6. 3. 2. 5. 1. 4. 고1모의고사회(14)학기중간고사1

1.

¹⁾다음은 나눗셈과 나눗셈의 몫과 나머지를 순서대로 나열한 것이다 바르게 짝지은 것은. ?

① ^   ÷  ,  ,  

② ^ ^ ÷  ,  , 

③ ^ ^÷ , ^  , 

④ ^^  ÷ , ^ , 

⑤ ^  ÷  , ^, 

2.

²⁾   , ^^^ ,   일 때,

^^^^^^의 값은?

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

3.

³⁾다항식 가 다음 세 조건을 모두 만족시킬 때, 의 값은?

( ) 를 가 ^ 로 나눈 몫은  이다.

( ) 를 나 ^  로 나눈 나머지는  이다.

다

( ) 를  로 나눈 나머지는  이다.

①   ②   ③  

④   ⑤  

4.

^{4 )}   을 만족시키는 모든 실수 ,  에 대하여 등식

^ ^  가 성립한다 상수. , ,  에 대하여

   의 값은?

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

5.

^{5 )}다항식   ^ ^^가

    를 인수로 가질 때  의 값은? ( ,  는단 서로 다른 자연수이고,  은 정수이다.)

①   ②   ③  

④   ⑤  

6.

^{6 )}다항식          는

 ^ 로 인수분해 된다 이때 실수.   에 대하여   의 값은?

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

7.

⁷⁾다항식 ^ ^ 가  ^로 인수분해 될 때 다음, 중 옳은 것은?

①    ②    ③    

④     ⑤   ^ 

8.

⁸⁾다음 <보기> 의 설명 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

.

ㄱ   의 제곱근은 ± 이다.

.

ㄴ 제곱근  은 ± 이다.

.

ㄷ ^ 의 두 근 중 양수인 것을  음수인 것을,   라고 한다.

보 기

[ ]

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ ㄷ,

④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ, ,

9.

⁹⁾자연수 에 대하여  



^  

  



^



^  

 



^{으로 정의할}

때, ⋯의 값은? 단( ,  



^  )

①   ②   ③ 

④  ⑤ 

10.

¹⁰⁾복소수 가 ^    을 만족시킬 때,

^ ^^^ ^의 값은? ( ,  단



^  )

①   ②   ③ 

④  ⑤ 

11.

¹¹⁾에 대한 이차방정식 ^   ^   이 실수 의 값에 관계없이 중근을 가질 때 두 실수,  의 합

의 값은?

①  

 ②   ③  



④  ⑤ 



12.

¹²⁾에 관한 이차방정식 ^   의 한 근이

   이다 다른 한 근을. 라고 할 때,  

의 값은? ( ,단

  는 실수이고 는 허수단위이다.)

① 

 

 ② 

 

 ③ 

 



④ 

 

 ⑤  

 



13.

^{1 3)}이차방정식 ^    의 두 근이  일 때 다음, 조건을 모두 만족시키는   의 값은?

가

( )    는  이하의 서로 다른 자연수이다.

나

( )  는 각각 개의 약수를 갖는다.

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

14.

^{1 4)}이차함수   ^   에 대하여 서로 다른 두 실수

 가     ,     를 만족시킬 때, ^ ^의 값은?

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

15.

^{1 5)}그림과 같이 어느 호수에 설치된 분수의 한 물줄기는 포물선 모양으로 나타나고 이 물줄기의 시작 지점과 끝 지점, 사이의 거리와 수면으로부터의 최고 높이는 모두 이다.

물줄기의 시작 지점으로부터 뒤쪽으로  떨어진 지점에서 쏘아 올린 레이저가 이 물줄기와 맞닿을 때 레이저와, 물줄기가 만나는 지점의 수면으로부터의 높이는? ( ,단 물줄기의 시작 지점과 끝 지점 레이저는 한 직선 위에 있다, .)

16.

¹⁶⁾유리수 ,  에 대하여 곡선   ^  와 직선

    가 서로 다른 두 점 A, B 에서 만나고 점 B 의  좌표가   



^ 일 때,  의 값은?

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

17.

¹⁷⁾이차함수   ^  와   ^ 에 대하여  



  ≤ 

   라 하자 방정식.   의 서로 다른 실근의 개수를 라 할 때,

       의 값은?

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

18.

¹⁸⁾이차함수   ^ 의 그래프가 축과 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 에 대하여 옳은 것만을

보기 에서 있는 대로 고른 것은

< > ?

.

ㄱ    또는   이다.

등식 .

ㄴ      가 에 대한 항등식이 되도록 하는 의 개수는 이다.

ㄷ  ≤  ≤ 에서 이차함수   의 최댓값이 이. 되도록 하는 의 개수는 이다.

보 기

[ ]

① ㄱ ② ㄱ ㄴ, ③ ㄱ ㄷ,

④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ, ,

서술형

19.

^{1 9)}두 다항식  에 대하여 를   로 나눈 나머지가 이고 ^^을   로 나눈 나머지가 일 때, 를   로 나눈 나머지를 구하시오.

20.

^{2 0)}자연수 에 대하여   ^ ^이라 하자. 이

개의 약수를 갖는 자연수일 때, 의 값을 구하시오.

21.

