물 속에서 레이저에 의하여 생성된 기포의 거동 및 복사현상
강 상우† · 변 기택* · 곽 호영**
Bubble Behavior and Radiation for Laser-Induced Collapsing Bubble in Water
Sarng Woo Karng, Ki-Taek Byun and Ho-Young Kwak
Key Words : laser-induced cavitation(레이저에 유도된 공동현상), blackbody radiation(흑체복사), bremsstrahlung(제동복사), SL(sonoluminescence), bouncing motion(되뜀운동).
Abstract
The bubble behavior and the radiation mechanism from a laser-induced collapsing bubble were investigated theoretically using the Keller-Miksis equation for the bubble wall motion and analytical solutions for the vapor inside bubble. The calculated time dependent bubble radius is in good agreement with observed ones. The half-width of the luminescence pulse at the collapse point, which was calculated under assumption that the light emission mechanism is black body radiation from the vapor bubble agreed well with observed value of several nanoseconds. The gas content inside the vapor bubble was too small to produce the light emission due to bremsstrahlung.
기호설명
C b 액체 내에서 음속 hfg 증발 잠열
hv 증기의 엔탈피
kl 기포벽 주변 액체의 열전도계수 mb 기포 내부 증기의 질량
m&s 경계면에서 증기의 증발/응축율
P∞ 환경 압력 Rb 기포 반경
Rmax 최대로 팽창된 기포반경 Rv 기포 내부 증기의 가스상수 Tb 기포 내부 증기의 온도
0
Tb 기포의 중심에서의 온도 Tbl 기포벽에서의 온도
uv 증기의 내부에너지 Ub 기포벽 속도 Greeks
α l 액체의 열확산계수 γ 기포 내부 증기의 비열비 δ 열경계층의 두께
κλ 광자의 흡수계수 µ 점성계수
ρ∞ 환경 밀도 σ 액체의 표면장력
1. 서 론
고출력 레이저가 액체의 절연파괴를 할 수 있
는 것(1-4)을 이용하여 Lanterborn(3)과 Lauterborn 과
Ebelin(4)들은 액체에 레이저를 조사(irradiation)함으 로써 기포의 형성에 수반되는 제 현상에 대하여 광범위하게 실험하였다. 레이저에 의한 공동현상 은 액체의 증발에 이어 충격파(5)를 동반한 증기팽 창 이후에 빠르게 형성된 플라즈마 상태로 특성화
† 한국과학기술연구원 열·유동제어연구센터 E-mail : [email protected]
TEL : (02)958-5680 FAX : (02)958-5689 * 중앙대학교 대학원 기계공학부
** 중앙대학교 기계공학부
할 수 있다. 충격파가 떠난 직후의 기포벽 속도는 수축점에서 발광이나 충격파가 가능할 정도로 충 분히 크다는 것을 알아내었다(6). 초음파장하에서 SL(sonoluminescence) 기포로부터의 발광 현상과 레이저에 의해 생성된 기포가 1 차 수축시의 발광 현상 사이의 유사성에 대한 연구가 최근 관심의 대상이 되고 있다(6-8).
본 연구에서는 Keller-Miksis 방정식(9)과 기포내 의 증기에 대한 해석해(10,11)를 이용하여 충격파가 떠난 직후의 기포거동을 연구하였다. 또한 SL 기 포의 발광 현상과는 전혀 다른 레이저 조사에 의 하여 생성된 기포의 1 차 수축시 발광기구에 대하 여 살펴보았다.
2. 기포의 거동 모델
액체 속에서 국부적인 음속보다 작은 기포벽 속 도에 대하여 기포거동은 다음의 Keller-Miksis 방 정식으로 표현할 수 있다(9).
