(1)1 미분계수와 도함수 2 도함수의 활용

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(1)1 미분계수와 도함수 2 도함수의 활용. 기원전부터 수학자들은 여러 가지 변화 현상을 수학을 이용하여 설명하려고 노력하였다. 특히 미분은 여러 가지 변화 현상을 기술하고 분석하는 수학의 도구로써 세기에 뉴턴과 라이프니츠가 체계화하여 이론으로 정립하였다. 오늘날 미분은 자연 과학, 공학, 경제학 등의 여러 분야에서 활용된다. 시간에 따른 전력 사용량의 변화, 롤러코스터와 같이 움직이는 물체의 운동, 제품 생산 량에 따른 생산 비용의 변화 등을 파악하는 것은 모두 미분과 관련이 있다. 출처 •Eves, H., 『수학사』 •우정호, 『학교수학의 교육적 기초』 •김남희 외 5인, 『수학교육과정과 교재연구』. ●. 라이프니츠 ( Leibniz, G. W., 1646~1716). 뉴턴 ( Newton, I., 1642~1727). ●.

(2) 학습 목표. •미분계수의 뜻을 알고, 그 값을 구할 수 있다. •미분가능성과 연속성의 관계를 이해한다. •다항함수의 도함수를 구할 수 있다. •도함수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.. 이 단원을 시작하며 나의 학습 계획을 세우고, 학습해 가면서 나만의 포트폴리오를 만들어 보세요.. 학습 계획. 개념이나 예제를 정리한 나만의 정리 공책을 만들어야겠다.. 포트폴리오. 학습 내용 정리 공책. 탐구 과제 해결 모음집. 수학 독후감 모음집.

(3) 미분계수와 도함수. 년 월, 친환경 자기 부상 열차가 인천 국제공항역에서 용유역까지 . LN의 운행을 시작하였다. 이 열차는 바퀴 없이 전자력을 이용하여 노선에서 NN 정도 뜬 상태로 달린다. 이때 움직이는 열차의 위치나 속력은 매 순간 변한다. 순간의 변화에 주목하는 것은 움직이는 물체의 변화 양상을 파악하는 데 도움이 될 뿐만 아니라 그 변화의 정도를 정확하게 이해하는 데에도 필요하다.. 출처 •한형석, 김동성, 『자기 부상 열차』 •김남희 외 5인, 『수학교육과정과 교재연구』 •『경향신문』, 2016. 2. 2.. 준비 학습 ●직선의 방정식 자신 있음 복습 필요. ●함수의 극한. 1 다음 두 점을 지나는 직선의 기울기를 구하시오. ⑴ " , , # , . 2 다음 극한값을 구하시오.. 자신 있음 복습 필요. 52 │Ⅱ. 미분. ⑵ $ , , % , . ⑴ MJN YAZA. YA

(4) YAY Y. ⑵ MJN YAZA. YA

(5) Y Y.

(6) 미분계수 학습 목표 •미분계수의 뜻을 알고, 그 값을 구할 수 있다. •미분계수의 기하적 의미를 이해한다.. 개념. 1. ⠰ɇᄧ⪻ᮏᯛ௧ྛᨮᯣʳ". 생각 열기. 댐은 수력 발전, 농업용수 공급, 홍수 조절 등을 통해 우리 생활에 도움 을 준다. 오른쪽 그림은 어느 날 비가 오기 시작한 후 어떤 댐의 시간에. (DN) . #. 따른 수위를 조사하여 나타낸 그래프이다. 물음에 답하여 보자.. 1. 비가 오기 시작한 후 시간 동안 댐의 수위가 시간당 평균 몇 DN씩 높아졌는지 구해 보자.. 2. 두 점 ", #를 지나는 직선의 기울기를 구하고, 값과 비교해 보자.. . 1에서 구한. ". 0. 함수 ZG Y 에서 Y의 값이 B에서 C까지 변할 때,. (시간) 출처 한국수자원공사, 2016. Z. ZG Y. Z의 값은 G B 에서 G C 까지 변한다. 이때 Y의 값의 변화량 CB를 Y의 증분, Z의 값의 변화량 G C G B 를 Z의 증분이라고 하고, 이것을 $는 차를 뜻하는 EJGGFSFODF의 첫 글자 E 에 해당하는 그리스 문자 이다.. 2. G C. $Z G B. 1 $Y. 기호로 각각 $Y, $Z와 같이 나타낸다. 즉, $YCB, $ZG C G B. 0. B. C. Y. 이다. 또, Y의 증분 $Y에 대한 Z의 증분 $Z의 비율. $YCB에서 CB

(7) $Y이므로 G C G B

(8) $Y. AG C G B AG B

(9) $Y G B. $Z CB $Y $Y 를 함수 ZG Y 에서 Y의 값이 B에서 C까지 변할 때의 평균변화율이라고 한다.. 위의 그래프에서 알 수 있듯이 이 평균변화율은 두 점 1 B,G B. , 2 C,G C. 를 지나는 직선 12의 기울기와 같다.. 1. 미분계수와 도함수 │. 53.

