1 Ì ¦ R ¤M X ì Ä º8 ý = k V ê s; c 6 X ¢ ¤ Â ] Ø
ç
¡ ¬ £ ∗
ô
Çz @ / < Æ § F g Ó ü t o < Æõ , @ / 306-791 (2004¸ 12 Z 4 23{ 9 ~ Ã Î6 £ §)
Ã
º : r_ ' a& h \ " f 1 " é ¶ Å Òl & h ½ ¨ ¸_ ^ © ` ¦ ì r$ 3 ô Ç . $ Ã º l ^ © F g _ l
< Æ& h â Ð\ ¦ Æ Ò& h l 0 Aô Ç ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ Ä » ¸ô Ç . Ä » ¸ ) a F g Æ Ò& h ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ 6 x # , z ´] j F g õ
^ © F g s _ F g Ð \ l H à º ü < S ~ ½ Ó ¾ Ó F g à º \ ¦ > í ß ô Ç . ì r$ 3 õ H
^ © s p ë ß Ð& ñ ) a F g à º \ ¦ ° ú ¦ e 6 £ §` ¦ Ð# ï r . Å Òl F g_ © Ð B Ä º ß ¼ ,
^ © _ F g à º H 0 \ ] X Hô Ç . C Ö ¦ s 1 â Ä º, ^ © ) a _ / B GÒ ¦ É r 0 s ) a . C Ö ¦ s
1 Ð ß ¼ ¦, r y s 0s u ´ â Ä º, ^ © ) a É r / B GÒ ¦` ¦ ° ú H . : r 7 Hë H \ " f 7 H_ ) a
^ © _ Ã º : r É r f x 9 É r Å Òl & h ½ ¨ ¸\ ¦ s 6 xô Ç » 1 Ï Ð ç ß [ O > ¢ ¸ H » 1 Ï Ð ´ òõ _ 6 £ x6 x ì
r \ " f > _ $ í 0 p x` ¦ ¨ î H X < 6 x| ¨ c à º e .
PACS numbers: 42.30.M
Keywords: ^ © , » 1 Ï Ð´ òõ , f , à º , F g à º
I. " e  ] Ø
^ © ¢ ¸ H E $ Ý ¼\ ¦ 6 x t · ú § H © Ü ¼ Ð · ú 9
» 1 Ï Ð ´ òõ [1] H Å Òl & h ½ ¨ ¸\ _ K " f F g s í ß ê ø Í
| ¨
c M :, & h ] X ô Ç ¸| _ 0 Au \ " f ' a¹ 1 Ï ) a . » 1 Ï Ð ´ òõ ü <
'
aº ) a & ³ © [ þ t É r á ÔY U3 A q H ¸| \ " f á ÔY U3 A q-v Ø Ôy
ñá Ô r] X & h ì r \ _ K " f ¸ ú [ O " î ) a [2–7]. » 1 Ï Ð ´ òõ
\
¦ s 6 x © u é ß í H o÷ & ¦ î ß & ñ $ í s a % ~ t l M : ë
H \ ç ß [ O > \ " f V , o 6 x ÷ & ¦ e Ü ¼ 9 [8–15], ì r Ã
º » 1 Ï Ð ´ òõ H é ß { 9 Y Us $ F g ` ¦ ½ ©g Ë :& h C \ P ` ¦ ° ú
H ç H{ 9 ô Ç F g ì r í Ð ¨ 8 r v , Å Òl & h Ó ü t ^ _
× æ © ` ¦ ½ + Ë$ í H X < s 6 x ÷ & ¦ e [16–19]. ¸Z þ t± ú s
&
³ © _ 6 £ x6 x É r r F g % ò % i ` ¦ Å # Q" f s ß ¼ Ð ü < x Õ
ªo ¦ Ó ü t| 9 _ % ò % i t S X @ /÷ & ¦ e [20,21]. Ó ü t ^
_ ^ © ` ¦ l ï r 0 A\ " f Ø ¦ H » 1 Ï Ð ç ß [ O
> _ $ í 0 p x É r ^ © _ ¾ ¡ §| 9 \ ý aÄ º ) a . " f ^
© _ : £ ¤$ í ` ¦ ¨ î H l < Æ& h ~ ½ ÓZ O ` ¦ ¹ 1 Ô H כ É r » 1 Ï Ð
´
òõ _ 6 £ x6 x` ¦ 0 AK " f B Ä º × æ כ ¹ . Õ ª Q ^ © \
@
/ô Ç l F g < Æ& h à º s : r s > h ) a & h s \ O % 3 .
