , 8 £ ¤& ñ ) a tmax ÐÂ Ò' % 3 # Q t R \ " f ¸f _ ò ø Í$ í

>

Ã º( S 5 Å q ¸) & ñ Ð, tmax − t R \ " f & h $ í > Ã º & ñ Ð

Æ ÒØ ¦| ¨ c Ã º e . r ç ß tmax s Ê ê, & h ò ø Í$ í B | 9 _ s

¢ -

a(relaxation) : £ ¤$ í Ü ¼ Ð 0 A H & h $ í s 9 þ t Ã º2 ¤ Ö ¼o > y

è 9, s ¢ ¸ô Ç B | 9 _ & h $ í > Ã º í ß & ñ \ Ö ¸6 x| ¨ c Ã º e

[12].

Figure 13 \ " f H W y , W xz , c s , τ 0 " f Ð É r â Ä º\

@

/K & h $ í > Ã º\ É r tmax_ o\ ¦ Ðs ¦ e .

^

& h Ü ¼ Ð tmax H η s \ 7 £ x ô Ç . K(η s , c _s ) _ < ÊÃ º + þ

AI \ ¦ & ñ l 0 AK " f H s \ @ /ô Ç / B G ` ¦ $ ½ ¨

#

ô Ç . K(η ^s , c s ) / B G É r Fig. 13 _ / B G [ þ t ÐÂ Ò' 6

£

§ _ ' a > \ ¦ 6 x # % 3 # Q| 9 Ã º e :

K(η s , c s ) = tmax − B ^t W xz − (D e − M ). (44)

>

í ß ) a K(η _s , c _s ) / B G É r Fig. 14 \ " f Ð# Å Ò ¦ e .

1 l x{ 9 c _s \ ¦ ° ú H Fig. 13 _ tmax / B G [ þ t ÐÂ Ò' % 3 # Q

12 Z 4, pp. 1268∼1281

12 Z 4, pp. 1268∼1281

X ì

ÈV R Ë  ºÇ k Ä; c" e  Ö ¨]  §   × I í Ä; c 8 ýA 0 ®  ot  c Ü R ì Å ü  ¤V R Ë



 + ä ¹ ÿ 

@

/  @ / < Æ § Ó ü t o  < Æõ ,  í  ; 487-711

-

! H) ç < 

@

/  @ / < Æ § :  x  / B N  < Æõ ,  í  ; 487-711

+ ä

 ô 6 ;£ Ó

@

/  @ / < Æ §    / B N  < Æõ ,  í  ; 487-711

(2010¸  9 Z 4 15{ 9  ~ Ã Î6 £ §, 2010¸  11 Z 4 1{ 9  Ã º& ñ  : r ~ Ã Î6 £ §, 2010¸  12 Z 4 10{ 9  > F  S X & ñ )

6

£

_  & h ò ø Í$ í Õ ª 2 ; < ÊÃ º\  ¦ Ä » ¸ % i  . s  : r& h ³ ð & ³d   É r Ã ºu > í ß ÷ & ¦, / B N ç ß  x 9 r ç ß  % ò % i \ " f & h ò ø Í$ í Õ

ª 2 ; < ÊÃ º_  : £ ¤$ í s  ì  r$ 3 ÷ &% 3  . & h ò ø Í$ í  ¸f  \ " f_  3D   0 A > í ß  É r " é ¶ ^  + þ AI _  ^ & h § 4 ì  r  í\  @ / K

 Ã º'   % i  . : £ ¤ y , r ç ß % ò % i + þ A`  ¦ | 9 ×  æ& h Ü ¼ Ð ì  r$ 3 #    0 A þ j@ /r ç ß \  @ /ô  Ç   H  d  `  ¦  ¸Ø  ¦ 

%

i  . Ä »ô  Çכ ¹ èZ O \  _ ô  Ç   0 A > í ß    õ ü <_  q  §\  ¦ :  x K  s  : r& h Õ ª 2 ; < ÊÃ º_  { © $ í `  ¦ S X    % i  .



