ABSTRACT
PURPOSES : Determination of particle packing model variables that can be used for formulation of new DEM based particle packing model by examining existing particle packing models
METHODS : Existing particle packing models are thoroughly examined by analytical reformulation and sensitivity analysis in order to set up DEM based new particle packing model and to determine its variables. All model equations considered in this examination are represented with consistent expressions and are compared to each others to find mathematical and conceptual similarity in expressions.
RESULTS : From the examination of existing models, it is observed that the models are very similar in their shapes although the derivation of the models may be different. As well, it is observed that variables used in some existing models are comprehensive enough to estimate particle packing but not applicable to DEM simulation.
CONCLUSIONS : A set of variables that can be used in DEM based particle packing model is determined.
Keywords
particle packing model, aggregate, aggregate distribution curve, discrete element method
DEM을 이용한 골재다짐모형 개발을 위한 기존 모형 분석
A Study on Aggregate Particle Packing Models for Development of DEM based Model
윤`태`영 Yun, Tae Young 정회원·한국건설기술연구원 수석연구원·교신저자 (Email : [email protected]) 김`기`현 Kim, Ki Hyun 정회원·한국건설기술연구원 전임연구원 (Email : [email protected]) 유`평`준 Yoo, Pyeong Jun 정회원·한국건설기술연구원 연구위원 (Email : [email protected]) 김`연`복 Kim, Yeon Bok 정회원·한국건설기술연구원 선임연구위원 (Email : [email protected])
1. 연구배경 및 목적
골재 혼합물의 다짐밀도(Packing Density, PD)는 콘크리트 및 아스팔트 혼합물에서 시멘트 입자와 아스 팔트 바인더의 함량을 결정하며, 혼합물의 강도와 거동 에 영향을 미치는 중요한 요소이다. 골재 혼합물의 다짐 밀도에 영향을 미치는 인자는 골재의 크기와 형상 등이 있으며, 건조한 시멘트 입자의 경우에는 입자간의 인력 등이 다짐밀도에 영향을 미치기도 한다. 입자 또는 골재
의 다짐밀도에 대한 연구는 다양한 분야에서 지속적으 로 이루어져 왔으며(Fu and Dekelbab 2003, Jones et al 2002), 이러한 연구의 최종적인 목적은 입자 또는 골재의 다짐밀도를 최대화하거나, 이를 통하여 바인딩 재료의 양을 감소시켜 재료의 강도 또는 거동을 사용자 가 원하는 형태로 발현시키는 입도분포곡선을 선정하는 것에 있다고 할 수 있다. 특히 시멘트 콘크리트의 경우 에는 생산과정에서 대량의 에너지를 소모하거나 대량의
Corresponding Author : Yun, Taeyoung, Senior Researcher
Highway Research Division, Korea Institute of Construction Technology, 283, Goyangdae-Ro, Ilsanseo-Gu, Goyang-Si, Gyeonggi-Do, 411-712, Korea Tel : +82.31.910.0445 Fax : +82.31.910.0161
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International Journal of Highway Engineering http://www. ijhe.or.kr/
ISSN 1738-7159 (Print) ISSN 2287-3678 (Online)
Int. J. Highw. Eng. Vol. 15 No. 5 : 31-45 October 2013 http://dx.doi.org/10.7855/IJHE.2013.15.5.031
이산화탄소를 발생시키는 시멘트의 사용을 줄이기 위하 여 주로 활용되며(Fennis 2011), 아스팔트 콘크리트의 경우에는 온도에 따라 물성의 종속성이 큰 바인더의 단 점을 보완하는 골재구조를 형성하기 위하여 주로 활용 된다. 본 연구에서는 시멘트 콘크리트나 아스팔트 혼합 물의 골재 입도분포곡선을 결정하거나 다짐밀도를 예측 하기 위하여 활용되어온 다양한 다짐밀도모형을 일관성 있는 형태와 변수를 적용하여 이론적 특성을 분석하였 으며, 이를 바탕으로 향후 다짐밀도모형 개발에 필요한 변수를 결정하고자 하였다. 이를 위하여, 1800년대 후 반부터 현재까지 제안된 주요한 다짐밀도모형 또는 입 도분포곡선의 특성을 수학적으로 고찰하였으며, 정량적 인 평가를 위하여 활용도가 빈번한 범위 내에서 활용이 가능한 이론적 다짐밀도모형을 이용하여 민감도 분석을 수행하였다. 또한 이들 결과를 바탕으로 이산요소법 (Discrete Element Method, DEM)을 적용하여 개발 할 수 있는 경험적 다짐밀도모형의 형태를 제시하였다.
2. 다짐밀도모형 및 이론적 고찰
2.1. 2개 골재더미에 대한 다짐밀도모형 및 고찰 토목분야에서 다짐밀도모형은 주로 시멘트 콘크리트 의 골재입도 선정을 위하여 이루어져 왔으며, 최근에는 아스팔트 콘크리트의 골재입도 선정방법도 이와 유사한 방법을 따르고 있다. 대부분의 다짐밀도모형은 개념의 단순화를 위하여 골재의 형태를 구형입자(Spherical Particle)로 가정하여 수학적인 개념을 유도하는 것이 일반적이기 때문에, 실제 입자 형상의 차이에 따른 골재 의 마찰력(Friction)이나 골재 상호간의 맞물림 (Interlocking) 등의 물리적인 상호작용을 직접적으로 고려하지는 못한다. 따라서 수학적인 개념에서 반영하 지 못하는 골재의 형태에서 발생되는 특성은 개별입도 골재 또는 혼합입도 골재에 대한 실내 다짐실험을 통하 여 보완되어 간접적으로 다짐밀도모형에 반영할 수 있 는데, 본 절에서는 2가지 골재더미(Stockpile)에 대하 여 적용된 다양한 형태의 다짐밀도모형을 고찰하였다.
이를 위하여 각 논문에서 제시된 다짐밀도모형에서 사 용된 기호를 일관성 있게 표기하였으며, 다짐밀도모형 에서 이해가 필요한 개념은 그림으로 도식화하여 표기 하였다. 다음 Eq. (1)은 다양한 다짐밀도모형에서 사용 된 기본적인 개념인 골재혼합물의 부피( ), 골재만의 부피( ) 및 골재가 생성하는 공극의 부피( )를 나타 내고 있으며, Eq. (2)와 Eq. (3)은 다짐밀도와 공극률의
정의를 각각 나타내고 있다. 특히 Eq. (2)에서 정의된 다짐밀도는 일반적으로 물리학에서 정의되는 밀도의 정 의와 다른 것으로 부피의 비로 표현되어 있는 것을 알 수 있다.
