GeoGebra의 구성단계 기능을 활용한 고등학교 수학 영재 문제해결 과정의 창의성 평가 사례 연구
양 성 현 한국교육과정평가원
1)
고등학교 영재학급의 학생들의 수준과 능력에 적절한 교수 ․ 학습 프로그램 개발에 대한 연구와 영재프로그램에 참여한 학생들에 대한 과정 평가의 필요성에 기반하여 본 연구는 수학 영재 학생들의 문제해결 과정에서 발현되는 창의성을 과정 중심으로 평가할 수 있는 교수 ․ 학습 사례 를 제시하였다. 수학 교수 ․ 학습 소프트웨어의 일종인 GeoGebra를 활용하여 학생들이 도형을 작도하는 과정에서 GeoGebra의 인터페이스의 사용과 대수적 계산을 병행하여 다양하고 창의적 방법으로 도형을 작도하는 과정을 분석하였다. GeoGebra의 ‘구성단계’와 ‘구성단계 네비게이션 바’ 기능을 활용하여 학생 개개인이 작도 과정에서 사용한 명령어, 실행 과정 및 실행 횟수를 확인하고, 이 과정에서 발견되어지는 학생들의 창의성을 도출하였다. 이를 학생 개개인의 고등 학교 교육과정에 대한 선행 정도와 비교 ․ 분석하여 이러한 교수 ․ 학습 방법이 교육청 단위로 선발하는 영재교육원 뿐만 아니라 단위학교 영재학급에서도 적용 가능함을 확인하였다.
주제어: GeoGebra, 구성단계, 구성단계 네비게이션바, 수학 영재, 문제해결 과정, 창의성 평가
I. 연구의 필요성과 목적
영재교육진흥법이 2000년에 제정된 이후 15년 동안 우리나라의 영재교육은 양적 ․ 질적 향 상을 이룩하여 왔다. 한국교육개발원(2014)에서 발간한 영재교육 통계 연보에 따르면 2003 년부터 2013년까지 영재교육대상자는 6.1배 증가하였으며 영재교육 기관은 7.5배 증가하였 다. 특히, 최근 5년 동안 타 영재교육 기관의 학생 수가 1.2~1.5배 증가한 반면 각 단위학교 에서 운영하는 영재학급의 학생 수는 3.9배 증가하였다.
영재교육 기관은 영재학교 ․ 과학고, 영재교육원(교육청 ․ 대학부설), 영재학급으로 크게 3 가지 유형으로 나누어지는데, 2013년 기준 영재학급은 전체 영재교육 기관의 88.0%에 해당 하며, 영재교육 대상자의 61.7%를 교육하였다. 또한, 영재교육 교육분야별 대상자 중 수학이
교신저자: 양성현([email protected]) Journal of Gifted/Talented Education 2014. Vol 24. No 6, pp. 897～916
15.8%이고, 수 ․ 과학이 50.7%로 전체 대상자의 66.5%를 차지하고 있다. 이러한 통계를 통하 여 알 수 있듯이 영재교육 대상자 중 상당수의 학생이 학교에서 운영되고 있는 영재학급에 소속되어 있으며 수학과 과학 교과에 집중되어 교육을 받고 있음을 알 수 있다.
특히, 영재교육 대상 고등학생 중 영재학교 ․ 과학고에 진학한 학생을 제외한 85.39%가 단위 학교에서 운영하고 있는 영재학급에서 교육을 받았다. 그러나 박경빈(2012)의 한국 영재교육 의 연구 동향 분석에서도 2009년부터 2012년까지 ‘영재교육연구’에 실린 228편의 논문 중 연 구 대상이 고등학생인 경우는 6편에 불과하며, 전선미, 유원석(2011), 민경아, 유미현, 고호경 (2010)의 수학영재 연구 동향 분석을 살펴보더라도 2000년부터 2010년까지 연구 대상이 고등 학생인 경우는 학위논문 259편 중 24편, 학술지 논문 149편 중 19편으로 초등학생과 중학생을 대상으로 하는 연구에 비하여 미비한 실정이다. 수학적 재능이 뛰어난 초등학생과 중학생을 선발하여 교육하는 것도 필요하지만 고등학교까지 지속적으로 또는 고등학교에서 선발된 영재 학생들을 교육시키는 것도 이에 못지않게 중요한 문제라 할 수 있다(전선미, 유원석, 2011).
영재교육진흥법(2013)에서는 영재를 ‘재능이 뛰어난 사람으로서 타고난 잠재력을 계발하기 위하여 특별한 교육이 필요한 사람을 말한다.’라고 정의하고 있다. 그러나 영재들이 뛰어난 지능을 타고났다 할지라도, 적절한 교육 기회가 제공되지 않는다면 높은 성취에 도달할 수 없을 것이다(Benbow & Arjmand, 1990). 이미 많은 연구(조석희 외, 2003; 2004; 송상헌, 2004;
최종현, 송상헌, 2005; 전영주, 2010; 전선미, 유원석, 2011)에서 영재 아동들의 능력 수준과 욕구 수준을 파악하고 그에 적합한 교육 프로그램을 제시하는 것이 그들의 잠재능력을 더욱더 계발시킬 수 있다고 언급하고 있다. 다시 말해, 단위학교 특히 고등학교 영재학급 학생들의 수준과 능력에 적절한 교수 ․ 학습 프로그램 개발에 대한 연구가 더욱 필요한 현실이다.
영재교육을 위한 교수 ․ 학습 자료 개발의 필요성이 대두되면서 그 동안 많은 자료들이 개 발되어 왔으나, 영역이나 주제, 내용 등에 있어 특정 부분에 편중되거나 중복되는 경우가 많 고, 내용 구성의 체계에 있어서도 일관성이 부족하였다(전선미, 유원석, 2011).
