Effect of Aspect Ratio of Enclosure with Inner Circular Cylinder on Three-Dimensional Natural Convection

<학술논문> DOI http://dx.doi.org/10.3795/KSME-B.2016.40.11.717 ISSN 1226-4881(Print) 2288-5324(Online)

원형 실린더가 존재하는 밀폐계의 종횡비 변화가 3차원 자연대류 현상에 미치는 영향

이정민^* · 서영민^* · 하만영^*†

* 부산대학교 기계공학부

Effect of Aspect Ratio of Enclosure with Inner Circular Cylinder on Three- Dimensional Natural Convection

Jeong Min Lee^*, Young Min Seo^* and Man Yeong Ha^*†

* Dept. of Mechanical Engineering, Pusan Nat’l Univ.

(Received June 7, 2016 ; Revised August 26, 2016 ; Accepted September 18, 2016)

- 기호설명 - A : 표면적

fi : 운동량 부가 g : 중력 가속도 h : 열원

L : 특성 길이

n : 법선 벡터 P : 무차원 압력 q : 질량 원천

R : 원형 실린더 반지름 S : 변형률 텐서

T : 온도

t : 무차원 시간 ui : 무차원 속도

V : 밀폐계 내부 유체 부피

Key Words: Natural Convection(자연대류), Aspect Ratio(종횡비), Hot Inner Circular Cylinder(고온의 내부 원형 실린더), Rectangular Enclosure(사각 밀폐계), Three-dimension(3차원), Immersed Boundary Method (가상 경계법)

초록: 본 연구는 밀폐계 내부에 고온의 원형 실린더가 존재할 때, 밀폐계의 종횡비 변화에 따른 밀폐계 내부의 3차원 자연대류 현상에 대해 수치해석을 수행하였다. 밀폐계 내부의 원형 실린더는 유한체적법 (FVM)에 기초한 가상 경계법(IBM)을 사용하여 구현하였다. 본 연구에서 고려한 Rayleigh 수의 범위는 10⁵≤Ra≤10⁶이며, Prandtl 수는 0.7이다. 밀폐계의 폭을 변화하여 밀폐계의 종횡비를 증가시켰으며, 밀폐 계의 종횡비는 1≤W/L≤4 범위에서 1 간격으로 고려하였다. 본 연구에서 고려한 모든 Rayleigh 수와 밀 폐계의 종횡비 범위에서 열유동장은 x = 0 단면을 기준으로 좌우 대칭을 이루며 정상상태에 도달하였다.

또한 밀폐계의 종횡비가 증가할수록 원형 실린더의 표면 평균 Nusselt수는 증가하는 반면, 밀폐계 벽면 의 표면 평균 Nusselt수는 감소하였다.

Abstract: This study evaluated the effect of aspect ratio of an enclosure with a heated inner circular cylinder on three- dimensional natural convection. The immersed boundary method was used to model the inner circular cylinder based on the finite volume method. The Rayleigh number was varied between 10⁵ and 10⁶, and the Prandtl number was maintained at 0.7. The aspect ratio of the three-dimensional enclosure was changed in steps of 1 within a range of 1–4 by increasing the width of the enclosure. In this study, the flow and thermal fields in the enclosure reached the steady state, and showed a mirror-symmetric pattern with respect to the center plane (x=0). In addition, the surface-averaged Nusselt number of the inner circular cylinder increased, while the total surface-averaged Nusselt number of the enclosure walls decreased with increase in the aspect ratio of the enclosure.

† Corresponding Author, [email protected]

Ⓒ 2016 The Korean Society of Mechanical Engineers

W : 밀폐계 폭 xi : 직교 좌표계 α : 열확산 계수 β : 열팽창 계수

2

δ : Kronecker delta j

ν : 동점성 계수 θ : 무차원 온도

ρ : 밀도 Ω : 회전 텐서 ω : 와도

Nu : Nusselt number Pr : Prandtl number Ra : Rayleigh number

1. 서 론

밀폐계 내부의 온도 차로 인해 발생하는 자연대 류 현상은 열유체 분야에서 가장 중요한 문제들 중 하나이다. 이러한 현상은 전자 장비 및 기계 부품의 냉각, 태양열 에너지 시스템, 원자로 안전 설계 등 다양한 공학적 분야에 적용되며 대부분 단순 밀폐계가 아닌 다소 복잡한 형상을 가진다.

