A Case study on the Validity Review of the Problem Solving Process of Elemetary $5^{th}$ graders

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초등학교 5학년 학생들의

문제해결 과정의 타당성 검토 활동에 관한 사례연구

박 지 연 (청주서경초등학교)

박 영 희 (청주교육대학교

)

^✝

Ⅰ. 서 론

수학은 단순히 사실, 절차, 규칙, 공식 등을 모아 놓은 것이 아니라 창의적으로 생각하고 논리적으로 사고하며 의사소통이 필요한 문제를 해결하는 하나의 탐구과정이 다(Baroody & Coslick, 1998). 따라서 수학교육 대부분 의 과정은 문제해결을 통해 이루어지며, 문제해결 교육 은 수학교육의 본질적인 부분이라 할 수 있다.

문제해결에 관한 연구는 지금까지 다양하게 이루어져 왔으며 최근에는 문제해결에서 반성적 사고의 중요성이 강조되면서 이에 대한 연구가 활발히 이루어지고 있다.

특히 NCTM(2000)은 ‘학교수학을 위한 원리와 규준’에서 효율적인 문제해결자는 자신이 하고 있는 것을 끊임없이 점검하고 조정하여 전략을 수정하며, 이러한 반성적 기 술은 이를 지지하는 교실 환경에서 개발될 수 있다고 하 였다. 우정호(2000)도 수학적 사고 발달의 동인은 자신 또는 다른 사람의 수학 하는 활동을 반성하는 것이며, 수학교육의 주요 문제는 자신이나 다른 사람의 실제적 또는 정신적인 수학적 활동을 반성하도록 어떻게 자극 할 것인가의 문제로 귀착된다고 하였다.

문제해결력을 기르기 위하여 많은 문제를 풀고 얼마 나 맞았는지 확인하는 것으로는 가능하지 않다. 자신의 문제해결 과정을 되돌아보고 잘못한 것을 스스로 확인하 는 과정을 의식적으로 거쳐야만 문제해결력이 길러질 수

* 접수일(2012년 4월 16일), 수정일(2012년 6월 13일), 게재 확정일(2012년 8월 20일)

* ZDM분류 : D52

* MSC2000분류 : 97D50

* 주제어 : 초등수학, 문제해결 과정의 타당성 검토, 서술형 문제

✝ 교신저자 : [email protected]

있다(박교식, 2003). 하지만 자신의 풀이 방법에서 오류 를 찾는 것은 상당히 어려우므로 문제를 다른 방법으로 해결해 보는 것도 필요하다. Koszalka, Song, Grabowski(2002)도 발달의 변화를 많이 경험하게 되는 어린 학생들에게 반성적 사고를 촉진시키는 것은 특히 중요하나 학생들에게서 반성적 사고가 자발적으로 이루 어지지는 않는다고 하였다. 따라서 의미 있고 구체적인 사고 전략이 필요하다고 하였다. 즉, 문제해결 상황에서 반성적 사고를 자극하고 촉진시키기 위한 구체적이고 실 천적인 방안의 마련이 요구된다 하겠다.

문제해결력을 기르기 위하여 수학적으로 사고하는 것 이 필요한데, 수학적으로 사고한다는 것은 자신이나 다 른 사람의 수학적 활동을 의식적으로 반성하는 것이다.

이봉주(2009)는 이렇게 수학적으로 사고함을 강조하면서 특히 수학적 사고 태도를 길러주기 위해서 학생들에게 수학 학습 과정을 반성할 수 있는 기회와 수학과 수학적 활동에 대해 이야기하고 토론할 수 있는 기회를 제공하 여야 한다고 하였다.

2007년 개정 수학과 교육과정에서는 5, 6학년 규칙성 과 문제해결 영역에서 ‘문제해결 과정의 타당성 검토하 기’를 신설하였다. ‘문제해결 과정의 타당성 검토하기’란 주어진 문제를 해결하기 위해 적절한 해결 방법을 선택 하여 해결하게 한 후, 문제를 정확하게 이해하였는지, 문 제해결 방법은 잘 선택했는지, 해결과정에서 잘못된 것 은 없었는지, 또 정확한 방법으로 문제를 해결하였는지, 문제 상황에 맞게 답하였는지를 검토하는 것이다(교육과 학기술부, 2008).

하지만 아동이 자신의 문제해결 과정을 되돌아보고 오류를 스스로 발견하는 것은 어려운 일이다(박교식, 2003). 따라서 교사의 적절한 지도가 중요한데 교사가 학생의 문제해결의 반성을 유도하는 수업을 계획하고 진

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행하기 위하여 학생들의 사고특성을 알 필요가 있다. 이 를 위하여 김혜정(2005)은 다른 학생들의 문제해결과정 의 검토 및 수정 활동에서 나타나는 학생들의 사고 특성 을 알아 보았다. 본 연구에서는 자신의 문제해결 과정에 대한 타당성을 따져보기 이전에 다른 아동의 문제해결 과정을 면밀히 살펴보고 그 타당성을 검토하는 활동을 거침으로써 자연스럽게 자신의 풀이에 대한 검토와 반성 이 이루어지도록 활동의 범위를 확대하였다.

즉, 본 연구에서 말하는 ‘문제해결 과정의 타당성 검 토 활동’이란 다른 친구의 해결지에 드러난 문제해결 과 정의 타당성에 대한 개별 검토와 모둠 토의, 이를 바탕 으로 한 자신의 문제해결 과정의 타당성 점검 및 반성의 전 과정을 의미한다. 이에 본 연구에서는 문제해결 과정 을 서술하고 그 타당성을 검토하는 ‘문제해결 과정의 타 당성 검토 활동’의 절차를 구안하고 적용하여 이때 나타 나는 학생들의 사고 특성을 분석하고자 한다. 나아가 문 제해결 과정의 타당성 검토 활동이 아동의 문제해결 과 정의 서술에 미치는 영향을 조사함으로써 수학과 교수- 학습에의 시사점을 마련하는데 주요 목적이 있다.

Ⅱ. 이론적 배경 및 선행 연구 고찰

Schoenfeld(1980)는 에서 Polya가 제시한 네 단계를 바탕으로 다섯 단계의 문제해결 과정을 제시하고 있다.

Schoenfeld의 계획, 탐구 단계는 Polya의 계획의 작성 단계와 같은 영역이며, Schoenfeld 문제해결 단계의 핵 심부분이라 할 수 있다. 그리고 검증 단계는 Polya의 반 성 단계와 비교하여 생각할 수 있다. 한국교육개발원 (1985)에서는 여러 연구와 학자들이 제시한 문제해결 과 정을 종합하여 문제해결 과정을 뚜렷하게 구분하고 교실 수업에서 문제해결 지도를 용이하게 하기 위하여 문제 해결 과정을 문제의식, 문제이해, 계획수립, 계획실행, 반 성의 5단계로 구분하였다. 대부분의 문제 해결과정들이 문제를 이해하고, 해결 계획을 세우고 실행하며, 반성하 는 Polya의 문제 해결 4단계와 비슷한 흐름을 보이고 있 다. 따라서 본 연구에서는 문제해결 과정을 Polya의 문 제 해결 4단계로 규정하고 연구 활동에서 나타나는 아동 사고의 특징을 분석하고자 한다.

