Kerr 8 0ù m Ç; c" e ì Å Ä Z Ø0 n É ù p § T Ó Þ X ¢ Z-scan ¼Ê Ýy ¢8 ý ø m Ç m× D A 0V ÄA 0
T
ç ¡ Ð · è ¡A jP · »ª <® £ · »Z Ì * ° · Ð* å e B · + 2 ø ¶ B0 å ∗
% ò
z @ / < Æ § Ó ü t o < Æõ , â í ß 712-749 (2005¸ 10 Z 4 15{ 9 ~ Ã Î6 £ §)
Kerr B | 9 ? /\ " f TEM
00Gaussian c _ + þ AI o \ O H & ñ õ q + þ A Schrodinger 1 l x ~ ½ Ó
&
ñ d _ Lagrangian x 9 ¸ < ÊÃ º, Õ ªo ¦ ì rZ O ` ¦ s 6 x # c ì ø Í â o\ ' a ô Ç d ` ¦ Ä » ¸ % i . Kerr B
| 9 ? /\ " f Gaussian c ì ø Í â \ ' a ô Ç d É r q + þ A íJ $ [ > \ " f & h { 9 _ î r1 l x õ 1 l x{ 9 ô Ç + þ AI \ ¦ t
9, & h { 9 _ î r1 l x` ¦ K $ 3 # c ì ø Í â _ K $ 3 K \ ¦ ½ ¨ % i . ¢ ¸ô Ç, B | 9 _ ¿ ºa ü < q + þ A 0 A ©
o_ ß ¼l \ ' a > \ O s & h 6 x ½ + É Ã º e H Z-scan È Òõ ¸_ { 9 ì ø Í o K $ 3 K \ ¦ c ì ø Í â _ K $ 3 K ÐÂ Ò' Ä »
¸ % i .
PACS numbers: 42.65.H, 42.70.N.
Keywords: Z-scan, ì rZ O & h K $ 3 , Thick Kerr B | 9
I. " e  ] Ø
Z-scan É r ç ß é ß " f ¸ B Ä º & ñ x 9 > q + þ A B | 9 _ F
g : £ ¤$ í ` ¦ 8 £ ¤& ñ ½ + É Ã º e H ~ ½ ÓZ O s . Sheik-Bahae 1 p x É r Rayleigh r] X o Ð · û ª É r B | 9 , É r 0 A © ¸\ " f Gaussian ì r K ~ ½ ÓZ O (Gaussian decomposition method)` ¦ s
6 x # Z-scan È Òõ ¸\ ¦ s : r& h Ü ¼ Ð % 6 £ § ] jî ß % i Ü ¼ 9 [1], Gaussian c + þ AI o \ O H & ñ õ E $ Ý ¼ ì r í ß
¸4 S q` ¦ s 6 x # ¿ º î r B | 9 , É r 0 A © ¸\ " f_ Z- scan ~ ½ ÓZ O ¸ ] jr % i [2]. þ j H \ H Kwak 1 p x s @ /g A + þ
A_ Z-scan È Òõ ¸ü < & ³$ ô Ç s \ ¦ Ðs H q @ /g A+ þ A_ Z-scan È Òõ ¸\ ¦ H» ¡ ¤ H ~ ½ ÓZ O (paraxial approximation method)` ¦ s 6 x # ] jî ß % i Ü ¼ 9, · û ª ¦ H 0 A © ¸
° ú
כ` ¦ t H q & ñ | 9 As 2 S 3 ~ Ã Ì} \ " f ' a8 £ ¤ % i [3]. H
»
¡
¤ H \ ¦ 6 x ô Ç Z-scan K $ 3 É r c õ B | 9 _ © ñ 6 x
`
¦ " î S X ¦ ç ß é ß > s K ½ + É Ã º e t ë ß , q + þ A Ï ã J] X Ò
¦ H \ " f F g » ¡ ¤ \ " f_ q + þ A$ í ` ¦ y © ¸ l M :ë H \ Gaussian c _ q + þ A 0 A © ¸\ " f & ñ | ¾ Ó& h ¸ H
9
& h s . " f, Gaussian c õ q + þ A Kerr B | 9 _
&
ñ | ¾ Ó& h © ñ 6 x ì r$ 3 ` ¦ 0 AK " f H ¸ H c ì ø Í â % ò % i
\
" f_ Ï ã J] X Ò ¦ ¸\ ¦ ¦ 9½ + É Ã º e H ~ ½ ÓZ O s כ ¹½ ¨ ) a .
