4 Z 4, pp. 341∼346

 4 Z 4, pp. 341∼346

•

 ×6 È S Ë
ì Å] k ù { ¿ ?; c" e ì Ø Ë ¹ Å Ä Z ØP ] k ù X(5) ( a• Ö כ  Ç

T

 ø ¶ BZ 9 

1 l

x _ @ /† < Ɠ § Ó ü t o † < Æõ ,  Òí ß – 614-714

(2011¸   2 Z 4 22{ 9  ~ à Î6 £ §, 2011¸   3 Z 4 14{ 9  à º& ñ ‘ : r ~ à Î6 £ §, 2011¸   3 Z 4 27{ 9  > F  S X ‰& ñ )

»

¡

¤ @ /g A   + þ AÙ þ ˜_  ˜ Ð# Q K x 9 ž Ðm î ß –\  ¢ - a„  ì  r o + þ A X(5) ( J $ ™[ >  U (β) + V (γ)/β

²

`  ¦ • ¸{ 9  # Œ Ù þ ˜_  Û ¼

&

7 ˜à Ô! 3 `  ¦ ½ ¨ % i  . U(β)ü < V (γ)  H y Œ •y Œ • Á ºô  ÇW 1— ¸Ä ºÓ ü t ( J $ ™[ > õ  › ¸ o”  1 l x  ( J $ ™[ > `  ¦ y Œ •y Œ • ‚  × þ ˜ % i 



. s  — ¸+ þ A\ " f — ¸Ž  H {  Qo ü < — ¸Ž  H { _  ? / ҽ ¨› ¸  H é ß – ô  Ç > h_  B > h  à º– Ð   & ñ  ) a  . s  : r& h Ü ¼– Ð

>

í ß –ô  Ç   õ \  ¦

¹⁶²

Dy _   { Œ • © œI  { , β { , x 9  γ { \  & h 6   x “ ¦ z  ´+ « >° ú כõ  q “ § % i  .

Ù þ

˜d ” # Q: ˜ Ð# Q K x 9 ž Ðm î ß –; X(5) ( J $ ™[ > 

Exactly Separable X(5) Potential in Axially Deformed Nuclei

J. H. Lee ^∗

Department of Physics, Dong-Eui University, Busan 614-714

(Received 22 February 2011 : revised 14 March 2011 : accepted 27 March 2011)

The energy spectra of the ground state, β, and γ bands in axially deformed nuclei have been studied by using the exactly separable X(5) potential of the form U (β) + V (γ)/β

²

in the Bohr Hamiltonian. An infinite square well potential and a harmonic oscillator potential were used as U (β) and V (γ), respectively. The relative positions of all bandheads and the internal structures of all bands were determined by using the theory with only one parameter. The results of numer- ical application to the ground state, β, and γ bands in

¹⁶²

Dy are in a good agreement with the experimental data.

PACS numbers: 21.60.Ev, 21.10.Re

Keywords: Bohr Hamiltonian; X(5) potential

I. " e ] Ø

Ù þ

˜_  | 9 é ß –î  r1 l x`  ¦ [ O " î   H Ó ü t ~ ½ ÓÖ  ¦ — ¸+ þ A\ " f ˜ Ð# Q K x 9 

ž

Ðm î ß – [1]“ É r Ù þ ˜½ ¨› ¸ ƒ  ½ ¨\  ×  æ כ ¹ô  Ç Â Òì  r`  ¦ t  “ ¦ e ”  Ü

¼ 9, · ú ˜ 9”   z  ´+ « > X <s  \  ¦ [ O " î l  0 AK  K x 9 ž Ðm î ß –

`

 ¦ ‰ & ³ © œ† < Æ& h Ü ¼– Ð  € ª œ >  l Õ ü t ô  Ç . s  K x 9 ž Ðm î ß –`  ¦ l

Õ ü t   H ~ ½ ÓZ O “ É r — ¸€ ª œý a³ ð ¢ ¸  H ˜ Д > r(boson) ³ ð‰ & ³Z O \  l

œ í\  ¦ é  H  .

∗

E-mail: [email protected]

¨ î

+ þ A`  ¦ s À ҍ  H — ¸€ ª œ“ É r : £ ¤Z > ô  Ç $ í | 9 `  ¦ ”   Ù þ ˜_ 



© œ(phase)\  @ /6 £ x ÷ &“ ¦, Ù þ ˜½ ¨› ¸ : r \ " f s  : £ ¤Z > ô  Ç  © œ“ É r :

£ ¤Z > ô  Ç @ /g Aõ  › ' aº  ÷ &# Qe ”  . Ù þ ˜`  ¦ l  † < Æ& h Ü ¼– Ð
  è

­ qM : @ /³ ð& h “    © œ“ É r ½ ¨+ þ A, » ¡ ¤ @ /g A+ þ A, x 9  γ-Ô  ¦ î ß –& ñ — ¸

€

ª œ [2]s  e ”  . @ /³ ð& h “   @ /à º& h  — ¸+ þ A“   ˜ Д > r  © œ  ñ Œ •6   x — ¸ + þ

A(Interacting Boson Model: IBM)\   H [ j t  1 l x% i † < Æ

&

h  @ /g As  e ”   [3,4]. s  @ /g A“ É r U(6) \ " f r  Œ •   H ç  H

×

 ¦e ” \ " f ' Í   P :  Òì  r @ /à º“   U(5), SU(3), x 9  O(6)Ü ¼– Ð :