여기서, : 골재혼합물의 전체부피(Bulk Volume) : 골재혼합물에서 골재부피(Solid Volume)
: 골재혼합물에서의 공극
여기서, : 골재혼합물의 다짐밀도
여기서, : 공극율
한편, 2개 이상의 골재더미로 구성된 골재혼합물이 다짐밀도 분석의 대상이 될 때, 골재혼합물의 부피( ) 중에서 번째 개별 골재의 골재만의 부피( )가 차지 하는 부피의 비 또는 번째 개별 골재의 다짐밀도는 다 음 Eq. (4)와 같이 정의된다.
여기서, : 골재혼합물 내에서 번째 골재더미의 다짐밀도
: 골재혼합물 내에서 번째 골재더미의 골재부피
또한 번째 골재 더미의 의 모든 골재의 의 합에 대한 부피비( )는 다음 Eq. (5)와 같이 정의될 수 있으 며, 이때 모든 의 합은 Eq. (6)과 같은 관계를 갖는다.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
2.1.1. Furnas Model
골재혼합물의 다짐밀도를 최대화하기 위한 체계화된 방법으로 Furnas(1929)는 그룹 내 입도가 동일한 두 가지 골재 그룹을 대상으로 다짐밀도( ) 또는 공극률 ( )을 계산하는 모형을 제시하였다. 이 모형에서 굵은 골재가 중심이 된 골재구조에서 굵은골재가 생성하는 공극을 잔골재가 채우는 경우(Coarse-Graded Mix, Case 1)와 잔골재로 이루어진 골재구조에서 잔골재를 굵은골재가 대체하는 경우(Fine Graded Mix, Case 2)로 다음 Fig. 1과 같이 단순화하여 제시하였는데, 이 러한 개념은 골재다짐의 특성을 적절히 반영한다고 평 가되어 최근까지도 골재다짐의 이해를 위하여 지속적으 로 활용되고 있다. Fig. 1의 (a), (b), (c)는 각각 Case 1, Case 2와 이때의 공극( ) 및 골재부피( )를 나타 내고 있다.
Furnas 모형의 Case 1과 Case 2에 사용된 개념은 이상에서 정의된 Eq. (1)~Eq. (6)을 이용하여 설명될 수 있다. Case 1의 경우에는 잔골재가 굵은골재 사이에 생성된 공극을 채우기만 할 뿐 굵은골재로 이루어진 골 재구조 또는 전체부피에 영향을 주지 않으므로, 골재 혼 합물의 최소다짐밀도는 잔골재가 고려되지 않은 상황에 서 굵은골재가 형성하는 골재구조에 의하여 결정된다.
따라서 Case 1의 최대다짐밀도는 잔골재가 굵은골재에 의하여 생성되는 골재구조를 변화시키지 않으면서 굵은 골재가 생성한 공극을 얼마나 채울 수 있는지에 의하여 결정된다. 따라서 Case 1의 다짐밀도는 Eq. (5)와 Eq.
(6)에 따라 Eq. (7)로 수학적으로 표현될 수 있으며, 굵 은골재가 생성하는 공극을 채우는 잔골재의 부피 및 다 짐밀도의 관계는 Fig. 2와 같이 개념적으로 표현될 수 있다. Fig. 2의 오른쪽은 굵은골재 입자 하나의 부피특 성을 나타내는데, 음영으로 채워진 부분은 골재입자 자 체의 부피를 나타내며 채워지지 않은 부분은 골재입자 가 만드는 공극을 의미한다. 왼쪽은 굵은골재 2개가 이 어진 부분은 2개의 골재로 생성되는 골재 매트릭스
(Matrix)를 나타내며, 매트릭스 내의 공극을 잔골재가 채우는 것을 위의 개념을 의미한다.
한편, 번째 개별 골재의 부피( ) 중에서 골재만의 부피( )가 차지하는 부피의 비(Eigenpacking Degree)는 다음 Eq. (8)과 같이 정의될 수 있다. Case 1의 경우에는 굵은골재가 골재혼합물의 전체 부피를 결정하므 로 Eq. (8)이 Eq. (9)와 같이 표현될 수 있음을 알 수 있다.
여기서, = 번째 골재더미의 Eigenpacking Degree
일 경우,
Case 2의 경우는 잔골재 메트릭스에 굵은골재가 추가 되는 형식이지만, Fig. 3과 같이 골재혼합물의 전체부피 ( )에서 굵은골재가 생성하는 골재만의 부피가 아닌 부 분의 부피를 잔골재로 채우는 것으로도 이해할 수도 있 다. 따라서 굵은골재는 전체 골재혼합물의 다짐밀도에 증가시키며, 전체 골재혼합물의 다짐밀도는 잔골재가 나 머지 부피부분을 메우는 정도를 나타내는 Eq. (10)에 의 하여 결정된다. 이때 =2인 조건을 만족하는 Eq. (5)에 Eq. (10)을 대입하여 정리하면, 골재혼합물 중에서 굵은 골재의 다짐밀도를 나타내는 Eq. (11)을 얻을 수 있다.
Eq. (12)는 Eq. (6)과 Eq. (11)을 활용하여 얻을 수 있는 골재혼합물의 다짐밀도를 나타내는데, 실험적으로 얻을 수 있는 굵은골재의 비율과 Eq. (6)에 의하여 의 함수
Fig. 1 Particle Packing
Fig. 2 Schematic Representation of Adding Fine Aggregate (case 1)
(a) Coarse-Graded Mix(Case 1)
(b) Fine-Graded Mix(Case 2)
(c) Definition of VA, and VS
(7)
(8)
(9)
로 표현될 수 있다.
일 경우,
이상에서 살펴본 바와 같이, Furnas 모형에서는 골 재혼합물의 다짐밀도가 2개의 일차식 Eq. (9)와 Eq.
