4.6 상대 속도와 상대 가속도

4장. 이차원에서의 운동

(Motion in Two Dimension)

4.1 위치, 속도, 가속도 벡터 4.2 등가속도 이차원 운동 4.3 포물체 운동

4.4 분석모형:등속 원운동하는 입자 4.5 접선 및 지름 가속도

4.6 상대 속도와 상대 가속도

1

* 이(2)차원에서 움직이는 입자의 운동학

-2차원 운동에 대한 기본을 알면, 궤도상에 있는 인공위성의 운동에서 부터 균일한 전기장내에서 전자의 운동에 이르기까지 다양한 운동을 다룰 수 있음

* 위치, 속도, 가속도가 벡터임을 공부

- 1차원 운동과 같이 2차원 운동에서의 기본 정의로부터 운동 방정식을 유도

* 2차원 운동인 포물체 운동, 등속 원운동을 다룸

* 상대 운동의 개념을 논의

- 주어진 입자의 위치, 속도, 가속도가 다른 좌표계에 있는 관찰자에게는 왜 다른 값으로 측정되는지를 공부

2

4.1 위치, 속도, 가속도 벡터

(The Position, Velocity, and Acceleration Vectors)

4.1 위치, 속도, 가속도 벡터

(The Position, Velocity, and Acceleration Vectors)

- 위치 벡터

i

f

r

r r  



j i

r  x ( t )  y ( t )

- 변위

o 위치 벡터 (변위 벡터, Displacement Vector)

z z y y x

x

r 

_i



_i

ˆ 

_i

ˆ 

_i

ˆ k z j y i

x

r 

_f



_f

ˆ 

_f

ˆ 

_f

ˆ

 ^{x x}   ^{i y y}   ^{j z z}  ^k

r r

r

i f

i f

i f

i f

ˆ ˆ

ˆ    









   

avg

 t

  r v

평균속도

dt d t

t

r

v r 



 



 lim 0

순간속도

o 속도 Velocity (Vector) :

점 A에서 점 B까지 이동하는데 걸린 시간에 대한 변위

t t

t

_{f i}

i f

avg



 



 v  v v

평균가속도 a

dt d t

t

v

a v 



 



 lim 0

순간가속도

o 가속도 Acceleration (Vector)

4.2 등가속도 이차원 운동

(Two-Dimensional Motion with Constant Acceleration)

4.2 등가속도 이차원 운동

(Two-Dimensional Motion with Constant Acceleration)

이차원 운동은

x

와

y

축 방향의 각각 독 립된 두 개의 운동으로 기술될 수 있다.

즉,

y

방향으로의 어떠한 영향도

x

방 향의 운동에 영향을 주지 않는다. 그리 고 그 반대의 경우도 마찬가지이다.

j i

r  x  y

j i

j r i

v v

_x

v

_y

dt dy dt

dx dt

d    



j i

j v i

a

^{x y}

a

_x

a

_y

dt dv dt

dv dt

d    



dt v dy

dt

v

_x

 dx

_y



dt a dv

dt

a

_x

 dv

^x _y



^y

등가속도 운동의 경우

t a

a v

v

t a v

t a v

y x

yi xi

y yi

x xi

f

) (

) (

) (

) (

j i

j i

j i

v

















t a v

v _yf  _yi  _y t

a v

v _xf  _xi  _x

i t

f v a

v  

2 2

1 a t t

v x

x _f  _i  _xi  _x

2 2

1 a t t

v y

y _f  _i  _yi  _y

2 2

1

2 2

2 1 2

1

) (

) (

) (

) (

) (

t a a

t v

v y

x

t a t

v y

t a t

v x

y x

yi xi

i i

y yi

i x

xi i

f

j i

j i

j i

j i

r

























2 2

1 t

i t

f

r i v a

r   

4.3 포물체 운동

(Projectile Motion)

4.3 포물체 운동

(Projectile Motion)

(1) 자유 낙하 가속도는 일정하고 아래를 향한다.

(2) 공기 저항은 무시한다.

포탄의 속도 예제 4.1 대치

높이 115

m

에서 수평으로 포를 발사하였다. 포탄이 92.5

m

날아갔다면 포탄을 발사한 처음 속도는?