ì rZ O (variational method)` ¦ s 6 x ô Ç Gaussian c õ q
+ þ A Kerr B | 9 _ © ñ 6 x K $ 3 \ " f H c ì ø Í â õ
_ / B GÒ ¦ ì ø Í â 1 p x _ ì ø Í6 £ x # 3 0 A\ ¦ F G @ / o < ÊÜ ¼ Ð+ & ñ | ¾ Ó
∗
E-mail: [email protected]
Tel: 053-810-2342, Fax: 053-810-4616
&
h ¸ \ ¦ F G4 ¤ ½ + É Ã º e . Anderson 1 p x s [4] q + þ A F
g r Û ¼% 7 \ " f 5 Å q Gaussian c _ ^ | 9 F g ´ òõ (self- focusing effect)\ ¦ K $ 3 l 0 A # ¸{ 9 ô Ç ì rZ O & h K
$ 3
É r q + þ A B | 9 \ " f q + þ A Schrodinger ~ ½ Ó& ñ d _ K
$
3 K \ ¦ ½ ¨ H X < B Ä º ´ òõ & h s 9 [5,6], Ã ºu & h K $ 3 Z O
õ ¸ ¸ ú { 9 u ô Ç [7,8].
: r 7 Hë H \ " f H ì rZ O & h K $ 3 Ü ¼ Ð q + þ A Kerr B | 9
?
/\ " f_ Gaussian c \ ' a ô Ç : £ ¤$ í ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ Ä » ¸ % i Ü
¼ 9, c ì ø Í â o\ ' a ô Ç ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ q + þ A íJ $ [ > \ " f
&
h { 9 î r1 l x ¸4 S q Ð K $ 3 # c ì ø Í â _ K $ 3 K \ ¦ Ä » ¸
% i . ¢ ¸ô Ç, B | 9 _ ¿ ºa ü < q + þ A 0 A © o ß ¼l \
'
a > \ O s 6 x ½ + É Ã º e H Z-scan È Òõ ¸_ { 9 ì ø Í o K $ 3 K
\ ¦ Ä » ¸ % i Ü ¼ 9, H» ¡ ¤ H \ ¦ 6 x ô Ç Kwak 1 p x _ [3]
· û
ª É r B | 9 , H 0 A © o\ " f_ Z-scan È Òõ ¸ü < q §
% i .
II. ì Å Ä Z Ø0 n É ù p § T Ó Þ X ¢ A 0V Ä
Kerr B | 9 ? /\ " f + þ A f ¨ Ã º\ ¦ ¦ 9ô Ç c l © _ 1
l
x ~ ½ Ó& ñ d É r " é ¶: x ý a³ ð> \ " f 6 £ § õ ° ú s è q à º e
[9].
