~ ¾6 KÅ k Ä Ž Ò Ûù p § › ͓ Ó Þ” X ¢  Ö «Ž Ò ÞX ì Äß Ã Å s ð ' [ ] K ¡ ø p © U ê sŽ ˜ m

 ƒ  ½ ¨ 7 Hë  H  Sae Mulli (The Korean Physical Society), Volume 59, Number 6, 2009¸   12 Z 4, pp. 433∼441

U

~ ¾6 KÅ k Ä Ž Ò Ûù p §  › ͓ Ó Þ” X ¢  Ö «Ž Ò ÞX ì Äß Ã Å s ð ' [ ] K ¡ ø p © U ê sŽ ˜ m

T

‡ Úa : @ ^∗ · ƒ ‘ š( å * × <

Ø 

æ z Œ ™@ /† < Ɠ § Ó ü t o † < Æõ , @ /„   305-764

(2009¸   6 Z 4 23{ 9  ~ à Î6 £ §, þ j7 á x à º& ñ ‘ : r 2009¸   11 Z 4 12{ 9  ~ à Î6 £ §)

Ó ü

t o † < Æ_  „   ì  r  \ " f Ä »6   x >  æ ¼s   H 7 ˜' \  ¦ “ §¹ ¢ ¤   H X < e ” # Q" f † < ÆÒ q t[ þ t _  < É ª p \  ¦ Ä »µ 1 Ͻ + É Ã º e ” 



 H á Ԗ Ð# • oà Ô+ þ A à º\ O `  ¦ ™ è> hô  Ç . s  á Ԗ Ð# • oà ԍ  H ! Q 9”   Y  J ó ø Ít   © œ \  ¦ s 6   x # Œ t š ¸X <d ”  1 l u`  ¦ ë ß –[ þ t

#

Q ˜ Ѝ  H  כ Ü ¼– Ð" f † < ÆÒ q t[ þ t“ É r 1 l u _  [ O > õ & ñ \ " f 7 ˜' _  l ‘ : r > h¥ Æ `  ¦ _ þ v1 p q ½ + É ÷  r  m   ] j Œ •õ & ñ \ " f l

‘ : r& h “   z  ´+ « >l Õ ü t`  ¦ ƒ    “ ¦ ë  H ] jK   § 4 • ¸ l \  ¦ à º e ”  .

PACS numbers: 00, 01.50.Pa

Keywords: Ó ü t o “ §¹ ¢ ¤, 7 ˜' , t š ¸X <d ”  1 l u

I. " e  ] Ø

{ 9

ì ø ÍÓ ü t o † < Æ`  ¦ Ÿ í† < Ê # Œ Ó ü t o † < Æ_  — ¸Ž  H „  / B N ì  r  \  @ / ô

 Ç @ /† < Æ_  † < Æ ғ §¹ ¢ ¤ õ & ñ \ " f  © œ ×  æ כ ¹ô  Ç Ã º† < Æ& h  • ¸½ ¨



 H 7 ˜' { 9   כ s  . { 9  © œÒ q t Ö ¸ \ " f † ½ Ó © œ ] X    H Ó ü t o | ¾ ӓ   5

Å

q • ¸• ¸ 7 ˜' s “ ¦  © œ V , o  · ú ˜ 9”   ¾ »‡  _  î  r1 l xZ O g Ë :\ 

"

f j Ë µ• ¸ 7 ˜' s  . Ó ü t ^ ‰\   Œ •6   x   H # Œ Q j Ë µÜ ¼– РÒ'  · ú ˜



 j Ë µ`  ¦ ¹ 1 Ô 
  © œ@ /5 Å q • ¸\  ¦ · ú ˜ ˜ Ð 9€   7 ˜' [ þ t _  ½ + Ë`  ¦

½

¨½ + É Ã º e ” # Q  ô  Ç . \  -t   H 7 ˜' [ þ t _  ? /& h `  ¦ : Ÿ x K  & ñ _

ô  Ç . „    ë ß –× ¼  H „  l  © œõ  „  À Ó ë ß –× ¼  H  l  © œ

%

i r  7 ˜' s  . † < ÆÒ q t[ þ t s  7 ˜' _  ? /& h \  @ /K " f• ¸ s K 

\

 ¦ t  3 l w ô  Ç  © œI \ " f Ä ºÛ ¼_  Z O g Ë :`  ¦ [ O " î K Å Ò# Q• ¸ Á

º’  H ™ è6   x s  e ”  ’ x  H ?

“

¦1 p x † < Ɠ §\ " f ] j6  “ §¹ ¢ ¤ õ & ñ  t   H à º† < Æ2\ " f 7 ˜' 

\

 ¦ C  ° ?Ü ¼
, ] j7  “ §¹ ¢ ¤ õ & ñ \ " f  H à º† < Æ2 ‚  × þ ˜Ü ¼– Ð



7 # Q [1] @ /† < Æ_  s / B N >  † < Æõ \  ¦ t } © œ   H † < ÆÒ q t[ þ t › ¸ 

•

¸ à º† < Æ2\  ¦ s à º t  · ú §“ ¦ s / B N >  † < Æõ  : £ ¤ y  Ó ü t o † < Æõ 

\

 ”  † < Æ “ ¦ e ”   [2]. @ /† < Æ\ " f• ¸ { 9 ì ø ÍÓ ü t o † < Æ\ " f 3r  ç

ß – & ñ • ¸– Ð ç ß –é ß –y  7 ˜' \  ¦ C Ä º“ ¦ ë ß – . s     © œ S ! s # Q" f 7 ˜'  îß ¼l ü < ~ ½ ӆ ¾ Ó`  ¦ ”   # Q‹ "   כ ïs    H B Ä º Æ Ò © œ

&

h “   > h¥ Æ ë ß – † < ÆÒ q t[ þ t _  Qa Å @5 Å q \  z Œ ™>   ) a  .

ü

@² D G _   â Ä º• ¸  ð ø Ít # Œ" f Knight_  ƒ  ½ ¨ [3]\ " f



 H ³ ð‘ : r | 9 é ß –_  86 %_  † < ÆÒ q ts  @ /† < Æ\  { 9 † < Æ l  „  \  7 ˜' \  @ /K  “ §¹ ¢ ¤`  ¦ ~ à ΀ Œ ¤6 £ § \ • ¸ Ô  ¦ ½ ¨ “ ¦ 50 % s  © œ _

 † < ÆÒ q t[ þ t s  7 ˜' \  ¦  6   x   H Z O `  ¦ „  ) € — ¸Ø ԓ ¦ e ” % 3 



. Knight  6   x ô  Ç _ …Û ¼à Ô_  ë  H † ½ Ó[ þ t“ É r 7 ˜' _  ß ¼l ü <

~

½ ӆ ¾ Ó, $ í ì  r, Õ ªA á Ô\  ¦ s 6   x ô  Ç » ! l r, $ í ì  r`  ¦ s 6   x ô  Ç » ! l r

∗

E-mail: [email protected]

1 p

x  © œ l ‘ : r& h “   > h¥ Æ [ þ t s % 3  . s  Qô  Ç  © œI \ " f { 9 ì ø Í Ó

ü

t o † < Æ_  ? /6   x“ É r Õ ª  @ /– Ð   ° ú ˜ à º e ”  “ ¦ K • ¸ − →

∇ p  ì

 rƒ  í ß – \  ¦ s 6   x ô  Ç µ 1 Ïí ß –s 
  r„  1 p x \  @ /ô  Ç “ §¹ ¢ ¤`  ¦ ~ à Î

`

 ¦ M : 50 %_  † < ÆÒ q t[ þ t s  Ö ¼‚  ´ õ o y Œ ™“ É r ² D I s  ´ ú ˜ ½ + É € 9 כ ¹

•

¸ \ O `  ¦  כ s  . Nguyenõ  Meltzer• ¸  _  q 5 p w ô  Ç   õ 

\

 ¦ % 3 % 3 “ ¦ † < ÆÒ q t[ þ t s  7 ˜' \  ¦  6 £ § @ /– Ð  6   x   H Z O `  ¦ e ”  y

• ¸2 Ÿ ¤ l  0 Aô  Ç Æ Ò_  “ §¹ ¢ ¤ s  e ” # Q  ô  Ç “ ¦ Šҁ © œ 

“

¦ e ”   [4]. s F z Œ ™õ  î  r$ í ‰ & ³“ É r ð @ /† < ÆÒ q t[ þ t _  7 ˜' \  @ / ô

 Ç s K • ¸ › ¸ ñ\ " f ðý a³ ð>  Å Ò# Qt t  · ú §“ É r  â Ä º, 7 ˜ '

 1 p xd ”   ^ ‰\ " f 7 ˜' _  ~ ½ ӆ ¾ Ó`  ¦   & ñ   H X < # Q 9¹ ¡ §`  ¦

 Í Ç x .ñ  “ ¦    : rf ± “ ¦ e ”   [5].

s

 ƒ  ½ ¨_  3 l q& h “ É r † < ÆÒ q t[ þ t s  7 ˜' _  » ! l rõ  õ ü š! l r, Û ¼º ú ˜



ü <_  Y  L, ? /& h `  ¦ s 6   x ô  Ç y Œ •_  > í ß –1 p x _  ƒ  í ß –`  ¦ & h 6   x 

#

Œ z  ´| 9 & h “   ë  H ] j\  ¦ < É ª p \  ¦ t “ ¦ K   K   H õ & ñ \ 

"

f 7 ˜' _  > h¥ Æ `  ¦ e ” y • ¸2 Ÿ ¤   H ~ ½ ÓZ O `  ¦ ¹ 1 ԍ  H X <\  e ”  .