본 연구와 관련하여 문제해결에서의 반성적 사고과정

과 반성활동지도에 대한 선행연구들을 살펴보고자 한다.

문제해결과 직접적으로 관련된 메타인지적 활동을 제 시한 이봉주(2002)는 문제 이해와 해석, 문제를 푸는 구 체적인 방법과 전략, 풀이 과정의 감시, 문제 실행에 대 한 평가를 중점으로 메타인지 활동을 안내하였다. 반성 단계에 해당하는 메타인지적 활동으로 풀이 절차 확인하 기, 계산 점검하기, 다른 방법으로 문제 풀기, 중요한 정 보 기록하기 등을 제시하였다.

장선명(2004)은 삼각형의 성질 단원을 학습하는 과정 에서 반성활동이 이루어지도록 수학 학습 자료를 개발하 였다. 그리고 개발된 학습 자료를 학습자에게 투입하여 유도된 학습자의 사고 반응을 분석하였다. 또한 반성 활 동으로 결과 점검 활동, 조건 변형 활동, 결과 도출 활 동, 결과 활용 활동 등을 제시하고, 반성을 위한 교수- 학습 모형을 제시하였다.

김정은(2011)은 초등학생에게 적용할 수 있는 반성활 동에 대한 지도 방안을 제시하였다. 해답의 타당성 확인 하기와 결과를 활용하기, 문제 확장하기에 관한 지도를 중심으로 반성활동 수업을 구안․적용하였다. 그리고 반 성활동에 대한 수업을 분석하고 아동들의 반성활동 실태 를 조사하였다.

조작적 활동 중심, 반성적 사고, 의사소통 활동을 상 호 유기적으로 수업에 적용할 수 있는 방안의 하나로써 상호교류적 쓰기-반성 활동 수업 모형을 구안하여 적용 한 윤정민(2005)의 연구 결과 상호교류적 쓰기-반성 활 동은 학습 수준이 낮은 학생들의 학업 성취도에 효과적 이었고, 학생들의 수학적 성향에 긍정적인 영향을 미쳤 음을 알 수 있었다.

반성적 질문이 들어간 문제지를 제작․적용하여 그 효과를 알아보는 실험을 한 김지연(2009)은 풀이 검토하 기, 풀이 과정에서 사용한 성질 또는 정리 기록하기, 다 른 풀이 제시하기, 비슷한 문제 만들기, 문제를 통해 배 운 것 기록하기 등의 반성적 질문이 들어간 문제지를 제 작하고 실험집단에 적용하여 비교집단과의 성취도 차이 를 분석하였다. 그 결과 반성활동은 수학 학업 성취도에 있어 상위 집단과 중위 집단에는 긍정적인 영향을 미쳤 지만 하위 집단에는 긍정적인 영향을 주지 못한 것으로 나타났다. 그리고 수학적인 융통성과 의지, 반성 등 학생 들의 수학적인 성향에서는 실험집단과 비교집단사이에

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유의미한 차이가 있는 것으로 나타났다.

반성의 한 방법으로써 말하기에 초점을 맞추고 자신 의 수학 문제해결 과정을 설명하는 활동이 문제해결에 미치는 영향을 알아본 윤정욱(2011)의 연구 결과 문제해 결 과정을 설명하는 활동은 학생들로 하여금 자신의 문 제해결 과정에 대해 의심하고 검토하며, 문제해결 과정 중에 잘못된 부분을 인지하고 수정하여 말하게 하는 인 지적 작용을 수반하였다. 또한 정의적인 측면에서 문제 해결 과정을 설명하는 활동은 학생들이 자신의 문제해결 과정을 설명해냈다는 것에 대한 성취감과 만족감을 느끼 게 하여 문제해결에 대한 자신감과 동기를 부여하는 긍 정적인 결과를 가져왔다.

반성과 비슷한 맥락으로 조정이 문제해결에서 중요한 역할을 함을 보여준 조두경(2007)의 연구에서는 조정이 발견 전략을 선택하는 상황과 문제해결 과정에 영향을 주어 문제해결을 성공 또는 실패로 이끌기도 함을 보였 다. 이를 통해 학교 수학교육에서는 학생들이 자신의 오 류 부분을 인지하며 고쳐 나가고, 더 좋은 방법의 선택 과 더 좋은 해결과정으로 수정할 수 있는 조정 능력을 키워주는 교육할 필요가 있음을 제기하였다.

반성을 활성화 하기 위한 한 방안으로 학생이 자기보 고서를 작성하도록 한 이봉주(2007)는 학생으로 하여금 먼저 문제해결 안내자료(Forfunation et al. (1991)의 메 타인지 질문을 수정․보완한 자료)를 읽고 난 후에 문제 를 풀도록 하고, 문제 해결 과정에서 가진 자신들의 느 낌, 생각, 태도, 행동 등에 관한 자기보고서를 작성하도 록 하였다. 그 결과 문제해결 과정에서 이루어지는 학생 의 자기평가가 학생 자신의 부족한 부분을 반성하고 자 신의 강점을 강화할 수 있는 기회가 되며, 자신의 문제 해결력에 대한 자신감을 더욱 증가시켰고, 수학 문제해 결을 즐기는 문제해결자가 되었음을 보여주었다. 또한 자기보고서를 이용한 학생의 자기평가는 교사에게 학생 의 문제해결 수행 과정에 대한 구체적인 정보를 제공하 며, 문제해결 맥락 안에서 연습을 통하여 학생의 자기인 식과 자기검토 능력을 활성화시킴으로써 정형화된 문제 뿐만 아니라 비정형화된 문제, 탐구형 문제, 실생활에서 부딪히는 문제를 해결하는 데에도 도움을 줄 수 있다고 하였다.

이와 같이 선행 연구들을 고찰한 결과 문제해결 과정 에서 반성활동을 다양하게 구안하고 적용할 수 있으며, 반성활동을 진행하는 동안 아동은 반성적 사고과정을 거 치게 되고 이는 문제해결력 향상과 수학 성취도 향상에 긍정적인 영향을 미친다는 것을 알 수 있었다. 하지만 이러한 결과만으로는 반성활동을 진행하는 동안 아동들 이 구체적으로 어떠한 사고 양상을 보이는지, 반성학습 의 어떤 요인이 어떻게 학생들의 성취도에 긍정적인 영 향을 미쳤는지 알기 어렵다.

따라서 본 연구에서는 반성활동의 일환으로 문제해결 과정의 타당성을 검토하는 활동을 구안․적용하고 이때 나타나는 아동 사고의 특성과 추후 문제해결의 서술 양 상을 분석함에 있어, 활동 전과 후의 학업 성취도 차이 를 알아보는 정량적인 분석보다는 활동 중에 나타나는 아동들의 사고 특성 및 서술 양상을 알아보는 정성적인 분석을 통한 연구를 진행하였다.

