1. 각도의 측정 (각도법, 호도법) 2. 삼각함수의 정의
3. 삼각함수의 그래프
4. 삼각함수의 성질 (여러가지 항등식)
삼각함수 (trigonometric functions)
(“Unit circle pizza” from mathcomics)
• 각도법 (60분법)
원주를 360등분하여 각을 나타내는 방식 (한조각이 1°)
각도의 측정
“각도법은 원주를 임의의 갯수로 나눈 방법이다”
60 조각 60° (도)
• 호도법
호의 길이를 이용하여 각도를 재는 방법
각도의 측정
“원은 (반)지름과 둘레가 항상 일정한 비율을 가지고 있다”
는 기하학적 특성을 이용한 방법
(출처: wikidocs 공돌이의 수학정리노트 https://wikidocs.net/4094 )
r
s
θ = s/r
[단위는 무차원이나
라디안 (radian, rad) 으로 표시]
• 호도법
호의 길이를 이용하여 각도를 재는 방법
각도의 측정
“원은 (반)지름과 둘레가 항상 일정한 비율을 가지고 있다”
는 기하학적 특성을 이용한 방법
(출처: wikidocs 공돌이의 수학정리노트 https://wikidocs.net/4094 )
r
s = r
θ = s/r
[단위는 무차원이나
라디안 (radian, rad) 으로 표시]
• 호도법
호의 길이를 이용하여 각도를 재는 방법
각도의 측정
r = 1 s
θ
• 호도법
호의 길이를 이용하여 각도를 재는 방법
•360° = 2π
각도의 측정
r = 1
s = 3.14159…
θ = 3.14159… = π
삼각함수
c
A
B C
a
b
θ
sin θ = b/c cos θ = a/c tan θ = b/a
• 직각삼각형을 이용한 정의 (삼각형 변들의 비율 - 삼각비)
삼각함수
c
A
B C
a
b
θ
sin θ = b/c cos θ = a/c tan θ = b/a
c t
s
• 직각삼각형을 이용한 정의 (삼각형 변들의 비율 - 삼각비)
삼각함수
• 직각삼각형을 이용한 정의 (삼각형 변들의 비율 - 삼각비)
c
A
B C
a
b
θ
sin θ = b/c cos θ = a/c tan θ = b/a
c t
s
cosec θ = 1/sin θ sec θ = 1/cos θ cotan θ
= 1/tan θ
삼각함수
sin θ = y/r cos θ = x/r tan θ = y/x
• 일반각 (혹은 2차원 그래프)을 이용한 정의 - 개념의 확장
θ x
y
x축 y축
r
P (x,y)
삼각함수
• 일반각 (혹은 2차원 그래프)을 이용한 정의 - 개념의 확장
θ x
y
x축 y축
r
P (x,y)
• x 가 음수 (x<0)임을 유의하자!
sin θ > 0 cos θ < 0 tan θ < 0
sin θ = y/r cos θ = x/r tan θ = y/x
삼각함수의 값
• 외우기 쉬운 특정값
2
1 30° (π/6)
sin (π/6) = 1/2 cos (π/6) = /2 tan (π/6) = 1/
3
3 3 60°
(π/3)
sin (π/3) = /2 cos (π/3) = 1/2 tan (π/3) =
3
3
삼각함수의 값
• 외우기 쉬운 특정값
1
1
45° (π/4)
sin (π/4) = 1/
cos (π/4) = 1/
tan (π/4) = 1
2
2
2
삼각함수의 그래프
• y = sin(x) x sin(x)
0 0
π / 6 1 / 2
π / 4 2 / 2
π / 3 3 / 2
π / 2 1
2π / 3 3 / 2
3π / 4 2 / 2
5π / 6 1 / 2
π 0
-2 p -p p 2 p x
-1.0 -0.5 0.5 1.0 y
Hx from -6.6 to 6.6L
Computed by Wolfram»Alpha
! !
삼각함수의 그래프
• y = cos(x) x cos(x)
0 π / 6 π / 4 π / 3 π / 2 2π / 3 3π / 4 5π / 6
π
Exercise!
-2 p -p p 2 p x
-1.0 -0.5 0.5 1.0 y
Hx from -6.6 to 6.6L
Computed by Wolfram»Alpha
삼각함수의 그래프
• y = tan(x) x tan(x)
−π / 2
−2π / 3
−π / 4
−π / 3 0 π / 3 π / 4 2π / 3
π / 2 Exercise!