Õ

ª ' Í   P :   õ – Ð Ø  æ z Œ ™@ /† < Ɠ § Ó ü t o † < Æõ _  2† < Ƹ   @ / © œ“   Ã

ºo Ó ü t o † < Æ I_  à º\ O  r ç ß –\  & h 6   x # Œ † < ÆÒ q t[ þ t _    ñ6 £ x s  a

% ~ € Œ ¤~   ît š ¸X <d ”  1 l u ] j Œ • á Ԗ Ð# • oà Ôï \  ¦ ™ è> h “ ¦  ô  Ç



. s  á Ԗ Ð# • oà ԍ  H ! Q 9”   7 á x s   © œ \  ¦  Ö ¸6   x # Œ ì ø Ít 2 £ § s

 2 m“   @ /+ þ A t š ¸X <d ”  1 l u`  ¦ ë ß –× ¼  H  כ s % 3  . s  õ & ñ

`

 ¦ : Ÿ x K  † < ÆÒ q t[ þ t“ É r 7 ˜' _  # Œ Q ƒ  í ß –`  ¦ z  ´] j  © œ S ! \  & h ] X 

>  6 £ x6   x   H 0 p x§ 4 `  ¦ Û ¼Û ¼– Ð L :Ä ºu >  ÷ &  H  כ `  ¦ · ú ˜ à º e ”

% 3  .

II. Ž ì ŏ Œ5 “ Ó Þ

1. U ~ ¾6 KÅ k Ä Ž Ò Û

½

¨  H > á ¤ ° ú  “ É r  Òx \  ¦ Ñ ü t  Q   H { 9 ^ ‰• ¸+ þ A ×  æ \ " f   V ,  s

  © œ  Œ • . s  & h `  ¦ s 6   x ô  Ç  כ s  D h– Ðî  r | » ¡ ¤ € ª œd ” “  

-433-

Fig. 1. Icosahedron fitted to sphere.

Fig. 2. Each triangular face of icosahedron divided into small equilateral triangles.

t

š ¸X <d ”  1 l u s   [6]. t š ¸X <d ”  1 l u“ É r „  : Ÿ x& h “   | » ¡ ¤Ó ü t ˜ Ð



  s `›    8 & h “ É r F « Ñ(@ /| Ä Ì 60 %, { 9 ì ø Í  y Œ •+ þ A t Ô  æ õ  q 

“

§Ù þ ¡`  ¦ M :)\  ¦  6   x K " f  s `›    8  H / B N ç ß –`  ¦ % 3 `  ¦ à º e ”  .

S X

‰  © œ$ í ÷  r ë ß –  m   › ¸w n _  6   x s $ í • ¸ ° ú Æ ғ ¦ e ”  . ? / Ò

\

 l Ñ ü æ s  
• ¸ \ O Ü ¼€  " f• ¸ B Ä º — É r— É r ô  Ç : £ ¤$ í `  ¦ t  l

 M :ë  H \  œ í@ /+ þ A / B N — ¸€ ª œ_  | » ¡ ¤Ó ü t – Ð ë ß –[ þ t # Q| 9  à º e ”  .

#

Œl \  B Ä º Z > “ ¦ î ß –& ñ # Œ | “ ¦† < Ê t  ] j/ B N ô  Ç . Ä º o


 \ " f• ¸ þ j   H \  z  ´? / ^ ‰¹ ¢ ¤› ' a, „  r  r © œ,  à Ôo ¹ ¡ § 1

p

x`  ¦ ë ß –× ¼  H X < ´ ú §s  s 6   x ÷ &“ ¦ e ”  . 1 l u ? / Ò_  “ : r • ¸ › ¸ ] X

 r  כ ¹½ ¨÷ &  H è ß –~ ½ Óq  ¢ ¸  H Í ‰ t~ ½ Óq • ¸ Ò q ty Œ •K     H X <

s

 & h \ " f t š ¸X <d ”  1 l u _  › ' a o /Ä »t q  † ½ Ó3 l q \ " f_   â ] j

&

h  s & h • ¸ N S Z  ~`  ¦ à º \ O   H  © œ& h s  .

Fig. 3. All apices of small equilateral triangles project on the surface of sphere.

t

š ¸X <d ”  1 l u“ É r ½ ¨€  `  ¦  Œ •“ É r  Œ ™y Œ •+ þ A[ þ t – Ð ì  r ½ + É # Œ ½ ¨

\

  © œ  î  r — ¸€ ª œ`  ¦ ë ß –Ž  H  כ s  . t š ¸X <d ”  1 l u`  ¦ ë ß –× ¼



 H ~ ½ ÓZ O “ É r # Œ Q t  e ”  ’ xt ë ß – # Œl \ " f  H  © œ ç ß –é ß – ô

 Ç  כ `  ¦ s 6   x l – Ð ô  Ç .  Œ ™y Œ •+ þ A_  — ¸€ ª œ`  ¦ & ñ  Œ ™y Œ •+ þ AÜ ¼

–

Ð ] jô  Ç €    © œ ´ ú §s 
¾ º# Q• ¸ 20> h þ j@ /s  . Fig.

1“ É r & ñ  €  ^ ‰ ×  æ  © œ €  s  ´ ú §“ É r & ñ s z  €  ^ ‰\  ¦ ü @] X    H

½

¨ü < † < Êa  Õ ª 2 ;  כ s  . €  s  20> h
 ÷ &l   H t ë ß –   f ”

 ½ ¨_  — ¸€ ª œ\  ¾ ú š “ ¦ ½ + É Ã º  H \ O  . ½ ¨ü < ] X    H =  G f ±

& h s  12> h µ 1 Ú\  ÷ &t  · ú §  H  . t š ¸X <d ”  1 l u“ É r s  & ñ s  z 

€  ^ ‰– РÒ'  Ø  ¦ µ 1 Ïô  Ç .

&

ñ s z  €  ^ ‰_  ô  Ç > h_   Œ ™y Œ •+ þ A`  ¦  r  # Œ Q > h_  & ñ  Œ ™ y

Œ

•+ þ AÜ ¼– Ð
¾ º# Q˜ Ð . Fig. 2  H y Œ •  `  ¦ 41 p xì  r # Œ  Œ •“ É r

&

ñ  Œ ™y Œ •+ þ A 16> h– Ð
è  H  כ s  . t ë ß – s [ þ t  Œ ™y Œ •+ þ A[ þ t“ É r



f ” • ¸ " é ¶ A _  & ñ s z  €  ^ ‰_  €   0 A\  e ”  . s   Œ •“ É r & ñ  Œ ™ y

Œ

•+ þ A_  — ¸Ž  H =  Gf ± & h `  ¦ ½ ¨€  0 A\  È Ò  “ ¦ Õ ª & h [ þ t`  ¦ e ±



 H  Œ ™y Œ •+ þ A[ þ t`  ¦ Õ ªo €   Fig. 3õ  ° ú  s   ) a  . s ] j D h– Ð ë ß – [

þ

t # Q”    Œ ™y Œ •+ þ A[ þ t“ É r  8 s  © œ & ñ  Œ ™y Œ •+ þ A“ É r  m  . t ë ß – 16 > h– Ð
¾ º# Q”    Œ ™y Œ •+ þ A[ þ t“ É r s ] j ½ ¨€  \   _  · ¡ ­ # Q e ” 



 H  כ `  ¦ Fig. 3 \ " f ^  ¦ à º e ”  . ¸ ú ˜> 
Ð ü t à º2 Ÿ ¤  8¹ ¡ ¤  8

½

¨€  \  ¾ ú š>   ) a  . s  כ s  t š ¸X <d ”  1 l u`  ¦ [ O >    H " é ¶ o

s  .

