A Constitutive Model for Polymer-Bonded Explosive Simulants Considering Stress Softening and Residual Strain

1. 서 론

복합화약과 같은 입자강화 복합재료는 큰 변형에서 도 탄성을 유지하면서 하중과 변형이 비선형 관계를

*

Corresponding author, E-mail: [email protected]

Copyright ⓒ The Korea Institute of Military Science and Technology

보이는 초탄성 거동 특성과 더불어 온도, 시간에 따 라 하중과 변형이 변화하는 점탄성 거동 특성을 가지 고 있다. 입자강화 복합재료는 이러한 초탄성 및 점 탄성 특성 외에도 응력연화(Stress softening), 잔류변형 (Residual strain), 이력현상(Hysteresis), 노화(Aging) 등 다양한 비선형 특성을 보이게 된다. 특히 하중을 가하 고 제거하는 과정이 반복될 때 초기 부하 응답보다 부

Research Paper

에너지 부문

응력연화와 잔류변형을 고려한 복합화약 시뮬런트의 구성방정식연구

염기선^*,1)․허 훈²⁾․박정수¹⁾

1)

국방과학연구소 제4기술연구본부

2)

한국과학기술원 기계항공시스템학부

A Constitutive Model for Polymer-Bonded Explosive Simulants Considering Stress Softening and Residual Strain

KeeSun Yeom^*,1)․Hoon Huh²⁾․Jungsu Park¹⁾

1)

The 4th Research and Development Institute, Agency for Defense Development, Korea

2)

School of Mechanical, Aerospace and Systems Engineering, Korea Advanced Institute of Science and Technology, Korea

(Received 20 March 2014 / Revised 12 August 2014 / Accepted 17 October 2014)

ABSTRACT

PBX simulant is known to exhibit highly nonlinear behaviors of deformation such as the stress softening, hysteresis under cyclic loading, residual strain after unloading, and aging. This paper proposes a new pseudo-elastic model for PBX simulant considering stress softening and residual strain. Uniaxial loading and unloading tests at quasi-static states were carried out in order to obtain the mechanical properties of the PBX simulants. And then the Dorfmann-Ogden model is modified to make it consistent with the test result of PBX simulants. Prediction with the new model shows a good correspondence to the experimental data demonstrating that the model properly describes stress softening and residual strain of PBX simulants.

Key Words : PBX Simulant, Pseudo-Elastic(의사탄성), Stress Softening(응력연화), Residual Strain(잔류응력), Constitutive Model(구성방정식)

하가 낮게 나타나는 응력연화현상이나 하중이 제거된 후에도 원래 형상으로 돌아가지 않는 잔류변형은 일반 적으로 충진제의 비율이 높을수록 크게 나타나는 것으 로 알려져 있으며, 복합화약의 경우 충진제인 화약입 자의 비율이 매우 높기 때문에 응력연화현상이나 잔류 변형이 많이 발생하게 된다. 응력연화현상이나 잔류변 형을 표현할 수 있는 구성방정식은 연속체 손상역학 이론을 이용한 구성방정식이나 초탄성 모델기반의 의 사탄성(Pseudo-elastic)모델이 주로 사용되고 있으며, 응 력연화현상이 큰 경우에는 의사탄성기반의 모델이 유 리한 것으로 알려져 있다. 초탄성 모델기반의 의사탄 성모델은 Ogden과 Roxburgh^[1]가 제안하였으며 이 모 델은 순수한 탄성재료의 응답을 표현하는 변형률 에 너지밀도함수의 변수로서 변형으로 인한 손상을 표현 할 수 있는 하나의 변수를 포함하고 있다. 이 변수는 하중을 가하는 단계에서는 비활성 상태를 유지하여 순수한 초탄성 모델과 동일한 결과를 보이고 제하 단 계에서 활성화되어 응력연화현상을 표현할 수 있도록 되어 있으며, 이러한 의사탄성모델은 재료에 가해지는 손상의 크기를 이전에 가해진 최대 변형률 에너지밀 도함수 값으로 제어하기 때문에 유한요소해석에 적용 하기 쉬운 장점을 가지고 있다. Dorfmann과 Ogden^[2]은 입자강화 복합재료에 단축상태의 주기하중을 가하는 실험을 수행한 결과 응력연화를 표현할 수 있는 변수 뿐만 아니라 잔류변형을 표현할 수 있는 변수를 추가 하여 변형률 에너지 밀도함수 기반의 의사탄성모델을 제안하였다.