(10) 앞의 내용을 정리하면 다음과 같다. 평균변화율 함수 ZG Y 에서 Y의 값이 B에서 C까지 변할 때의 평균변화율은 AG C G B. AG B

(11) $Y G B. $Z 단, $YCB. CB $Y $Y. 예제. 1. 함수 G Y YA에서 Y의 값이 다음과 같이 변할 때의 평균변화율을 구하시오.. ⑴ 에서 까지 변할 때 ⑵ B에서 B

(12) $Y까지 변할 때. 풀이. ⑴. $Z AG G . A A $Y . . ⑵. $Z AG B

(13) $Y G B. B

(14) $Y ABA $Y B

(15) $Y. B

(16) $Y $Y $Y $Y $Y ⑴ ⑵ B

(17) $Y. 문제. 1. Y의 값이 에서 까지 변할 때, 다음 함수의 평균변화율을 구하시오.. ⑴ AG Y YA

(18) Y

(19) . 문제. 2. Y의 값이 B에서 B

(20) $Y까지 변할 때, 다음 함수의 평균변화율을 구하시오.. ⑴ AG Y Y

(21) . 속 생활. 문제. 3. ⑵ AG Y YA. ⑵ AG Y YAY

(22) . 높은 곳에 있는 어떤 물체가 Y초 동안 낙하한 거리를 ZN라고 하면 ZYA 인 관계가 성립한다고 한다. 이 물체가 낙하하기 시작한 후 초에서 초까지 낙하한 거리의 평균변화율은 몇 NT인지 구하시오. (단, 물체는 충분히 높은 곳에서 자유 낙하한다.) 출처 Halliday 외 2인, 『일반물리학 제1권』. 54 │Ⅱ. 미분.

(23) 개념. 2. ၟᇫīᙿ௧ྛᨮᯣʳ" 함수 ZG Y 에서 Y의 값이 B에서 B

(24) $Y까지 변할 때의 평균변화율은 $Z AG B

(25) $Y G B. $Y $Y 이다. 여기서 $YAAZA일 때, 평균변화율의 극한값 MJN. $YAZA. AG B

(26) $Y G B. $Z MJN $Y $YAZA $Y. 가 존재하면 함수 ZG Y 는 YB에서 미분가능하다고 한다. 이때 이 극한값을 함수 ZG Y 의 YB에서의 순간변화율 또는 미분계수라고 하고, 이것을 기호로 AGA B. 와 같이 나타낸다.. 한편, GA B MJN. $YAZA. AG B

(27) $Y G B. 에서 B

(28) $YY라고 하면 $YYB이고, $Y. $YA)ZA일 때 YA)ZAB이므로 미분계수 AGA B 는 AGA B MJN YAZAB. AG Y G B. YB. 와 같이 나타낼 수 있다.. 위의 내용을 정리하면 다음과 같다. 미분계수 함수 ZG Y 의 YB에서의 미분계수는 AGA B MJN. $YAZA. AG B

(29) $Y G B. AG Y G B. MJN YB YAZAB $Y. 함수 ZG Y 가 어떤 열린구간에 속하는 모든 Y에서 미분가능하면 함수 ZG Y 는 그 구간에서 미분가능하다고 한다. 특히, 함수 ZG Y 가 정의역에 속하는 모든 Y에서 미분가능하면 함수 ZG Y 는 미분가능한 함수라고 한다.. 1. 미분계수와 도함수 │. 55.

(30) 예제. 2. 함수 G Y YAY의 Y에서의 미분계수를 구하시오.. 풀이. AG

(31) $Y G . \

(32) $Y A

(33) $Y ^ A. MJN $YAZA $Y $Y. GA MJN. $YAZA. $Y

(34) $Y A MJN

(35) $Y $YAZA $Y. MJN. $YAZA. 다른 풀이. AGA MJN YAZA. MJN YAZA. AG Y G . YAY A. MJN YAZA Y Y Y Y. MJN Y YAZA Y . 문제. 4. 다음 함수의 Y에서의 미분계수를 구하시오.. ⑴ AG Y Y

(36) . 문제. 5. ⑵ AG Y YA

(37) Y. 함수 G Y BY

(38) 의 Y에서의 미분계수가 일 때, 상수 B의 값을 구하시오.. 문제 해결. 생각과 표현. 다음은 미분가능한 함수 G Y 가 MJN. $YAZA. 추론. 창의・융합. G

(39) $Y G . 를 만족시킬 때, G 의 값을 구하는 과정이다. $Y. 안에 알맞은 수를 써넣어 보자.. MJN. $YAZA. G

(40) $Y G . MJN <A $YAZA $Y. @. $YIဌհⷨጄ $YAZ ‌ො IAZ MJN <A. $YAZA. @. G

(41) $Y G . = $Y . ᑐწ. 56 │Ⅱ. 미분. GA . ୴. 의사소통. G

(42) $Y G . = հ $Y. ୴වဌ᦬ @ MJN IAZA. G

(43) I G . I. @GA . G B. G B

(44) $Y G B. $Y $ Y 이니까 ….. MJN A. $Y $ Y Z ZA.

