사각형 단면

Mechanic

5.8 직사

순수굽힘 집중하중

 수직 - 보의 상 

 

- 전단응  두개 - 두개가

 전단공 - 미소 요 - 중립축

cs of Materials

사각형 단면

힘  굽힘모멘 중  전단응력

및 수평 전단 상하면에서는

0 at y h

  

응력의 존재확 개의 보를 포 가 접착된 보가

공식의 유도 요소의 평형을 축에서의 높이

s, 7

^th

ed., Jame

면 보의 전단

멘트만 작용 력을 유발함.

단응력

는 전단응력=

/ 2 h

확인:

포갠 경우 가 더욱 튼튼

을 고려하여 이에 따라 변함

es M. Gere &

단응력

.

0

튼

전단응력 계 함 (분포식 계

Barry J. Goo

계산

계산 가능)

dno

Pa

age 05-36

Mechanic

1

   M

1

2

F F













수평방향

F

3

전단응력

(5-33),(5

Q  

VQ

  Ib

cs of Materials

and

2

My

I  

1

2

( dA My

I dA M













향 힘의 평형조

3

(M d

F I

  

력



가 보의 -34) 

 

 y dA

⁽

^y

^1윗

 전단공식

s, 7

^th

ed., Jame

(M dM

I

  

) dA

M dM y I dA



조건:

F

3

 F )

dM y dA  

폭에걸쳐 등

1 dM

dx Ib

 

 

  

윗부분의 단면

식 (shear fo

es M. Gere &

) M y

A

2 1

F  F

My d

I dA 



등분포 되었다

y dA V

 Ib 

면 1 차모멘트

rmula)

Barry J. Goo

dM y dA I 

다면 힘

F

3

 y dA

트)로 정의하

dno

(5

 b dx



₍₅

(5 면 (5

(5-38)

5-33)

5-34)

5-35,36) 5-37)

Pa

age 05-38

 1 차모 - 전체 면

Q

_의

-

V Q ,

(전단력

 직사각

2 Q b  h

  

Q   y



2

  V

모멘트 Q 의 계 면적에 대한

계산시,

y

1_아

의 부호는 무 력의 방향과

각형 보의 전

1 1

2

h  y     y 

1

/ 2 h

dA  

y

yb

2 2

2 4

1

V h I y

 

 

 

계산

Q   y dA

아랫부분의 단 무시하고, 전단

전단응력의

단응력의 분

/ 2

1

2 h   y

  

2

2 4 b dy b h 

  

 



 0

_이므로

단면 1 차모멘 단의 방향은

방향이 같기

분포

2

2 4 b h  y

   

  

2

y

1



 



2

멘트를 이용해 직관으로 이 기 때문)

2

y

1



 

^or

해도 됨.

이해함.

Mechanic

 제한 - 선형 탄 - 폭이 좁 - 삼각형 - 단면의 - 전단응 - 균일 단

 전단변 - 전단응  전단  변형 - 전단력  굽힘 - 전단력

cs of Materials

탄성재료에서 좁은 보에서는

, 반원형 형상 변은

y

_축에

응력은 단면의 단면 보에만

변형률의 효과 응력이 높이에

단변형률도 높 형후 평면을

이 일정하면 힘응력에는 영

이 일정하지

s, 7

^th

ed., Jame

서만 적용가능

는 비교적 정 상에는 적용 에 평행해야함 의 폭에걸쳐 균

적용 가능

과

에 따라 변하므 높이에 따라

유지하지 못 면 모든 단면이

영향이 없음 지 않아도 영향

es M. Gere &

능

정확함, 높이가 불가능 함

균일하다고 가

므로 변함 못함

이 같은 모양

향이 크지 않

Barry J. Goo

가 낮아지면

가정할 수 있

양으로 변형

않음  순수

dno

오차 증가 (

있어야함

굽힘 굽힘공

정사각형 단

식을 계속 사

Pa 면; 13% 오차

사용 가능

age 05-40 차)

 예제 문제

-

 

_C

,

- 응력요

5-11



C _구하고,

요소에 도시하하기

Mechanics of Materials, 7

^th

ed., James M. Gere & Barry J. Goodno

Page 05-42 풀이

- 작용하중:

17, 920 lb-in, 1, 600 lb

C C

M  V  

- 관성모멘트:

3 3 4

1 1

(1.0 in)(4.0 in) 5.333 in

12 12

I  bh  

- 수직응력:

4

(17, 920 lb-in)(1.0 in)

3360 psi 5.333 in

C

My

   I    

_

- 단면 1 차모멘트:

 (1.0 in)(1.0 in) (1.5 in) 1.5 in 

³

C C C

Q  A y  

- 전단응력:

3 4

(1, 600 lb)(1.5 in )

450 psi (5.333 in )(1.0 in)

C C C

V Q

  Ib  

_

 예제 문제

100 b 

allow

 



P

max

Note: 목 수 

5-12

mm, 15 h  11 MPa, 



구하기

목재는 단면위 수평전단에 취

 설계시 수평

50 mm, a  0

allow

1.2 M

 

위 전단 보다 취약함 (길이방

평 전단에서의

0.5 m MPa

방향 섬유에 의 허용응력을

평행한 전단 을 통상적으

단)

로 고려

Mechanics of Materials, 7

^th

ed., James M. Gere & Barry J. Goodno

Page 05-44 풀이

- 최대 전단력 (지지점), 최대굽힘모멘트 (하중사이 구간):

V

max

 P M

max

 Pa

- 단면계수, 단면적:

S  bh

²

/ 6 A  bh

- 최대응력: ^{max max} 2 ^{max max}

6 3 3

2 2

M Pa V P

S bh A bh

     

- 하중의 최대허용값:

2

allow allow

bending shear

2

6 3

bh bh

P P

a

 

 

- 수치를 대입하면:

2 bending

shear

(11 MPa)(100 mm)(150 mm)

8.25 kN 6(0.5 m)

2(1.2 MPa)(100 mm)(150 mm)

12.0 kN 3

P P

 

 

 굽힘응력이 설계를 지배하며,

P

max

 8.25 kN

_

Note: 대부분의 경우 굽힘응력 (전단이 아니고)이 허용하중을 통제함.

5.9 원형

- 임의의 - 중립축  중립

I _ 



^max

- 속이 빈

I _ 



^max

여

형단면 보의

점

m

_에서

축 (

z

축)에서는 립축에서의 전

4

4

r Q A

 _

(

VQ V

Ib  r

 

빈 원형 단면



^{24 14}



4 r r

 _

4 3

VQ V

Ib A

 

여기서

A  

의 전단응력

전단응력은 는 대칭성으로 전단응력 (최

2

2 Ay   r 

     

3 4

(2 / 3) / 4)(2 ) V r

r r 

면



²³

2

Q  3 r

2

2 2 1

2 2

2 1

r r r V

A r r

  

 



 ^r

²²

^r

¹²



 

_를

은

y

_{축에 평행}

로 인하여 전 대전단응력)

4 2

3

3 3

r r



  

 

 

2

4 4

3 3

V V

r A

 ^



3

1

2

r b

 

2 1 2

4 3

r V



 

   

 

를 이용하였음

행하지 않음 전단응력이

y

은 기존을 공

b  2 r

_(부

V

A

2 1

2( r  r )

2

2 2 1 1

4 4

2 1

r r r r r r

  

 

음.

y

_{축에 평행함}

공식 사용가능

부록 D 참조)

(5-42)

(5-43)

2

r 

1

 

^(5-44)

함 능

)

Mechanic

 예제 문제

2

4.0

d 

(a) 기둥 (b) 같은 속이 풀이

(a)



^max

(b)



^max

 

cs of Materials

5-13

0 in, d

1

 3.2

내의 최대전 하중

P

, 같 이 찬 기둥의

2 2

4 2

4 3

r V

 r

 

 



0

4 3 ( / 2

V

 d



2 0

ma

16 3 d P

 

0

1.97 in d 

s, 7

^th

ed., Jame

2 in, P  150

전단응력?

같은 최대 전 지름

d

0_구하

2

2 1 1

4 4

2 1

r r r r

   

 

)

2

ax

16(1500 3 (658 

 n

es M. Gere &

00 lb

단응력에 대 하기.