: r 7 Hë H \ " f H l F g < Æ& h à º : r [22] \ H # 1 " é ¶ Å Òl & h ½ ¨ ¸_ ^ © ` ¦ ì r$ 3 ô Ç . $ ` Ø Ô
(Fermat) " é ¶ o \ ¦ & h 6 x # Ã º l ^ © F g _
F g < Æ& h â Ð\ ¦ Æ Ò& h l 0 Aô Ç ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ Ä » ¸ô Ç . Ä »
∗
E-mail: [email protected]
¸ ) a ~ ½ Ó& ñ d É r f _ ^ © ` ¦ ¢ - a y l Õ ü t ¦ e
6 £ §` ¦ Ð# ï r . F g Æ Ò& h ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ 6 x # , z ´] j F g
õ ^ © F g _ F g Ð \ l H Ã º ü <
S ~ ½ Ó ¾ Ó F g à º \ ¦ > í ß ô Ç . à º ì r$ 3 õ H ^ © s
p ë ß Ð& ñ ) a F g à º \ ¦ ° ú ¦ e 6 £ §` ¦ Ð# ï r .
Å Òl F g_ © Ð B Ä º ß ¼ , ^ © _ F g Ã
º H 0 \ ] X Hô Ç . C Ö ¦ s 1 â Ä º, ^ © ) a
_ / B GÒ ¦ É r 0 s ) a . C Ö ¦ s 1 Ð ß ¼ ¦, r y s 0 s u ´ â Ä º, ^ © ) a É r / B GÒ ¦` ¦ ° ú H .
II. = k + s ÇV ê s ºü g Å
1 " é ¶ Å Òl & h ½ ¨ ¸_ ^ © \ l # H F g ` ¦ Æ Ò
&
h l 0 AK " f $ á ÔY U3 A q-v Ø Ôy ñá Ô & h ì r [7] \ H
# ^ © ¸| ` ¦ ¶ ú ( R Ðl Ð . Fig. 1õ ° ú s F
g " é ¶ s Z ~ & h S_ ý a³ ð\ ¦ (ξ, η, ζ) Õ ªo ¦ ' a¹ 1 Ï 0 A_ ô
Ç & h S 0 _ ý a³ ð\ ¦ (ξ 0 , η 0 , ζ 0 ) ¦ ¦, Å Òl p
xy ¨ î © \ Z ~ # e , 1 " é ¶ _ È Òõ > Ã º H { 9 ì
ø Í& h Ü ¼ Ð
τ (y) = X
l
b l exp 2iπl p y
(1)
ü
< ° ú s è q à º e . # l " f b l É r à º l\ @ /6 £ x
H É Òo \ > Ã ºs . Sü < Q s _ o \ ¦ r Õ ªo ¦ Qü <
-78-
Fig. 1. Optical setup for self-imaging of a parallel-line grating of period p. A Cartesian coordinate system is ref- erenced to the center of the grating plane. A monochro- matic light of wavelength is propagated in air from a source point S(ξ, η, ζ) through Q(x, y) to an image point S(ξ 0 , η 0 , ζ 0 ).