(12)의 형태로 표현되며, 실험에서 얻어질 수 있는 개별 골재더미의 다짐도( )를 측정하여 굵은골재 또는 잔골 재의 비율( )에 따른 다짐밀도를 예측한다. 이 때, 골 재혼합물의 최대다짐밀도( )는 Case 1과 Case 2에서 얻어지는 두개의 다짐밀도 곡선 Eq. (9)와 Eq. (12)의 교점이 되는 것을 알 수 있다. 한편 이 모형은 잔골재가 다짐 용기 근처에 존재하거나 지름의 차이가 크지 않은 굵은골재와 인접하여 잔골재 부분의 다짐이 충분히 발 생하지 않는 Wall Effect와 굵은골재 사이에서 생성되 는 공극보다 지름이 큰 잔골재에 의하여 골재혼합물의
다짐밀도가 감소하는 Loosening Effect의 개념을 포 함하지 못한다. 따라서 잔골재의 크기가 굵은골재에 비 하여 충분히 작지 못한 조건이나 잔골제와 굵은골재의 다짐밀도곡선이 교차하는 지점에서 실제보다 다짐밀도 를 크게 예측한 것을 알 수 있다.
2.1.2. Aim and Goff Model
Aim and Goff(1967)는 위의 두 가지 경우(Case 1 and Case 2)에 대하여, Wall Effect를 반영하여 골재 의 다짐밀도를 예측하기 위한 모형을 Eq. (13)과 Eq.
(14)로 표현하여 제시하였다. Eq. (14)에서 (1+0.9×
/ )은 두 가지 골재 지름의 비를 이용하여 Wall Effect를 반영하기 위한 함수이며, 는 Wall Effect 를 반영하여 변형된 두 곡선의 교점을 정의하는 함수이 다. 주어진 수식에서 알 수 있는 바와 같이, (1+0.9
× / )는 잔골재와 굵은골재의 지름이 동일할 때 최 대가 되어 다짐밀도를 감소시키며 잔골재가 굵은골재에 비하여 매우 작은 지름을 가질 때 최소가 되어 다짐밀도 를 증가시킨다.
일 경우,
일 경우,
여기서,
2.1.3. Toufar and Modified Toufar Model Toufar et al.(1976)은 주요골재를 잔골재와 굵은골 재로 구분하지 않는 일반화된 다짐밀도모형을 Eq. (15) 와 같이 제안하였다. 이 모형에서는 두 골재의 지름 비 (Diameter Ratio, )와 굵은골재 사이에 잔골재가 채 워지는 것을 표현한 통계적인 요소, 가 고려되었다.
Fig. 3 Schematic Representation of Adding Coarse Aggregate (Case 2)
Fig. 4 Two Effects affecting Packing Density
(10)(11)
(12)
(a) Wall Effect (b) Loosening Effect
(13)
(14)
(15)
Eq. (16)은 Toufar가 제시한 모형에서 각 요소의 물 리적인 의미를 나타내기 위하여 골재 부피의 개념을 이 용하여 다시 표현한 것이다. 여기에서 Eq. (17)은 두 가 지 다른 골재더미의 지름비에 따른 Wall Effect를 반영 하기 위한 의 정의를 나타내고 있으며, Eq. (18)의 는 Loosening Effect를 반영하기 위한 확률적 함수 를 나타내고 있다. Eq. (18)에서 변수로 사용되는 Eq.
(19)의 는 잔골재가 4개의 굵은골재 사이의 공극을 얼 마나 메웠는지를 나타내는 굵은골재 사이의 공극 ( )에 대한 잔골재의 부피( )의 비로 정의된다. 따라서 잔골재가 굵은골재 사이의 공극을 많 이 채우게 되면 값이 증가되어 전체 다짐밀도가 커지 는 것을 알 수 있다.
여기서, = 굵은골재의 전체부피(Bulk Volume)
= 잔골재의 전체부피(Bulk Volume)
= 굵은골재 사이의 공극
Fig. 5는 잔골재와 굵은골재의 지름에 따른 의 변
화를 나타내고 있는데, 잔골재의 지름이 커지거나 굵은 골재의 지름이 작아질수록 감소하는 것을 알 수 있다.
그러나 Toufar 모형에서는 Eq. (19)와 같이 잔골재 가 굵은골재가 생성하는 공극을 채우는 것으로 가정하 기 때문에 Fig. 6의 원점부근에서와 같이 적은량의 잔 골재가 굵은골재에 추가되었을 경우에도 Loosening Effect를 과대평가하여 잔골재 추가에 따른 골재혼합물 의 다짐밀도를 적절하게 예측하지 못하는 문제점이 있 다. 따라서 Modified Toufar(Goltermann et al., 1997) 모형에서는 이전에 제시된 함수를 재정의하여 이 를 보완하여 관련된 Loosening Effect에 관련된 함수 를 다음 Eq. (21)과 같이 정의하였으며, 의 일반적 인 경향은 Fig. 6에 나타나 있는 바와 같이, 값이 0.4753보다 작은 경우에 한하여 나타난다.
일 경우,
여기서, =0.4753,
=0.3881
일 경우,
Eq. (15)의 Toufar 모형 또는 Modified Toufar 모 형은 간단한 정리를 통하여 Eq. (21)과 같이 표현될 수 있는데, Eq. (9)와 Eq. (12)로 표현되는 Furnas 모형이 나 Eq. (14)로 표현되는 Aim and Goff 모형과 매우 유 사한 것을 알 수 있다. 이것은 다짐밀도를 나타내는 모
Fig. 6 Variation of with
(16)(17)
(18)
(19)
Fig. 5 Variation of with and
(20)
형에서 사용되는 공극을 메우는 Furnas의 개념과, 개념 을 모형화하는 과정에서 사용된 변수가 유사하기 때문에 나타나는 것임을 알 수 있으며, 골재더미의 수가 증가하 더라도 크게 변화하지 않을 것임을 예측할 수 있다.
2.2. 2개 이상의 골재더미에 대한 다짐밀도모형 및 고찰
2.2.1. 최적입도곡선
엄격한 의미에서 아래의 최적입도곡선 모형은 다양한 골재의 비율에 대한 다짐밀도를 나타낼 수 있는 일반적 인 다짐밀도모형이라 할 수 없으나, 아스팔트 콘크리트 와 시멘트 콘크리트에서 다짐밀도모형이 최대다짐밀도 를 나타내는 골재비율을 결정하는 것이라는 점을 고려 하여 본 논문에서 검토되었다. 먼저 Fuller and Thompson(1907)에 의하여 개념적으로 제시된 입도분 포곡선은 Talbot and Richart(1923)에 의하여 Eq.
