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수학 영재의 창의적 문제해결 모델(MG-CPS)을 일반학생의 수학 학습에 적용한 사례연구
김 수 경 (고려대학교 대학원)✝✝
김 은 진 (고려대학교 대학원) 권 혁 진 (고려대학교) 한 혜 숙 (단국대학교)
Ⅰ. 서 론
최근 전 세계가 수학·과학 분야의 창의적 인재양성을 위한 투자와 노력에 앞 다투고 있으며 그에 발맞추어 우 리나라도 독창적이고 우수한 아이디어와 기술로써 미래 의 유망한 산업을 선도할 수 있는 창의적 기술 인재만이 국가경쟁력의 원천이 된다는 정책적 시안 하에 ‘창의적 인재육성’을 위한 수학 교육을 강화하도록 하고 있다 (황혜정 외 5인, 2012). 또한 2009 개정 교육과정의 개발 방향 중 하나로 ‘수학적 창의성 강조에 따른 수학적 과 정’ 을 명시하고 있고, 황혜정 외(2012)에 따르면 수학적 과제를 해결하는 과정 중에 다양하고 독창적인 해결 방 법이나 새로운 관점에서 과제를 탐구하고 지식을 구성하 는 능력인 수학적 창의성은 학습자가 수학적 아이디어를 자유롭게 표현하고 수학적 추론과 통찰을 활용하여 수학 문제를 해결하면서 지식과 경험을 분석ㆍ연결ㆍ통합하는 과정을 통해 발현된다고 한다. 즉, 수학적 창의성의 핵심 은 문제해결에 있으며 문제해결력이 수학적 창의성을 발 현시키는 토대가 되는 것이다.
수학 교육에서 문제해결력의 신장은 1980년대 이후 많은 연구자들로부터 강조되었고 이미 다양한 연구가 시
* 접수일(2012년 8월 2일), 수정일(2012년 9월 20일), 게재확정 일(2012년 11월 21일)
* ZDM 분류 : D54
* MSC2000 분류 : 97D50
* 주제어 : MG-CPS, 문제해결력, 정의적 특성
✝ 교신저자 : [email protected]
행되었다. 수학적 문제해결은 수학의 문제나 문제적 상 황에서 그 해를 찾아내기 위하여 기지(旣知)의 수학의 개념, 원리, 법칙 등의 지식이나 기능을 바탕으로 수학적 발견술이나 전략 등 다양하면서 종합적인 사고 과정을 수행하는 것을 의미한다(NCTM, 2000). 남승인·류성림 (2002)에 의하면 수학에서 문제해결이란 현재 상태와 목 표 상태 사이의 격차를 메우기 위해서 기존의 지식과 경 험을 총체적으로 활용하여, 조리 있고 이치에 맞는 사고 과정을 거쳐서 목표 상태에 이르도록 하는 것이라 정의 하고 있다. 특히 Polya(1957/1997)에 의하면 문제는 너무 어렵거나 쉽지 않고 자연스럽고 흥미롭게 어느 정도 시 간을 들이면 해결될 수 있어야 하며 목표, 장애요인, 해 결자의 의식이 수반되어야 하고 문제해결을 위한 사고 과정은 문제의 주요 부분인 미지의 것, 자료, 조건을 파 악하는 문제 이해, 여러 가지 사항들이 어떻게 관련되어 있는지 파악하는 계획 수립, 수립한 계획을 진행하여 답 을 구해내는 계획 실행, 그리고 반성의 단계를 거친다.
Polya가 말하는 문제해결이란 문제를 풀려고 애쓰면서 다른 사람의 풀이를 관찰하고 모방하면서 방법을 배우게 되는 것이며 교사는 모방과 연습의 기회를 풍부히 제공 해야하고 문제해결 각 단계별로 필요한 발문과 권고를 적절히 하여 문제 해결자의 수학적 사고를 도와야 한다.
이렇게 문제해결 교육에 대한 실천적 의지는 오래전 부터 계속 증가하였고 문제해결력의 강화를 위한 연구도 지속적으로 진행되었으나 문제해결력을 신장시킬 수 있 는 새로운 문제해결 단계에 대한 연구는 아직 미흡한 실 정이다. 따라서 본 연구에서는 이종희·김기연(2008)이 제 시한 MG-CPS 모델을 일반학생들에게 적용하여 새로운
문제해결단계에 대한 발판을 마련하고자 한다.
수학 영재의 창의적 문제해결(Mathematically Gifted -Creative Problem Solving: MG-CPS) 모델은 수학 영재들의 창의적 생산력의 계발을 위해 이종희·김기연 (2008)에 의해 개발된 문제해결 모형이다. 그들에 따르면 창의적 생산력이란 새롭고 기발한 아이디어의 생산에서 그치는 것이 아니라 당면한 문제를 수학적으로 해결하여 유의미한 결과를 만들어 내는 과정이 동반되어야 하는 수학적 창의성에 바탕이 되는 능력이다. Polya의 문제해 결 단계를 기본골격으로 만들어진 MG-CPS 모델은 문 제 이해-예비 수학적 활동(문제 해결 전략 탐색 → 해결 가설 수립 → 가설 검증)-자료 탐색-수학적 검증 및 표 현(결론의 수학적 정당화 → 언어적 표현)의 4개의 영역 으로 나뉘고 구체적으로 세분화하면 총 7단계로 이루어 지며(이종희·김기연, 2008) MG-CPS 모델은 다음의 두 가지 특징이 두드러진다.
첫째, MG-CPS 모델은 일반적인 문제해결 모델보다 학습자 자신의 지식이나 개념 구조, 사고 능력을 토대로 이루어지는 예비 수학적 활동이 보다 강조되었다. 일반 적인 문제해결 과정에서는 학생들은 주어진 문제에 대한 해결 방안을 찾기 위해서 여러 가지 자료를 수집할 수도 있고 자신이 알고 있는 수학적 지식만을 활용해서 해결 방안을 모색할 수 있다. 그러나 MG-CPS 모델에서는 주 어진 문제를 해결하기 위해서 학생은 자신이 가지고 있 는 수학적 지식과 기술, 개념 구조 안에서 문제 해결의 아이디어와 전략을 탐색하고 해결 방안에 대한 가설을 수립하고 가설의 진위여부를 확인하기 위한 검증 활동을 하는 단계를 거치게 된다. 이러한 활동이 마무리가 된 후에 학생들은 새로운 해법이 있는지, 자신의 가설 검증 방법에는 오류가 없는지 등을 확인하기 위해 정보를 수 집하는 자료의 탐색 활동을 하게 된다. 이러한 예비 수 학적 활동 속에서 학생들은 자신의 지식과 기술을 능동 적으로 활용하고 시도해 볼 수 있는 기회를 가지며 이러 한 과정이 다양한 아이디어의 생성을 효과적으로 이끌어 낼 수 있기 때문에 확산적 사고를 발전시킬 수 있고 창 의적 생산력을 향상시키는데 효과가 있다.
둘째, MG-CPS 모델에서는 수학적 검증과 더불어 언 어적 표현 단계를 추가하여 강조하였다. 창의적 산출물 이 개인에게만 의미 있는 것으로 그치는 것이 아니라 타
인과의 의사소통과 공유를 통해 구체화되고 검증될 수 있도록 하여 학습자의 사고 안에서만 추상적으로 존재하 는 해법이 아니라 타인이 이해할 수 있고 그 사회나 분 야에서 검증되고 활용 될 수 있도록 하기 위해 수학적 표현을 비롯하여 다양한 발표 기법, 발표를 위한 소프트 웨어나 기타 자료, 기구 등을 활용하는 기술, 언어적 표 현 능력 등을 신장시킬 수 있다.
