183
단 보
부분반사 전면 및 완전반사 후면을 갖는 반무한 방파제 또는 방파제 개구부에 의한 파의 산란
Wave Scattering by a Semi-infinite Breakwater or a Breakwater Gap with Partially Reflective Front and Fully Reflective Back
서경덕*·김한나**
Kyung-Duck Suh* and Hanna Kim**
요 지: 부분반사전면및완전반사후면을갖는반무한방파제및방파제개구부에의한파의산란현상에대 한해석해를유도하였다. 이는수심이일정하고파가방파제에직각으로입사하는경우에적용가능하며, 선형
파이론에근거하여변수변환및좌표변환을통해지배방정식을상미분방정식으로전환하여구하였다. 본연
구에서유도된해석해는유한요소수치모델의결과와비교하여그정확도를비교하였는데, 꽤정확한결과를 보인다는것을알수있었다. 유도된해석해를이용하여방파제에서의반사율에따른항입구에서의정온도에 미치는 효과를 조사하였다.
핵심용어 :방파제, 파의산란, 해석해
Abstract :Analytic solutions are derived for wave scattering by a semi-infinite breakwater or a breakwater gap with partially reflective front and fully reflective back. The water depth is constant and a regular wave train is normally incident to the breakwater. Wave scattering is studied based on the linear potential wave theory. The governing equation is transformed into ordinary differential equation by using the method of variation of parameters and coordinate transformation. Comparison with finite element numerical solution shows that the analytic solution obtained in this paper gives quite good results. Using the analytic solution, the tranquility of harbor entrance is investigated by changing the reflection coefficient at the breakwater.
Keywords :Breakwaters, wave scattering, analytic solutions
1. 서 론
심해에서천해로진행하는파랑은굴절, 회절, 반사, 천 수등을겪으면서변형을일으킨다. 이러한파랑변형을모 의하기위해수치모델이이용되고있는데, 수치모델들은 근사에의해해를구하기때문에실험결과나해석해와 비교하는검증과정을거쳐야한다. 실험의경우실제의물 리현상을그대로재현한다는장점이있지만실험을하기 위한준비과정이길고많은비용이든다는단점이있다.
또한측정기기나방법에대한오차를고려해야하는번 거로움이있다. 이에대한대안으로적은시간과비용으로
구할수있는해석해에대한연구가활발히진행되고있다.
이중방파제에의한회절, 반사, 투과와같은파의산란은 오랫동안해안공학자들에의해연구되어왔다. Penney and Price(1952)가 Sommerfeld (1896)의빛의회절에대한연 구결과에근거하여방파제에의한파의산란에대한해 석해를제안하였는데, 이해석해는많은교과서와매뉴
얼에도표혹은그림으로인용되고있다. Yu(1995)는 Sollitt
and Cross(1972)가유도한투수성구조물에대한경계조
건에근거하여얇은투수성구조물이있는경우방파제에 직각으로입사하는파에대한해석해를제안하였으며, 이
를 McIver(1999)가 Wiener-Hopf 기법을사용하여사각으
**서울대학교 건설환경공학부 및 공학연구소(Corresponding author: Kyung-Duck Suh, Department of Civil and Environmental Engineering & Engineering Research Institute, Seoul National University, Seoul 151-744, Seoul, Korea. [email protected])
**서울대학교건설환경공학부 (Department of Civil and Environmental Engineering, Seoul National University)
로들어오는파까지확장하였다.
Penney and Price(1952)의해는직립케이슨방파제에,
Yu(1995)와 McIver(1999)의해는사석방파제등투수성
방파제에적용가능하다. 요즘에는직립케이슨방파제에 의해발생하는반사파를줄이기위해수평혼성방파제
(horizontally composite breakwater), 즉파 에너지를소 산시키기위해전면에콘크리트블록을쌓아놓은직립케 이슨방파제혹은케이슨전면에유수실을갖는유공방 파제를많이사용한다. 또한이러한형태의방파제는항입 구부근에서의선박항해조건을개선시켜줌으로써, 선박 이항입구에안전하게접근하여통과할수있도록해준다
(McBride et al. 1994참조). 본 연구에서는 Penney and
Price(1952) 및 Yu(1995)의접근방법을이용하여전면은
부분반사, 후면은완전반사의특성을갖는방파제에직각 으로입사하는파의산란에대한해석해를구하였다. 유
도된해석해는완경사방정식의 FEM 수치해석결과와
비교함으로써타당성을검증하였다. 또한유도된해석해 를이용하여방파제전면의반사율변화가항입구에서의 정온도에미치는영향을조사하였다.