-p -p2 p2 p x
-6 -4 -2 2 4 6 y
Hx from -3.3 to 3.3L
Computed by Wolfram»Alpha
π
−π 2 2
• 정의에 의해
tan θ = sin θ / cos θ
• 피타고라스의 정리를 활용하면 sin2 θ + cos2 θ = 1
• 2π 는 원주 한 바퀴의 각도이므로, 2π 를 주기로 반복 sin ( θ+2π ) = sin θ
cos ( θ+2π ) = cos θ
tan ( θ+2π ) = tan θ [ tan (θ+π) = tan θ ]
삼각함수의 성질 (항등식)
• 일반각을 생각해보면, sin ( -θ ) = -sin θ
cos ( -θ ) = cos θ tan ( -θ ) = -tan θ
• 역시 일반각으로, sin ( θ+π ) = -sin θ cos ( θ+π ) = -cos θ tan ( θ+π ) = tan θ
삼각함수의 성질 (항등식)
θ y
x축 y축
r=1
P (x,y)
-θ x
-y 1
• 일반각을 생각해보면, sin ( -θ ) = -sin θ
cos ( -θ ) = cos θ tan ( -θ ) = -tan θ
• 역시 일반각으로, sin ( θ+π ) = -sin θ cos ( θ+π ) = -cos θ tan ( θ+π ) = tan θ
삼각함수의 성질 (항등식)
θ y
x축 y축
P (x,y)
-x x -y
θ+π
1
• 또 일반각으로,
sin ( θ+π/2 ) = cos θ cos ( θ+π/2 ) = -sin θ
tan ( θ+π/2 ) = -1/tan θ = -cot θ
삼각함수의 성질 (항등식)
θ y
x축 y축
P (x,y)
x θ+π/2
1
x
-y
• 두 각의 합 (덧셈 정리)
sin ( α+β ) = sin (α) cos (β) + cos (α) sin (β) cos ( α+β ) = cos (α) cos (β) - sin (α) sin (β)
삼각함수의 성질 (항등식)
• 두 각의 합 (덧셈 정리)
sin ( α+β ) = sin (α) cos (β) + cos (α) sin (β) cos ( α+β ) = cos (α) cos (β) - sin (α) sin (β)
삼각함수의 성질 (항등식)
α x축
y축
1
β
α
B A
O
P
D C
• 두 각의 합 (덧셈 정리)
sin ( α+β ) = sin (α) cos (β) + cos (α) sin (β) cos ( α+β ) = cos (α) cos (β) - sin (α) sin (β)
• 증명
sin ( α+β ) = AC + DP
= OC sin (α) + CP cos (α)
= cos (β) sin (α) + sin (β) cos (α)
cos ( α+β ) = OA - CD
= OC cos (α) - CP sin (α)
= cos (β) cos (α) - sin (β) sin (α)
삼각함수의 성질 (항등식)
α x축
y축
1
β
α
B A
O
P
D C
덧셈 정리 (참고자료 1)
x축 y축
1
β O
P2 (x,y)
α
P1 (x,y)
M
cos(α +β) sin(α +β)
!
"
##
$
%
&
&= cosβ −sinβ sinβ cosβ
!
"
##
$
%
&
&
cosα sinα
!
"
# $
%&
• 회전 행렬을 활용
cos ( α+β ) = cos (α) cos (β) - sin (α) sin (β) sin ( α+β ) = sin (α) cos (β) + cos (α) sin (β)
회전행렬 M 좌표벡터 P1
• Euler (오일러) 공식을 활용
ei(α+β) = cos (α+β) + i sin (α+β)
ei(α+β) = (cos α + i sin α) × (cos β + i sin β)
= cos (α) cos (β) - sin (α) sin (β) + i [ sin (α) cos (β) + cos (α) sin (β) ]
실수부와 허수부를 각각 비교,
cos ( α+β ) = cos (α) cos (β) - sin (α) sin (β) sin ( α+β ) = sin (α) cos (β) + cos (α) sin (β)
덧셈 정리 (참고자료 2)
eiθ = cosθ + i sinθ i ≡ −1
cos (α+β) sin (α+β)
이후의 것들은 모두 덧셈정리에서 파생된다 (첨부자료 참조)
• 배각 공식
• 반각 공식
• 곱을 합과 차로 나타내는 공식
• 합과 차를 곱으로 나타내는 공식
삼각함수의 성질 (항등식)
• f(x) = f(x+p) 인 경우, f(x) 의 값은, x 값 p 마다 반복되며 이를 “함수의 주기”라고 한다.
• sin (x), cos (x) 의 주기는 2π; tan (x) 의 주기는 π
• sin (ax+b) 의 주기는?
삼각함수의 주기
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-3 -2 -1 1 2 3
sin x
sin (2x) + 2
sin (πx) - 2
1. 다음 삼각함수의 값을 구하시오 a) sin (-π/6)
b) sin ( π/6) c) cos ( 4π/6) c) sin (23π/6)
2. 다음 함수의 그래프를 그리시오 (충분한 점을 찍어 유추할 것) a) cos (x)
b) sin (x + π/2)
3. 다음의 값을 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 구하시오 a) sin (π/6+π/4)
b) cos (π/6-π/4)
c) sin (x+Δx) - sin(x)
4. cos ( α+β ) = cos (α) cos (β) - sin (α) sin (β) 임을 증명하시오.