í6 £ §  c  _  » ¡ ¤ ~ ½ Ó ¾ Ó   © » ¡ ¤ _  U ´s  é ß » ¡ ¤ \  q K  B Ä º  H " é ¶ ^ + þ A ^ & h § 4 \  @ /K    0 A þ j@ /r ç ß 

 É

r é ß » ¡ ¤ U ´s \       + þ A& h Ü ¼ Ð 7 £ x   ¦, & h $ í ¢ ¸ô  Ç   0 A þ j@ /r ç ß `  ¦ 7 £ x r (   .

Ù þ

d  # Q: Õ ª 2 ; < ÊÃ º, 6 £ §  ¾ Ó 4  ¤  § 4 , ò ø Í$ í % ò  © ,    ¸f 

Displacement Characteristics Generated in Viscous Tissue by an Acoustic Radiation Force

Jeong Man Park

Department of Physics, Daejin University, Pocheon 487-711

Sung Jae Kwon

Department of Communication Engineering, Daejin University, Pocheon 487-711

Mok Kun Jeong ∗

Department of Electronic Engineering, Daejin University, Pocheon 487-711 (Received 15 September, 2010 : revised 1 November, 2010 : accepted 10 December, 2010)

-1268-

PACS numbers: 43.20.+g, 43.80.+p

Keywords: Green’s function, Acoustic radiation force, Elasticity imaging, Soft tissue

I. " e Â ] Ø



 ^ _     ¸f  \    s   7 á x  ª s  µ 1 ÏÒ q t   # î    ¸f 

 É

r Å Ò0 A  ¸f   Ð  é ß é ß ô  Ç : £ ¤$ í `  ¦    [1]. _ « Ñ6 x ò ø Í

$ í

% ò  © Z O (elasticity imaging) É r   ^  ? /_     ¸f  _  % i  < Æ

&

h

$ í | 9 \  l  í #   ¸f  `  ¦ % ò  ©  o  ¦ # î   `  ¦   Ø  ¦ 



9  H l Õ ü t s   [2].  ¸f  _  ò ø Í$ í  É r ü @Â Ò§ 4 `  ¦   6 x r &  Õ ª î

 r1 l x`  ¦ 8 £ ¤& ñ  < ÊÜ ¼ Ð+  í ß & ñ | ¨ c Ã º e   . ü @Â Ò§ 4  É r  ¸f  ³ ð



 \  & ñ & h   · ú § 4 s     1 l x`  ¦       [3–6] 6 £ §  ¾ Ó 4  ¤



§ 4 (acoustic radiation force)`  ¦  6 x #  [7–11] µ 1 ÏÒ q tr 

~

´ Ã º e   .

:

£

¤ y  6 £ §  ¾ Ó 4  ¤  § 4 `  ¦ s 6 x ô  Ç ü @Â Ò§ 4 _  µ 1 ÏÒ q t É r  í6 £ §  c 

`  ¦ | 9 5 Å q  < Ê\  _ K   ¸f  ? /Â Ò\  " é ¶  Ü ¼ Ð " é ¶   H t 

&

h \     | ¨ c Ã º e    H  © & h s  e  # Q  ' a d  _  @ / © s  ÷ & ¦ e 

 .  ¸f  ? / a % v É r % ò % i \      ) a 6 £ §  ¾ Ó 4  ¤  § 4  É r   0

Aü < S  \  ¦ µ 1 ÏÒ q tr v  ¦,   0 A ß ¼l   S     ² ú : £ ¤$ í

`

 ¦ 8 £ ¤& ñ #  ò ø Í$ í % ò  © s  % 3 # Q  . 4  ¤  § 4 l ì ø Í ò ø Í$ í

% ò

 © Z O Ü ¼ Ð  H 6 £ §  ¾ Ó 4  ¤  § 4 `  ¦ µ 1 ÏÒ q tr v   H ~ ½ ÓZ O s   8 £ ¤

&

ñ   H Ó ü t o & h   Ã º\    , | 9 5 Å q  í6 £ §  ` O Û ¼ c  `  ¦   6

x   H S   ò ø Í$ í % ò  © Z O (shear wave elasticity imaging;