송상헌(1998)은 영재교육을 활성화하기 위해서 가장 선차적으로 해결해야 할 부분이 ‘실 제로 운영할 수 있는 프로그램의 개발’이라고 하였다. 또한 영재들을 위한 교수 ․ 학습 자료 에 활용할 새로운 소재를 발굴하고 그것을 구현하는 일은 비록 힘들지만 매우 창의적인 작 업이며 지속해야 할 과업이라 하였다. 더불어 영재프로그램에 참여한 학생들에 대한 과정적 평가가 병행되어져야 할 필요가 있다. 평가를 통하여 각 학생들에게 중요한 진단적 피드백 을 충분히 제공하고 학생들의 진전 상황을 파악하기 위한 목적으로 행해진다면 그 결과는 학생들의 성장을 촉진시킬 수 있다(고상숙 외, 2012).
영재성의 가장 중요한 요소 중 하나는 창의성이다. 최근 창의성 관련 연구에서는 창의성 이 문제해결 과정에서 나타나게 된다는 점이 강조되고 있다(황우형 외, 2006; 김부윤, 이지 성, 2009; 박만구, 2009; Silver, 1997; Yoshihko, 1997). 창의성이 문제를 해결하는 과정에서 발휘되는 것이기 때문에 창의적 문제해결력과 동일시하는 경향(조석희, 황동주, 2003)이 있 으며, 최근의 문제 해결에 대한 정의는 창의성을 포함하는 것이 일반적이다(조석희, 2003).
수학교육에 있어서도 많은 선행연구(권오남, 김정효, 2000; 남승인, 2007; 김판수, 2008)에
서 수학적 창의력을 수학적 문제해결력과 관련지어 정의하고 있으며, 수학적 창의성을 문제 해결 과정의 특성으로 보거나 창의적인 산출물을 만들어 내는 능력으로 제시하고 있다(유윤 재, 2009; 이대현, 2012; 김수경 외, 2012; 남흥숙, 박문환, 2012). 이에 수학적 창의력을 발현 시키는데 초점을 둔다면 학생들이 새롭고 독창적인 방식으로 활동하면서 문제를 해결하면서 창의적 사고력을 개발하는데 도움이 되는 교수 ․ 학습이 이루어지도록 해야 한다(권오남 외, 2005). 이와 같이 선행연구를 통하여 알 수 있듯이 문제해결 과정에서 수학 영재 학생들의 창의성을 평가하는 것은 당연하다 할 수 있다. 그럼에도 불구하고 고등학교 수학 영재 학생 들의 문제해결 과정의 창의성 평가에 대한 연구는 미진한 실정이다. 신희영, 고은성, 이경화 (2007)는 지필평가 이외에 관찰평가에 의해 영재를 선발하는 것이 필요하며, 관찰평가 결과 를 통해 적절한 영재교육 프로그램을 개발하거나 수정의 시도가 필요하다고 하였다. 영재 학생 개개인의 성향과 발전 과정 평가에 대한 연구가 병행되어야 한다.
본 연구는 이러한 필요성에 기반하여 단위학교 영재학급에서 적용이 가능하고, 수학 영재 학생들의 문제해결 과정에서 발현되는 창의성을 과정 중심으로 평가할 수 있는 교수 ․ 학습 사례를 제시하고자 한다. 수학 교수 ․ 학습 소프트웨어의 일종인 GeoGebra를 활용하여 학생 들이 도형을 작도하는 과정에서 GeoGebra의 인터페이스의 사용과 대수적 계산을 병행하여 다양하고 창의적 방법으로 도형을 작도하는 과정을 분석하였다.
II. GeoGebra를 활용한 도형의 작도 1. GeoGebra에 대하여
연구에 적용한 수학학습 소프트웨어는 GeoGebra이며 프로그램의 선택 이유는 확장 가능 성, 조작의 용이성, freeware 세 가지이다. GeoGebra는 기존의 DGS1)가 지니고 있는 모든 인 터페이스를 내장하고 있으며 GrafEq가 지니고 있는 모든 기능2)도 내포하고 있는 수학 교수
․학습 소프트웨어이다. 무엇보다도 가장 큰 장점은 조작의 용이성이다. 3시간의 교사 연수 를 통하여 중 ․ 고등학교 수학과 교육과정에서 사용가능한 전반적인 내용의 전달이 가능하며 함수 입력에 관한 10분 정도의 설명이면 고등학교 과정에서 다루어지는 모든 함수를 대수창 을 이용하여 입력할 수 있다(양성현, 2012). GeoGebra의 어원이 Geometry+Algebra인 것과 같이 GeoGebra는 교수 ․ 학습 상황에서 기하와 대수의 연결성을 증진시킬 수 있는 효과적인 교수 ․ 학습 소프트웨어이다.
2. GeoGebra를 활용한 도형의 작도
기하학의 작도 문제는 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 이용하는 것으로 알려져 있다. 또한 대 수적 방법은 주어진 문제가 자와 컴퍼스로 작도가 가능한 문제인지 확인하는 도구가 되며
1) Dynamic Geometry Software
2) 대수창에 함수를 직접 입력하면 기하창에서 입력한 함수를 시각적으로 확인할 수 있는 기능.
단계 작도 과정 화면상의 작도 상태 1 1.1. 반지름이 인 원을 작도한다.
1.2. 원 위에 임의의 한 점을 작도한다.
1.3. 회전 명령어를 이용하여 새로운 두 점을 작도한다.
* 명령어: 회전[B, ∘, A]
1.4. 원 안에 내접하는 정삼각형을 작도한다.
2 2.1. 두 번째로 작도할 원의 반지름을 이라 하면
,
2.2. 중심을 지나고 밑변에 수직인 선을 작도한다.
2.3. 2.2에서 작도한 수직선과 밑변의 교점을 중심으로 반지름이 인 원을 작도한다.