그러므로 이와 관련된 기본적인 물리적 현상을 규 명하기 위해 밀폐계 내부의 장애물이 자연대류 현 상에 미치는 영향에 대한 많은 연구들이 진행되었

다.^(1~4) 하지만 실험 결과 측정 및 열적 경계 조건

제어 등의 어려움으로 인해 밀폐계 내부의 자연대 류 현상에 대한 실험적 연구는 상당히 제한적으로 수행되었다.^(1,2)

선행 연구 결과에 따르면 밀폐계 내부의 자연대 류 현상은 밀폐계의 형상, 밀폐계 내부 물체의 형 상 및 위치, 밀폐계 벽면의 열적 경계 조건 등에 큰 영향을 받는다.

Rahman과 Sharif,⁽⁵⁾ Turan 등⁽⁶⁾은 다양한 Ra수 범 위에서 밀폐계의 종횡비 변화가 밀폐계 내부의 자 연대류 현상에 미치는 영향을 연구하였다.

Corcione⁽⁷⁾은 10⁴~10⁶ 범위의 Ra수에서 밀폐계의 종횡비 변화와 밀폐계 좌우 벽면의 다양한 열적 경계 조건에 따른 밀폐계 내부의 자연대류 현상을 연구하였다. 그 결과 밀폐계의 종횡비가 일정한 경우, Ra수가 증가할수록 밀폐계 벽면의 표면 평 균 Nu수가 증가하였다. 또한 Ra수가 일정한 경우, 밀폐계의 종횡비가 증가할수록 밀폐계 벽면의 평 균 Nu수 변화율은 감소하는 경향을 보였다.

Bouafia와 Daube,⁽⁸⁾ Cesini 등⁽⁹⁾은 밀폐계 내부에 고온의 물체가 존재하는 경우, Ra수와 밀폐계의 종횡비 변화가 밀폐계 내부의 열유동장에 미치는

영향을 연구하였다.

이러한 밀폐계 내부의 자연대류 현상은 대부분 3차원 공간에서 발생하지만, 컴퓨터의 성능과 계 산 시간 상의 이유 등으로 대부분 2차원 공간에서 연구되었다. 그러나 비교적 높은 Ra수 영역이나 실제 현상과 같이 3차원 효과가 두드러지는 밀폐 계 내부의 자연대류 문제는 3차원 공간에서 해석 하는 것이 중요하다.^(10,11)

밀폐계 내부의 원형 실린더로 인해 발생하는 자 연대류 현상은 지하 송전 케이블의 가압 가스, 축 열 시스템 등에 사용될 수 있다.^(12,13) 이러한 현상 에서 밀폐계의 형상은 대부분 일정하지 않으므로 다양한 밀폐계 형상과 밀폐계의 종횡비에 대한 연 구가 필요하다. 밀폐계 내부에 원형 실린더가 존 재할 때 사각 밀폐계의 종횡비 변화가 자연대류 현상에 미치는 영향은 많은 연구자들의 2차원 해 석을 통해 조사되었다. 하지만 3차원 공간에서 이 러한 해석을 수행한 연구는 미미한 실정이다.

따라서 본 연구에서는 대류의 영향이 지배적인 비교적 높은 Ra수 영역에서 밀폐계 내부에 존재 하는 원형 실린더 주위의 자연대류 현상에 대해 3 차원 수치 해석을 수행함으로써, 밀폐계의 종횡비 변화가 밀폐계 내부의 3차원 자연대류 현상에 미 치는 영향을 분석하였다.

2. 수치 해석 방법

본 연구에서 사용한 무차원 지배방정식은 3차원 비정상, 비압축성 열유동장에 대한 연속 방정식, 운동량 보존 방정식 및 에너지 보존 방정식으로 다음과 같이 정의된다.