1 r
∂
∂r (r ∂E
∂r ) + 2n 2 k 2 n 0
|E| 2 E = 2ik ∂E
∂z
0+ iαkE (1)
#
l " f r É r c ì ø Í â , z
0 H B | 9 ? /\ " f c ' ~ ½ Ó ¾ Ó_ ý a
³
ð, k = 2π/λ H Ã º, λ H c © ` ¦ ? / ¦, B | 9 _
-357-
Ï
ã J] X Ò ¦ É r n(r) = n 0 + n 2 |E| 2 = n 0 + γI Ð" f Å Ò# Qt 9, n 0 H + þ A Ï ã J] X Ò ¦, n 2 H q + þ A Ï ã J] X > Ã º, Õ ªo ¦ α H f
¨ Ã º > Ã º\ ¦ _ p ô Ç . I = n 0 ε 0 c|E| 2 /2 H SI é ß 0 A Ð
· p c [ jl s ¦, n 2 ü < γ H n 2 = n 0 ε 0 cγ/2 ü < ° ú É r ' a
>
e Ü ¼ 9, # l " f ε 0 H / B N _ Ä » Ö ¦, c H y n C_ 5 Å q ¸ s
. Eq. (1) É r & h ] X ô Ç Lagrangian x 9 ¸ < ÊÃ º\ ¦ ½ ¨ Euler-Lagrange ~ ½ Ó& ñ d õ 1 l x1 p x . s M : Eq. (1)\ K {
© H Lagrangian x 9 ¸ < ÊÃ º L É r
L = r[| ∂E
∂r | 2 − ik(E ∂E ∗
∂z
0− E ∗ ∂E
∂z
0) − n 2 k 2
n 0 |E| 4 ]e αz
0
(2) ü
< ° ú s Å Ò# Q . E ∗ H E _ 4 ¤ è / B NÓ os . Euler- Lagrange ~ ½ Ó& ñ d ∂(∂L/∂E ∗ )/∂r + ∂(∂L/∂E ∗ )/∂z
0= (∂L/∂E ∗ )` ¦ 6 x Eq. (1)` ¦ % 3 ` ¦ Ã º e . Gaus- sian < ÊÃ º\ ¦ r ¸K Ð 6 x , c _ l © É r
E = A(z
0) exp(− r 2
ω 2 (z
0) − i kr 2
2R(z 0 ) ) (3)
Ð" f è q à º e Ü ¼ 9, A(z
0), A ∗ (z
0), ω(z
0) ü < R(z
0) H D h
Ðî r ì r < ÊÃ ºs . # l " f A(z 0 ) H c _ ; ¤, ω(z 0 ) H c
ì ø Í â , R(z
0) H _ / B GÒ ¦ ì ø Í â s . Gaussian r ¸ K
\ ¦ Lagrangian x 9 ¸ < ÊÃ º\ @ /{ 9 ¦ Rayleigh-Ritz ~ ½ Ó Z O
` ¦ ì rZ O \ & h 6 x
δ Z ∞
−∞
< L > dz
0= 0 (4)
ü < ° ú s ³ ð & ³½ + É Ã º e . # l " f < L > É r Lagrangian x 9
¸ < ÊÃ º\ ¦ r \ @ /K " f & h ì r ô Ç כ s . " f Eq. (4)` ¦ s
6 x , ì r < ÊÃ º[ þ t(A, A ∗ , ω Õ ªo ¦ R)\ ' a ô Ç ì r
~
½ Ó& ñ d (\ V Ð" f, δ < L > /δA = d(∂ < L > /∂A)/dz
0−
∂ < L > /∂A = 0)[ þ t` ¦ Ä » ¸½ + É Ã º e Ü ¼ 9, & ñ o 6
£
§ õ ° ú s è q à º e .
d
dz
0(ω 2 |A| 2 ) = −αω 2 |A| 2 (5a)
d 2 ω dz
02 = ( λ
π ) 2 (1 − P P c
) 1
ω 3 (5b)
1 R = 1
ω dω
dz
0(5c)
dφ dz
0= λ
πω 2 (1 − 3 2
P P c
) (5d)
#
l " f A = |A| exp[iφ(z
0)] Ð ¿ º% 3 Ü ¼ 9, P = πn 0 ε 0 cω 2
· |A| 2 /4 H { 9 c y © ¸, P c = n 2 0 ε 0 cλ 2 /4πn 2 H ^ | 9 F g e
> 0 > Ð & ñ _ ÷ & H q + þ A Kerr B | 9 _ ¦Ä »ô Ç ° ú כs
. ì rZ O ` ¦ s 6 x # ½ ¨ô Ç c ì ø Í â õ 0 A © \ ' a ô Ç Eq.
(5b), Eq. (5d) H H» ¡ ¤ H \ ¦ 6 x # ½ ¨ô Ç ° ú כ[ þ t õ & ñ
|
¾ Ó& h s \ ¦ f ` ¦ S X ½ + É Ã º e [9]. Eq. (5a) H + þ
A f ¨ Ã º\ ¦ ¦ 9 # · p c y © ¸ os . ç ß é ß ` ¦ l
l 0 A # : r 7 Hë H \ " f H + þ A f ¨ Ã º\ ¦ Á ºr % i .