2. 수학적 모델
지금까지파가방파제에직각으로입사하는경우에대 한파의산란에대한해석해는투수성방파제인경우는
Yu(1995)에 의해, 불투수성완전반사 방파제인경우는
Penney & Price(1952)에의해구해졌는데, 본논문에서는 전면은부분반사, 후면은완전반사의특성을갖는방파제 에대한해석해를구해보고자한다. 여기서 Yu(1995)가
제시한방법을확장한것은해석해 1, Penney & Price
(1952)가제시한방법을확장한것은해석해 2로표시하
였다.
2.1 해석 해 1
2.1.1 반무한방파제: 해석해 1-1
수심이h로일정한, x-y 2차원평면상에 Fig. 1과같이 전면은부분반사, 후면은완전반사인방파제가있다. 여기 서좌표축의중심은방파제의바다쪽끝과일치하며, 지배 방정식은속도포텐셜Φ(x, y, z, t)에대한 Laplace 방정 식이다.
(1)
여기서 z는 정수면을 기준으로연직 상방으로양이 되 는연직좌표이다. x-z 평면상에서방파제에직각으로입 사하는파는 선형파이론으로부터 다음과같은속도포 텐셜을 지녔다고 가정하였다.
(2)
여기서 i = , H0는 입사파고, k는파수인데, 파수는
수심 h, 각주파수 σ와 중력 g로부터 다음분산관계식 을 통해구하였다.
σ2=gk tanh kh (3)
x-y 2차원평면은 Fig. 1과같이방파제에의한영향을
직접적으로받지않는영역인 (1)과입사파와반사파가존
재하는영역 (2), 회절파가존재하는영역 (3)으로나눌수
있다. y→−∞이면, 방파제의영향을받지않기때문에입 사파만으로, y→∞이고x<0이면, 입사파와방파제에의한 반사파의합으로, y→∞이고x>0이면, 방파제에의해입사 파가완전차단되므로영으로볼수있다. 따라서대략적 인근사해를다음과같이둘수있다.
(4)
여기서
(5) (6)
이고, Cr은 방파제 전면의반사계수이다.
식 (4)에주어진속도포텐셜은x축을따라불연속임을 알수있다. 실제상황에서는x축을따라y= 0 부근에서
∂2Φ
∂--- ∂x2 2Φ
∂y2 --- ∂2Φ
∂z2 --- + + =0
Φ0(x z t, , ) gH0
---2σcoshk h z( + )
coshkh
---e–i kx σt( – )
=
1 –
Φ(x z t, , )
Φ0 ∞(– < <x +∞ ∞;– < <y 0) Φ1 ∞(– < <x 0 0 y +∞; < < ) Φ2 0 x +∞ 0 y +∞( < < ; < < )
⎩⎪
⎨⎪
⎧
=
Φ1(x z t, , ) gH0
---2σcoshk h z( + )
coshkh
--- e( –ikx+Creikx)eiσt
= Φ2(x z t, , ) 0=
Fig. 1. Definition sketch of wave motion around a semi-infinite breakwater with partially reflective front and fully reflective back.
경계층이생기는데, y→±∞일때는식 (4)로주어진외부 해를점근적으로만족시키고경계층내에서는지배방정식 을만족하는내부해를찾아야한다. 이를구하기위해경 계층내에서의속도포텐셜을다음과같이가정하였다. at x<0
(7) at x>0
(8)
여기서 S10과 S20은 경계층내에서결정되는 함수로서,
S10는 반사파, S20는회절파를 나타내는 함수이다. 이함
수들은 Yu(1995)의방법에 따라다음과같이 구해진다.
(9) (10)
여기서
(11) (12) (13)
이며, 식(12)와 (13)은 각각코사인, 사인 Fresnel 적분 이다. 이로써 식 (7), (8)의 미결정 함수 S10, S20가 결
정되었다. 그러므로회절계수 K를, x<0 영역에서는 식
(7)의파고와입사파고의비로서, x>0 영역에서는식 (8)
의 파고와입사파고의 비로서, 다음과같이 정의할수 있다.