(22)와 같이 제시되었다. Eq. (22)는 아스팔트 콘크리 트와 시멘트 콘크리트의 입도를 결정하기 위하여 몇 가 지 조건을 추가하는 형태로 현재까지도 활용되고 있다.
여기서, = 체를 통과하는 골재의 비율
= 사용되는 체의 지름
= 최대 골재크기
= 경험상수 (0.45~0.7)
Eq. (22)를 좀더 구체적으로 살펴보면, 수식의 특성상 아무리 작은 지름을 갖는 골재에 대해서도 유한한 값을 나타낼 것임을 알 수 있다. 실제 사용되는 잔골재의 크기 가 정해져 있는 실제 상황에서 Eq. (22)는 다소 논리적 인 합리성이 떨어지는 것을 알 수 있는데, Funk and Dinger(1980)는 이러한 수식의 단점을 보완하기 위하여 최소골재의 직경을 고려한 Eq. (23)을 제시한 바 있다.
여기서, = 최소 골재크기
2.2.2. Linear Packing Density Model
Stovall et al.(1986)은 2개 이상의 그룹의 골재 다짐 밀도를 예측할 수 있는 Linear Packing Density Model(LPDM)을 제시하였다. Furnas 모형에서는 Eq.
(9)와 Eq. (12)와 같이 2가지의 경우로 구분하여 각각의 경우에 대한 곡선의 방정식을 적용하였으나, 이는 결국 동일한 잔골재비에 대하여 두 곡선이 나타내는 값 중에 서 작은 값을 취한 경우와 동일하다. 따라서 LPDM에 서는 이와 같이 2개의 골재더미에 대하여 사용된 개념 을 골재더미의 수에 따라 생성되는 곡선 중에서 작은 값 을 취하는 형식으로 확장하여 Eq. (24)와 같이 표현하 였다. 따라서 위의 Fig. 2와 Fig. 3은 골재더미의 총 개 수를 나타내는 상수 , 각 골재더미를 나타내는 (가 장 굵은골재의 경우, =1)를 이용하여 표현될 수 있다.
골재혼합물은 부터 까지의 잔골재로 구성된 잔골재 혼합물( )과 굵은골재( -1)에 의하여 표현될 수 있는 데, Fig. 2에서는 굵은골재( -1)에 의하여 생성된 공극 을 가상의 잔골재( )가 채우는 형식이 되며, Fig. 3에 서는 가상의 잔골재( )에 굵은골재( -1)가 추가되는 형식이 된다. 이러한 과정을 골재더미의 수에 따라서 반 복하면, 번째 골재더미까지의 일반화가 가능하다.
예를 들어, Eq.(24)는 =2, =3일 때 각각 Eq.
(25)와 Eq. (26)으로 표현되는데, 특히 =2일 때를 나 타내는 Eq. (25)는 Furnas 모형이 나타내는 Eq. (9)와 Eq. (12)의 조합임을 알 수 있다.
일반화된 LPDM에서는 Wall Effect와 Loosening Effect를 고려하기 위하여 와 를 각각 도 (21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
입하였다. Eq. (27)은 Wall Effect와 Loosening Effect를 포함한 LPDM을 나타내고 있는데, 골재더미 와 골재더미 사이의 상호작용까지 정의하기 때문에 이를 구하기 위한 실험 및 과정이 다소 복잡한 것을 알 수 있다. 일반화된 LPDM은 입자의 다짐밀도 예측 상 용 소프트웨어인 4C-Packing(Glavind et al., 1999) 에 반영되어 여러 용도로 활용되고 있다.
여기서, = 골재 와 사이의 Wall Effect 함수
= 골 재 와 사 이 의 Loosening Effect 함수
2.2.3. Andersen and Johansen Model Andersen and Johansen(1991)은 2개 이상의 골재 더미에 Wall Effect와 Loosening Effect를 고려할 수 있는 모형을 다음 Eq. (28)과 같이 제시하였다.
여기서,
= 골재 와 사이의 Wall Effect 함수
= 골재 와 사이의 Loosening Effect 함수
Eq. (29)와 Eq. (30)은 각각 =2, =3일 경우의 Andersen and Johansen 모형이 표현하는 다짐밀도 를 나타낸다. 동일한 조건에 대한 다짐밀도를 나타내는 Eq. (15)와 Eq. (29)의 비교를 통하여 Andersen and Johansen 모형이 Toufar 모형과 매우 유사한 형태를 갖는 것을 알 수 있다.
=2일 경우,
=3일 경우,
Andersen and Johansen 모형은 임의의 하나의 골 재더미를 2개 이상의 골재로 강제로 구분하면, 해당 골 재의 부피 특성을 그대로 사용하더라도 골재혼합물의 다짐밀도가 강제로 구분하기 전의 결과와 일치하지 않 는 문제점이 있다. 이러한 문제점은 Case 1과 Case 2 를 통합하여 하나의 수식으로 일반화하는 과정에서 발 생되는 문제점인데, 상용 프로그램인 Europack(Idorn 1995)에서는 혼합된 두 가지의 골재혼합물을 하나의 골 재로 가정하는 순차적인 방법(Stepwise Procedure)을 적용하여 해결하고자 하였다. 이 프로그램은 시멘트 콘 크리트 골재혼합물 등의 다짐밀도 등고선(Packing Contour Diagram) 등을 만드는데 사용되었으나, 근 사적인 개념을 활용한 순차적인 방법을 이용하더라도 완전히 발생을 배제할 수 없는 오차로 인하여 여러 개의 유사한 골재더미를 이용하는 골재혼합물에는 적합하지 않다.
2.2.4. Compressible Packing Model
Compressible Packing Model(CPM)에서는 임의의 형태의 골재가 의도적으로 배치될 때 얻어질 수 있는 가 (27)
(28)
(29)
(30)
상다짐밀도(Virtual Packing Density for a Mixture, )를 활용하는 형태로 Larrard(1999)에 의 하여 제안되었다. CPM 모형은 LPDM이나 Andersen and Johansen 모형과 같이 골재혼합물 내의 모든 골 재더미와 다른 모든 골재더미와의 경험적 상호작용과 가상다짐밀도를 포함하는 경험식에 가깝기 때문에 Eq.