" f c y © ¸ü < ' aº ) a Eq. (5a) РÒ' ω 2 |A| 2 = ω 2 0 |A 0 | 2
= © Ã º H z
0\ Á º ' a ô Ç ° ú כs ) a . Eq. (5b) H Gaussian c
ì ø Í â ω\ ' a ô Ç d s 9, ω\ @ /K " f K \ ¦ ½ ¨ É r
ì r < Êà º[ þ t É r Eq. (5) РÒ' ç ß é ß y ½ ¨½ + É Ã º e . Eq.
(5b) H ç ß é ß ô Ç ¨ 8 ` ¦ : x # dω
dz
02 + ( λ
πω ) 2 (1 − P
P c ) = C (6) ü
< ° ú s ³ ð & ³| ¨ c à º e Ü ¼ 9, C H
C = [( ω 1
R 1 ) 2 + ( λ
πω 1 ) 2 (1 − P P c )]
ü
< ° ú s z
0\ Á º ' a ô Ç ° ú כÜ ¼ Ð, Fig. 1\ · p כ % ! 3 c s
B | 9 \ { 9 H (z
0= 0, ¢ ¸ H ' 1)\ " f_ ° ú כ Ü
¼ Ð ¿ º% 3 . c ì ø Í â _ oü < ' aº ) a Eq. (6) É r íJ $ [ >
?
/\ " f & h { 9 _ î r1 l x õ 1 l x{ 9 . ç ß é ß ô Ç ¨ 8 ` ¦ : x
#
Eq. (6) É r % i < Æ& h \ -t Ð > r Z O g Ë :õ 1 l x{ 9 ô Ç + þ AI Ð
( dy
dz
0) 2 + Π(y) = E 0 (7) ü
< ° ú s è q à º e . # l " f íJ $ [ > < Êà º H Π(y) = µ(1 − y 2 )/y 2 s 9, µ = (2/kω 2 1 ) 2 (1 − P/P c ), y = ω/ω 1 s
¦ E 0 = (1/ω 1 ) 2 (dω 1 /dz
0) 2 H íl ¸| ` ¦ _ p ô Ç . c _
^ ì r í ß õ B | 9 _ q + þ A$ í É r íJ $ [ > < ÊÃ º Π(y)\
"
f µ° ú כÜ ¼ Ð & ñ _ ½ + É Ã º e . < É ª p Ðî r כ É r, íl ¸| E 0 = 0 (7 £ ¤, dω 1 /dz
0= 0) s ¦, µ = 0 (7 £ ¤, P/P c = 1)
â
Ä º\ H c ^ ì r í ß õ B | 9 _ q + þ A$ í s & ñ S X y ©
W÷ &# Q c ì ø Í â _ o \ O s c s ' > ) a [5].
Fig. 2 H µ ° ú כ_ ß ¼l \ É r íJ $ [ > < ÊÃ º Π(y)\ ¦ Ð
#
Å Ò ¦ e . c s í& h s \ " f B | 9 \ { 9 (7 £ ¤, dω 1 /dz
0< 0 ), i) µ 0 < µ õ ii) 0 < µ < µ 0 _ â Ä º, B
| 9 ? /\ " f c ì ø Í â s y è " f þ j è ì ø Í â ` ¦ s À Ò ¦
Fig. 1. Schematic diagram for Z-scan measurement (z =
0 : focal point of the lens).
Fig. 2. Nonlinear potential functions Π(y) depending on µ values. Dotted lines are potential functions when there is no nonlinear effect (i.e., P/P c = 0) and U describes the range of initial condition E 0 . µ 0 = µ(P/P c = 0)
r ì ø Í â s 7 £ x > ÷ & 9, iii) −E 0 < µ < 0 õ iv) µ < −E 0 _ â Ä º\ H > 5 Å q K " f c ì ø Í â s y è 9 '
ô Ç . ¿ º î r B | 9 \ " f H Ê ê _ â Ä º, c [ jl B | 9
?