0

i

i

u q x

∂ − =

∂ , (1)

2 2 2

j j j

i j j

i j i

u u P Pr u

u f

t x x Ra x θδ

∂ + ∂ = −∂ + ∂ + +

∂ ∂ ∂ ∂ , (2)

2 2

1

i

i i

u h

t x RaPr x

θ θ θ

∂ ∂ ∂

+ = +

∂ ∂ ∂ . (3)

부력항 내의 온도에 따른 유체의 밀도 변화는 Boussinesq 근사를 적용하여 구현하였으며, 나머지 유체의 물성치는 일정하다고 가정하였다. 위 식에 사용된 무차원 변수들의 정의는 다음과 같다.

(

)

g T T

t t

L β −

= ,

* i i

x x

= L ,

( )

* *

i i

i

ref h c

u u

u =U = g L Tβ T

− ,

( )

* *

2

h c

ref

P P

P⁼ ρU ⁼ ρ βg L T −T , ^c

h c

T T T T θ = ⁻

− . (4)

여기서 g와 L은 중력 가속도 및 특성 길이이며, T , β , ρ 는 각각 차원이 존재하는 온도, 열팽창 계수, 밀도를 나타낸다. 식 (4)의 상첨자 *는 차원 이 존재하는 변수를 의미한다. t, x_i, u_i, P , θ 는 각각 무차원화된 시간, 직교 좌표계, 속도, 압 력, 온도이다.

복잡한 형상 주위의 열유동장을 해석하는데 많 은 수치적인 어려움이 존재하며, 이러한 문제를 해결하는 방법으로 가상 경계법(Immersed Boundary Method) 등이 활발히 연구되고 있다.^(14~16) 따라서 본 연구에서는 밀폐계 내부에 존재하는 원형 실린 더 주위의 열유동장을 해석하기 위해 가상 경계법 을 이용하였다. 가상의 경계로 둘러싸인 제어 체적 에서의 질량 보존과 점착 조건을 만족시키기 위해 식 (1)과 식 (2)에 각각 질량 원천 q와 운동량 부 가 _fi를 도입하였다. 또한 식 (3)에는 가상 경계면 에서 온도 조건을 만족하도록 열원 h 를 사용하였 다. 격자면과 가상 경계 표면이 일치하지 않는 경 우, q , f_i, h 등의 값을 구하기 위해서 Kim 등⁽¹⁵⁾ 과 Kim과 Choi⁽¹⁶⁾가 제안한 2차 정확도의 linear/

bilinear interpolation 기법을 이용하였다.

식 (1)~(3)을 해석하기 위하여 Choi와 Moin⁽¹⁷⁾ 이 제안한 시간 전진 기법을 바탕으로 한 Semi- implicit fractional-step method를 사용하였다. 비선 형항인 대류항과 확산항에는 각각 2차 정확도의 Adams-Bashforth scheme과 Crank-Nicolson scheme을 사용하였다. 그리고 공간차분법은 FVM을 기초로 한 2차 정확도의 Central difference scheme을 이용 하였다. 이를 활용하여 아래의 4단계와 같이 다음 시간단계의 압력과 속도를 계산한다.

1 1

2 2

2 2 2

ˆ 3 1

2 2

1 ˆ

2

n n n n n n

j j i j i j

i i j

n

j j n

j j

i i

u u u u u u P

t x x x

u u

Pr f

Ra x x θ δ

− −

− ∂ ∂ ∂

= − + −

Δ ∂ ∂ ∂

⎛∂ ∂ ⎞

+ ⎜⎜⎝∂ + ∂ ⎟⎟⎠+ +

(5)

ˆ ⁿ

j j

j

u u P

t x

− =∂

Δ ∂

% (6)

^{2 n1 1 i}

i i i

u P

x x t x

+ ∂

∂ =

∂ ∂ Δ ∂

% (7)

1 1

n n

j j

j

u u P

t x

+ − ∂ +

Δ = ∂

% (8)

여기서 uˆ_i, u%_i는 n과 n+1 시간단계 사이의 중간속 도이다.

본 연구에서 고려한 무차원 파라미터로는 Pr수 와 Ra수가 있으며 다음과 같이 정의된다.

