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™[ > _  ¢ - a„  ô  Ç > í ß –s  0 p x  . €  $  € ª œ  © œ : r\ " f   6

 

x÷ &  H ´ òõ  Œ •6   x| ¾ Ó (effective action)_  & ñ _ \  ¦ € ª œ % i † < Æ

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L = 1 2

X

k

˙q _k ² − V (q) (1)

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E-mail: [email protected]

#

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% i “ ¦ ~ = 1– Ð % i  . s  > _  € ª œ % i † < Æ`  ¦ l Õ ü t   H Hamiltonian“ É r  6 £ §õ  ° ú   .

H = 1 2

X

k

p ² _k + V (q) (2)

s

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#

Œ  6 £ §õ  ° ú  s 
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­ q ^f ¯

¯ e ^−iHT ¯

¯q ⁱ ®

= Z

d[q]e ⁱ

R

_{T /2}

−T /2

dtL

(3)

0

A\ " f  ⠖ Ð& h ì  r“ É r q k (−T /2) = q _k ⁱ s “ ¦ q k (T /2) = q ^f _k “  

—

¸Ž  H  ⠖ Ð q k \  @ / # Œ ' Ÿ  # Œ ”   .

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¡Ü ¼– Ѝ  H analytic continuation `  ¦ # Œ ) ‡Ã ºr ç ß – τ = it`  ¦  6   x # Œ s  : r`  ¦ „  > h l – Ð ô  Ç . z  ´] j– Ѝ  H t ) ‡ Ã

º ÷ &“ ¦ τ  z  ´Ã º° ú כ`  ¦ ° ú >   ) a . s   â Ä º 0 A_  d ” “ É r



6 £ §õ  ° ú  s   † 1   כ s  .

­ q ^f ¯

¯ e ^−HT ¯

¯q ⁱ ®

= Z

d[q]e ⁻

R

_{T /2}

−T /2

dτ L

E

(4)

#

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k ˙q _k ² + V (q) s “ ¦ ˙q k   H _dτ ^d q k \  ¦ _ p ô  Ç



. ¢ ¸ô  Ç T = iT s  . # Œl " f• ¸  ⠖ Ð& h ì  r“ É r q k (−T /2) = q ⁱ _k s “ ¦ q k (T /2) = q _k ^f “   — ¸Ž  H  ⠖ Ð q k \  @ / # Œ ' Ÿ  # Œ

”



 .

s

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-41-

1 2 3 4 5 6 7 8 -3.5

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0

q

J Λ=0.2

dotted curve: q vs. J

Fig. 1. q vs. J graph when λ = 0.2.

1 2 3 4 5

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0

q

J Λ=4.0

dotted curve: q vs. J

Fig. 2. q vs. J graph when λ = 4.0.

ô

 Ç .

e ^{−W [J]} = Z

d[q]e ⁻

R

_{T /2}

−T /2

dτ (L

E

+ P

k

q

k

J

k

) (5)

#

Œl " f J(τ )  H τ \  ¦   à º– Ð   H e ” _ _  z  ´Ã º † < Êà º– Ð ü @ Â

Ò ™ èÛ ¼ â ì2 £ § (external current source)`  ¦
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˜

q k (τ ) = δ

δJ k (τ ) W [J] (6) 0

A_  d ” \  _ K " f ˜ q ü < J  H " f– Ð  © œ@ /~ ½ Ó\  _ ” > r > 

 )

a . ´ òõ   Œ •6   x| ¾ ӓ É r  6 £ §õ  ° ú  s  W [J]_  Legendre   

¨ 8

Š\  _ K  & ñ _  ) a .

Γ[˜ q] = W [J] − Z _{T /2}

−T /2

X

k

˜

q k J k (7)

s

d ” Ü ¼– Ð Â Ò'  d ”  (6)_  % i `  ¦ ½ ¨ €    6 £ §õ  ° ú   .

J k (τ ) = − δ

δ ˜ q k (τ ) Γ[˜ q] (8) s

 d ” “ É r  – Ð î  r1 l x~ ½ Ó& ñ d ” \  @ /6 £ x   H d ” Ü ¼– Ð “ ¦„  & h “   î



r1 l x~ ½ Ó& ñ d ” _  € ª œ % i † < Æ& h “   S X ‰ © œÜ ¼– Ð ^  ¦ à º e ”  .