/\ " f / å L y 7 £ x l M :ë H \ ¦ q + þ A ½ Ó ¢ ¸ H, í
o+ þ A q + þ A ½ Ó 1 p x` ¦ ¦ 9 # ë ß ô Ç . c s í& h s Ê
ê\ " f B | 9 \ { 9 (7 £ ¤, dω 1 /dz
0> 0 ), i) µ 0 < µ õ ii) 0 < µ < µ 0 Õ ªo ¦ iii) −E 0 < µ < 0 _ â Ä º, c ì ø Í
â
É r 7 £ x " f ' ¦, iv) µ < −E 0 _ â Ä º\ H ì ø Í
â
s 7 £ x r y è H ~ ½ Ó ¾ ÓÜ ¼ Ð c É r ' ô Ç
. íJ $ [ > < ÊÃ º\ ¦ s 6 x ô Ç c ì ø Í â o_ K $ 3 Ü ¼ ÐÂ Ò '
, Eq. (6) É r c ì ø Í â o\ " f [ jt â Ä º\ " f Û
¦ 9 . [ jt â Ä º H B | 9 ? /\ " f i) dω/dz
0< 0 , ii) (dω 1 /dz
0) z
0= 0 Õ ªo ¦ iii) dω/dz
0> 0 â Ä ºs . [ j
t
â Ä º ¸¿ º ° ú É r + þ AI _ K \ ¦ f ` ¦ S X ½ + É Ã º e ¦, Eq. (5c) d ` ¦ s 6 x # Ø ¦ (z
0= d, ¢ ¸ H ' 2)\
"
f _ / B GÒ ¦ ì ø Í â ¸ ½ ¨½ + É Ã º e .
ω 2 2 (d) = Cd 2 + 2ω 1 2 R 1
d + ω 1 2 (8a)
1
R 2 (d) = 1
ω 1 2 (Cd + ω 2 1
R 1 ) (8b)
#
l " f d H B | 9 _ ¿ ºa s . { 9 (z
0= 0) õ Ø ¦ (z
0= d) \ " f Gaussian c _ _ / B GÒ ¦ ì ø Í â R É r y y
_ â > \ " f / å L ô Ç o\ ¦ > ÷ & 9, y y R + 1 = n 0 R − 1 , R + 2 = R − 2 /n 0 _ ° ú כÜ ¼ Ð 7 # Q (+ H Ä ºF G ô Ç,
− H ý aF G ô Ç). ì ø Í \ , c ì ø Í â É r â > \ " f 5 Å q ° ú כ
`
¦ . " f, Eq. (8)\ " f â > _ Ï ã J] X ´ òõ H B
| 9 _ ¿ ºa d → d/n 0 Ð o H כ õ ° ú .
III. ø m Ç m× D Z-scan ¼Ê Ýy ¢ ¥y ¢
Fig. 1 É r ç ß | Ä Ìô Ç Z-scan z ´+ « > © u ¸\ ¦ Ð# Å Ò ¦ e .