본 논문에서는 복합화약의 위험성을 고려하여 복합 화약과 기계적 물성이 동등한 복합화약 시뮬런트를 이 용하여 재료시험을 수행하였으며, 준정적 변형률 속도 로 단축압축상태에서 부하제하 시험을 수행하여 응력 연화현상과 잔류변형현상을 확인하였다. 또한 복합화 약 시뮬런트의 응력연화와 잔류변형을 효과적으로 묘 사할 수 있는 의사탄성모델기반의 구성방정식을 제안 하고 그 결과를 시험결과와 비교함으로써 제안된 모델 의 신뢰성을 확보하였다.

2. 복합화약 시뮬런트 시편제작

복합화약 시뮬런트는 황산암모늄, 탄산칼슘, 황, 고 분자 결합제, 가소제, 경화제로 이루어져 있으며, 혼합, 주조, 및 경화과정을 거쳐서 벌크 형태로 제작된 후

용도에 맞게 절단하여 사용한다. 본 연구에서는 화약 을 대체하는 입자인 황산암모늄, 탄산칼슘, 황 입자의 평균크기가 748 μm 인 PBX-S1, 입자의 평균크기가 211 μm 인 PBX-S2, 두 가지 종류의 복합화약 시뮬런 트가 제작되었다. Fig. 1은 단축압축시험에 사용한 시 편 형상이다. 시편은 직경 18 mm, 높이 18 mm의 크기 로 가공하여 제작하였으며, 입자의 크기가 상대적으로 큰 PBX-S1의 경우 육안으로도 입자를 쉽게 관찰 할 수 있다.

(a) PBX-S1 (b) PBX-S2 Fig. 1. Shape of specimen for uniaxial compression test

압축시험을 위한 시험장비는 INSTRON 8801 Dynamic UTM을 사용하였으며 시험속도는 0.018 mm/s이다. 이 는 변형률 속도로 환산하면 0.001/s이며, 각각의 시험 에 대한 최대 변형률은 5, 10, 15 %로 수행하였다. 응 력과 변형률 측정은 cross-head의 변위와 하중을 측정 하여 공칭응력과 변형률을 계산하여 측정하였다. 원통 형 시편으로 압축시험을 수행하게 되면 변형이 증가 함에 따라 시험장치와 시편의 마찰의 영향으로 압축 시편에 통모양변형(Barreling)이 발생하게 된다. 이러한 통모양변형을 방지하기 위하여 다양한 조건의 표면 윤활조건에 대한 시험을 수행하고 각 조건에 대한 마 찰력을 분석하였다. 사용한 윤활제로는 그라파이트 (Graphite), 몰리브테늄(MoS2), 바셀린(Vaseline), 다용도 그리스(Multi-functional grease)를 사용하였으며, 윤활제 가 시편에 흡수되는 것을 방지하기 위하여 테플론필름 (Teflon film)을 사용하였다. 이러한 윤활조건들을 평가 한 결과 가장 효과적인 윤활조건은 다용도 그리스와 테플론필름을 사용하는 것이 가장 효과적인 윤활조건 임을 확인할 수 있었다.

3. 복합화약 시뮬런트를 위한 초탄성모델

변형전 절점의 위치벡터를 X 라 하고 변형 후 절점 의 위치벡터를 x 라 하면, 재료의 변형거동은 다음과 같이 변형 구배 텐서를 이용하여 나타낼 수 있다.

X F x

∂

= ∂ (1)

회전에 독립적인 변형 텐서를 정의하기 위하여 변형 구배 텐서 F 와 전치(transpose)행렬을 이용하여 다음과 같은 Cauchy Green 변형률 텐서를 정의한다.

U

2

F F

C

= ^T = ,

B

=

FF

^T =

V

² (2)

여기서 C 는 right Cauchy-Green 변형률 텐서, B 는 left Cauchy-Green 변형률 텐서라 하며, Green-Lagrange 변형률 텐서 E 는 right Cauchy-Green 변형률 텐서 C 를 이용하여 다음과 같이 정의한다.