III. 연구 방법 및 절차

1. 연구대상

본 연구는 충청북도 청주시에 소재하고 있는 S초등학 교 5학년 8개 반 253명의 학생들 중에서 4명을 선발하여 진행되었다. 연구 대상자는 수학 학업 성취도를 기준으 로 아동들의 수준을 나눈 후 예비검사를 토대로 선정하 였으며, 효과적인 소집단 토의 학습이 이루어 질 수 있 도록 상 수준인 아동 2명, 중상 수준인 아동 1명, 중하 수준인 아동 1명으로 구성하였다.

아동들의 수준은 5학년 진단평가와 1학기 단원평가 점수의 평균을 기준으로 90점 이상은 상, 80점 이상 90 점 미만은 중상, 70점 이상 80점 미만을 중하 수준으로 구분하였다. 본 연구에 참여한 학생들의 구체적인 정보 는 <표 1>과 같다.

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자료번호 서술형 문제

1

10월

일 월 화 수 목 금 토

1

2 3 4 5 6 7 8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

승연이와 경은이, 주희는 도서관에서 시행하고 있는

‘초등학생을 위한 도서관 프로그램’에 참여하기로 하였 습니다. 승연이는 3일에 한 번씩, 경은이는 4일에 한 번씩, 주희는 6일에 한 번씩 참여하는 프로그램에 등 록하였습니다. 도서관의 모든 프로그램은 토요일, 일요 일 및 공휴일에도 쉬지 않고 계속 진행된다고 합니다.

아래의 달력은 승연이, 경은이, 주희가 도서관 프로그 램에 등록한 첫 달인 2005년 10월의 달력입니다.

이들 세 사람이 참여한 프로그램들은 모두 10월 1일 토요일에 시작하고, 12월 31일까지 진행된다고 합니다.

이들이 10월 1일에 처음으로 함께 도서관에 갔다면, 첫날을 포함하여 도서관에 몇 번을 함께 갈 수 있을까 요? 풀이과정을 설명해 보세요.

<표 2> 서술형 문항의 예 아동

(성별) 특징

상 수준 A (남)

수학과 관련된 책 읽기를 좋아하며 배움에 적극 적이다. 자신이 알고 있는 것을 드러내기를 좋아하 고 발표하는 것을 즐기는 반면 생각을 글로 정리하 는 것을 어려워하는 편이다. 수학 평균 점수는 95점 이상이며 남들이 어려워하는 수학 문제를 해결하기 위해 고민하는 것을 좋아한다.

상 수준 B (여)

자신의 의사표현을 당당하게 하며 글로 정리하는 습관이 잘 형성되어 있다. 문제를 풀 때 주로 식을 세워 해결하는 방법을 선호하는 편이며 수학에 대한 흥미도가 높다. 수학 평균 점수는 93점 정도로 성취 도가 높은 편이나 서술형 평가에 대한 두려움을 가 지고 있다.

중상 C (남)수준

다른 과목에 비해 수학성적이 높은 편으로 평균 점수는 87점 정도이다. 자신의 생각을 글로 표현하 는 것을 어려워한다. 문제를 푸는 과정보다는 정답 인지 아닌지에 치중하며 점수에 유난히 집착하는 경 향이 있다.

중하수준 D (남)

수학을 잘 하고 싶어 하고 배우고 싶어 한다. 수 학 평균 점수는 78점 정도로 문장제 문제해결의 경 우 문제를 이해하는데 시간이 많이 걸리는 편이며 문제파악이 힘든 경우 또한 더러 있다.

<표 1> 연구 대상자

2. 연구 방법 및 절차

가. 문항 제작 및 활동지 개발

본 연구를 위하여 아동의 사고과정과 문제해결 과정 이 잘 드러날 수 있는 서술형 문항을 제작하였다. 총 7 개의 문항 중 4문항은 조미경(2007)이 개발한 수학과 서 술형 수행평가 문항을 활용하였고, 다른 3문항은 5학년 수학-가 교과서 및 교사용 지도서를 참고하여 수학교육 전문가의 검토를 거쳐서 제작하였다. 그리고 서술형 문 항에 따라 아동 스스로 자신의 사고과정이나 문제해결 과정을 기술할 수 있는 활동지를 제작하여 투입하였다.

연구자가 아동들에게 제시한 서술형 문항 유형은 <표 2>와 같고 1차, 2차, 3차 활동지의 예를 <그림 1>, <그 림 2>, <그림 3>에 각각 제시하였다.

<그림 1> 문제해결을 위한 1차 활동지 예시

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<그림 2> 검토를 위한 2차 활동지 예시

<그림 3> 반성을 위한 3차 활동지 예시

나. 검토 자료 선정

먼저 연구 대상 아동들이 속해 있지 않은 세 개의 학 급을 선정하여 서술형 평가 문항이 적힌 1차 활동지를 작성하도록 하였다. 문제해결 과정이 드러나도록 구체적 으로 서술할 것을 사전에 안내하였고, 필요하다고 생각 되는 부분에 설명을 곁들여 기록하면서 문제를 해결하도 록 하였다. 그리고 아동들이 해결한 문제지 중 풀이 방 법이 독특한 정답지, 오류가 있는 오답지가 골고루 포함 되도록 연구자가 사전 검토하여 연구 활동을 위한 투입 자료를 선정하였다.

다. 연구 활동의 실행

6월 23일부터 8월 4일까지 매주 목요일에 방과 후 시 간을 이용하여 문제해결 과정의 타당성 검토 활동을 진 행하였다. 한 번의 활동을 위해 적게는 90분에서 많게는 120분가량의 시간이 소요되었다.

아동들은 본격적인 검토 활동의 시작에 앞서 투입자 료에 제시된 문제와 동일한 문제를 풀어보는 시간을 가 졌으며 문제해결 과정이 드러나도록 1차 활동지를 작성 하도록 하였다. 이후 연구 대상 아동들은 모둠 형식으로 둘러앉아 선정된 검토 자료를 바탕으로 각자 검토 활동 을 시행하며 2차 활동지를 작성하였다.

아동이 문제를 해결하고 또 검토하는 과정에서 어떤 사고 과정을 거치는지 직접 들여다보는 것은 불가능하므 로, 자신의 생각을 활동지에 적고 말로 표현하도록 하였 다. 또한 연구 대상자의 수학적 의사소통을 관찰하고 보 다 적극적인 참여를 유도하기 위해 토의하는 시간을 갖 도록 하였다. 활동지에 기록한 내용을 바탕으로 문제해 결 과정의 타당성을 논의하는 토의 활동을 진행하였고, 토의 과정에서 나온 다른 친구의 의견에 대한 비평도 함 께 이루어지도록 하였다. 서로의 아이디어를 공유하고 토의하는 과정 속에서 아동 개개인에게 더 많은 학습 기 회를 제공할 수 있었다.

