제 24장. 전기 포텐셜(Electric potential)
24.1 일과 포텐셜 에너지의 관계
중력과 전기력에 의한 포텐셜 에너지 비교
포텐셜 에너지의 정의: 중력 또는 전기력이 중력장과 전기장 속에서 무한대의 거리로부터 거리 r
인 곳까지 한 일.
(i)
중력에 의한 포텐셜 에너지
우선 중력장에 있는 두 물체의 질량 m과 M 사이의 포텐셜 에너지 를 생각하자. 명심할 것은 질량은 양수의 값을 가지며 두 물체 사이 에 작용하는 힘은 항상 인력(잡아 당기는 힘)만 작용한다는 것이다.
즉 우측 그림에서 M 이 m에 작용하는 힘은 자기 쪽으로 당기는 힘 을 작용한다. 그 힘은
2
( r)
g
F GmM
r (24.1)
여기서
r
은 M 으로 향하는(아래로 향하는) 단위벡터이다. 또한 변 위 d r는 d r dr( r) 로 표시한다. r인 곳에서 퍼텐셜 에너지란 중 력 Fg가 로부터 r까지 일한 양으로 정의하므로2 2
1 1
( r) [ ( r)]
r r r
U GmM Fg d r GmM dr GmM dr
r r
U GmM
r (24.2)
만일 사람이 한 일 이라면 이것은 GmM
W r 이다.
그 뜻은 m이 M 쪽으로 떨어지는 것(가속도가 있음)을 막으면서(즉 반대방향으로 힘을 작용하면 서) 일정한 속도로 에서 r까지 m을 가지고 오는 것과 같다.
(예) 지구 위에서 한일을 생각해 보면 물체는 아래로 떨어지려고 하는 중력이 작용한다. 이것을 일정한 속도로 들어올리면 사람은 중력과 크기가 같으나 방향이 반대로 작용하는 힘으로 거리 r
만큼 일을 하는 것이다.
따라서 퍼텐셜 에너지는 사람이 한 일에 음의 부호를 붙인 양으로도 정의한다.
(ii)
전기력에 의한 포텐셜 에너지
중력에서 질량은 항상 양수이다. 이와 달리 전하는 양전하와 음전하가 있기 때문에 포텐셜 에너지 를 생각할 때에 부호를 생각하지 않을 수 없다. 중력과 부호를 맞추기 위하여 전하 q와 qo는 양 전하라고 가정한다. 이때 원점에 q가 먼 거리에 있는 qo에 작용하는 힘은 부호가 같기 때문에 척력(미는 힘)이 작용한다. 즉 중력과 달리 위의 그림처럼 끌고 오는 방향 d r와 반대방향이다.
따라서 q가 qo에 작용하는 힘은
2o
(r)
q
F kqq
r (24.3)
또는 Fq q Eo 로 표기할 수 있다. 여기서 E는
2
(r)
E k q r (24.4)
Fq가 부터 r까지 한 일이 전기 포텐셜 에너지이므로
2 2
1 1
(r) [ ( r)]
r r r
o q o o
U kqq F d r kqq dr kqq dr
r r
qqo
U k
r (24.5)
전기 포텐셜의 정의: 전기 포텐셜은 단위전하당의 에너지
1
o 4 o
U q q
V k
q r r
(24.6)
전기 포텐셜의 단위: [J / CV]
전기 포텐셜 에너지: o q qo U q V k
r (24.7)
여러 개의 전하가 분포된 계의 포텐셜 에너지:
1
( )
2
i j
i j i j
U kq q
r (24.8)전기의 에너지는 Electron volt[eV]라는 단위를 주로 사용한다.
19 19
1 eV
e(1V)
(1.60 10
C)(1J / C) 1.60 10
J
핵의 전하가 q이고 궤도에 있는 전자가 q일 때
전기 포텐셜 에너지:
q2
U k
r (24.9)
전기 포텐셜: q
V k
r (24.10)
※ 중력과 마찬가지로 전기에서도 포텐셜 에너지(또는 포텐셜)는 사람 또는 물체가 일한 양에 음 의 부호를 붙인 값이다.