(
∞)
∞
−
⎟⎟⋅
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
⎟⎟ =
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
⎟⎟ +
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ − P P
C U C
U U dt R dU C U
B b b b
b b b b b
b 1 1
1 3 2
1 3 2
ρ
( 1 ) 기포벽 외부 표면의 액체 압력, PB 는 기포벽 내 부의 압력, Pb와 PB =Pb−2σ Rb−4µUb Rb 의 관계 를 가진다. 기포벽 속도, Ub 는 기포반경, Rb의 시 간에 대한 미분으로 나타낼 수 있다. 즉,
b
b U
dR =dt ( 2 )
Keller-Miksis 방정식을 풀기 위해서는 팽창과 수축을 반복하는 기포 내부의 증기나 가스의 거동 을 파악해야 한다. 본 연구에서는 Kwak과 Panton(12)의 기포형성 모델을 이용하여 액체가 액 체의 부피를 유지한 채로 완전히 증발되었을 때의 온도와 압력을 구하였다. 또한 액체일 때의 부피 보다 약 15배 정도 큰 증기 상태는 액체의 과열한 계, Ts (≅0.9 Tc , 여기서 Tc는 임계온도)와 이에 상응하는 증기압으로 나타낼 수 있다(12). Kwak과 Panton의 기포형성 모델(13)에서 정의되는 증기의 물성치들을 기포 거동의 초기조건으로 사용할 수 있다. 적절한 기포반경, R0과 기포벽 속도, U0 의 초기값으로 기포거동의 계산을 수행함으로써 실험 으로 관측된 최대로 팽창된 기포반경, Rmax을 구 할 수 있다. 이에 따라 기-액 경계면에서 응축이
나 증발에 기인한 경계층을 통한 열전달과 질량 전달이 일어나면서 기포 내부의 증기 온도가 변화 하게 된다.
곽 등(10)과 곽과 양(11)은 최근 기포 내부의 가스 나 증기가 어떻게 기포의 거동에 따라 달라지는지 를 자세히 해석하였다. 그들은 질량, 운동량 및 운 동 에너지 방정식들을 만족시키는 시간에 따른 밀 도, 속도 및 압력의 변화를 구하였다. 또한 기포 내 압력이 균일한 조건에서 내부 에너지 방정식을 풂으로써 시간에 따른 기포 중심에서 증기 온도의 변화를 구하였다. 분자들의 병진운동(translational motion)의 완화 시간(relaxation time)보다 기포거동 의 특성시간이 훨씬 짧기 때문에 균일 압력의 가 정은 적절하다(10,14). 기포중심에서 시간에 따른 온 도변화는 다음과 같다.
( ) ( ) ( )
b b
bo bl l b
b bo bo
P R
T T k dt
dR R
T dt
dT
δ γ
γ− − − −
−
= 3 1 6 1
( 3 )
그러나 그들(10,11)의 해석에서는 열경계층 내에서 분자들의 운동에 의한 증발과 응축에 기인한 질량 전달은 고려하지 않았다.
기포 내부의 가스 압력이 균일하다면 가스에 대 한 전 에너지보존 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있 다(15).
v c v s v b b b b v b v
b mh Q
dt P dR dt R
u dm Dt c DT
m 4 2 ⎟ + & = &.
⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛
+ π ( 4 )
상변화가 일어나는 경계면에서 질량보존법칙을 고 려하면, 질량전달에 기인한 기포벽 속도의 변화(15) 를 구할 수 있다. 즉;
dt dm R dt
dR dt
dR b
b v b l b
∞
+
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
=⎛
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
ρ π 2 4
1 ( 5 )
여기서,
(
dRb dt)
v는 증기 쪽의 기포벽 속도이다.기포벽에 인접한 경계면에서의 에너지 보존은 다 음의 관계식으로 나타낼 수 있다,
dt h dm r
R T k
Q fg b
R r b b l v c
b
∂ −
= ∂
+ 2
. 4π
& ( 6 )
경계층 내에서 온도의 변화를 아래의 식 (7)로 표 현되는 2 차 함수(16)로 가정하여, 열적 경계층을 통한 열전달을 고려하였다.
)2
1 ( −ζ
− =
−
∞
∞
T T
T T
bl
( 7 )
여기서,
ζ =r−δRb 이다. 열경계층 두께 δ 에 대한 방정식은 식 (14)에서 주어진다. 이러한 2차 함수 는 기포벽 온도에 대한 경계조건을 적절하게 만족 시킨다. 식 (4), (6) 및 (7)들을 사용하여, 질량전달 을 포함한 기포 중심의 온도의 시간에 대한 변화 를 다음과 같이 구할 수 있다.
( ) ( ) ( ) ( )
b b
bl bo l
b b
bo bo
P R
T T T k dt
dR R
T dt
dT
δ η γ
γ− − + − − ∞
−
= 6 1
1 1
3 ( 8 )
여기서, η는 다음과 같이 정의된다.
( )
δη
− ∞
′
= ′′
T T k
h m
bl l
fg b
2
&
( 9 )
여기서, h′fg =hfg−RvTb 이다. 잠열에 의한 에너지 방출율, hfgdmb dt 이 경계층을 통한 열전달율과 같다면, 즉 η=−1이라면, 식 (8)에서 알 수 있는 것처럼 상변화에 의한 질량전달은 기포 내부의 증 기 온도에 영향을 미치지 않는다.