£ ¤& ñ t 0 >t “ ¦, s [ þ t“ É r y Œ •y Œ • ½ ¨+ þ A_  › ¸ o”  1 l x  , » ¡ ¤ @ /g A



 + þ AÙ þ ˜, x 9  γ-Ô  ¦ î ß –& ñ Ù þ ˜_  | 9 é ß –& h  $ í | 9 `  ¦ [ O " î ô  Ç . | 9 é ß –

&

h

 $ í | 9 `  ¦ ”   : £ ¤Z > ô  Ç Ù þ ˜“ É r s [ þ t ×  æ ô  Ç > h_  @ /g A`  ¦ 

-341-

t

l • ¸ t ë ß –, @ / Òì  r Ù þ ˜“ É r s ü < ° ú  s  s  © œ& h “   @ /g A`  ¦

t   H @ /’   ¿ º t  ¢ ¸  H [ j t  @ /g As  ™ D ¥ ½ + Ë # Œ
 


l • ¸ “ ¦, # Q* ‹ô  Ç  â Ä º\   H ô  Ç @ /g A\ " f   É r @ /g A Ü

¼– Ð  © œ„  s  { 9 # Q
l • ¸ ô  Ç .

Iachello [5,6]  H E(5) ü < X(5)– Ð Â ÒØ Ô  H D h– Ðî  r ¿ º t 

@

/g A`  ¦ ] jî ß – % i  . s [ þ t @ /g A\ " f  H  © œ„  s _  e ” > & h 

\

 e ”   H Ù þ ˜_  $ í | 9 `  ¦ ˜ Ð# Q K x 9 ž Ðm î ß – [1]_  : £ ¤Z > ô  Ç Û  ¦ s 

–

Ð l Õ ü t ô  Ç . E(5) @ /g A“ É r U(5) @ /g A(”  1 l x Û ¼% 7 ˜à Ô! 3 )\ 

"

f O(6) @ /g A(γ-Ô  ¦ î ß –& ñ Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 )Ü ¼– Ð  © œ„  s _  e ” > & h 

`

 ¦, X(5) @ /g A“ É r U(5) @ /g A\ " f SU(3) @ /g A(» ¡ ¤ @ /g A   + þ A Ù þ

˜_   r„   Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 )Ü ¼– Ð  © œ„  s _  e ” > & h `  ¦ y Œ •y Œ • l Õ ü t ô

 Ç . ¹³⁴ Ba ü < ¹⁵² Sm _   â Ä º | 9 é ß –& h  $ í | 9 `  ¦ t   H ± ú “ É r

\

 -t  ï  r 0 A– РÒ'  z  ´+ « >& h Ü ¼– Ð E(5)ü < X(5) @ /g A\  ¦ y Œ • y

Œ

• S X ‰ “   % i   [7, 8]. e ” > & h  @ /g A E(5)ü < X(5) ] jî ß –

 )

a Ê ê ˜ Ð# Q K x 9 ž Ðm î ß –\ " f " f– Ð   É r ( J $ ™[ > `  ¦ s 6   x 

#

Œ | 9 é ß –Ù þ ˜_   © œ„  s \  › ' a ô  Ç ƒ  ½ ¨  € ª œ >  s À Ò# Qt 

“

¦ e ”   [9–13].

»

¡

¤ @ /g A   + þ AÙ þ ˜õ  ½ ¨+ þ AÙ þ ˜  s _   © œ„  s _  e ” > & h `  ¦ l  Õ

ü

t   H X(5) @ /g A\ " f  H Ù þ ˜( J $ ™[ > `  ¦ V (β, γ) = U (β) + V (γ) _  + þ AI – Ð  6   x # Œ ˜ Ð# Q_  | 9 é ß –Ù þ ˜ K x 9 ž Ðm î ß –`  ¦



 à ºì  r o ô  Ç . # Œl " f βü < ㍠ H Ù þ ˜_  | 9 é ß –$ í `  ¦ l Õ ü t   H



 à º[ þ t s  . X(5) — ¸+ þ A\ " f  H U (β) – Ð Á ºô  ÇW 1— ¸Ä ºÓ ü t (  J $

™[ > `  ¦  6   x “ ¦, V (γ)  H › ¸ o”  1 l x  ( J $ ™[ > – Ð ‚  × þ ˜ô  Ç  [6]. ¢ ¸ô  Ç s  — ¸+ þ A\ " f  H  Å Ò  Œ •“ É r γ ° ú כõ  γ ~ ½ Ó& ñ d ”  5 Å q \ 

Ÿ

í† < Ê÷ &# Q e ”   H β ² @ /’   s _  ¨ î ç  H ° ú כ“   hβ ² i – Ð ‚  × þ ˜   H



 H  & h    à ºì  r o \  ¦  „ ½ ÓÜ ¼– Ð e ” > & h  @ /g A`  ¦ l Õ ü t ô  Ç .

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f  H V (β, γ) = U (β)+V (γ)/β ² + þ AI _  ( J $ ™ [ >

`  ¦  6   x # Œ » ¡ ¤ @ /g A   + þ AÙ þ ˜_  ± ú “ É r \  -t  ï  r 0 A\  ¦  7 H _

ô  Ç . s  Qô  Ç + þ AI _  ( J $ ™[ > “ É r ˜ Ð# Q K x 9 ž Ðm î ß –\ " f



 à º_  ¢ - a„   ì  r o \  ¦ s = å J l  M :ë  H \  ¢ - a„  ì  r o + þ A X(5) (  J $

™[ > s   ô  Ç  [13–16]. γ ~ ½ Ó& ñ d ” _  K $ 3 K \  ¦ % 3 l 0 AK  X(5) — ¸+ þ Aõ  Ä »  >   Œ •“ É r ° ú כ`  ¦ t   H γ – Ð ] jô  Çô  Ç .