비록 MG-CPS 모델은 수학영재의 창의적 문제해결 력 계발을 위해 만들어진 모델이지만 일반학생에게 적용 하면 학교 수학에서 수학적 주제를 다양하게 이해하며 수학 문제를 해결하고 발표와 토론을 통해 수학적으로 의사소통 할 수 있으므로 문제해결력에 영향을 미칠 것 으로 예상된다. 그리고 여러 연구를 통해 국제학업성취 도 비교 평가에서 우리나라 학생들은 학업성취도는 높지 만 정의적 영역의 성취가 저조하다는 결과가 보고되고 있으며 이는 교사위주의 주입식 교육, 입시위주의 지식 교육이 가져온 결과이므로 학교수업이 변해야만 학생들 의 정의적 성취도 변할 것이다. MG-CPS 모델을 이용한 수업은 학생들 스스로 문제를 해결하고 지식을 구성해나 가는 열린 사고를 권장하는 수업으로 교사는 학생들이 각 단계에 맞춰 활동을 진행할 수 있도록 조력자의 역할 만 한다. 특히, MG-CPS 모델의 정보 수집 과정은 해답 이나 해설을 교사가 안내하는 것보다 학생들 스스로 그 리고 또래친구들과 협동하여 해답을 맞춰나가는 과정이 므로 학생들이 부담을 적게 느끼고, 다양한 방법으로 문 제에 대해 이해하고 풀이한 뒤 발표를 하는 과정 또한 정의적 영역에 영향을 줄 것으로 예상된다. 그동안 MG-CPS 모델 관련 연구는 영재학생들을 대상으로 진 행되었기 때문에 본 연구에서는 일반학생들을 대상으로 MG-GPS 모델을 적용한 수업이 학생들의 문제해결력과 더불어 정의적 특성에 어떤 영향을 미치는지를 사례연구 를 통해 알아보고자 한다.
본 연구의 연구 문제는 다음과 같다.
첫째, MG-CPS 모델을 적용한 수업이 일반학생들의 문제해결력에 어떤 영향을 미치는가?
둘째, MG-CPS 모델을 적용한 수업이 일반학생들의 정의적 특성에 어떤 영향을 미치는가?
Ⅱ. 이론적 배경 및 선행 연구 고찰
1. 문제해결
문제해결이라는 용어는 기원을 알기 어려울 정도로 오래전부터 사용되어 왔는데 우리나라의 경우 1950년대 수학교육에서는 수학을 사회생활에서의 문제를 해결하기 위한 수단으로 보고 그 학습지도법으로써 문제해결 학습 을 지도했고 1960년대와 1970년대에 문제 해결이란 의미 는 기지(旣知)의 수학적 지식이나 법칙 등을 일상생활과 관련된 문제 해결 장면에 응용한 것으로 문장제와 유사 한 의미로 사용되었다(양은경·황우형, 2005). 1980년대 이후에는 많은 연구자들이 수학교육에서 문제해결을 강 조하면서 다양한 연구를 수행하여 문제해결의 의미가 더 넓어지고 구체화 되었고 그에 따른 문제해결의 정의도 다양한 실정이다.
기존의 연구에서 문제해결의 정의를 살펴보면 김부 윤·이영숙(2003)은 문제해결이란 구체적인 문제에 함정 이나 가정을 더해서 이것을 수학적인 문제로 구성하고, 이것에 수학적인 처리- 수, 식, 도형, 표, 그래프 등의 수 학적인 형식으로 표현하고, 식의 변형, 해법, 도형의 조 작, 표나 그래프의 사용 등의 수학적인 조작을 시행하는 일- 에 의하여 수학적으로 해결하고, 그 결과에 구체적 인 해석을 주어서 문제를 해결하는 일련의 과정이라고 하였다. 또한 양은경·황우형(2005)은 주어진 문제를 해결 해 나가는 하나의 과정, 즉 문제를 해결하기 위하여 문 제의 주어진 조건에서 구하고자 하는 것으로 나아가는 동안에 사용된 일련의 사고와 행동으로, 산출된 결과가 아닌 과정이라고 하였다. 이러한 견해들로 미루어 본 연 구에서의 ‘문제해결’이란 해결방법이 즉각적으로 얻어지 지 않는 문제를 해결하기 위하여 주어진 조건과 구하고 자 하는 것을 이해하고 적절한 수학적 지식, 경험, 전략 을 사용하여 계획을 수립하고 실행하여 구하고자 하는 것에 이르는 종합적인 사고 과정으로 정의한다. 따라서 본 연구에서 관찰하고자 하는 ‘문제해결력’이란 수학적 문제해결에 있어서 Polya의 문제해결과정에 따라 독자적 으로 문제를 해결해나가는 능력, 즉 문제를 이해하고 스 스로 해결계획을 수립, 실행한 뒤 반성하는 능력으로 보 고자 한다.
본 연구에서 수학적 창의성을 향상시키는 MG-CPS
모델을 적용하여 문제해결력을 살펴보고자 하는 것은 수 학적 창의성의 신장은 문제해결을 통해 이루어지고 있고 수학적 창의성에 대한 논의에서 가장 바탕이 되는 것이 문제해결이기 때문이다. Hadamard(1975/1990)는 수학 분야에서의 발명이 어떻게 발현되고 본질이 무엇인가를 설명하고 있으며 창조적인 작업은 본질적으로 문제의 해 결에 집중하여 있다고 하였다. 그는 논리란 직관이 발견 한 것의 후속작업에 불과하고 직관이 제 기능을 충분히 발휘할 수 있는 수학적 발견의 기회를 갖아야 하는데 생 산적 사고는 문제의 해결에서 오는 것이므로 수학적 창 의성의 발현을 문제해결의 과정 안에서 설명하였다.
그리고 황우형 외(2006)도 학교수학에서 학생들에게 지도하고 신장시켜야 할 수학적 창의성은 결국 수학적 문제해결을 통해서 이루어져야 한다고 강조하였다. 또한 Hadamard의 준비기, 부화기, 계시기, 검증기의 네 단계 로 구성된 창의적 사고 단계에 대해 Armbruster는 Polya의 문제해결 단계와 Hadamard의 창의적 사고 단 계가 여러 면에서 일치한다고 하였고(박혜진·권혁진, 2010, 재인용) 이강섭 외(2002)도 Polya와 Hadamard의 단계는 준비와 문제이해, 계시와 계획실행, 검증과 반성 단계가 일치하지만 무의식적인 면이 강조되는 부화와 의 식적인 면이 강조되는 계획수립 단계는 일치하지 않는다 고 비교하였다.
1990년대를 전후로 하여 문제해결에 대한 연구들이 구성주의적 접근을 하고 있으며 수학에서 문제해결에 대 한 접근방식도 다양한 변화를 거쳐 왔는데 Schroeder와 Lester(1989)는 구체적으로 문제해결 절차와 발견술을 가르치는 ‘문제해결에 대한 접근’ → 수학적인 지식과 기 능을 실생활의 문장제 문제해결에 응용하도록 하는 응용 력을 강조하는 ‘문제해결을 위한 접근’ → 문제해결의 경 험을 통해 수학적 사고를 진작하고 학습자 스스로 수학 적인 지식과 기능을 구성하도록 하는 ‘문제해결을 통한 접근’ 이렇게 세 가지 방식으로 구별하고 있으며 Stanic 과 Kilpatrick(1988)은 문제해결이 초기에는 다른 학습목 표를 성취하기 위한 맥락 → 그 다음에는 수학 학습의 절차적 기술 → 최근에는 수학문제를 해결하는 그 자체 가 곧 수학을 하는 기예(art)를 의미하게 되었다고 하였 다(권오남·김정효, 1997, 재인용).