보기문제 24.1 qo 1.6 10 19C의 전자가 지표로부터 높이 h520 m를 올라간다. 지표면의 전기장은 E150 N / C으로 일정하며 지표로 향한다. 즉. 전기포텐셜 에너지는 얼마인가?
(풀이) E는 지표를 향하므로 E
(150 N / C)( r)
이고 전자가 지상에서 위로 올라 가므로(r)
d rdr 이다. 따라서 전기장이 전자에 대하여 한 일은
0h
( r) (r)
o o o
W q
E d r q
E dr q EhU W q Eho
8 3
( 5.5 10 C)(150 N / C)(520 m) 4.3 10 J
U
※ 원점에 놓인 전하로부터 이동거리로 계산하면 그것은 일한 에너지이며 포텐셜 에너지는 일한 에너지에 음의 부호를 붙인 양이다.
보기문제 24.2 알파 입자(42
He
)가 금 원자핵(19779Au
)을 향해 정면으로 움직이면서 금 원자의 전 자껍질 영역을 통과한다. 알파입자는 속력이 점점 줄어들다가 알파입자와 금 원자핵 사이의 중심 거리가 r9.23fm인 곳에서 잠시 정지한 후 원래의 경로를 따라 되돌아 간다. 이때 금 원자는 알파입자보다 무겁기 때문에 움직이지 않는다고 가정한다. 알파입자가 금 원자로부터 멀리 떨어져 있을 때 운동에너지 K는 얼마인가? 입자와 금 원자 사이에 작용하는 힘은 정전기력뿐이라고 가 정하여라.(풀이) 정지한 곳에서 운동에너지는 포텐셜 에너지로 모두 전환되었으므로 KU
2 1 2
(2 )(79 )
q q e e
158
eK U k k k
r r r
19 2
9 2 2 12
15
(1.60 10 C)
(158)(8.99 10 N m / C ) 3.94 10 J 9.23 10 m
12
19
(3.94 10 J) 1eV 24.6 MeV 1.60 10 J
K
보기문제 24.3 그림에서 q q q1
,
2,
3는 각각 거리 d 12cm만큼 떨어져 있다. q150C, q1q q,
2 4 ,
q q3 2
q일 때, 계의 포텐셜 에너지 는 얼마인가?(풀이) 12 13 23 q q1 2 q q1 3 q q2 3
U U U U k
d
2 2
( 4 2 8) 5
4 o 2 o
q q
U d d
2
2
12 2 2 2
(5)(150C)
1.7 10 J (2)(3.14)(8.85 10 C / N m )(12 10 m)
U
두 지점의 포텐셜 차: 2 1
1
2 1( )
o
V V V U U
q (24.11)
또는
o
V W
q (24.12)
포텐셜로부터 전기장의 계산: V r
E V
r
(24.13)
등 퍼텐셜 면: 전기장에 수직인 면이다. (24.11)식에서
2 1
o
V V V W
q (24.14)
등 퍼텐셜 면은 V2 V1이므로 등 퍼텐셜 면에서의 일은 W 0이다.
점 전하나 구대칭 분포의 전하들이 만드는 등 퍼텐셜 면은 동심인 공들의 집합이고, 균일한 전기 장의 등 퍼텐셜 면은 전기장에 수직인 면들의 집합이다. 아래 그림은 균일한 전기장과 점 전하가 만드는 전기장 및 전기 쌍극자가 만드는 전기장 선과 이에 수직한 등 퍼텐셜 면의 단면이다.
24.2 전기장에서 퍼텐셜 구하기
전기력 F를 Fq Eo 로 표현하고 전기장이 한일로 다시 쓰면
dW F d rq E d ro , [E k q2
r ] (24.15)
W qo
E d r (24.16)o
V W
q 이므로, V
E d r (24.17)퍼텐셜 차로 표현하면
2 1 r
V V V Edr
(24.18)이것을 적분하면 일반식 (24.7)이 된다. 즉
V k q
r
보기문제 24.4 (a) 우측 그림의 균일한 전기장 E
안에서 두 점 i와 f 가 같은 전기장선 위에 있으 며 거리 d 만큼 떨어져 있다. 양의 시험전하 qo를
전기장의 방향에 평행한 경로를 따라 i에서 f 로
이동시켜서 퍼텐셜차 V 를 구하여라. (b) 그림
(b)에서 양의 시험전하 qo을 경로 icf 를 따라 i
에서 f 로 이동시켰을 때 퍼텐셜 차를 구하여라.