X(5) — ¸+ þ A\ " f  { Œ • © œI  { ü < β { _  \  -t  ï  r 0 A  H B

> h  à º\ O s    & ñ ÷ &t ë ß – γ { _  ï  r 0 A\  ¦   & ñ l  0 AK 

"

f  H B > h  à º € 9 כ ¹  . Õ ª   õ   { Œ • © œI  { ü < β {  _

 {  Qo ü < {  ? /_  ï  r 0 A[ þ t“ É r B > h  à º\ O s  “ ¦& ñ ÷ &“ ¦ γ { _  {  Qo   H B > h  à º ° ú כ\     ² ú ˜ ”   . s ü <  H

² ú

˜o  ¢ - a„  ì  r o + þ A X(5) ( J $ ™[ > `  ¦  6   x €   — ¸Ž  H { \ " f é

ß – ô  Ç> h_  B > h  à º\  ¦ t “ ¦, — ¸Ž  H { _  {  Qo ü < {  _

 ? / ҽ ¨› ¸  H s  B > h  à º ° ú כ\       & ñ  ) a  . ‘ : rƒ  ½ ¨

\

" f  H ¢ - a„     à ºì  r o + þ A X(5) ( J $ ™[ > \  _ ô  Ç K \  ¦ ½ ¨ 

“

¦, s # Q" f s  : r& h  à ºu  > í ß –_    õ \  ¦ » ¡ ¤ @ /g A   + þ A Ù þ ˜

“

  ¹⁶² Dy \  & h 6   x “ ¦ z  ´+ « >° ú כõ  q “ §ô  Ç .

II. ì Ø Ë ¹ Å Ä Z ØP ] k ù X(5) ( a• Ö כ  Ç ù p §  “ Ó Þ” X ¢

;

c .U  ­ Žz ð ² Žâ ì È 4  ˜ m

Ù þ

˜_  | 9 é ß –& h  î  r1 l x`  ¦ l Õ ü t   H ˜ Ð# Q K x 9 ž Ðm î ß –“ É r   6

£

§ õ  ° ú  s  Å Ò# Q”    [1].

H = − ~ ² 2B

 1 β ⁴

∂

∂β β ⁴ ∂

∂β + 1 β ²

 1 sin 3γ

∂

∂γ sin 3γ ∂

∂γ

− 1 4

X

k

Q ² _k sin ² (γ − ² ₃ πk)

!#

+ V (β, γ)

(1)

#

Œl " f βü < ㍠ H Ù þ ˜³ ð€  _  — ¸€ ª œ`  ¦ l Õ ü t   H ™  ¥ y   6   x 



 H | 9 é ß –  à ºs “ ¦, Q k (k = 1, 2, 3)  H “ ¦Ä »> _  y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó

$ í

ì  r, B  H | 9 | ¾ Ó B > h  à ºs  .

½

¨+ þ AÙ þ ˜õ  » ¡ ¤ @ /g A   + þ AÙ þ ˜  s _   © œ„  s \  ¦ [ O " î l  0 A K

 ( J $ ™[ > “ É r  6 £ § õ  ° ú  s  ‚  × þ ˜ “ ¦ [13–16],

V (β, γ) = U (β) + V (γ)

β ² (2)

X(5) — ¸+ þ Aõ  Ä »  >   Œ •“ É r y Œ •_  γ– Ð ] jô  Çô  Ç . Á º É r  © œ + þ

A_   r„  ^ ‰(prolate soft axial rotor)\ " f ˜ Ð# Q K x 9 ž Ðm  î

ß –`  ¦ ”   Schr¨ odinger ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r s  Qô  Ç   H  \  ¦  6   x 

€

  ç ß –é ß – >  Û  ¦ o “ ¦ [6], s   H " é ¶ g Ë :& h Ü ¼– Ð Ø  æì  r y   H γ y © œ

•

¸(stiffness)\  ¦ | 9  M : a % ~“ É r   H  s   [17]. Schr¨odinger

~

½ Ó& ñ d ”  HΨ(β, γ, θ i ) = EΨ(β, γ, θ i )  H ¿ º > h_  ~ ½ Ó& ñ d ” Ü ¼

–

Ð ì  r o   ) a  ; ô  Ç > h  H   à º β\  @ /ô  Ç d ” s “ ¦
 Qt  

  H γ ü < Euler y Œ • θ ⁱ (i = 1, 2, 3)\  ¦ Ÿ í† < Ê   H d ” s  .



− 1 β ⁴

∂

∂β β ⁴ ∂

∂β + u(β) + λ β ²



f (β) = f (β), (3)

"

− 1 sin 3γ

∂

∂γ sin 3γ ∂

∂γ + 1 4

X

k

Q ² _k sin ² (γ − ² ₃ πk) + v(γ) i

ψ(γ, θ i ) = λψ(γ, θ i ), (4)

#

Œl " f λ  H ì  r o  © œÃ ºs “ ¦, ¨ 8 Š í ß –\  -t  ü < ¨ 8 Š í ß –( J $ ™[ >  u(β) ü < v(γ)  H  6 £ § õ  ° ú   .