수학 교육에서 ‘문제해결을 통한 접근’을 하거나 혹은
문제해결을 ‘수학의 기예’라는 차원에서 다룬다고 할 때, 수학적 문제해결은 곧 창의적인 문제해결을 의미한다고 할 수 있다(권오남·김정효, 1997). 창의적 문제해결은 문 제가 요구하는 해답보다 문제해결자의 의도와 지식, 경 험 등을 바탕으로 최선의 해결책을 선택하기 위해 다양 한 아이디어를 생성하고 최적의 것을 판단하여 문제 상 황을 변화시키고 의사소통을 중시한다는 점에서 문제해 결을 포함하는 보다 포괄적인 문제해결이며 창의적인 문 제해결에서는 이상하고 흔치않은 문제, 구조화되지 않아 기존의 문제해결 방법이나 전략으로는 쉽게 해결될 수 없는 문제를 새롭고 혁신적인 해법이나 아이디어로 다양 한 해법을 모색하여 최선, 최적의 해법을 선택하는 ‘창의 적인’ 해결과정과 해법을 요구한다(이종희·김기연, 2008).
교수모형이 문제해결력에 미치는 영향에 대한 선행연 구로는 대체적으로 문제해결력과 태도에 영향을 미친다 는 연구가 많았다. 정성건·박만구(2010)는 수학 교육과정 을 근거로 개발한 문제 만들기 활동 자료를 이용하여 문 제만들기 활동이 문제해결력과 수학 학습 태도에 미치는 효과를 알아보았는데 수학 문제 만들기를 적용한 학생들 은 문제해결력 향상에 있어서 유의미한 효과를 보였으며 수학 학습 태도에도 긍정적인 효과를 보였다. 김경옥·류 성림(2009)는 W(상황표현)-Q(문제 만들기)-A(답하기)에 의한 단계별 활동을 하여 그 효과성을 알아보았으며 문 제해결력과 태도 영역 중에서는 융통성이 향상되었고 태 도의 나머지 영역은 유의미한 차이가 없지만 전반적으로 평균이 높아졌다고 하였다. 이상원(2004)는 문제해결을 위한 반성적 사고의 차원에서 실시한 문제설정 수업이 창의적인 사고를 발전시켜 자주성, 독창성, 유창성을 길 러주고 학생들에게 자신들의 사고를 비판적으로 사고하 는 태도를 길러 준다고 하였다. 또한 문제설정 수업은 구체적인 전략을 가지고 문제를 해결하도록 하며 친구들 과 협력하여 아이디어를 나누고 의견을 듣는 태도를 길 러주며 문제를 찾아 탐구, 추측, 검사, 토론, 반성하는 경 험을 거쳐 문제를 해결함으로써 모험심과 자신감을 얻음 으로써 문제해결력 신장에 적합하다고 하였다.
그 밖에 교수모형이 문제해결력에 미치는 영향에 대 한 연구로는 이상원·방승진(2004)이 문제설정이 문제해 결력과 창의력에 미치는 효과를 알아보기 위해 조건 변 경 문제설정 방법, 결과 변경 문제설정 방법, 임의 문제
설정 방법 이렇게 세 가지 문제설정 방법을 수준이 다른 세 집단에 적용하였는데 그 결과 상위 집단은 결과 변경 에 의한 문제설정 방법이 바람직하고 중위 집단은 조건 변경에 의한 문제설정 방법이 도움이 되며 하위 집단은 문제설정 방법이 문제해결력에 도움이 되지 않았다. 창 의력에서는 상위 집단의 결과 변경과 임의 변경은 유의 미한 차이가 있으나 조건 변경은 유의미한 차이가 없었 으며 창의력의 요소 중 개방성, 독창성, 유창성에서는 결 과 변경이 유의미하게 높은 결과를 나타내었으나 창의력 에는 부분적으로 기여할 뿐 전반적으로는 도움을 주지 못하였다. 이혁재·임문규(2004)는 Wheatley(1991)의 문제 중심 수업을 토대로 구안한 문제 중심 보완수업이 학생 들의 수학적 문제해결력을 향상시키고 학업성취를 높이 는데 효과적이며 수학 학습흥미에도 긍정적인 영향을 준 다고 하였다. 그리고 김영남(2002)은 구체적 조작물을 이 용한 도형 프로그램이 아동의 문제해결력, 수학적 자기 효능감, 수학불안에 미치는 효과를 알아보았는데 문제해 결력을 향상시키고, 수학적 자기효능감은 높이고, 수학불 안은 감소시킨다고 하였다.
문제해결력을 향상시키는 방안에 대한 연구는 지속적 으로 이루어졌으나 새로운 문제해결 단계를 수업에 적용 하였거나 그러한 수업을 통해 문제해결력과 정의적 특성 을 살펴본 연구는 아직 이루어지지 않았기에 본 연구는 수학교육 연구에 있어서 참신하고 바람직한 움직임일 것 이라 예상된다.
2. 수학영재의 창의적 문제해결(Mathematically Gifted Creative Problem Solving ; MG-CPS) 모델
이종희·김기연(2008)에 의하면 MG-CPS 모델이란 수 학영재의 창의적 문제해결(Mathematically Gifted Creative Problem Solving) 모델로서 수학영재의 창의적 생산력 계발을 목표로 하고 있다. 그들에 따르면 창의적 생산력은 창의적 사고를 바탕으로 당면한 문제를 수학적 으로 해결하여 유의미한 결과를 만들어 내는 과정이 동 반되는 능력이며 하위요소로는 인지적 능력, 수행능력, 메타 - 조정 능력으로 구분되고 이러한 각 능력 요소들 이 발휘되는 과정의 핵심에 창의적 문제해결이 존재한다 고 하였다.
MG-CPS 모델은 이종희·김기연(2008)에 의해 개발된 모델이지만 그 바탕이 되는 CPS 모델을 살펴보면 창의 적 문제해결 모델을 처음 제안한 사람은 Osborne(1963) 으로 Osborne-Parnes의 CPS 모델은 목적발견-사실발견 -문제발견-아이디어발견-해법발견-수용발견의 단계를 거치고 이 모형은 Parnes(1981), Treffinger(1985), Isaksen, Dorval & Treffinger(2000) 등에 의해 구체화된 다(이종희·김기연, 2008, 재인용). MG-CPS 모델의 전체 적인 과정은 문제 이해-예비 수학적 활동-자료 탐색-수 학적 검증과 표현 의 네 개 영역으로 구분되고 그에 따 른 구체적인 문제해결 단계는 <그림 1>과 같이 7단계로 나뉜다.
<그림 1> 수학 영재의 창의적 문제해결의 영역 및 단계(이종희·김기연, 2008, p. 592)
각 영역의 특성에 대해서 이종희·김기연(2008)은 다음 과 같이 설명하였다.
1) 문제 이해 영역
주어진 과제에 대한 이해와 그로부터 탐구해야 할 문 제를 선정, 정의, 진술하고 전체적인 문제해결의 방향을
모색하며 문제해결의 목표 수립, 문제 진술, 문제의 내용 과 목표 이해, 해결할 문제 또는 해결된 문제로부터 발 견한 새로운 문제 제기에 포함된 수학적 개념의 이해와 탐색을 한다.