2. s ð ' [8 ý Ž ì ō ˜ m ù p § T “ Ó Þ” X ¢ U ~ ¾6 KÅ k Ä Ž Ò Û8 ý כ r Ç4 

€

 $  & ñ s z  €  ^ ‰\  ¦ s À ҍ  H & ñ  Œ ™y Œ •+ þ A 1> h_  =  Gf ± & h `  ¦

¹

1 Ô ˜ Ð . ì ø Ít 2 £ § s  1“   ½ ¨_  ³ ð€  \  =  Gf ± & h s  Z  ~“   & ñ



Œ

™y Œ •+ þ A ABC\  ¦ Ò q ty Œ •  . ½ ¨_  ×  æd ”  O– РÒ'  y Œ • =  Gf ± & h 

 ƒ  ½ ¨ 7 Hë  H  t š ¸X <d ”  1 l u`  ¦  Ö ¸6   x ô  Ç 0 p x1 l x& h “   7 ˜'  † < Æ_ þ v ~ ½ Óî ß – – s   ñƒ   · ~ à Ì# î î  r -435-

A, B, C \  s Ø Ô  H 7 ˜' \  ¦ y Œ •y Œ • ˆa, ˆb, ˆc  “ ¦ s [ þ t s  s  À

ҍ  H y Œ •`  ¦ θ    . (Fig. 4 ‚ à Л ¸) s  7 ˜' [ þ t“ É r é ß –0 A 7 ˜'  s

Ù ¼– Ð ˆa– Ð ³ ðr  % i  . s  & ñ  Œ ™y Œ •+ þ As  & ñ s z  €  ^ ‰\  ¦ s  À

Ò 9€   AO~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð ˜ Ѐ Œ ¤`  ¦ M :    BC & ñ š ¸y Œ •+ þ A_  ô  Ç



 s  ÷ &# Q  Ù ¼– Ð Fig. 4_  A

⁰

B ü < A

⁰

C  H 72

^◦

\  ¦ s À Ò# Q



 ô  Ç . s  כ `  ¦ 7 ˜'  d ” Ü ¼– Ð
 ? /€  , −−→

A

⁰

B=ˆ b− cos θˆ a,

−−→ A

⁰

C=ˆ c− cos θˆ a s “ ¦ s [ þ t _  U  ´s   H — ¸¿ º sin θs Ù ¼– Ð

(ˆ b − cos θˆ a) · (ˆ c − cos θˆ a) = sin

²

θ cos 72

^◦

(1) s

 . ý a  “ É r cos θ − cos

²

θ = (cos θ − 1) + sin

²

θ  ÷ &

“

¦ s  כ `  ¦ & ñ o  €  

cos θ

2 = 1

2 sin 36

^◦

(2)

`

 ¦ % 3   H  . s  d ” `  ¦ ë ß –7 á ¤   H θ  H €  • 63

^◦

s  .   " f

½

¨_  ×  æd ”  O\  ¦ " é ¶& h Ü ¼– Ð ˆa\  ¦ z» ¡ ¤ ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð “ ¦ ˆb xz

¨ î

€  \  š ¸• ¸2 Ÿ ¤ ý a³ ð> \  ¦ ¸ ú šÜ ¼€   ˆ a, ˆ b, ˆ c  H y Œ •y Œ •

ˆ

a = ˆ k, (3) ˆ b = sin θˆi + cos θˆ k,

ˆ

c = sin θ cos 72

^◦

ˆi + sin θ sin 72

^◦

ˆ j + cos θˆ k

  ) a  . d ”  (1)`  ¦ ˜ Ð  ~ 1 >  ¹ 1 ԍ  H ~ ½ ÓZ O “ É r d ”  (3)\ " f ˆ

a-ˆ b _  U  ´s ü < ˆa-ˆc_  U  ´s  ° ú     ô  Ç   H › ¸| `  ¦  6   x

  H  כ s  . 0 A\  [ O " î ô  Ç ~ ½ ÓZ O “ É r 4 Ÿ ¤ ¸ ú š t ë ß – 7 ˜' _  »

! l

r, õ ü š! l r, ? /& h `  ¦ & h 6   x K ˜ Ѝ  H a % ~“ É r ƒ  _ þ v  o  ÷ &l  M : ë

 H \  ™ è> hô  Ç  כ s  . d ”  (3)\  z  ´] j θ_  ° ú כ`  ¦ @ /{ 9 K ˜ Ѐ   cos θ = 1/(2 sin

²

36

^◦

)−1 = 0.4472, sin θ = √

1 − cos

²

θ = 0.8944 s Ù ¼– Ð

ˆ

a = 0.0000ˆi + 0.0000ˆ j + 1.0000ˆ k, (4) ˆ b = 0.8944ˆi + 0.0000ˆ j + 0.4472ˆ k.

ˆ

c = 0.2764ˆi + 0.8506ˆ j + 0.4472ˆ k s

 . ë  H   [ þ t # Q e ”  
 3ˆı+4ˆjü < ° ú  s  ç ß –é ß –ô  Ç Ã º ë

ß – [ þ t # Q e ”   H 7 ˜' ë ß – ˜ Ð  “ : r † < ÆÒ q t[ þ t“ É r s ü < ° ú  “ É r 7 ˜ '

_  — ¸€ ª œ\  B Ä º ’  l K ô  Ç . ü @² D G { 9 ì ø ÍÓ ü t o  “ §F _  ƒ   _

þ

vë  H ] j\  ¦ ˜ Ѐ   s    7 ˜' \  ¦ † < ÆÒ q t[ þ t \ >   À ҕ ¸2 Ÿ ¤   H

 כ

`  ¦ ^  ¦ à º e ”   H X < Ä ºo 
  “ ¦1 p x † < Ɠ §_  à º† < Ɠ §F \ " f



 H ¸ ú ˜  À Òt  · ú §  H   [7]. † < ÆÒ q t[ þ t _  > í ß – ¼ # _ \  ¦ 0 Aô  Ç  כ s

 ’ xt ë ß – † < ÆÒ q t[ þ t \ >  7 ˜'    H  כ s   ’  õ   H Y O o  b  

Fig. 4. Position vectors of apices of small equilateral triangle from the center of sphere.

#

Q”   Z > > h_   כ Ü ¼– Ð Ö ¼z >  “ ¦ e ”   H  כ “ É r    t  Ò q ty Œ • K

 ^  ¦ ë  H ] js  .

s

] j  Œ ™y Œ •+ þ A ABC\  ¦ ¸ ú ˜> 
¾ º# Q ˜ Ð . Fig. 5  H ô  Ç

\

V– Ð y Œ •   `  ¦ 41 p xì  r # Œ 16> h_   Œ •“ É r  Œ ™y Œ •+ þ AÜ ¼– Ð
è  H

 כ

`  ¦ ˜ Ð% i  .  Œ •“ É r  Œ ™y Œ •+ þ A[ þ t _  =  Gf ± & h [ þ t`  ¦ Fig. 5 ü < ° ú   s

 s 2 £ §`  ¦ · ¡ ­ s l – Ð  . Õ ª Q€   " é ¶& h  O– РÒ'  s [ þ t ×  æ ô

 Ç & h  (i, j)(0 5 i 5 4, 0 5 j 5 i“   & ñ à º)\  s Ø Ô  H 7 ˜'   H

−

→ x

_(i,j)

= − → a + i

−

→ b − − → a 4 + j

−

→ c − − → b 4

–

Ð ½ ¨K ”   . Õ ª  6 £ § \  =  Gf ± & h [ þ t`  ¦ ½ ¨€   0 A– Ð È Ò% ò r

†   & h [ þ t“ É r ç ß –é ß –y  s  7 ˜' [ þ t`  ¦  ’  _  ß ¼l – Ð
¾ º# Q é

ß –0 A 7 ˜' – Ð ë ß –[ þ t # Q ŠҀ    ) a  .