 = 2BE

~ ² , u(β) = 2BU (β)

~ ² , v(γ) = 2BV (γ)

~ ² . (5) 

1 l x † < Êà º  H Ψ(β, γ, θ i ) = f (β)ψ(γ, θ _i ) – Ð j þ t à º e ”  .

β \  @ /ô  Ç ~ ½ Ó& ñ d ”  (3)“ É r ½ ¨+ þ A[U(5)]õ  γ-Ô  ¦ î ß –& ñ — ¸

€

ª œ[SO(6)]  s _   © œ„  s \  ¦ [ O " î   H E(5) — ¸+ þ A\ " f β

~

½ Ó& ñ d ”  [5]õ  Ä »   . E(5) — ¸+ þ A_  à ºd ” ^ ‰> \ " f ( J $ ™ [ >

_  γ † ½ ӓ É r Á ºr  “ ¦, ì  r o  © œÃ º λ  H U(5) ü < SO(6) @ / g A_  ç  H  _ þ t \ " f / B N: Ÿ x& h Ü ¼– Ð Ÿ í† < Ê÷ &# Q e ”   H SO(5) ç  H _

 Casimir ƒ  í ß – _  “ ¦Ä »° ú כÜ ¼– Ð Å Ò# Q”   . s  “ ¦Ä »° ú כ“ É r

λ = τ (τ + 3) – Ð Å Ò# Qt “ ¦, τ   H seniority € ª œ à ºs  . Õ ª



Q
 ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f  H γ ( J $ ™[ > “ É r ×  æ כ ¹ô  Ç % i ½ + É`  ¦  9 λ



8 s  © œ seniority à ºü < › ' a >  \ O  .

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f β ( J $ ™[ >  u(β)  H Á ºô  ÇÄ ºÓ ü t ( J $ ™[ >  u(β) =

( 0, β ≤ β W

∞, β > β _W (6)

–

Ð × þ ˜ “ ¦ γ ( J $ ™[ > “ É r v(γ) = Aγ ² + þ AI “   › ¸ o”  1 l x  (  J $

™[ > `  ¦ ‚  × þ ˜ô  Ç . # Œl " f γ_  # 3 0 A  H 0 ≤ |γ| ≤ π/3 Ü ¼– Ð ]

jô  Ç “ ¦ Å Òl  2π/3Ü ¼– Ð & ñ ô  Ç . A  H K x 9 ž Ðm î ß –_  γ y

© œ• ¸ü < › ' aº  ÷ &# Q e ”   [17].

d ”

 (3)\ " f   à º\  ¦ ϕ(β) = β ^3/2 f (β), k = √

, x 9  z = kβ – Ð  Ë ¨€   Bessel ~ ½ Ó& ñ d ” Ü ¼– Ð   ¨ 8 Š ) a  .

d ² ϕ dz ² + 1

z dϕ dz +

 1 − ν ²

z ²



ϕ = 0 (7)

#

Œl " f

ν = r

λ + 9

4 (8)

s

 . β > β ^W \ " f  1 l x † < Êà º ϕ  H 0 s “ ¦, # 4 _   â > › ¸| 

\

" f ϕ(β ^W ) = 0`  ¦ s 6   x €  , € ª œ  o  ) a \  -t “ ¦Ä »° ú כ“ É r



6 £ § d ” \ " f   & ñ  ) a  .

 s,ν = (k s,ν ) ² , k s,ν = x s,ν

β W

, (9)

#

Œl " f x s,ν   H Bessel † < Êà º J ν (k s,ν β)  0s  ÷ &  H s  P :

° ú

כs  . s  “ ¦Ä »° ú כ`  ¦ t   H \  -t  “ ¦Ä »† < Êà º  H

f s,ν (β) = C s,ν β ^−3/2 J ν (k s,ν β) (10) s

 . ½ ©   o © œÃ º C ^s,ν   H  6 £ § _  ½ ©   o › ¸| Ü ¼– РÒ' 

½

¨ô  Ç .

Z ∞ 0

β ⁴ f _s,ν ² (β)dβ = 1 (11) E(5) — ¸+ þ A\ " f ν  H ν = τ + ³ ₂ – Ð Å Ò# Qt   H ì ø Í& ñ à ºs  .

Õ

ª QÙ ¼– Ð E(5) — ¸+ þ A\ " f d ”  (7)“ É r K $ 3 & h Ü ¼– Ð Û  ¦ o  9, “ ¦ Ä

»† < Êà º  H ì ø Í& ñ à º à º\  ¦ t   H Bessel † < Êà º J τ +3/2 (z) – Ð Å

Ò# Q”   . Õ ª Q
 ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f γ ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ É Ò  H õ & ñ \ 

"

f Bessel † < Êà º_  t ³ ð ν  H ì  r o  © œÃ º λ\ " f   & ñ ÷ &“ ¦ s 

° ú

כ“ É r Á ºo à º– Ð Å Ò# Q”   .