Pr ν

=α ,

3( _{h c}) g L T T

Ra β

να

= − (9)

여기서 α 와 ν 는 각각 열확산 계수 및 동점성 계 수를 나타낸다.

밀폐계의 벽면과 실린더 표면에서의 국소 및 표 면 평균 Nu수는 각각 다음과 같은 정의에 의해 계산된다.

wall

Nu n θ

=∂

∂ , Nu ¹ Nu dA

= A∫ ⁽¹⁰⁾

식 (10)에서 n은 표면에서의 법선 벡터이고, A 는 표면적을 의미한다.

본 연구에서는 밀폐계 내부에서 형성되는 와류 구조에 대한 3차원성을 정량적으로 평가하기 위 해 Orthogonal enstrophy를 도입하였다. Orthogonal enstrophy는 밀폐계 내부의 3차원 유동 혹은 z-방 향 유동과 관련된 와류의 세기를 나타내며 다음과 같이 정의된다.

2 2 2 2

|| _x|| || _y|| _{x y}

V dV V dV

ω + ω =∫ ω +∫ ω ⁽¹¹⁾ 여기서 V 는 밀폐계 내부 유체 부피를 나타내며,

2

ω 와 x ω 는 각각 x축 회전 방향 와도, y축 회전 _y² 방향 와도 크기를 제곱한 값으로 다음과 같다.

2

2 3 2

2 3

x

u u

x x

ω =^⎛⎜⎝^∂∂ −^∂∂ ^⎞⎟⎠ ,

2

2 1 3

3 1

y

u u

x x

ω =^⎛⎜⎝^∂∂ −^∂∂ ^⎞⎟⎠ (12)

Fig. 1(a)는 밀폐계의 종횡비가 W / L=1인 경우의 수치 해석 영역을 나타낸다. 내부 원형 실린더의 반지름은 R=0.2L이고, 밀폐계의 높이와 깊이는 길 이 L로 고정하였다. 내부 원형 실린더의 반지름 은 수많은 자연대류 선행 연구에 사용되었던 밀폐 계와 실린더의 반지름 비를 참고하였다.^(18~22) 밀폐 계의 폭은 1L≤W≤4L범위에서 1L 간격으로 변화 시켰다. 따라서 본 연구에서 밀폐계의 종횡비는 1

Table 1 Simulation conditions associated to this problem Aspect ratio

of enclosure W/L = 1, 2, 3, 4 Geometry

conditions Radius of inner

cylinder R = 0.2L

Top/Bottom/Left /Right wall of enclosure

i 0

u = , θ = 0 Front/Back wall

of enclosure u_i = , 0 0 n θ

∂ =

∂ Boundary

conditions

Surface of inner

cylinder u_i = , 0 θ= 1 Rayleigh number Ra = 10⁵, 10⁶ Dimensionless

parameters Prandtl number Pr = 0.7

(a)

(b)

Fig. 1 (a) Schematic of system for an enclosure with an inner circular cylinder and (b) the grid distribution at W/L=1

에서 4까지 변하며, 총 4개의 밀폐계 형상을 고려 하였다. 밀폐계의 x 및 y방향 벽면 온도는 저온 θ =0이며 내부 원형 실린더 표면의 온도는 고온 θ =1로 고정하였다. 밀폐계의 z방향 벽면은 단열

Fig. 2 Comparison of the present surface-averaged Nusselt numbers with those obtained by Fiscaletti et al⁽¹⁾

의 온도 경계 조건을 가진다. 본 연구에서는 밀폐 계 내부 열유동장에서의 3차원 효과를 조사하기 위해 Ra 수는 비교적 높은 Ra =10⁵과 Ra =10⁶을 고 려하였고, Pr 수는 0.7로 고정하였다. 이를 정리하 면 Table 1과 같다.