3 3.1. 2.3에서 작도한 원과 밑변과 만나는 점에서 다시 반지름이 인 원을 작도한다.
3.2. 3.1에서 작도한 원과 밑변에 수직인 직선과의 교점을 중심으로 다시 반지름이
인 원을 작도한다.
3.3. 회전 명령어를 이용하여 새로운 두 원을 작도한다.
4 4.1. 1.1에서 작도한 원의 중심과 1.4에서 작도한 삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 직선을 작도한다.
4.2. 대칭 명령어를 이용하여 3.2와 3.3에서 작도한 원과 접하고 4.1에서 작도한 직선들에 대칭인 세 원을 작도한다.
* 명령어: 대칭[p, e]
5 5.1. 1.4에서 작도한 삼각형에 내접하는 원을 작도한다.
5.2. 1.1부터 4.2의 과정을 반복한다.
<표 1> GeoGebra를 활용한 도형의 작도
작도가 가능한 경우에 구체적인 문제해결을 위한 암시를 제공해 준다(공선혜, 한인기, 2008).
이처럼 작도와 대수의 관계는 독립적이면서 보완적인 관계를 지니고 있다. 또한 컴퓨터 소 프트웨어를 적절히 사용한다면 수학화, 비교적 복잡한 상황의 모델링과 시뮬레이션, 컴퓨터 상에서의 표현의 명료화, 다양한 수학적 표상 사이의 번역, 역동적인 도형들의 변화 탐구 등 의 기회가 많아지며 자신의 추론을 시각적으로 확인할 수 있게 한다(류희찬, 조완영, 1999;
류현아, 2003). 본 연구에서는 학생들이 GeoGebra를 활용한 도형의 작도 과정에 대수적 계 산을 접목하여 다양한 방법으로 도형을 작도하는 과정을 제시하고자 한다. 학생들의 결과물 에 앞서 구체적인 도형 제작 과정의 예를 제시하면 <표 1>과 같다.
<표 1>은 2010년 EBS final 나형 7회 15번 문항에 수록되었던 무한등비급수 도형의 작도 과정을 학생의 입장에서 재구성한 것이다. <표 1>에서 단계1, 단계4, 단계5는 고전적인 작도 와 GeoGebra의 인터페이스의 특정 기능(대상보이기, 설정사항)을 적용하고 있으며, 단계2와 단계3은 대수적 계산을 작도에 활용하여 도형을 작도하는 과정이다.
3. 교수․학습 소프트웨어를 활용한 수업
수학은 여러 분야로 나누어져 있는데 수학교육에 있어서 기하학 영역은 여러 분야의 개념 과 밀접하게 관련되어 있어서 그 해결 방법도 다양하며 학생들로 하여금 창조적으로 사고하 고 스스로 생각하게 하는데 효과적인 분야이다(권윤신, 류성림, 2013). 그러나 기하는 수학의 기초를 이루는 중요한 영역임에도 불구하고 수학 영재를 위한 기하 학습 프로그램과 영재를 지도하기 위한 교수전략 및 교수 ․ 학습 사례에 대한 연구가 미진한 실정이다(전영주, 2010).
전선미, 유원석(2011)의 중등 수학 영재 교수 ․ 학습자료 개발 동향 분석에서 내용의 성격에 따른 분석에 의하면 교구활용형 프로그램이 전체 프로그램의 7.39%로 가장 낮은 비중을 차 지하고 있음을 지적하고 있다. 또한 중학생 대상 프로그램들 중 중학교 1학년을 대상으로 하 는 것이 69.46%로 저학년에 편중되어 자료가 개발되고 있음을 시사하고 있다.
본 연구에서 사용되어진 교수 ․ 학습 자료의 형태는 전선미, 유원석(2011)의 분류에 의하면
“고1/심화형/1~3단계/과제해결형+교구활용형/종합”에 해당하며, 피타고라스의 정리를 학습한 중학교 3학년 학생들에게도 적용이 가능하다.
III. 연구 방법 1. 연구 참여자 및 수업 진행 과정
본 연구의 참여자는 S시도교육청에서 운영하고 있는 영재교육원 1학년 학생 19명으로 구 성되어 있다. 본 연구의 실험은 영재교육원의 수업의 일부로 진행된 것이며 연구자가 영재 교육 강사로 참여를 하였다. 수업의 구성은 <표 2>와 같이 총 2차시 4시간으로 진행되었다.
구분 수업 내용
1차시 전반부 GeoGebra 인터페이스 활용에 대한 강의 및 조작 연습 후반부 2차시에 치러지는 도형 작도 문제와 동형 문제 제시 및 풀이 2차시 전반부 GeoGebra를 활용한 도형의 작도와 관련한 학생 개별 테스트
후반부 개인별 문제 해결 과정 발표 및 설문 조사
<표 2> 수업의 구성
[그림 1] GeoGebra의 ‘구성단계’와 ‘구성단계 네비게이션바’ 기능
1차시의 전반부는 GeoGebra의 인터페이스에 대한 활용 방법에 대한 강의를 들으며 동시 에 직접 조작해 보는 시간으로 구성되었다. 후반부는 2차시에 다루어지는 도형 작도 문제와 유사한 문제들을 연구자와 같이 작도를 해보고 연습하였으며, 질문이 있는 학생들은 자유로 이 질문을 할 수 있도록 하였다. 2차시의 전반부에는 연구자가 제시한 문제를 학생들이 제한 된 시간 동안에 해결하는 시간을 가졌으며, 후반부에는 자신의 문제해결 과정을 발표하는 시간을 가졌다. 독창적인 아이디어로 문제를 해결한 학생은 동료 학생들에게 자신의 해결 과정을 GeoGebra의 ‘구성단계’ 기능을 활용하여 발표하도록 함으로써 한 가지 문제 상황에 대하여 다양한 해결 방법이 존재할 수 있다는 것을 인지하도록 하였다. 수업에 참여한 모든 학생들은 GeoGebra를 처음 접한 학생들이다.