(풀이) i 를 원점으로 하는 x y, 좌표를 생각하고
그림 (b)에서 ic구간의 길이를 이라 하자. 그리고 d s의 적분 길이 변위벡터를 성분벡터로 분 해하여 나타내면, 그림 (a)에서는 d d
( j)
, 그림 (b)에서 ic구간은(i)
, cf 구간은( i)
d( j)
이다. EE( j)
이므로(a) f
( j) ( j)
V i E d s E d Ed
(b) c f
( j) (i) ( j) [ ( i) ( j)]
i c
V E d s E d s E E d Ed
전기 퍼텐셜은 위치만의 함수이므로 (a)와 (b)의 결과는 같을 수 밖에 없다.
(i)
여러 개의 점전하에 의한 포텐셜
i i
V k q
r (24.19)보기문제 24.5 그림처럼 정사각형의 꼭지점에 점전하가 놓여 있을 때 정사각 형의 중심 P 에서 퍼텐셜은 얼마인가? 거리 d 1.3m이고 각각의 전하는 다음과 같다. q1
12 nC
, q2 24 nC
, q3 31nC
, q4 17 nC
(풀이)
(
1 2 3 4)
i
/ 2
q q q q
V V k
d
9 9 2 2 (12 24 31 17) 10 C
(8.99 10 N m / C ) 350 V
0.919 m
보기문제 24.6 (a) 그림 (a)에는 12개의 전자가 같은 간격 으로 반지름 R인 원의 둘레에 고정되어 있다. 무한대에서
V 를 0이라고 할 때, 전자가 원의 중심 C에 만드는 퍼텐
셜과 전기장은 각각 얼마인가? (b) 전자가 원호를 따라 움 직여서 사이 각이 120o인 원호 위에 그림 (b)와 같이 불균 일하게 분포한다면, C에서의 포텐셜은 얼마인가? C에서
의 전기장이 변한다면 어떻게 변하는가?
(풀이) 포텐셜은 스칼라 양으로 거리만의 함수이고 전기장은 벡터이므로 방향을 고려하여야 한다.
(a) 12 1
124 o
e e
V k
R r
각 점은 원점에 대칭인 쌍둥이 점이 존재하므로 전기장 벡터들의 함은 0. 즉 E
0
(b) 포텐셜 V 는 (a)와 동일
전자의 배열이 대칭이 아니기 때문에 알짜 전기장이 존재하고 그림으로 보아 전기장의 x성분은
크고 y성분은 작을 것이다.
(ii)
전기 쌍극자(
Electric Dipole)에 의한 포텐셜
2 1
1 2 1 2 1 2
1 1
(q q) ( ) r r
V k kq kq
r r r r r r
(24.20)
※ r2r1 dcos , r r1 2 r2
2 2
cos cos
qd p
V k k
r r
(24.21)
2 3
p r p r
V k k
r r
(24.22)
(iii)
연속적 전하 분포에 의한 포텐셜
선 전하밀도(단위 길이당의 전하량): 미소 선분 dx에 있는 전하량: dqdx
선분 dx로부터 관측점 P까지의 거리: r
' (
b2x2 1/ 2)
dq로부터 거리 r'
에 있는 P점에서의 포텐셜:2 2 1/ 2
1 1
4 o ' 4 o ( )
dq dx
dV r b x
(24.23)
총 전하에 의한 포텐셜: 2 2 1/ 2
4 0 ( )
L
o
V dx
b x
2 2 2 2
[ln ]
0ln( )
4 4
L
o o
x b x L b L
V b b
(24.24)
※ 삼각치환 적분법
cot x b/ , xbcot, d x b
c s c
2 d2 2 1/ 2 2 2 2 1/ 2 2 1/ 2
(
b x)
(
b bcot
)
b(1 cot
)
bcsc
,2 2 1/ 2
( )
csc
b x b
2 2 2
2 2 1/ 2
0 0 0
csc csc ln(cot csc ) ln( )
( ) csc
L dx Lb d L x b x
b x b d b
※ 삼각함수 관계식 (1) 대각선의 곱
