Applied Fluid Machinery

Lecture 3

Applied Fluid Machinery

Wang-Hee Lee

Chungnam National University Biosystems Machinery Engineering

Centrifugal pump

Theory: Theoretical head

 펌프가 물을 퍼올리는 높이 양정 (Head)

흡입양정 (suction head)

토출양정 (delivery head)

실양정 (actual head)

전양정 (total head)

흡수면에서 펌프 중심까지의 수직높이

펌프 중심에서 토출 수면까지의 수직높이

흡입양정 + 토출양정

펌프가 유체에 주는 압력에너지, 속도에너지 등 에너지의 총합

에너지와 관내의 마찰손실이나 기타 손실에 상당하는 만큼의 에너지를 물에 가해야 한다

+ 손실에 해당하는 에너지

 The relative velocity of flow is considered relative to the impeller

 The absolute velocity is taken with respect to the pump casing and is always equal to the vector sum of the relative velocity and the peripheral velocity of the impeller.

 원주속도: 회전차의 입구와 출구에서 지면에 대한 회전차 깃의 속도

Centrifugal pump

Theory: Velocity triangle

깃의 입구에서의 유입각

깃의 출구에서 유출각

깃의 입구각 깃의 출구각

Centrifugal pump

Theory: Angular velocity and torque

각속도 (angular velocity)

토크 (Torque)

𝑻 = 𝒓 × 𝑭 =𝒅 𝒅𝒕𝒓 × 𝒎𝑽 𝒗 = 𝒓𝝎 _𝒗

𝒓

𝝎 =𝒅𝜽 𝒅𝒕

 특정 축을 기준으로 각이 돌아가는 속력을 나타내는 벡터

 물체에 작용하여 물체를 회전시키는 원인이 되는 물리량

𝑳 = 𝑻 ∙ 𝝎

Centrifugal pump

Theory: Theoretical head

회전차가 유입하는 물의 원주 방향으로 작용하는 힘

회전차의 중심에 대한 모멘트

회전차의 출구에서 물의 원주방향으로 작용하는 힘

회전차 중심에 대한 모멘트

회전차를 통과하는 동안 물이 얻은 모멘트의 합

물에 부여되는 에너지 (동력) 각속도의 원리 및 토크

𝑟1=𝑢2 𝑟2

𝛾 × 𝑄 𝑔 × 𝑣1cos 𝑎1

𝛾 × 𝑄

𝑔 × 𝑣1cos 𝑎1× 𝑟1

𝛾 × 𝑄 𝑔 × 𝑣2cos 𝑎2

𝛾 × 𝑄

𝑔 × 𝑣2cos 𝑎2× 𝑟2

𝑇 =𝛾 × 𝑄

𝑔 𝑣2𝑟2cos 𝑎2− 𝑣1𝑟1cos 𝑎1 𝑇 = 𝑟 × 𝐹 =𝑑

𝑑𝑡𝑟 × 𝑚𝑉

𝑇 × 𝜔 =𝛾 × 𝑄

𝑔 𝑣2𝑟2cos 𝑎2𝜔 − 𝑣1𝑟1cos 𝑎1𝜔

=𝛾 × 𝑄

𝑔 𝑢2𝑣2cos 𝑎2− 𝑢1𝑣1cos 𝑎1

𝑚 = 𝑄𝜌 =𝑄𝛾 𝑔 𝑑𝑚

𝑑𝑡

 가정: 회전차 깃의 두께가 무한히 얇고 깃수가 무한히 많은 이상적인 경우 즉, 회전차 속의 유선과 깃의 모양이 일치하는 경우

Centrifugal pump

Theory: Theoretical head

부여된 에너지를 받은 물이 중력을 이겨내어 상승할 수 있는 최대의 이론 양정 𝑇 × 𝜔 =𝛾 × 𝑄

𝑔 𝑣2𝑟2cos 𝑎2𝜔 − 𝑣1𝑟1cos 𝑎1𝜔

=𝛾 × 𝑄

𝑔 𝑢2𝑣2cos 𝑎2− 𝑢1𝑣1cos 𝑎1

물에 부여되는 에너지 (동력)

