A Study on Generation and Types of Mandelbrot Fractal Images

http://dx.doi.org/10.7236/JIIBC.2015.15.1.217

JIIBC 2015-1-28

만델브로 프랙탈 이미지의 생성 및 형태 연구

A Study on Generation and Types of Mandelbrot Fractal Images

임미정

, 조형제

Mi-Jeong Lim

, Hyong-Je Cho

요 약 창조적인 작업을 하는 크리에이티브 디렉터에게는 항상 새로운 디자인의 조형적인 요소를 찾게 된다. 수작업 으로 만들어진 이미지가 아닌 컴퓨터 프로그램에 의해 생성되는 프랙탈 이미지는 각 분야에 새로운 디자인을 접목할 수 있는 기하학적인 패턴을 제시한다. 기술과 예술의 융·복합으로 순수 회화에서부터 텍스타일 디자인, 건축디자인, 전 시디자인 등 다양한 분야의 디자인에 활용되고 있는 만델브로 프랙탈 이미지의 생성에 대해 알아보고, 생성된 이미지 들의 조형적인 원리에 입각한 형태에 대해 분석해본다.

Abstract

Key Words :

*

정회원, 유니디자인경영연구소(교신저자)

**

정회원, 동국대학교 영상대학원 멀티미디어학과 접수일자 2014년 10월 31일, 수정완료 2014년 12월 28일 게재확정일자 2015년 2월 13일

Received: 31 October, 2014 / Revised: 28 December, 2014 Accepted: 13 February, 2015

*

Corresponding Author: [email protected] Uni Design Management Institute, Korea

Ⅰ. 서 론

수학의 단순한 개념에서 출발하여 공학자와 건축가 및 많은 예술가들에게 영감을 준 브누아 만델브로 (Benoit Mandelbrot)의 프랙탈(fractal) 이론은 어느 한 부분을 확대하면 전체와 닮은 형태가 무한히 반복되어 있는 모양을 의미한다. 고사리, 구름, 해안선, 눈꽃 결정, 인체의 실핏줄과 같이 자연 곳곳에 구조적 불규칙성을 가지고 있으면서 자세히 들여다보면 같은 패턴이 반복되 어 커지거나 작아지는 놀라운 구조가 내재되어 있다.

그림 1. 자연속의 프랙탈 형태

Fig. 1. (Color Online) Fractal forms in nature

프랙탈은 1975년 미국의 수학자인 만델브로(Benoix

Mandelbrot)가 ‘프랙탈’이라는 책을 발간하며 자기유사

성 구조에 ‘깨진’이라는 뜻을 지닌 라틴어 ‘fractus'에서 변형하여 프랙탈(fractal)이라는 단어를 사용하였다. 프 랙탈의 대표적인 유형은 칸토르 먼지, 코흐 곡선, 시어핀 스키의 양탄자, 피타고라스 나무, 만델브로의 집합이 있 다. 이들의 형태와 생성과정은 표 1과 같다.

표 1. 프랙탈의 유형 Table 1. Fractal types

유 형 형 태 생성 과정

칸토르 먼지 (1872)

길이가 1인 선분의 가 운데 1/3을 제거하고 양쪽 두 직선을 남기는 과정을 반복함

코흐 곡선 (1904)

길이가 1인 선분을 3등 분해서 가운데 선분의 길이가 원래 직선의 1/3인 위로 꺾인 선분 네 개를 만들어 생성자 를 축소해 가며 반복함

시어핀스키 양탄자

(1910)

정사각형의 각 변을 3 등분해서 9개의 정사각 형으로 분할한 후 가운 데 사각형을 제거하는 과정을 반복함

피타고라스 나무 (1942)

정사각형의 윗변에 직 각 삼각형을 그리고 양 쪽 변을 바닥으로 하는

정사각형을 그려나감

을 반복함

만델브로 집합 (1975)

복소수 점화식 z=z

+c 에서 z의 초기값을 z=a+bi로 하여 반복해 서 계산했을 때 발산하 지 않는 복소수 c의 모 임

프랙탈의 기본 속성은 자기유사성(Self-Similarity)과 순환성(Recursiveness), 비선형성(Non-linearity) 등을 가지고 있으며, 순환성을 구현하는 방법은 함수의 재귀 호출(Recursive Call)이다.