경계면에서 분자운동에 의하여 비평형(non- equilibrium) 응축이나 증발이 일어난다고 가정하면, 질량유속은 다음과 같이 주어진다(17).
( ) ( )
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ −
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
= −
′′
∞
∞ 2 / 1 2 / 1 2 / 1
2 1 2
2
T T P T
T P R c
m c l
bl b v v e e
b π
& ( 1 0 )
여기서, 물에 대한 부착 상수, ce는 0.02~0.04 사 이의 값으로 보고되고 있다(18). 기포의 중심에서 압력을 나타내는 이상기체 방정식, Pb =ρRgTbo 과 식 (8)로부터 시간에 따른 기포 내부의 압력변화 를 다음과 같이 구할 수 있다.
( ) ( )( )
b bl l
b b
b b
R T T k dt
dR R
P dt
dP
δ η γ
γ − + − − ∞
−
= 6 1
3 1
( 1 1 )
기포 내부 증기의 열전도계수가 kg =AT+B 와 같이 증기 온도에 따라 선형적으로 변한다고 가정 하면, 기포 내부의 온도변화를 식 (12)와 같이 구 할 수 있다(13). A 와 B 의 적절한 값은 온도에 따 른 기포 내부의 수증기의 열전도계수에 맞게 구할 수 있다.
( ) ( )
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
− ⎛
⎟ −
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ + +
−
= ∞
2 2
2 1
1
b bl
T bo
b R
T r B T T A
B A A
r B
T η
( 1 2 )
여기서,
B k Rb l
T δ
η = 이다.
기포벽 온도, Tbl 은 적절한 경계조건을 적용하여 다음과 같이 구할 수 있다(11).
( ) ( )
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ + +
+ + + +
−
= T T∞
B T A B A A
B A
Tbl B ηT ηT 2 bo bo2 ηT 2 2
1 1
( 1 3 ) 기포벽에 인접한 액체에 대한 에너지 방정식으 로부터 시간변화에 따른 열경계층 두께를 나타내 는 방정식을 다음과 같이 얻을 수 있다.
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
∂
∂
= ∂
∂
⎟ ∂
⎠
⎜ ⎞
⎝ +⎛
∂
∂
r r T r r r T dt dR t
T l
l
b 2
2
α ( 1 4 )
Rb
r= 에서 r=Rb+δ 까지 식 (14)를 적분하면, 시 간변화에 따른 δ 의 방정식을 다음과 같이 구할 수 있다(19).
dt dT T T R R
dt dm R dt dR R R
t d d R R
b bl
b b
b b b b b l
b b
∞
∞
⎥ −
⎥
⎦
⎤
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝ + ⎛
⎢⎣
⎡ +
−
⎥ +
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝ + ⎛
−
=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝ + ⎛ +
1 10
1 1 2
4 3 2
1 2 6
10 1 3
2
2 2
2
δ δ δ
ρ π δ
δ δ α
δ δ δ
( 1 5 )
지금까지 구한 다섯 개의 식 (1), (2), (8), (11), 및 (15)로부터 Ub , Rb , Tbo , Pb 및 δ 의 값을 구할 수 있다. 식 (15)로부터 δ 를 그리고 식 (10)으로 부터 질량유속, m ′′& 을 구함으로써 식 (8)과 (11)로 부터 각각 Tbo와 Pb를 구할 수 있다.
3. 발광 기구
레이저에 의해 생성된 기포가 1 차 수축시의 기 포로 부터의 발광 기구에 대하여 살펴보고자 한다.
최근 Hilgenfeldt 등(20)은 기포의 발광 기구가 열적 제동복사(thermal bremsstrahlung)와 이온과 전자의 재결합에 의한 복사현상이라고 제안하였다. 어떤 매질 내에서 광원으로부터 단위파장당 복사량은 다음과 같이 쓸 수 있다.
( ) ( )
⎥⎦
− ⎤ + −
⎢⎣
⎡ −
+
⋅
∆=
2 2 2
2
1 2 exp 2
1 exp 4
b b b
b b
b R
R R
e R R j
λ λ λ
λ λ
λ κ
κ κ
π κ ( 1 6 )
여기서 ebλ는 흑체로부터 방출되는 단위파장당 반
구의 발광 강도로서 다음과 같이 주어진다.
(
2 1)
5 2
= hc T −
b B
e eλ hcλκ
λ
π ( 1 7 )
매질 내에서 광자의 흡수가 상대적으로 적은 투 명 매질 내에서는, 즉 κλRb<1인 조건을 만족하는 경우는 식 (16)에 주어진 단위파장당 반구면 총괄 복사량은 다음과 같이 제동복사에 의한 단위파장 당 반구면 복사량이 된다(21).