γ   Œ •“ É r   H  \ " f, (4)_  y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó † ½ Ó`  ¦ γ _  / å L à º– Ð

„

 > h €   [14]

X

κ

Q ² _κ sin ² (γ − ² ₃ πκ)

=  4 3 + 8

3 γ ²



(Q ² ₁ + Q ² ₂ + Q ² ₃ ) +

 1 sin ² γ − 4

3 − 8 3 γ ²

 Q ² ₃ + 8

3 √

3 (Q ² ₂ − Q ² ₁ ) + O(γ ³ ) (12)

–

Ð j þ t à º e ”  . γü < Euler y Œ •\  @ /ô  Ç î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r (12) \  Å

Ò# Q”   † ½ ÓÜ ¼– Ð   ½ + Ë Ù ¼– Ð, γ ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r “ ¦Ä »y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó _

 “ ¦Ä »† < Êà º\ " f   ½ + Ë † ½ Ó`  ¦ ¨ î ç  H # Œ   à ºì  r o ô  Ç . d ”  (4) _  Û  ¦ s   H ψ(γ, θ i ) = η(γ)D _M,K ^L (θ _i ) _  + þ AI s “ ¦, # Œl 

"

f D(θ i )“ É r Euler y Œ • θ i (i = 1, 2, 3) _  Wigner † < Êà º, L“ É r 8

ú

x y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó, Mõ  K  H y Œ •y Œ • z  ´+ « >z  ´> \ " f y Œ •î  r6 Ÿ x | ¾ Ó_  z-$ í ì  r õ  Ó ü t ^ ‰“ ¦& ñ > \ " f y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó_  z ⁰ -$ í ì  r s  . L_ 

° ú

כ“ É r K – Ð Â Ò'    & ñ  ) a  . K = 0s €   L = 0, 2, 4, · · · – Ð Å

Ò# Qt “ ¦ K 6= 0s €   L = K, K + 1, K + 2, · · · – Ð Å Ò# Q”  



. Wigner † < Êà º D M K ^L \ " f y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó ƒ  í ß – _  ¨ î ç  H ° ú כ hQ ² ₁ + Q ² ₂ + Q ² ₃ i = L(L + 1),

hQ ² ₃ i = K ² , hQ ² ₂ − Q ² ₁ i = 0, (13)

`

 ¦ s 6   x # Œ, γ ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ ç ß –é ß –y  ì  r o ô  Ç . d ”  (4)  H

 ∂ ²

∂γ ² + 3 cot 3γ ∂

∂γ +  γ − K ²

4 sin ² γ − a ² γ ²



η(γ) = 0 (14) Ü

¼– Ð Å Ò# Qt “ ¦, # Œl " f

a = r 2

3 [L(L + 1) − K ² ] + A,

 γ = λ − L(L + 1) − K ² 3

(15)

s

 . † < Êà º η(γ)\  ¦

η = ρ

√ sin 3γ , (16)

–

Ð  Ë ¨€   [18], ρ(γ)_  ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r  6 £ § õ  ° ú  s  ³ ð‰ & ³ ) a  .

 ∂ ²

∂γ ² +  γ + 9

2 − a ² γ ² − K ² 4 sin ² γ + 9

4 cot ² 3γ



ρ(γ) = 0.

(17)



ïò ø ÍH $ ™à Ô\  ¦ 2  † ½ Ó t  „  > h €   cot ² (3γ) ∼ 1

9γ ² − 2 3 + 3

5 γ ² (18) s

“ ¦, 㠁 Œ •“ É r ° ú כ`  ¦ t €   d ”  (17)“ É r 1 p x ~ ½ Ó$ í › ¸ o”  1 l x



_  ~ ½ Ó& ñ d ” _  + þ AI \  ¦ ”   .

 ∂ ²

∂γ ² +  γ + 3 +  27 20 − a ²



γ ² + 1 − K ² 4γ ²



ρ = 0. (19) B

> h  à º\  ¦

α = r

a ² − 27

20 , µ =  _γ + 3

2α , t(t + 1) = K ² − 1 4 (20) õ

 ° ú  s  • ¸{ 9  €   d ”  (19)_  K   H Ö 6 x ½ + Ë œ íl  † < Ê Ã

º(confluent hypergeometric function) † ½ Ó`  ¦ Ÿ í† < Êô  Ç .

ρ(γ) ∼ γ ^t+1 e ^−αγ

²

^/2 ₁ F ₁

 −µ + t + ³ ₂ 2 , t + 3

2 , αγ ²



(21)



1 l x † < Êà º  H γ = 0 \ " f Ä »ô  Ç Ù ¼– Ð, t  H t > −1 _  # 3 0 A\  ¦

”   . Õ ª   õ  t  H

t = |K| − 1

2 (22)

–

Ð Å Ò# Q”   . Õ ª Q€   p ì  r ~ ½ Ó& ñ d ”  (19)_  Û  ¦ s   H ρ µ,K (γ) =C µ,K γ ^(1+|K|)/2 e ^−αγ

²

^/2

× 1 F 1

 |K| + 2 − 2µ 4 , |K|

2 + 1, αγ ²

 (23) s

“ ¦, # Œl " f C ^µ,K   H ½ ©   o  © œÃ ºs  . Ö 6 x ½ + Ë œ íl  † < Êà º



 H  † ½ Ód ” Ü ¼– Ð Å Ò# Q| 9  M :ë ß – à º§ 4 ô  Ç . Õ ªA " f n“ É r 0 ¢ ¸



 H 6 £ § _  & ñ à º– Ð ] jô  ǝ ) a  . 7 £ ¤,

|K| + 2 − 2µ

4 = −n, n = 0, 1, 2, · · · (24) s

 . s    õ ü < d ”  (20)\ " f \  -t  Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 “ É r  6 £ § õ 

° ú

 s  Å Ò# Q”   .