S 0 s _ o \ ¦ r 0 s ¦ , S\ " f : r F g s
0 A_ & h Q\ " f í ß ê ø Í÷ &# Q S 0 \ ¸² ú Ù þ ¡` ¦ M :_ ; ¤ < Ê Ã
º H
A(S 0 ) = C Z Z
dxdy X
l
exp
ik lλ
p y + r + r 0
(2)
ü
< ° ú s ³ ð & ³| ¨ c à º e . 0 Ad \ " f k(= 2π/λ) H 1 l x 7 '
_ ß ¼l s . ë ß { 9 _ S ~ ½ Ó ¾ Ó ý a³ ð F g " é ¶ x 9 ' a
¹
1 Ï& h _ 7 á x~ ½ Ó ¾ Ó ý a³ ð ζü < ζ 0 _ ß ¼l \ q K " f Ø æì r y
, d (2) É r
A(S 0 ) ' C 0 X
l
b l
Z Z
dxdy exp
ik lλ
p y + ∆(ζ) + ∆ (x − ξ) 2 + (y − η) 2 2ζ
= ˜ C X
lb l exp 2iπl p
ζζ 0 ζ − ζ 0 ∆ η
ζ
exp
− iπl 2 λ p 2
ζζ 0 ζ − ζ 0
(3)
ü
< ° ú s é ß í H o ) a . < ÊÃ º ∆(x) H Ê ê\ " f x_
s \ ¦ _ p ô Ç . s & ñ Ã ºs ¦ K = (λ/2sp 2 ){ 9 M :, F g
"
é
¶ x 9 ' a¹ 1 Ï _ zý a³ ð\ ¦ y y ζ = − m
1 − m 1
K , ζ 0 = m
K (4)
¦ ¿ º d (3) É r A(S 0 ) = ˜ C X
l
b l exp 2iπl mp
η 0 − 2sp 2 mη λζ
(5) ü
< ° ú s d (1)` ¦ ² ú © É r ; ¤ ì r í\ ¦ ° ú > ) a . s כ s
Ð 1 " é ¶ Å Òl & h ½ ¨ ¸_ ^ © s 9, m É r ^ © _ C Ö
¦ s ) a .
III. = k + s ÇV ê s ° Ë Ñ Ò Å8 ý ¼X ì Ä U ê sX N ËÅ k Ä
é
ß { 9 F g s 1 " é ¶ Å Òl & h ½ ¨ ¸\ { 9 , ^
© F g É r à º\ " f # Q > h Ð ° ú . : £ ¤& ñ ô Ç Ã
º\ K { © H ^ © F g _ â Ð\ ¦ Æ Ò& h l 0 AK
"
f d (3)_ ' Í P : ~ ½ Ó& ñ d _ 0 A © ` ¦ ¶ ú ( R Ð , S& h \ " f
ü <" f Q& h ` ¦ t " f S 0 & h \ ¸² ú ô Ç Ã º l ^ © F
g _ F g Ð& ñ É r d (4)_ ¸| \ " f OP L 0 = lλ
p y + ∆(ζ) + ∆ (x − ξ) 2 + (y − η) 2 2ζ
(6)
ü
< ° ú s è q à º e . à º l ^ © F g s t
H 0 A_ ý a³ ð (x, y) H ` Ø Ô (Fermat)_ " é ¶ o
\ H # > í ß | ¨ c à º e . 7 £ ¤,
∂(OP L 0 )
∂x = ∆ 1 ζ
x − ∆ ξ ζ
= 0,
∂(OP L 0 )
∂y = lλ
p + ∆ 1 ζ
y − ∆ η ζ
= 0 (7) õ
d (4) ÐÂ Ò'
x = x 0 , y = y 0 − 2spl (8)
`
¦ % 3 H . (x 0 , y 0 ) H F g " é ¶ S ü < © & h S 0 ` ¦ e ± H f s
õ ë ß H & h _ ý a³ ð Ð" f x 0 = ξ 0
m − (1 − m)ξ m , y 0 = η 0
m − (1 − m)η
m (9)
ü
< ° ú . d (8) É r ^ © F g s xz \ " f f H ì
ø Í \ yz \ " f H Ã º l\ @ /6 £ x H # Q > h_ y& h ` ¦ t
° ú Ã º e 6 £ §` ¦ ´ ú K ï r .
F
g Æ Ò& h ~ ½ Ó& ñ d (4)ü < (8)s f _ ^ © ` ¦
¢ -
a y l Õ ü t ¦ e 6 £ §` ¦ Ð# Å Òl 0 AK " f ^ © F g
_ F g Ð& ñ (6)\ @ /{ 9
OP L 0 = ∆(ζ) + ∆ ξ 2 + η 2 2ζ
− K
2 x 2 0 + y 2 0
− sl 2 λ + lλ y 0
p
(10)
`
¦ % 3 H . 0 Ad \ " f ' a¹ 1 Ï ¦ H © & h S 0 õ F g " é ¶ S_ 0 Au { 9 é ß & ñ ÷ & , Ã º l` ¦ ] jü @ô Ç ¸ H Ã º
H ¦& ñ ) a . sü < l É r & ñ Ã ºs Ù ¼ Ð y 0 Å Òl p_ & ñ Ã º C
s , ¸ H l \ @ /6 £ x H F g s _ F g Ð © _
&
ñ Ã ºC ÷ &l M :ë H \ " f Ð Ðy © ç ß [ O # µ 1 ß É r © ` ¦ ë ß
H . ì ø Í \ y 0 Å Òl p_ ì ø Í& ñ Ã º(half-integer)s
, ls à º F g õ f . Ë Ã º F g s _ F g Ð ì ø Í
© _ f . Ë Ã ºC ÷ &l M :ë H \ " f Ð èY > ç ß [ O # # Q¿ º î
r © ` ¦ ë ß H . y 0 H © & h _ ý a³ ð η 0 \ q Y V ¦, ξ 0 \ H Á
º ' a l M :ë H \ © \ " f η 0 7 £ x , µ 1 ß É r © õ # Q
¿
ºî r © s §@ / Ð " f ½ ¨ ¸\ ¦ F & ³ > ) a .