검토 활동 후 아동 자신의 문제해결 과정에 대한 반 성과 그에 따른 변화를 알아보기 위하여 3차 활동지 작 성과 함께 수시 면담을 실시하였다.

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평가준거 문제이해 문제해결과정 의사소통

의미

-문제 속에 내포 된 수학적 개 념을 이해하는 정도

-문제를 해결하 기 위해 문제 에 제시된 정 보를 이해하고 활용하는 정도

-문제해결 전략 을 세워 실행하 는 정도의 정확 성

-전략 수행 후, 문제 상황에 맞 게 답을 기술하 거나 해석하는 정도

-풀이과정에 드러 난 수학적 내용 과 아이디어, 기 호 등의 표현이 정확 혹은 명확 하거나 세련된 정도

-문제해결 과정의 설명이 충분한가 의 정도

<표 3> 서술형 평가의 평가 준거 3. 자료 분석

문제해결 과정의 타당성 검토 활동에서 나타나는 ‘아 동 사고의 특성’을 알아보기 위하여 지필 활동지와 토의 활동에서 나타나는 의사소통 내용, 면담자료를 분석하였 다. 활동의 전 과정을 녹화한 자료에 대한 트랜스크립트 를 만들어 특징적인 에피소드를 중심으로 아동 사고의 특성을 분석하였다. 토의 활동은 참여 아동들의 상호작 용을 통해 이루어졌으므로 아동 사고의 특성을 아동 개 인별로 독립하여 분석하기 보다는 문제해결 단계별로 나 타나는 사고의 특성에 초점을 맞추어 분석하였다. 아동 사고의 특성을 Polya의 문제해결 4단계에 따라 문제 이 해와 관련된 측면, 계획의 수립과 관련된 측면, 계획의 실행과 관련된 측면, 반성과 관련된 측면으로 나누어 분 석하고 정리하였다.

아동의 1차 문제해결지를 이용하여 ‘아동의 문제해결 과정 서술의 변화’를 분석하였다. 연구 대상 아동들은 문 제해결 과정의 타당성 검토 활동을 진행하는 과정에서 매회 마다 검토지에 제시된 문제와 동일한 문제를 풀어 보는 시간을 가졌다. 따라서 문제해결 과정의 타당성 검 토 활동의 진행에 따라 아동의 문제해결 과정의 서술에 어떠한 변화가 있는지를 면밀히 관찰하고 아동의 학업성 취 수준별로 나누어 분석하였다. 1회부터 7회까지 종적 으로 이루어진 아동 개개인의 문제해결 과정에 대한 서 술(1차 문제해결지)은 김민경 외(2008)에 제시된 서술형 평가에서의 평가 준거에 따라 분석하였다. 평가 준거의 구체적인 내용은 <표 3>과 같다.

Ⅳ. 결과 분석

1. 문제해결 과정의 타당성 검토 활동에서 나타나는 아동 사고의 특성

가. 문제이해와 관련된 측면

아동들은 문제를 성공적으로 해결하기 위해 문제에서 구하려고 하는 것이 무엇인지, 조건이 무엇인지를 파악 하려는 사고의 특성을 나타내었다. 또한 아동들은 문장 제 문제의 해결에 있어 문제를 여러 번 읽고 자기 나름 의 방법으로 재정리하는 것이 문맥을 이해하고 재해석하 는데 도움이 된다고 생각하는 모습을 보였다.

〔장면 1〕문제의 문맥 파악하기

: 문장제 해결에 있어 문맥 파악의 오류를 범한 해결 지 검토

C: ‘가’ 친구는 문제를 잘못 이해한 것 같아요. 문제가 좀 길긴 하지만 잘 요약해 보면 문제에서는 분명 민수의 물을 민정이의 물통으로 옮겨 담았다고 했 어요. 풀이에서 민수를 민정으로 우선 고치고 처음 부터 다시 시작해야 해요.

A: 저도 C의 의견과 비슷한데요, ‘가’ 친구는 민정이 의 물통을 민수의 물통으로 거꾸로 쓰고 있어요.

그리고 이건 곱하기 문제가 아니라 덧셈 뺄셈으로 계산해야 하는데 식을 잘못 세웠네요. 문제를 다 시 보면 

리터의 

이 아니라 그냥 단순히 물



리터인데 말이죠.

D: ‘가’는요, 문제 파악부터가 틀렸어요. 앞에 하나가 틀려서 끝까지 다 틀어진 거죠. 저도 예전에는 이 런 실수를 많이 해서 문장제 문제 푸는 것을 싫어 했어요. 그래서 이 친구에게 문제를 풀 때 출제자 의 의도를 생각하면서 문제를 꼼꼼하게 다시 읽어 보라고 말해주고 싶어요.

B: ‘가’는 숫자들에 너무 신경을 쓰다보니깐 문제를 잘못 해석한 것 같아요. 하지만 아래에 “민수의 물통 + □리터 = 민정이의 물통 - □리터” 이렇게 식으로 문제를 다시 정리하고 아래에 풀이를 한 것은 좋다고 생각해요.

A: 문제가 길어서 파악이 잘 안된다면 이런 문제의 경우 그림을 그려보는 것도 좋을 것 같아요. 전 그림을 그리면서 문제를 정리했거든요. 직접적인 문제해결에는 도움이 안 될지 모르지만 문제를 이

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해하기에는 쉽던걸요.

B: 응. 그것도 좋을 것 같네. 저도 A의 의견에 동의해 요.

〔장면 1〕에서 아동들은 문제이해의 중요성 뿐 아니 라 문제를 바르게 파악하기 위해서는 어떻게 해야 하는 지에 대해서도 토의하는 모습을 보였다. A의 경우 자신 의 경험을 떠올리며 친구들에게 문제를 쉽게 파악하는 팁을 알려주기도 하였다. D는 자신 또한 문장제 문제를 해결할 때 숫자에 초점을 두어 자기 마음대로 재해석하 는 실수를 많이 했기 때문에 문제 읽기에 더욱 신중해야 한다는 신념을 나타냈다. 나머지 아동 또한 문맥을 제대 로 파악하고 해석하기 위해서는 문제를 여러 번 읽어보 고 나름대로의 방법으로 재정리 하는 것이 필요하다고 이야기하였다.

나. 계획의 수립과 관련된 측면

아동들은 문제해결 전략의 적절성을 판단하고 효율적 인 문제해결을 위해 다양한 전략을 검토하는 모습을 보 였으며, 문제 유형에 따라 가장 적합한 해결방법을 찾으 려고 하는 특성을 나타냈다. 활동 초반에 아동들은 식을 세워서 문제를 해결하는 것이 가장 합리적이라 생각하였 으나, 문제해결의 다양한 전략들을 검토하는 과정에서 각기 다른 해결 전략의 장단점을 파악하고 문제 유형에 따라 최적화된 전략을 탐구하는 모습을 나타냈다.