Fig. 1(b)는 밀폐계의 종횡비가 W / L=1일 때 x-y 단면에서의 격자계이다. 벽면에서의 온도 구배 및 속도 구배 계산의 정확성을 높이기 위해서 밀폐계 의 벽면과 내부 원형 실린더 표면에는 격자를 조 밀하게 배치하였다. 최소 격자 크기를 결정하기 위하여 Ra =10⁶에서 밀폐계의 종횡비가 W / L=1일 때 5개의 격자계에 대한 격자 의존성 연구를 수행 하였다. 그 결과, 격자 사이즈가 L / 250 이상이 되 면 밀폐계 벽면의 평균 Nu수는 거의 일정한 값을 가졌다. 따라서 최소 격자 크기가 L / 250이고, 최 대 격자 크기가 L / 100인 비균일 격자계를 사용하 였다.

본 연구에서 사용한 수치 해석 기법의 타당성을 검증하기 위하여 Fiscaletti 등⁽¹⁾이 연구한 저온의 사각 채널 내부에 고온의 원형 실린더가 존재하는 자연대류 현상과 수치 해석 결과를 비교하였다.

Fig. 2는 Fiscalletti 등⁽¹⁾이 연구한 실험 결과 데이 터와 본 연구에서 사용한 수치 방법으로 계산된 밀폐계 내부의 원형 실린더 표면 평균 Nu 수를 비 교한 것이다. 그 결과 본 연구에서 사용한 수치 기법에 의한 결과와 Fiscaletti 등⁽¹⁾의 실험 결과가 오차 범위 내에서 잘 일치하였다.

3. 결과 및 고찰

3.1 온도장과 유동장

본 연구에서는 밀폐계 내부에 대류의 영향이 지 배적으로 나타나는 비교적 높은 Ra수에서 밀폐계 의 종횡비 변화에 따른 3차원 효과를 조사하기 위 해 온도장과 유동장을 분석하였다. 온도장은 3차 원 공간에서 θ = 0.25, 0.5, 0.75인 경우에 대한 온도

분포와 z 축 단면(z = 0.5L)에서의 온도장을 분석하 였다. 밀폐계 내부의 유동은 Jeong과 Hussain⁽²³⁾이 제안한 3차원 와류 구조 및 z축 단면(z=0.5L)에서 의 유동장을 통해 분석하였다. 이 연구에 따르면

λ 는 2 S²+ Ω² 의 두 번째로 큰 고유값이며 와류 영역을 나타낸다. 여기서 S 와 Ω는 각각 변형률 텐서와 회전 텐서이다. 따라서 본 논문에서는 3차 원 와류 구조의 최외각 표면을 시각화하기 위하여

2 0.01

λ = − 을 사용하였다. 그 결과, 본 연구에서 고려한 모든 Ra수와 밀폐계의 종횡비에 대해 밀 폐계 내부의 열유동장은 x = 0 단면을 기준으로 좌 우 대칭을 이루며 정상 상태에 도달하였다.

3.1.1 Ra =10⁵

Fig. 3은 Ra =10⁵에서 밀폐계의 종횡비가 증가할 때 3차원 공간에서의 열유동장 분포를 나타낸다.

Ra =10⁵에서는 열전달에 영향을 미치는 대류의 효 과가 지배적이므로 밀폐계 내부의 열유동장에서 실린더 상부에 플룸이 뚜렷하게 생성된다. 종횡비 가 W/L=1인 경우, x = 0 단면을 기준으로 좌우 대 칭을 이루는 와류 구조가 밀폐계 상·하부에 각각 존재한다. 또한 밀폐계의 단열 벽에 의한 효과에 의해 밀폐계의 상부에 x방향의 3차원 와류 구조가 생성된다. 이 구조의 회전 방향은 오른손 법칙에 의해 정의되며, 앞쪽 단열 벽에서는 x축 방향,

(a) W/L=1 (e) W/L=1

(b) W/L=2 (f) W/L=2

(c) W/L=3 (g) W/L=3

(d) W/L=4 (h) W/L=4

Fig. 3 Isothermals with contour values with 0.25, 0.5 and 0.75 (left column) and vortical structure withλ₂ = −0.01 (right column) at Ra=10⁵

뒤쪽 단열 벽에서는 – x축 방향을 기준으로 회전 한다. 종횡비가 W / L=2로 증가하면 밀폐계 공간이 넓어져 상대적으로 플룸이 밀폐계의 상부에서 넓 게 펴지는 효과가 발생한다. 이로 인해 W / L=1일 때 밀폐계 상부에서 존재하는 x 방향의 3차원 와 류 구조는 사라지고, 상·하부에 존재하는 와류 구조가 결합하여 그 크기가 상대적으로 증가한다.