s
õ ÐÂ Ò' F g ~ ½ Ó& ñ d (4)ü < (6) Õ ªo ¦ (8) É r f
_ ^ © ` ¦ ¢ - a y l Õ ü t ¦ e 6 £ §` ¦ · ú Ã º e .
IV. ì Å ¤
d
(2)_ 0 A © ` ¦ ¶ ú ( R Ð , S& h \ " f ü <" f Q& h ` ¦ t
" f S 0 & h \ ¸² ú ô Ç Ã º l z ´] j F g _ F g Ð& ñ É r
OP L = lλ
p y + r + r 0 (11) e
` ¦ · ú Ã º e . z ´] j F g s d (11)_ â Ð\ ¦ " f
' ô Ç , d (6)` ¦ Ø Ô H ^ © F g _ â Ð\ " f z
´] j F g s # Á # Q > ÷ &Ù ¼ Ð, s © & h ^ © É r à º
\
¦ ° ú > ) a . E $ Ý ¼> _ â Ä ºü < Ä » > ^ © F g
_ Ã º H z ´] j F g õ ^ © F g _ F g Ð
Ð 6 £ § õ ° ú s & ñ _ | ¨ c à º e [22].
W = OP L 0 − OP L. (12) 0 Ad \ d (4)ü < d (8)` ¦ @ /{ 9 ¦ ý a³ ð\ @ /ô Ç / å L Ã
º Ð > h ,
W ' W 4 + W 6 , W 4 = 1
8 σ 1 Y 4 + 1
2 σ 2 Y 3 U y + 1
4 σ 3 Y 2 U x 2 + 3U y 2 + 1
8 σ 4 U x 2 + U y 2 2 , W 6 = 1
16 µ 1 Y 6 + 3
8 µ 2 Y 5 U y + 3
16 µ 3 Y 4 U x 2 + 5U y 2 + 1
4 µ 4 Y 3 U y 3U x 2 + 5U y 2 + 3
16 µ 5 Y 2 U x 4 + 6U x 2 U y 2 + 5U y 4 + 1
16 µ 6 U x 2 + U y 2 3
(13)
`
¦ % 3 H . # l " f D h Ðî r à º U x = ξ − x 0
ζ , U y = η − y 0
ζ , Y = y − y 0
p (14)
¸{ 9 ÷ &% 3 H X <, (U x , U y ) H F g " é ¶ õ © & h ` ¦ e ± H f _
~
½ Ó ¾ Ó ò ø ÍH $ à Ô(direction tangents)s 9, Y H ^ © F g
s ` ¦ t H Z } s Ð" f, ] X ¼ # y 0 ` ¦ l ï r Ü ¼ Ð 8 £ ¤
&
ñ ) a . d (13)\ " f 3 Ã º > Ã º H σ 1 = p 4 K 3 1 − (1 − m) 3
m 3 , σ 2 = −p 3 K 2 1 − (1 − m) 2 m 2 , σ 3 = p 2 K, σ 4 = − 1
K m 2
1 − m (15)
s
¦, 5 Ã º > Ã º H µ 1 = −p 6 K 5 1 − (1 − m) 5
m 5 , µ 2 = p 5 K 4 1 − (1 − m) 4 m 4 , µ 3 = −σ 1 , µ 4 = −σ 2 , µ 5 = −σ 3 , µ 6 = −σ 4 , (16)
ü
< ° ú . d (13)_ Ã º î r X < σ 4 ü < µ 6 \ ¦ í < Ê H
½ Ó É r ý a³ ð Y \ Á º ' aô Ç ½ ÓÜ ¼ Ð" f ^ © \ % ò ¾ Ó` ¦ Å
Òt · ú § H ì ø Í \ , Õ ª s ü @_ ½ Ó É r © _ | 9 \ % ò ¾ Ó` ¦ Å Ò
H Ã º s . _ Å Òl p © λ\ q K " f B Ä º ß ¼
, pK H 0 \ ] X Hô Ç . s â Ä º ¸ H Ã º H
t > ) a .