 γ = 2α(n γ + 1) − 3, n γ = 0, 1, 2, · · · (25)

#

Œl " f B > h  à º  H

α = r

A + 2

3 [L(L + 1) − K ² ] − 27

20 (26) s

“ ¦ € ª œ à º  H

n _γ = 2n + |K|

2 (27)

s

 . y Œ •y Œ •_  & ñ à º n ^γ \  @ /K , € ª œ à º n, |K|“ É r # Œ Q  t

 0 p x ô  Ç ° ú כ`  ¦ t “ ¦   g Ë > © œI – Ð ” > r F ô  Ç .

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f Ö 6 x ½ + Ë œ íl  † < Êà º F   H Ä »ô  Çô  Ç † ½ Ó`  ¦ ”  



.   " f s  † < Êà º  H Laguuerre  † ½ Ód ” õ   6 £ § _  › ' a > 

 e ”  .

1 F 1 (−n, ^|K| ₂ + 1, αγ ² )

= n!Γ( ^|K| ₂ + 1)] ²

[Γ(n + ^|K| ₂ + 1)] ² L ^|K|/2 _n (αγ ² ) (28)

&

ñ o  €   γ † < Êà º  H  6 £ § õ  ° ú  s  ³ ð‰ & ³ ) a  .

η n,K (γ) = C n,K

γ ^(1+|K|)/2

√ sin 3γ e ^−αγ

²

^/2 L ^|K|/2 _n (αγ ² ) (29)

#

Œl " f C ^n,K   H ½ ©   o  © œÃ ºs  . 㠁 Œ •“ É r ° ú כ`  ¦ t €  

√ sin 3γ ∼ 1/(3γ) s Ù ¼– Ð, γ † < Êà º  H X(5) — ¸+ þ A_  γ † < Êà º ü < Ä »   .

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f & h ] X ô  Ç @ /g A$ í `  ¦ t   H  1 l x † < Êà º  H Ψ(β, γ, θ _i ) =C _s,L β ^−3/2 J _ν (k _s,ν β)η _n,K (γ)

× [D ^L _{M K} (θ i ) + (−1) ^L+K D ^L _M,−K (θ i )](30)

–

Ð ³ ð‰ & ³÷ &“ ¦ d ”  (10)_  Bessel † < Êà º_  à º  H

ν =

r L(L + 1) − K ² 3 + 9

4 +  _γ . (31) s

 .

‘

: r ƒ  ½ ¨_  — ¸+ þ A\ " f {   H € ª œ à º (s, n γ ) – Ð Â Ò'    & ñ

 )

a  . [ jt  ×  æ כ ¹ô  Ç { , 7 £ ¤,  { Œ • © œI { , β{ , x 9  γ{   H y

Œ

•y Œ • € ª œ à º (1,0), (2,0), x 9  (1,1)– Ð & ñ _   ) a  . — ¸Ž  H ï  r 0 A _

  © œ@ / 0 Au   H ô  Ç > h_  B > h  à º A\ " f   & ñ  ) a  . ‘ : r ƒ  

½

¨_  — ¸+ þ Aõ  X(5) — ¸+ þ A_  Å Òכ ¹ô  Ç s & h “ É r ‘ : r ƒ  ½ ¨_  — ¸ + þ

A\ " f — ¸Ž  H {  Qo ü < — ¸Ž  H { _  ? / ҽ ¨› ¸  H ô  Ç> h_  B 

>

h  à º\  _ K    & ñ ÷ &  H ì ø ̀  \ , X(5) — ¸+ þ A\ " f  { Œ • © œ I

{ ü < β{   H B > h  à º\ O s    & ñ ÷ &“ ¦ γ{   H Y > > h_    Ä

»B > h  à º\  _ ” > r ô  Ç . 7 £ ¤, X(5) — ¸+ þ A\ " f  H β { ü < γ{ 

  Ø Ô>  2 [/ å L ÷ &t ë ß –, ‘ : r — ¸+ þ A\ " f  H @ /1 p x >   À Ò# Q

”

  .

III. ­ Žz ð ² Žâ ì È8 ý • ¤V  + s ÇÊ Ý õ m Í ¹⁶² Dy

­

Žz ð ² Žâ ì È8 ý R w ‹



{ Œ • © œI { , β{ , x 9  γ{ _  {  Qo _   © œ@ /& h  0 Au ü <

y

Œ

• { _  ? /Â Ò ½ ¨› ¸\  @ /ô  Ç Ã ºu > í ß –   õ \  ¦ ³ ð 1\ " f ˜ Ð s

“ ¦ e ”  . > í ß –° ú כ“ É r B > h  à º A\     ½ ¨Ù þ ¡“ ¦, X(5)

—

¸+ þ A_  ° ú כõ  q “ §K " f
 ? /% 3  . ³ ð 1\   H  { Œ • © œI { 

\

" f \  -t q  R 4/2 = E(4 ⁺ ₁ )/E(2 ⁺ ₁ ), E(2 ⁺ ₁ ) \  q “ §ô  Ç β { ü < γ{ _  {  Qo  0 Au  E(0 ⁺ β )/E(2 ⁺ ₁ )(0 β /2 1 – Ð ³ ðr ), x 9

 E(2 ⁺ _γ )/E(2 ⁺ ₁ )(2 γ /2 1 – Ð ³ ðr )\  ¦ Ÿ í† < Ê “ ¦ e ”  .  { Œ •



© œI { _  \  -t ï  r 0 A ç ß –  \  @ /ô  Ç β{ \ " f \  -t ï  r 0 A ç

ß –  

R _2,0;βg = E(2 ⁺ _β ) − E(0 ⁺ _β ) E(2 ⁺ ₁ ) , R 4,2;βg = E(4 ⁺ _β ) − E(2 ⁺ _β )