(14)
2.1.2 개구부가있는방파제: 해석해 1-2
해석해 1-2는 Fig. 2와같이방파제에폭B의개구부
가있는경우에대한파의산란현상을나타내는해석해
다. 여기서도위와같이방파제의전면부인x<0에서는좌
우방파제에의한반사파와입사파의합으로써, 방파제의
후면부인x>0에서는좌우방파제에의한회절파와입사파
의합으로써, 해를다음과같이가정할수있다. 여기서가
정한속도포텐셜은해석해 1-1과같이선형파이론에근 거하였다.
at x< 0 (15)
at x> 0 (16)
여기서 S10+, S20+는 y축을따라 y>B/2 부분에있는반 무한방파제에의한파의산란효과를나타내며, S10−,S20−는 y축을 따라 y<−B/2 부분에 있는반무한 방파제에 의 한 파의산란 효과를 나타낸다.
해석해 1-1과같은방법으로, Fig. 2에서방파제가y축
을따라y>B/2 부분에있는반무한방파제의경우에대
한해석해를구하는데, 이는 Fig. 1과달리방파제가좌
표의원점에서y축의양의방향으로B/2 만큼이동한형 태로볼수있다. 그러므로매개변수가평행이동을한형 태로서다음과같이표현된다.
(17)
위의 매개변수를 이용하여해석 해 1-1과 같은 방법으 로 풀면, 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.
(18) (19)
여기서 S10+은 방파제의 전면에서 반사파에 의한 파의 Φ10 gH
---2σcoshk h z( + )
coshkh
--- e( –ikx+S10(x y, )eikx)eiσt
=
Φ20 gH
---2σcoshk h z( + )
coshkh
--- e( –ikx–S20(x y, )e–ikx)eiσt
=
S10(x y, ) Cr
--- 1 1 i2[ +( + ) C ζ{ ( ) iS ζ– ( )}]
=
S20(x y, ) 1
2--- 1 1 i[ +( + ) C ζ{ ( ) iS ζ– ( )}]
=
ζ ky ---πk x
=
C ζ( ) cosπt2
---2
0
∫ζ dt
=
S ζ( ) sinπt2
---2
0
∫ζ dt
=
K e–ikx+S10(x y, )eikx at x 0<
e–ikx–S20(x y, )e–ikx at x 0>
⎩⎨
=⎧
Φ10total gH
---2σcoshk h z( + )
coshkh
--- e–ikx S10−
S10+
+ ( )eikx +
( )eiσt
=
Φ20total gH
---2σcoshk h z( + )
coshkh
--- e( –ikx–(S20− +S20+)e–ikx)eiσt
=
ζ1
k y B⎝⎛ –---2⎠⎞ ---πk x
=
S10+(x y, ) Cr
--- 1 1 i2[ +( + ) C ζ{ ( ) iS ζ1 – ( )1 }]
=
S20+(x y, ) 1
2--- 1 1 i[ +( + ) C ζ{ ( ) iS ζ1 – ( )1 }]
=
Fig. 2.Definition sketch of wave motion around a breakwater gap with partially reflective front and fully reflective back.
산란을, S20+은 방파제 후면에서의 회절을 나타내는함 수이다.
다음으로 Fig. 2와같이방파제가원점에서y축의음의
방향으로B/2 만큼떨어진지점에서−∞방향으로뻗어있는 경우의식을푸는데, 이때의매개변수는다음과같으며, (20)
위와동일하게 풀면다음과 같은결과를 얻을수 있다. (21) (22)
, , , 가구해졌으므로, 회절계수K는x< 0
영역에서는식 (15)의파고와입사파고의비로서, x> 0 영
역에서는식 (16)의파고와입사파고의비로서다음과같
이정의할수있다.
(23)
2.2 해석 해 2
2.2.1 반무한방파제: 해석해 2-1
Fig. 1과같이수심이h로일정한 2차원x-y평면상에
전면은부분반사, 후면은완전반사인방파제가있다. 우선 선형파이론에근거하여입사파에대한속도포텐셜을구 하는데, 바닥경계조건, 선형화된수면의운동학적, 역학적 경계조건으로부터지배방정식 (1)에대한해를구한다. 경 계조건은다음과같다.
at z =−h (24)
at z = 0 (25)
at z = 0 (26)
위의조건에 대하여 다음과 같이 가정한 속도포텐셜 로부터,
(27)
변수분리법을사용하여위의 조건에대하여지배방정식
을 풀면다음 관계식을 얻을 수 있다.