프랙탈 이미지의 적용사례를 보면 텍스타일 디자인을 비롯한 패션디자인, 건축디자인의 외형이나 조형물, 국제 전시회에서 부스장식 등에 활용되고 있다.

프랙탈 아트도 새로운 아트의 한 영역으로 자리잡아 가고 있다.

그림 2. 돌체앤가바나의 가을콜렉션

Fig. 2. (Color Online) Milan Fall 2012 - Dolce &

Gabbana

그림 3. 부티크 모나코(좌)와 런던시청 내부(우)

Fig. 3. Boutique Monaco(L) and London City hall(R)

그림 4. 박보석, 프랙탈물고기(좌)와 안광준, fractal 3d(우) Fig. 4. Bosuk Park, Fractal Fish(L) and Kwangjun

Ahan, fractal 3d(R)

Ⅱ. 프랙탈 이미지의 생성과 유형

1. 만델브로 프랙탈 프로그램 및 이미지 생성

만델브로 집합은 복소수 평면에서 점화식 z=z

+c(z=x+yi, c=c1+c2i)를 기본 알고리즘으로 한다. z의 초기값을 z=a+bi로 하여 점화식을 계속 반복하여 계산했 을 때 z=z

+c를 발산시키지 않는 복소수 c들의 모임이다.

최대 반복횟수(iteration count)를 정하고 그 이전에 발산 할 때는 그때까지의 반복회수에 상응하는 컬러를 지정하 면 다양한 형태의 컬러이미지를 생성할 수 있다.

본 논문에서는 최대 반복횟수를 512로 정하고, 최대

반복횟수 이상이 되면 수렴으로 간주하고 수렴하는 영역 은 컬러를 Black으로 정한다. iteration 횟수가 1에서부터 511사이에 나타나는 카운트 수를 0°에서 300°사이의 각 도에 비례하여 H(Hue)값을 결정한다. H가 0°이상 60°미 만은 Red, 60°이상 120°미만은 Magenta, 120°이상 180°

미만은 Yellow, 180°이상 240°미만은 Green, 240°이상 300°이하는 Cyan 컬러를 각각 배정한다. 그림 5는 이 프 로그램으로 생성된 이미지이다.

(a) 3 (b) 0.2

(c) 0.00002 (d) 0.00000002

Fig. 5. (Color Online) Computer generated Fractal images

그림 5와 같이 일정한 영역을 선택하여 확대하여 보면 이웃하는 형태와 서로 유사한 이미지가 패턴 형태로 반 복되어서 나타나고, 일정 영역을 확대하여 보면 그 이전 단계의 이미지와 비슷한 형태의 이미지가 또 반복된다.

그림 5의 (a)는 복소수 평면에서 실수 즉, x의 길이가 3일 때 나타나는 프랙탈 이미지 전체의 모습이다. (b)는 (a)에 서 하얀 사각형 안의 가운데 한 점을 선택하고 x의 길이 가 0.2일 때 생성되는 이미지의 형태이다. (d)에서 보는 바와 같이 x의 길이가 0.00000002일 때도 이미지의 손상 없이 화려한 그래픽이 생성된다.

2. 프랙탈 이미지의 유형

만델브로 프랙탈에서 나타나는 이미지의 유형을 크게

나누어 보면 다음의 그림6과 같은 형태로 분류할 수 있다.

(a) 원형 방사형 (b) 회오리형

(c) 직선방사형 (d) hole형

(e) curve형 (f) 나뭇잎형

(g) 나뭇가지형 (h) 사각대칭형

그림 6. 프랙탈 이미지의 유형

Fig. 6. (Color Online) Type of Fractal images

그림 6에 나타난 프랙탈 이미지의 형태 외에도 사용자 가 어느 위치를 선택하느냐에 따라서 또 다른 다양한 형 태의 이미지가 나올 수 있다.

Ⅲ. 프랙탈 이미지의 속성과 조형원리

1. 만델브로 프랙탈 이미지의 속성

만델브로 프랙탈 이미지에서 나타나는 속성은 자기유

사성(Self-Similarity)과 순환성(Recursiveness), 무작위

성(Randomness), 비선형성(Nonlinearity), 불규칙성

(Irregularity)을 가지고 있다.