𝐻𝑡ℎ∞=1

𝑔𝑢2𝑣2cos 𝑎2− 𝑢1𝑣1cos 𝑎1

𝛼1= 90° 이라 간주하면 𝐻𝑡ℎ∞=1

𝑔𝑢2𝑣2cos 𝑎2

원심펌프의 기본식 (Fundamental equation)

Centrifugal pump

Theory: Hydraulic efficiency

 실제 펌프는 마찰, 유한한 깃의 개수와 같이 이상적인 상황을 만들 수 없으므로 최대이론양정을 얻을 수 없다 실제 펌프가 작동하는 총양정: 압력계 수두와 이론수두의 관계

𝐻𝑚= 𝜂ℎ× 𝐻𝑡ℎ∞

𝐻𝑡ℎ∞=1

𝜂ℎ× 𝐻𝑚 𝜙 =1

𝜂ℎ

저항계수 (Coefficient of resistance)

 실제는 깃수가 유한하다

회전차의 출구에서의 상대속도각 𝛽

가 깃 출구각보다 작다 회전차의 출구에서의 절대속도도 𝑣

로 감소하여 유출각 𝛼

는 커진다

(Hydraulic efficiency)

𝜷𝟐′

𝜶𝟐′

𝒗_𝟐^{′ 𝐻𝑡ℎ=}

1

𝑔𝑢2𝑣′2cos 𝑎′2− 𝑢1𝑣′1cos 𝑎′1 이라 가정하면 𝛼′1= 90°

𝐻𝑡ℎ∞=1 𝑔𝑢2𝑣′2cos 𝑎′2 𝐻𝑡ℎ∞=1

𝑔𝑢2𝑣2cos 𝑎2− 𝑢1𝑣1cos 𝑎1

𝐻𝑡ℎ∞=1 𝑔𝑢2𝑣2cos 𝑎2 𝛼1= 90° 이라 간주하면

최대이론양정 실제이론양정

Centrifugal pump

Theory: 원주속도의 결정

 소요 양정을 얻는데 필요한 원주속도의 결정 → 회전차 속도 및 동력의 결정

𝑔𝐻𝑡ℎ∞= 𝑔𝜙𝐻𝑚= 𝑢2𝑣2cos 𝑎2− 𝑢1𝑣1cos 𝑎1 𝑔𝐻𝑡ℎ∞= 𝑔𝜙𝐻𝑚= 𝑢2𝑣2cos 𝑎2 𝛼1= 90°

𝑣2cos 𝑎2=𝑔𝜙𝐻𝑚 𝑢2 = 𝑣2𝑚cot 𝑎2 𝑣2𝑚= 1

cot 𝛼2𝑣2cos 𝑎2=𝑔𝜙𝐻𝑚

𝑢2 ∙ tan 𝛼2 𝑢2=𝑔𝜙𝐻𝑚

𝑣2𝑚 ∙ tan 𝛼2= 𝑣2𝑚(cot 𝛼2+ cot 𝛽2) 𝑣2𝑚= 𝑢2

(cot 𝛼2+ cot 𝛽2) 𝑢2= 𝑔𝜙𝐻𝑚∙ tan 𝛼2(cot 𝛼2+ cot 𝛽2)