2) 예비 수학적 활동 영역
예비 수학적 활동의 첫 번째 단계는 문제해결의 전략, 아이디어, 해법 탐색이다. 영재학생은 일반학생에 비해 더 많은 수학적 지식과 기술, 정보를 소유하고 있거나 이해할 수 있는 능력을 지니고 있다고 가정할 수 있으므 로 그 문제를 해결하기 위한 해법을 찾기 위해 우선 자 료나 지식 정보를 수집하는 것이 아니라 자신이 소유하 고 있는 수학적 지식과 기술, 정보, 직관, 통찰을 비롯한 다양한 사고 능력을 동원하여 스스로 해법에 대한 아이 디어를 생성할 기회를 제공한다. 이 때 자신이 가진 지 식으로부터 다양하고 새로운 아이디어를 생성해내는 능 력인 발산적 사고 기술이 필요하며 다양한 아이디어의 생성을 바탕으로 여러 가지 해결 방안에 대한 가능성을 열어두어 수학적 창의성 신장을 기대할 수 있다. 두 번 째 단계인 해결 가설 수립 단계에서는 학생들이 자신이 가진 수학적 지식과 기술, 사고 능력 등을 바탕으로 탐 색한 아이디어나 전략들 중 그럴듯한 것을 선택하여 해 결가설을 수립하고 진술하는 단계이다. 이때 가설은 수 학적 표현이나 언어적 표현으로 진술할 수 있으며 그럴 듯한 가설을 얼마나 많이 수립하는가와 같이 발산적 사 고와 가설을 선정하기 위한 수렴적, 비판적 사고를 요구 한다. 세 번째 단계는 가설 검증·확인 단계인데 이 단계 에서는 수학적으로 엄밀한 증명이나 논리 전개에 의한 것이다는 학습자의 경험, 직관, 통찰을 바탕으로 결과의 타당성 여부를 확인하는 것이다.
3) 자료 탐색 영역
자료 탐색 영역은 새로운 해법을 위한 자료와 정보를 수집하는’ 단계이다. 이 단계에서는 학생들이 스스로 가 설을 수정·보완해야 하거나 새로 수립해야 하는 경우, 또는 가설 검증의 방법에 대한 정보나 지식이 필요한 경 우, 정당화의 논리나 방법에 대한 정보나 지식이 필요한 경우에 이 단계를 거친다. 일차적으로 수립했던 그럴듯 한 가설이 참이 아닌 것으로 확인되었을 경우, 가설이
틀린 것인지, 확인 방법이 부적절한 것인지, 기존의 가설 을 수정· 보완해야 하는지, 새로 수립해야 하는지 등을 의사결정하고 정당화의 기술이나 논리, 방법 등에 대한 정보를 수집한다.
4) 수학적 검증 및 표현 영역
수학적 검증 및 표현 영역의 첫 번째 단계인 결론의 수학적 정당화 단계는 학생들이 수학적 문제해결 과정에 서 결론을 수학적으로 검증하고 확인하는 것으로 학생 수준의 증명이다. 비록 수학적으로 엄밀한 증명 수준까 지는 이르지 못하더라도 학생들이 스스로 세우는 논리의 타당성과 정당화를 이끌어가는 과정에서의 수학적 아이 디어와 이를 확인하는 방법 등은 유의미한 산출물이 된 다. 또한 이 과정에서 학생들은 새로운 개념을 알게 되 고 수학적 표현 방법에 대해서도 학습할 수 있다. 두 번 째 단계인 언어적 표현 단계는 산출물의 결과적 표현을 의미한다. 수학적 표현을 비롯하여 질의응답, 구두 발표, 토론, 보고서 작성, 발표 자료의 제작 등의 과정을 통해 자신의 해결 과정에 대한 이해를 다시 한 번 확인하고 자신이 만들어낸 산출물을 구체화시킨다.
본 연구에서는 학생들의 이해를 돕기 위하여 문제인 식을 문제이해로, 언어적 표현을 발표하기로 단계명을 바꾸어 실시하였다. 즉, ‘문제이해하기 → 문제해결 전략 탐색하기 → 해결 가설 수립하기 → 가설 검증하기 → 정보 수집을 통해 새로운 해법 알아보기 → 결론을 수학 적으로 정당화하기 → 발표하기’ 의 단계로 사용하였다.
MG-CPS 모델의 단계와 Polya의 문제해결단계를 비교 하면 ‘문제이해하기’는 문제이해단계, ‘문제해결 전략 탐 색하기, 해결가설 수립하기’는 계획수립단계, ‘가설 검증 하기’는 계획실행단계, ‘정보 수집을 통해 새로운 해법 알아보기, 결론을 수학적으로 정당화하기, 발표하기’는 반성단계에 해당한다. MG-CPS 모델은 예비 수학적 활 동 영역이 자료 탐색 영역보다 선행한다는 점과 반성과 정에서 언어적 표현을 강조하는 등 다양한 반성활동을 거친다는 점이 Polya의 문제해결단계와 구별된다.
MG-CPS 모델의 개발이후 영재학생을 대상으로 적 용한 개발자의 후속연구가 있었는데 이종희․김기연 (2010)은 수학 영재의 창의적 산출물의 평가틀과 평가준
거를 개발하여 4명의 영재들에게 ‘다각형의 무게중심 탐 구’라는 문제를 MG-CPS단계에 맞추어 수업하며 평가틀 과 준거를 적용하였다. 본 연구에서는 이종희․김기연 (2010)의 평가 준거를 참고하여 관찰 기록지를 제작하여 사용하였다.
3. 정의적 특성
국제학업성취도 비교 평가 결과를 보면 우리나라 학 생들은 매우 높은 수준의 수학 성취도를 보이는데 반해 정의적 영역에 대한 성취도는 매우 낮은 수준이라고 보 고되고 있는데 이는 지식 위주로 구성되어 있는 현 교육 과정과 입시 위주의 수학 학습으로 인한 결과라고 판단 된다. 정의적 영역은 인지적 영역과 더불어 수학교육에 서 큰 관심을 갖고 있고 정의적 영역이 지속적으로 수학 성취에 영향을 미칠 것이라는 연구도 있으므로 정의적 특성을 간과한다면 문제해결력까지 저해할 우려가 있다.
따라서 문제해결력 신장을 위한 교수 방안의 연구는 정 의적인 영역까지도 고려해야할 필요가 있다.
이종희 외 6인(2011)에 의하면 정의적 특성은 학습지 향성, 자기통제, 불안, 흥미, 수학에 대한 가치인식, 자신 감으로 구성되고 각 구성요소들의 특성은 다음과 같다.
첫째, 학습지향성은 수학을 학습하면서 쉽지 않은 낯 선 문제나 과제에 적극적으로 도전하려는 자세이며 수학 을 학습하고자 하는 의지 혹은 수학 학습에 열의를 갖고 포기하지 않는 태도이다. 둘째, 자기통제는 학습자 스스 로 자신의 학습 방법을 알고 제어하여 수학 학습을 해나 가는 능력이며 목표달성을 위해 자신이 가진 자기 조절 전략과 기술이 얼마나 효과적이라고 판단하는지에 대한 확신의 정도이다. 셋째, 불안은 수학을 잘하지 못할까봐 걱정하고 염려하는 심리 상태, 수학 학습 상황에서 학습 자가 느끼는 곤란함과 불편함이며 수학 학습 성취 경험 에서 자기 평가를 통하여 개념화된 자기도식, 정서적 반 응이다. 넷째, 흥미는 수학에 대한 관심과 선호, 수학 학 습 활동에서 느끼는 재미나 즐거움이며 다섯째, 수학에 대한 가치 인식은 사회적, 직업적, 학문적 맥락에서 수학 의 기능과 유용성, 중요성에 대한 판단으로 수학이 현재 와 장래에 얼마나 유용한지를 인식하고 있는지 이다. 마 지막으로 자신감은 자신의 수학적 능력에 대한 긍정적인
<표 1> 연구 참여자의 특성 학생 A1
∘중간고사 수학성적 94.50점. 전교 석차 5등. 학교 수준별 수업 상반. 조금 내성적인 편. 평일에는 하 교 후 혼자 자습. 주말에 영어와 수학 학원을 다 님. 학교, 학원 수업 모두 열심히 들으며 학원수업 이 본인의 성적에 도움을 준다고 생각함.
∘문제 해결단계를 알고 있지만 시험 때만 검산을 함.∘어려운 문제를 풀었을 때의 쾌감이 좋아 수학을 좋아하며 특히 방정식 영역을 좋아함. 공식이나 복 잡한 답, 모르는 문제에 대하여 불안을 가지고 있 음.
기대로 수학 학습을 하는데 있어서 현재 무엇을 할 수 있으며 앞으로 어떤 과업을 달성할 수 있는지 자신의 능 력에 대한 확신이다.