sin csc 1, tan cot 1, sec cos 1
(2) 반 시계방향의 관계식
cos sin tan
sin , tan , sec ,
cot cos sin
sec csc cot
csc , cot , cos
tan sec csc
(3) 자승 관계식
2 2 2 2 2 2
1 tan
sec
, 1 cot
csc
, cos
sin
1
(iv)
고리(
Ring) 전하에 의한 전기 포텐셜
선 전하 밀도(단위 길이당의 전하량): 고리에 있는 총 전하: q2 r미소선분 ds에 있는 전하량: dqds
선분 ds로부터 관측 점 P까지의 거리: r
'
(
z2r2 1/ 2)
dq에 의한 점 P에서의 전기 퍼텐셜: 14 o ' dV ds
r
(24.25) 고리의 총전하에 의한 포텐셜:
2 0
1 1 ( 2 ) 1
4 ' 4 ' 4 '
r
o o o
r q
V ds
r r r
2 2 1/ 2
1
4
o( )
V q
z r
(24.26)
(v)
대전된 원판에 의한 전기 포텐셜
면적 전하 밀도(단위 면적당의 전하량): 미소면적 da에 있는 전하량: dqds dr
미소 dq에 의한 점 PP에서의 전기 포텐셜:
1
4 o ' 4 o '
dV dq drds
r r
(24.27)
도판의 총 전하에 의한 점 P에서의 포텐셜:
2
0 (2 )
4 ' 4 ' 2 '
r
o o o
dr dr rdr
V ds r
r r r
(24.28)2 2 2
' ' '
r z r r dr r dr
2 2
0
' '
' [ '] [ ]
2 ' 2 2 2
R
o o o o
V r dr dr r z r
r
2 2
( )
2 o
V z R z
(24.29)
보기문제 24.7 포텐셜은 V ( z2R2 z) / 2o , R3.5cm 인 대전된 원판의 중심에서
o
550
V V 일 때 (a) 원판의 전체 전하량은 얼마인가? (b) z5R되는 지점에서 포텐셜은 얼마 인가? (c) z축 상에서 전기장의 세기는 얼마인가?
(풀이) (a) 원판의 중심은 z0 이므로 2 2
o o o
o
V R V
R
원판의 전체 전하: 2 2
2
( )
oVo2
o oq R R R V
R
2 12 2 2 9
(2)(3.14)(3.5 10 )(8.85 10 / )(550 ) 1.1 10
q m C N m V C
(b) 2 2 1 2
( (5 ) 5 ) ( )[ ( 26 5)] ( 26 5)
2 2
o o
o
o o
V R R R V R V
R
V ( 5 5 0 ) ( 2 6V 5 ) 5 4 . 5V
(c) [( 2 2 1/ 2) )]
z 2
o
dV d
E z R z
dz dz
2 2 1/ 2 2 2 1/ 2 2 2
2 2 1/ 2
1 2
[( ) )] ( ) [ ( )] 1 1
2 2( )
d d z
z R z z R z R
dz dz z R
Van de Graff 가속기
내부의 작은 도체구 표면에 있는 전하는 외부에 큰 도체 구 표면에 있는 전하량과 관계없이 연결 된 도선을 통해 외부구로 이동한다. 이것은 전장에서 공부한 구 대칭의 전장을 계산했을 때 내부 구가 외부에 아무런 영향을 받지 않기 때문이다. 이 원리를 이용하여 외부 구에 계속해서 전하를 축적 시킬 수 있는 장치가 Van de Graff 가속기로 의학과 원자충돌 실험장치에 사용된다.
제 25장. 전기용량(Capacitance)
축전기(
Capacitor
)는 전기에너지의 저장 창고이다. 두 개의 극판에 건전지 를 연결하면 그 극판은 다음의 관계식에 의하여 전하로 충전된다.qCV (25.1)
여기서 q는 전하의 절대 값이고 V 는 건전지의 전압이며, C는 비례상
수로 축전 또는 전기용량이라 한다.