ˆ x

_(i,j)

=

−

→ x

_(i,j)

|− → x

_(i,j)

| . s

 7 ˜' _  y Œ • $ í ì  r s  ½ ¨€   0 A_  & h [ þ t \  @ /ô  Ç ý a³ ð\  ¦ · ú ˜



9ï  r  . ½ ¨€   0 A_  & h [ þ t`  ¦ ƒ     €   y Œ •y Œ •_   Œ •“ É r  Œ ™y Œ •+ þ A [

þ

t“ É r  8 s  © œ & ñ  Œ ™y Œ •+ þ A“ É r  m  . (Fig. 5_   Œ ™y Œ •+ þ A î ï



 H ½ ¨€  Ü ¼– Ð È Ò% ò  ) a Ê ê\ • ¸ & ñ  Œ ™y Œ •+ þ A — ¸€ ª œ`  ¦ Ä »t ô  Ç .)

t ë ß –  Œ ™y Œ •+ þ A_  — ¸€ ª œs      É r  כ “ É r  m “ ¦ 16> h_   Œ ™ y

Œ

•+ þ A“ É r 57 á x À Ó_   Œ ™y Œ •+ þ A îï, î
ï, î ï, î ï, î ï ×  æ 

s >   ) a  . î 

¢,a

ï õ  î 

š¸

ï  H " f– Ð  Ö  ¦ @ /g A“   — ¸€ ª œs 

Fig. 5. Coodinates of apices of small equilateral triangles from the center of sphere.

l

 M :ë  H \  
ë ß – · ú ˜€     É r  כ `  ¦ · ú ˜ à º e ”  .  8 ¸ ú ˜>   Œ ™ y

Œ

•+ þ A`  ¦
¾ º  H  â Ä º\ • ¸  © œ S ! “ É r ° ú   .

Table 1“ É r s   Œ ™y Œ •+ þ A[ þ t _  — ¸€ ª œ`  ¦ · ú ˜ ˜ Ðl  0 AK  € 9 כ ¹ ô

 Ç ˆ x

_(i,j)

_  ý a³ ð\  ¦ > í ß –ô  Ç  כ s  . ˆx

(i,j)

ü < ˆx

(i⁰,j⁰)

\  K { © œ

  H ¿ º & h  s _   o   H 7 ˜' _  ß ¼l  |ˆ x

(i,j)

− ˆ x

(i⁰,j⁰)

|\  ¦

>

í ß – €   ½ ¨½ + É Ã º e ”  . ¢ ¸  H  Œ ™y Œ •+ þ A_  y Œ •`  ¦ > í ß –  9€   7 ˜' _  ? /& h `  ¦ s 6   x €    ) a  .  Œ ™y Œ •+ þ A îï_  — ¸€ ª œ`  ¦ · ú ˜



˜ Ð .

(i)    (0,0)-(1,0)_  U  ´s  = |ˆ x

_(0,0)

− ˆ x

_(1,0)

|

= p

0.2511

²

+ 0.0000

²

+ 0.0321

²

= 0.2531

(ii)    (1,0)-(1,1)_  U  ´s  = |ˆ x

_(1,1)

− ˆ x

_(1,0)

|

= p

0.1735

²

+ 0.2390

²

+ 0.0321

²

= 0.2971

(iii)    (0,0)-(1,1)_  U  ´s  =    (0,0)-(1,0)_  U  ´s  (@ / g A\  _ K )

(iv)    (0,0)-(1,0)õ  (0,0)-(1,1)  s y Œ •

= cos

⁻¹

(ˆ x

_(1,1)

− ˆ x

_(0,0)

) · (ˆ x

_(1,1)

− ˆ x

_(0,0)

)

|ˆ x

_(1,1)

− ˆ x

_(0,0)

||ˆ x

_(1,1)

− ˆ x

_(0,0)

| =

cos

⁻¹

0.2511·0.0776+0.0000·0.2390+0.0321·0.0321 0.2971

²

=71.33

^◦

° ú

 “ É r ~ ½ ÓZ O `  ¦ & h 6   x # Œ % 3 “ É r 57 á x À Ó_   Œ ™y Œ •+ þ A“ É r Fig. 6 õ 

° ú   .

Fig. 6. Dimensions of 6 different small equilateral trian- gles to fill in triangular face of icosahedron (radius of the sphere is 1 m.).

s

] j t š ¸X <d ”  1 l u _  × ¼ Q
  H  Òì  r \  @ /ô  Ç [ O >   H = å Q s

 z Œ ¤ . t ë ß – 7 á x s  © œ _  Y  J ó ø Ít – Ð  Œ ™y Œ •+ þ A[ þ t`  ¦ š ¸



9" f " f– Ð ƒ      9€   ô  Ç t   Œ •\ O `  ¦  8 K  ë ß – ô  Ç .

Fig. 6 \ " f  Œ ™y Œ •+ þ A y Œ •   \  » · ¡ ­“   )   H î ß –Ü ¼– Ð ] X # Q  

 É

r  Œ ™y Œ •+ þ A[ þ t õ  " f– Ð ƒ    ½ + É Â Òì  r s  . s  כ “ É r t š ¸X <d ”  1

l

u _   „@ / % i ½ + É`  ¦   H ×  æ כ ¹ô  Ç Â Òì  r s l • ¸  . ) _  y

Œ

•“ É r s  כ `  ¦ ] X % 3 `  ¦ M : Õ ª ‚  s  ½ ¨_  ×  æd ” `  ¦ † ¾ Ó • ¸2 Ÿ ¤ K

  ô  Ç . 7 £ ¤  Œ ™y Œ •+ þ A îï\ " f    (0,0)-(1,0)\  · ¡ ­“ É r ) _

 y Œ •“ É r s    \  K { © œ   H 7 ˜'  ˆx

(1,0)

−ˆ x

_(0,0)

õ  ½ ¨_  ×  æ d ”

õ  =  Gf ± & h  (0,0)`  ¦ ƒ       H 7 ˜'  ˆx

(0,0)

 s À ҍ  H y Œ •s 

 ) a  . 7 £ ¤,

y

Œ

•= cos

⁻¹

(ˆ x

_(0,0)

− ˆ x

_(1,0)

) · ˆ x

_(0,0)

|ˆ x

_(0,0)

− ˆ x

_(1,0)

|

= cos

⁻¹

1 − ˆ x

_(1,0)

· ˆ x

_(0,0)

|ˆ x

_(0,0)

− ˆ x

_(1,0)

| =

cos

⁻¹

1−(0.0000·0.8903+0.0000·0.0000+1.0000·0.9679) 0.2511

= 82.7

^◦



± p % ƒ6 £ § \  s \  @ /K  | 9 ë  H`  ¦ ~  t €   † < ÆÒ q t[ þ t“ É r ë  H ] j\  ¦ K

$ 3  t › ¸  3 l w ô  Ç . Õ ª Q
 Y >  ì  r s  t 
€   s K  l  r

 Œ •ô  Ç † < ÆÒ q tÜ ¼– РÒ'  y Œ ™ò ø Í`  ¦ ƒ  µ 1 Ï  9 a % ~     H  כ `  ¦ ^  ¦ Ã

º e ”  .
×  æ \  s  † < ÆÒ q t[ þ t“ É r # Œl \ " f 7 ˜' _  F p ü < 0 A

§ 4

`  ¦ Ö ¼,   “ ¦ ´ ú ˜ % i  .

3. ! a \à à Šò q §“ ˜ mU  V ê s õ u § T “ Ó Þ” X ¢ U ~ ¾6 KÅ k Ä Ž Ò Û8 ý

<

gX c l

 ƒ  ½ ¨ 7 Hë  H  t š ¸X <d ”  1 l u`  ¦  Ö ¸6   x ô  Ç 0 p x1 l x& h “   7 ˜'  † < Æ_ þ v ~ ½ Óî ß – – s   ñƒ   · ~ à Ì# î î  r -437-

Table 1. 7 vector positions of small triangles necessary to make Fig 5.

i j − → x − →

|x| ˆ x

xcoordinate ycoordinate zcoordinate xcoordinate ycoordinate zcoordinate

0 0 0.0000 0.0000 1.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000

1 0 0.2236 0.0000 0.8618 0.8903 0.2511 0.0000 0.9679

1 1 0.0691 0.2127 0.8618 0.8903 0.0776 0.23896 0.9679

2 0 0.4472 0.0000 0.7236 0.8507 0.5257 0.0000 0.85067

2 1 0.2927 0.2127 0.7236 0.8090 0.3618 0.2629 0.8944

3 1 0.5163 0.2127 0.5854 0.8090 0.6382 0.2629 0.7236

3 2 0.3618 0.4253 0.5854 0.8090 0.4472 0.5257 0.7236

[ O

>  = å Q
€   ¿ º½ ¡ § ô  Ç ² ú ˜§ 4  7 á x s  1 p x`  ¦ s 6   x # Œ ‘ : r`  ¦ ë

ß –Ž  H  . ’  ë  H t \  ¦ s 6   x ½ + É Ã º• ¸ e ” Ü ¼
  -Á º · û ª 
×  æ \ 



6   x s  Ô  ¦¼ #   . ë  H ~ ½ Ó½ ¨\ " f ó ø ÍB    H   pà Ôt  „  t \  ¦ s

6   x €   q 6   x“ É r [ þ t t ë ß –  © œ a % ~  . s  õ & ñ \ " f † < ÆÒ q t[ þ t