) ( )

(

F F I

2 I 1 2 C

E

=

1

− = ^T − (3)

여기서 I 는 Identity 텐서라 한다. Left Cauchy-Green 변형률 텐서 B 의 특성방정식을 이용하면 아래와 같이 불변량의 형태로 나타낼 수 있다.

2 3 2 2 2 1

1=

tr

(

B

)=λ +λ +λ

I

[ ( ) ]

1²

2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 2

2 ( )

2

1 − =λ λ +λ λ +λ λ

=

tr B tr B

I

(4)

2 3 2 2 2 1 3=det

B

=λ λ λ

I

여기서 λ , 1 λ , 2 λ 는 주축의 신장률(Stretch ratio)을 3

나타낸다. 초탄성 이론에 의거하여 여러 가지 많은 형 태의 변형률 에너지 밀도함수가 제안되었으나 가장 일 반적인 형태는 Rivlin^[3]이 제안한 식 (5)와 같이 변형률 텐서 B 의 불변량의 급수형태로 나타내는 것이다.

∑

^∞

=

−

−

−

=

0 , ,

3 2 1 3

2

1 , , ) ( 3)( 3) ( 1)

(

k j i

k j i

ijk

I I I

C I

I I

W

(5)

복합화약에 압축을 가했을 경우 체적변형이 매우 작 으므로 비압축성이라 가정하면, I3 = 1이 되고 식 (5)는

식 (6)과 같은 형태가 된다.

∑

^∞

=

−

−

=

0

, ( 1 3)( 2 3)

j i

j i

ij

I I

C

W

(6)

여기서

C 은 임의의 재료상수이고

^ij

C 은 0이다. 식

00

(6)을 이용한 변형률 에너지 밀도함수는 가장 간단한 형태인 Neo-Hookean모델에서 부터 Mooney-Rivlin^[3], Yeoh^[4], James^[5]등의 모델까지 매우 다양하다.

의사탄성모델을 제안한 Ogden과 Roxburgh는 초탄성 모델로서 Ogden모델을 사용하였다. 일반적으로 Ogden 초탄성 모델은 고무재료와 같이 큰 변형이 가해지는 경우에 적합하며, 6개의 재료상수를 필요로 한다. 복 합화약의 경우 상대적으로 입자의 크기가 크고 작은 변형에서 손상이 발생하는 특징을 가지고 있기 때문 에 Ogden 초탄성 모델보다 입자강화 복합재료의 거동 을 효과적으로 나타낼 수 있는 모델이 필요하다. 본 논문에서는 Yeoh모델을 이용하여 복합화약의 거동을 표현하였다. Yeoh모델은 입자강화 복합재료가 변형을 받을 때 I2의 영향보다 I1의 영향이 큰 것을 이용하여 변형률 에너지 밀도함수를 I1의 함수로서 나타낸 것이 다. 본 논문에서 사용한 Yeoh모델은 식 (7)과 같다.

3 1 30 2 1 20 1

10( −3)+ ( −3) + ( −3)

=

C I C I C I

W

(7)

4. 복합화약 시뮬런트를 위한 의사탄성모델

Ogden-Roxburgh 의사탄성모델은 일반적인 초탄성모 델의 변형률 에너지밀도함수에 응력연화를 표현할 수 있는 변수를 포함하고 있는 모델이다. 일반적인 변형 률 에너지함수를 W(F)라 하고 응력연화를 위한 변수 를 η 라 하면 응력연화를 고려할 수 있는 의사탄성모 델의 변형률 에너지함수는 다음과 같다.

) ( ) ( ) ,

(

F η

=

η W

₀

F

+

φ η

W

(8)

여기서 η 는 손상변수라 하고 0≤η ≤1의 구간에서 값을 가진다. W0(F)은 하중과정의 재료 즉 손상이 되 지 않은 상태의 재료에 대한 변형률 에너지 밀도함수 이며, φ

⁽

η

⁾

은 손상함수로서 φ = 0를 만족해야 한다. (1) 만약 η 가 1이면 식 (8)은 식 (9)와 같게 된다.