정의적 특성에 관한 선행연구를 살펴보면 정의적 영 역의 요인간의 관계, 학생들의 정의적 특성 요인 분석, 영재의 정의적 특성에 대한 연구들이 주로 이루어져왔으 나 본 연구와 관계된 그 외의 정의적 특성에 대한 연구 들을 분석해보니 우리나라 학생들의 정의적 특성에 대한 실태조사, 정의적 특성 검사 도구 개발, 교수모형이 정의 적 특성에 미치는 영향에 대한 연구로 크게 구분되었다.
박정(2007)은 TIMSS 1995년, 1999년, 2003년 자료를 활용하여 우리나라 학생들의 수학에 대한 정의적 특성의 변화와 수학 성취에 미치는 영향력을 분석하였는데 그 결과 우리나라 학생들의 수학에 대한 정의적 특성은 큰 변화가 없지만 정의적 특성이 수학 성취에 미치는 영향 은 점점 증가하였으며 원하는 직업을 얻기 위해 수학을 공부하는 학생들이 대학에 진학하기 위해라고 대답한 학 생들보다 수학 성취에 더 많은 영향을 주었다고 하였다.
또한 이종희·김수진(2010)은 PISA 2003 결과에서 수학 의 정의적 영역에 영향을 주는 배경변인을 학교에 대한 태도, 학교에서 학생-교사 관계, 통제 전략, 암기 전략, 정교화 전략, 경쟁학습, 협동학습이라 분석하였다. 이종 희 외 6인(2011)은 우리나라 학생들의 수학 학습에서의 정의적 성취를 검사할 수 있는 도구를 개발하였고 대규 모 설문을 통하여 신뢰도와 타당도를 검증하였는데 본 연구에서는 이 검사 도구를 이용하여 연구대상들의 정의 적 특성을 평가하였다.
교수모형이 정의적 특성에 미치는 영향에 대한 연구 로는 전평국·이진희(2002)가 수학적 의사소통 불안에 따 른 소집단의 구성과 협동학습이 정의적 영역에 미치는 효과를 분석한 결과 의사소통 불안을 측정하여 이질집단 으로 구성하는 것이 불안 하위수준 학생들의 자아 존중 감 향상에 긍정적인 영향을 미친다고 하였다. 김응환·최 성은(2006)은 활동중심 수업이 수학 학습부진아의 정의 적 특성에 미치는 영향을 조사하였는데 활동중심 수업에 참여한 학생들은 수학시간이 기다려지고 수학 공부를 즐 겁게 생각하는 것으로 나타났고 학습동기에서는 타인에 게 수학을 잘한다는 인정을 받고 싶어 하며 자신감에서 는 학생 스스로 수학공부를 쉽게 생각하고 잘할 수 있을
꺼라 생각하며 수학시간에 배운 내용을 응용하고 싶어한 다고 하였다.
Ⅲ. 연구방법
1. 연구 참여자
본 연구는 서울시에 소재하고 있는 인문계여자고등학 교 D여고 1학년 학생들 중 연구의 개요를 요약한 게시 물을 통해 연구에 참여하고자 하는 희망자를 모집하여 이루어졌다. 희망자 중 4명의 학생은 예비 연구에 참여 하였고 본 연구는 11명의 학생이 시작하였으나 연구 진 행과정에서 수업에 적응을 못하고 참여태도가 불량한 4 명을 제외하고 7명을 연구대상으로 선정하였다. 연구대 상은 1학기 중간고사 수학성적을 반영하여 상, 중, 하 집 단으로 나누었고, 상 수준에 해당하는 3명의 학생을 A1, A2, A3으로, 중 수준에 해당되는 2명의 학생을 B1, B2 로, 하 수준에 해당되는 2명의 학생을 C1, C2로 표기하 겠다. 본 연구에서 나눈 상, 중, 하 집단과 <표 1>의 학 교 수준별 수업반이 상이한 이유는 D여고가 수준별 수 업을 상, 중하 둘로만 나누는 상황이라 B1, B2학생이 수 준별 수업 상반에 속해있다.
다음 <표 1>은 연구 참여자들에 대한 사전 정보 수 집 및 사전 인터뷰를 실시한 결과를 토대로 학생들의 특성을 정리한 표이다. 중간고사 수학성적은 100점 만점 이고 전교 석차는 전체 학생 수 493명 중의 석차를 기재 한 것이다.
학생 A2
∘중간고사 수학성적 88.90점. 학교 수준별 수업 상반. 전교 석차 18등. 조금 내성적인 성격. 수학학 원을 다니며 학교수업보다 학원수업을 열심히 듣 는 편. 학원 수업이 평일, 주말에 있고 학원에서 주로 공부함.
∘문제해결단계에 대해 알고는 있으나 풀이과정을 적는 것이 낯설고 어려움. 반성은 검산을 가끔 함.
∘어려운 문제를 풀었을 때의 쾌감이 좋아 수학을 좋아하며 인수분해에 흥미를 느낌. 여러 개념이 섞 여있거나 지문이 긴 문제에 대한 불안과 수학시험 에 대한 불안이 있음.
학생 A3
∘중간고사 수학성적 82.60점. 전교 석차 45등. 학 교 수준별 수업 상반. 외향적인 성격. 수학 학원을 다니고 있고 학교수업은 잘 듣지 않으며 학원 수 업에 의존함.
∘사전 문제해결력 검사 결과 풀이를 논리적으로 적는 것이 취약함. 알고 있는 것을 조리 있게 적거 나 표현하지 못하는 편이라 서술형평가에 취약함.
∘수학 내용 중에서 인수분해, 도형이 좋고 수학적 인 사고력이 뛰어나지만 과거 선생님께 혼난 기억 으로 흥미와 자신감이 결여. 수학은 타고 나야 잘 한다고 믿으며 본인은 그렇지 않다고 생각. 수학은 실생활에 쓸모가 없다고 생각. 수학시험에 대한 불 안이 있음.
학생 B1
∘중간고사 수학성적 66.00점. 전교 석차 123등. 학 교 수준별 수업 상반. 외향적인 성격. 학교수업은 잘 듣지 않고 수학 공부는 어머니의 강요와 과외 선생님의 스케줄에 따라 하며 과외수업에 의존함.
∘수학에 대한 흥미나 자신감은 보통임. 중3때 함 수를 배우면서 수학이 어렵다고 생각했고 수학불 안이 시작. 정형화된 문제는 잘 풀지만 비정형화 된 문제는 도전하지 않음. 수학시간에 앞에 나가 문제를 푸는 것이 싫고 수학성적에 대해 걱정이 많으며 수학시험에 대한 불안이 있음.
학생 B2
∘중간고사 수학성적 61.60점. 전교 석차 155등. 학 교 수준별 수업 상반. 내성적인 성격. 착하고 성실 한 학생이나 가정형편이 어려워 사교육을 받지 못 함. 학교 수업과 자습에 한계를 느껴 사교육을 받 고 싶어함.
∘문제해결단계를 처음 접해보았으며 문제를 풀 때 반성과정은 거치지 않음.
∘응용문제와 기호와 식으로만 표현된 문제를 이 해하는 것이 어려움. 수학은 대학을 가기위해 공부 해야 하는 거라 생각. 수학시간에 앞에 나가 문제 를 푸는 것이 불안하고 시험불안이 있어 계산실수 를 하는 편임.
학생 C1
∘중간고사 수학성적 34.40점. 전교 석차 390등. 학 교 수준별 수업 중하반. 내성적인 성격. 학원은 다 니지 않으며, 수학공부는 거의 하지 않는 편. 수학 공부 할 때 모르는 문제는 해설지를 보고 풀이를 적음. 수학 수업은 열심히 잘 듣는 편이나 이해가 되지 않음.