(31)~Eq. (35)의 복잡한 형태로 표현된다. Eq. (31)은 가상다짐밀도를 나타내고 있는데, 가정된 골재의 형태 에 따라 최대값이 달라지는 특성을 갖는다. 예를 들어 골재를 완전한 구형(Sphere)로 가정한 경우의 가상다 짐밀도는 기하학적으로 얻을 수 있는 최대값인 0.72이 된다. Eq. (32)와 Eq. (33)은 각각 Loosening Effect 와 Wall Effect를 고려하기 위하여 오랜 기간 동안 축 척된 자료를 이용하여 결정한 회귀식이며, Eq. (34)의 는 실험에서의 다짐조건 또는 다짐에너지를 반영하 는 지표이다. 는 수분조건과 다짐방법에 따라서 달라 지는데, 건조한 조건에서 103kPa의 압축력으로 진동다 짐을 했을 경우 는 9가 된다. Eq. (32)와 Eq. (33)의 , Eq. (35)의 등은 위에서 정의한 바와 같이 각각 번째 골재의 지름 및 다짐밀도를 나타낸다.
여기서,
따라서 각 골재더미에 대하여 골재의 기하학적 특성, 다짐방법, 실린더를 이용한 다짐실험을 통하여 , 과 , 를 결정 또는 측정한 후, Eq. (34)를 최 대한 만족시키는 를 최적화를 통하여 결정하면, 최적 골재함량 와 골재혼합물의 다짐밀도 를 얻을 수
있다. 한편 CPM 모형에서는 골재분리(Segregation)을 최소화하기 위한 기준을 다음 Eq. (36)과 같이 제시하 여, 위의 최적화와 동시에 수행하기를 권장하기도 한다.
CPM은 최대다짐밀도를 예측하기 위한 RENE LCPC 나 최적함량을 결정하기 위한 BETONLABPRO와 같은 상용 프로그램에 적용되었다. 또한 CPM은 가장 최근에 제시되어 다양한 형태로 수정되고 있으나, 기존의 다른 모형과 유사한 형태의 변수를 적용하는 것에 비하여 직 관적이지 못하고 정량화해야할 변수가 많아 활발하게 적용되고 있지는 못하다.
2.2.5. Bailey Model
Bailey 모형(Vavrik et al. 2000)은 아스팔트 혼합 물에 사용되는 골재에 대하여 목표단위중량(Chosen Unite Weight)을 얻기 위한 개별 골재더미의 최적함량 을 결정하기 위한 모형이다. Bailey 모형에서도 Furnas 모형 등에서 활용한 Case 1과 Case 2의 경우 를 구분하여 개별 골재더미의 최적함량을 결정하는데, 2차원 및 3차원 공간에서 다양한 골재의 형태를 기하학 적 분석을 통하여 굵은골재가 생성하는 공극을 채울 수 있는 잔골재를 굵은골재 지름의 22% 이하의 골재로 정 의하였다. 다음 Fig. 7은 Bailey 모형에서 정의한 굵은 골재와 잔골재를 나타내고 있다.
한편 Bailey 모형에서는 골재의 지름이 균일하지 않 은 개별 골재더미의 특성을 반영하기 위하여 개별 골재 더미의 입도분포를 활용하기 때문에, 앞서 검토된 모형 들에서 적용하고 있는 단입도 골재에 대한 제약이 없어 (31)
(32)
(33)
(34)
(35)
Fig 7. Loose Unit Weight and Rodded Unit Weight in Bailey Method
(36)
실용성이 높은 장점이 있다. Fig. 8은 골재더미의 비율 을 결정하는데 중요한 역할을 하는 목표단위중량을 나 타내는 것으로서, 굵은골재 위주로 구성되는 골재혼합 물(Case 1, Coarse-Graded Mix)의 경우에는 굵은골 재의 목표단위중량을 다지지 않은 상태의 단위중량 (Loose Unit Weight)의 95%~105%가 되도록 선택하 며, 잔골재 위주로 구성되는 골재혼합물(Case2, Fine- Graded Mix)의 경우에는 다지지 않은 상태의 단위중 량의 90%~95%가 되도록 선택한다. 이는 다지지 않은 굵은골재의 단위중량이 굵은골재의 맞물림을 결정하는 최소값으로 가정하기 때문인데, 굵은골재의 다지지 않 은 단위중량값의 100%를 이용하지 않는 이유는 아스팔 트 바인더의 윤활제 역할을 고려하기 때문이다. 또한 다 진 굵은골재의 단위중량(Rodded Unit Weight)은 일 반적으로 밀입도 아스팔트 바인더에서 얻을 수 있는 최 대 골재 맞물림을 나타내는 단위중량으로 가정되며 일 반적으로 다지지 않은 굵은골재의 단위중량의 110%인 것으로 알려져 있다.
Bailey 모형에서도 Furnas 모형에서와 동일하게 굵 은골재에 의하여 골재구조가 지배되는 경우 (Case 1)와 잔골재에 의하여 골재구조가 지배되는 경우(Case 2)로 구분하여 골재더미의 혼합비율을 결정한다. Case 1의 경우에는 목표단위중량을 결정한 후, 각 골재더미의 초 기혼합비(Initial Stockpile Percent)를 가정한다. 초기 혼합비는 굵은골재가 생성하는 공극과 생성된 공극을 채울 수 있는 잔골재가 굵은골재더미와 잔골재더미에 얼마나 들어있는지에 따라서 조정되어 최종혼합비 (Adjusted Stockpile Percent in Blend)가 되며 잔골 재량이 부족할 경우에는 필요한 채움재(Mineral Filler) 의 양을 조정하여 목표단위중량에 맞추도록 한다. Eq.
(37)은 굵은골재더미와 잔골재더미에서 굵은골재와 잔 골재를 구분하는 제 1체(Primary Control Sieve, PCS)의 정의를 나타내고 있다. Eq. (38)은 가정된 골재 더미의 혼합비를 수정하는데 사용되는데, Eq. (38)의 두 번째와 세 번째 항은 각각 굵은골재더미 내의 잔골재 비
율이나 잔골재더미 내의 굵은골재의 비율을 초기혼합비 에 반영하기 위한 것으로 이해될 수 있다. Eq. (38)과 같 은 형태의 수식은 이상의 다양한 다짐밀도모형에서도 형태에 맞게 개발되어 사용될 수 있다.