658 psi

0 lb) 8 psi)  3.87

Barry J. Goo

해



7 in

2

dno

Pa

age 05-46



5.10 플

- 플랜지  복잡

- 웨브에  직사

플랜지를 가

에서의 전단 잡한 해석 절

에서의 전단응 사각형 보의

진 보의 웨

단응력은 수직 절차가 필요 (

응력은 수직방 전단응력 구

웨브에서의 전

직/수평 전단응 (6.7 절에서

방향으로만 작 구하는 공식 사

전단응력

응력 2 가지 해석)

작용

사용 가능

Mechanic

 웨브에

- 웨브상

ef

_윗부

두 부분

cs of Materials

에서의 전단응

상의 위치

ef

부분의 면적에 분으로 나누어

s, 7

^th

ed., Jame

응력

에서의 전단 에 해당하는 어 생각함: 플

es M. Gere &

단응력  수직 1 차모멘트 플랜지

( A

1

)

Barry J. Goo

직방향이며



Q

_{를 구하여}

+ 웨브

efc

dno

/ VQ Ib

 

_를

여야 한다.

cb ( A

2

)

를 적용할 수

Pa 수 있음.

age 05-48

1 1

1

2 1

2 2 2

h h

A  b    h     A  t     y   

2 2 2 2

1 1 1 1

1 2 1 1 1 1

/ 2 / 2 / 2

( ) ( 4 )

2 2 2 8 8

h h h h y b t

Q  A          A    y       h  h  h  y

^(5-45)

2 2 2 2

1 1 1

( ) ( 4 )

8 VQ V

b h h t h y It It

   ^     ^ 

^{ 2 차함수 (5-46) }

여기서

3 3

3 3 3

1

1 1

( )( ) 1

( )

12 12 12

b t h

I  bh    bh  bh  th

_{(5-47) }

 최대 및 최소 전단응력

최대 전단응력

( y

1

 0)

/ 최소 전단응력 (웨브-플랜지 접합부

y

1

  h

1

/ 2

₎

2 2 2 2 2

max

(

1 1

)

min

(

1

)

8 8

V Vb

bh bh th h h

It It

      

_(5-48a,b)

Note: 보통



max

/ 

min

 1.1 ~ 1.6

Mechanics of Materials, 7

^th

ed., James M. Gere & Barry J. Goodno

Page 05-50

1

web 1 min 1 max min max min

2 ( )( ) ( ) (2 )

3 3

V  ^  h   h    ^  t  th   

 

^(5-49)

Note: 보통

V

web

/ V

Total

 0.9 ~ 0.98

 웨브가 모든 전단력을 받는다고 가정하면, 평균 전단응력은

^aver

1

V

  th

(보통 10% 이내의 오차) (5-50)

 제한

- 직사각형 보에 대한 전단공식은 플랜지의 전단응력 계산에는 사용할 수 없음

 예제 문제

45 k V 

max

,

m

 

풀이

1 ( I  12 b

max

8

  V

web

3

V  th

Note:



^a

5-14

kN

일 경우

min

, V

web_구하

3 3

bh  bh

1

 t (

2

8

V bh bh It 

1

(2

max

3

h   

aver

1

V 2

 th 

하기

3

1

) 130.4 th 

2 2

1 1

) 2

h  th 

min

) 43.0 k

 

20.7 MPa 

6 4

45 10 mm  1.0 MPa

kN (V

web

0.99 

max

4

min

(

8 Vb h

  It

Total

/ V  0.9

2 2

1

) 17 h  h 

6)

7.4 MPa (  

_max

/ 

_min

 1 1.21)

_



Mechanic

 예제 문제

10, 0 V 

cs of Materials

5-15

000 lb

_{일 경}

s, 7

^th

ed., Jame

경우,



1

(secti

es M. Gere &

ion ), nn 

ma

Barry J. Goo

ax구하기

dno

Pa

age 05-52

풀이

- 중립축 (무게중심)의 위치는 플랜지

( A

1

)

_{와 웨브}

( A

₂

)

의 합성 면적에 대해 구함:

1 1

1 1 3

2 2 1 2

1 1

( )( ) ( )

54.5 in

2 2

4.955 in 3.045 in

( ) 11.0 in

i i i

h h h

b h h th

c y A c h c

A b h h th

    

 

 

      

 

 

3 2

2 1 2 4 4 4

2 2

( )

339.67 in 270.02 in 69.65 in

3 3

aa

b t h

I  I  Ac    bh      Ac   

 

- 웨브의 맨 위쪽에서의 응력

(section ) nn 

1 _

(section ) nn

윗 부분의 1 차모멘트 계산

1 3

1

(

1

)

1

(4 in)(1 in)(3.045 in 0.5 in) 10.18 in 2

Q  b h h     c  h h       

혹은

(section ) nn

아랫 부분의 1 차모멘트를 구하여도 동일한 결과가 얻어짐.