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™[ > `  ¦ ½ ¨ >  ÷ &  HX < ° ú  “ É r ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð € ª œ % i † < Æ_   â Ä º

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H  6 £ §_  d ” Ü ¼– Ð ½ ¨K ”   .

V(q) = lim

T →∞

1

T Γ[˜ q] (9)

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 1

2 3 4 5

Potential energy

q Λ=0.2

solid curve: classical potential dotted curve: effective potential

Fig. 3. Effective potential when λ = 0.2.

#

Œl " f ˜ q k (τ ) = q _k s “ ¦ q _k   H r ç ß –\  _ ” > r t  · ú §  H  © œÃ º s

 . s  Qô  Ç ˜ q k \  @ /K  ´ òõ  Œ •6   x| ¾ Ó Γ[˜ q]  H  © œÃ º q _k ü < T _

 † < Êà º– Ð Ò q ty Œ •½ + É Ã º e ” “ ¦ s  Qô  Ç _ p \ " f Γ(q, T ) – Ð j

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t à º e ” `  ¦  כ s  .   ² D G ´ òõ ( J $ ™[ > “ É r V(q) = lim

T →∞

1

T Γ(q, T ) (10)

  ) a .

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†

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Êà º– Ð ^  ¦ à º e ”  . 7 £ ¤ W [J] = W (J, T ) s  . s ] j d ”  (7)  H  6 £ §õ  ° ú  s  j þ t à º e ” `  ¦  כ s  .

Γ[˜ q] = W (J, T ) − T X

k

J k h˜ q k i (11)

#

Œl " f h˜ q k i = _T ¹ R _T

0 q ˜ k (τ ) s  .

¢

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1 T

∂

∂J k

W (J, T ) = h˜ q k i (12)

d

”

 (12)\  ¦  6   x €   h˜ q k i\  ¦ J k _  † < Êà º– Ð ½ ¨½ + É Ã º e ” >   ) a



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_

p ô  Ç .   ² D G s    õ \  ¦ d ”  (11)\  & h 6   x €   Γ[˜ q]  H h˜ q k i ü

< T _  † < Êà º– Ð ³ ð‰ & ³½ + É Ã º e ” >   ) a .

s

] j h˜ q k iü < q _k _  › ' a> \  @ /K  “ ¦ 9 # Œ ˜ Ðl – Ð  .

s

 > _  Ÿ íJ $ ™¶ û ˜s  P

k q _k J k \  ¦ Æ Ò  8 • ¸ |q k | → ∞ {

9

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“ ¦ Õ ª   H% ƒ\ " f Y U6 \ šs  Ô  ¦ƒ  5 Å q& h s  €  , Ä ºo   H J k  r

ç ß –\  › ' a> \ O s  { 9 & ñ  “ ¦ ½ + É M : s  J k \  K { © œ   H ˜ q k

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¸ r ç ß –\  › ' a> \ O    H  כ `  ¦ ˜ Ð{ 9  à º e ”  . s \  @ /ô  Ç 7 £ x

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>

“ É r

V(q) = lim

T →∞

à 1

T W (J, T ) − X

k

J k q _k

!

(13)

õ



T →∞ lim 1 T

∂

∂J _k W (J, T ) = q _k (14) s

 ¿ º d ” `  ¦  6   x # Œ ½ ¨½ + É Ã º e ”  . ¢ ¸ô  Ç 0 A\ " f ƒ  / å Lô  Ç

›

¸| s  Ø  æ7 á ¤÷ &  H  â Ä º d ”  (14)_  ý a  _  € ª œ• ¸  A ü < ° ú   s

   & ñ  ) a .

e ^{−W (J,T )} = ­ q ^f ¯

¯ e ^−H(J)T ¯

¯q ⁱ ®

= X

n

­ q ^f |n ®

hn|q i i e ^{−T E}

ⁿ

^(J)

→ constant × e ^{−T E}

⁰

^(J)

#

Œl " f H(J) = H + P

k q k J k s “ ¦  t } Œ • ×  ¦_  d ” “ É r T → ∞ _  F Gô  Ç`  ¦ 2 [ô  Ç  כ s  . ¢ ¸ô  Ç |ni “ É r H(J)_  “ ¦ Ä

» © œI \  ¦ Ø Ôv “ ¦ E 0 (J)  H H(J)_   { Œ • © œI  \  -t s 



. 7 £ ¤ lim _{T →∞ T} ¹ W (J, T ) = E ₀ (J)   ) a .