SWEI) [12], 6 £ §  ¾ Ó 4  ¤  § 4 e  ` O Û ¼ % ò  © Z O (acoustic radi- ation force impulse imaging; ARFI imaging) [13],  í6 £ § 5

Å

q   é ß % ò  © Z O (supersonic shear imaging; SSI) [14]s  e   Ü

¼ 9, | 9 5 Å q   5 Å q(CW)  í6 £ §  c  `  ¦  6 x   H   1 l x 6 £ §  ¾ Ó

% ò

 © Z O (vibro-acoustography) [15], ² D G  è  ¸ oî  r1 l x % ò  ©  Z O

ÈV R Ë ºÇ k Ä; c" e Ö ¨] § × I í Ä; c 8 ýA 0 ® ot c Ü R ì Å ü ¤V R Ë

+ ä ¹ ÿ

/ @ / < Æ § Ó ü t o < Æõ , í ; 487-711

! H) ç <

/ @ / < Æ § : x / B N < Æõ , í ; 487-711

ô 6 ;£ Ó

/ @ / < Æ § / B N < Æõ , í ; 487-711

(2010¸ 9 Z 4 15{ 9 ~ Ã Î6 £ §, 2010¸ 11 Z 4 1{ 9 Ã º& ñ : r ~ Ã Î6 £ §, 2010¸ 12 Z 4 10{ 9 > F S X & ñ )

_ & h ò ø Í$ í Õ ª 2 ; < ÊÃ º\ ¦ Ä » ¸ % i . s : r& h ³ ð & ³d É r Ã ºu > í ß ÷ & ¦, / B N ç ß x 9 r ç ß % ò % i \ " f & h ò ø Í$ í Õ

ª 2 ; < ÊÃ º_ : £ ¤$ í s ì r$ 3 ÷ &% 3 . & h ò ø Í$ í ¸f \ " f_ 3D 0 A > í ß É r " é ¶ ^ + þ AI _ ^ & h § 4 ì r í\ @ / K

Ã º' % i . : £ ¤ y , r ç ß % ò % i + þ A` ¦ | 9 × æ& h Ü ¼ Ð ì r$ 3 # 0 A þ j@ /r ç ß \ @ /ô Ç H d ` ¦ ¸Ø ¦

i . Ä »ô Çכ ¹ èZ O \ _ ô Ç 0 A > í ß õ ü <_ q §\ ¦ : x K s : r& h Õ ª 2 ; < ÊÃ º_ { © $ í ` ¦ S X % i .

í6 £ § c _ » ¡ ¤ ~ ½ Ó ¾ Ó © » ¡ ¤ _ U ´s é ß » ¡ ¤ \ q K B Ä º H " é ¶ ^ + þ A ^ & h § 4 \ @ /K 0 A þ j@ /r ç ß

É

r é ß » ¡ ¤ U ´s \ + þ A& h Ü ¼ Ð 7 £ x ¦, & h $ í ¢ ¸ô Ç 0 A þ j@ /r ç ß ` ¦ 7 £ x r ( .

d # Q: Õ ª 2 ; < ÊÃ º, 6 £ § ¾ Ó 4 ¤ § 4 , ò ø Í$ í % ò © , ¸f

Mok Kun Jeong ^∗

^ _ ¸f \ s 7 á x ª s µ 1 ÏÒ q t # î ¸f

É

r Å Ò0 A ¸f Ð é ß é ß ô Ç : £ ¤$ í ` ¦ [1]. _ « Ñ6 x ò ø Í

% ò © Z O (elasticity imaging) É r ^ ? /_ ¸f _ % i < Æ

$ í | 9 \ l í # ¸f ` ¦ % ò © o ¦ # î ` ¦ Ø ¦

9 H l Õ ü t s [2]. ¸f _ ò ø Í$ í É r ü @Â Ò§ 4 ` ¦ 6 x r & Õ ª î

r1 l x` ¦ 8 £ ¤& ñ < ÊÜ ¼ Ð+ í ß & ñ | ¨ c Ã º e . ü @Â Ò§ 4 É r ¸f ³ ð

\ & ñ & h · ú § 4 s 1 l x` ¦ [3–6] 6 £ § ¾ Ó 4 ¤

§ 4 (acoustic radiation force)` ¦ 6 x # [7–11] µ 1 ÏÒ q tr

´ Ã º e .