종횡비가 W/L=3으로 증가하게 되면 실린더에서 발생하는 플룸이 상대적으로 밀폐계의 상부에 집 중된다. 또한 실린더와 밀폐계 사이의 중심보다 가장 자리에서 유동의 세기가 증가하여, 좌우 와 류 구조의 중심에서 와의 세기는 상대적으로 감소 한다. 종횡비가 W/L=4까지 증가하면 온도장의 폭 은 약간 감소하지만, 밀폐계의 종횡비 효과에 의 해 밀폐계 내부의 와류 구조의 길이는 x 방향으로 증가하게 된다.

밀폐계의 종횡비가 증가함에 따라 유동장 내에 서 와류의 크기가 전반적으로 증가하였으나, 3차원 온도장의 폭이 줄어드는 것을 알 수 있다. 이를 분석하기 위해, Fig. 4와 같이 Ra =10⁵일 때 밀폐계 의 종횡비 변화에 따른 z축 단면(z = 0.5L)에서의 열유동장을 나타내었다. 밀폐계 내부의 열유동장 은 실린더를 중심으로 좌우 대칭이므로 좌측에 온 도장과 우측에 유동장을 각각 나타내었다.

밀폐계의 종횡비가 증가할수록 밀폐계의 좌우 벽면 근처에서 –y 방향으로 분포하는 온도장이 서 서히 감소하며, 주로 x 방향으로 분포됨을 알 수

(a) W/L=1

(b) W/L=2

(c) W/L=3

(d) W/L=4

Fig. 4 Isothermals and streamlines at z=0.5L plane for the different cases considered with varying W/L at Ra=10⁵

있다. 이는 밀폐계의 종횡비가 증가할수록 밀폐계 의 좌우 벽면과 실린더 사이의 상호작용이 감소하 기 때문이다. 또한, 밀폐계의 종횡비가 증가함에 따라 실린더 상부 중심에서 온도 구배가 증가함을 알 수 있다. 이는 밀폐계의 종횡비가 증가할수록 와의 중심이 실린더에서 멀어져 와의 영향이 감소 하기 때문이다.

그러므로 3차원 온도장에서 발생하는 밀폐계의 종횡비 증가에 따라 온도장의 폭이 감소하는 이유 는 밀폐계와 실린더 사이의 상호작용이 감소하고 밀폐계 좌우에 존재하는 와의 중심이 실린더 중심 으로부터 점점 멀어지기 때문이다.

3.1.2 Ra =10⁶

Fig. 5는 Ra =10⁶에서 밀폐계의 종횡비가 증가할 때 3차원 공간에서의 열유동장의 분포를 나타낸다.

Ra수가 10⁶이 되면 밀폐계를 순환하는 유속의 크 기가 증가하여 대류의 영향이 더욱 증가한다. 이 로 인해 Ra =10⁵에 비해 Ra =10⁶ 에서는 더욱 복잡 한 열유동장의 분포가 나타난다.

종횡비가 W/L=1인 경우, Ra =10⁵과 비교하여 실 린더로부터 발생하는 플룸의 세기가 증가하므로 실린더 하부의 온도 경계층이 얇아지며, 강한 대 류 효과로 인해 와류 구조가 밀폐계 상부쪽으로 집중 된다. 그러므로 내부 실린더 좌우에 와류

(a) W/L=1 (e) W/L=1

(b) W/L=2 (f) W/L=2

(c) W/L=3 (g) W/L=3

(d) W/L=4 (h) W/L=4

Fig. 5 Isothermals with contour values with 0.25, 0.5 and 0.75 (left column) and vortical structure with