) ( ) 1 ,

(

F W

₀

F

W

= (9)

S 를 2^nd Piola-Kirchhoff 응력 텐서라 한다면 변형률 에너지 밀도 함수 W(F)과의 관계는 다음과 같다.

F F F

S d

dW

( , )

1⋅ η

= ⁻

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

∂ +∂

∂

⋅ ∂

= ⁻

F F F F F

F

¹ ( , ) ( ,

η

)

η

( )

η ^W η

W

(10)

Lazopoulos와 Ogden^[6]은 식 (11)의 관계를 증명하였다.

0 ) , ( =

∂

∂ η

η

F

W

(11)

따라서 식 (10)은 식 (12)와 같이 나타낼 수 있다.

F F F

S

∂

⋅∂

= ⁻₁

W

( ,η)

(12)

식 (8)을 손상변수 η 로 미분하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

0 ) ( )

0(

F

+

φ

′

η

=

W

(13)

만약 초기하중의 경로조건이라면 η = 1이고 제하가 시작되는 시점의 변형률 에너지 밀도함수값이 변형률 에너지 밀도함수값의 최대값이므로 다음과 같이 정의 된다.

max 0( )

) 1

( =

W

=

W

′

−

φ F

_max (14)

본 논문에서는 손상함수 φ

⁽

η

⁾

을 다음 식 (15)와 같 이 정의^[7]하였다.

max 0

1 max

maxtanh 1

)

(

W

W r W mW

n

⎥+

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

−φ′η ⁻ η (15)

식 (13)을 식 (15)에 대입하여 정리하면 손상변수 η 는 다음과 같이 얻을 수 있다.

n

W W W

m W W

r

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

=

max 0 max

0

tanh max

1 1

η

₍₁₆₎

식 (16)은 Ogden-Roxburgh가 제안한 모델인 식 (17) 과 다르게 제하가 진행될 때 비선형성을 표현할 수 있 는 곡선화 항을 포함하고 있다.

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

=

m

W erf W

r

0

1 max

η 1 (17)

손상변수 η 를 식 (12)에 적용하면 식 (18)을 얻을 수 있으며, 부하가 가해진 후 제하가 진행되는 경우의 응력연화현상을 나타낼 수 있다.

S

0

F F F

S

η =η

∂

⋅∂

= ⁻1

W

₀( ) (18)

응력연화현상과 더불어 잔류변형을 표현하기 위하 여 Dorfmann과 Ogden은 식 (8)과 같은 변형률 에너지 함수에 응력연화를 표현할 수 있는 변수와 유사한 또 하나의 변수를 추가하였고 변형률 에너지 함수는 주 축의 신장률의 함수로도 나타낼 수 있으므로 변형률 에너지 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

) , , ( ) 1 ( ) , , ( ) , , , ,

(

λ

₁

λ

₂

λ

₃

η

₁

η

₂

η

₁

W

₀

λ

₁

λ

₂

λ

₃

η

₂

N λ

₁

λ

₂

λ

₃

W

= + −

+φ₁(η₁)+φ₂(η₂) (19)

응력연화의 경우와 마찬가지로 φ₁(1) = 0과 φ₂(1) = 0을 만족해야 하며 η = ¹ η = 1이면 식 (19)는 식 (20)2

과 같게 된다.

) , , ( ) 1 , 1 , , ,

(

λ

₁

λ

₂

λ

₃

W

₀

λ

₁

λ

₂

λ

₃

W

= (20)

변수가 하나 추가되어도 Lazopoulos와 Ogden의 증명 은 다음과 같이 정의된다.

) 0 , , , , (

1 2 1 3 2

1 =

∂

∂

η η η λ λ

W

λ

, ( , , , , ) 0

2 2 1 3 2

1 =

∂

∂

η η η λ λ

W

λ

(21)

Dorfmann과 Ogden의 연구에 따르면 잔류 변형률 변 수 η 는 다음과 같이 정의된다.²

) 1 tanh(

) tanh (

max 2 0

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

λ α

η

W

W

(22)

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

= μ

α

J K W

^max (23)

여기서 J와 K는 무차원의 재료상수이다. 잔류 변형 률 함수 N 은 Neo-Hookean모델을 변형한 형태이며 다 음과 같다.