전기용량의 정의: q
CV (25.2)
C의 단위:Farad[F] [C / V]
보기문제 25.1 그림에서 여닫개 S는 전기용량이 0.25μF
C 인 대전되지 않은 축전기를 퍼텐셜 차가
12 V
V 인 전지와 연결시킨다. 아래쪽 축전기 판의 두께 는 L0.50cm이고 표면적은 A2.0 10 m 4 2이다. 축
전기판은 구리로 만들었고 구리 안의 전도전자의 밀도는
28 3
8.49 10 / m
n 이다. 축전기가 충전될 때 전자가 판 속으로 침투하는 깊이 d는 얼마인가?
(풀이) 침투 거리이므로 평행판 축전기의 전기용량을 구하는 식과는 관계가 없다.
축전기에 쌓이는 전하: qCV
(0.25 10 F)(12 V)
6 3.0 10 C
6전하의 수: q CV N e e
이 전자들은 표면적이 A, 깊이가 d인 체적 속에 들어 있다.
전하의 밀도: N CV e/ CV
n d
Ad Ad nAe
6
12
28 3 4 2 19
(0.25 10 F)(12 V)
1.10 10 m (8.49 10 / m )(2.0 10 m )(1.60 10 C)
d
보기문제 25.2 RAM(
Random Access Memory
) 칩(Chip
)에 5.3V로 55fF의 전기 용량이 축 전되어 있다면 음의 극판에는 몇 개의 잉여 전자가 존재하는가?(풀이) q CV
q ne n
e e
15
6 19
(55 10 )(5.3 )
1.8 10 (1.6 10 )
F V
n C
[개]
25.1 전기용량의 계산
(i)
평행판 축전기(
Parallel Plate Capacitor)
그림처럼 상자(
Box
)로 둘려 쳐진 면에 대해 가우스 법칙을 적용하면,A
o
E d a q
(25.3)세로 면들은 E와 면적 벡터 d a가 수직으로 만나기 때문에
0
E d a 이다. 그리고 윗면(Top)은 외부로 E가 나오지 않 기 때문에 역시 0이다. 따라서 위의 식은 오직 아래 A 면
에 대해 서만 값이 존재한다.
A o
o
E d a EA q q A E
(25.4)0 d
V
E d s Ed (25.5)이들을 (25.2)에 대입하면 평행판의 축전용량은 다음과 같다.
o o
A E A C q
V Ed d
(25.6)
보기문제 25.3 평행판의 극판 거리와 축전용량은 각각 d 1.0 mm,C1.0 F라면 극판 넓이는 얼마인가?
(풀이) o
o
A Cd
C A
d
3
8 2
12
(1.0 F)(1.0 10 m)
1.1 10 m (8.85 10 F / m)
A
(ii)
원통형 축전기
(Cylindrical Capacitor)동심 반경 a, 외피 반경 b, 길이 L인 동축케이블에서
(2 ) 1
o o 2
o
q EA E rL E q
L r
(25.7)
[ln ]
2 2
b b b
a a a
o o
q dr q
V E d r r
L r L
2 o ln
q b
V L a (25.8)
/[ ln ]
2 o
q q b
C q
V L a
2
ln( / )
oL
C b a
(25.9)
(iii)
구형 축전기
(Spherical Capacitor)위의 그림을 내구 반경 a, 외구 반경 b인 구형 축전기로 보면,
2
2
(4 ) 1
o o 4
o
q EA E r E q
r
(25.10)
2
1 1 1
[ ] ( )
4 4 4
b b b
a a a
o o o
q dr q q
V E d r
r r a b
4
o q b a V ab (25.11)
/[ ] 4
4 o o
q q b a ab
C q C
V ab b a
(25.12)
보기문제 25.4 TV 신호용 동축선(
Coaxial Cable
)의 동심 반경과 외피 반경은 각각0.15mm
a , b2.1mm 이다. 단위길이당 축전용량은 얼마인가?