“ É

r  Œ ™y Œ •+ þ A`  ¦ Õ ªo   H  כ › ¸  z  ´] j– Ѝ  H  © œ{ © œy  # Q 9î  r ë  H ]

j   H  כ `  ¦ ^ ‰+ « > >   ) a  .   _  U  ´s   © œ{ © œy  ß ¼l  M : ë

 H \  (˜ Ð: Ÿ x t “ ¦ e ”   H 30 cm    H  6   x t  3 l w “ ¦ 1 m



\  ¦  6   x # Œ  ô  Ç ) ô  Ç   `  ¦ Õ ª 9 Z  ~ “ ¦ € ª œA á ¤ _  z “   y

Œ

•`  ¦ ³ ðr  # Œ ƒ   © œ €   @ / Òì  r " f– Ð ´ ú t  · ú §  H  . š ¸ 

 & h & h  & t l  M :ë  H“  X < † < ÆÒ q t[ þ t“ É r y Œ •`  ¦ ¸ ú ˜3 l w ³ ðr ô  Ç  כ Ü

¼– Ð · ú ˜“ ¦  r  r • ¸  
 y Œ •• ¸l  ¸ ú ˜3 l w ÷ &% 3  “ ¦ Ô  ¦

¨ î

l • ¸ ô  Ç . [ j  _  U  ´s \  ¦ s 6   x # Œ  Œ ™y Œ •+ þ A`  ¦ Õ ª 9

˜

Ð “ ¦ €   % ƒ6 £ § \   H  H " é ¶`  ¦ Õ ªw n =ë ß –ô  Ç ( Ž ( Û ¼ \ O  

“

¦ Œ 4 H ê ø ÍK  ô  Ç . s    õ & ñ \ " f † < ÆÒ q t[ þ t“ É r Y >  t  K    Õ þ

˜`  ¦ Û ¼Û ¼– Ð ¹ 1 Ô ? />   ) a  .



6 £ § \   H @ /+ þ A  Ö ¿ \  " f Y  J ó ø Ít   © œ \  ¦ ½ ¨ô  Ç . @ / Â

Òì  r _  @ /+ þ A  Ö ¿ \ " f  H  © œ¾ ¡ §`  ¦ Ÿ í © œÙ þ ¡~   Y  J ó ø Ít   © œ 

\

 ¦ — ¸  Z  ~“ É r  © œ™ è e ”   H X < t C “  s 
 & h " é ¶ \ >   ҄ à Ì

€   % 3 `  ¦ à º e ”  . s  Qô  Ç Y  J ó ø Ít   © œ [ þ t`  ¦ à º  # Œ  



 H ì  r • ¸ e ” `  ¦ à º e ” Ü ¼m  Õ ª    â Ä º\   H  © œ \  @ /ô  Ç @ /

\  ¦ t Ô  ¦   H  כ s  a % ~  . Õ ª Q€   a % ~“ É r  © œ \  ¦ — ¸ Å Òl 

•

¸ ô  Ç . Y  J ó ø Ít   © œ  ×  æ \ " f Y  J ó ø Ít  ¿ º   Ü ¼– Ð  ) a  כ

`

 ¦ s 6   x €   — É r— É r ô  Ç 1 l u`  ¦ ë ß –[ þ t à º e ”  . ì ø ͽ ¨+ þ A 1 l u`  ¦ ë ß –

×

¼  H X <\  € 9 כ ¹ô  Ç  Œ ™y Œ •+ þ A_  à º\  ¦  € Œ • # Œ ( Œ ™y Œ •+ þ A`  ¦ 4

× 4 – Ð ì  r ½ + É   H  â Ä º 160> h) Ø  æì  r ô  Ç € ª œ`  ¦ ½ ¨ • ¸2 Ÿ ¤ ô  Ç



.

@

/ Òì  r _  Y  J ó ø Ít   © œ   H  Œ ™y Œ •+ þ A 1> h\  ¦ ë ß –× ¼  H X <\  €  • ç

ß –  Œ •`  ¦ à º• ¸ e ”  . ] X ) €”    Òì  r  t  s 6   x “ ¦ Õ ªA • ¸ Â Ò 7

á

¤ €     É r 7 á x s  © œ \ " f š ¸ 9" f · ¡ ­ s l • ¸ K   ô  Ç .

Õ

ª    6 £ § ’  ë  H t – Ð € ª œ€  `  ¦ • ¸C  €   Û  ¦ s    É r + ' — É r— É r

>   ) a  .  Œ ™y Œ •+ þ A`  ¦ ë ß –× ¼  H õ & ñ “ É r €  •ç ß – t À Ò½ + É Ã º• ¸ e ” 



. t ë ß –
×  æ \  1 l u`  ¦ ¢ - a$ í >  ÷ &€   † < ÆÒ q t[ þ t“ É r  H $ í 2

[y Œ ™`  ¦ } f ›˜ Ð>  ÷ &“ ¦ Õ ª כ s  # Q§ > “ ¦ t À ҆ < Ê`  ¦ s  ? /% 3  l

 M :ë  H s    H  כ `  ¦ · ú ˜>   ) a  .  Œ ™y Œ •+ þ A[ þ t s  — ¸¿ º ¢ - a$ í ÷ &

Fig. 7. Structure of the upper part triangle of the Geodesic Dome.

Fig. 8. Structure of the lower part triangle of the Geodesic Dome.

€

  Figs. 7,8õ  ° ú  s  " f– Ð · ¡ ­ # Œ" f 1 l u`  ¦ ¢ - a$ í €    ) a  .  Œ ™ y

Œ

•+ þ A[ þ t`  ¦ " f– Ð ƒ    ½ + É M : „  ‚  `  ¦ Ó ü   H H s ^  ¦  s \  ¦ s  6

 

x €   ¼ # o  >   Œ •\ O `  ¦ ½ + É Ã º e ”  .

4. ç g Ëà U Ø]  §® Žz º  › ͓ Ó Þ M 



6 £ §“ É r † < ÆÒ q t[ þ t _  7 ˜' _  > h¥ Æ \  @ /ô  Ç s K  x 9  ƒ  í ß – 0 p x

§ 4

`  ¦ ¨ î    H ë  H † ½ Ó_  \ Vr s  .

ù  A  ë  H  © œ“ É r t š ¸X <d ”  1 l u`  ¦ [ O " î ô  Ç  כ s  .

Fig. 9. Geodesic Dome of U.S.A. in Montreal Expo.

o

% ƒ× ¼ Û  ¦  Q  H Ä »o , ½ + ËF K, e  ¦  Û ¼h Ë : 1 p x _   F – Ð 1 l u`  ¦ ë ß –[ þ t

#

Q Õ ª î ß –\  0 p x ô  Ç ô  Ç  H/ B N ç ß –`  ¦ S X ‰ ˜ Ð   H | » ¡ ¤ € ª œd ” “  

⁰

t š ¸X <d ”  1

l u(geodesic dome, 8 £ ¤ t  1 l u)`  ¦ > hµ 1 ÏK  Ä »" î K & ’  . t š ¸X <d ”  1 l u“ É r & ñ



€  ^ ‰_  €  `  ¦ ì  r ½ + É “ ¦ s \  ¦ ½ ¨ A á ¤ Ü ¼– Ð † ¾ Ó • ¸2 Ÿ ¤ # Œ ë ß –[ þ t à º e ” 



. &  ê ø Í & ñ  Œ ™y Œ •+ þ A`  ¦ y Œ • €  s  ½ + Ë1 l x“   & ñ  Œ ™y Œ •+ þ AÜ ¼– Ð ì  r ½ + É €  " f s 

 כ

`  ¦ ½ ¨ î ß –\  ? /] X r †   . t š ¸X <d ”  1 l u“ É r „  : Ÿ x& h “   | » ¡ ¤Ó ü t ˜ Ð   s `›  



8 & h “ É r F « Ñ(@ /| Ä Ì 60 %, { 9 ì ø Í  y Œ •+ þ A t Ô  æ õ  q “ §Ù þ ¡`  ¦ M :)\  ¦  6   x K 

"

f  s `›    8  H / B N ç ß –`  ¦ % 3 `  ¦ à º e ”  . S X ‰  © œ$ í ÷  r ë ß –  m   › ¸w n _  6   x s 