(28)
식 (28)을 지배방정식에대입하여 정리하면 F(x,y)에대
한 Helmholtz 식을 얻는다.
(29)
위식은 Sommerfeld(1896)가빛의회절에대한문제를
푼것과같이, 포물선좌표계(parabolic coordinates)로변 환하고매개변수를사용하여상미분방정식으로변환하여
풀수있다. 자세한풀이과정은 Lamb(1945, p538)에도
주어져있다. 위식의일반해는다음과같이두해의합 으로볼수있다.
(30)
매개변수 kx= 2ξψ, ky=ξ2−ψ2, kr=ξ2+ψ2를 사용하여 위 식을 eikxF1(x,y)와 e−ikxF2(x,y)에 대하여 풀면
(31) (32)
를 얻는다. 미지수 α, β, γ 와 δ 는 x<0인 방파제의전 면 부분에서는 부분 반사 경계조건을 사용하여, x>0인
방파제의 후면부분에서는 완전 반사 경계조건을사용 하여 구할 수 있다. 경계조건 식은 다음과 같다.
at x= 0−, y ≥0 (33) at x= 0+, y ≥0 (34)
여기서식 (33)의 b=b1+ib2인데, 입사파와 반사파의위 상 차가없다고 가정하면 다음과 같이 볼 수 있다.
(35)
여기서 θ는 입사각이다. 이 때 파가방파제에 직각으로 입사하므로 입사각 θ= 0o가되고, cosθ= 1이된다. 완전 반사경계조건은 Cr= 1일때이므로 b=0이되어식 (34)과 같아진다. 이렇게 주어진경계조건으로부터 α, β, γ 와 δ 는 다음과같이 구할 수 있다.
ζ2
k y B⎝⎛ +2---⎠⎞ ---πk x
=
S10−(x y, ) Cr
--- 1 1 i2[ –( + ){C ζ( ) iS ζ2 – ( )2 }]
=
S20−(x y, ) 1
2--- 1 1 i[ –( + ){C ζ( ) iS ζ2 – ( )2 }]
=
S10− S20− S10+ S20+
K e–ikx+(S10−(x y, ) S+ 10+(x y, ))eikx at x 0<
e–ikx–(S20−(x y, ) S+ 20+(x y, ))e–ikx at x 0>
⎩⎨
=⎧
∂Φ
∂z --- 0=
∂Φ∂z --- – ∂η
∂t ---
=
∂Φ
∂t --- – +gη 0=
Φ(x y z t, , , ) F x y= ( , )Z z( )eiσt
Φ(x y z t, , , ) A= coshk z h( + )F x y( , )eiσt
∂2F x y( , )
∂x2
--- ∂2F x y( , )
∂y2
--- k2F x y( , )
+ + =0
F x y( , ) e= ikxF1(x y, ) e+ –ikxF2(x y, )
F1 α β e–iρ2
0 ξ ψ+
∫ dρ
+
=
F2=γ δ+ ∫0ξ ψ– e–iρ2dρ
∂F x y( , )
∂x
--- bF x y+ ( , )=0
∂F x y( , )
∂x --- 0=
b1 0 b, 2 kcosθ1 C– r
1 C+ r ---
= =
at x< 0 (36)
at x> 0 (37)
이를식 (30)에대입하여 정리하면다음과 같은결과를
얻을 수 있다.
(38)
여기서
(39)
이며, r= 이다. 그리고 σ와 σ'은 x-y의좌표평
면상에서 Fig. 3과 같은 부호를가진다.
2.2.2 개구부가있는방파제: 해석해 2-2
방파제에개구부가있는경우에대한해석해는해석해
1-2와마찬가지로y>B/2부분에반무한방파제가있는경 우와y<−B/2 부분에반무한방파제가있는경우로나누
어해를구한뒤에중첩하는방법을통해구한다. 개구부
가있는방파제의형태는해석해 1-2의 Fig. 2와같다.