 " f d ” [ þ t (13, 14)“ É r  6 £ §õ  ° ú  s   8¹ ¡ ¤ ç ß –é ß – >  j þ t Ã

º e ”  .

V(q) = E 0 (J) − X

k

J k q _k (15)

q _k = ∂

∂J k

E 0 (J) (16)

s

] j ˜ q k (τ ) = q _k  H † d`  ¦ 7 £ x" î l – Ð  .

J k (τ ) = J k { 9  M : ˜ q k   H d ”  (6)Ü ¼– Ð Â Ò'   6 £ §õ  j þ t à º e

”

 .

˜

q k (τ ) = δ

δJ k (τ ) W [J]| _J=J (17)

=

­ q ^f ¯

¯ e −H(J)(T /2−τ ) q k e −H(J)(τ +T /2) ¯

¯q ⁱ ® e ^{−W (J,T )}

(18)

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.25

0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2

Potential energy

q Λ=4.0

solid curve: classical potential dotted curve: effective potential

Fig. 4. Effective potential when λ = 4.0.

T → ∞ { 9  M : ˜ q k (τ ) r ç ß –\  › ' a>  t  · ú §  H  © œÃ º

 )

a   H  כ `  ¦ ˜ Ðs l  0 AK  τ – Ð p ì  r # Œ ˜ Ð .

d

dτ q ˜ k (τ ) =

­ q ^f ¯

¯ e −H(J)(T /2−τ ) [H(J), q k ]e −H(J)(τ +T /2) ¯

¯q ⁱ ® e ^{−W (J,T )}

→ P

n

0

,m

0

­ q ^f |n 0

® hm 0 |q i i hn 0 | [H(J), q k ] |m 0 i P

n

0

hq ^f |n 0 i hn 0 |q i i 0

A\ " f  t } Œ • ×  ¦_  d ” “ É r T → ∞_  F Gô  Ç`  ¦ 2 [ô  Ç  כ s  .

¢

¸ô  Ç |n 0 i õ  |m 0 i  H  { Œ •  © œI \  ¦ Ø Ôv   H  כ Ü ¼– Ð — ¸¿ º

° ú

 “ É r \  -t  E ₀ (J)\  ¦ ° ú l  M :ë  H\  hn ₀ | [H(J), q _k ] |m ₀ i = 0  ÷ &# Q   ² D G _dτ ^d q ˜ k (τ ) = 0   ) a .

II. „ ÇÊ Ý X c l“ Ó ÞS ë s ( a• Ö כ  Ç8 ý • ¤V  4  ˜ m

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òõ  Œ •6   x| ¾ Ó`  ¦ > í ß – # Œ ˜ Ðl – Ð ô  Ç . \ V– Ð" f  A ü < ° ú  

“ É

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V (J, q) = λ 4 (q ² − 1

λ ) ² + Jq (19)

´

òõ ( J $ ™[ > `  ¦ ½ ¨ l  0 AK  ü @ ҙ èÛ ¼â ì2 £ §`  ¦ Æ Ò % i  .

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ºo   H s p  ~ = 1 – Ð “ ¦ m = 1   % i  . d ”  (19)`  ¦

˜

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

Œ

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X

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† < Æ& h  ' V , a A ´ òõ  \ O # Q | 9   כ s  .

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 (19) _  ( J $ ™[ > `  ¦ t “ ¦ e ”   H € ª œ % i † < Æ> _   { Œ •

\

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ºu K $ 3 `  ¦  6   x “ ¦  ô  Ç . { 9 é ß – ( J $ ™[ > _  — ¸€ ª œ`  ¦ ˜ Ð

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 |q| → ∞ e ” \     ( J $ ™[ >  ° ú כs  q ⁴ õ  ° ú  “ É r @ /é ß –y    Ø

Ô>  7 £ x l  M :ë  H\  — ¸Ž  H J\  @ /K   { Œ • © œI _   1 l x

†

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Êà º " é ¶& h   Ò  H\  u ×  æ ) a † < Êà º{ 9   כ s  “ ¦ f ”  Œ •½ + É Ã º e

”

 .   " f ˜ Ð: Ÿ x_  › ¸ o”  1 l x _   1 l x † < Êà º_  ‚  + þ A  

½ +

ËÜ ¼– Ð   H & h “    1 l x† < Êà º\  ¦ 2 [K • ¸ Á º~ ½ Ó½ + É  כ s  . 7 £ ¤

|φi = X N n=0

c n |ni (20)

#

Œl " f |ni  H ~ = 1, m = 1 Õ ªo “ ¦ ω = 1 “   › ¸ o”  1 l x



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N `  ¦ ß ¼>  ¸ ú š`  ¦ à º2 Ÿ ¤ & ñ S X ‰ô  Ç ° ú כ\  ] X   H½ + É  כ s  .