$ í

• ¸ ° ú Æ ғ ¦ e ”   H  כ s  . ? / Ò\  l Ñ ü æ s  
• ¸ \ O Ü ¼€  " f• ¸ B Ä º — É r

— É

r ô  Ç : £ ¤$ í `  ¦ t l  M :ë  H \  œ í@ /+ þ A / B N — ¸€ ª œ_  | » ¡ ¤Ó ü t – Ð ë ß –[ þ t # Q| 9  à º e ”

 . # Œl \  B Ä º Z > “ ¦ î ß –& ñ # Œ | “ ¦† < Ê t  ] j/ B N ô  Ç . Ó ü t : r,  €  

^

‰, ¼ 1 π  ^ ‰, s z  €  ^ ‰\  ¦  6   x ½ + É Ã º e ”  . Ó ü t : r, s z  €  ^ ‰  © œ V , o 



6   x ) a  . Õ ª Q€   — ¸Ž  H €  s   _  ° ú  “ ¦  _  & ñ  Œ ™y Œ •+ þ As  9 ½ ¨ü <  8¹ ¡ ¤ q

5 p w ô  Ç  €  ^ ‰  ) a  . s  כ s   – Ð t š ¸X <d ”  1 l u _  ½ ¨› ¸s  . » ¡ ¤ ½ ¨/ B N s

 ‡ Œ •  · p & ñ s z  €  ^ ‰\  ¦  „ ½ ÓÜ ¼– Ð ô  Ç î ß –A á ¤ / B N ç ß –\  / B N l \  ¦ x 9 # Q V , # Q

"

f ½ ¨ + þ AI \  ¦ ë ß –[ þ t% 3  €   t š ¸X <d ”  1 l u“ É r & ñ  €  ^ ‰– РÒ'  Õ ª €  [ þ t`  ¦ ì

 r ½ + ÉK " f €  _  ß ¼l \  ¦ ×  ¦“   : £ ¤f ç s  e ”  . z  ´? / ^ ‰¹ ¢ ¤› ' a , „  r  r © œ,   à

Ôo ¹ ¡ § 1 p x`  ¦ ë ß –× ¼  H X < s 6   x ÷ &“ ¦ e ”  . 1 l u ? / Ò_  “ : r • ¸ › ¸] X  r  כ ¹½ ¨

÷

&  H è ß –~ ½ Óq  ¢ ¸  H Í ‰ t~ ½ Óq • ¸ Ò q ty Œ •K     H X < s  & h \ " f t š ¸X <d ”  1 l u _

 › ' a o /Ä »t q  † ½ Ó3 l q \ " f_   â ] j& h  s & h • ¸ N S Z  ~`  ¦ à º \ O   H  © œ& h s 



. ½ ¨  H > á ¤ ° ú  “ É r  Òx \  ¦ Ñ ü t  Q   H { 9 ^ ‰• ¸+ þ A ×  æ \ " f   V , s   © œ  Œ • l

 M :ë  H s  . z  ´] j– Ð s  Qô  Ç t š ¸X <d ”  1 l u | [ O _  % i    H 1958¸  \   H À

Òs t E 
Å Ò Baton Rouge Ä »m “ : r × Ÿ ß ¼   à ºo / B N  © œ_  f ”  â s  130 m
 ÷ &  H @ / t Ô  æ | [ O `  ¦ q 2 Ÿ © # Œ 1967¸  \   H  7 H à Ôo `  ¦ ë ß –² D G ~ à Ì| à Ð



r_  p ² D G › ' a(Fig. 9)s  f ”  â 80 m ÷ &  H t š ¸X <d ”  1 l u Ü ¼– Ð s # Q4 R M

®

o  .  ë ß – % i   50¸   & ñ • ¸ µ 1 Ú\  ÷ &| 9  · ú § " f ´ ú §s  ˜ Ð/ å L s  î ß –  ) a  כ s

 .  8 ´ ú §“ É r t š ¸X <d ”  1 l u[ þ t`  ¦ Ä ºo   H · ú ¡Ü ¼– Ð ˜ Ð>  | ¨ c  כ s  .

0

A / å J`  ¦ { 9 “ ¦ ì ø Ít 2 £ § s  1 m“   t š ¸X <d ”  1 l u`  ¦  A  í  H

"

f– Ð [ O > K ˜ Ð . ² ú š`  ¦ ½ + É M : sin † < Êà º ° ú כõ  cos † < Êà º ° ú כ

“ É

r Õ ü w  – Ð
 è ­ q € 9 כ ¹  H \ O  .

(1) & ñ s z  €  ^ ‰ =  G t & h _  ô  Ç ý a³ ð\  ¦ · ¡ ¤F G (f ” “ §ý a³ ð

>

– Ð
 ? /% 3 `  ¦ M : (0,0,1))Ü ¼– Ð ¸ ú š . s  & h \   H 5 > h_ 

Fig. 10. Problem (1).

Fig. 11. Problem (2).

&

ñ  Œ ™y Œ •+ þ As  · ¡ ­ # Q e ” Ü ¼Ù ¼– Ð -z-» ¡ ¤ ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð ? / 9  ˜ Ѐ Œ ¤

`

 ¦ M : 5> h  Œ ™y Œ •+ þ A[ þ t _    [ þ t“ É r & ñ 5y Œ •+ þ AÜ ¼– Ð ˜ Г   . Fig.

10 \ " f c ± F K• 2 ;  Œ ™y Œ •+ þ A_ 
 Qt  ¿ º =  G t & h _  ý a³ ð\  ¦ ½ ¨

r š ¸.

(2) s   Œ ™y Œ •+ þ A`  ¦ y Œ •   `  ¦ 41 p xì  r # Œ Fig. 11õ  ° ú  s  ë ß – [

þ t% 3 `  ¦ M :  Œ ™y Œ •+ þ A D\  ¦ ½ ¨€  \  È Ò% ò r †    כ _  [ j =  G t & h  _

 ý a³ ð\  ¦ ½ ¨ r š ¸.

(3) Figure 11 \ " f  Œ ™y Œ •+ þ A D_    _  U  ´s ü < z “   y Œ •`  ¦

½

¨K ˜ Ðr š ¸.

5. U ~ ¾6 KÅ k Ä Ž Ò Û ³ Žz ºv ð ² Ž; c 6 ” X ¢ ] K ¡t  ô p §8 ý Œ ˜ m “ Ö «



6 £ § ³ ð  H 2007¸  õ  2008¸  \  t š ¸X <d ”  1 l u á Ԗ Ð# • oà Ô

\

 ‚ à ÐÙ þ ¡~   † < ÆÒ q t[ þ t`  ¦ @ / © œÜ ¼– Ð ô  Ç [ O ë  H › ¸ \  ¦ & ñ o ô  Ç

 כ

s  . † < ÆÒ q t[ þ t“ É r y Œ •y Œ •_  [ O ë  H † ½ Ó\  @ /K  0(„  ) € Õ ªX O t 

· ú

§ ) Ò'  5(B Ä º Õ ªX O  ) t _  ° ú כ`  ¦ ² ú š >  % i Ü ¼ 9

15" î _  † < ÆÒ q ts  [ O ë  H \  ² ú š % i  .

 ƒ  ½ ¨ 7 Hë  H  t š ¸X <d ”  1 l u`  ¦  Ö ¸6   x ô  Ç 0 p x1 l x& h “   7 ˜'  † < Æ_ þ v ~ ½ Óî ß – – s   ñƒ   · ~ à Ì# î î  r -439-

Table 2. Questionaires and results.

[ O

ë  H ? /6   x    õ  ¨ î ç  H

7 ˜' \  @ /K  à º\ O  „  \  ¸ ú ˜ · ú ˜“ ¦ e ” % 3 _ þ v m  ? 3.5

Ó ü

t o ë  H ] j\  ¦ É Ò  H X < z  ´] j– Ð 7 ˜' \  ¦ ´ ú §s  s 6   x “ ¦ e ” % 3 _ þ v m  ? 4.2

7 ˜'  Ó ü t o  ë  H ] j\  ¦ É Ò  H X < • ¸¹ ¡ § s   ) a  “ ¦ Ò q ty Œ •½ + Ëm  ? 4.6

t

š ¸X <d ”  1 l u`  ¦ s 6   x ô  Ç Ã º\ O s  F p e ” % 3 _ þ v m  ? 5.0

s

 à º\ O s  7 ˜' _  s K \  • ¸¹ ¡ § s  ÷ &% 3 _ þ v m  ? 4.8

s

 à º\ O  Ê ê 7 ˜' \  ¦ z  ´] j ë  H ] j\  & h 6   x ½ + É Ã º e ” >  ÷ &% 3 _ þ v m  ? 4.2

s

 à º\ O `  ¦ ? /¸  \ • ¸ Ê êC [ þ t s  ~ à Îl \  ¦  Ý ¶ ½ + Ëm  ? 4.7

s

 [ O ë  H \ " f  H y Œ • | 9 ë  H \  î„  ) € Õ ªX O t  · ú § ï\  ¦ 0 Ü ¼– Ð

“ ¦ îB Ä º Õ ªX O  ï\  ¦ 5 – Ð # Œ  ’  _  Ò q ty Œ •`  ¦ 61 p x/ å L Ü ¼

–

Ð ì  r À ÓK  ³ ðr  • ¸2 Ÿ ¤ % i  .