( )λ κ λ π λ
π π
ε π π
κ π
λ
2 3 2 2 2 1 3 2
8 , 3
3 3 4
1 4
8 3 4
⎥ ⋅
⎦
⎢ ⎤
⎣
× ⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
= ⎛
e B
o e e
e B b
e l
T c T h G
h c m e m V T
Z n n
j ( 1 8 )
흡수계수에 대한 자세한 정보가 없는 경우, 식 (16)은 κλRb<1 조건에서 다음과 같이 쓸 수 있다.
λ λ
λ κ Rb πRbeb
j 4 2
3 4 ⋅
∆= ( 1 9 )
윗식은 유한한 흡수계수를 가진 경우나 4κλRb 3 의 광학 두께를 가지는 흑체 복사라고 생각할 수 있다(22). 이 식은 흡수/방출 경로에 대한 자세한 정보가 없을 경우, 즉 빛의 경로가 파장의 길이보 다 휠씬 긴 경우에 사용할 수 있다. 물론 κλRb>>1
인 조건에서는 식 (16)에 주어진 단위파장당 반구 면 복사량은 다음과 같이 흑체복사에 의한 복사량 과 같아진다.
λ λ πRbeb
j∆=4 2 ( 2 0 )
4. 결과 및 토론
Fig. 1 에 계산된 기포의 최대반경이 실험 결과 인 1.05 mm 와 맞게 취한 기포벽 초기속도 620 m/s, 기포의 평형반경, R0 =70 µm일 때의 시간에 따른 기포반경에 대해 계산한 결과와 함께 실험결과(7) 를 나타내었다. 계산에 사용된 초기조건은 기포 내의 압력과 온도를 각각 89.0 bar 와 572 K 로 하 였다. ce=0.06 인 경우에 계산된 시간에 따른 기 포 반경이 실험으로 얻은 결과와 잘 일치하고 있 음을 보여주고 있다(7). 기포의 첫 번째 수축 이후 의 되뜀운동(bouncing motion)은 ce의 값 즉, 증기 의 응축량에 아주 민감하게 변화한다. 기포의 수 축 이후 되뜀운동 영역에서는 기포반경의 값이 제
법 차이가 나지만 되뜀운동 각각의 주기 시간은 실험값과 거의 일치하고 있다. 이는 수축점 주변 에서 기포의 모양이 찌그러지기 때문이라고 생각 할 수 있다. 환경압력이 10.2 atm 으로 증가되었을 때, 기포의 최대반경은 약 1/3 이나 줄어 들었으며, 기포가 평형상태에서 점점 성장하여 최대점을 지 나 첫 번째 수축점까지의 경과시간은 약 1/10 로 매우 짧아졌음을 Fig. 1 은 보여주고 있다. 이와 같 이 기포수축점에서의 온도와 압력 그리고 수축 이 후의 되뜀운동은 온도와 압력같은 증기의 초기 물 성치와 기포벽의 초기 속도에 민감하게 변화함을 알 수 있다.
Fig. 1 Bubble radius-time curves from measurement by Baghdassarian et al.(7) (•) and calculation for a laser-induced bubble at P∞=1 atm (—) and P∞ =10.3 atm (---).
Fig. 1 과 같은 조건의 경우, 기포의 수축점 근처 에서 기포 중심에서 증기 온도의 변화와 기포벽 속도의 변화가 Fig. 2 에 나타나 있다. 기포 중심에 서 증기의 최대 온도는 8,000 K 에 이르며, 최대압 력은 약 6,000 atm 이다. 기포반경의 초기조건은 같 지만 기포벽 속도의 초기조건을 700 m/s 로 다르게 했을 경우, 기포중심의 증기 온도는 9300 K 이며, 수축점까지의 경과시간은 200 µs로 약간 증가했 다. 기-액 경계면을 통한 열 및 물질전달 뿐만 아 니라 기포 내부 증기의 거동을 적절히 취급해야만 수축점에서 시간에 따른 온도와 압력 변화의 타당 성 있는 값들을 얻을 수 있다. PbVn =constant 인 폴리트로픽 관계식을 사용하는 Rayleigh-Plesset 방 정식으로 구한 기포의 거동모델은 많은 제약점(24) 들을 갖고 있기 때문에 레이저에 의한 기포거동을 적절히 기술하기 어렵다. 이 모델을 사용했을 경
우, 수축점 근처에서 시간변화에 따른 온도의 변 화는 최대점을 경계로 좌우가 거의 대칭을 형태를 띠는 것이 아니라 최대점 이후의 온도감소가 서서 히 일어나 좌우 대칭의 형태를 가지지 못한다(25). 반면, SL(26)이나 레이저에 의한 기포(7)의 경우 모두 수축점에서 측정된 시간에 따른 방사강도는 거의 Gaussian 분포를 보이고 있다. Putterman 등(27)도 폴 리트로픽 관계식을 이용하는 Rayleigh-Plesset 방정 식을 사용함으로써 발생되는 문제점들을 SL 현상 에 대한 연구에서 지적한 바 있다.