표 2. 프랙탈 이미지의 속성

Table 2. Attributes of Fractal Images

속 성 구성방법 시각적 효과

자기유사성 (Self-Similarity)

부분의 모양이 전체를 이루는 확대 또는 축소 의 반복

·고사리, 꽃양배추, 눈의 결정

·패턴성, 스케일링의 변환

무작위성 (Randomness)

형태의 반복이나 전진, 척도의 불규칙적 변화

·해안선, 산맥, 강줄 기 지 류, 구름

·비정형성, 예기치 않은 유사성

비선형성 (Nonlinearity)

복합적인 질서, 무질서속의 질서

·군집된 자연, 식물무리

·복잡성과 다양성

불규칙성 (Irregularity)

계속적인 발생구조, 입력을 통한 출력의 예 기치 않은 변화

·혈관 조직, 번개, 나뭇가 지

·연속성과 다양성, 비전형 적, 비예측적

2. 만델브로 프랙탈 이미지의 기하학적 조형원리

만델브로 프랙탈 이미지는 중첩(Overlapping), 반복 (Repetition), 왜곡(Distortion), 스케일링(Scaling)의 변 환, 대칭(symmetry) 등 순수회화나 디자인, 공학에서 정의하는 기하학적 조형원리를 가지고 있다.

표 3. 프랙탈 기하학의 조형원리

Table 3. Formative principle of Fractal Geometry

속 성 구성방법 시각적 효과

중첩 (Overlapping)

두 개 이상의 형상을 포 개어 합쳐 하나의 형상 으로 변화시키며 시간과 공간의 동적인 상태를 표현

오브제성, 지향성, 방향 성, 전환성, 단일적 통일 성, 투명성, 생동감

반복 (Repetition)

유사한 형태의 지속적인 반복에 의해 시각적으로 무한히 확장

다원적 통일성, 리듬감, 역동성, 오브제성

왜곡 (Distortion)

대상의 크기나 내각과 같은 특정 요소를 부분 적으로 변형시켜 형태를 일그러뜨리는 것

비정형성, 일부분의 과장 된 확대와 축소, 운동성, 공간의 확장, 역설적 효 과

스케일링(Scaling)의 변환

내각과 길이의 비례를 유지시키며 도형의 크기 를 변형하여 닮은 도형 을 얻어내는 선형변환

생동감, 공간의 확장, 역 동성, 긴장과 이완

대칭 (symmetry)

점이나 선분 또는 평면 에서 양쪽에 있는 부분 이 똑같은 형으로 배치 되어 있는 것

시각적 무게와 힘의 평형, 안정감

3. 이미지 속성에 따른 이미지 분석

가. 자기유사성(Self-Similarity)과 순환성(Recursiveness)

자기유사성은 모든 축적을 관통하는 대칭성으로 회귀 하는 패턴 속의 패턴을 의미한다. 하나의 모양의 일부분 이 모여서 전체적인 모양을 이룰 때나 어떤 일부분의 스 케일을 확대해보면 전체적인 모습과 닮아 있는 성질을 의미한다.

여기에는 반복과 스케일링의 변환 조형요소가 포함되 어 있다. 그림 7이 이러한 속성을 가진 생명체와 생성된 이미지의 예이다.

그림 7. 자기유사성의 이미지

Fig. 7. (Color Online) Images of Self-similarity

나. 무작위성(Randomness)

자연에서 흔히 볼 수 있는 무작위성은 불규칙적인 패 턴과 모양 속에 나름의 질서가 있어서 복잡한 구조를 가 지고 있더라도 어지럽거나 지루하지 않다. 반복되면서 점진적인 구조를 가진 해안선이나, 산맥, 무수히 유연하 게 변하는 구름의 모양에서도 다양하지만 통계적인 프랙 탈 기하학 구조를 갖는다. 우연성도 자체의 법칙을 갖고 있다는 스토캐스틱(stochastic)이다.

물에 떨어진 잉크방울이 퍼져 나가는 모습은 크기는

모두 다르지만 실제 물리학적으로는 거의 같은 구조를

지닌다고 한다. 무작위성에서는 프랙탈 기하학의 중첩과

반복의 조형원리가 나타난다. 그림 8이 그 한 예다.