Sol

◎ Projectile Motion : 포사체 운동

(포물선 (포물체) 운동의 일반화) - 초속도

v

₀와 초기각

Θ

로부터

- 포사체가 올라가는 최대 높이

y

_h(

H

), - 포사체가 날아간 거리

x

_flight(

X

),

- 포사체가 날아간 시간

t

_flight(

T

)등을 구한다.

※ 포물선 운동에서의 특징

i)

x

-방향 :

v

_x0 =

v

₀cos

Θ

의 등속도 운동

ii)

y

-방향 :

v

_y0 =

v

₀sin

Θ

+ 중력 가속도 -

g

작용 (등가속도 운동)

iii) 최대 높이에서

v

_y=0 (∵ 최대 높이에서 물체는 순간적으로

y

-방향에서 정지) 포물체 운동을 분석할 때, 이를 (1) 수평 방향의 등속 운동과

(2) 수직 방향의 자유 낙하 운동의 중첩으로 간주할 수 있다.

◎ 포물체 운동의 수평거리와 최대 높이

Horizontal Range and Maximum Height of a Projectile

Sol

1) 최대 높이 도달 시간 (Since

v

_y = 0)

0

0

sin

0

   

 v gt v gt

v

_{y y}



g t v

₀

sin 



∴ 2) 포사체가 날아간 시간 (비행 시간

T

)

(※ = 2 × 최대 높이 도달 시간)

g t v

T 2 sin  2 

⁰



or ※ 최대 높이 도달 시간 = 떨어지는데 걸린 시간 = (

y

=0)이 되는 시간)

2 0 sin 1

2

1

₂

0 2

0

   

 v T gT v T gT

y

_y



g t v

T 2 sin  2 

⁰



3) 최대 도달 높이 (

H

)

2 0

2 0

0

2

sin 1 2

1 gt v t gt t

v y

H

y   

_y

   

g v

g g v

g v v

2 sin sin

2 1 sin sin

2 2

0 2

0 0

0





    

 



 



4) 수평도달거리 : 포사체가 날아간 거리 (최대 사정 거리)

g R v

g v

g v v

T v x

X

x

_x





















  2

sin

cos sin

2 sin

cos 2

2 0

2 0 0

0 0

0

"최대 사정 거리"

"포사체가 비행할 수 있는 최대 거리"

"포사체가 최초의 높이 (y=0)로 돌아오면서의 비행거리

∴

R

∝

v

₀² : 최대 사정거리는

v

₀² 에 비례

⇒ 속도 → 2 배 ⇒ 사정거리 → 4 배

5) 최대 높이 (

H

) .vs. (versus) 최대 사정 거리 (

R

)



 cos 2

₂

sin

v

0

R  g g

H v

2 sin

²

2

0





∴













4 tan 1 cos

4 sin cos

2 sin 2 sin

1

2 0

2 2

0





 g v

g v

R

H

멀리 뛰기 예제 4.2

☆

Aside)

cf

) 왜 포물선 운동인가?

Aside)

◎ 실제적인 포사체 운동

메뚜기의 뛰기 Aside Ex)

(물체에 작용하는 중력과 저항)

3

g

의 메뚜기가 뒷다리로 0.45

N

의 평균력을 57°의 각도로 작용하여 뛰었다.

1) 이 경우 중력의 작용에 의하여 실제로 메뚜기가 날아가는 각도는 57°

보다 작아진다. 메뚜기의 몸체가 받는 순 힘과 실제 날아가는 각도

θ

는?

Sol

j F

i F

F 

body



bodyx

ˆ 

bodyy

ˆ

- 메뚜기에 작용하는 외력을 고려하면,

 0

externalx

F

mg

F

externaly

 

☆ 저항력이 있는 경우의 포사체 운동

o 일반적으로 저항력(Retarded Force)은 질량과 속도에 비례한다.

cf

) 실험 결과를 비교해보아 속도에 비례하거나 속도의 제곱에 비례하게 잡는다.

cf

) 속도에 비례 : 저항력에 의해 작은 Terminal Velocity를 갖는다.

cf

) §6.4 저항력을 받는 운동

Motion in the Presence of Resistive Forces 에서 다룸

매번 과녁 맞추기 (다음 예제 참고) 예제 4.3

포물체가 표적을 맞추는 실험에서 정지해 있던 표적은 발사와 동시에 떨어지기 시

작한다. 최초에 멈춰 있던 표적을 겨누어 발사했다면 언제나 명중할 수 있음을 보

여라.