2 0.01

λ = − (right column) at Ra=10⁶

구조가 각각 한 개씩 존재하고, 실린더 상부에서 와류 구조 간의 거리가 가까워진다. 종횡비가 W/L=2로 증가하면 Ra=10⁵와 같이 플룸이 밀폐계 의 상부에서 넓게 펴지는 효과가 발생한다. 또한 와류 구조가 분리되어 복잡한 3차원 구조가 나타 난다. 종횡비가 W/L=3으로 증가하게 되면 실린더 에서 발생하는 플룸이 상대적으로 밀폐계의 상부 에 집중된다. 또한 W/L=2일 때 밀폐계 상부에서 존재하는 복잡한 와류 구조의 길이가 x방향으로 증가하게 된다. 종횡비가 W/L=4까지 증가하게 되 면 밀폐계 좌우 벽면에 미치는 플룸의 영향이 W/L=3에 비해 약간 감소한다. 와류 구조는 Ra=10⁵ 과 같이 실린더 표면과 밀폐계 벽면 근처에서 존 재하며, x 방향으로 길이가 증가하게 된다. 대류의 영향이 강한 Ra=10⁶ 영역에서는 Ra=10⁵에 비해 밀 폐계의 종횡비에 의한 효과가 더욱 두드러지게 나 타난다.

Fig. 6은 Ra=10⁶일 때 밀폐계의 종횡비 변화에 따른 z축 단면(z=0.5L)에서의 열유동장을 나타낸다.

Ra=10⁵과 같이 온도장에서는 밀폐계의 종횡비가 증가할수록 밀폐계의 좌우 벽면과 실린더 사이의 상호작용이 감소한다. 하지만 Ra수의 증가에 따른 강한 대류의 영향으로 인해 온도장에서 밀폐계의 좌우 벽면에 의한 영향이 Ra=10⁵에 비해 증가함을 알 수 있다. 유동장은 Ra=10⁵과 달리 밀폐계의 종 횡비가 증가하면 추가적인 2차 와가 발생한다. 하 지만 Ra=10⁵과 마찬가지로 밀폐계의 종횡비가 증 가할수록 주된 와의 중심은 실린더에서 멀어진다.

(a) W/L=1

(b) W/L=2

(c) W/L=3

(d) W/L=4

Fig. 6 Isothermals and streamlines at z=0.5L plane for the different cases considered with varying W/L at Ra=10⁶

3.2 3차원 유동 분석

Fig. 7은 Ra=10⁵일 때 실린더와 밀폐계 상부 벽 면 사이의 y축 단면(y=0.35L)에서 밀폐계의 종횡비 변화에 따른 z-방향 속도(spanwise 속도) 성분 분 포를 나타낸다. 여기서 빨간색으로 표현된 실선은 양의 값, 파란색으로 표현된 점선은 음의 값이며, 범위는 -0.05에서 0.05까지 0.01간격으로 나타내었 다. spanwise 속도 성분에 대한 분포는 본 연구에 서 고려한 밀폐계 내부 자연 대류 현상에 3차원성 이 존재함을 보여준다. Ra=10⁵ 일 때 밀폐계의 종 횡비가 W/L=1인 경우, x-z 평면의 상·하부에 각각 낮은 세기의 spanwise 속도가 교차로 반복되어 나 타난다. 이는 밀폐계의 단열 벽에서 점착 조건을 만족하기 위하여 3차원 유동이 미미하게 발생하기 때문이다. 밀폐계의 종횡비가 W/L=2로 증가하면 spanwise 속도의 세기 및 분포의 크기가 증가한다.

밀폐계의 종횡비가 W/L=3으로 증가하면 spanwise 속도가 더욱 강화되고, 이러한 속도 성분들의 상 호작용으로 인해 Fig. 3과 같이 다양한 와류 구조 가 관찰된다. 밀폐계의 종횡비가 W/L=4까지 증가 하게 되면 spanwise 속도의 세기는 국부적으로 감 소하지만, 속도 분포의 범위는 더욱 넓어진다. 따

(a)

(b)

(c)

(d)

Fig. 7 Distribution of the spanwise velocity at y=0.35L plane for the different cases considered with varying W/L at Ra=10⁵; (a) W/L=1, (b) W/L=2, (c) W/L=3, (d) W/L=4

라서 W/L=4의 와류 구조는 W/L=3과 유사하며 x방 향으로 길이가 증가한다.