𝑢2

𝑢= 𝑔𝜙𝐻 ∙ 1 +tan 𝛼2 𝐻𝑡ℎ∞=1

𝑔𝑢2𝑣2cos 𝑎2− 𝑢1𝑣1cos 𝑎1 𝐻𝑡ℎ∞=1 𝑔𝑢2𝑣2cos 𝑎2

실제 펌프에서는 𝛼₁< 90°이므로 소요 압력계수두를

Centrifugal pump

Theory: 원심펌프의 제 2 기본식

 회전차 입구 및 출구에서의 속도 삼각형

𝑊12= 𝑉12+ 𝑢12− 2𝑉1𝑢1𝑐𝑜𝑠 𝛼1= 𝑉12+ 𝑢12− 2𝑢1𝑉𝑢1

𝑊22= 𝑉22+ 𝑢22− 2𝑉2𝑢2𝑐𝑜𝑠 𝛼2= 𝑉22+ 𝑢22− 2𝑢2𝑉𝑢2 cosine 제 2법칙

𝑉1𝑢1𝑐𝑜𝑠 𝛼1=𝑉12+ 𝑢12− 𝑊12 2

𝑉2𝑢2𝑐𝑜𝑠 𝛼2=𝑉22+ 𝑢22− 𝑊22 2

𝐻𝑡ℎ∞=1

𝑔𝑢2𝑣2cos 𝑎2− 𝑢1𝑣1cos 𝑎1

𝐻𝑡ℎ∞=1

2𝑔𝑉22+ 𝑢22− 𝑊22− 𝑉12− 𝑢12+ 𝑊12 𝐻𝑡ℎ∞=𝑉22− 𝑉12

2𝑔 +𝑢22− 𝑢12

2𝑔 +𝑊12− 𝑊22

2𝑔 원심펌프의 제 2기본식

Centrifugal pump

Theory: 원심펌프의 제 2 기본식

𝐻𝑡ℎ∞=𝑉22− 𝑉12

2𝑔 + 𝑢22− 𝑢12

2𝑔 + 𝑊12− 𝑊22

원심펌프의 제 2기본식 2𝑔

절대속도 변화에 의한 수두의 증가

유체가 깃 사이를 흐르는 동안에 일어나는 상대속도

변화에 의한 수두의 증가 원심력의 작용에

의한 수두의 증가

속도수두 압력수두

𝑃𝑑− 𝑃𝑠

𝛾 =𝑢22− 𝑢12

2𝑔 +𝑊12− 𝑊22

2𝑔 𝐻𝑡ℎ∞=𝑉22− 𝑉12

2𝑔 +𝑃𝑑− 𝑃𝑠

𝛾

𝐻𝑡ℎ∞=1

𝑔𝑢2𝑣2cos 𝑎2− 𝑢1𝑣1cos 𝑎1

원심펌프의 기본식

 원심펌프에서는 최대이론양정이 중요한 인자이며, 양정은 회전차의 설계에 영향을 받기 때문에 회전차의 속도 및 형상이 중요하다.

Centrifugal pump

Theory: 출구각과 양정의 관계

 깃 형상은 입구 및 출구각 𝛽1 및 𝛽2 에 의하여 결정된다.

 회전차의 중간부분은 마찰과 충격이 가급적 적도록 유로를 단축하고 단면적도 점진적으로 증가시켜 유동을 완만하게 유도할 수 있는 길이를 주면 된다.

 출구각 𝛽2는 펌프 성능을 좌우하며, 회전차가 물에 부여하는 수두를 압력의 형태로 하느냐 속도의 형태로 하느냐의 비율을 결정하는 중요한 인자  그러므로, 출구각 𝛽2의 변화가 압력수두 및 속도수두, 나아가서는 전양정에 영향을 미치며, 이는 회전차 설계 있어서 매우 중요하다  일반적인 원심펌프는 14° < β2< 30° 정도

𝑣2𝑢= 𝑣2𝑐𝑜𝑠 𝛼2= 𝑢2− 𝑤2𝑢= 𝑢2− 𝑣2𝑚𝑐𝑜𝑡 𝛽2 𝐻𝑡ℎ∞=𝑢22

𝑔−𝑢2∙ 𝑣2𝑚∙ 𝑐𝑜𝑡 𝛽2 𝑔

회전차의 회전수 N을 일정하게 하면 출구각의 값에 따라 양정과 유량과의 관계를 알 수가 있다.