2. 자료 수집 및 분석
학생들은 2차시 전반부에 시행되어진 작도 관련 문제에 대한 활동지와 자신이 작도한 GeoGebra파일을 모두 제출하였다. 연구자는 활동지를 통하여 학생들이 작도에 어떠한 대수 적 계산이 동반되었는지를 확인하고, 제출한 GeoGebra파일은 ‘구성단계’ 및 ‘구성단계 네비 게이션바’ 기능을 이용하여 학생들의 작도 과정에서 사용한 명령어와 대수적 계산 내용 확 인을 통하여 학생들의 창의성을 파악하고자 하였다. 2차시 후반부 발표 과정에서도 학생들 은 자신의 작도 과정을 두 기능을 활용하여 동료 학생들에게 발표하였다.
수학 학습 소프트웨어를 활용한 본 수업에 대한 학생만족도 조사를 위하여 현재까지 진행 되어진 영재교육과정에 대한 수업 만족도와 본 수업에 대한 수업 만족도 조사를 실시하였으 며, 학생들의 선행학습 정도와 문제해결 과정의 창의성을 분석하고자 학생들의 고등학교 교 육과정에 대한 선행학습 정도를 수학교과목별 ․ 단원별 조사를 실시하였다.
3. GeoGebra의 ‘구성단계’와 ‘구성단계 네비게이션바’ 기능
GeoGebra의 ‘구성단계’와 ‘구성단계 네비게이션바’ 기능을 활용하여 학생 개개인이 작도 과정에서 어떠한 명령어를 사용하였으며 어떠한 순서로 몇 번의 실행을 통하여 주어진 도형 을 작도하였는지 확인할 수 있다. 또한 ‘구성단계 네비게이션바’ 기능을 활용하면 학생이 작 도한 과정을 영상처럼 재구현할 수도 있다. [그림 1]의 왼쪽은 S-05 학생이 제출한 문항2에
대한 GeoGebra파일을 캡처한 것이고, 오른쪽은 학생이 제출한 파일에 GeoGebra의 ‘구성단 계’와 ‘구성단계 네비게이션바’ 기능을 실행한 화면을 캡처한 것이다.
‘구성단계’ 기능의 실행 방법은 [그림 2]의 왼쪽 상단 그림과 같이 보기메뉴에서 선택할 수 있으며, 실행시 [그림 2]의 왼쪽 하단의 그림과 같이 학생의 작도 구성 과정과 작도과정 에 사용한 단계별 명령어를 확인할 수 있다. ‘구성단계 네비게이션바’ 기능은 [그림 2]의 오 른쪽 상단 그림과 같이 실행 화면(기하창)에서 오른쪽 마우스를 클릭한 후 선택하여 실행할 수 있다. ‘구성단계 네비게이션바’ 기능을 실행할 경우 [그림 2]의 오른쪽 하단 그림과 같이 학생이 작도를 위하여 실행한 실행 횟수와 실행 과정을 복귀할 수 있는 버튼이 생성된다. 이 를 통하여 교사는 학생들의 실행 과정을 직접 재현하여 학생의 문제해결 과정을 단계별로 확인할 수 있다.
[그림 2] GeoGebra의 ‘구성단계’와 ‘구성단계 네비게이션바’ 기능 실행 방법
IV. 결과 분석
수업에 참여한 학생들은 2009 개정에 따른 수학과 교육과정이 적용되며, <표 3>에 제시 된 것과 같이 수학과 선택 교육과정 일반 과목으로 6개의 수학 과목을 배울 예정인 학생들 이다. 과목별 ․ 단원별로 선행 학습 정도를 확인한 결과 고등학교 교육과정의 평균 71.7%3)를
3) 설문 실시일 기준: 2014년 4월 5일.
학생 수업 만족도
학생별 선행학습 정도
해결 문항 수
문항 해결 여부 수학
1 수학 2 미적
분1 미적
분2 기벡 확통 합계 교육과정
선행 정도
(백분위) 문항
1 문항 2 문항
3 과목별 단원 수
전체 본 수업 3 4 4 4 3 3 21 100
S-01 7 10 3 4 3 2 12 57.1 3 ○ ○ ○
S-02 9 9 3 4 4 4 3 18 85.7 3 ○ ○ ○
S-03 10 10 3 4 4 3 1 3 18 85.7 2 ○ ○
S-04 10 10 3 4 4 4 3 2 20 95.2 2 ○ ○
S-05 8 10 3 4 4 4 3 1 19 90.5 2 ○ ○
S-06 5 5 3 4 4 4 3 18 85.7 2 ○ ○
S-07 5 8 3 3 14.3 1 ○
S-08 9 9 3 4 4 4 15 71.4 1 ○
S-09 9 9.5 2 2 9.5 2 ○ ○
S-10 8 9 3 4 4 4 3 3 21 100.0 3 ○ ○ ○
S-11 7 7 3 4 4 11 52.4 1 ○
S-12 7 9 3 4 4 11 52.4 3 ○ ○ ○
S-13 7 8 3 4 4 4 3 1 19 90.5 3 ○ ○ ○
S-14 10 10 3 4 4 4 3 3 21 100.0 1 ○
S-15 8 8 3 4 4 4 3 3 21 100.0 2 ○ ○
S-16 10 10 3 4 4 4 15 71.4 1 ○
S-17 8 9 3 4 4 2 13 61.9 1 ○
S-18 8 8 3 4 4 4 1 2 18 85.7 2 ○ ○
S-19 8 8 3 4 3 1 11 52.4 2 ○ ○
평균 8.1 8.8 2.9 3.6 3.5 2.7 1.2 1.2 15.1 71.7 1.95 19 11 7
<표 3> 수업 만족도, 선행 학습 정도, 해결 문항 수
선행한 학생들이다. 학생들은 1차시 수업을 통하여 [그림 3]의 도형을 대수적 계산과 함께 GeoGebra를 활용하여 작도하는 수업을 진행하였으며, 2차시에는 50분 동안 [그림 4]의 3가 지 도형을 테스트 과제로 부여받았다.