PCS
= NMPS×0.22 (37)여기서, NMPS = 공칭최대 골재크기
PCS
= 제 1체여기서, =골재혼합물에서 수정된 골 재더미의 비율
=골재혼합물에서 초기 골재더미 의 비율
=굵은골재더미에서 잔골재의 비율
=잔골재더미에서 굵은골재의 비율
=골재혼합물에서 굵은골재더미 의 비율
Case 2의 경우에도 Case 1의 경우와 유사한 절차를 따르는데, 굵은골재에 대한 목표단위중량을 95% 이하 로 결정하고 각 골재더미의 혼합비를 결정한다. Case 1 과는 달리 잔골재에 의하여 골재구조의 특성이 결정되 므로 잔골재에 의하여 나타나는 특성을 보다 구체적으 로 평가하기 위하여 여러 가지 비율(Ratio)을 추가적으 로 계산하여 제시된 값의 범위와 비교하는 절차를 따른 다. 다음 Eq. (39)~Eq. (41)은 이들을 평가하기 위하여 정의된 비율들을 나타내고 있는데, Eq. (39), Eq. (40), Eq. (41)은 각각 굵은골재가 생성한 공극을 채우기에 큰 골재의 비율, 잔골재 내의 상대적 굵은골재의 비율, 잔골재 내의 상대적 잔골재의 비율을 나타낸다.
Fig 8. Selection of Chosen Unit Weight of Coarse Aggregate (Aschenbrener 2002)
(38)
(39)
(40)
(41)
여기서,
Case 2의 경우에 대하여 가정된 골재더미의 혼합비 를 수정하는데 사용되는 수식은 Eq. (42)에 나타나 있 으며, Fig. 9는 Case 1과 Case 2에서의 방법에 대한 순서도를 나타내고 있다.
여기서, =골재혼합물에서 수정된 골재 더미의 비율
=골재혼합물에서 초기 골재더미 의 비율
=골재혼합물에서 잔골재더미 의 비율
2.3. 민감도 분석을 통한 다짐밀도모형의 고찰 본 절에서는 이상에서 이론적으로 분석된 다짐밀도모
형들에서 공통적으로 사용된 변수들의 변화에 따른 다 짐밀도의 변화를 확인하기 위한 민감도 분석결과를 나 타내고 있다. 민감도 분석에는 개별 단입도 골재더미의 다짐밀도와 골재지름만을 변수로 사용하여 다짐밀도의 변화를 확인할 수 있는 Furnas 모형 또는 단순화된 LPDM, Aim and Goff 모형, Toufar 모형, Modified Toufar 모형이 사용되었다. 한편 Wall Effect와 Loosening Effect가 반영되지 않은 단순화된 LPDM 은 Furnas 모형과 동일한 결과를 나타내는 것을 알 수 있으며, 민감도분석에 사용된 모형 중에서 Modified Toufar 모형(Goltermann et al., 1997)은 800여 가 지의 실험조건에 대하여 만족할 만한 결과를 나타낸 것 으로 최근의 많은 골재다짐밀도 연구에서 기준이 되는 실험자료로 활용되고 있다.
2.3.1. 민감도 분석 조건
민감도 분석에 적용된 단입도 골재더미는 굵은골재 1 종, 잔골재 1종으로 2개의 골재더미가 가정되었다. 실 제로 측정될 수 있는 유의한 결과 범위에 대한 민감도 분석을 수행하기 위하여 굵은골재의 지름은 20mm와 5mm의 두 가지 경우가 고려되었으며, 이에 대응하는 잔 골재의 지름은 1.0mm와 0.001mm으로 고려되었다. 굵 은골재더미와 잔골재더미의 다짐밀도는 각각 0.55와 0.70, 0.85와 0.60가 분석에 활용되었다. 이들의 조합 으로 구성된 골재혼합물은 총 16가지이며, 16개 골재혼 합물의 구체적인 지름 및 다짐밀도에 대한 조건은 Table 1에 구체적으로 제시되어 있다.
2.3.2. 민감도 분석 결과
Table 1의 조건에서 4개의 다짐밀도모형으로 예측한 결과가 Fig. 10과 Fig. 11에 나타나 있다. Fig. 10은 Table 1의 좌측의 잔골재의 지름이 1.0mm인 조건에서 의 순서와 동일하게 Mix 1~Mix 8의 다짐밀도의 변화 를 나타내고 있으며, Fig. 11은 Table 1의 우측에 잔골 (42)
Fig 9. Bailey Aggregate Mix Design Procedure
Table 1. Sensitivity Analysis Condition
Fine Aggregate
=1.0 =0.01
=0.85 =0.60 =0.85 =0.60
=20 =0.70 Mix 1 Mix 5 Mix 9 Mix 13
=0.55 Mix 2 Mix 6 Mix 10 Mix 14
=5 =0.70 Mix 3 Mix 7 Mix 11 Mix 15
=0.55 Mix 4 Mix 8 Mix 12 Mix 16
Co a rs e Ag g reg a te
재의 지름이 0.01mm인 조건에서의 순서와 동일하게 Mix 9~Mix 16의 다짐밀도 변화를 나타내고 있다. 이 론적 고찰결과와 다음 Fig. 10, Fig. 11에서 다음과 같 은 결론을 도출할 수 있다.
골재의 기하학적인 특성에 영향을 받는 Wall Effect 와 Loosening Effect를 반영하는 Toufar 모형과 Modified Toufar 모형은 최대다짐밀도 산출에 있어 서 기하학적인 특성을 반영하지 못하는 Furnas 모형
Fig 10. Variation of Packing Degree (Mix 1 to Mix 8)
이나 Aim and Goff 모형과 큰 차이를 나타낸다.
잔골재가 굵은골재에 비하여 충분히 작은 경우, Furnas 모형과 Aim and Goff 모형은 거의 동일한 결과를 나타낸다. 이것은 Aim and Goff 모형에서
골재의 지름비의 영향 또는 Wall Effect를 반영하는 항이 사라져 Furnas 모형과 동일하게 되기 때문이다.
잔골재의 지름이 굵은골재의 지름에 비하여 충분히 작은 경우, 굵은골재더미의 다짐밀도가 증가하면 골
Fig 11. Variation of Packing Degree (Mix 9 to Mix 16)
재혼합물의 최대다짐밀도가 증가한다.