(

^{( 1) ( 1) ( 1)}

)

2 ) 1 , ,

(λ₁λ₂λ₃ = μ

v

₁ λ₁²− +

v

₂ λ₂²− +

v

₃ λ₃²−

N

(24)

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

=

U V Z

v

_i ⁱ 1

tanh λ^,max

μ , i = 1,2,3 (25)

여기서 U, V, Z는 무차원의 재료상수이다.

단축변형 상태에서 응력연화와 잔류변형을 고려하면 응력은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

) ( ) 1 ( ₂

1

η λ

η

+ −

N′

=

S

₀

S

(26)

따라서 본 연구에서 제안하는 응력연화와 잔류변형 을 고려하는 구성방정식은 초탄성 모델로서 Ogden 모 델대신 Yeoh모델을 사용하였으며, 응력연화모델은 Ogden-Roxburgh모델을 수정하여 사용하였고, 잔류변형 모델은 Dorfmann-Ogden이 사용한 모델을 그대로 사용 하였다.

Table 1. Ogden-Roxburgh, Dorfmann-Ogden and Proposed model

의사탄성모델 초탄성

모델

응력연화 모델

잔류변형 모델 Ogden-Roxburgh모델 식 (27) 식 (17) -

Dorfmann-Ogden모델 식 (27) 식 (28) 식 (22), (24)

제안모델 식 (7) 식 (16) 식 (22), (24)

5. 단축압축시험

두 가지 종류의 복합화약 시뮬런트에 대한 단축부하 제하 시험결과는 Fig. 2와 같다. 최대 압축 변형률은 3 단계 0.05, 0.10, 0.15로 수행하였으며, 하나의 시편을 가지고 연속적으로 시험을 수행한 것이 아닌 개별적 인 시편으로 각각의 변형률을 가하고 제거하는 시험 을 수행하였다. 변형률 0.15는 통모양변형(Barrelling)이 발생하지 않는 최대한의 변형률 수준이다. 두 가지 종 류의 재료가 유사한 형태의 거동을 하였으며, 하중을 가하고 제거할 때 응력이 낮아지는 응력연화현상이 크 게 나타남을 알 수 있다.

0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

En g ine eri n g Stress[MPa ]

Engineering Strain

PBX-S1 ε_max= 0.05 PBX-S1 ε_max= 0.10 PBX-S1 ε_max= 0.15

(a) PBX-S1

0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

Eng ine erin g St ress[ MPa]

Engineering Strain

PBX-S2 ε_max= 0.05 PBX-S2 ε_max= 0.10 PBX-S2 ε_max= 0.15

(b) PBX-S2

Fig. 2. Test result of uniaxial loading unloading for PBX simulant

이는 입자강화 복합재료에서 일반적으로 일어나는 현상으로서 복합화약 시뮬런트와 같이 입자의 비율이 큰 재료에서는 큰 응력연화현상이 일어나게 된다. 시 험 결과에서 하중을 가하는 경우에 두 가지 재료의 응력곡선의 형태가 다른 것을 확인할 수 있는데 이는 입자강화 복합재료에서 입자의 크기가 다르기 때문에 발생하는 현상이다. PBX-S1과 같이 입자의 크기가 상 대적으로 큰 경우에는 재료의 변형이 증가 할수록 응 력변형률 관계가 비선형적인 것을 확인할 수 있고 PBX-S2와 같이 입자의 크기가 상대적으로 작은 경우 에는 입자의 크기가 큰 재료 보다 응력변형률 관계가 선형적인 것을 확인할 수 있다.

제하를 종료한 후의 잔류변형은 두 가지 재료에서 동일한 양상으로 발생하였으며, 이전에 가하진 변형의 크기가 클수록 큰 잔류변형이 발생하는 것을 확인할 수 있었다. 그리고 입자의 크기가 큰 재료가 잔류변형 의 크기도 입자가 작은 재료보다 크게 발생하는 것을 확인하였다. 이러한 잔류변형은 영구변형은 아니며 상 당한 시간이 흐르고 나면 변형전의 약 99 % 정도로 복원되는 것을 확인하였다.