¤ y 6 £ § ¾ Ó 4 ¤ § 4 ` ¦ s 6 x ô Ç ü @Â Ò§ 4 _ µ 1 ÏÒ q t É r í6 £ § c

` ¦ | 9 5 Å q < Ê\ _ K ¸f ? /Â Ò\ " é ¶ Ü ¼ Ð " é ¶ H t

h \ | ¨ c Ã º e H © & h s e # Q ' a d _ @ / © s ÷ & ¦ e

. ¸f ? / a % v É r % ò % i \ ) a 6 £ § ¾ Ó 4 ¤ § 4 É r 0

Aü < S \ ¦ µ 1 ÏÒ q tr v ¦, 0 A ß ¼l S ² ú : £ ¤$ í

¦ 8 £ ¤& ñ # ò ø Í$ í % ò © s % 3 # Q . 4 ¤ § 4 l ì ø Í ò ø Í$ í

© Z O Ü ¼ Ð H 6 £ § ¾ Ó 4 ¤ § 4 ` ¦ µ 1 ÏÒ q tr v H ~ ½ ÓZ O s 8 £ ¤

ñ H Ó ü t o & h Ã º\ , | 9 5 Å q í6 £ § ` O Û ¼ c ` ¦ 6

x H S ò ø Í$ í % ò © Z O (shear wave elasticity imaging;

SWEI) [12], 6 £ § ¾ Ó 4 ¤ § 4 e ` O Û ¼ % ò © Z O (acoustic radi- ation force impulse imaging; ARFI imaging) [13], í6 £ § 5

q é ß % ò © Z O (supersonic shear imaging; SSI) [14]s e Ü

¼ 9, | 9 5 Å q 5 Å q(CW) í6 £ § c ` ¦ 6 x H 1 l x 6 £ § ¾ Ó

© Z O (vibro-acoustography) [15], ² D G è ¸ oî r1 l x % ò © Z O

(harmonic motion imaging; HMI) [16] 1 p x s ] jî ß ÷ &# Q e

.

ø Í$ í % ò © l Õ ü t \ " f ò ø Í$ í % ò © ` ¦ ½ ¨$ í ½ + É M : ´ ú § É r â Ä º\

¸f ` ¦ ò ø Í$ í B | 9 Ð ç ß Å Ò # ò ø Í$ í > Ã º\ ¦ í ß & ñ ô Ç . Õ ª

Q ¸f É r ì r í ß B | 9 (dispersive medium)s 9, & h $ í

É

r 0 A_ ß ¼l r ç ß % ò % i + þ A, S 5 Å q ¸, S ` O Û ¼

¸ ª 1 p x \ % ò ¾ Ó` ¦ Å Ò# Q & ñ S X ô Ç ò ø Í$ í > í ß ` ¦ # Q§ > > ë ß H

. ¸f é ß ò ø Í$ í > Ã º(shear modulus)_ & ñ S X ô Ç í ß & ñ , Õ

ªo ¦ : £ ¤ y & h ò ø Í$ í % ò © _ ½ ¨ & ³` ¦ 0 AK " f H & h $ í ´ òõ

@ /ô Ç ¦ 9 כ ¹½ ¨ ) a . & h ò ø Í$ í ¸f \ " f 6 £ § ¾ Ó 4 ¤ § 4

_ ô Ç S µ 1 ÏÒ q t x 9 H Sarvazyan 1 p x [12] \ _ K 2

[/ å L ÷ &% 3 . Õ ª[ þ t É r S _ > r F ë ß ` ¦ & ñ # Ä ºr î

ß í6 £ § | 9 5 Å q c \ _ K µ 1 ÏÒ q t ) a 0 A\ @ /ô Ç ³ ð & ³d ` ¦

¸Ø ¦ % i . 7 á x ü < S ¸¿ º\ ¦ ¦ 9 # & h ò ø Í$ í ¸f

@ /ô Ç H & h Õ ª 2 ; < ÊÃ º(Green’s function) H Bercoff 1 p x [17] \ _ K Ä » ¸÷ &% 3 . H Õ ª 2 ; < ÊÃ º ¸Ø ¦ \ É r & h