잔골재의 지름이 굵은골재의 지름에 비하여 충분히 작은 경우, 잔골재더미의 다짐밀도가 증가하면 골재 혼합물의 최대다짐밀도가 증가한다.
잔골재의 지름이 굵은골재의 지름에 비하여 충분히 작 은 경우, 굵은골재의 지름보다는 굵은골재의 다짐밀도 가 골재혼합물의 최대다짐밀도에 큰 영향을 미친다.
굵은골재의 다짐밀도가 낮은 경우에는 다짐밀도가 높 은 경우에 비하여 최대다짐밀도가 나타나는 전체 골 재혼합물에 대한 잔골재의 비율이 증가한다.
굵은골재와 잔골재의 지름이 유사하며 잔골재의 다짐 밀도가 높은 경우에는 골재혼합물의 최대골재다짐밀 도가 잔골재의 다짐밀도와 유사하게 결정된다.
이상의 결론은 2개의 골재더미로 구성된 골재혼합물 에 대한 것이지만, 3개 이상의 골재더미로 구성된 골재 혼합물의 최대다짐밀도가 굵은골재가 생성하는 공극을 상대적인 잔골재가 순차적으로 채우는 것으로 생각할 때, 위의 이론적 또는 민감도 분석결과를 그대로 적용할 수 있다.
3. DEM 해석을 고려한 다짐밀도모형 3.1. DEM의 활용 및 입력변수
개별요소법 또는 이산요소법은 Cundall(1971)에 의 하여 제시되었으며, 힘과 변위의 관계와 뉴톤의 운동법 칙을 이용하여 입자의 거동을 모사한다. 최근 CPU 속 도의 비약적인 향상에 따라 다양한 분야에서 사용되고 있으며, 토목분야에서는 최근 콘크리트 시멘트 혼합물 이나 아스팔트 콘크리트 혼합물의 미시적 범위에서의 거동을 분석하기 위하여 사용되기도 하였다(Liu et al.
2012, You et al. 2009). 이산요소법을 이용한 상용프 로그램으로는 EDEM, PFC3D 등이 있으며, 공개된 프 로그램으로는 YADE 등이 있다. 이산요소법을 이용한 해석을 수행하기 위해서는 입자(Particle)와 접촉모형 (Contact Model)을 적절히 선정해야한다. 입자는 일반 적으로 탄성체로 가정되어 단일구형(Sphere) 또는 겹 쳐진(Overlapping) 구형입자로 표현되어 부피와 단위 중량을 갖으며, 접촉모형은 입자들 사이의 거동을 표현 하기 위하여 탄성, 점탄성, 점소성 등 사용의 목적에 따 라 다양하게 정의된다.
최근 수치해석분야에서는 이산요소법과 유한요소법
(Finite Element Method, FEM)이나 전산유체역학 (Computational Fluid Dynamics, CFD)와의 연동을 통하여 광범위한 재료의 동적인 거동을 실험이 아닌 수 치해석적으로 모사하기 때문에 장래 활용성이 매우 높 다. 다음 Table 2는 이산요소법을 이용한 수치해석에 반 드시 필요한 기본적인 물성(Fundamental Properties) 과 목적에 따라 추가할 수 있는 물성(Additional Properties)을 나타내고 있는데, 골재를 구형입자로 가 정하여 탄성해석을 하는 경우에는 개별 입자의 탄성계 수, 프와송비, 단위중량과 함께 입자사이의 반발계수 (Restitution Coefficient), 정지마찰력, 구름마찰력 (Rolling Friction) 등의 입력변수를 정량화해야 한다.
3.2. DEM 해석을 고려한 다짐밀도모형 제안 앞서 2장에서 살펴본 바와 같이, 골재의 다짐밀도모형 은 골재자체의 지름만을 고려한 초기 모형에서부터, 여 러 개의 골재더미 사이에서의 상호작용을 고려한 모형, 이에 다짐에너지를 고려한 모형 등으로 변화된것을 알 수 있다. 이러한 모형들 중에서 Fuller and Thompson 모형이나 Funk and Dinger 모형은 골재의 최대지름 또는 최대지름, 최소지름과 경험적 특성을 반영하는 입 도분포곡선이지만 이들을 이용한 최대다짐밀도는 Eq.
(43)과 같이 단순하게 표현될 수 있다. Eq. (43)의 경험 적 특성을 반영하는 변수인 은 일반적으로 0.45 근처 의 값이 사용되며 다양한 골재더미의 특성을 반영하기 위하여 임의로 결정될 수 있는 값으로 일부 골재의 지름 이나 형태에 대한 정보를 갖는다. 그러나 이 변수가 특 정한 골재더미 상호간의 물리적인 영향을 정량적으로 반영하고 있다고 보기 어려우므로 Eq. (43)은 골재 다짐 밀도모형의 초기에 제안된 경험적인 모형으로 분류될 수 있다.
Table 2. Properties in DEM
Material Properties Contact Properties
Fundamental Properties
Modulus Poisson’s Ratio
Density
Restitution Coefficients Static Friction Rolling Friction
Additional Properties
Bonding Strength Cohesion Yield Strength Tangential Stiffness Ratio
Damping Factor
(43)
Furnas 모형은 골재더미의 전체 골재혼합물에 대한 각 골재더미의 무게비율과 다짐밀도를 반영한 Eq. (44) 로 단순화될 수 있는 반면, Aim and Goff 모형, Toufar 모형, Modified Toufar 모형, LPDM 모형, Andersen and Johansen 모형은 Eq. (44)를 기본으 로 각 골재더미의 지름의 영향이 반영되어 Wall Effect 와 Loosening Effect를 고려할 수 있다는 점에서 Eq.
(45)와 같이 표현될 수 있다. 한편 Furnas 모형의 계열 에 속하는 Aim and Goff 모형이나 LPDM 모형은 주 요골재에 따라 최소값을 취하는 형태로 나타나는 반면, Toufar 모형의 계열에 속하는 Andersen and Johansen 모형 등은 하나의 함수로 제시되어있어 보 다 체계적이고 활용이 유리한 장점이 있다. 그러나 두 계열의 모형을 대표적으로 나타내는 Eq. (25), Eq.