우선 Fig. 2에서방파제가y>B/2부분에만있는반무한
방파제에대한해를구한다. 이는해석해 2-1을구한방 법과동일한방법으로구하는데, 우선매개변수들을y의양 의방향으로B/2만큼이동한형태로서다음과같이바꾸 어 준다: kx= 2ξψ, k(y − B/2) =ξ2-ψ2, kr1=ξ2+ψ2. 방
파제의이동에따른결과는반무한방파제의해인해석해
2-1과같으며, 단지매개변수값만변형된다. 그래서중간
과정은생략하고해석해의결과를비교하기위해필요한 매개변수식만을나타냈으며, x - y평면상에서(σ, σ') 부호 는 Fig. 3과같다. σ, σ'와λ는식 (39)와같으며, r은전 술한매개변수들로부터다음과같이얻을수있다.
(40)
다음으로 y<−B/2 부분에 반무한방파제가 있는경우 해의매개변수는다음과같이표현할수있다: kx= 2ξψ,
k(y+B/2) =ξ2−ψ2, kr2=ξ2+ψ2. 그리고 σ, σ'와 λ 는
식 (39)와같으며, 여기서 r은전술한매개변수들로부터
다음과 같이 구할 수 있다.
(41)
그리고 이때의(σ, σ')의 부호는 Fig. 3을 x축에 대하여
대칭 이동한부호와 같다. 위의 두경우의 반무한방파 제에 대한해를 중첩하여 개구부가 있는 방파제에 대 한 해석 해를구하는데, 위의식에서 x-y 좌표평면상에 서 매개변수 σ와 σ'의 부호가다르기때문에, 이 부호 를 하나로 통일하는것이 필요하다. 우선 부호 통일을 위해 y>B/2 부분에위치한반무한방파제에 대하여식
(38)을 다음과같이 바꾼다.
at (42)
at (43)
at (44)
at (45)
여기서
(46)
(47)
이고,
(48)
α Cr
--- β2 Cre
14 ---iπ
--- γ 1π 2--- δ e
14 ---iπ
---π
= ,
= ,
= ,
=
α 1 2--- β e
14 ---iπ
--- γ 1π 2--- δ e
14 ---iπ
---π
= ,
= ,
= ,
=
F x y( , ) 12
--- 1 i( + ) e–ikx e
π2 ---iu2 –
∞ –
∫σ du Creikx e
π2 ---iu2
– du
∞ –
∫σ′
⎝ + ⎠
⎜ ⎟
⎛ ⎞
at x 0<
12
--- 1 i( + ) e–ikx e
π2 ---iu2 –
∞ –
∫σ du eikx e
π2 ---iu2
– du
∞ –
∫σ′
⎝ + ⎠
⎜ ⎟
⎛ ⎞
at x 0>
⎩⎪
⎪⎪
⎪⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎧
=
σ2 4
λ--- r x( – ) σ′2 4
λ--- r x( + ) λ 2π, =---k
= ,
=
x2+y2
r1= x2+⎝⎛y B–---2⎠⎞2
r2= x2+⎝⎛y B+---2⎠⎞2
F x y( , ) e= –ikx–f1+Crg1 y B --- x 02, <
<
e= –ikx–f1+g1 y B --- x 02, >
<
e= –ikx+Creikx–f1–Crg1 y B>--- x 02, <
f= 1+g1 y B --- x 02, >
>
f1 1 i+
--- e2 –ikx e
π2 ---iu2 –
∞ – σ1
∫ du
⋅
=
g1 1 i+
--- e2 ikx e
π2 ---iu2 –
∞ – σ1′
∫ du
⋅
=
σ12 4
λ--- r( 1–x) σ1′2 4 λ--- r( 1+x)
= , Fig. 3.Signs of σ and σ'. =
이다. 이때 σ1, σ1'는전영역에서 (-) 부호를가진다. 이 와 같은방법으로 반무한방파제가 y<−B/2 부분에 위 치한경우에도 f2와 g2를사용하여해석해를표현한다. 마 지막으로두 해석 해를중첩하여 개구부가있는 방파 제에대하여해석해를구하면다음의식을얻을수있다.
at (49)
at (50)
at (51)
at (52)
at
(53)
at (54)
여기서
(55)
(56)
이고,
(57)
이다.