5 10 15

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

3.5

PBX-S1

PBX-S2

R e si du al st ra in( % )

Maximum strain(%) Fig. 3. Residual strains of PBX simulant

6. 제안모델 검증

본 논문에서 제안한 의사탄성모델을 검증하기 위하 여 Dorfmann-Ogden이 제안한 모델을 이용하여 단축압 축시험 결과와 비교하였다. 초탄성 모델의 계수는 비 선형 커브피팅 방법인 Levenberg-Marquardt^[8]알고리즘 을 이용하여 계수를 결정하였다. Dorfmann-Ogden이 제

안한 의사탄성모델은 응력연화와 잔류변형을 동시에 고려할 수 있으며, 주 하중곡선의 초탄성 모델로서 Ogden모델을 사용하도록 되어 있다. Ogden초탄성 모 델은 다음 식 (27)과 같으며, 일반적으로 3차 항까지 급수를 전개하여 6개의 재료상수를 이용한다. 그리고 Dorfmann-Ogden이 제안한 의사탄성모델에서는 잔류변 형을 나타내는 잔류변형률 변수 η 는 본 논문에서 사² 용한 식과 동일한 식을 사용하나 응력연화를 나타내 는 손상변수 η 은 본 논문의 제안과는 달리 식 (28)과 ¹ 같은 형식을 사용한다.

∑

=

− + +

= ^N

i i

i i i i

W

0

3 2

1 3)

(λ^α λ^α λ^α α

μ (27)

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

= 1 1tanh ^{max 0}( )

1

m

W W r

η λ (28)

Table 2. Parameters of Ogden hyperelastic model Parameter μ1 α1 μ2 α2 μ3 α₃ PBX-S1 -20.71 1.74 -4.12 10.37 13.59 6.38 PBX-S2 -4.85 10.11 24.43 0.43 6.18 6.75

Table 3. Parameters of Dorfmann-Ogden pseudo-elastic model

Parameter

r m J K U V Z

PBX-S1 1.27 1.96×10^-2 0.6 0.05 0.04 0.03 0.2 PBX-S2 1.47 1.19×10^-2 0.6 0.05 0.06 0.04 0.2

Dorfmann-Ogden의 의사탄성 모델을 이용하여 복합화 약 시뮬런트의 응력연화와 잔류변형을 표현한 결과는 Fig. 4와 같다.

Dorfmann-Ogden의 의사탄성 모델은 응력연화 뿐만 아니라 제하가 완료되었을 시점의 잔류변형을 표현할 수 있다. 그러나 Dorfmann-Ogden의 의사탄성 모델은 응력연화모델로서 Ogden-Roxburgh모델을 기반으로 하 고 있기 때문에 응력연화의 정도가 심한 재료의 비선 형적인 제하 곡선을 나타내는데 어려움이 있다.

본 논문에서 제안한 모델에서는 주 하중곡선의 초탄 성 모델로서 입자강화 복합재료의 거동을 잘 나타낼 수 있는 Yeoh모델을 사용하였으며 식 (7)과 같이 변형

률 에너지 함수로서 정의되어있다. 단축변형상태라고 가정한다면 단축거동의 경우 주축의 신장률은

λ

1 ₌

λ

_1,

λ

2 ₌

λ

3 ₌

λ

₁^−1/2이므로 응력은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂

⎟ ∂

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

=

2 1

2 1 1

2

I

W I W

λ λ λ

σ

₍₂₉₎

⎩⎨

⎧ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

= 2 3

1 2

2 ² _{10 20} ²

λ λ λ λ

σ C C

⎪⎭

⎪⎬

⎟ ⎫

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + − +

2 2

30 2 3

3

C λ λ

(30)

0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

Experimental result ε_max= 0.05 Experimental result ε_max= 0.10 Experimental result ε_max= 0.15 Loading model(Ogden model) Unloading model(Dorfmann-Ogden)

Engin eering Stre ss[MPa ]

Engineering Strain (a) PBX-S1

0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

Experimental result ε_max= 0.05 Experimental result ε_max= 0.10 Experimental result ε_max= 0.15 Loading model(Ogden model) Unloading model(Dorfmann-Ogden)

En ginee ring S tress[MPa]

Engineering Strain (b) PBX-S2

Fig. 4. Dorfmann-Ogden pseudo-elastic model and test result of uniaxial loading unloading for PBX simulant

여기서

σ

은 Cauchy응력을 의미한다. 식 (30)을 시험 결과 값으로 커브피팅한 결과는 Table 4와 같다.