(26)과 Eq. (29), Eq. (30)을 비교하면 분모에서 최대골 재의 중량비와 다짐밀도를 표현하는 형식에서 다소 차 이가 날 뿐 거의 동일한 것을 알 수 있다. Bailey 모형 은 골재더미의 입도분포를 고려하여 순차적으로 보정하 는 절차를 추가적으로 명시하고 있으나, 개념적으로는 개별 골재더미의 무게비율과 다짐밀도를 활용하고 있 어, Eq. (45)와 유사한 형태로 구분되는 것이 타당하다.
그러나 Bailey 모형은 CPM이나 Johansen and Anderson 모형과는 달리 임의의 골재더미와 다른 골 재더미 사이의 상호작용을 고려하지는 못하는 한계가 있다. 이는 단입도로 구성되어 있지 않은 골재더미들 사 이의 상호작용을 실험적으로 정량화하여 모형에 반영하 기 어렵기 때문이라 볼 수 있는데, 측정해야할 변수를 단순화하여 모형 사용의 편의를 도모할 수 있다는 측면 에서는 장점으로 볼 수 있으나 골재 입도의 특성을 정밀 하게 반영하기 어렵다는 측면에서는 단점이 될 수도 있 다. Eq. (46)은 다짐의 정도 또는 다짐에너지까지를 고 려하는 일반화된 함수의 형태를 나타내며, CPM을 나타 내는 Eq. (31)이 범주에 속한다.
이상에서 구분된 다짐밀도모형은 골재혼합물의 다짐 밀도를 예측하기 위한 것으로 다짐밀도를 예측하기 위 한 최소의 정보 즉, 골재혼합물에서 개별골재더미의 중
량비( ), 개별골재더미의 다짐밀도( ), 개별골재더미 의 지름( ) 및 다짐에너지( )를 활용하고 있으며, 이 들 만으로도 골재혼합물에 대해서는 비교적 합리적인 결과를 나타내는 것으로 평가되고 있다. 그러나 다양한 이론적 다짐밀도모형을 반복적으로 모사가 가능하며, 입자 사이의 점성 또는 유동을 고려한 입자를 이용하여 아스팔트 또는 콘크리트 혼합물의 배합설계법으로 확장 에도 적용이 가능한 이산요소법으로 모사하기 위해서는 위의 다짐밀도모형에서의 사용된 물리적 변수와 수치해 석에 사용되는 변수와의 상관관계를 결정할 필요가 있 다. 이러한 관점에서 살펴보면, Table 2의 탄성계수, 프와송비, 단위중량과 같은 물리적인 변수는 이산요소 해석에서 그대로 사용하는 것이 타당하며, 재료의 변형 에 의하여 발생되는 구름마찰력은 0에 가까운 값으로 가정하는 것이 타당하다. 또한 개별 골재의 다짐밀도를 나타내는 는 충돌이후의 속도변화를 타나내는 반발 계수와 골재와 골재사이 또는 골재와 다짐용기 사이에 서 발생하는 정지마찰력과 정지마찰력에 영향을 미치는 골재의 형상 및 표면 조건에 의하여 결정될 것이므로 이 산요소해석을 고려한 경험적 다짐밀도모형으로 다음 Eq. (47)을 제안할 수 있다. 특히, Eq. (47)에서 골재의 형상 및 표면 조건을 나타내는 변수 는 모형의 효율 성을 위하여 골재의 부피 또는 중량에 따라 변화할 수 있는 통계적인 의미를 포함할 필요가 있다.
여기서, =입자더미 의 감쇄계수
=입자더미 의 형상계수
=입자더미 의 정지마찰계수
=입자더미 와 사이의 정지마찰계수
Eq. (47)은 민감도분석 결과를 나타낸 Fig. 10과 Fig.
11에서 나타난 변화 또는 Wall Effect와 Loosening Effect를 고려하기 위한 항을 포함하지 않으나, 이들의 영향은 이산요소법에서 골재를 모사하는 과정에서 근본 적으로 고려될 것이기 때문에, 다양한 조건에서의 수치 해석을 통한 다짐밀도 결과를 에 정지마찰력으로 반 영하면 경험적 다짐밀도함수의 개발이 가능하다.
4. 결론 및 요약
본 연구에서는 기존의 이론적 다짐밀도모형을 고찰하 (44)
(45)
(46)
(47)
고 유의한 조건에서 민감도 분석을 수행하여 다짐밀도 모형의 주요변수 및 특성을 분석하였으며, 이들 결과는 다음과 같이 요약될 수 있다.
1. 굵은골재 또는 잔골재의 양에 따라 다짐밀도모형을 구분하여 적용하는 방법은 직관적으로 이해할 수 있 다는 장점이 있으나, 최근의 모형에서는 이러한 조건 에 무관하게 적용될 수 있는 일반화된 모형들도 제시 되고 있다.
2. 다양한 다짐밀도모형 재해석을 통하여 확인된 다짐 밀도모형의 주요변수는 개별 골재의 단위중량, 지름 및 개별 골재더미의 다짐밀도이며, Wall Effect와 Loosening Effect를 고려하기 위한 통계적 함수를 적용하거나 다짐에너지를 고려하기 위한 변수도 조 건에 따라 적용이 가능하다.
3. 대부분의 이론적 다짐밀도모형에서 개별 골재더미의 다짐밀도는 골재혼합물의 다짐밀도에 큰 영향을 미 치는 변수이다. 그러나 그 영향이 작지 않을 것으로 예측되는 개별 골재더미 사이의 물리적 상호작용은 대부분의 기존 다짐밀도모형에 고려되어 있지 못하 는데, 이는 이산요소법을 적용한 수치해석적 방법으 로 고려할 수 있다.
4. 이산요소법을 적용하여 개발될 수 있는 경험적 다짐 밀도모형은 기존 다짐밀도모형 및 이산요소법에 사 용되는 변수에 대한 고찰을 통하여 Eq. (47)과 같이 제안되었으며, 이 모형은 효율적인 이산요소법을 활 용한 다짐밀도모형 개발에 활용될 수 있다.
감사의 글
본 연구는 한국건설기술연구원의 주요사업 재원으로 수행 되었습니다.
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( 접수일 : 2013. 6. 5 / 심사일 : 2013. 6. 27 / 심사완료일 : 2013. 8. 12 )