〔장면 2〕해결 전략의 적절성 판단하기

: 그림을 그려서 분수의 크기를 비교한 활동지(<그 림 4>) 검토

문제: 테이블 위에는 숫자 2, 3, 4, 5가 쓰여 있는 네 장의 숫자 카드가 뒤집어져 놓여 있습니다. 이 중에 서 무작위로 두 장을 뽑아 한 장은 분모, 다른 한 장 은 분자로 하는 분수를 만들려고 합니다. 이렇게 하 여 만들 수 있는 분수들 중에서 

보다 크고 1보다 작은 분수들을 찾아서 써 보고 어떻게 찾았는지 그 과정을 설명해 보세요.

<그림 4> 적절하지 못한 해결전략 수립의 오류

C: 그림을 그려서 문제를 해결했네요. 그림을 그리니 깐 한 눈에 쏙 들어오는데요. 하지만 정확한지는 모르겠어요.

B: 그림을 그려서 간단하기는 한데 왠지 명확하지 않 아요. 정답이 맞는지 아닌지도 잘 모르겠어요. 빠 진 분수가 있는지 알아보기 위해서 분수를 순서대 로 다시 배열했으면 좋겠고, 또 음... 그림에다 식 을 덧붙여서 풀이했으면 좋겠어요.

A: 눈으로 딱 봤을 때 

이랑 

랑 별 차이가 없는 것 같아요. 눈으로 봐서 구분이 잘 안 되네요. 분 수는 모두 똑같이 나누어야 하는데 이건 얼핏 보 기에는 비슷하게 나눈 것 같지만 정확하지도 않고 요, 나누는 기준이 달라서 확실한 비교가 힘들어 요. 이런 경우에는 식을 이용해야 할 것 같아요.

그림을 그려서 좋은 경우가 있기도 하지만 이런 경우에는 안 좋을 수 있으니깐 전략을 잘 구분해 서 써야 할 것 같아요.

T: 식을 어떻게 써야 한다는 말인가요?

A: 

이랑 

 같은 경우는 통분을 해서 비교하는 것 이 나아요.

D: A의 말을 듣고 나니깐 무조건 그림을 그려서 풀면 안 될 것 같아요. 무엇이 좋은 방법인지 생각해보 고 선택해서 써야겠어요.

(8)

C: 저도 그렇게 생각해요. 그림으로 풀면 좋은 문제와 식으로 풀면 좋은 문제들을 구별해서 풀면 좋겠어 요.

〔장면 2〕에서 B와 C는 그림이 직관적으로 파악하 기엔 좋지만 정확성을 판단할 수 없다는 것에 동의하고 있었다. 하지만 왜 정확성을 판단할 수 없는지 그 이유 에 대해서는 정확하게 짚어내지 못하였다. 반면 A는 ‘가’

의 풀이처럼 나누는 기준(분모)이 다른 그림일 때에는 크기의 미세한 차이를 발견하기 어렵다는 것을 정확히 알고 있었다. 더불어 이럴 경우에는 분모를 통분하여 정 확한 비교를 할 필요가 있다며 적절한 전략을 제시하는 모습을 보였다.

다. 계획의 실행과 관련된 측면

아동들은 문제에 제시된 조건이나 성질 관계가 바르 게 적용되었는지를 검토할 뿐 아니라 단계별 풀이과정에 의 계산을 점검하면서 수학적 기호 사용의 적절성까지도 판단하는 특성을 보였다. 활동 초반에는 주로 계산 실행 의 정확성 및 계산 결과를 중심으로 검토하는 모습을 보 였으나 시간이 흐를수록 문제해결의 각 단계를 마칠 때 마다 문제로 돌아가 확인해 보거나 이미 실시한 단계를 점검하는 모습을 보였다.

〔장면 3〕수학적 기호 사용의 사용 점검하기 : 등호를 결과로 인식하는 오류를 범하고 있는 활동

지 검토(그림 5)

B: 지난번(6회 검토 활동)에 누가 얼마만큼의 머핀을 먹었는지 헷갈려서 전부 틀려버린 아동 있었잖아 요. 그렇게 되지 않기 위해서 문제를 정확하게 다 시 정리해 준 점이 좋았어요. 그런데 그 다음 식을 쓰면서 ‘=’은 ‘같다’라는 뜻인데 잘못 사용하고 있

어요. 

  

 은 

 × 과 같지 않아요.

A: 아깐 얼핏 보고 장미꽃에 날아간 벌에 대한 계산 자체가 다 틀렸다고 생각했는데 B의 말을 듣고 보니 등호를 잘못 사용하고 있어서 그렇게 느껴진 것 같아요. 저는 풀이의 앞부분만 보고 판단해 버 렸거든요.

〔장면 3〕에서 ‘라’는 a+b=c에서 표준 등호 문맥의 고착으로 등호 개념을 절차구조로 인식하는 오류를 범하 였고 B는 그것을 정확하게 짚어내고 있었다. A 또한 B 의 의견에 동조하며 등호 사용의 오류를 지적하는 모습 을 보였다. 이는 검토 활동이 상 수준의 아동에게는 학 습한 다양한 수학 지식을 활용하는 장이 될 수 있음을 보여준다.

하지만 C와 D는 문제해결 계획과 실행의 적절성을 판단하는 데에 비중을 두고 검토 활동에 임하였으며, 기 호 사용의 오류에는 큰 의미를 두지 않는 듯 A와 B의 발언에 별다른 반응을 보이지 않았다. 특히 C는 사전 문 제해결에서 ‘라’와 같은 등호 사용의 오류를 보였고, 검 토 활동 이후 이루어진 ‘다시 해결하기’에서도 같은 오류 를 반복하는 모습을 보였다. 중 수준의 아동들은 문제해 결 과정의 타당성 검토 활동의 범위를 해답과 연관되는 문제해결 과정으로 한정하였고 이를 수학적 기호 사용의 적절성을 점검하는 것으로 확장하지 못하는 것으로 나타 났다.

라. 반성과 관련된 측면

아동의 특성은 크게 두 가지로 나타났다. 첫 번째로 아동들은 반성을 검산의 의미로 해석하는 경향이 강하였 고, 검산의 중요성을 인정하는 모습을 보였다. 두 번째로 아동들은 자신의 해결전략의 유용한 측면을 의식적으로 인식하거나 더 나은 해결전략을 찾기 위해 고민하는 모 습을 보였고, 처음과 전혀 다른 방법을 이용하여 문제를 재해결하고 전략의 적절성을 비교 분석하는 특성을 보였 다.

〔장면 4〕다른 방법으로 문제 해결하기: 검토 활동 전(1차 활동지: 그림 6)과 후(3차 다시해결하기: 그림 7) 비교

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<그림 6> 검토활동 전

<그림 7> 검토 활동 후

T: 문제를 다시 해결할 때 원래 자신의 답안과 달라 진 점이 있나요?