∘문제해결 단계라는 것을 처음 접했고 이해를 못 함. 수학은 식으로만 표현한다고 생각하며 언어로 표현하지 못함. 반성은 시험 때 검산정도를 하는 편임.
∘문제를 봤을 때 아는 것만 풀고 모르는 것은 생 각조차 안하기 때문에 싫거나 지루한 적은 없으며 지문이 긴 문제나 응용문제는 해결해 본 적이 없 음. 수학은 실생활에 쓰이지 않지만 대학을 가기 위해 공부해야하며 앞으로 수학공부를 하려는 의 지가 있음.
학생 C2
∘중간고사 수학성적 19.10점. 전교 석차 472등. 학 교 수준별 수업 중하반. 외향적인 성격. 학원은 다 녀본 적이 없고 수학공부는 거의 한 적이 없음. 학 교수업 열심히 듣지만 이해가 되지 않음.
∘문제해결 단계를 이해하지 못하며 학교 서술형 평가에서도 단답형을 제외하고는 적지 못함. 반성 단계는 검산을 하는 것이라 알고 있으나 하지 않 음. 사전 문제해결 검사 세 문제 모두 제대로 파악 하지 못함.
∘어렵고 낯선 문제는 싫고 해본 적 없음. 중 2때 부터 수학시험 불안이 심해져서 수학시험 전 날은 잠을 이룰 수 없으며 수학은 실생활에 쓸모가 없 지만 대학을 가기 위해서 수학 공부를 해야 한다 고 함.
2. 검사도구
연구 참여자들에게는 사전검사와 사후검사로 문제해 결력 검사와 정의적 성취 검사를 모두 실시하였다. 문제
<표 2> 연구 진행일정
연구 설계 및 정보수집 2011. 12. 21 ～ 2012. 4. 22 수업 활동지 개발 2012. 4. 23 ～ 2012. 4. 29 수업 활동지 검증 2012. 4. 30 ～ 2012. 5. 13 예비연구 실행 2012. 5. 14 ～ 2012. 5. 18 수업 활동지 수정 2012. 5. 19 ～ 2012. 6. 13 사전, 사후 문제해결검사지 개발 2012. 4. 30 ～ 2012. 5. 13 사전, 사후 문제해결검사지 검증 2012. 5. 9 ～ 2012. 5. 20
본 연구 실행
2012. 5. 21 ～ 2012. 6. 22 1주 1차시 5/22 카오스게임 2차시 5/24 카오스게임 2주 3차시 5/29 자연수의 분할
3주 4차시 6/4 자연수의 분할
5차시 6/5 비둘기집의 원리 6차시 6/7 비둘기집의 원리
4주 7차시 6/11 게임이론
8차시 6/12 게임이론 9차시 6/14 이차방정식
5주 10차시 6/18 고차방정식과 연립방정식 11차시 6/19 부등식
12차시 6/21 절대부등식 해결력 검사지는 연구자가 고등학교 1학년 수학 내용 중
에서 문제를 발췌하여 개발하였고, 수학전문가, 수학교육 전문가, 동료교사 2인이 검토하였다. 그리고 예비연구를 통해서 문제의 난이도, 문장 유형 등에서 수정 및 보완 이 이루어졌다. 문제해결력 검사지는 3문항으로 이루어 져 있으며 한 문제당 10점씩 30점 만점으로 채점하였고 사후 문제해결력 검사지는 5문항으로 이루어져있으며 한 문제당 10점 씩 50점 만점으로 채점하였는데 사전, 사후 문제해결력 검사의 총점이 다른 관계로 백분위점수를 구 하여 비교하였다. 사후 문제해결력 검사 중에 3문제는 사전 검사와 유사문제를 제시하였고, 2문제는 새로운 유 형의 문제를 제시하였다. 사전 검사와 사후 검사에서 3 문제는 동일한 유형으로 진행되었기 때문에 동일한 유형 의 3문제만 실시하였을 경우 사후 검사가 사전 검사의 영향을 받아 정확한 결과를 얻기 어려울 것으로 판단되 어 새로운 유형 2문제를 추가한 것이다. 사전 문제해결 력 검사 직전에 Polya 문제해결 단계에 대한 안내문을 제시하고 각 단계별로 문제를 해결하는 방법에 대한 설
명을 하였고 사전문제해결력 검사는 45분, 사후 문제해 결력 검사는 1시간을 주었다. 문제해결력 검사의 채점은 연구자를 포함한 고등학교 교사 3인이 각각 채점을 한 뒤 평균점수를 최종점수로 하여 신뢰성을 높였다. 정의 적 성취 검사는 이종희 외 (2011)가 대규모 설문을 통하 여 신뢰도 및 타당도를 확보하여 개발한 수학 학습에 대 한 정의적 성취 검사 도구를 사용하였으며 정의적 성취 검사는 학습지향성 5문항, 자기통제 6문항, 불안 4문항, 흥미 5문항, 가치 인식 6문항, 자신감 4문항으로 6가지 요인을 검사하도록 구성되어 있으며 총 30개 문항이다.
4점 척도(‘전혀 그렇지 않다=1점’, ‘그렇지 않다=2점’, ‘그 렇다=3점’, ‘매우 그렇다=4점’)로 코딩하였고, 그 중 부정 문으로 이루어진 3문항은 역코딩을 하였다. 그리고 본 연구 시작 전과 종료 후에 개별인터뷰를 시행하였고 모 두 녹취하여 분석하였다.
3. 연구일정 및 방법
전체적인 연구의 진행일정은 <표 2>와 같다.
1) 예비연구
예비연구는 희망자 중 4명을 선별하여 2명씩 짝을 이 루어 2개조로 실시하였다. 일주일간 활동지로 수업을 하 였고 사전, 사후 검사를 시행하였다. 일주일간의 수업이 라 문제해결력의 변화를 확인하긴 어려웠으나 난이도가 적절한지 보기 위함이었다. 예비연구 때는 성공적으로 수업이 진행되었으나 본 연구대상 중에 예비연구 대상에 비해 성적이 낮은 학생이 섞여있어서 예비연구 이후에 활동지의 난이도를 조금 낮추어 몇 개의 문항을 수정하 였다.
2) 본 연구
본 연구의 수업은 방과 후에 이루어졌고 매 수업은 비디오카메라를 이용하여 녹화하여 분석하였으며 2명의 연구자가 학생들의 수업을 진행하면서 관찰 기록지를 작 성하였고 학생들은 매 수업이 끝날 때마다 소감문을 작 성하였다. 따라서 수업 녹화 자료, 연구자가 기록한 관찰 기록지, 학생들의 소감문, 학생들의 학습 활동지를 수집 하여 연구 결과 분석을 위한 자료로 사용하였다. 첫 수 업에서 MG-CPS 모델에 대한 안내문을 제시하고 샘플 문제를 함께 풀어봄으로써 MG-CPS 모델에 대해 이해 한 뒤 5주간 수업을 진행하였는데 1차시 수업시간이 2～
3시간으로 상당한 시간을 소요하였고 총 12차시 수업을 진행하였다.
매 수업은 MG-CPS 단계에 맞춰 연구자가 만든 활 동지로 이루어졌고 고등학교 1학년 수학 내용을 바탕으 로 연구대상들의 수준에 맞는 참신한 수업을 구성하였 다. 2명씩 짝을 지어 수업을 진행하였으나 연구 참여자 가 7명인 관계로 (A1,A2), (A3,B1), (B2,C1,C2)조로 편성 하였다. 본 연구에서는 짝을 고정하여 자리를 배치하였 으나 가설 검증 단계까지는 스스로 문제를 해결하는 시 간을 가졌고 반성활동인 정보수집, 수학적 정당화, 발표 단계에서 협동․토론을 진행하였다.