(45) 개념. 3. ၟᇫīᙿᮿʗ⦿ᱨᮿၟ‫ྛۻ‬ᨮᯣʳ". 탐구하기. 오른쪽 그림은 곡선 ZG Y 위의 네 점 ", #, $, 1를 나타낸 것이다. 물음에. Z ". 답하여 보자.. ZG Y. #. 1. 세 직선 1", 1#, 1$를 각각 그려 보자.. 2. 곡선 ZG Y 위를 움직이는 점 2가 있다고 하자. 점 2가 세 점 ", #, $를 순서대로 지나 점 1에 한없이 가까워질 때, 두 점 1, 2를 지 나는 직선은 어떤 직선에 한없이 가까워지는지 생각해 보자.. $ 1. YB에서 미분가능한 함수 ZG Y 에서 Y의 값이 B에서 B

(46) $Y까지 변할 때의 평균변화율 $Z AG B

(47) $Y G B. $Y $Y. Y. 0. Z ZG Y. 2. G B

(48) $Y. $Z G B. 1. 0. B. $Y. 는 곡선 ZG Y 위의 두 점 1 B, G B. , 2 B

(49) $Y, G B

(50) $Y. B

(51) $Y Y. 를 지나는 직선 12의 기울기를 나타낸다. 여기서 점 1를 고정했을 때, $Y ZA이면 점 2는 곡선 ZG Y 를 따라 점 1에 한없이 가까워지고, $Z 이면서 점 1를 지나 직선 12는 기울기가 MJN $YAZA $Y 는 직선 M에 한없이 가까워진다.. Z ZG Y. 2. G B

(52) $Y. M G B. 1. 0. B. 이 직선 M을 곡선 ZG Y 위의 점 1에서의 접 선이라고 하며, 그때의 점 1를 접점이라고 한다.. B

(53) $Y Y. 따라서 함수 ZG Y 의 YB에서의 미분계수 AGA B MJN. $YAZA. AG B

(54) $Y G B. $Y. 는 곡선 ZG Y 위의 점 1 B, G B. 에서의 접선 M의 기울기를 나타낸다. 위의 내용을 정리하면 다음과 같다. 미분계수의 기하적 의미 함수 ZG Y 가 YB에서 미분가능할 때, YB에서의 미분계수 GA B 는 곡선 ZG Y 위의 점 B, G B. 에서의 접선의 기울기와 같다.. 1. 미분계수와 도함수 │. 57.

(55) 예제. 3. 곡선 ZYA

(56) 위의 점 에서의 접선의 기울기를 구하시오.. 풀이. Z. AG Y YA

(57) 이라고 하면 구하는 접선의 기울기는. ZY

(58) . 함수 AG Y YA

(59) 의 Y에서의 미분계수 AGA 과 같으므로 AG

(60) $Y G . $Y. . MJN. \

(61) $Y A

(62) ^ @A

(63) . $Y. 0. MJN. $Y

(64) $Y A $Y. AGA MJN. $YAZA. $YAZA. $YAZA. Y. . MJN

(65) $Y . . $YAZA. 문제. 6. 다음 곡선 위의 주어진 점에서의 접선의 기울기를 구하시오.. ⑴ ZYA

(66) . 속 생활. 문제. 7. 독도: 경상북도 울릉군에 속하는 화산섬으로 개의 큰 섬인 동도와 서도, 그리 고 주변의 개 부속 도서 로 이루어져 있다.. , . ⑵ ZYA

(67) Y

(68) . , . 오른쪽 그림은 어느 날의 독도 지역과 백령도 지역의 기온을 조사하여 나타낸 그래프이다.. 기온. 백령도. (±$). 독도. 다음 물음에 답하시오. . ⑴ 오전 시부터 시까지 기온의 평균 변화율이 더 큰 지역을 말하시오.. . 0. ⑵ 오전 시에 기온의 순간변화율이 더. 시각(시). 출처 기상청, 2016. 큰 지역을 말하시오.. 출처 외교부 독도, 2016. 문제 해결. 생각과 표현. 함수 ZG Y 의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음 값을 작은 것부터 차례로 나열해 보자.. 추론. 창의・융합. Z. 의사소통. ZG Y. G C G B. , GA B , GA C. CB. 실마리. 58 │Ⅱ. 미분. 평균변화율과 미분계수의 기하적 의미를 떠올려 보자.. 0. B. C. Y.