E(4 ⁺ ₁ ) − E(2 ⁺ ₁ )

(32)

õ

  { Œ • © œI { _  \  -t ï  r 0 A ç ß –  \  @ /ô  Ç γ{ \ " f \  - t

ï  r 0 A_   © œ@ /& h  ç ß –  

R _4,2;γg = E(4 ⁺ _γ ) − E(2 ⁺ _γ )

E(4 ⁺ ₁ ) − E(2 ⁺ ₁ ) (33)

•

¸ ˜ Ð# Œï  r  . {  Qo  \  -t ü < y Œ • {  ? /\ " f \  -t ï  r 0

A ç ß –   1 p x õ  ° ú  “ É r | 9 é ß –& h  $ í | 9 `  ¦ ”   Ó ü t o | ¾ ӓ É r γ y © œ• ¸ A \  y © œ >  _ ” > r † < Ê`  ¦ ˜ Ð# Œï  r  .

B

> h  à º A_  ° ú כs   Œ •`  ¦ M :, \ V\  ¦ [ þ t # Q A = 10s €  , R _4/2 ü < β {  Qo _  0 Au   H X(5) — ¸+ þ A_  ° ú כõ  q 5 p w 



. X(5) — ¸+ þ A\ " f s  ° ú כ[ þ t“ É r B > h  à º \ O s  “ ¦& ñ  ) a ° ú כ

Table 1. The R 4/2 values, normalized bandheads of the β and γ bands 0 β /2 1 , 2 γ /2 1 , spacings of the β band relative to the ground state band R _2,0;βg and R _4,2;βg , as well as spacing of the gamma band relative to the ground state band R _4,2;γg .

½

¨ì  r A R

4/2

0

β

/2

1

2

γ

/2

1

R

2,0;βg

R

4,2;βg

R

4,2;γg

‘ :

r ƒ  ½ ¨_  10 2.860 5.176 2.156 1.695 1.617 1.267

—

¸+ þ A 50 3.176 10.275 5.442 1.585 1.551 1.092 100 3.236 13.325 8.077 1.539 1.516 1.043 150 3.259 15.399 10.140 1.513 1.495 1.021 200 3.273 17.019 11.895 1.495 1.480 1.007 250 3.281 18.368 13.451 1.481 1.468 0.998 X(5) — ¸+ þ A 2.904 5.649 1.801 1.701 1.071

R _4/2 ≈ 2.9 õ  0 ^β /2 1 ≈ 5.65`  ¦ ”    [6]. R 4/2   H B > h   Ã

º A\     …  ;…  ;y  7 £ x  # Œ  r„   Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 _  ° ú כ 3.3\  ] X

  H ô  Ç . ÷  r ë ß –  m   A  H ° ú כ`  ¦ | 9 à º2 Ÿ ¤,  { Œ • © œI  {

_  y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó _ ” > r$ í “ É r » ¡ ¤ @ /g A y © œ^ ‰”  1 l x  _  y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó _

” > r$ í “   L(L + 1)\    H] X ô  Ç . s   H ‘ : r — ¸+ þ As  X(5) ˜ Ð



  r„  $ í `  ¦  8 ”     H  כ `  ¦ _ p ô  Ç . ½ ©   o  ) a γ {  Qo  [ þ t> p u \  -t   H γ y © œ• ¸\     7 £ x ô  Ç . ‘ : r ƒ  ½ ¨_ 

—

¸+ þ A\ " f  H β {  Qo  \  -t  % i r  γ y © œ• ¸\     7 £ x ô  Ç



.

Ù þ

˜ à º A > 50“   @ / Òì  r Ù þ ˜\ " f  H \  -t q  R 2,0;βg ü < R ^4,2;βg _  z  ´+ « >° ú כ“ É r 1 s  
 1 ˜ Ð  €  •ç ß –  Œ •

“ É

r ° ú כ`  ¦ ”   . s   H β {  ? /\ " f y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó\     y Œ • ï  r 0

A_  ç ß –  “ É r  { Œ • © œI { _  \  -t  ç ß –  õ  Ä » † < Ê`  ¦ _  p

ô  Ç . X(5) — ¸+ þ A\ " f s  ° ú כ[ þ t“ É r y Œ •y Œ • 1.8õ  1.7 s t ë ß –,

‘

: r ƒ  ½ ¨_  — ¸+ þ A\ " f  H s  ° ú כ“ É r A \  _ ” > r ô  Ç . ‘ : r ƒ  ½ ¨\ 

"

f s  ° ú כ[ þ t“ É r X(5) \  q K  z  ´+ « >° ú כ\   © œ{ © œy  ] X   HÙ þ ¡t ë ß –,



{ Œ • © œI {  ? /\ " f ï  r 0 A_  ç ß –  \  q K  β{  ? /\ " f ï  r 0

A ç ß –  “ É r  © œ{ © œy   H ¼ # s  .

³

ð 2\  ¹⁶² Dy _   { Œ • © œI { , β{ , x 9  γ{ _  s  : r& h “  

\

 -t  Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 `  ¦ z  ´+ « >° ú כ [19]õ  q “ § # Œ
 ? /% 3  .