{ Œ •  © œI  \  -t  E 0 (J)_    H ° ú כ“ É r  6 £ §_  d ” Ü ¼– Ð Å Ò

#

Qt   H (N + 1) × (N + 1) ' Ÿ § > =_   © œ  Œ •“ É r “ ¦Ä »u  | ¨ c

 כ s  .

hm| H(J) |ni = δ m,n

µ 3λ

16 (2n ² + 2n + 1) + 1 4λ

¶

+δ m,n+1 J

√ 2

√ m + +δ m+1,n J

√ 2

√ n

+δ m,n+2

µ

− 1 2 + λ

8 (m + n + 1) ¶ p

m(m − 1) +δ m+2,n

µ

− 1 2 + λ

8 (m + n + 1) ¶ p

n(n − 1) + λ

16 δ m,n+4

p m(m − 1)(m − 2)(m − 3)

+ λ 16 δ m+4,n

p n(n − 1)(n − 2)(n − 3) . (21)

ô



Ǽ #  d ”  (16) – Ð   & ñ ÷ &  H q  H  6 £ § d ” Ü ¼– Ð > í ß –½ + É Ã º e ” 



.

q = hφ 0 (J)| q |φ 0 (J)i (22)

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. λ = 0.2 { 9  M :\   H î  rX <  © œ# 4 s  q “ §& h  Z  }“ ¦ V , “ ¦

Table 1. Convergence test for the numerial calculations of q and V(q).

λ J N q V(q)

0.2 0.01 10 -1.08581 0.622943

0.2 0.01 20 -1.07941 0.622147

0.2 0.01 30 -1.07941 0.622147

0.2 0.01 40 -1.07941 0.622147

0.2 10.0 10 -3.39663 3.73521

0.2 10.0 20 -4.08864 8.37447

0.2 10.0 30 -4.08992 8.38181

0.2 10.0 40 -4.08992 8.38182

0.2 10.0 50 -4.08992 8.38182

4.0 0.01 10 -0.00428133 0.580944

4.0 0.01 20 -0.0043346 0.577332

4.0 0.01 30 -0.00433531 0.577302

4.0 0.01 40 -0.00433531 0.577302

4.0 5.0 10 -1.00856 2.33910

4.0 5.0 20 -1.02381 2.37522

4.0 5.0 30 -1.02414 2.37600

4.0 5.0 40 -1.02416 2.37604

4.0 5.0 50 -1.02416 2.37604

λ = 4.0 { 9  M :\   H  © œ# 4 s  ± ú  .

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 (22) \  _  €   λ  Å Ò# Q& ’ `  ¦ M : q  H J _  † < Êà º

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λ = 0.2 { 9  M :_    õ \  ¦
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[1] J. Schwinger, Proc. Nat. Acad. Sci. 37, 452 (1951);

G. Jona-Lasino, Nuovo Cimento 34, 1790 (1964); S.

Coleman, Aspect of Symmetry (Cambridge University

Press, 1985); B. W. Lee, Chiral Dynamics (Gordon and Breach, 1972).

[2] L. S. Brown, Quantum Field Theory (Cambridge Uni- versity Press, 1992); and references therein.

Numerical Calculations of Effective Potentials in One-dimensional Quantum Mechanics

Haewon Lee ^∗

Department of Physics, Chungbuk National University, Cheongju 361-763 (Received 1 April 2008)

In quantum field theories, effective potentials are used to investigate the vacuum structure of the theories. We can introduce a similar concept of effective potentials in quantum mechanics. We consider a one-dimensional quantum-mechanical system with a Mexican hat potential. The effective potential can be obtained from the ground-state energy of the system with additional external source terms in the Hamiltonian. We calculate the ground-state energies by using numerical methods, and we use the results find a numerical estimate of the effective potential. The potential barrier in the center of the usual Mexican hat potential disappears, as expected.

PACS numbers: 03.65.-w, 03.70.+k

Keywords: Quantum mechanics, Effective potential

∗

E-mail: [email protected]