V. ° Ë Ñ Ò Å ¤
ô
Ǽ # F g _ 0 A H F g Ð& ñ _ 0 Au p ì r \ q Y V l M
:ë H \ [22], © \ " f y~ ½ Ó ¾ Ó F g à º H d (13)_ Ã
º ÐÂ Ò'
' −r 0 ∂W
∂y = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 , (17)
Fig. 2. Transverse ray aberration plotted as a function of the aperture variable Y , when 2sp/λ = 150 and U x = 0.
The magnifications are chosen as (a) m = 1, (b) m = 2 and (c) m = 3. The solid, dashed and dotted curves correspond to the cases in which U y = 0, 0.02 and 0.04, respectively. The overall ray aberrations carried by self-images are shown entirely undercorrected.
ü
< ° ú s > í ß | ¨ c à º e . # l " f y y _ F g à º ½ Ó É r
1 = − m pK
1
2 σ 1 Y 3 + 3 8 µ 1 Y 5
,
2 = − m pK
3
2 σ 2 Y 2 + 15 8 µ 2 Y 4
U y ,
3 = − m pK
1
2 σ 3 Y U x 2 + 3U y 2 + 3
8 µ 5 Y U x 4 + 6U x 2 U y 2 + 5U y 4
,
4 = − 3m
4pK µ 3 Y 3 U x 2 + 5U y 2 ,
5 = − 3m
4pK µ 4 Y 2 U y 3U x 2 + 5U y 2
(18) s
. ' Í P : Ã º 1 É r E $ Ý ¼> _ ½ ¨ Ã º ü < Ä » 9, σ 1 ½ Ó É r 3 ½ ¨ Ã º Õ ªo ¦ µ 1 É r 5 ½ ¨ Ã º \ K { © ô
Ç . d (15)ü < (16)Ü ¼ ÐÂ Ò' σ 1 ( ¢ ¸ H µ 1 ) É r C Ö ¦ m \ Á º
'
a > ½ Ó © ª (¢ ¸ H 6 £ §) s 9, Õ ª ß ¼l H m = 1 \ " f þ j@ / s
¦, m = 2\ " f þ j èe ` ¦ · ú Ã º e . pK 1 s , 5
½
¨ à º H 3 ½ ¨ à º \ q K " f Á ºr | ¨ c à º e l M :ë H
\
½ ¨ Ã º H ^ & h Ü ¼ Ð p ë ß Ð& ñ ) a(undercorrected)
° ú
כ` ¦ ° ú H . ¿ º P : Ã º 2 H E $ Ý ¼> _ ï ü < Ä »
9, σ 2 ½ Ó É r 3 + þ A ï Õ ªo ¦ µ 2 ½ Ó É r 5 + þ A ï
\ K { © ô Ç . d (15)ü < (16) É r σ 2 ( ¢ ¸ H µ 2 ) m = 1{ 9 M
: 6 £ § Ã º(¢ ¸ H ª Ã º)s ¦, m = 2 { 9 M : 0s 9, m ≥ 3{ 9 M
: ª Ã º(¢ ¸ H 6 £ § Ã º)e ` ¦ Ð# ï r . pK 1s 5 + þ
A ï H 3 + þ A ï \ q K " f Á ºr | ¨ c à º e .