[그림 3] 1차시 수업에서 학생들이 작도한 도형
문항1 문항2 문항3
[그림 4] 2차시 테스트 과제로 부여된 도형
2차시 테스트 과제에 대한 해결 문항 수는 학생들이 제출한 파일을 기준으로 총 19명의 학생 중 문항1은 19명, 문항2는 11명, 문항3은 7명이 작도를 완성하였다.
1. 문항1 문제해결 과정 평가
문항1은 수업에 참여한 모든 학생이 도형의 작도를 완성하였으며, 해결한 19명의 학생 중 16명의 학생은 [그림 5]와 같이 대수적 계산을 통하여 계산된 반지름의 값을 작도에 적용하 였다. 대부분의 학생이 S-13와 S-14 학생과 같이 외접하는 가장 큰 원의 반지름을 설정 후 비를 활용하여 반지름을 구한 반면, S-18 학생은 길이가 아닌 좌표로의 접근 방법을 선택하 였다.
S-09, S-11, S-12 학생은 대수적 계산 과정을 생략하고 GeoGebra의 인터페이스들만을 활 용하여 문항1의 도형을 작도하였다.
S-13 학생 S-14 학생 S-18 학생
[그림 5] 학생들의 문항1에 대한 대수적 계산 과정
학생들의 작도 방법은 <표 4>와 같이 크게 5가지로 분류할 수 있다. 방법1 ․ 2 ․ 3은 대수적 계산을 작도에 활용한 사례이다. 방법1과 방법2는 동일하게 도형의 작도에 좌표축을 활용하 였으며 오로지 대수창에 식의 입력만을 이용하여 도형을 완성한 경우이다. 두 방법에서의 차이점은 입력 순서의 차이만 존재한다. 즉, 안쪽 원과 바깥쪽 원의 작도 순서에 차이가 존 재할 뿐이다. 방법3은 내접하는 원을 작도하는 과정에서 원점과 좌표축을 활용하여 회전 또 는 대칭 명령을 사용하여 작도를 한 경우이다.
S-11 학생과 S-12 학생은 <표 4>의 방법4와 같이 GeoGebra의 기능 중 격자 기능을 활용 하여 대수적 계산 과정을 생략하고 문항1의 도형을 작도하였으며, S-09 학생 또한 대수적 계 산 과정 없이 <표 4>의 방법 5와 같이 정사각형을 활용하여 도형을 작도하였다.
구분 작도 방법 학생 방법
1
단계1: 네 점 , , ,
을 중심으로 반지름이 인 원을 작도한다.
단계2: 원점을 중심으로 반지름이 인 원을 작도한다.
S-01, S-04 S-06, S-08 S-10, S-13 S-14, S-18
S-19 방법
2
단계1: 원점을 중심으로 반지름이 인 원을 작도한다.
단계2: 네 점 , , ,
을 중심으로 반지름이 인 원을 작도한다.
S-03 S-07 S-17
방법 3
단계1: 대수창을 활용하여 원 의 식을 입력한다.
단계2: 원점을 중심으로 원 를 회전하여 원 ,
, 를 작도한다. (축 또는 축 대칭을 활용하여 작도한다.)
단계3: 원점을 중심으로 반지름이 인 원을 작도한다.
S-02 S-05 S-15 S-16
방법 4
단계1: 격자를 활용하여 네 원을 작도한다.
단계2: 점 와 를 연결하는 직선을 작도한다.
단계3: 직선 와 원 의 교점을 작도한다.
단계4: 점 를 중심으로 반지름이 인 원 을 작도한다.
S-11 S-12
방법 5
단계1: 정사각형과 정사각형의 각 변의 중점을 작도한다.
단계2: 정사각형의 꼭짓점을 중심으로 반지름이 변의 인 네 원을 작도한다.
단계3: 점 와 를 연결하는 직선을 작도한다.
단계4: 직선 와 원 의 교점을 작도한다.
단계5: 점 를 중심으로 반지름이 인 원 을 작도한다.
S-09
<표 4> 문항1 도형 작도에 사용된 학생들의 작도 방법
2. 문항2 문제해결 과정 평가
문항2를 해결한 11명의 학생 중 10명의 학생이 S-12와 S-19 학생과 같이 첫 번째 원의 반 지름을 2 또는 10으로 정한 후 첫 번째 원에 내접하고 첫 번째 삼각형에 외접하는 원의 반지 름을 미지수로 놓고 피타고라스의 정리를 이용하여 계산을 하였다. 11명의 학생 중 S-03 학 생만이 비례를 이용하여 원의 반지름을 계산하였다.
구분 작도 방법 학생 방법
1
단계1: 원 을 작도한다.
단계2: 점 에서 직선 에 수직인 직선을 작도한다.
단계3: 점 에서 직선 에 수직인 직선을 작도한다.
단계4: 단계2와 단계3에서 작도한 두 직선의 교점 를 중심으로 원 를 작도한다.
S-01 S-02 S-05 S-06 S-09 S-12 S-19
방법 2
단계1: 원 을 작도한다.
단계2: 점 에서 직선 에 수직인 직선을 작도한다.
단계3: 원 을 작도한다.
단계4: 단계2에서 작도한 직선과 원 와의 교점 를 중심으로 원 를 작도한다.