A: 네. 저는 처음에 분모를 120으로 통분하고 분모가 2일 때, 3일 때, 4일 때, 5일 때 분자가 될 수 있는 수를 차례로 구했어요. 분모 2가 120이 되기 위해 서는 60을 곱해줘야 하니깐 2를 제외한 분자가 될 수 있는 수에 모두 60을 곱하고 문제에서 제시된 분자 75(A는 

를 

 로 바꾸어 생각하고 있었 지만 모든 분수에 분모 120을 쓰지는 않고 분자만 을 비교하고 있었다)보다 작고 120보다 큰 수를

탈락시켰어요. 처음 이 방법도 꽤 괜찮은 방법이긴 한데 다시 풀 때에는 조금 다른 방식으로 풀어봤 어요.

아까 검토한 ‘마’의 해결지가 인상적이어서 그 방 법을 조금 응용했어요. 전체적으로 통분하기 전에

‘마’처럼 예선전을 치뤘다고나 할까요? 

보다 큰

분수니까 

 즉 

보다는 커야겠죠. 그래서 만들

수 있는 진분수 중에서 

보다 작은 분수 

와



를 먼저 탈락시켰어요. 그리고 남은 분수 4개를 1:1로 비교하는 방법으로 풀었어요. 이 방법도 재 미있는 방법인 것 같아요.

A는 사전 문제해결에서 공통분모를 120으로 만들고 분자들의 크기를 비교하는 올바른 방법으로 문제를 해결 하였다. 다만 1보다 작은 진분수를 먼저 찾고 숫자들을 비교하는 것이 아니라 만들 수 있는 모든 분수를 고려한 후 맨 마지막에 1보다 큰 분수를 걸러내는 방식이 다른 친구들과 구별되는 독특한 점이었다. 검토 활동 진행 후 이루어진 ‘다시 해결하기’에서 A는 처음과 다른 방식으 로 문제를 해결하는 모습을 보였다.

 



<□<1임을 이용

하여 1보다 작은 진분수를 먼저 찾아낸 후

 



보다 작은

 



을 1차 기준으로 선정하였고 그에 따라 2개의 진분수

( 

 

)를 배제시켰다. 그 다음 

와 나머지 진분수의 크기를 1대 1로 비교하는 방식을 택하였다. A는 주어진 문제해결에 필요한 수학적 개념을 정확하게 파악하고 있 었고, 그것을 이용하여 간략하면서도 재미있는 방법으로 문제를 다시 해결하려 노력하는 모습을 보였다.

2. 검토 활동의 진행에 따른 아동의 문제해결 과정 서술의 변화

가. 상 수준 아동 A와 B의 문제해결

상 수준의 아동 A와 B는 활동 초반에 문제를 꼼꼼히 읽고 파악하지 않아 문제에 제시된 정보를 부분적으로 활용하거나 조건의 일부를 놓쳐서 실수하는 경우가 더러

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있었다. 하지만 시간이 지날수록 문제를 바르게 파악하 고 문제에 제시된 정보들 중에서 문제해결에 필요한 정 보들을 취사선택하기 위해 중요한 정보에 밑줄을 긋거나 조건을 재정리하는 방법을 이용하였고, 전략수행 과정에 서도 정확한 계산과 문제해결 단계에 따른 실행으로 오 류 없이 문제를 해결하는 모습을 보였다. 문제해결 과정 의 서술에 있어 수학적 개념을 이용하여 일반화 시킬 수 있는 방법을 선택하여 문제를 해결하려는 특징을 나타냈 으나 서술방식에 있어서는 아동의 성향에 따른 차이를 드러내기도 하였다.

(1) 아동 A의 활동 초반과 후반의 문제해결 사례

<그림 8> A의 활동 초반의 문제해결 1회 문제해결에서 A는 문제 속에 내포된 수학적 개 념을 이해하고 적절한 문제해결 전략을 세웠으나 <그림 8>처럼 문제에 제시된 조건을 모두 활용하지 못하는 모 습을 보였다. 모두 함께 하는 날을 구하기 위하여 최소 공배수라는 수학적 개념을 떠올렸고 문제해결을 위해 개 념을 적절하게 활용하였으나, 문제에 제시된 ‘첫 날’을 고려하지 못해 오답에 이르는 결과를 낳았다.

문제해결 과정의 서술을 살펴보면 10월은 31일, 11월 은 30일, 12월은 31일까지 존재함을 알고 이들 날짜의 연속성을 이용하여 문제해결 전략을 세우고 실행하고자 하였음을 알 수 있다. 92일 동안 최소공배수 12가 포함 되는 횟수를 파악하는 것으로 문제를 해결해 나가고 있 으나 해결방식에 대한 구체적인 설명이 부족하여 일부 과정을 추론해야 하는 결과를 가져왔다.

활동이 후반부에 접어들었을 무렵에 A는 문제의 유 형을 파악한 후 여러 가지 문제해결 전략 중 주어진 문

제에 가장 적합한 전략을 탐색하는 특징을 나타냈다. 문 제를 파악한 후 먼저 이전에 이와 비슷한 문제를 푼 경 험이 있는지를 떠올렸고 나머지가 주어지고 처음의 양을 구하는 문제의 경우 거꾸로 풀기 전략이 가장 적절하다 는 판단을 내렸다고 하였다. 그리고 문제해결 전략에 따 라 단계별 문제해결 과정을 구체화시켜 나갔다. 활동 초 반에 비하여 문제해결 과정의 생략 및 논리적인 비약현 상은 현저히 줄어들었으나 계산과 관련된 부분에 있어서 는 여전히 암산을 통한 축약현상이 나타났다. 자신의 1 차 활동지를 검토하는 과정에서 A는 '한 눈에 봐도 계 산이 되지 않느냐'며 직관적으로 사고하는 모습을 보였 고 불필요한 계산 과정의 서술은 시간낭비이며 비효율적 이라고 말하였다.

<그림 9> A의 6회 활동지

A의 문제해결 과정의 서술 중 가장 특징적인 변화는 검토 활동에 관한 것이다. 5회차 연구 활동에서 A는 검 토의 중요성을 재차 강조하였고 이후 이루어진 ‘다시 해 결하기’에서부터 마지막 문제해결에 이르기까지 모든 문 제해결 과정의 서술에 검산 과정을 포함하였다. <그림 9>처럼 6회에서는 계산 결과를 토대로 머핀의 개수를 그림으로 나타낸 후 문제에 따라 먹은 개수를 제하고 마 지막에 남은 개수와 문제에서 제시한 개수를 비교하는 방법으로 얻어진 해답을 검토하는 모습을 보였다.

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(2) 아동 B의 활동 초반과 후반의 문제해결 사례

<그림 10> B의 2차 활동지

활동 초반에 B는 문제를 이해하기 위해 따로 시간과 노력을 투자하지 않았을 뿐 아니라 문제해결에 필요한 수학적인 개념을 파악하지 못한 채 전략을 실행하는 모 습을 보였다.