본 연구에서는 ‘문제이해하기 → 문제해결 전략 탐색 하기 → 해결 가설 수립하기 → 가설 검증하기 → 정보 수집을 통해 새로운 해법 알아보기 → 결론을 수학적으 로 정당화하기 → 발표하기’ 단계에 따라 수업을 하였는
데 ‘정보 수집 통해 새로운 해법 알아보기’ 단계는 학생 들에게 낯선 활동이라서 가설 검증에서 부족했던 정보를 수집하고 가설검증의 오류를 수정하고 새로운 풀이법을 모색하는 단계라고 학생들에게 안내하였다. 정보수집단 계에서는 각 학생별 컴퓨터를 제공하여 인터넷을 할 수 있게 하였고 연구자가 갖고 있는 여러 참고서는 공동으 로 볼 수 있게 비치하였으며 각 학생들도 자신이 갖고 있는 교과서 및 참고서를 준비해왔다. ‘결론을 수학적으 로 정당화하기’단계는 증명문제인 경우 가설검증에서 부 족한 부분을 보완하여 증명을 완성하거나 다른 방법으로 증명을 해보도록 했고 증명문제가 아닌 경우는 이 단계 에서 관련 내용을 증명하도록 안내하였다. 수학영재가 아닌 고1 일반학생에게 증명은 낯설고 어려운 일이라 수 학적 정당화 단계를 힘들어하는 모습을 보였다. 그러나 엄밀한 수학적 증명이 아니더라도 학습자 수준에서 수학 적 확인, 계산, 검증을 해보도록 함으로써 수학적 지식을 스스로 구성해 나가는데 도움이 되었고 독창적인 아이디 어를 생성해기도 했다. ‘발표하기’ 단계는 학생들이 앞에 나와 풀이과정을 발표하고 토론하였으며 교사는 발표학 생의 풀이에 오류가 있음에도 다른 학생들이 발견을 하 지 못하거나 토론이 수학적으로 오류가 있는 방향으로 흘러갈 때 개입하여 정정하고 정리해주었다. MG-CPS 수업은 학생들이 문제를 해결하는 과정에서 스스로 수학 적 지식을 발견하고 구성해내도록 교사는 안내하는 정도 의 역할만 해야 하며 교사의 개입이 있을 수 있는 유일 한 단계가 ‘발표하기’단계이다.
수업 중에 학생들이 작성한 활동지 예시는 부록으로 첨부하였다. MG-CPS모델의 정보수집 단계를 통해 가설 검증 단계에서 답을 구해낸 학생은 유사문제와 새로운 해법을 알게 되고 답을 옳게 구하지 못한 학생은 유사문 제를 통해 문제를 더 깊이 이해하고 결국 문제를 스스로 해결해낼 수 있게 된다.
Ⅳ. 연구결과
1. 문제해결력의 변화
다음 <표 3>은 연구 참여자들의 사전, 사후 문제해 결력 검사의 원점수와 백분위점수를 표기한 것이다.
<그림 2> A2학생의 사전 문제해결력 검사 <그림 3> A2학생의 사후 문제해결력 검사
<표 3> 사전, 사후 문제해결력 검사 결과
사전 사후
상 A1 24.3 (81%) 48.3 (96.6%) A2 16 (53.3%) 43.7 (87.4%) A3 10.3 (34.3%) 34 (68%) 중 B1 3.3 (11%) 21 (42%) B2 13.3 (44.3%) 36.7 (73.4%) 하 C1 6 (20%) 27 (54%)
C2 2 (6.7%) 15 (30%)
1) 상 집단
상 집단의 활동지를 분석한 결과 MG-CPS 모델단계 에서의 문제를 이해하는 단계와 해결전략 탐색단계가 눈 에 띈 변화를 보였다. 그리고 난이도가 있는 문제들에
대해서 문제를 정확히 이해하고 접근하다보니 사후 문제 해결 검사결과 문제이해, 계획수립, 계획실행까지 향상되 었으며, 반성단계를 강화한 수업을 통하여 문제를 이해 하고 기억하는데 큰 도움이 되었고 사후 문제해결 검사 의 반성활동에서는 검산에만 그치지 않고 다른 방법으로 문제를 푸는 모습을 보였다.
다음 <그림 2>와 <그림 3>은 상 집단의 학생 중 A2 의 문제해결 검사지로서 상 집단의 문제해결력 변화를 보여주고 있다. MG-CPS 수업에서 해결전략을 탐색하고 다양한 가설을 수립하는 시간들을 통해 A2의 사후 검사 지를 보면 사전 검사지에 비해 문제이해, 계획수립단계 에 기술한 내용이 확연히 구체적이고 자세하게 변했음을 알 수 있다. 그리고 정보수집, 수학적 검증, 발표와 같은 다양한 반성활동을 통해 검산에만 그치는 반성과정이 아
닌 문제를 재해석하여 다른 풀이로 풀어내도록 변화하게 했음을 확인할 수 있었다.
(1) 학생 A1
A1 학생은 가장 우수한 태도로 수업에 참여하였다.
수학적인 지식이 풍부하여 스스로 가설검증을 하고 정보 검색을 하며 다른 학생들에 비해 습득력이 빨랐다. 특히 연구 참여 전에는 서술형 풀이과정을 쓸 때 많은 내용을 생략하여 썼으나 연구 참여 후에는 내용을 생략하지 않 고 남들이 봐도 이해할 수 있도록 서술하는 능력이 향상 되었다. 사후 인터뷰에서 A1 학생은 사전, 사후 검사의 난이도 중 사후 문제해결력 검사의 난이도가 더 높게 느 꼈다고 대답했지만 성취율은 사전보다 사후에서 더 높게 나타났다. 또한 스스로 정보를 검색하는 과정에서 한 문 제에 여러 가지 풀이방법이 있다는 것을 알게 되었고 전 에는 모르는 문제를 선생님이 풀어준 후 나중에 다시 풀 면 못 풀었던 경험이 대부분인데 연구에 사용된 문제들 을 다시 봐도 풀 수 있을 것 같다고 하였다.
(2) 학생 A2
A2 학생은 연구에 참여하기 전보다 문제에서 주어진 것과 구하고자 하는 것을 구분하고 조건을 여러 부분으 로 분해하여 문제에서 구하여야 하는 것을 명확히 이해 하는 능력이 향상된 모습을 보였고, 연구 참여 이후로도 MG-CPS 모델을 이용하여 수업을 했던 것처럼 주어진 문제와 그 해결전략에 대해서 차근차근 생각해보고 모르 는 부분은 인터넷으로도 찾아보면서 고민해 본다고 하였 다. 또한, 풀이과정을 서술하는 능력도 크게 향상되었고 반성과정을 거치려고 한다고 하였다. A2 학생의 두드러 진 변화는 반성활동에서 찾을 수 있었는데 전에는 반성 활동으로 문제에 대한 검토만 했으나 사후 문제해결 검 사에서 계획실행과는 다른 해결방법으로 문제를 해결하 는 모습을 보였다.
(3) 학생 A3
A3 학생은 연구에 참여하면서 점차 지문이 길고 복
잡한 문제들에 대해서도 그림을 그려본다던지 문제에서 주어진 조건을 정리하고 구하고자 하는 것을 구분하면서 문제를 해결하기 시작했다. A3 학생은 사후 인터뷰에서 MG-CPS 모델에 맞추어 문제를 풀 때 도움이 된 점은 정보수집과정과 발표하기 단계였는데 정보 수집 과정에 서는 자신이 푼 답도 확인하고 자신이 푼 것과 다른 풀 이를 찾아 한 문제를 여러 방향으로 접근 할 수 있었고 유사문제도 확인할 수 있는 점이 좋았다고 하였다. 발표 하기 단계에서는 학생들 스스로 자신이 해결한 문제에 대해 이해하고 있는 내용을 발표함으로써 친구들과 토론 을 통해 지식을 수정해 나갈 수 있었고 자신의 해결 방 법과는 다른 풀이방법도 접한 것이 유익하다고 하였다.