^{1 1 2 1}

(1 in)(7 in)(4.955 in 3.5 in) 10.18 in

³

2

Q  th c     h      

Mechanics of Materials, 7

^th

ed., James M. Gere & Barry J. Goodno

Page 05-54 - 최대전단응력은 중립축에서 발생, 이 축에 대한 1 차모멘트는 중립축 아래 단면적에 대해 구함

2 3

max 2

4.955 in

(1 in)(4.955 in) 12.28 in

2 2

Q  tc       c        

(중립축 윗부분의 면적에 대해 구해도 같은 결과가 얻어지나, 계산은 더 복잡함.)

3 max

max 4

(10, 000 lb)(12.28 in )

1760 psi (69.65 in )(1 in)

VQ

  It  

_

*5.11 조

두 개 또 (a) 상자형 (b) 적층 (c) 강철

설계계산 (1) 굽힘응 (2) 연결부

조립 보와 전

또는 그 이상의 형 보 (box b

판 보 (glula 플레이트 거

산

응력과 전단 부는 부품사

전단흐름

의 재료들을 beam)

m)

거더 (plate g

응력을 고려 이의 수평 전

한 개의 보로

irder)

하여 한 개의 전단력을 전달

로 접합

의 개체로 설 달시키도록 설

계 설계

Mechanic

 전단흐

cs of Materials

흐름

s, 7

^th

ed., Jame

es M. Gere &

Barry J. Goo

dno

Pa

age 05-56

식 (5-33) 반복: ³

dM

F y dA

 I 

^(5-51)

전단흐름 (shear flow): 보의 세로방향축의 단위 거리당 수평 전단력 힘

F

3_{는 거리}

_dx

에 걸쳐 작용하므로, 단위 거리당 전단력은

3

1

F dM VQ

f y dA I

dx dx I

  

   

  

^(5-52)

Note-1: 면

pp

1의 전단응력이 등분포 되었다면

f   b

Note-2: 식 (5-52)는 응력의 분포에 대한 가정이 필요없는 일반식임

Note-3:

F

3는 보조요소와 보의 나머지 부분 사이에 작용하는 전체 수평 전단력

 바닥면에서 뿐만 아니라 보조요소의 측면의 어느 곳에서나 분포될 수 있음.

Mechanic

 1 차모

(a) 접촉 (b) 전체 (c) 상부 전단

cs of Materials

모멘트 Q 를 계

면

aa

_윗부분

채널의 1 차 플랜지의 면 단력은

cc

_와

s, 7

^th

ed., Jame

계산할 때 사

분의 면적을 차모멘트인

Q

면적을

Q

_계산

dd

_{면을 따}

es M. Gere &

사용되는 면적

Q

_{계산에 사}

Q

_{를 사용하여}

산에 사용하며 라서 전달됨

Barry J. Goo

적

사용함 여야 함 며,

dno

Pa

age 05-58

 예제 문제

10.5 V 

5-16

5 kN

_{, 나사의의 허용전단력력은 개당}

F F  800 N

_{일일 때 나사의 허용 간격}

s

_구하기

Mechanics of Materials, 7

^th

ed., James M. Gere & Barry J. Goodno

Page 05-60 풀이

- 단면 1 차모멘트: 상부 플랜지의 면적에 대하여 구함

3 3

(40 mm 180 mm)(120 mm) 864 10 mm

f f

Q  A d    

3 3 6 4

1 1

(210 mm)(280 mm) (180 mm)(200 mm) 264.2 10 mm

12 12

I    

- 전단흐름

3 3

6 4

(10,500 N)(864 10 mm )

34.3 N / mm (264.2 10 mm )

f VQ I

   



^{(전달되는}

mm

길이당 수평전단력)

- 나사의간격 (나사가 좌/우 2 줄로 배열되므로)

2 2(800 N)

46.6 mm 34.3 N / mm

s F

 f  

_

제작의 편의상 보통

s  45 mm

와 같은 간격이 선택됨.