(69) 수학 들여다 보기. 공학 도구. 개념 탐구 하. 중. 상. 난이도. ၟᇫīᙿᮿʗ⦿ᱨᮿၟ. 컴퓨터 프로그램을 사용하여 곡선 ZYA 위의 점 , 에서의 접선을 그려 보고, 함수 AG Y YA의 Y에서의 미분계수의 기하적 의미를 확인해 보자.. 활동. ❶ 입력 창에 ‘f(x)=x ^ 2’를 입력하여 곡선. ❷ 입력 창에 ‘접선 [A , f]’를 입력하여 점 "에서. ZY A 을 그리고, ‘(1, 1)’을 입력하여 점. 의 접선을 그린다. 이때 접선의 기울기가 로. " , 을 그린다.. 미분계수 AG 와 같음을 확인할 수 있다.. Z. ▲. ▲. Z. ZG Y. a:y=2x-1. ". ". 입력 ❶: 입력 ❷:. 0. Y. f(x)=x ^ 2 (1, 1). ▲. ▲. 0. 입력:. Y. 접선 [A , f]. ❸ 입력 창에 ‘(1+ h, (1+ h)^ 2)’를 입력하여 슬. ❹ 슬라이더에서 I를 에 가까워지도록 움직. 라이더 I를 만들고, 입력 창에 ‘직선 [A, B]’. 이면 직선 "#가 점 "에서의 접선에 가까. 를 입력하여 직선 "#를 그린다.. 워지는 것을 확인할 수 있다.. Z. ▲. Z. ▲. #. # ". ". 입력 ❷:. 탐구. Y. ▲. 입력 ❶:. ▲. 0. 0. Y. (1+h, (1+h)^ 2) 직선 [A , B]. 컴퓨터 프로그램을 사용하여 곡선 ZYA 위의 점 에서의 접선을 그려 보고, 함수 AG Y Y의 Y에서의 미분계수의 기하적 의미를 확인해 보자.. 1. 미분계수와 도함수 │. 59.

(70) 미분가능성과 연속성 학습 목표 •미분가능성과 연속성의 관계를 이해한다.. 개념. 1. ⧏ᙿᮿၟᇫg‫܌‬ᖘţᩗᗴᖘᔓᯛᨷ‫ۻ‬ᨛ਋ŧīgᯯ᮫ʳ". 탐구하기. 함수 G Y Y

(71) , H Y . Y 의 그래프가 ]Y]. Z. 각각 오른쪽 그림과 같을 때, 물음에 답하여. ZG Y. . 보자.. 1 2. $YAZA. MJN YAZAB. 0. Y. AG B

(72) $Y G B. $Y. AG Y G B. YB. 가 존재한다. 따라서 MJN\AG Y G B ^MJN< YAZAB. B가 실수일 때, 함수 AG Y 가 다음 세 조건을 만족시키 면 함수 G Y 는 YB에서 연속이다. ① 함수 G Y 가 YB에서 정의되어 있다. ② 극한값 MJN G Y 가 존재 YAZAB. 한다. ③ MJN G Y G B 이다.. YAZAB. MJN YAZAB. Y. 0. . Y에서 미분가능한 함수를 말하여 보자.. AGA B MJN. 60 │Ⅱ. 미분. ZH Y. . Y에서 연속인 함수를 말하여 보자.. 함수 G Y 가 YB에서 미분가능하면 미분계수. YAZAB. Z. AG Y G B. @ YB = YB. AG Y G B. @MJN YB. YB YAZAB. AGA B @ 이다. 즉, MJNAG Y G B. YAZAB. 이므로 함수 G Y 는 YB에서 연속이다.. .

(73) 앞의 내용을 정리하면 다음과 같다. 함수 G Y 가 YB에서 연 속이 아니면 G Y 는 YB 에서 미분가능하지 않다.. 함수 연속인 함수 미분가능한 함수. 미분가능성과 연속성의 관계 함수 G Y 가 YB에서 미분가능하면 G Y 는 YB에서 연속이다.. 그러나 위의 역은 성립하지 않는다. 즉, 함수 AG Y 가 YB에서 연속이라고 해서 함수 AG Y 가 YB에서 반드시 미분 가능한 것은 아니다.. 예제. 1. 함수 G Y ]Y]는 Y에서 연속이지만 미분가능하지 않음을 보이시오.. 풀이. Z. MJN AG Y MJN ]Y], G 이므로 YAZA. G Y ]Y]. YAZA. AG Y 는 Y에서 연속이다. $Z $Z

(74) MJN $Y $YAZA $Y $Z 이면 MJN 가 존재하 $YAZA $Y 지 않는다. MJN. $YAZA

(75). MJN. AG

(76) $Y G . $Y MJN $YAZA

(77) $Y $Y. MJN. AG

(78) $Y G . $Y MJN $YAZA $Y $Y. $YAZA

(79). $YAZA. 이므로 MJN. $YAZA. Y. 0. AG

(80) $Y G . 은 존재하지 않는다. $Y. 따라서 함수 G Y 는 Y에서 연속이지만 미분가능하지 않다.. 문제. 1. 함수 G Y Y

(81) ]Y]는 Y에서 연속이지만 미분가능하지 않음을 보이시오.. 문제. 2. 어느 공장에서 제품을 운반하는 로봇이 N 떨어진 두 지점. Z(N). ", # 사이를 NT의 속력으로 왕복 이동하고 있다. " 지점. . 속 생활. ZG U. 을 출발한 지 U초 후 " 지점에서 로봇까지의 거리를 AG U N 라고 할 때, U에서 함수 ZG U 의 그래프는 오른쪽. 0. . U(초). 그림과 같다. 다음 물음에 답하시오.. ⑴ 함수 G U 의 U에서의 연속성을 조사하시오. ⑵ 함수 G U 의 U에서의 미분가능성을 조사하시오.. 1. 미분계수와 도함수 │. 61.