S-10 S-13
<표 5> 문항2 도형 작도에 사용된 학생들의 작도 방법
S-12 학생 S-19 학생 S-03 학생
[그림 6] 학생들의 문항2에 대한 대수적 계산 과정
문항2에서 가장 핵심적인 부분은 첫 번째 원에 내접하고 첫 번째 삼각형에 외접하는 여섯 개의 원 중 한 원을 작도하는 부분이다. 문항2에 성공한 11명의 모든 학생이 여섯 개의 원 중 한 원을 작도한 후 나머지 다섯 개의 원을 모두 회전과 대칭 명령을 이용하여 완성을 하 였다. 그러나 여섯 개의 원 중 처음 원을 작도하는 데에는 <표 5>와 같이 서로 다른 4가지의 방법을 사용하고 있었다. 9명의 학생이 방법1, 2와 같이 수직인 직선과 교점을 활용한 반면,
방법 3
단계1: 원 을 작도한다.
단계2: 점 를 중심으로 원 을 ∘ 회전 하여 원 를 작도한다.
S-03
방법 4
단계1: 원 을 작도한다.
단계2:직선 와 직선 가 원 과 만나 는 두 점을 지나는 직선을 작도한다.
단계3: 단계2에서 작도한 직선에 대하여 원
을 대칭하여 원 를 작도한다.
S-04
S-03 학생은 회전 명령을 이용하여 원 을 회전하여 원 를 작도하였으며 S-04 학생은 대칭 명령을 이용하여 원 을 직선 에 대칭하여 원 를 작도하였다.
3. 문항3 문제해결 과정 평가
S-02 학생 S-18 학생 S-01 학생 S-12 학생
[그림 7] 학생들의 문항3에 대한 대수적 계산 과정
문항3을 해결한 학생은 모두 7명이었으며 대수적 계산 과정은 크게 2가지 방법으로 나뉘 어졌다. 첫 번째는 [그림 7]의 S-02와 S-18 학생과 같이 처음 직사각형의 한 변의 길이를 정 한 후 추가되는 직사각형의 한 변의 길이를 변수로 취하고 피타고라스의 정리를 이용하여 계산하는 방법이다. 두 번째는 [그림 7]의 S-01와 S-12 학생과 같이 좌표와 원의 방정식을
그룹1 그룹2 그룹3 그룹4 학생 선행
정도 해결
문항 수 학생 선행 정도
해결
문항 수 학생 선행 정도
해결
문항 수 학생 선행 정도
해결 문항 수 S-10 100 3 S-13 90.5 3 S-08 71.4 1 S-12 52.4 3 S-14 100 1 S-02 85.7 3 S-16 71.4 1 S-19 52.4 2 S-15 100 2 S-03 85.7 2 S-17 61.9 1 S-07 14.3 1 S-04 95.2 2 S-06 85.7 2 S-01 57.1 3 S-09 9.5 2 S-05 90.5 2 S-18 85.7 2 S-11 52.4 1
평균 97.1 2.0 평균 86.7 2.4 평균 62.8 1.4 평균 32.2 2.0
<표 7> 교육과정 선행 정도와 문항 해결 빈도 도입하여 계산하는 방법이다.
구분 작도 방법 학생
방법
1
단계1: 직사각형 를 작도한다.
단계2:와 의 중점 와 를 작도한다. 단계3: 원호(부채꼴) , 와 ,
를 작도한다.
단계4: 대수적 계산을 통해 얻은 값을 이용하 여 원 를 작도한다.
단계5: 원 와 와의 교점 를 작도한다. 단계6:에 수직이고 점 를 지나는 수직
선을 작도한다.
단계7: 단계6과 같은 방법으로 점 , , 를 작도한 후 직사각형 를 작도한다. 단계8: 직사각형 안에 단계2, 3과 같은
방법으로 도형을 작도한다.
S-02 S-10 S-13 S-15 S-18
방법
2
단계1: 직사각형 를 작도한다.
단계2:와 의 중점 와 를 격자를 활용하여 작도한다.
단계3: 원호(부채꼴) , 와 ,
를 작도한다.
단계4:격자를 활용하여 점 , , , 를 작도한 후 직사각형 를 작도한다. 단계8: 직사각형 안에 단계2, 3과 같
은 방법으로 도형을 작도한다.
S-01 S-12
<표 6> 문항3 도형 작도에 사용된 학생들의 작도 방법
4. 문제해결 과정의 창의성 평가
평가에 참여한 학생들의 교육과정 선행 정도에 따라 4개의 그룹으로 나누어 해결 문항 수 를 살펴보았다. <표 7>과 같이 그룹1과 그룹4의 평균은 2.0으로 동일하게 나타났고, 그룹2의
평균이 2.4로 가장 높게 나타났다. 이는 학생의 교육과정 선행 정도와 해결 문항 수 사이에 유의미한 상관관계가 나타나지 않음을 보여주고 있다고 할 수 있다.
몇몇 연구(손희림, 유윤재, 2011; 조석희, 황동주, 2007)에 의하면 일반적으로 수학학업능 력면에서 교육청 단위로 선발하는 영재교육원의 학생들이 단위학교의 영재학급 학생들보다 높은 수준에 있다고 알려져 있다. 그러나 본 교수 ․ 학습 사례는 학생의 개개인의 선행 정도 에 큰 영향을 받지 않음을 확인하였다. 다시 말해, 단위학교 영재학급에서도 충분히 적용가 능한 교수 ․ 학습 사례라 할 수 있다.
남승인(2007)은 당면한 문제 해결을 위해 고정된 관념에서 탈피하여 참신하면서도 유용한 아이디어나 산출물을 생산해 내는 능력을 창의성이라 정의하였으며, Haylock(1987)은 하나 의 수학 문제를 다양한 방법을 사용하여 해결하는 것은 학생들이 같은 문제를 다른 관점으 로 보게 하고, 다양한 수학적 아이디어를 연결하도록 이끄는 장점이 있으며, 유창성, 융통성, 독창성 등을 평가할 수 있다고 하였다(이대현, 2014에서 재인용).