 

õ \  ¦ ì  r$ 3 K ˜ Ѐ   s p  7 ˜' \  @ /K  # QÖ ¼ & ñ • ¸  H · ú ˜

“

¦ e ” % 3 ~   † < ÆÒ q t[ þ t s  á Ԗ Ð# • oà Ô\  ‚ à Ð# ŒÙ þ ¡6 £ §`  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

î à º\ O  „  \  7 ˜' \  ¦ ¸ ú ˜ · ú ˜“ ¦ e ” % 3  ï“ ¦ Ò q ty Œ •ô  Ç & ñ • ¸ 2ü <

5 \  Y  J “ ¦À Ò ì  r Ÿ í÷ &# Q e ” % 3 Ü ¼ 9 îÓ ü t o  ë  H ] j\  ¦ É Ò  H X < z  ´ ]

j– Ð 7 ˜' \  ¦ ´ ú §s  s 6   x “ ¦ e ” % 3 _ þ v m  ?ïü < î 7 ˜'  Ó ü t o

 ë  H ] j\  ¦ É Ò  H X < • ¸¹ ¡ § s   ) a  “ ¦ Ò q ty Œ •½ + Ëm  ?ï\   H ‘ : r

“

 _  7 ˜' \  @ /ô  Ç t d ”  & ñ • ¸˜ Ð • ¸  8 Z  }“ É r F N& ñ `  ¦ % i 



. s  á Ԗ Ð# • oà Ô\  ‚ à Ðô  Ç Ó ü t o † < Æõ  2† < Ƹ   † < ÆÒ q t[ þ t“ É r { 9  ì ø

ÍÓ ü t o  à º\ O `  ¦ [ þ t Ü ¼€  " f 7 ˜' \  @ /K  s p  ´ ú §s  ] X  > 

 )

a  כ `  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

î t š ¸X <d ”  1 l u`  ¦ s 6   x ô  Ç Ã º\ O s  F p e ” % 3 _ þ v m  ?ï   H

| 9

ë  H \   H [ O ë  H \  ‚ à Ðô  Ç † < ÆÒ q t „  " é ¶ s  îB Ä º Õ ªX O  ï“ ¦

@

/² ú š % i “ ¦ îs  à º\ O s  7 ˜' _  s K \  • ¸¹ ¡ § s  ÷ &% 3 _ þ v m 



?ïü < îs  à º\ O  Ê ê 7 ˜' \  ¦ z  ´] j ë  H ] j\  & h 6   x ½ + É Ã º e ” > 

÷

&% 3 _ þ v m  ?ï\   H ¨ î ç  H 4.8 õ  4.2_  Z  }“ É r F N& ñ `  ¦ % i  .

s

 כ s  s   7 Hë  H`  ¦ Ø  ¦ ó ø Í  9“ ¦   H > l s l • ¸  . îs  Ã

º\ O `  ¦ ? /¸  \ • ¸ Ê êC [ þ t s  ~ à Îl \  ¦  Ý ¶ ½ + Ëm  ?ï   H [ O ë  H

\

• ¸ % i r  Z  }“ É r F N& ñ `  ¦ % i Ü ¼ 9 3õ  4\  ³ ðr ô  Ç † < ÆÒ q t[ þ t

“ É

r î r ç ß –s   -Á º    2 ; ï, îà º† < Æ& h “   [ O > \ ë ß – Õ ªu t  ´ ú ˜

“

¦ ½ ¨› ¸% i † < Æ& h “   & h • ¸  À Ò# Q Ó ü t o à º\ O ² ú š>  €   a % ~ ’ x



ï  H > h‚  î ß –`  ¦ ] jr  % i  . t ë ß –,    2 ; r ç ß –s  U  ´ 



 H X <\  @ /K  † < ÆÒ q t[ þ t _  @ / Òì  r“ É r š ¸ ½ ™ r ç ß –s     9 ¢ - a$ í ô

 Ç Ê ê_  $ í 2 [y Œ ™1 p x`  ¦ y © œ› ¸ €  " f Ê êC [ þ t • ¸ Õ ª l ì  r`  ¦ =  G î } f ›˜ Ð> ï K  ×  ¦  כ `  ¦  ҄ Ã Ì “ ¦ e ”  .

III. + s Ç Â ] Ø õ m Í < gŽ ¹ Å

s

 ƒ  ½ ¨\ " f  H  © œ¾ ¡ §`  ¦ Ÿ í © œ “ ¦ ! Q 2 ; Y  J ó ø Ít   © œ _  Y

 J ó ø Ít \  ¦ s 6   x # Œ t š ¸X <d ”  1 l u _  ] j Œ •`  ¦ ] j Œ •   H á Ô

–

Ð# • oà Ô+ þ A à º\ O s  7 ˜' _  > h¥ Æ \  @ /K  < É ª p \  v >  ] X  • ¸ 2

Ÿ

¤ “ ¦ e ”    H  כ `  ¦ ˜ Ð% i  . s  õ & ñ \ " f † < ÆÒ q t[ þ t“ É r 7 ˜'  _

 » ! l rõ  õ ü š! l r, Û ¼º ú ˜ ü <_  Y  L, ? /& h `  ¦ s 6   x ô  Ç y Œ •_  >  í

ß – 1 p x / B N ç ß –t y Œ •õ  7 ˜' \  @ /K  z  ´] j  © œ S ! \  & h 6   x K   9 Û

¼Û ¼– Ð e ” y   H  כ `  ¦ ^  ¦ à º e ” % 3  . ™ è½ ©— ¸_  † < ÆÒ q t Õ ªÒ  ¨

\

 @ /ô  Ç Ã º\ O   õ s l  M :ë  H \  & ñ | ¾ Ó& h “   ƒ  ½ ¨  õ \  ¦ ? / l

\   H # Q§ > t ë ß – [ O ë  H › ¸ \  ¦ K  ‘ : r   õ  † < ÆÒ q t[ þ t _  7 ˜' 

\

 @ /ô  Ç > h¥ Æ “ É r S X ‰ z  ´ >  7 £ x”  ÷ &  H  כ `  ¦ · ú ˜ à º e ” % 3  .

÷

 r ë ß –  m   ] j Œ •\  € 9 כ ¹ô  Ç “ : r ° ú  l Õ ü t`  ¦  Œ •\ O  ×  æ Û ¼Û ¼– Ð L

:{ Œ —l  M :ë  H \  z  ´+ « >\  @ /ô  Ç ¿ ËÒ 6 x ô  Ç “ §¹ ¢ ¤ • ¸  ) a  . " f– Ð @ /



o\  ¦ : Ÿ x K  t d ” `  ¦ “ § ¨ 8 Š   H Z O • ¸ e ” y >   ) a  . / B N1 l x  Œ •

\ O

`  ¦ : Ÿ x K  a ž ?1 l xd ” • ¸ C € ª œ >   ) a  . @ /+ þ A á Ԗ Ð# • oà Ô\  ¦ ¢ - a Ã

ºÙ þ ¡`  ¦ M :_  a  ¦  ¹ ¡ §“ É r † < ÆÒ q t[ þ t \ >  $ í 2 [y Œ ™• ¸ } f ›^  ¦ à º e ” 

>

 ô  Ç . 2007¸  _  á Ԗ Ð# • oà Ô\  ‚ à Ð % i ~   † < ÆÒ q t[ þ t“ É r Ó ü t o

 „  ì ø Í\  < É ª p \  ¦ t >  ÷ &# Q ‰ & ³F  † < Æõ _  ‚  • ¸Õ ªÒ  ¨ Ü ¼

–

Ð  Ö ¸1 l x “ ¦ e ” Ü ¼ 9 Ê êC [ þ t \ > • ¸ ì ø Í× ¼r  ° ú  “ É r á Ԗ Ð# • o à

Ô\  ¦ à º' Ÿ  • ¸2 Ÿ ¤ K  ×  ¦  כ `  ¦  ҄ Ã Ì % i  .