(풀이)
2 2
ln( / ) ln( / )
oL C o
C b a L b a
(2 )(8.85 10
12F / m)
21 pF / m ln(2.1/ 0.15)
C L
(iv)
고립 구
위 그림에서 바깥의 구는 무한대에 있다고 하면 반지름 a인 내구는 고립된 구이다. 즉, b
일 때 고립 구의 축전용량은
4 lim 4
1 /
o o
b
C a C a
a b
(25.13)
보기문제 25.5 지구의 반경은 a6370 km이다. 축전용량은 얼마인가?
(풀이) 고립구의 축전용량: C
4
oa12 6 4
(4 )(8.85 10 F / m)(6.37 10 m) 7.10 10 F
C
25.2 축전기의 병렬(Parallel) 연결과 직렬(Series) 연결
등가 축전용량(
Equivalent Capacitance
): 회로에서 여러 개의 축전기 조합이 가지는 용량을 같은 크기인 하나의 축전용량으로 단순화 하는 것.
(i)
병렬연결
(Parallel Connection)우측 그림과 같이 병렬로 축전기가 연결되었을 경우 축전기 양단에 걸리는 전압은 공급 전압 V 로 모두 같고, 충전기의 전하는 모두 다르다. 전압이 같은 이유는 축전기를 마치 저항 처럼 생각하여 그 저항들을 병렬로 연결한 것과 같기 때문이다.
하나의 축전기로 대치할 수 있는 등가 축전용량 C는 다음과 같이 계산된다.
1 2 3
(
1 2 3)
q q q q C C C V CV (25.14)
1 2 3
CC C C j
j
C
C (25.15)여기서 C는 등가 축전용량(
Equivalent Capacitance
)이다.(ii)
직렬연결
(Serial Connection)우측 그림과 같이 직렬로 축전기가 연결되었을 경우, 축전기 양단에 걸리는 전압은 공급전압 V
가 분배되어 나타나며, 각 축전기에 충전된 전하량은 q로 동일하다. 전압이 다른 이유는 축전기
를 마치 저항처럼 생각하여 그 저항들을 직렬로 연결한 것과 같기 때문이다.
하나의 축전기로 대치할 수 있는 등가 축전용량 C는 다음과 같다.
1 1 2 2 3 3
qC V C V C V (25.16)
1 2 3
1 3 3
1 1 1 1
( )
V V V V q q
C C C C
(25.17)
1 3 3
1 1 1 1
C C C C
1 1
j j
C
C (25.18)보기문제 25.6 우측 그림처럼 축전기가 연결된 회로에 퍼텐셜 차 V 가
걸린다. 등가 전기용량을 구하여라.
여기서 C1
12.0μF
, C2 5.30μF
, C3 4.50μF
이다.(풀이) 먼저 AB 사이의 축전기들 C1과 C2 에 대하여 등가 전기용량
C12를 구한 후, C12, C3의 등가 전기용량 C를 구한다.
12 1 2
C C C
12 3 1 2 3
12 3 12 3 1 2 3
( )
1 1 1 C C C C C
C C C C C C C C C
(12.0 5.30)(4.50) μF 3.57μF (12.0 5.30 4.50)
C
25.3 전기장에 저장된 에너지
면적 A, 거리 d인 평행판인 경우, 한 극판에서 다른 극판으로 옮긴 전하량을 q
'
이라 할 때 극 판들 사이의 포텐셜 차는 q C'/ 이다. 한편, 추가로 옮길 전하가 dq'이라면 해야 할 일은' 1
2' ' ' ' '
2
q o
q q
dW V dq dq W q dq
C C C
이것은 결국 평행판 축전기의 퍼텐셜 에너지(저장된 에너지)이므로
2
2
U q C (25.19)
qCV, CoA d
/
를 가지고 U를 달리 표현하면,2 2
1
2( )
2 2 2
q CV
U CV U
C C
(25.20)
2
( ) 2
oA V
U d
(25.21)
평행판의 체적으로 나누면 평행판 축전기의 에너지 밀도(
Energy Density
)가 된다.평행 판의 체적: Ad
평행판에 축적된 에너지 밀도:
2
1
2( ) ( )
2 2
o
o
A
U V V
u Ad d Ad d
/
EV d이므로 위의 식은
1
22
ou E (25.22)
보기문제 25.7 6.30 V 전지를 이용하여 C1
3.55μF
인 축전기 1을 퍼텐셜차 Vo
6.30 V
로 충전시켰다. 이때 최대 충전 전하는 qo이다. 전지를 제거하고 축전기 1을 우측 그림과 같이 충전되지 않은 C2
8.95μF
인 축전기 2에 연결하였다. 스위치 S 를 닫으면 축전기에 포텐셜 차 V
가 걸릴 때까지 전하는 축전기 사이로 흐른다. (a) V 를 구하여라. (b) 스위치를 닫기 전과 닫은 후의 두 축전기의 포텐셜 에너지는 얼마인가?