2회의 문제를 해결함에 있어 <그림 10>처럼 가장 큰 수 20과 가장 작은 수 1을 바탕으로 숫자들을 하나씩 늘 리거나 줄여 나가며 규칙을 찾으려 하였지만 정당화하는 데 실패하고 말았다. 결국 일반화된 문제해결 방식을 찾 지 못했고 해답과 문제해결 과정을 논리적으로 연결하지 못하는 모습을 보였다.

회를 거듭할수록 B는 문제를 신중하게 파악하려 노력 하였으며 문제를 읽고 주어진 조건을 정리하며 해결 전 략을 세우기까지 생각을 정리하는 시간을 가졌다. 이는 활동 초반 바로 문제 풀기에 도전하던 모습과 사뭇 달라 진 모습이었다. 또한 연구 활동을 시작하기 전에 이루어 진 면담에서 B는 문제해결 전략 중 가장 선호하는 전략 은 식 세우기이며 문제를 해결함에 있어 가장 먼저 식을 세우는 방법을 떠올린다고 하였지만 활동이 진행됨에 따 라 다양한 전략을 구사하고 있음을 관찰할 수 있었다.

<그림 11> B의 7회 활동지

마지막 7회에 이루어진 B의 문제해결 과정을 살펴보 면 <그림 11>처럼 먼저 문제에 주어진 조건을 구체화하 여 재정리한 다음 구하고자 하는 것과 연결하여 문제를 해결하고 있음을 알 수 있다. B는 각 각의 꽃에 날아간 벌떼의 양과 나머지 벌떼의 양 사이의 분수 관계, 그리 고 전체는 1이라는 수학적 개념을 이용하여 문제해결을 시도하고 있다. 이번 과제 해결을 통해 풀이에 드러난 수학적 내용과 아이디어, 기호의 사용이 명확하며 문제 해결 과정의 서술 또한 구체적이고 세련되어졌음을 관찰 할 수 있었다.

나. 중상 수준 아동 C의 문제해결

중상 수준의 아동 C는 활동 초반에 문제에 내포된 수 학적 개념을 부분적으로 이해함에 그쳐 완전한 문제해결 로 연결하지 못하였으며 문제해결 과정을 서술함에 있어 논리적인 비약현상을 나타내기도 하였다. 그러나 검토 활동이 진행될수록 문제이해의 중요성을 깨닫고 문제를 정확하게 파악하기 위해 문제에 제시된 정보를 재정리하 는 노력을 보였고, 이것은 문제 이해에 도움을 주어 성 공적인 문제해결을 이끌었다. 또한 문제해결 과정의 서 술에 있어서는 문제해결의 핵심이 되는 부분에 대한 설 명을 덧붙이며 해답에 대한 정당성을 입증하려는 모습을 보였고 축약이나 비약 없이 해결과정을 상세히 서술하려 는 노력이 나타났다.

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(3) 아동 C의 활동 초반과 후반의 문제해결 사례

<그림 12> C의 2회 활동지

<그림 13> C의 7회 활동지

활동 초반에 C는 문제와 관련된 수학적 개념을 부분 적으로 이해하는데 그치고 있었다. <그림 12>처럼 2회 에 제시된 문제를 해결함에 있어 주어진 정보를 옮겨 쓰 는 수준은 넘었지만 문제를 제대로 이해하지 못하고 부 적절한 개념을 활용하는 모습을 보였다. 숫자들의 대입

을 통하여 규칙을 찾으려 노력한 끝에 두 수의 차이가 1 이 되어야 한다는 것을 직관적으로 알아냈으나 해답의 정당성을 입증할만한 수학적 내용으로 연결하지 못하였 고 결국 풀이과정을 서술함에 있어 논리적인 비약을 나 타냈다.

검토 활동이 후반에 이르렀을 때 <그림 13>처럼 C의 문제해결 서술에는 다음과 같은 특징이 나타났다. 첫째, 문제를 이해하고 제시된 정보들 중에서 문제해결에 필요 한 정보들을 취사선택하기 위해 주어진 조건을 재정리하 는 모습을 보였다. 둘째, 문제해결의 모든 단계나 과정을 추측할 필요가 없을 정도로 문제해결 과정을 구체적으로 서술하려 노력하였으며 수학적 내용과 아이디어의 표현 이 보다 세련되게 변하였다.

7회에 제시된 문제를 해결하기 위해서 먼저 자신의 언어로 문제를 간단히 재정리하여 문제에 대한 이해도를 높이고 있다. C는 부분과 전체의 관계에 관한 수학적 개 념을 잘 알고 있었고 이를 활용한 식을 세워 문제를 해 결해 나갔다. 완벽하다고 말할 수는 없지만 활동 초반에 비하여 문제해결 과정의 서술이 보다 구체화되었으며, 전략 수행에 있어서도 계산의 오차 없이 문제 상황에 알 맞은 답을 기술하고 있음을 알 수 있었다. 하지만 a+b=c 의 표준 등호 문맥의 고착으로 등호 개념을 ‘연산=답’

또는 절차 구조로 인식하는 오류는 여전하였다. 이러한 등호 사용의 오류는 활동 초․중반에 걸쳐 나타났으며 검토 활동을 진행하는 내내 개선되지 않았는데 이는 C 가 문제해결 과정의 타당성 검토 활동의 범위를 해답과 직접적으로 관련되는 문제해결 과정으로 한정하고 기호 사용의 적절성을 점검하는 것으로 확장하지 못하였기 때 문인 것으로 보인다.

다. 중하 수준의 아동 D의 문제해결

중하 수준의 아동 D는 문제해결 과정의 서술 뿐 아 니라 문제해결 면에서 가장 큰 변화를 보였다. 활동 초 반에 아동 D는 문제를 이해하는 능력이 미약하여 적절 한 문제해결 전략을 세우고 실행하는 데에 어려움을 호 소하였고, 완전한 문제해결로 연결하지 못하는 모습을 나타냈다. 하지만 검토 활동을 진행하면서 자신의 취약 점인 문제이해력을 높이기 위해 문제를 파악하는데 더욱 신중한 태도를 보였으며 문제해결에 앞서 문제에서 구하

(13)

려고 하는 것과 주어진 조건, 관련된 수학적 개념 및 전 략을 정리해나가기 시작하였다. 이러한 노력은 문제에 대한 바른 이해와 적절한 문제해결 계획의 수립 및 실행 으로 연결되는 결과를 가져왔다. 또한 활동 초반에 보였 던 불완전한 문제해결 과정의 서술 및 비논리적인 설명 이 보다 명료하고 세련되어 졌음을 관찰 할 수 있었다.

<그림 14> D의 1회 활동지

활동 초반에 D는 문제를 해결하기 위해 제시된 정보 를 활용하였지만 <그림 14>처럼 문제와 관련된 수학적 개념을 부분적으로 이해하는데 그쳐 완전한 해결로 연결 하지는 못하였다.