" f U y > 0 â Ä º + þ A ï H m = 1{ 9 M : íõ Ð
&
ñ ) a(overcorrected) ° ú כ` ¦ t 9, m = 2 { 9 M : H ¢ - a y
t ¦, m ≥ 3{ 9 M : p ë ß Ð& ñ ) a ° ú כ` ¦ ° ú H . ë ß { 9
U y < 0 s © S ! É r ì ø Í ) a . [ j P : Ã º 3 H E $ Ý
¼> _ q & h à º ü < Ä » 9, σ 3 ½ Ó É r 3 + þ A q & h à º Õ
ªo ¦ µ 5 ½ Ó É r 5 + þ A q & h à º \ K { © ô Ç . d (15)ü <
(16) É r σ 3 ( ¢ ¸ H µ 5 ) C Ö ¦ m \ ' a > \ O s ª (¢ ¸ H 6 £ §)_
© Ã ºe ` ¦ ´ ú K ï r . { 9 ì ø Í& h Ü ¼ Ð U x ü < U y _ ß ¼l 1 Ð
B Ä º l M :ë H \ , 5 + þ A q & h à º H 3 + þ A q
&
h à º \ q K " f Á ºr | ¨ c à º e . " f q & h à º H
^
& h Ü ¼ Ð p ë ß Ð& ñ ) a ° ú כ` ¦ ° ú H . W 1 P : Ã º 4 H E $ Ý
¼> _ §(oblique) ½ ¨ à º (¢ ¸ H 5 3 ¸ q & h à º ) ü
< Ä » . d (16)\ " f µ 3 = - σ 1 s l M :ë H \ µ 3 H ½ Ó
© 6 £ § Ã º Ð" f § ½ ¨ Ã º H íõ Ð& ñ ) a ° ú כ` ¦ ° ú H .
U x ü < U y _ ß ¼l 1 Ð B Ä º É r â Ä º, 4 H 1 \ q K
"
f Á ºr | ¨ c à º e . $ Á P : à º 5 H E $ Ý ¼> _ " é ¶ + þ
A ï (¢ ¸ H 5 3 ¸ ï )ü < Ä » . d (16)\ " f µ 4
= - σ 2 s l M :ë H \ µ 4 H m = 1{ 9 M : ª Ã ºs ¦, m = 2{ 9 M
: 0s 9, m ≥ 3{ 9 M : 6 £ § Ã ºs . " f " é ¶+ þ A ï H m = 1 { 9 M : p ë ß Ð& ñ ) a ° ú כ` ¦ t 9, m = 2{ 9 M : H
¢ -
a y t ¦, m ≥ 3{ 9 M : íõ Ð& ñ ) a ° ú כ` ¦ ° ú H .
U x ü < U y _ ß ¼l 1 Ð B Ä º É r â Ä º, 5 H 2 \ q K
"
f Á ºr | ¨ c à º e .
Fig. 2 H _ ý a³ ð Y _ < ÊÃ º Ð · p ^ F g Ã
º _ / B G s . # l " f pK = 1/150õ U x = 0` ¦
× þ
% i . C Ö ¦ É r y y (a) m = 1, (b) m = 2 Õ ªo ¦ (c) m = 3 Ü ¼ Ð ¿ º% 3 . Õ ªa Ë >\ " f z ´ É r U y = 0 â Ä ºs
¦, W É r U y = 0.02 â Ä ºs 9, & h É r U y = 0.04
Fig. 3. Line curvature plotted as a function of the aper- ture variable Y , when 2sp/λ = 150, U x = 0 and U y = 0.04. The solid, dashed and dotted curves correspond to the cases in which m = 2, 3 and 4, respectively. A ray of light passing through the point of a positive (or negative) Y provides a negative (or positive) curvature to the self-imaged line.
â
Ä º\ ¦ · p . Fig. 2 H F g à º ^ & h Ü ¼ Ð p ë ß
Ð& ñ ÷ &# Q e 6 £ §` ¦ Ð# ï r . U y = 0 z ´ _ â Ä º, 1 s ü
@_ ¸ H Ã º ½ Ós t l M :ë H \ © _ ( f É r ^
© & h ` ¦ × æd Ü ¼ Ð @ /g A& h s . U y 6= 0 W õ & h _
â
Ä º, F g à º H 1 õ 2 Õ ªo ¦ 3 ½ Ó\ _ K " f ý aÄ º ) a
. : £ ¤ y 1 õ 3 H ^ © & h ` ¦ × æd Ü ¼ Ð @ /g A& h ( f
`
¦ l H ì ø Í \ , U y > 0 â Ä º 2 H m = 1 { 9 M :
ª
_ ° ú כ` ¦ t 9, m = 2{ 9 M : H ¢ - a y t ¦, m ≥ 3{ 9 M : 6 £ §_ ° ú כ` ¦ ° ú l M :ë H \ Fig. 2(a)_ Ã º H ª _
~
½ Ó ¾ ÓÜ ¼ Ð s 1 l x ÷ & 9, Fig. 2(c) H 6 £ §_ ~ ½ Ó ¾ ÓÜ ¼ Ð s 1 l x ) a
¸_ þ v` ¦ Ð# ï r .