Table 4. Parameters of Yeoh hyperelastic model Parameters

C

10

C

₂₀

C

₃₀

PBX-S1 1.924 -8.354 23.329 PBX-S2 1.253 1.446 -15.629

일반적인 초탄성 모델은 모델의 계수가 많으면 많 을수록 정확한 결과를 나타낸다. 입자강화 복합재료의 거동을 나타내기에 적합한 모델은 James모델이나 Yeoh 모델 등이 있으며 James모델은 더욱 정확한 커브피팅 결과를 보였으나 3개의 재료상수를 사용하는 Yeoh모 델로도 충분히 시험결과를 대표할 수 있다고 판단하여 Yeoh모델을 사용하였다.

본 논문에서 제안한 모델은 잔류 변형률 변수 η 를 ² Dorfmann-Ogden이 제안한 형태와 동일하게 쓰기 때문 에 잔류변형률 함수에 사용된 재료상수를 Dorfmann- Ogden모델과 동일하게 사용하였고 응력연화에 대한 손상변수 η 인 식 (16)의 계수는 Table 5와 같다.¹

Table 5. Parameters of proposed pseudo-elastic model

Parameters

r m n

PBX-S1 1.955 0.115 0.541 PBX-S2 1.944 0.102 0.309

본 논문에서 제안한 의사탄성 모델을 이용하여 복 합화약 시뮬런트의 응력연화와 잔류변형을 표현한 결 과는 Fig. 5와 같다. 제안모델은 응력연화와 잔류변형 을 잘 표현하고 있으며 Dorfmann-Ogden모델과 다르게 응력연화곡선의 기울기가 급격하게 변하는 부분이 없 으며 응력연화의 정도가 심한 재료의 비선형적 응력 연화를 잘 나타내고 있음을 알 수 있다. 제안된 의사 탄성 모델이 Dorfmann-Ogden모델보다 실험결과를 잘 근사 하는 것을 정성적으로 확인할 수 있었으나 응력 연화모델의 신뢰도를 정확하게 파악하기 위해서는 실 험값과 응력연화모델의 오차를 정량적으로 분석해 볼 필요가 있다. 정량적으로 오차를 계산하는 방법으로 Stevenson^[9]등이 수행한 표준오차 방법이 있다. 본 연 구에서는 표준오차와 유사한 표준편차 개념을 도입하

였다. 표준편차의 정의는 다음과 같다.

( )

∑=

−

−

= ⁿ

i

X

i

X n

s

1

2/( 1) (31)

여기서 Xi은 의사탄성모델에 의한 응력예측 값으로 설정하고 평균 X 을 실험을 통해 얻어진 응력값으로 정의한다면 표준편차는 시험결과와 의사탄성모델간의 오차범위를 나타낸다. Fig. 6은 두 가지 종류의 복합화 약 시뮬런트에 대하여 기존모델과 제안된 의사탄성모 델의 시험과의 오차를 나타낸 것이다. 모든 경우에 대 하여 제안된 모델의 오차가 기존모델보다 작은 것을 확인할 수 있었고 이는 제안된 의사탄성 모델이 상대 적으로 실험결과를 정확하게 근사 하는 모델임을 입증 할 수 있는 결과이다.

0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

1.4 Experimental result ε_max= 0.05 Experimental result ε_max= 0.10 Experimental result ε_max= 0.15 Loading model

Unloading model(Proposed)

Engin eering Stre ss[MPa ]

Engineering Strain (a) PBX-S1

0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

1.4 Experimental result ε_max= 0.05 Experimental result ε_max= 0.10 Experimental result ε_max= 0.15 Loading model

Unloading model(Proposed)

En ginee ring S tress[MPa]

Engineering Strain (b) PBX-S2

Fig. 5. Proposed pseudo-elastic model and test result of uniaxial loading unloading for PBX simulant