학생 개개인의 문제해결 과정의 창의성을 살펴보면, 19명의 학생 중 4명의 학생에서 특이 점을 발견할 수 있었다. S-09 학생은 교육과정에 대한 선행 정도가 9.5%로 고등학교 교육과 정에 대한 선행학습을 전혀 하고 있지 않은 학생으로 판단된다. 물론 문제해결력에서도 전 체 학생의 평균이 1.95문항인 것을 감안하여 2문항을 해결하였으므로 탁월하다 할 수는 없 지만 작도에서 보이는 창의적인 아이디어는 탁월한 학생이었다.
S-12 학생은 선행 정도 대비 문제해결력이 탁월하였으며 GeoGebra를 처음 접한 학생임에 도 불구하고 인터페이스에 대한 활용능력이 매우 뛰어난 학생이었다.
S-03 학생과 S-04 학생의 공통점은 선행 정도가 높다는 것과 자신의 수행 단계를 최소화 하려는 경향을 가지고 있었다. S-03 학생은 대수적 계산량을 최소화하려 했으며, S-04 학생 은 작도과정의 실행 횟수를 최소화하려 하였다.
학생 선행
정도 문제해결 과정의 창의성 평가
대표적인 창의성 관련 요소 S-03 85.7 도형에 대한 뛰어난 직관력을 가지고 있으며 대수적 계산량을 최소화하려
는 경향이 있음.
정교성
S-04 95.2 문항2에서 내접하는 첫 번째 원의 작도 과정에서 실행 횟수를 최소화하는 자신만의 창의적 방법으로 작도함.
독창성
S-09 9.5 선행 정도가 참여한 19명의 학생 중 최하위이지만 문항2에서 대수적 계산 과정을 생략하고 자신만의 독창적인 방법으로 도형의 기하적 요소만 을 사용하여 작도함.
독창성
S-12 52.4 3개의 문항을 모두 해결할 정도로 문제해결력이 뛰어나고 GeoGebra 인터페 이스 활용 능력이 탁월하며 자신에게 주어진 자료 상황을 최대한 활용하여 작도함.
유창성
<표 8> 문제해결 과정의 창의성 평가
V. 결론 및 제언
본 연구에서는 수학 학습 소프트웨어의 일종인 GeoGebra를 활용하여 19명의 고등학교 1 학년 수학영재 학생들이 도형을 작도해 가는 과정을 관찰하고 학생들이 주어진 문제를 해결 하는 과정에서 발견되어지는 창의성을 도출하였다. 이를 개개인의 고등학교 교육과정에 대 한 선행 정도와 비교 ․ 분석하였으며, GeoGebra를 활용하여 도형을 작도해 가는 과정을 고등 학교 수학영재 수업에 적용할 수 있는 교수 ․ 학습 사례를 제시하였다.
본 교수 ․ 학습 사례를 통하여 얻은 결론은 다음과 같다.
첫째, GeoGebra의 ‘구성단계’, ‘구성단계 네비게이션바’ 기능을 활용하여 학생들의 산출물 과 더불어 문제해결 과정을 평가할 수 있다. ‘구성단계’ 기능을 이용하여 학생들이 작도과정 에서 사용한 세부적 명령어를 확인할 수 있으며, ‘구성단계 네비게이션바’ 기능을 이용하여 학생들의 작도 과정을 시뮬레이션할 수 있다. 이를 통하여 학생들의 문제해결 과정을 면밀 히 확인할 수 있다.
둘째, 본 교수 ․ 학습 사례는 선행 정도에 큰 영향을 받지 않으므로 단위학교 영재학급에서 도 충분히 적용 가능하다. 영재교육프로그램 중 선행적 내용 요소가 교육과정에 포함되어 있는 것이 현실이다. 수업에 참여한 학생들이 소속되어 있는 영재교육원의 수학 관련 17차 시 프로그램 중 13차시가 선행적 내용 요소를 포함하고 있었다. 그러나 본 교수 ․ 학습 사례 는 학생의 교육과정 선행 정도와 상관관계가 없음을 확인하였다.
셋째, 학생들은 자신이 작도한 GeoGebra파일에서 ‘구성단계 네비게이션바’ 기능을 실행 하여 자신의 작도 과정을 빠른 시간에 동료 학생에게 시각적으로 확인시킬 수 있다. 학생들 은 친구의 문제해결 과정을 빠른 시간 안에 습득할 수 있으며 하나의 문제 상황에 대한 다양 한 해결 방법을 즉각적으로 피드백할 수 있다.
넷째, 본 교수 ․ 학습 사례는 학생 중심적 ․ 학생 참여적 수업이며 이러한 수업의 형태를 학 생들도 긍정적으로 수용하고 있었다. 영재아들은 교사의 일방적인 지시나 강의에 따라 수업 하기보다는 창의적 사고와 논리적 사고의 학습, 자기주도적 학습, 발견식 ․ 탐구식 학습 등의 학습활동을 선호하기 때문에 영재교수학습에서는 학생들이 적극적이고 능동적으로 참여할 수 있는 활동을 많이 포함시켜야 한다(박종률, 이헌수, 2010). 수업 만족도 조사에서도 학생 들의 영재 수업 전 교육과정에 대한 만족도가 8.1인 반면 본 수업의 만족도는 8.8로 높게 나 와 이러한 수업의 형태에 만족하고 있음을 확인하였다. 수학교육에서의 창의력을 신장시키 는 수업은 교사 중심의 전달 위주의 강의식이 아닌 학생 스스로의 힘으로 당면한 문제 해결 을 위해 다양한 해결 방법을 탐색하고 적용하는 과정에서 보다 새로운 아이디어를 고안하도 록 해야 할 것이다(남승인, 2007).