(82) 도함수 학습 목표 •함수 ZYO (O은 양의 정수)의 도함수를 구할 수 있다. •함수의 실수배, 합, 차, 곱의 미분법을 알고, 다항함수의 도함수를 구할 수 있다.. 개념. 1. ࠫ⧏ᙿ௧ྛᨮᯣʳ". 탐구하기. 다음은 함수 G Y YA 에서 GA 과 GA 의 값을 구한 것이다. GA 과 GA 의 값을 각각 구해 보자.. AG

(83) $Y G .

(84) $Y AA MJN $YAZA $Y $Y $Y

(85) $Y A MJN

(86) $Y MJN $YAZA $YAZA $Y AG

(87) $Y G .

(88) $Y AA MJN AGA . G MJN $YAZA $YAZA $Y $Y $Y

(89) $Y A MJN

(90) $Y MJN $YAZA $YAZA $Y AGA . G MJN. 문자를 사용해서 한번 한번에 구하는 방법은 없을까?. $YAZA. 구하는 과정이 비슷해 보여.. B가 실수일 때, 함수 G Y YA의 YB에서의 미분계수 GA B 는 AGA B MJN. $YAZA. MJN. $YAZA. B

(91) $Y ABA G B

(92) $Y G B. MJN $YAZA $Y $Y B$Y

(93) $Y A MJN B

(94) $Y B $YAZA $Y. 이다. 따라서 함수 G Y YA의 YB에서의 미분계수 GA B 는 B의 값에 따라 하나씩 정해진다. 함수 ZG Y 가 정의역에 속하는 모든 Y에서 미분가능할. 9. GA. :. 때, 정의역에 속하는 각 Y에 미분계수 GA Y 를 대응시키면 새 로운 함수. Y. AGA Y MJN. $YAZA. 를 얻을 수 있다.. 62 │Ⅱ. 미분. AG Y

(95) $Y G Y. $Y. GA Y.

(96) EZ. Q EY 는 무슨 뜻인가요? EZ A EY 는 Z를 Y에 대하여 미분한다는 뜻이에요.. 이 함수를 함수 ZG Y 의 도함수라고 하고, 이것을 기호로 AGA Y ZA. EZ E. AG Y. EY EY. 와 같이 나타낸다. 예를 들어 함수 ZG Y 에서 G Y YA의 도함수가 Y일 때 AGA Y Y, Z Y,. EZ E Y, G Y Y EY EY. 와 같이 나타낼 수 있다. 함수 ZG Y 의 도함수 AGA Y 를 구하는 것을 함수 AG Y 를 Y에 대하여 미분한다고 하고, 그 계산법을 미분법이라고 한다. 또, 함수 G Y 의 YB에서의 미분계수 GA B 는 도함수 AGA Y 에 YB를 대입한 것이다.. 위의 내용을 정리하면 다음과 같다. 도함수 G Y. 함수. 미분한다.. 미분가능한 함수 ZG Y 의 도함수는. G Y. 도함수. AGA Y MJN. $YAZA. 참고. 함수 G Y 의 도함수 GA Y 를 구할 때, $Y 대신 I를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수도 있다. AGA Y MJN IAZA. 예제. 1. AG Y

(97) $Y G Y. $Y. AG Y

(98) I G Y. I. 함수 G Y YA 의 도함수를 구하고, G Y 의 Y에서의 미분계수를 구하시오.. 풀이. AGA Y MJN IAZA. AG Y

(99) I G Y. Y

(100) I AYA MJN IAZA I I. MJN Y

(101) I Y IAZA. 따라서 G Y 의 Y에서의 미분계수는 AGA @. 문제. 1. GA Y Y, GA . 다음 함수의 도함수를 구하고, G Y 의 Y에서의 미분계수를 구하시오.. ⑴ AG Y Y

(102) . ⑵ AG Y YA

(103) Y. 1. 미분계수와 도함수 │. 63.

(104) 개념. 2. ⧏ᙿG Y YA Oᮧ᧸ᮿᱼᙿ ᮿࠫ⧏ᙿ‫ۻ‬ᨛਢóǓ⧇ʳ" 도함수의 정의를 이용하여 함수 G Y Y O(O은 양의 정수)의 도함수를 구해 보자.. ❶ 함수 G Y Y O ( Oy인 정수)의 도함수 BC BC B