뿐만 아니라 MG-CPS 모델의 다양한 반성활동을 통해 학습한 내용을 기억하는데 도움이 되었다고 하였다. 이 로 미루어 A3학생은 MG-CPS 모델을 적용한 수업을 통하여 자신의 풀이 방법과 다양한 풀이를 비교하며 토 론하는 과정에서 자신의 오류들을 수정하고 유사한 문제 들을 확인하는 경험들이 문제 해결력 향상에 도움이 되 었음을 알 수 있다.
2) 중 집단
중 집단의 활동지를 분석한 결과 문제이해, 해결전략 탐색단계가 발전한 모습이 보였고 수업 중 정보탐색하기 와 발표하기에 굉장히 적극적이었으며 인터뷰에서도 정 보탐색단계와 발표단계에 대해 긍정적인 반응을 보였다.
중 집단의 경우 사후 문제해결력 검사에서 문제이해와 계획수립단계는 변화를 보였지만 단기간에 본 연구를 통 해 수학적 지식의 확장을 기대하기는 어려우므로 계획실 행단계까지 향상되긴 어려웠다. 수업을 하면서 예비 수 학적 활동을 통해 문제를 끝까지 해결하지 못했더라도 정보 수집을 통해 문제를 확실히 이해하고 풀이의 오류 를 수정할 수 있게 되었고 발표시간을 통해 수학적 지식 을 재구성할 수 있었다. 중 집단의 학생들은 MG-CPS 모델의 반성활동에 적극적인 참여를 보였는데 다음은 MG-CPS 모델의 반성과정이 B1학생과 B2학생의 문제 해결력에 긍정적인 영향을 미쳤음을 알 수 있는 인터뷰 내용이다.
<그림 4> B1학생의 실험초기 학습 활동지 <그림 5> B1학생의 실험후기 학습 활동지
<학생 B1의 사후 인터뷰 중 일부>
T : 우리가 수업한 단계 중에 5, 6, 7단계가 반성과 정이라고 할 수 있는데 반성과정이 왜 필요할까 요?
B1 : 유사문제를 볼 수 있어서 좋은 것 같아요. 비슷 한 건데 조금 다른 문제를 통해 더 확실히 이해 하게 되는 것 같아요.
T : 그럼 발표하는 것은?
B1 : 발표하면서 머릿속에 있는 것이 정리가 되요 T : 그동안 B1은 학교수업보다는 과외수업에 의지하
고 정형화된 문제풀이를 주로 해왔다고 사전 인 터뷰 때 그랬는데 우리 수업은 어떤 수업이었다 고 생각되요?
B1 : 문제에 대해 고민하고 스스로 풀어보고 정보 수 집하고 친구와 토론하고 발표하면서 스스로 깨 닫게 되는 수업인 거 같아요.
<학생 B2의 사후 인터뷰 중 일부>
T : MG-CPS 수업을 하면서 재미있었던 점 있어요?
B2 : 여러 방면으로 아는 지식을 통틀어서 창의적으 로 생각해보고 푸는 게 재밌기도 하고 신기하기 도 했어요. 친구와 토론을 하면서 문제를 푸니 더 흥미가 생기고 발표를 하고 친구들과 토론을 하면서 알아가니 문제가 좀 더 인상 깊게 남는 것 같아요.
T : 발표가 어떻게 도움이 되는 것 같아요?
B2 : 하나의 문제에 애들이 여러 풀이로 풀어서 설명 을 해주니까 신기하기도 하고 이해가 잘 되었어 요.
(1) 학생 B1
B1 학생의 학습 활동지를 분석해 본 결과 수업이 진 행 될수록 문제이해단계에서 주어진 조건과 구하고자 하 는 것을 자신의 언어로 표현하고, 해결전략 탐색단계에 서 문제의 핵심어를 찾아내 수학적 기호로 표현하거나 식을 세우는 능력이 향상되었음을 알 수 있었다. <그림 4>과 <그림 5>를 보면 연구 초기에는 문제이해단계에 서 주어진 조건과 구하고자 하는 것을 명확히 구별하지 못하여 조건을 빠뜨렸으나 연구가 진행됨에 따라 그런 모습을 보이지 않았고 해결 전략 탐색단계에서 구체적인 문장이나 수학기호로 정확히 표현해내는 모습을 관찰할 수 있었다. 사후 검사에서 문제이해와 계획수립은 향상 된 것이 두드러졌으나 계획실행에서 옳은 풀이를 이끌어 내는 경우는 많지 않았다. MG-CPS 수업을 통해 공부한 내용은 기억에 오래 남고 참여할 수 있는 수업인 점이 좋았고 정보를 수집하면서 답도 확인하고 유사문제도 살 펴보고 하니 주어진 문제를 다시 살펴보고 분석해볼 수 있어 문제에 대한 이해가 더 잘 되었다고 한다. 반성활 동으로 전에는 검토만 했는데 MG-CPS의 반성과정은 유사문제에 대처하는 능력을 한 층 높일 수 있다고 하였 다.
<그림 6> B2학생의 사전 문제해결력 검사 <그림 7> B2학생의 사후 문제해결력 검사 (2) 학생 B2
B2 학생은 연구 참여 초기에는 활동지에 몇 글자 쓰 고 선생님께 맞는지 확인하는 과정을 되풀이했는데 수업 이 진행되면서 선생님에 대한 의존도가 낮아지고 스스로 문제를 풀고 정보 수집을 하며 자신의 풀이를 수정하고 유사문제를 통해 새로운 해법을 찾아가는 능력이 향상됨 을 관찰할 수 있었다. B2 학생은 사후검사에서 놀라운 결과를 보여주었는데 <그림 6>과 <그림 7>을 보면 계 획수립단계에 사전 검사에서는 모호한 문장의 나열이었 던 것에 반해 사후 검사에서는 문제의 표를 해석하여 승 무원의 입장에서 기능을 나열하여 풀이의 아이디어를 얻 어내는 모습을 보였다. 이 방법은 연구에 참여한 학생들 중 가장 논리적인 문제해결 전략이었으며 계획실행단계 에서도 끝까지 문제를 명확하게 해결해나가는 모습을 확 인할 수 있었다. 그리고 B2 학생은 본 연구에 참여하면
서 반성활동으로 친구들과 함께 의논하고 다른 친구들의 풀이를 공유하는 것이 자신의 문제해결력을 향상시키는 데 효과적이라고 했다.
3) 하 집단
하 집단 학생들은 주로 문제를 이해하는 능력이 향상 되었다. 두 학생 모두 처음에는 문제를 읽어보려고도 하 지 않았으나 연구가 진행되면서 문제에서 주어진 것과 구하고자 하는 것을 명확히 파악하여 서술할 수 있었다.
수업 중 때로는 문제에 주어진 조건들을 분해하여 그림 을 그리거나 기호로 표현하는 놀라운 모습도 보였다. 그 러나 여전히 문제에서 주어진 것과 자신의 수학적 지식 을 이용하여 해결 전략을 세우는 데는 한계가 있었다.
두 학생 모두 사전 문제해결력 검사지를 거의 백지 상태 로 냈었으며 수학을 말로 설명한다는 것 자체를 이해하
<그림 8> C1학생의 실험초기 학습 활동지 <그림 9> C1학생의 실험후기 학습 활동지
<그림 10> C2학생의 실험초기 학습 활동지 <그림 11> C2학생의 실험후기 학습 활동지 지 못했었는데 수업을 진행하면서 점차 말로 풀어쓰는
능력이 향상됨을 볼 수 있었고 풀이과정을 서술하는 능 력도 좋아졌다.
(1) 학생 C1
처음에는 수동적인 자세로 무엇을 해야 할지 모르고 가만히 앉아있거나 친구와 잡담을 하였고 수업의 진행사