#
l " f z = 0 H c í& h _ 0 Au s ¦, z H í& h Ü ¼ ÐÂ Ò' B
| 9 _ { 9 (1) t _ o s 9, D H B | 9 \ " f > h½ ¨
t _ o s . Ø ¦ \ " f c _ 4 ¤ è / B GÒ ¦ ì ø Í â q + 2 H 1
q 2 + = 1
R + 2 − i λ 0
πω 2 2 (9) ü
< ° ú . Õ ªo ¦ ray matrix\ ¦ s 6 x Gaussian c _
>
h½ ¨ \ " f_ 4 ¤ è / B GÒ ¦ ì ø Í â q a H q a = q 2 + + D Ð Å Ò# Q
. " f > h½ ¨ \ " f_ c ì ø Í â õ _ / B GÒ ¦ ì ø Í â
É r y y
ω a 2 = ω 2 2 [g 2 + ( λ 0 D
πω 2 2 ) 2 ] (10a)
R a = D[1 − g
g 2 + (λ 0 /πω 2 2 ) 2 ] −1 (10b)
Ð Å Ò# Qt 9, g = 1 + D/R + 2 s . ì ø Í â s r a \ P 2 ; > h½ ¨
\
¦ : x õ H Z-scan È Òõ ¸ H
T (z) = 1 − exp[−2r a 2 /ω a 2 (n 2 6= 0)]
1 − exp[−2r a 2 /ω a 2 (n 2 = 0)] (11) ü
< ° ú s Å Ò# Qt 9 [1,3], ì ø Í â s r a → 0 Ü ¼ Ð Ã º§ 4 H {
2 ³ > h½ ¨\ " f H T (z) = ω 2 a (n 2 = 0)/ω 2 a (n 2 6= 0) Ð Å Ò# Q
. Eq. (8)õ Eq. (10), Õ ªo ¦ { 9 \ " f c ì ø Í â ω 1 2 = ω 2 0 (1 + x 2 ) õ _ / B GÒ ¦ ì ø Í â R − 1 = z(1 + x −2 )` ¦ s
6 x , è 4 ¤ ¸ ú ô Ç > í ß ` ¦ 5 g { 2 ³ > h½ ¨\ " f_ È Ò õ
¸ H A ü < ° ú s % 3 ` ¦ Ã º e .
T (x) =
1 + 2σx+σ 1+x
22− 2(1+x σ∆Φ
20)
21 + 2σx+σ 1+x
22− (x+σ)∆Φ (1+x
2)
20+ 4(1+x ∆Φ
02)
3(12)
#
l " f σ = d/n 0 z 0 = d ef f /z 0 H Á º " é ¶ (dimension- less) _ B | 9 ¿ ºa , d ef f = d/n 0 H B | 9 _ Ä »´ ò ¿ ºa s
. Õ ªo ¦ x = z/z 0 , z 0 = πω 2 0 /λ 0 H Rayleigh r] X o
, ω 0 H í& h \ " f_ c ì ø Í â s . { 2 ³ > h½ ¨_ Z-scan È Ò õ
¸\ " f q + þ A Ï ã J] X Ò ¦ ´ òõ H í& h \ " f F g » ¡ ¤ _ Ä »´ ò 0
A © o ∆Φ 0 = 2σP/P c = kγI 0 d ef f Ð 9, I 0 H
í& h \ " f c » ¡ ¤ _ [ jl s . Eq. (12) H : r 7 Hë H _ ©
×
æ כ ¹ô Ç õ Ð" f, B | 9 _ ¿ ºa ü < q + þ A Ï ã J] X Ò ¦ _ ß ¼l ü
< Â Ò ñ\ ' a > \ O s & h 6 x ½ + É Ã º e H { 9 ì ø Í o ) a Z-scan È Ò õ
¸_ K $ 3 K s . B | 9 _ Ä »´ ò ¿ ºa Rayleigh r] X
o Ð · û ª É r â Ä º (σ 1)\ H Eq. (12) H T (x) = 1
1 − (1+x x∆Φ
20)
2+ 4(1+x ∆Φ
202)
3(13)
Fig. 3. Theoretical curves of the general Z-scan trans- mittance depending on ∆Φ 0 values for σ = 10. (a) self- focusing medium (∆Φ 0 > 0), (b) self-defocusing medium (∆Φ 0 < 0).