(105) BC

(106) C. BC BC B

(107) BC

(108) BC

(109) C. GA Y MJN IAZA. MJN IAZA. \ Y

(110) I Y^\ Y

(111) I O

(112) Y

(113) I OY

(114) U

(115) YO^ I. MJN \ Y

(116) I O

(117) Y

(118) I OY

(119) U

(120) YO^. U. IAZA. O. B C BC BO

(121) BOC

(122) U

(123) BCO

(124) CO. 단, Oy인 정수. . :. 9 . . YO

(125) YO

(126) U

(127) YO. :. O. AG Y

(128) I G Y. Y

(129) I OYO MJN IAZA I I. O개. OYO ❷ 함수 G Y Y의 도함수 GA Y MJN IAZA. AG Y

(130) I G Y. Y

(131) I Y I MJN MJN IAZA IAZA I I I. ❸ 상수함수 G Y D ( D는 상수)의 도함수 GA Y MJN IAZA. AG Y

(132) I G Y. DD MJN IAZA I I. 위의 내용을 정리하면 다음과 같다. 함수 G Y YO O은 양의 정수 과 상수함수의 도함수. YO OYO. O O 1. G Y Y ( Oy인 정수)이면GA Y OY 2. G Y Y이면GA Y 3. G Y D ( D는 상수)이면GA Y . 보기. ⑴ 함수 AG Y YA의 도함수는 AGA Y YA ⑵ 함수 AH Y 의 도함수는 AHA Y . 문제. 64 │Ⅱ. 미분. 2. 다음 함수의 도함수를 구하시오.. ⑴ AG Y YA. ⑵ AG Y Y. ⑶ AG Y Y. ⑷ AG Y .

(133) 개념. 3. ⧏ᙿᮿᝋᙿ႗⧐₏‫ۻ‬ᨛਢóၟᇫ⧇ʳ" 함수 G Y , H Y 가 미분가능할 때, 다음 함수 DG Y D는 상수 , G Y

(134) H Y , G Y H Y. 의 도함수를 구해 보자. \DG Y ^MJN IAZA. DG Y

(135) I DG Y. AG Y

(136) I G Y. D MJN DGA Y. IAZA I I. \ G Y

(137) H Y ^MJN. \AG Y

(138) I

(139) H Y

(140) I ^\AG Y

(141) H Y ^ I. MJN. \AG Y

(142) I G Y ^

(143) \ H Y

(144) I H Y ^ I. IAZA. IAZA. MJN < IAZA. MJN IAZA. AG Y

(145) I G Y H Y

(146) I H Y.

(147) = I I. . AG Y

(148) I G Y. AH Y

(149) I H Y.

(150) MJN IAZA I I. AGA Y

(151) HA Y. G Y H Y 의 도함수도 위와 같은 방법으로 구하면 다음과 같다. \ G Y H Y ^GA Y HA Y. 위의 내용을 정리하면 다음과 같다. 함수의 실수배, 합, 차의 미분 함수 G Y , H Y 가 미분가능할 때. 1. \DG Y ^DGA Y 단, D는 상수. 2. \AG Y

(152) H Y ^GA Y

(153) HA Y. 3. \AG Y H Y ^GA Y HA Y. 다항함수는 미분가능하다.. 보기. 함수 ZYA

(154) YAY

(155) 을 Y에 대하여 미분하면 다음과 같다. ZA YA

(156) YA Y

(157) YA

(158) YA Y

(159) YA

(160) Y. 문제. 3. 다음 함수를 Y에 대하여 미분하시오.. ⑴ ZY

(161) . ⑵ ZYA

(162) Y

(163) . ⑶ ZYA

(164) YA

(165) Y. ⑷ ZYA

(166) YAY. 1. 미분계수와 도함수 │. 65.

(167) 개념. 4. ⧏ᙿᮿŘᮧᨛਢóၟᇫ⧇ʳ" 함수 G Y , H Y 가 미분가능할 때 함수 G Y H Y 의 도함수를 구해 보자.. 함수 G Y H Y 의 도함수 \ G Y H Y ^은 도함수의 정의에 따라 다음과 같다. \ G Y H Y ^MJN IAZA. AG Y

(168) I H Y

(169) I G Y H Y. I. 위 식의 우변의 분자에서 G Y H Y

(170) I 를 빼고, 다시 G Y H Y

(171) I 를 더하면 \ G Y H Y ^ MJN IAZA. AG Y

(172) I H Y

(173) I G Y H Y

(174) I

(175) G Y H Y

(176) I G Y H Y. I. MJN IAZA. A\AG Y

(177) I G Y ^H Y

(178) I

(179) G Y \AH Y

(180) I H Y ^ I. MJN < IAZA. MJN IAZA. AG Y

(181) I G Y. AH Y

(182) I H Y. @H Y

(183) I

(184) G Y @ = I I. AH Y

(185) I H Y. AG Y

(186) I G Y. @MJN AH Y

(187) I

(188) MJN AG Y @MJN IAZA IAZA IAZA I I. 이다. 이때 미분가능한 함수 H Y 는 연속이므로 MJNAH Y

(189) I H Y. IAZA. 이다. 따라서 \AG Y H Y ^GA Y H Y

(190) G Y HA Y. 이다.. 위의 내용을 정리하면 다음과 같다. 함수의 곱의 미분 함수 G Y , H Y 가 미분가능할 때 \AG Y H Y ^GA Y H Y

(191) G Y HA Y. 참고. 미분가능한 세 함수의 곱도 미분할 수 있다. 즉, 함수 AG Y , H Y , I Y 가 미분가능할 때 \AG Y H Y I Y ^\AG Y H Y Î Y

(192) \AG Y H Y Î Y. \AGA Y H Y

(193) G Y HA Y Î Y

(194) \AG Y H Y Î Y. GA Y H Y I Y

(195) G Y HA Y I Y

(196) G Y H Y I Y. 이다.. 66 │Ⅱ. 미분. .