동물원을 탈출한 원숭이를 잡기 위하여 경비원이 마취제 총을 나뭇가지에 매 달린 원숭이를 향해서 쏘았다. 영리한 원숭이는 총알이 발사되는 순간에 뛰어 내려서 도망가려고 한다. 총알의 속도에 상관없이 총알은 항상 원숭이를 맞추 게 됨을 보이시오. (수평면상의 평지이며, 총알은 원숭이가 땅에 떨어지기 전 에 원숭이에게 도달한다.)

원숭이 맞추기 Ex) 4.3 대치

Sol

- 원 운동시 입자의 운동 방향 : 원 or 구의 접선 방향

→ 비오는 날, 우산을 돌리면 물방울은 우산살의 접선 방향으로 튕겨진다.

등속 원운동: 일정한 속력으로 원주 위를 움직이는 운동

4.4 분석모형: 등속 원운동하는 입자

(Analysis Model: Particle in Uniform Circular Motion)

4.4 분석모형: 등속 원운동하는 입자

(Analysis Model: Particle in Uniform Circular Motion)

r v

r

v 

 

속도의 크기는 일정하지만 방향이 바뀌므로 가속도가 존재한다! 위의 그림에 서 검은색 삼각형과 빨간색 삼각형은 닮은꼴이다.

t r

v a _avg t



 



  v r

r a _c v

 2

◎ 구심 가속도

t a v

t



 





 

lim

0

- 가속도 :

- Δt

→ 0 일 경우 :

Δθ

→ 0,

Δ

ℓ → 0

- v

₀와

v

는 거의 평행하게 되고

- Δv

는 원의 중심 방향을 향하게 된다.

"구심 가속도" (Centripetal Acceleration) - 구심 가속도의 크기:

△OAB 와 △

v

₀,

Δv

,

v

는 닮은꼴

r v

v  

 

 



 r v v

r v r

v t t

a v

t t

c

2

0 0

lim 1

lim ^ _ ^ _ ^{ }













∴

v t

t



 





lim 

0

속도 :

r a _c v



2

∴ 구심 가속도 :



(구 or 원의 중심 방향)

∴ 구심력 (Centripetal Force) :

r a mv

m F _{c c}



2

  

(구 or 원의 중심 방향)

cf

) 원심력 (遠心力 Centrifugal Force)

줄에 공을 달고 돌리면 손은 공에 의해 바깥 방향으로 당겨지는 힘을 느낀다.

(구심력에 의한 반작용? → 운동시 입자의 운동 방향이 접선 방향이기 때문에 원심력이란 존재하지 않는다.)

⇒ 공의 접선 방향의 운동에 대한 반응이다.

인공위성의 운동 Ex 4.5 대치

- 지상 200㎞ 높이에서의 중력 가속도는 9.2㎨이다.

이 위치에서의 인공 위성의 속도와 주기를 구해보자.

(이 경우 지구에서의 중력 가속도

g

의 약 94%에 해당된다.)

Sol

인공 위성 → 지구 궤도 상에서 등속 원운동

r a

_c

v



2 ^→

^a

c =

g

’ = 9.2㎨

∴ (회전) 속력 :

v  ra

_c

  R

_earth

 h  a

_c

∵

r  R

_earth

 h  6400 km  200 km  6 . 6  10

⁶

m

◎ Define 주기 (Period,

T

)

등속 원운동시 한바퀴 회전 하는데 (위성이 한바퀴 도는데) 걸린 시간

→ 한 바퀴 : 원주의 길이 = 2π

r

∴

v r v

T  S  2 

h km

m m

m v

28000

sec 10

79 . 7 sec

2 . 9 10

6 .