5 10 15

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08

0.10 PBX-S1

S ta nda rd De viation[MPa ]

Maximum strain(%)

Dorfmann-Ogden Model Proposed Model

(a) PBX-S1

5 10 15

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

0.06 PBX-S2

Stan dard Deviatio n[MPa]

Maximum strain(%)

Dorfmann-Ogden Model Proposed Model

(b) PBX-S2

Fig. 6. Comparison of standard deviation of estimated data

구성방정식의 계수를 얻기 위해서는 다양한 조건에 서의 시험, 즉 단축압축, 단축인장, 단순전단과 같은 시험을 수행한 후 구성방정식의 계수를 정해야 한다.

본 논문에서는 단축압축시험의 결과만을 가지고 제 안된 의사탄성 모델과 기존모델을 비교하였다. 따라 서 재료의 일반적인 거동을 표현하는 데에는 한계가 있다.

7. 결 론

본 논문에서는 복합화약 시뮬런트의 단축 부하제하 시험을 수행한 후 응력연화와 잔류변형을 표현할 수 있는 기존모델과 제안모델을 이용한 결과를 비교하였 다. 그 결과를 정리한 결과는 다음과 같다.

(1) 복합화약 시뮬런트의 단축 부하제하 시험을 수행 한 결과 응력연화와 잔류변형현상이 관찰되었으며, 그 크기는 재료에 가해졌던 변형의 크기에 비례하 는 것을 확인하였다.

(2) 복합화약과 같은 입자강화재료는 입자재료의 크 기가 상대적으로 클수록 응력-변형률 응답의 기울 기가 곡선화하는 비선형현상과 하중을 제거하고 난 후 발생하는 잔류변형이 크게 나타남을 확인하 였다.

(3) 제안된 의사탄성 모델은 Dorfmann-Ogden모델보다 적은 재료상수를 이용하여 복합화약 시뮬런트의 실험결과를 보다 정확하게 근사할 수 있음을 확인 하였으며, 이는 시험결과와 예측모델간의 표준편 차를 이용하여 정량적으로 평가한 결과이다.

References

[1] Ogden, R. W., Roxburgh, D. G., “A Pseudo-Elastic Model for the Mullins Effect in Filled Rubber,”

Proceeding of Royal Society London, 455, pp. 2861- 2877, 1999.

[2] Dorfmann, A., Ogden, R. W., “A Constitutive Model for the Mullins Effect with Permanent Set in Particle-Reinforced Rubber,” Int. J. Solids Struct., 41, pp. 1855-1878, 2004.

[3] Rivlin, R. S., Saunders, D. W., “Large Elastic

Deformations of Isotropic Materials VII. Experiments on the Deformation of Rubber,” Philos. Trans. R.

Soc. Lond. A, 243, pp. 251-287, 1951.

[4] Yeoh, O. H., “Characterization of Elastic Properties of Carbon-Black-Filled Rubber Vulcanizates,” Rubber Chem. Technol., 63, pp. 792-805, 1990.

[5] James, A. G., Green, A., Simpson, G. M., “Strain Energy Function of Rubber. I. Characterization of Gum Vulcanizates,” J. Appl. Polym. Sci., 19, pp.

2033-2058, 1975.

[6] Lazopoulos, K. A., Ogden, R. W. “Nonlinear Elasticity Theory with Discontinuous Internal Variables,” Math.

Mech. Solids, 3, pp. 29-51, 1998.

[7] Yeom, K. S., Jeong, S. H., Huh, H., Park, J. S.,

“New Pseudo-Elastic Model for Polymer-Bonded Explosive Simulants Considering the Mullins Effect,”

J. Compos. Mater., 47(27), pp. 3401-3411, 2013.

[8] Levenberg, K., “A Method for the Solution of Certain Non-Linear Problems in Least Squares,”

Quarterly of Applied Mathematics, 2, pp. 164-168, 1944.

[9] Stevenson, R., “Inferring Microscopic Deformation Behavior from the Form of Constitutive Equation for Low-Carbon Steel and 5182-0 Aluminum,” Mechanical Testing for Deformation Model Development, ASTM STP 765, R. W. Rohde and J. C. Swearengen, Eds., ASTM, pp. 366-381, 1982.