3. 결과 및 토의 3.1 결과 및 해의 타당성 검토
반무한방파제의경우, 방파제전면에서의반사계수Cr 이 0.5 또는 1.0일때, Yu(1995)의방법을확장한해석해
1-1을 Fig. 4에나타내었으며, Penney and Price(1952)의
방법을확장한해석해 2-1을 Fig. 5에나타내었다. 방파
제전면의반사계수가달라지더라도방파제후면의회절 계수는거의변화가없음을알수있다. 한편, 방파제전 면에서는, 반사계수가증가함에따라, 방파제전면(y≥0)에
서의중복파고가커짐은물론이고, 개방부(y<0)에서도반사
파의영향으로파고가커지는부분이증가함을알수있다.
또한, Fig. 4에나타낸해석해 1-1의경우, 개방부의y축부 근에서해가매끄럽지못한결과를보이는데, 이는식(11)
에서보듯이y축부근에서 |x|→0이되어 Fresnel 적분의상 한값인 가무한대로가는문제때문인것으로판단된다.
Fig. 6은방파제전면의반사계수가 1.0일때방파제전
후면네파장거리(x= ±4L, L은파장)에서해석해 1-1과
2-1로계산된회절계수를비교한것이다. 이경우해석해
2-1은 Penney and Price(1952)의해석해가된다. 방파제 끝에서멀어지면서(즉, y/L의절대값이커지면서) 두해석 해가약간의위상차를보이지만전반적으로잘일치함을 F x y( , ) e= –ikx+Creikx–f1+Crg1–f2–Crg2
y B ---2 – x 0, <
<
f1
– + + +g1 f2 g2
= y B
---2 – x 0, >
<
e–ikx–f1+Crg1–f2+Crg2
= B
2--- y B< <---2 – , x 0<
e–ikx–f1+g1–f2+g2
= B
--- y B2 ---2
< <
– , x 0>
e–ikx+Creikx–f1–Crg1–f2+Crg2
= y B> x 0---2, <
f1+g1–f2+g2
= y B
2---
> x 0, >
f2 1 i+
--- e2 –ikx e
π2 ---iu2 –
∞ – σ2
∫ du
⋅
=
g2 1 i+
--- e2 ikx eπ---iu2
– 2
∞ – σ2′
∫ du
⋅
=
σ22 4
λ--- r( 2–x) σ2′2 4 λ--- r( 2+x)
= ,
=
ς
Fig. 4. Contours of diffraction coefficients of Solution 1-1: (a)
Cr= 0.5; (b) Cr= 1.0.
알수있다.
Fig. 7은방파제전면의반사계수가 0.5일때계산된회
절계수를비교한것이다. 방파제후면(x= 4L)에서는반사 계수 1.0인경우와거의같은결과를보이며, 방파제전면
(x=−4L)에서는예상했던대로반사계수 1.0인경우에비
해반사파가절반으로줄어서y/L이약 1.5 이상되는부
분에서회절계수가 1.5 정도로감소한다. 한편방파제전
면개방부(y/L<0)에서는회절계수가 1.0으로거의일정하
여파고변화가거의없음을알수있다.
Fig. 8은B= 2L의개구부가있는방파제의경우, 방파
제전면에서의반사계수Cr이 0.5 또는 1.0일때, 해석해
1-2에의한회절계수를나타낸다. 한편, Fig. 9은해석해
2-2의결과이다. 또한본연구에서구한해석해의타당성
을검토하기위해유한요소모형수치해와비교하였다. 수
치해는h= 0.6 m, kh= 0.298인천해조건에서완경사방
정식을이용하여구하였다. 수치해석을위한영역(20L×20L)
을 Fig. 10에개략적으로나타내었다. 내부조파기법과스
폰지층을사용하였으며, 조파기는방파제의전면에서 3L 만큼떨어진곳에두었다. 스폰지층의두께는 3L로두었
다. 삼각형요소를사용하여유한요소망을구축하였으며,
프로그램언어로는 Fortran을사용하였다. Figs. 8과 9에서
Fig. 5. Contours of diffraction coefficients of Solution 2-1: (a)
Cr= 0.5; (b) Cr= 1.0.
Fig. 6. Comparison of diffraction coefficients between analytic solutions 1-1 and 2-1 for Cr= 1.0: (a) x=−4L; (b)
x= 4L.
Fig. 7. Comparison of diffraction coefficients between analytic solutions 1-1 and 2-1 for Cr= 0.5: (a) x=−4L; (b)
x= 4L.