^{2 1)}최고차항의 계수가    인 이차함수 가 다음 조건을 만족시킨다. 의 값을 구하시오.

가 직선

( )     과 함수   의 그래프가 만나는 두 점의 좌표는 과 이다.

나

( )  ≤  ≤ 에서 의 최솟값은  이다.

22.

²²⁾실수  가 ^  를 만족시킬 때, ^^의 최솟값을 구하시오.

빠른정답

1) ③ 2) ③ 3) ② 4) ③

5) ③ 6) ② 7) ④ 8) ①

9) ① 10) ⑤ 11) ③ 12) ②

13) ④ 14) ② 15) ⑤ 16) ③

17) ④ 18) ① 19)  20) 

21)  22) 

정답 및 풀이

1) ③

2) ③

 ^ ^^^   에서

     이므로     이다.

  이므로

^^^^^^   ^  

   ×  

3) ②

다항식 를 ^로 나눈 나머지를

  ^ 라 하면 가 에 의해( )

  ^  ^   (, , 는 실수) 이 다항식을 ^  로 나눈 나머지가   이므로

  ^    

^    에서

  ,    이다.

  ^  ^  에

  을 대입하면 다 에 의해( )

      ,     이다.

∴   ,   ,   

즉   ^  ^   이므로

      이다.

4) ③

   에서     이므로 등식 ^ ^ 에 대입하면

  ^        이다.

    ,     ,   

  ,   

∴       

5) ③

  ^ ^ ^가

  를 인수로 가지므로

^ ^^  에서

^^   

^ ^^  에서

^^    

 는 서로 다른 자연수이므로

     또는  

     일 때

    

① ②를 연립하여 풀면,      

∴   

     일 때도 마찬가지로    이다.

6) ②

7) ④

^^   ^

양변에   을 대입하면

    ,    

^^    ^   ^  ^ ^ ^ 

 ^ ^     ^ 

^ 는  을 인수로 가지므로       따라서      ,     ^ ^  

∴   

8) ①

9) ①

 



^ 

  



^



^  

  



^{  이고}

  ,   ,   ⋯이므로

 ⋯    이다.

10) ⑤

^    

^     의 양변을 제곱하면

^   ^ 

^ ^ ^    

^   

^ ^ ^  ^ ^^ ^ ^ 

^ ^ ^^^

 ^^ ^ ^

 ^^^ ^ 

^ ^ ^ 

^ ^ ^ 



∴^ ^ ^^ ^

 ^ ^ ^  ^    

 

11) ③

이차방정식 ^  ^     의 판별식을 라 하면

  ^ ^   

   , ^  이고   

   이다.

∴   



12) ②

이차방정식에     를 대입하면

  ^   

     

     

       

∴     

^     , ≠이므로

^     

   ±



^^   ± ∴   

∴ 

     

  

 



13) ④

  ,   

     

   ×  

∴   

14) ②

15) ⑤

그림과 같이 좌표평면을 세우면 물줄기가 나타내는 이차함수는 두 점  ,  을 지나므로

    이라 하자.

점



^

 



^{을 지나므로  }

  ,   

∴  

 

    

  일 때, ^    

 ^ ,    성립하지 않는다.

  

일 때, ^    

  ^ 

∴  

따라서 구하고자 하는 높이는   

이다.

16) ③

^    

^    의 계수가 유리수 계수이므로

  



^ 이 근이면   



^ 도 근이다.

근과 계수와의 관계에 의해

      



^    



^ 

  

      



^   



^   

  

∴  

17) ④

  ^      ^

  ^      ^

∴ 



^{  }   ^{ }   ^{ ≤ }

  의 그래프는 다음과 같다.

  의 근의 개수는   이므로

  와   의 교점의 개수와 같다.

    즉,   일 때,   

    즉,   일 때,   

   ≤  즉,   ≤   일 때,   

     즉,      일 때,   

  ≥  즉,  ≤ 일 때,   

∴               

 ^  ^     

 ^ 가 에 대한 항등식이므로    이때   을   ^ 에 대입하면

  ^의 그래프와 축은 접한다.

∴거짓 .

ㄷ   ^      ^^

i    인 경우   일 때 최대이다.

     성립하지 않는다.

ii   ≤  ≤ 인 경우   일 때 최대이다.

  ^  ,   

  ±



^

∴  

  



^

iii    인 경우   일 때 최대이다.

     ,   



성립하지 않는다.

따라서 의 개수는 개다. ∴거짓 따라서 보기에서 옳은 것은 ㄱ이다.

19) 

  

^^ 

^^^

    ,   

∴를   로 나눈 나머지   

20) 

  ^ ^  ^ ^ ^

 ^ ^ 

이 소수일 때, 개의 약수를 갖는다.

i  ^    일 때, ^   

 ^ ,   

자연수가 아니므로 성립하지 않는다.

ii  ^    일 때, ^    

 ^  ∴  

^ 의 값은 이므로 성립한다.

∴  

21) 

가 에 의하여 방정식 ( )

       를 만족한다.

    ^  에서

  ^     ^   이므로 함수 는  ≤  ≤ 에서   일 때 최솟값을

22) 

^   를 ^^ 에 대입하면

^     ^     ^이다.

따라서 최솟값 를 가진다.