그림 8. 무작위성 이미지

Fig. 8. (Color Online) Images of Randomness

다. 비선형성(Nonlinearity)

비선형성은 주로 초기조건의 민감성에 의하여 결과가 원인에 비례하지 않고 전혀 새로운 상태로 발전되는 성 질을 말한다. 뉴턴(I saac Newton)의 방정식처럼 변수의 값에 따라 비례적으로 크거나 작아지는 방정식을 선형 (linear)이라는 용어를 쓴다. 그러나 자연현상처럼 복잡성 과 다양성을 가진 비선형의 특징은 이전의 형태와는 전 혀 다른 예측 불가능한 새로운 형태가 나타난다.

그림 9. 비선형성 이미지

Fig. 9. (Color Online) Images of Nonlinearity

비선형성은 선형에 의해 예외적, 무작위적, 비전형적, 그리고 비예측적, 불규칙적, 증폭적이며, 비례하지 않은 성질을 갖고 있다. 비선형성은 중첩과 왜곡의 조형성을 볼 수 있다. 그림 9가 그 한 예이다.

라. 불규칙성

자연 속에 있는 대부분의 생물학적 조직체와 물리학 적 물체들은 불연속적이며 불규칙하다. 프랙탈 중에서 불규칙적으로 계속 분기구조를 가지는 것들은 나뭇가지, 생강뿌리, 선인장, 인체의 혈관과 조직 등이 있다. 이것들 은 패턴의 반복과 변형을 계속하며 공간을 채워나가고 변형된 값들에 의해 역동적인 성장을 한다.

불규칙성에는 왜곡과 스케일 변환의 조형원리가 포함 되어 있다. 그림 10이 그 한 예를 나타낸다.

그림 10. 불규칙성 이미지

Fig. 10. (Color Online) Images of Irregularity

이와 같이 프랙탈 이미지에는 한 가지 이상 여러 개의 기하학적 조형요소가 동시에 포함되어 있는 경우가 많다.

이 외에도 중첩, 반복, 대칭 등의 조형요소가 나타나는 이 미지들도 수없이 많다. (그림 11)

그림 11. 기타 프랙탈 이미지

Fig. 11. (Color Online) Other Fractal Images

Ⅳ. 결론

최근에는 학문의 융·복합을 통해 새로운 기술과 도구 가 창조되고 있고 기술과 예술의 경계가 모호해지고 있 다. 끊임없이 창의적인 오브젝트가 산업디자인 전반에 요구되고 있고, 어제의 인기상품이 오늘까지 지속되지 않으며, 소비자들은 냉정하다. 건축, 섬유, 패션디자인에 간간이 접목되고 있던 프랙탈 이미지는 주얼리 디자인, 인테리어 디자인, 전시디자인, 심지어 도자기 디자인에 이르기 까지 산업 전 분야에 응용되어 지고 있으며, 인터 랙티브적인 요소를 가미하면 기존의 프랙탈 아트에서 좀 더 풍성한 아트의 영역뿐만 아니라 산업디자인으로의 확 장이 가능할 것이다. 프랙탈 이미지의 활용범위는 무궁 무진하며 새로운 이미지를 창출하고자 하는 디자이너들 에게 새로운 영역을 제시해 줄 것으로 기대된다.

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[9] James Gleick,, (Park Dae SIk, trans.) CHAOS, Dongmoon Company, 2006

저자 소개

임 미 정(정회원)

∙2004년 : 동국대 영상대학원 멀티미 디어학과 석사

∙2012년 : 동국대 영상대학원 멀티미 디어학과 박사 수료

∙2004년 ～ 현재 : 유니디자인경영연 구소 소장

∙2011년 ～ 현재 : 한국소호진흥협회 인천지회 이사

∙2010년 ～ 현재 : 한국인터넷방송통신학회 이사 <관심분야 : 디지털콘텐츠, 디지털디자인>

조 형 제(정회원)

∙1973년 : 부산대학교 전자공학과(학 사)

∙1975년 : 한국과학기술원 전기․전자 공학과(공학석사)

∙1986년 : 한국과학기술원 전기․전자 공학과(공학박사)

∙1986년 ～ 현재 : 동국대학교 멀티미 디어학과 교수

<관심분야 : 컴퓨터 그래픽스, 게임공학, 디지털사운드처리, 컴퓨터 비전>