ü
< ° ú s ³ ð & ³ ) a . Eq. (13) É r · û ª É r B | 9 s " f ¸ H 0 A
© o\ & h 6 x 0 p x ô Ç Kerr B | 9 _ Z-scan È Òõ ¸ü < B Ä
º Ä » ô Ç ³ ð & ³s [3]. à Р¦ë H ³ [3]_ Z-scan È Òõ ¸
H Ä »´ ò 0 A © o ½ Ó` ¦ ∆Φ 0 /a → ∆Φ 0 /4 ü < ° ú s Ð& ñ
, Eq. (13)õ 1 l x{ 9 . ì rZ O ` ¦ s 6 x ô Ç Z-scan È Ò õ
¸ K $ 3 \ " f e > c 0 > P c H H» ¡ ¤ H \ ¦ 6 x ½ + É M
: Ð 4C ë ß p u H ° ú כ` ¦ t l M :ë H \ , Eq. (13) É r à Ð
¦ë H ³ [3]\ " f q + þ A Ï ã J] X Ò ¦ _ H» ¡ ¤ H Ð è ) a ¦
½ Ó` ¦ Ð& ñ H Ä »´ ò 0 A © o ½ Ó_ © Ã º (∆Φ 0 /a →
∆Φ 0 /4) & ñ S X y 4 ÷ &# Q < Ê` ¦ Ð# Å Ò ¦ e . Fig. 3 É r
¿
º î r ^ | 9 F g (self-focusing) B | 9 õ ^ S X í ß (self- defocusing) B | 9 \ " f, Ä »´ ò 0 A © o\ É r s : r& h Z-scan È Òõ ¸\ ¦ Ð# ï r . Fig. 3\ " f% ! 3 ¿ ºa ¿ º î
r B | 9 \ " f Z-scan È Òõ ¸_ þ j$ u ü < þ j ¦u _ 0 Au H
&
³$ y ì r o H d` ¦ · ú Ã º e Ü ¼ 9, s H ´ ú § É r z ´+ « > õ \ " f
Ð ¦ ) a e [2]. ¢ ¸ô Ç, F g» ¡ ¤ _ Ä »´ ò 0 A © o H
â
Ä º\ H È Òõ ¸_ @ /g A$ í s L :# Qf ` ¦ · ú Ã º e . Fig.
4 H q + þ A Ï ã J] X Ò ¦ _ ß ¼l { 9 & ñ ½ + É M :, B | 9 _ ¿ ºa \
É r Z-scan È Òõ ¸\ ¦ Ð# Å Ò ¦ e . B | 9 _ ¿ ºa 7 £ x
Ä »´ ò 0 A © o ° ú כs 7 £ x l M :ë H \ È Òõ ¸_ þ
j@ /u ü < þ j$ u _ 8¹ ¡ ¤ H ° ú כ` ¦ t > ÷ &t ë ß , ¿ º a
Rayleigh r] X o Ð @ /é ß y H ° ú כ` ¦ t H â Ä
º (7 £ ¤, d ef f /z 0 1) \ H þ j@ /u ü < þ j$ u _ ° ú כ É r { 9 & ñ
Fig. 4. Theoretical curves of the general Z-scan trans- mittance depending on effective thickness of medium.
(a) self-focusing medium (∆Φ 0 > 0), (b) self-defocusing medium (∆Φ 0 < 0).
" f 0 Au _ oë ß ` ¦ Ðs ¦ e . à Р¦ë H ³ [3]_ · û ª
É
r B | 9 \ " f_ Z-scan È Òõ ¸ H B | 9 _ ¿ ºa É r â Ä
º\ H { 9 ì ø Í o K $ 3 K ü < 1 l x{ 9 ô Ç + þ AI \ ¦ Ðs t ë ß , ¿ º î
r B | 9 \ " f ' a8 £ ¤ ÷ & H È Òõ ¸_ þ j@ /u ü < þ j$ u _ ì r o
\ ¦ [ O " î ½ + É Ã º \ O Ü ¼ 9 é ß t þ j@ /u ü < þ j$ u _ 7 £ x ë
ß ` ¦ Ð .
^ | 9 F g(S X í ß ) B | 9 _ â Ä º, í& h s \ " f H c r ] X
` ¦ 7 £ x (y è)r & > h½ ¨ \ " f_ È Òõ ¸\ ¦ y è(7 £ x ) r
v H ì ø Í , í& h s Ê ê\ " f H c r] X ` ¦ y è(7 £ x )r
&
> h½ ¨ \ " f_ È Òõ ¸\ ¦ 7 £ x (y è)r . Õ ªo ¦ È Ò õ
¸_ þ j@ /u ü < þ j$ u s _ à º¨ î ô Ç Â Òì r É r q + þ A Ï
ã J] X ´ òõ > h½ ¨ \ " f H כ ` ¦ _ p ô Ç .