(풀이) (a) 회로는 전원이 연결되지 않았기 때문에 축전기는 직렬 또는 병렬이라고 말할 수 없다.
스위치를 닫으면 qo은 나누어져 저장된다. 그리고 두 축전기는 포텐셜이 V 이므로 다음식이 성립 한다.
1 2
qo q q C V1 o C V1 C V2
(
C1C V)
21
1 2
o
V C V
C C
3.55 (6.30V) 1.79 V 3.55 8.95
V
(b) 닫기 전:
1
1 21
6 2(3.55 10 F)(6.30V) 70.4μJ
2 2
i o
U C V
닫은 후: 1 1 2 2 1 6 2
( ) [(3.55 8.95) 10 F](1.79V) 20.0μJ
2 2
Uf C C V
보기문제 25.8 반지름 R6.85cm인 고립 도체구가 전하 q1.25nC으로 대전되어 있다.
(a) 대전된 도체구의 전기장에 저장된 포텐셜 에너지는 얼마인가? (b) 구 표면에서의 에너지 밀도 는 얼마인가?
(풀이) (a) 고립 도체구의 축전용량: C
4
oR퍼텐셜 에너지:
2 2 2
1
2 8 o 4 o 2
q q q
U C R R
9 2
9 2 2
2
(1.25 10 C)
(8.99 10 N m / C ) 103nJ
(2)(6.85 10 m)
U
(b) 구 표면에서의 전기장:
2
1 4 o E q
R
에너지 밀도:
2
2 2
2 2 4
1 1 1
( )
2 o 2 o 4 o 32 o
q q
u E
R R
9 2
3
2 12 2 2 2 4
(1.25 10 C)
25.4μJ / m (32 )(8.85 10 C / N m )(6.85 10 m)
u
25.4 유전체(Dielectric Material)를 넣은 축전기
유전체: 기름이나 플라스틱과 같은 절연체로 전기용량의 증가를 가져오는 물질.
두 극판 사이에 있는 유전체 물질의 유전률: o (25.23)
: 유전물질에 따른 유전상수
진공 속에서 1, 물질의 경우 1
유전강도(Vmax): 파괴되지 않고 견딜 수 있는 전기장의 최대 값.
유전체에 대한 유전상수와 유전강도의 예
물질 유전상수 유전강도 (kV/min)
물질 유전상수 유전강도
(kV/min)
진공 1.0000 실리콘 12
공기 1.00054 3 게르마늄 16
플라스틱 2.6 24 에탄올 25
종이 3.5 16 물(
20 C
o ) 80.4변압기 절연유 4.5 물(
25 C
o ) 78.5내열유리 4.7 14 티타늄 세라믹 130
루비 운모 5.4 스트론튬 티타네이트 310 8
도자기 6.5
유전체 내에서의 전기장:
2
1 4 E q
r
(25.24)
보기문제 25.9 전기용량 C13.5pF인 평행판 축전기를 전지로 극판 사이의 퍼텐셜 차
12.5V
V 까지 충전시켰다. 그런 다음에 전지를 끊고 세라믹판( 6.50)을 극판 사이에 넣었 다. (a) 판을 넣기 전 축전기의 퍼텐셜 에너지는 얼마인가? (b) 판을 넣은 후 축전기와 판으로 이 루어진 장치의 퍼텐셜 에너지는 얼마인가?
(풀이) (a)
2
1
22 2
i
U CV q
C
12 2 9
1 (13.5 10 F)(12.5 V) 1.055 10 J
i
2
U
(b)
2 9
1.055 10 J
101.62 10 J
2 6.50
i f
U U q
C
유전체의 원자적 관점
(i)극성 유전체
영구적인 전기 쌍극자 모우먼트(Electric Dipole Moment)를 갖고 있는 물질을 극성 유전체라 한다.