*5.12 축

- 구조용 - 항공기 - 폭이 지 예) 경사  수 - 각

M

- 각



- 수



- 중

축하중을 받

용 부재: 굽힘하 프레임, 건물 지나치게 좁지

진 하중

P

가 수평/수직 성 각각의 하중은

( M  Q L  x

각각의 응력은

/ ,

   My I

수직응력의 최

N My A I

  

중립축은 도심

받는 보

하중 과 축하 물의 기둥, 기 지 않은 경우

가 작용하는 성분

S Q ,

_으

은

) x V   Q

은

  VQ I /

최종분포

심을 통과하지

하중을 동시에 기계, 선박의 우 굽힘응력,

경우 로 분해

N  S

, / Ib   N

(5-5 지 않음.

에 받을 수 있 부품, 우주선 축응력을 중

/ A

3)

있음.

선 등 중첩함.

Mechanic

cs of Materials

s, 7

^th

ed., Jame

es M. Gere &

Barry J. Goo

dno

Pa

age 05-62

 편심 단면의 도

 도심통

N 

 

중립축

n

y

⁰



 제한 - 굽힘모 - 가느다  좌굴

축하중

도심을 통과하 통과 하중에

P M   P Pey A  I

nn

_{의 위치는}

I

 Ae

모멘트가 보의 다란 보에 압축

굴 발생 가능

하지 않은 축 굽힘모멘트가

Pe

는 식 (5-54)을

의 처짐과 무관 축하중이 작용 능 (11 장에서

축하중

P

가 더하여짐

(5-54 을 0 으로 하

(5-5

관하게 계산 용하면

취급)

4) 면, 5)

Mechanic

 예제 문제

20.0 A 

하중

P 

cs of Materials

5-17

0 in ,

2

I  86 1000 lb



에

s, 7

^th

ed., Jame

6.67 in

4_일

에 의한 보에서

es M. Gere &

때,

서의 최대인장

Barry J. Goo

장 및 최대압

dno

압축응력 구하

하기

Pa

age 05-64

풀이

경사진 하중

P

를 수평/수직 분력으로 분해함

0 0

0 0

sin 60 (1000 lb)(sin 60 ) 866 lb cos 60 (1000 lb)(cos 60 ) 500 lb

H

V

P P

P P

  

  

수평분력

P

H _{는 모멘트}

M

₀를 추가하여 보의 축으로 이전됨.

0 _H

(866 lb)(5.5 in)=4760 lb-in M  P d 



P

_H

, , P

_V

M

0는 정역학적으로 원래 하중

P

와 등가임.

(1) 반력을 구하고

(2) 축력 선도(b), SFD(c), BMD(d)선도 작성

Mechanic

cs of Materials

s, 7

^th

ed., Jame

es M. Gere &

Barry J. Goo

dno

Pa

age 05-66

- 보의 최대인장응력: 중앙점

C

의 바로 왼쪽에 보의 바닥면

( y   3.0 in)

_{에서 발생}

max 2 4

866 lb (9870 lb-in)( 3.0 in)

( ) 43 psi 342 psi 385 psi

20.0 in 86.67 in

t

N My A I

     ^   

_

- 보의 최대압축응력: 중앙점

C

의 바로 왼쪽에 보의 맨 윗면

( y  3.0 in)

_혹은

중앙점

C

의 바로 오른쪽에 보의 맨 윗면

( y  3.0 in)

_{에서 발생}

left 2 4

866 lb (9870 lb-in)(3.0 in)

( ) 43 psi 342 psi 299 psi

20.0 in 86.67 in

c

N My A I

        

right 4

(5110 lb-in)(3.0 in)

( ) 0 0 342 psi 177 psi

86.67 in

c

N My A I

        

 최대압축응력은

( 

_c

)

max

  299 psi

_(점

_C

의 바로 왼쪽에 보의 맨 윗면에서 발생) 