D는 1회에 제시된 문제를 해결하기 위해 세 사람이 만나는 날을 일일이 체크하며 수들의 규칙을 찾아나갔고 이를 통하여 공배수의 개념을 활용하여 문제를 해결 할 수 있음을 알아내었다. 그리고 문제에 제시된 첫날을 포 함한다는 조건을 잊지 않고 사용하여 문제를 해결해 나 갔다. 하지만 결정적으로 날짜를 연속적인 개념으로 파

악하지 못하는 오류를 범하였고 결국 문제 상황에 알맞 은 해답을 이끌어 내는데 실패하고 말았다. 또한 최소공 배수의 배수가 공배수임을 이용한 보다 효율적인 전략을 구사하지 못하는 한계를 드러내기도 하였다.

<그림 15> D의 6회 활동지

활동이 후반에 이르렀을 무렵 D의 문제해결 과정에 대한 서술 능력뿐 아니라 문제를 해결하는 능력이 매우 발전했음을 느낄 수 있었다. 활동 초반에는 문제를 이해 하고 그에 적합한 해결 전략을 세우는 능력이 미약하여 올바른 풀이로 나아가지 못한 적이 대부분이었으나, 활 동이 진행됨에 따라 <그림 15>처럼 D는 문제를 바르게 이해하기 위해 문제해결에 중요한 정보가 되는 부분에 밑줄을 긋는 등 문제파악에 신중한 태도를 보임으로써 문제의 조건 및 구하고자 하는 것에 대한 인식을 명확히 하고 문제 유형에 따라 그에 적합한 문제해결 전략을 구 사하였다. 또한 풀이과정에 드러난 수학적 내용과 아이 디어가 보다 명확하고 세련되어 졌으며 길고 장황한 풀 이보다는 짧고 직관적인 풀이, 한눈에 알아보기 쉬운 풀 이를 위해 노력하고 있음을 관찰할 수 있었다. 이에 대

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한 일례로 6회의 문제해결을 들 수 있는데 D는 그림 그 리기 전략을 이용하여 문제해결 과정을 간략하면서도 명 확하게 서술하고 있다.

Ⅴ. 결론 및 제언

본 연구는 서술형 문제를 활용한 문제해결 과정의 타 당성 검토 활동의 절차를 구안하고 적용하여 이때 나타 나는 아동 사고의 특성 및 서술의 변화를 분석하였다.

본 연구의 결과로 부터 다음과 같은 결론을 얻을 수 있 다.

첫째, 문제해결 과정의 타당성을 검토하는 활동은 아 동들로 하여금 문제해결의 ‘과정’에 대해 사고하게 한다.

이전에는 문제를 해결할 때에 ‘문제’ 또는 ‘답 구하기’에 초점을 맞추었으나 문제해결 과정의 타당성을 검토하는 활동을 통해 문제해결의 ‘과정’으로 사고의 초점이 옮겨 지게 되었고 아동들은 그에 따른 다양한 사고의 특성을 나타내었다. 이때 나타나는 아동의 사고는 문제해결 4단 계-문제이해, 계획의 수립, 계획의 실행, 반성-중 한 단 계에 집중되어 있기 보다는 전반적으로 고루 나타났으 며, 문제해결 각 단계의 중요한 요소와 관련된 특성을 보였다. 이것은 문제해결 과정의 타당성 검토 활동이 문 제해결 각 단계의 중요한 요소에 대해 사고할 수 있는 기회를 제공함으로서 올바른 문제해결을 위한 하나의 수 단이 될 수 있음을 시사한다.

둘째, 문제해결의 타당성을 검토하는 활동은 아동들 로 하여금 자신의 풀이를 반성하게 하고 문제해결과정에 서 메타인지적 사고를 가능하게 한다. 문제해결 과정의 타당성 검토 활동을 진행하면서 아동들은 문제해결 과정 에서 자신의 취약한 부분을 알고, 다른 문제를 해결할 때 특히 그 부분에 주의를 기울여 문제를 해결하려는 모 습을 보였다. 다른 친구의 문제해결 과정의 타당성에 대 해 살펴보고 토의하는 과정을 통하여 아동들은 스스로의 문제해결 과정을 되돌아보고 점검할 수 있었으며, 이것 은 자신의 사고과정(문제해결 과정)에 대한 사고로 연결 되어 문제해결에 반영되는 결과를 가져왔다. 즉, 아동들 은 문제해결 과정의 타당성 검토 활동을 단순한 반성 활 동으로만 끝내는 것이 아니라 시간이 흐름에 따라 자신 의 문제해결 과정에 반영함으로써 더욱 발전하는 문제해

결자의 모습을 보여준다고 할 수 있다.

셋째, 문제해결 과정의 타당성을 검토하는 활동은 아 동의 문제해결 과정 서술에 긍정적인 변화를 가져온다.

아동의 문제해결 과정의 서술 양상은 아동의 수준에 따 라 조금씩 차이가 있었으나 문제 이해, 문제해결 과정, 의사소통 면에서 전반적으로 긍정적인 변화를 보였으며 특히 중 수준의 아동의 문제해결에서 그 특징이 두드러 지게 나타남을 관찰할 수 있었다. 아동들은 다른 친구들 의 문제해결 과정을 검토하는 과정에서 자신의 풀이에 대한 문제점을 인식하고 문제해결 과정을 체계적으로 나 타내려는 의지를 보였으며 이것이 자연스럽게 서술의 변 화로 이어졌다. 이를 통하여 문제해결 과정의 타당성을 검토하는 활동이 아동의 반성적 사고와 관련되어 문제해 결과정 서술에 있어서도 긍정적인 변화를 이끌어 내는데 도움을 준다는 것을 알 수 있었다.

이상의 연구 결과를 토대로 문제해결의 타당성 검토 활동과 관련하여 다음과 같은 제언을 하고자 한다.

첫째, 본 연구는 5학년 학생 4명을 대상으로 이루어 졌다. 따라서 일반학급의 전체 아동들을 대상으로 문제 해결 과정의 타당성 검토 활동을 진행하였을 때, 이러한 반성 활동이 문제해결에 있어 긍정적인 영향을 끼치는지 그 효과에 대한 객관적인 검증을 할 필요가 있다.

둘째, 본 연구는 아동의 인지적인 측면에 초점을 맞 추어 진행되었다. 하지만 반성 활동은 아동의 인지적인 측면 뿐 아니라 정의적인 측면에서도 긍정적인 영향을 끼친다는 연구 결과(김지연, 2009)가 있다. 따라서 문제 해결 과정의 타당성 검토 활동이 아동의 수학적 성향에 어떠한 영향을 미치는지 연구 할 필요가 있다.

셋째, 본 연구는 수학 성취도가 중, 상 수준인 아동을 대상으로 하여 그에 적합한 프로그램을 구안․적용하였 다. 반면 문제해결에서 메타인지를 강조한 수업은 우수 아보다 비우수아에게 더욱 효과적이라는 연구 결과(윤미 영, 1995)가 있다. 따라서 하 수준의 아동에게도 적용될 수 있는 일반화된 문제해결 과정의 타당성 검토 활동을 구안․적용하여 그 효과에 대해 연구할 필요가 있다.

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