> Ã º\ ¦ & ñ % i Ü ¼ 9, é ß & h $ í > Ã º 0.1 ∼ 0.3 Pa·s

ñ ¸ Ð q §& h É r ½ ) 3 \ " f & h $ í _ ´ òõ \ ¦ Ð# Å Ò% 3

. Giannoula 1 p x [18] É r Bercoff 1 p x [17] _ H Õ ª 2 ; < Ê Ã

º\ ¦ 6 x # 1 l x Ã º _ > r S 5 Å q ¸ x 9 y û Z ° ú É r ì r í

ß : £ ¤$ í s 6 £ § ¾ Ó 4 ¤ § 4 \ _ K µ 1 ÏÒ q t ) a S \ p u

H % ò ¾ Ó` ¦ ¸ % i ¦, ¢ ¸ô Ç S ² ú : £ ¤$ í Ü ¼ ÐÂ Ò' & h ò

ø Í$ í ` ¦ í ß & ñ H ~ ½ ÓZ O ` ¦ ¸Ò o % i . z ´] j ¸f _ é

ß & h $ í > Ã º H @ /| Ä Ì 0.5 ∼ 3 Pa·s # 3 0 A\ 5 g e Ü ¼Ù ¼ Ð [19–22], 6 £ § ¾ Ó 4 ¤ § 4 \ _ ô Ç ¸f ? / 0 A µ 1 ÏÒ q t` ¦ Ð

ñ S X > s K l 0 AK " f H Z } É r & h $ í > Ã º\ ¦ ° ú H B

\ " f ¸ & h 6 x| ¨ c Ã º e H Õ ª 2 ; < ÊÃ º 9 כ ¹ .

: r 7 Hë H \ " f H a % v É r % ò % i \ ÷ & H ^ & h § 4 (body force) \ _ ô Ç ¸f ? /\ " f_ 0 A µ 1 ÏÒ q tõ 1 l x ² ú

& h $ í s p u H % ò ¾ Ó` ¦ \ V8 £ ¤ l 0 AK Õ ª 2 ; < ÊÃ º ì r$ 3 Z O

` ¦ 6 x % i . $ íß ¼à Ô ¸+ þ A(Voigt model) [23]\ l

í # & h ò ø Í$ í B | 9 (viscoelastic medium)\ " f_ Õ ª 2 ;

< ÊÃ º\ @ /ô Ç Ð { 9 ì ø Í& h s : r& h ³ ð & ³d ` ¦ Ä » ¸ % i

. s Ê ê s : rd _ Ã ºu > í ß ` ¦ : x K / B N ç ß x 9 r ç ß % ò % i

" f & h ò ø Í$ í Õ ª 2 ; < ÊÃ º_ : £ ¤$ í ` ¦ ì r$ 3 % i . 3D ^ & h § 4

_ ô Ç 0 A> í ß É r Ä ºr î ß " é ¶ ^ + þ A ^ & h § 4 ì r í\

/K Ã º' % i ¦, : £ ¤ y 0 A_ r ç ß % ò % i + þ A\ & h $ í s p

u H ´ òõ | 9 × æ& h Ü ¼ Ð ¸ ÷ &% 3 . s : r _ { © $ í

¦ 7 £ x l 0 AK Ä »ô Çכ ¹ è(finite element) ¸+ þ A` ¦ ½ ¨$ í

¦ 0 A\ ¦ > í ß # s : r& h õ ü < q § % i .

II. X ì È mV R Ë 8 0ù m Ç8 ý § Û Ã Å] K ¤ ¤

§ ¾ Ó 4 ¤ § 4 õ ° ú É r ¸f ? /Â Ò\ 6 x H ^ & h § 4