É r ô Ǽ # d (18)_ F g à º î r X < à º U x \ _ > r
H ½ Ó[ þ t É r ^ © ) a _ / B GÒ ¦ \ l # ô Ç .
_ Å Òl p F g_ © λ\ q K " f 9 þ t â Ä º, ^ ©
)
a _ / B GÒ ¦ É r c ' − (1 − m) 2 K
m 3 p
σ 3 Y + 3
4 µ 5 Y U x 2 + 6U y 2
(19) ü
< ° ú s ³ ð & ³| ¨ c à º e . 0 Ad \ " f · ú à º e 1 p w s m = 1
â
Ä º, © ) a _ / B GÒ ¦ É r 0 s ) a .
Fig. 3 É r _ ý a³ ð Y _ < ÊÃ º Ð · p ^ © ) a
_ / B GÒ ¦ o\ ¦ Ð# ï r . # l " f pK = 1/150, U x
= 0 Õ ªo ¦ U y = 0.04 Ð ¦& ñ % i . C Ö ¦ É r m = 2(z ´
)ü < m = 3( W ) Õ ªo ¦ m = 4(& h ) Ð ¿ º% 3 . Fig.
3 \ " f ^ ¦ Ã º e 1 p w s , / B GÒ ¦ É r Y \ q Y Vô Ç . Y ª Ã º
½
¨% i ` ¦ t H F g É r −y» ¡ ¤ \ × æd ` ¦ é H / B G ` ¦ ë ß [ þ t 9, Y 6 £ § Ã º ½ ¨% i ` ¦ t H F g É r +y» ¡ ¤ \ × æd ` ¦ é H / B G
` ¦ ë ß [ þ U` ¦ Ð# ï r . { 9 ì ø Í& h Ü ¼ Ð _ ß ¼l Ä »ô Ç
l M :ë H \ Y _ & ñ _ % i É r ' a¹ 1 Ï © & h _ 0 Au (7 £ ¤, η 0 ¢ ¸
H U y ) \ " f ² ú . Y _ & ñ _ % i s Y = 0` ¦ l ï r Ü
¼ Ð ª (+) ~ ½ Ó ¾ ÓÜ ¼ Ð u Ä º 2 ; â Ä º, ^ © É r −y» ¡ ¤ ~ ½ Ó ¾ Ó Ü
¼ Ð ½ ¨Â Ò Qt 9, 6 £ §(-) ~ ½ Ó ¾ ÓÜ ¼ Ð u Ä º 2 ; â Ä º, ^ ©
É r +y» ¡ ¤ ~ ½ Ó ¾ ÓÜ ¼ Ð ½ ¨Â Ò Qt > ) a .
VI. + s Ç Â ] Ø
: r 7 Hë H \ " f H 1 " é ¶ Å Òl & h ½ ¨ ¸_ ^ © \ @ /ô Ç l
< Æ& h à º : r` ¦ > h % i . ` Ø Ô _ " é ¶ o \ H
# Ã º l ^ © F g _ l < Æ& h â Ð\ ¦ Æ Ò& h
l 0 Aô Ç ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ Ä » ¸ % i . Ä » ¸ ) a F g Æ Ò& h ~ ½ Ó& ñ d
` ¦ 6 x # , z ´] j F g õ ^ © F g s _ F g
Ð \ l H à º ü < S ~ ½ Ó ¾ Ó F g à º ' a > d ` ¦
% 3
% 3 Ü ¼ 9, y à º ½ Ó_ : £ ¤$ í \ @ /K " f 7 H_ % i . à º
\
@ /ô Ç ì r$ 3 õ H ^ © s p ë ß Ð& ñ ) a F g à º
\
¦ ° ú ¦ e 6 £ §` ¦ Ð# Å Ò% 3 . Å Òl F g_ © Ð B
Ä º ß ¼ , ^ © _ F g à º H 0 \ ] X Hô Ç . C Ö ¦ s
1 â Ä º, ^ © ) a _ / B GÒ ¦ É r 0 s ) a . C Ö
¦ s 1 Ð ß ¼ ¦, r y s 0s u ´ â Ä º, ^ © ) a
É r / B GÒ ¦` ¦ ° ú H . # l " f 7 H_ ) a ^ © _ Ã º
: r É r f x 9 É r Å Òl & h ½ ¨ ¸\ ¦ s 6 xô Ç » 1 Ï Ð ç ß [ O
> ¢ ¸ H » 1 Ï Ð ´ òõ _ 6 £ x6 x ì r \ " f > _ $ í 0 p x` ¦ ¨ î
H X < 6 x| ¨ c à º e .