(197) 예제. 2. 함수 Z Y

(198) YA

(199) Y 을 Y에 대하여 미분하시오. 풀이. 함수의 곱의 미분을 이용하면 Z \ Y

(200) YA

(201) Y ^ Y

(202) YA

(203) Y

(204) Y

(205) YA

(206) Y YA

(207) Y

(208) Y

(209) Y

(210) . YA

(211) Y

(212) YA

(213) Y

(214) . YA

(215) Y ZAYA

(216) Y. 문제. 4. 다음 함수를 Y에 대하여 미분하시오.. ⑴ Z Y Y. 속 생활. 문제. 5. 한계 비용 : 제품을 한 단위 더 생산하는 데 들어가는 추가 비용을 말한다.. ⑵ Z YA

(217) YA. 어떤 제품을 Y개 생산하는 데 드는 비용을 $ Y 라고 할 때, $ Y 의 YB에서의 미분계 수 $ B 를 B개 생산할 때의 한계 비용이라고 한다. 어느 공장에서 제품을 Y개 생산하는 데 드는 비용이 $ Y Y

(218) Y A 이라고 할 때, 이 제품을 개 생산할 때의 한계 비용을 구하시오. 출처 조순 외 3인, 『경제학원론』. 생각과 표현. 함수 G Y 가 미분가능할 때, 함수의 곱의 미분을 이용하여 함수 Z\AG Y Â 의 도함수를 구해 보자.. 문제 해결. 추론. 창의・융합. 의사소통. Z\AG Y Â은 ZG Y @G Y 로 나타낼 수 있으니까 ….. 1. 미분계수와 도함수 │. 67.

(219) 자신감을 키우는. 미분계수와 도함수. 바탕 다지기 1 평균변화율과 미분계수. ⑴ 함수 ZG Y 에서 Y의 값이 B에서 C까지 변할 때의. 01. 함수 G Y YA

(220) Y에서 Y의 값이 다음과 같이 변할 때의 평균변화율을 구하시오.. 평균변화율은. ⑴ 에서 까지. $Z AG C G B. $Y CB. ⑵ 에서

(221) $Y까지. AG B

(222) $Y G B. 단, $YCB. $Y ⑵ 함수 ZG Y 의 YB에서의 미분계수는 AGA B MJN. $YAZA. AG B

(223) $Y G B. $Y. 2 미분계수의 기하적 의미. 02. 다음 함수의 Y에서의 미분계수를 구하시오.. 함수 ZG Y 가 YB에서 미분가능할 때,. ⑴ G Y Y

(224) . YB에서의 미분계수 GA B 는 곡선 ZG Y 위의 점. ⑵ G Y YA

(225) Y. B, G B. 에서의 접선의 기울기와 같다. 3 미분가능성과 연속성의 관계. 함수 G Y 가 YB에서 미분가능하면 G Y 는 YB 에서 연속이다.. 03. 4 도함수. 다음 함수의 도함수를 구하시오.. ⑴ ZYA A. 미분가능한 함수 ZG Y 의 도함수는 AGA Y MJN. $YAZA. ⑵ Z. AG Y

(226) $Y G Y. $Y. ⑶ ZYA

(227) Y

(228) ⑷ ZYA

(229) YAY

(230) ⑸ Z YA

(231) YA. 5 함수 G Y Y 과 상수함수의 도함수 O. ⑴ AG Y YO Oy인 정수 이면 AGA Y OYO ⑵ AG Y Y이면 GA Y ⑶ AG Y D D는 상수 이면 AGA Y 6 함수의 실수배, 합, 차, 곱의 미분. 함수 G Y , H Y 가 미분가능할 때. 04. 다음 함수의 그래프 위의 주어진 점에서의 접선 의 기울기를 구하시오.. ⑴ \DG Y ^DGA Y 단, D는 상수. ⑵ \AG Y

(232) H Y ^GA Y

(233) HA Y. ⑶ \AG Y H Y ^GA Y HA Y. ⑷ \AG Y H Y ^GA Y H Y

(234) G Y HA Y. 68 │Ⅱ. 미분. ⑴ G Y YA

(235) Y. , . ⑵ G Y YAY

(236) . , .