B

> h  à º_  ° ú כ“ É r A = 180 – Ð ‚  × þ ˜ % i  .  { Œ • © œI { ü <

γ {   H  H y Œ •î  r1 l x | ¾ Ó`  ¦ ”    © œI  t  z  ´+ « >° ú כõ   Å Ò ¸ ú ˜ { 9

u † < Ê`  ¦ ˜ Ð% i  . t ë ß – β{   H y Œ •î  r1 l x | ¾ Ós  7 £ x ½ + Éà º2 Ÿ ¤ z 

´+ « >° ú כ\  # Á # Qz Œ ™`  ¦ ˜ Г   .

IV. ~ ¿W d l

˜

Ð# Q K x 9 ž Ðm î ß –\ " f ì  r o 0 p x ô  Ç ( J $ ™[ >  V (β, γ) = U (β) + V (γ)/β ² `  ¦ “ ¦ 9 # Œ ½ ¨+ þ Aõ  » ¡ ¤ @ /g A — ¸€ ª œ  s  _

  © œ„  s  @ /ô  Ç Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 `  ¦ ½ ¨ % i  . ⠁  à º_  ( J $ ™[ > 

Table 2. Energy spectra of the ground state, β, and γ- bands in ¹⁶² Dy (keV).

L gsb-ex gsb-th β-ex β-th 0 0 0 1398 1329 2 81 81 1453 1451 4 266 265 1574 1747 6 549 542 1767 2128 8 921 902 1986 2645 10 1375 1337 2262 3256

L γ-ex γ-th 2 888 908 3 963 1029 4 1061 1095 5 1183 1224 6 1324 1379 7 1490 1555

“ É

r Á ºô  ÇÄ ºÓ ü t+ þ A`  ¦ V (γ)“ É r › ¸ o”  1 l x   ( J $ ™[ > `  ¦ × þ ˜ % i 



. X(5) @ /g Aõ  ² ú ˜o , — ¸Ž  H { _  {  Qo ü < ? / ҽ ¨› ¸  H γ y

© œ• ¸ü < › ' a >  e ”   H ô  Ç > h_  B > h  à º– Ð Â Ò'    & ñ ÷ &“ ¦, β { ü < γ{   H @ /1 p x >  2 [/ å L ) a  . @ / Òì  r | 9 é ß –$ í Ó ü t o | ¾ Ó

“ É

r B > h  à º A\  _ ” > r “ ¦, s  B > h  à º  H ° ú כ`  ¦ | 9  Ã

º2 Ÿ ¤ yrast  © œI _  \  -t   H » ¡ ¤ @ /g A”  1 l x  _  Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 

\

 ] X   H ô  Ç . ¹⁶² Dy Ù þ ˜\ " f β{ _  \  -t ï  r 0 A ç ß –  “ É r z  ´ +

« >° ú כõ  s 
t ë ß –,  { Œ • © œI { ü < γ{ _  Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 “ É r z 

´+ « >° ú כõ   Å Ò ¸ ú ˜ { 9 u † < Ê`  ¦ ˜ Г   .

P

c p 8 ý ò k >

s

  7 Hë  H“ É r 2010 † < Ƹ  • ¸ 1 l x _ @ /† < Ɠ § “ §? /ƒ  ½ ¨q \  _ K 

ƒ

 ½ ¨÷ &% 3 6 £ §( õ ] j    ñ 2010AA093)

Y

c p w Š à U Ø ”  ô

[1] A. Bohr, Mat. Fys. Medd. K. Dan. Vidensk. Selsk.

26(14), 1 (1952).

[2] L. Wilets and M. Jean, Phys. Rev. 102, 788 (1965).

[3] A. Arima and F. Iachello, Phys. Rev. Lett. 35, 1069 (1975).

[4] F. Iachello and A. Arima, The Interacting Boson Model (Cambridge U. Press, Cambridge, England, 1987).

[5] F. Iachello, Phys. Rev. Lett. 85, 3580 (2000).

[6] F. Iachello, Phys. Rev. Lett. 87, 052502 (2001).

[7] R. F. Casten and N. V. Zamfir, Phys. Rev. Lett. 85, 3584 (2000).

[8] R. F. Casten and N. V. Zamfir, Phys. Rev. Lett. 87, 052503 (2001).

[9] L. Fortunato anf A. Vitturi, J. Phys. G 29, 1341 (2003).

[10] M. A. Caprio, Phys. Rev. C 69, 044307 (2004).

[11] N. Pietralla and O. M. Gorbachenko, Phys. Rev. C 70, 011304 (2004).

[12] D. Bonatsos, D. Lenis, N. Minkov, D. Petrellis, P.

P. Raychev and P. A. Terziev, Phys. Lett. B 584, 40 (2004).

[13] D. Bonatsos, D. Lenis, E. A. McCutchan, D. Petrel- lis and I. Yigitoglu, Phys. Lett. B 649, 40 (2007).

[14] A. A. Raduta, A. C. Gheorghe, P. Buganu and A.

Faessler, Nucl. Phys. A 819, 46 (2009).

[15] L. Fortunato, Phys. Rev. C 70, 011302 (2004).

[16] L. Fortunato, S. De Baerdemacker and K. Heyde, Phys. Rev. C 74, 014310 (2006).

[17] M. A. Caprio, Phys. Rev. C 72, 054323 (2005).

[18] L. Fortunato, Eur. Phys. J. A 26, s01, 1 (2005).

[19] R. G. Helmer and C. W. Reich, Nucl. Data Sheets

87, 317 (1999).