P c
p 8 ý ò k >
: r ½ ¨ H 2004 ½ ¨¸ l ç ß 1 l xî ß Ã º' ÷ &% 3 Ü ¼ 9, e ;
$
3 §Ã º_ ¸¹ ¡ § \ y × ¼w n m .
Y c
p w à U Ø ô
[1] H. F. Talbot, Philos. Mag. 9, 403 (1836).
[2] J. M. Cowley and A. F. Moodie, Proc. Phys. Soc. B 70, 486 (1957).
[3] J. T. Winthrop and C. R. Worthington, J. Opt. Soc.
Am. 55, 373 (1965).
[4] W. D. Montgomery, J. Opt. Soc. Am. 57, 772
(1967).
[5] P. Szwaykowski, J. Opt. Soc. Am. A 5, 185 (1988).
[6] M. Mansuripur, Opt. Photonics News (OSA, April, 1997), p. 42.
[7] M. Born and E. Wolf, Principles of Optics (Perga- mon, Oxford, 1980), p. 378.
[8] D. E. Silva, Appl. Opt. 10, 1980 (1971).
[9] A. W. Lohmann and D. E. Silva, Opt. Commun. 2, 413 (1971).
[10] S. Yokozeki and T Suzuki, Appl. Opt. 10, 1575 (1971).
[11] K. Patorski and P. Szwaykowski, Opt. Acta 31, 23 (1984).
[12] K. Patorski, Appl. Opt. 24, 4448 (1985).
[13] W. Yu, D. Yun and L. Wang, Opt. Lasers Eng. 25, 163 (1996).
[14] J. S. Kang, M. S. Lee, S. Chang, B. J. Kim and K.
C. Yuk, Optik 113, 285 (2002).
[15] B. J. Kim, K. C. Yuk, S. I. Lee and S. Chang, Optik 115, 121 (2004).
[16] O. Bryngdahl, J. Opt. Soc. Am. 63, 416 (1973).
[17] B. Packross, R. Eschbach and O. Bryngdahl, Opt.
Commun. 56, 394 (1986).
[18] A. W. Lohmann, Optik 79, 41 (1988).
[19] J. R. Leger and G. J. Swanson, Opt. Lett. 15, 288 (1990).
[20] J. F. Clauser and M. W. Reinsch, Appl. Phys. B 54, 380 (1992).
[21] K. Patorski, Progress in Optics 27, 1 (1989).
[22] W. T. Welford, Aberrations of Optical Systems (Adam Hilger, Bristol, 1986), p. 71, 93.
Aberration Theory for a Self-Imaging System of One-Dimensionally Periodic Objects
Soo Chang ∗
Department of Physics, Hannam University, Daejeon 306-791 (Received 23 December 2004)
A self-imaging system of one-dimensionally periodic objects is analyzed from the viewpoint of aberration theory. The ray equations are first obtained to trace the optical path of a self-imaging ray with an order of l. The wavefront and the ray aberrations arising from the difference between the optical paths of a self-imaging ray and of an actual ray are then evaluated. The overall ray aberrations are shown to be entirely undercorrected. The ray aberrations approach zero as the ratio of the grating period to the wavelength of light becomes large enough. The self-imaged lines of unit magnification have no curvatures. For magnifications bigger than unity, light rays passing through a point in a positive or negative domain of the aperture make variable contributions to the formation of the curved images. The image evaluation technique discussed here will be useful in various applications related to self-image formation of a line grating or other periodic objects.
PACS numbers: 42.30.M
Keywords: Self-image, Talbot effect, Line grating, Wavefront, Ray aberration
∗