IV. + s Ç Â ] Ø
t
F K t H ¿ º î r Kerr B | 9 , H 0 A © o\ " f_ Z- scan È Òõ ¸ H 4 ¤ ¸ ú ô Ç Ã ºu & h ~ ½ ÓZ O ` ¦ s 6 x # > í ß
% i . : r 7 Hë H \ " f H Kerr B | 9 ? /\ " f Gaussian c + þ A I
o \ O H & ñ \ Lagrangian x 9 ¸ < ÊÃ º, Õ ªo
¦ ì rZ O & h K $ 3 ` ¦ : x # B | 9 _ ¿ ºa ü < q + þ A 0 A ©
o\ ' a > \ O s & h 6 x ½ + É Ã º e H { 9 ì ø Í o ) a Z-scan È Òõ
¸_ K $ 3 K \ ¦ ½ ¨ % i . ¿ º î r B | 9 \ " f Z-scan È Òõ
¸_ þ j@ /u ü < þ j$ u ì r o H ´ ú § É r B | 9 \ " f z ´+ « >& h Ü ¼
Ð Ð ¦ ÷ &% 3 Ü ¼ 9, : r 7 Hë H _ { 9 ì ø Í o K $ 3 K _ È Òõ ¸\
"
f ¸ " î S X > S X % i . Õ ªo ¦ · û ª É r Kerr B | 9 \ " f q
+ þ A Ï ã J] X Ò ¦ _ H» ¡ ¤ H ~ ½ ÓZ O õ ì rZ O & h K $ 3 É r Ä »
´
ò 0 A © o ½ Ó\ " f & ñ | ¾ Ó& h s \ ¦ Ðs 9, H» ¡ ¤ H
\
¦ 6 x ô Ç Z-scan È Òõ ¸_ K $ 3 K H Ä »´ ò 0 A © o ½ Ó
`
¦ 1/4 C ë ß p u Ð& ñ K Å Ò# Q < Ê` ¦ S X % i .
Y
c p w à U Ø ô
[1] M. Sheik-Bahae, A. A. Said, Tai-Huei, D, J. Hagan and E. Van Stryland, IEEE J. Quantum Electron. 26, 760 (1990).
[2] M. Sheik-Bahae, A. A. Said, D. J. Hagan, M. J.
Soileau and E. W. Van Stryland, Opt. Eng.
30, 1228 (1991).
[3] C. H. Kwak, Y. L. Lee and S. G. Kim, J. Opt. Soc.
Am. B 16, 600 (1999).
[4] D. Anderson and M. Bonnedal, Phys. Fluids 22, 105 (1979).
[5] D. Anderson, Phys. Rev. A 27, 3135 (1983).
[6] M. Desaix, D. Anderson and M. Lisak, J. Opt. Soc.
Am. B 8, 2082 (1991).
[7] R. A. Sammut and C. Pask, J. Opt. Soc. Am. B 8, 395 (1991).
[8] J. T. Manassah and B. Gross, Opt. Lett. 17, 976 (1992).
[9] J. A. Hermann, Opt. Commun. 230, 433 (2004).
A Variational Analysis of the Z-scan Transmittance in a Thick Kerr Medium
Sang Jo Lee, Hye Ri Yang, Eun Ju Kim, Gun Yeup Kim, Young Gull Joh and Chong Hoon Kwak ∗ Department of Physics, Yeungnam University, Kyongsan 712-749
(Received 15 October 2005)
Using a TEM
00Gaussian trial beam shape, a variational analysis, and the Lagrangian density function of the nonlinear Schrodinger wave equation, we derive the characteristic equation of the beam waist for a nonlinear Kerr medium with an arbitrary thickness. The analytic solution for the beam waist could be obtained from an analysis of point mass kinetics because the beam waist equation is exactly equal to point mass kinetics in a nonlinear potential well. We also obtained a general Z-scan transmittance, which is applicable to all ranges for the sample thickness of and for the nonlinear phase shift in a Kerr medium, from the analytic waist solution.
PACS numbers: 42.65.H, 42.70.N.
Keywords: Z-scan, Variational analysis, Thick Kerr medium
∗