6

^{6 2 3}













 

min 88 sec 10 3 . sec 5 10

79 . 7

10 6 . 6 2

2

₃

3

6

  





 

 

m m v

h

T  R

^earth



◎ Define 주파수 (Frequency,

f

)

(등속 원운동시) 단위 시간당 회전수 (Number of Revolutions) 단위 : 1/sec ≡ ㎐ (Hertz)

r v f T

 1   2



 

 

∴

Hz

f T

₃ 1.89 10 ⁴ sec 1.89 10 ⁴ sec

10 3 . 5

1

1   _   _

 



4.5 접선 및 지름 가속도

(Tangential and Radial Acceleration)

4.5 접선 및 지름 가속도

(Tangential and Radial Acceleration)

일반적인 곡선 상의 운동은 속도의 방향뿐 아니라 크기도 변한다.

t

r a

a

a  

dt

a _t  dv (접선가속도 : 속력 변화, 순간속도 방향)

r a v

a _{r c}

 2





 (지름가속도 : 속도벡터 방향의 변화)

2 2

t

r a

a

a  

고개를 넘어서 예제 4.6

어떤 차가 도로를 따라 0.300m/s²의 등가속도로 달리고 있다. 차가 도로에 있는 언덕을 넘어가는데, 언덕의 꼭대기는 반지름 500m인 원모양이다. 차가 언덕 꼭대기에 도달하는 순간에, 속도 벡터는 수평이고 크기는 6.00m/s이다.

이 순간 차의 전체 가속도 크기와 방향을 구하라.

지름가속도를 구하면

/

2

3 .

0 m s

a

_t



^이므로

2 2

2

2

a ( 0 . 072 )

²

0 . 300 0 . 309 m / s a

a 

_r



_t

   









 tan

^1

tan

^1

(

^₀⁰_.030^.072

) 13 . 5

t r

a

 a

Sol

2 2

2

/ 072 .

500 0 00 .

6 m s

r

a

_r

  v    

☆

4.6 상대 속도와 상대 가속도

(Relative Velocity and Relative Acceleration)

4.6 상대 속도와 상대 가속도

(Relative Velocity and Relative Acceleration)

관찰자의 운동 상태에 따라 대상 물체의 운동이 다르게 표현된다.

BA t

PB

PA r v

r  

BA PB

PA u v

u  

BA PB

PA

dt d dt

d r r v





두 기준틀의 원점이 일치하는 순간을 t=0이라고 하고, 기준틀 S_B가 S_A에 대해 상대적으로 등속운 동한다고 가정하면

양변을 시간에 대해 미분하면

◀ 갈릴레이 속도 변환

dt d dt

d dt

d u _PA u _PB v _BA





양변을 다시 시간에 대해 미분하면

PB

PA a

a 

두 기준틀에서 측정한 가속도는 같다. 즉, 뉴턴 운동 법칙이 동일하게 적용된다.

강을 가로질러 가는 배 예제4.7

넓은 강을 건너는 배가 물에 대해 상대적으로 10.0km/h의 속력으로 움직인 다. 강물은 지구에 대해 동쪽으로 5.00km/h의 일정한 속력으로 흐르고 있다.

(A) 만약 배가 북쪽을 향하고 있다면, 강둑에 서 있는 관찰자에 대한 배의 상 대 속도를 구하라.

그림 (a)를 참조하고 갈릴레이 속도 변환을 이용하여 상대 속도를 구하면

rE br

bE v v

v  

☆

h km

v v

v

_{bE br rE}

/ 2

. 11

) 00 . 5 ( )

0 . 10

(

²

2 2

2























6 . 26 )

( tan tan

00 . 10

00 . 1 5 1

br rE

v

 v

(B) 만약 배가 강물에 대해 상대적으로 같은 속력인 10.0km/h로 그림

4.20(b)에 나타나 있는 바와 같이 북쪽으로 이동하려 한다면, 배가 향해야 하 는 방향은?

h km

v v

v

_{bE br rE}

/ 66

. 8

) 00 . 5 ( )

0 . 10

(

²

2 2

2























0 . 30 )

( tan tan

66 . 8

00 . 1 5 1

bE rE

v

 v