대표적인 물질로 물이 있다. 전기 쌍극자 모우먼트는 외부 전기장에 의해 정렬이 가능하며 정렬 정도는 온도에 역비례하고 전기장의 크기에 비례한다.
(ii)
비극성 유전체
외부 전기장에 의해 전기 쌍극자 모우먼트가 유도되는 유전체 이다. 외부 전기장 Eo을 걸어 주면 유전체 표면에 전하가 모 이고, 유전체 내에는 역 방향의 E'이 형성된다. 따라서 유전체 내의 전기장은 EEoE
'
으로 감소되어 나타난다. 이 원리를 이용하여 축전기에 유전물질을 넣으면 더 많은 전 하를 축적시 킬 수 있다.25.5 유전체와 가우스의 법칙
우측 그림에서 극판에 있는 전하는 움직일 수 있는 전하로 자 유전하이나 유전체에 속의 전하는 자유전하가 아니다. q와
'
q 을 포함하는 가우스면을 그리고 가우스법칙을 적용하면
'
A
o
E d a EA q q
(24.25)'
o
E q q
A
(25.26)
한편 유전체의 효과로 원래 전기장 Eo는 배 만큼 약화된다. 즉
o o
E q
E A (25.27)
(25.26) (25.27): '
'
o o
q q q q
E q q
A A
(25.28)
'
q q이고 유전체가 없다면 q'0이고 1이다.
종합하면 유전체에서의 가우스법칙은
A
o
E d a EA q
(25.29)는 상수가 아닐 때가 있다. 즉 거리의 함수이거나 면의 함수길 수가 있다.
전기변위 D의 정의: D o E (25.30)
유전체의 가우스 법칙:
AD d a q
(25.31)보기문제 25.10 그림은 극판의 면적은 A
115cm
2, 극 판의 간격은 d 1.24cm 인 평행판 축전기이다. 극판 사이의 퍼텐셜 차 Vo 85.5 V
가 걸린다. 다음에 전지 가 끊어지고 두께가 b0.780cm, 유전상수가 2.61인 유전체 판이 극판 사이에 놓인다.
(a) 유전체 판을 넣기 전 전기용량 Co는 얼마인가?
(b) 극판에 존재하는 자유전하량은 얼마인가?
(c) 극판 사이의 공간에서와 유전체판에서 전기장 Eo는 얼마인가?
(d) 유전체 판에서 전기장 E1은 얼마인가?
(e) 판을 넣은 후에 극판 사이의 포텐셜차 V 는 얼마인가?
(f) 극판 사이에 판이 들어 있는 축전기의 전기용량은 얼마인가?
(풀이) (a)
12 4 2
12 2
(8.85 10 F / m)(115 10 m )
8.21 10 F 1.24 10 m
o o
C A d
(b) qC Vo o (8.21 10 12F)(85.5V)7.02 10 10C
(c) 가우스 면
I
에 가우스법칙을 적용시킨다.o o o o
E Ada q E A q
o o
E q
A
가우스 면 I이 유전체를 지나지 않기 때문에 1
10
3
12 4 2
7.02 10 C
6.90 10 V / m (8.85 10 F / m)(1)(115 10 m )
o o
E q
A
(d) 가우스 면 II에 가우스법칙을 적용하면
1 1
A
o o
q q
E d a E A
1
o o
E E q
A
여기서 E1는 아래를 향하고 d a는 위를 향하므로 E d a1 E da1 이다.
3
6.90 10 V/m
32.64 10 V / m 2.61
o o
E E
(e) 아래 극판으로부터 위 극판으로 뻗어나가는 직선경로를 따라 적분하여 V 를 구한다.
( )
1V Eds E do b E b
(6900 V / m)(0.0124 m 0.0078m) (2640 V / m)(0.0078m) 52.3V
V
(f) 전기용량 C는 유전체가 들어 있지 않은 경우와 똑 같이 자유전하 q와 포텐셜차 V 에 돤계
된다.
10
7.02 10 C 11
1.34 10 F 52.3V
C q V