Time [ µs ]
189.8 189.9 190.0 190.1 190.2
Temperature [ K ]
0 2000 4000 6000 8000
Bubble wall velocity [ cm/s ]
-1.0e+5 -5.0e+4 0.0 5.0e+4 1.0e+5 1.5e+5 Temperature
Bubble wall velocity
Fig. 2 Vapor temperature at the center of bubble and the bubble wall velocity around the collapse point for the case of P∞ =1 shown in Fig. 1.
수축점 근처에서 시간에 따른 기포벽 온도의 변 화와 발광기구가 광학 두께가 1 인 흑체복사라는 가정하에서 시간에 따른 발광 강도의 변화를 각각 Fig. 3 에 나타내었다. 수축점에서 발광펄스의 반너 비폭(FWHM, Full Width at Half Maximum)은 11.2 ns 으로 실험결과인 8 ns(25)과 잘 일치하고 있다. Fig.
3 의 계산조건은 Fig. 1, 2 와 마찬가지로 µm
0 =70
R 와 같은 기포벽 속도를 초기조건으로 하였다.
수축점에서 기포벽의 증기 온도의 최대값은 약 7,600 K 이다. 이 때, 증기 기포로부터의 발광기구 가 제동복사가 아닌 이유는 다음의 두 가지를 들 수 있다. 첫 번째는 증기 기포 내부에서 가스의 농도가 물이 대기압에서 Xe 가스와 평형을 이루 는 농도인 0.01 %에도 못 미치고 있다. 이 정도의 가스 농도에서 제동복사에 의한 분광의 강도는 너 무나 미미하므로 기포 내의 온도가 매우 높다하더 라도 측정이 불가능하다. 따라서 레이저에 의해 생성된 기포로부터 발광이 용해된 가스의 농도와 무관하다는 것을 설명할 수 있다(25). 두 번째는 수
축점에서의 측정된 기포반경은 약 5~12 µm 로 기 포반경이 가시광선의 파장보다 휠씬 크기 때문에 기포 내부에서 빛과 물질들 사이에 상호작용이 존 재한다. 수축점에서 빛의 파장 길이와 비슷한 SL 발광기포의 최소반경에 비하여 레이저에 의해 생 성된 경우 기포의 최소반경은 휠씬 크기 때문이다.
Time [ µs ]
189.90 189.95 190.00 190.05 190.10 190.15
Bubble wall temperature [ K ]
0 2000 4000 6000 8000
Total emission [ W/sr ]
0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 Temperature
Total emission
Fig. 3 Calculated vapor temperature at the bubble wall and the total emission from the surface around the collapse point for the case of P∞ =1 atm shown in Fig. 1.
발광펄스의 반너비폭이 기포의 최대반경에 비례 하여 증가하는 것을 발광펄스의 반너비폭을 측정 한 값(7)과 비교하여 Fig. 4 에 나타내었다. 측정값 의 경향이 비록 계산결과의 경사도보다 다소 낮지 만 최대반경이 증가함에 따라 반너비폭이 선형적 으로 증가함을 보여주고 있다.
Maximum Radius, Rmax [ mm ]
0.20 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30 0.32 0.34 0.36
Pulse width [ ns ]
0 1 2 3 4 5 6
Calculated values Experimental results
Fig. 4 Half width (FWHM) of the luminescence pulse as a function of the maximum bubble radius.
The solid line indicates the calculation results while full circles denote observed results by Baghdassarian et al.(7).
5. 결 론
레이저에 의해 생성된 기포가 1 차 수축시 발생 되는 빛의 펄스폭과 시간에 따른 기포반경의 변화 를 계산하였다. 기포의 최대반경에 선형적으로 변 화하는 반너비폭을 계산값과 측정값을 비교하여 그 경향을 밝혔다. 레이저에 의해 생성된 기포로 부터의 발광기구는 그 펄스의 폭이 수 나노초로 흑체복사에 기인한 것임을 밝혔다.
후 기
본 연구는 한국과학재단 특정목적기초 연구비 지원(과제번호 1999-1-304-002-5)으로 행해진 연구 임.
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