(237) 정답 및 해설 164쪽. 기본 익히기. 09. 함수 AG Y YA

(238) BY

(239) C에서 AG , AGA 일 때, G 의 값을 구하시오.. 05. Y의 값이 B에서 B

(240) 까지 변할 때, 함수. (단, B, C는 상수). AG Y YAY의 평균변화율이 이다. 이때 실수 B의 값을 구하시오.. 06. 함수 G Y YAY

(241) 에서 MJN. $YAZA. 10. 미분가능한 함수 G Y , H Y 사이에 H Y YAY G Y. AG

(242) $Y G . 의 값을 구하시오. $Y. 인 관계가 성립하고 G , G 일 때, H 의 값을 구하시오.. 07. 미분가능한 함수 G Y 에서 MJN IAZA. AG

(243) I G . 일 때, GA 의 값을 I. 구하시오.. 11. -의 물이 들어 있는 어떤 물탱크에서 분 동안 바닥의 배출구로 물을 뺄 때, U분 후 물탱크에 남아 있는 물의 부피 G U -는 다음과 같다고 하자. G U [. 08. U ]A 단, U. . 함수 G Y ]Y]의 Y에서의 미분가능성. U일 때, 남아 있는 물의 부피의 순간변화율. 을 조사하시오.. 은 몇 -NJO인지 구하시오.. 확인 학습 문제 │. 69.

(244) 자신감을 키우는. 12. 정답 및 해설 164쪽. 곡선 ZYA

(245) BYA

(246) C 위의 점 , 에서의 접 선의 기울기가 일 때, 상수 B, C의 값을 구하는 과정이다.. 안에 알맞은 수를 써넣으시오.. G Y YA

(247) BYA

(248) C라고 하면 점 , 는 곡선 ZG Y 위의 점이므로 A

(249) B@A

(250) C. , 즉 B

(251) C. 곡선 위의 점 , 에서의 접선의 기울. 생각 톡!톡!. 15. 가인이와 찬열이는 다음 문제를 각각 다른 방법 으로 풀었다. 가인이와 찬열이의 문제 풀이 과정 을 완성해 보자. 문제. YA

(252) Y

(253) 을 YAY

(254) 로 나누었을 때 의 나머지를 구하시오.. 기가 이므로 G G Y YA

(255) BY에서 G

(256) B 따라서 B. , C. ≑₡नઔṄᖄ†. 이다.. YAY

(257) YA.

(258) Y

(259) . 실력 키우기. 13. 함수 G Y 가 미분가능하고 GA 일 때, MJN YAZA. AG Y G . 의 값을 구하시오. YA. ᒈᘔ῔ ἹⷨṼ⸄Հ⸄ᖄ† YA

(260) Y

(261) ῔YAY

(262) ∙ Y Aῌწ. नઔṘ῔ොῨጻ῔ 2 Y नወ≐ሌ BY

(263) C ဌհⷨጄ YA

(264) Y

(265) Y A2 Y

(266) BY

(267) C …… ㉠㉠ ṠY῔ஐ―ⷨጄB

(268) C. 14. 미분가능한 함수 G Y 가 임의의 실수 Y, Z에서 다음 등식을 만족시킨다. AG Y

(269) Z G Y

(270) G Z

(271) YZ AGA 일 때, GA 의 값을 구하시오.. 70 │Ⅱ. 미분. ㉠ Ῠḡᕐ῔YṠஐⷨṼ. ᒈᘔⷨጄ…..

(272) ●수학 독서 활동을 해 보자!. 생각을 넓히는 수학. 창의. 융합. 수학과 관련된 책을 읽으면, 수학 지식을 얻으면서 수학의 학의 유 은 학생들이 유용성과 가치를 인식하고 관심과 흥미를 높일 수 있다. 다음은 모 집 게시판에 올린 린 발표 모둠별로 수학 독서 활동을 하고, 책의 내용을 정리하여 누리집 자 자료이다.. 창의 모둠. 컴퓨터 컴 터 그래픽 래픽 자동차 자동차의 자동 차의 의 게임 임 곡선 설 곡선 설계 계 게 개발 개 발 일기 일기 예보. 책에서 읽은 내용 중 미분이 어디에 활용되고 있는지를 마인드맵으로 표현해 보았어요.. 미분 분. 자연, 사회, 생활 속의 변화를 미분을 이용하여 수학으로 나타내고 자연 자 연. 사회 회. 생 생활. 설명할 수 있는 것을 보니 수학 시간에 배운 미분은 멀리 있는 것이 아니라, 우리 생활 주변에 가까이 존재한다고 느끼게 되었어요.. 융합 모둠 미분과 관련된 책을 읽고 기억에 남는 내용을 그림으로 그려 보았어요. 미분은 순간을 찍는 카메라와 같다고 생각해요. 미분은 어떤 순간의 변화를 알기 위한 수단이고, 미분을 이용하면 변화하고 운동하는 것들을 설명할 수 있어요.. 좋아요. 탐구. 댓글 달기. 공유하기. 수학과 관련된 책을 한 권 읽고, 책 내용을 요약하여 모둠별로 발표해 보자.. 다른 모둠의 발표를 들으면서 다음의 표를 기록해 보자. 모둠 이름:. 책 제목:. 발표 내용: 느낀 점:. 생각을 넓히는 수학 │. 71.

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