다섯째, 본 교수 ․ 학습 사례는 수학적 창의성을 증진할 수 있는 수업이다. 수학적 창의성 이란 ‘수학적 문제 상황에서 이전에 학습한 지식과 경험을 통합 ․ 재구성하여 기존의 관습적 인 방법에서 벗어나 참신하고 다양하면서 융통성 있게 문제를 해결하려는 성향과 능력’이라 고 할 수 있다(남승인, 2007). 수업에 참여한 학생들의 수업 후기를 통하여 본 수업에 대하여
다음과 같이 느낀 점을 이야기하였다.
S-03 학생: 가시적이면서 간편하고 직접 참여할 수 있는 정말 좋은 수업이었다.
S-04 학생: 책에서 그림으로만 봤던 도형, 그래프들을 실제로 만들어보고 움직여 본 것이 좋았다.
S-09 학생: 수업시간이 좀 더 길었으면 더 많이 생각해 보고 좋은 방법이 생각났을 것 같아요.
S-12 학생: 이런 프로그램을 사용해 본 경험이 없어서 흥미로웠습니다.
여섯째, GeoGebra를 활용한 교수 ․ 학습 상황에서는 무엇보다도 교사의 역할이 중요하다.
황우형, 차순규(2002)는 기술 공학을 활용하는 학습을 계획하고 유도하는 것은 전적으로 교 사의 몫이며 수업의 성패는 전적으로 교사에게 달려 있다고 강조하였다. 교사는 학생들이 특별한 수학적 아이디어를 배울 수 있도록 다양한 지도 방식과 전략을 사용하여야 한다. 교 수자 중심에서 학습자 중심으로 변해가는 현대수학교육의 현실에서 교수의 역할과 노력의 중요성은 아무리 강조해도 지나치지 않을 것이다. 수학에 소질이 있는 학생들은 대부분 기 출 문제 유형이나 기존의 퍼즐에는 이미 익숙하므로 보다 새롭고 도전적인 과제를 갈망하고 있다. 따라서 영재들의 창의적인 문제해결의 욕구를 교사가 바르게 이해하고 또한 그들이 새로운 산출물을 생산해 낼 수 있는 환경을 만들어 주면서 수학을 공부하고자 하는 욕구와 의지를 지속적으로 유발시키는 것은 교육을 맡은 교사나 교재 개발자에게 남겨진 매우 중요 한 책무이다(송상헌, 2004).
끝으로 본 연구 결과를 토대로 다음과 같은 제언을 하고자 한다. 본 연구에서는 고등학교 수학 영재들이 GeoGebra를 활용하여 다양한 방법으로 도형을 작도하고, 그 과정을 ‘구성단 계’와 ‘구성단계 네비게이션바’ 기능을 이용하여 문제해결 과정의 창의성을 평가하는 교수 ․ 학습 사례를 소개하였다. 이 후 후속 연구에서는 보다 창의적인 도형의 제시를 통한 다양한 수업 사례에 대한 연구가 필요하며, 수학 학습 소프트웨어를 활용한 문제해결 창의성 평가 에 대한 연구가 지속되어야 할 것이다. 수학 영재들은 보다 도전적인 과제를 갈망하면서 지 적으로도 계속 성장하고자 하는 욕구를 가지고 있다(송상헌, 2004). 교사에 의한 과제의 제 시를 넘어 학생 스스로 창의적 도형을 스케치하고 이를 작도하는 과정을 통하여 평가하는 것도 영재학생들로 하여금 수학을 바라보는 새로운 시각을 형성해 줄 수 있으며, 수학 영재 교육에 있어서 수학적 창의성 신장을 위한 교수 ․ 학습에 또 다른 시사점을 줄 수 있다.
수학의 본질은 단순히 정확한 답에 도달하는 것이 아니라 창의적으로 사고하는 데 있으 며, 특히 수학적 창의성은 전체적인 수학적 성장을 보장하고 수학적 능력의 계발을 위해 필 수적이기 때문에 매우 중요한 능력이다(Mann, 2006; Sriraman, 2004; 하수현 외, 2013).
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= Abstract =
A Case Study for Creativity Assessment of Problem Solving Process of Mathematically Gifted High School
Students Utilizing Construction Protocol of GeoGebra
Seonghyun Yang
Korea Institute of Curriculum and Evaluation
In this study, we presented a teaching-learning method that can apply process-focused assessment for mathematical creativity of problem solving process of the gifted student, By necessity of appropriate teaching-learning program development to the level and ability of students who belong to high school gifted classes and courses evaluation for students who participated in education programs for the gifted. In the construction implementation process of students utilizing a kind of teaching-learning software, GeoGebra. We analyzed process of a variety of creative constructing figures using interfaces of GeoGebra and algebraic calculation. Utilizing ‘Construction Protocol’ and
‘Navigation Bar’ of GeoGebra, We identified computer languages, construction order, run times used in construction process of individual student and found mathematical creativity of students in the process. Comparing this result with prerequisite learning degree of individual student, We verified that this teaching-learning method can apply at the high school gifted classes as well as institutes for the gifted education in the city office.
Key Words: GeoGebra, Construction Protocol, Navigation Bar, Mathematically Gifted Students, Problem Solving Process, Creativity Assessment
1차 원고접수: 2014년 9월 2일 수정원고접수: 2014년 11월 21일 최종게재결정: 2014년 11월 21일
![[그림 1] GeoGebra의 ‘구성단계’와 ‘구성단계 네비게이션바’ 기능 1차시의 전반부는 GeoGebra의 인터페이스에 대한 활용 방법에 대한 강의를 들으며 동시 에 직접 조작해 보는 시간으로 구성되었다](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/123dokinfo/4676930.501331/6.663.63.574.703.855/geogebra의-구성단계-구성단계-네비게이션바-전반부는-geogebra의-인터페이스에-구성되었다.webp)