s

 á Ԗ Ð# • oà ԍ  H 10 # Œ" î _  † < ÆÒ q ts  10r ç ß – s  © œ  Œ •\ O `  ¦ K

    H  כ s # Q" f 1† < Æl \  45r ç ß – µ 1 Ú\  ÷ &t  · ú §  H & ñ

½

©Ã º\ O r ç ß –`  ¦ ½ + ÉE ½ + É Ã º  H \ O  . à º\ O  ×  æ \  / B N “ ¦\  ¦ # Œ t

" é ¶  \  ¦ — ¸  1 l x  o   Ö ¸1 l x ~ ½ Ód ” Ü ¼– Ð î  r% ò   H  כ s  a % ~



. á Ԗ Ð# • oà Ô_  t • ¸“ §Ã º  H † < ÆÒ q t[ þ t s  Û ¼Û ¼– Ð L :² ú ˜  

•

¸2 Ÿ ¤ é ß –> Z > – Ð t • ¸K   ô  Ç . à º\ O  ×  æ \  y © œ_  1 p w “ § Ã

º · ú ˜ 9ŠҀ   † < ÆÒ q t[ þ t“ É r Û ¼Û ¼– Ð Ò q ty Œ •½ + É r ç ß –s  \ O # Qt 

>

 ÷ &# Q “ §¹ ¢ ¤ _  ´ òõ  ×  ¦ # QŽ  H  . t ë ß – — ¸Ž  H  כ `  ¦ † < Æ Ò q

t Û ¼Û ¼– Ð ¹ 1 Ô > ë ß – €   † < ÆÒ q t[ þ t“ É r / B I # 4 \   Òv 9 y “ ¦



-Á º # Q 90 >" f < É ª p \  ¦ { 9 >   ) a  . 2007¸  \  s  á Ԗ Ð# • oà Ô

\

 ¦ à º' Ÿ Ù þ ¡~   † < ÆÒ q t[ þ t“ É r s  l Z O `  ¦ s 6   x # Œ Ÿ íÓ ü t€  `  ¦  Œ •

“ É

r  Œ ™y Œ •+ þ AÜ ¼– Ð ì  r K ô  Ç t 2 £ § 1.5 m“   | 9 \ P ó ø Í`  ¦ ] j Œ • # Œ 2008¸   ×  æ € © œõ † < ƛ ' a î  s ƒ  Û ¼ X <s ï\  ‚  `  ¦ ˜ Ð% i   [8].

¢

¸ô  Ç Ÿ íÓ ü t€  `  ¦  y Œ •+ þ AÜ ¼– Ð ì  r K  # Œ ^ o =] j c ” `  ¦ 6   x] X  

“

¦ Õ ª €  \   y Œ •+ þ A Ä »o  Ö  ¦`  ¦ · ¡ ­ # Œ ë ß –Ž  H I € ª œ | 9 \ P ó ø Í`  ¦ ë

ß –[ þ t l • ¸ % i  . s  כ “ É r † < ÆÒ q t[ þ t s  à º1 l x& h s   m   0 p x 1

l x& h Ü ¼– Ð L :² ú ˜“ É r t d ” _   â Ä º\  6 £ x6   x§ 4 s  B Ä º Z  }  t 

“

¦ s  כ s  > l  ÷ &# Q ‘ : r“  [ þ t s  t “ ¦ e ”   H ‚ ½ Ó_ § 4 `  ¦

>

µ 1 ÏK 
>   ) a    H  כ `  ¦ ˜ Ð# Œï  r  .

1 l

u`  ¦ ë ß –× ¼  H õ & ñ “ É r ×  æ “ ¦1 p x † < Ɠ §  Ä »† < Æ_ þ v r ç ß –\  † < ÆÒ q t [

þ

t _  : £ ¤Z >  Ö ¸1 l x Ü ¼– Ð s 6   x  
 @ /† < Ɠ § { 9 ì ø ÍÓ ü t o † < Æ z  ´+ « >

r

ç ß –\  [ O >  ] j Œ •½ + É Ã º• ¸ e ”  . 10" î & ñ • ¸_  † < ÆÒ q ts  ô  Ç h Ë

>s  ÷ &# Q 7 ˜'  > í ß –Ü ¼– Ð t š ¸X <d ”  1 l u`  ¦ [ O >  # Œ & ñ S X ‰ ô

 Ç  Œ ™y Œ •+ þ A_  u à ºü < > hà º\  ¦ ¹ 1 Ô  · p . y Œ •  | 9 \ " f 16> h

&

ñ • ¸_   Œ ™y Œ •+ þ A`  ¦ p o   º  ô  Ç ‘ : r \      Œ ™y Œ •+ þ A`  ¦ š ¸o 

“

¦, ì  r é ß – Z > – Ð Fig. 7õ  ° ú  “ É r  H  Œ ™y Œ •+ þ A`  ¦ ë ß –Ž  H Ê ê î  r1 l x  © œ

\

" f þ j7 á x& h Ü ¼– Ð 1 l u`  ¦ › ¸w n  €    ) a  .. s X O >  €   [ O 

>

\  2r ç ß –, › ¸w n \  2r ç ß – & ñ • ¸– Ð 1 l u 
\  ¦ ¢ - a$ í ½ + É Ã º e ”

 .

t ë ß – s   7 Hë  H \  ™ è> h  ) a t š ¸X <d ”  1 l u á Ԗ Ð# • oà ԍ  H  © œ r

ç ß –_  ” ¸§ 4 `  ¦ כ ¹   H { 9 s   ~ 1 >  ] X   H l  # Q§ >    H ë

 H ] j e ”  . s \  ¦ > h‚   # Œ 2 ∼ 4r ç ß – ? /\  1 l u _  [ O > 

–

РÒ'  ¢ - a$ í  t  ½ + É Ã º e ”   H ~ ½ ÓZ O `  ¦ ¹ 1 Ôl  0 AK  ƒ  ½ ¨   H

×

 æ s  .

P

c p 8 ý ò k >

s

  7 Hë  H“ É r 2008¸  • ¸ Ø  æ z Œ ™@ /† < Ɠ § † < ÆÕ ü tƒ  ½ ¨q _  t " é ¶ \  _

 # Œ ƒ  ½ ¨÷ &% 3 6 £ §.

 ƒ  ½ ¨ 7 Hë  H  t š ¸X <d ”  1 l u`  ¦  Ö ¸6   x ô  Ç 0 p x1 l x& h “   7 ˜'  † < Æ_ þ v ~ ½ Óî ß – – s   ñƒ   · ~ à Ì# î î  r -441-

Y

c p w Š à U Ø ”  ô

[1] KICE(www.kice.re.kr), ‘Manual for the 7th high school Curriculum’, (2007).

[2] Chungnam National University, ‘Report on making center for basic education’, unpublished (2006).

[3] R. D. Knight, Physics Teacher, 33, 74 (1995).

[4] N. Nuyen and D. E. Meltzer, Am. J. Phys. 71, 630 (2003).

[5] Jae-Nam Lee and Sung Hyun Yoon, ‘A Survey on Col- lege Students’ Comprehension of Vectors’, Sae Mulli

45, 277 (2002).

[6] There are many interesting internet sites on the history of the geodesic dome. See, for example, http://wikipedia.org/wiki/Geodesic dome.

[7] See, for example, exercises in Chapter 3, J. Walker, D. Halliday and R. Resnick, Fundamentals of Physics, John Wiley & Sons (2008).

[8] National Science Museum, ’2008 Spring Science Day’, unpublished (2008).

Active Learning Project for Vectors by Using a Geodesic Dome

Hoyun Lee

^∗

and Byung-Yoon Park

Chungnam Natl. Univ. Dept. of Physics, Daejon 305-764 (Received 23 June 2009, in final form 12 November 2009)

The concept of a vector and its algebra are widely used in almost all area of physics, but only a few of university students learned the vector in high school. They face difficulties in understanding the vector concept or applying it to physics problems. We are proposing a project in a vector algebra course for students in the physics department, where the students are guided to design a geodesic dome and to construct it by using discarded corrugated cardboard. This project evokes student’s curiosity about the vector. It also helps them to develop basic experimental skills and problem-solving techniques, besides becoming familiar with the basic concepts of the vector.

PACS numbers: 00, 01.50.Pa

Keywords: Physics education, Vector, Geodesic dome

∗

E-mail: [email protected]