Fig. 8은 Ra =10⁶일 때 실린더와 밀폐계 상부 벽 면 사이의 y 축 단면(y=0.35L)에서 밀폐계의 종횡 비 변화에 따른 spanwise 속도 성분에 대한 분포 를 나타낸다. Ra =10⁶일 때 밀폐계의 종횡비가 W/L=1인 경우, Ra =10⁵에 비해 spanwise 속도 성분 이 상대적으로 x-z 평면의 상·하부에 더욱 집중 된다. Ra 수의 증가로 인해 밀폐계의 단열 벽에서 3차원 유동이 더욱 증가함을 알 수 있다. 밀폐계 의 종횡비가 W/L=2로 증가하면 Ra=10⁵과 같이 spanwise 속도의 세기 및 분포의 크기가 증가한다.

또한 밀폐계의 좌우 벽면 중심에서 추가적인 속도 분포가 나타난다. 밀폐계의 종횡비가 W/L=3이 되 면 spanwise 속도 분포의 범위가 더욱 증가하지만, 밀폐계의 좌우 벽면에서 국부적인 세기가 감소한 다. 밀폐계의 종횡비가 W/L=4까지 증가하게 되면 밀폐계 공간이 더욱 증가하므로 Ra=10⁵과 같이 spanwise 속도 분포의 범위가 넓어진다. 또한 밀폐 계의 좌우 벽면에서 spanwise 속도의 세기가 감소 하 며, 밀 폐 계 의 좌 우 벽 면 중 심 에 존 재 하 는 spanwise 속도 분포는 사라진다. spanwise 속도 분

(a)

(b)

(c)

(d)

Fig. 8 Distribution of the spanwise velocity at y=0.35L plane for the different cases considered with varying W/L at Ra=10⁶; (a) W/L=1, (b) W/L=2, (c) W/L=3, (d) W/L=4

Fig. 9 Orthogonal enstrophy as a function of W/L at Ra=10⁵ and Ra=10⁶

포는 밀폐계 내부의 3차원 자연대류 현상에 큰 영 향을 끼치며, 밀폐계 내부의 유동장에서 3차원 와 류 구조를 발생시킨다.

Fig. 9는 Ra=10⁵~10⁶에서 밀폐계의 종횡비에 대 한 함수로써 밀폐계 내부의 Orthogonal enstrophy 를 나타낸다. 밀폐계 내부 열유동장과 spanwise 속도 분포에서 볼 수 있듯이, 비교적 높은 Ra수 영역에서는 3차원 와류 구조를 생성하기에 충분한 3차원 속도 성분을 가진다. Fig. 9와 같이 본 연구 에서 고려한 Ra수의 범위에서 밀폐계의 종횡비가 증가할수록 밀폐계 내부의 Orthogonal enstrophy는 증가한다. 이는 밀폐계의 종횡비가 증가할수록 spanwise 속도 분포의 범위가 증가하기 때문이다.

하지만 밀폐계의 종횡비가 증가할수록 Orthogonal enstrophy의 증가율은 감소한다. 이는 밀폐계의 종 횡비가 2 이상 증가하는 경우, 3차원성을 초래하는 spanwise 속도 분포의 범위는 증가하지만, 밀폐계 좌우 벽면에서 spanwise 속도의 세기는 감소하기 때문이다. 그러므로 밀폐계 내부의 자연 대류 현 상의 3차원성은 밀폐계 내부의 공간과 Ra 수에 의 한 대류 효과의 상호작용을 통해 나타난다.

3.3 Nu 수

Fig. 10은 Ra=10⁵과 Ra=10⁶ 각각에 대해 밀폐계 의 종횡비 변화에 따른 밀폐계 위쪽 벽면과 오른 쪽 벽면의 Nu수의 분포를 나타낸다. 본 연구에서 고려한 모든 Ra수와 밀폐계의 종횡비에서 밀폐계 내부의 열유동장은 x=0 단면을 기준으로 좌우 대 칭으로 분포한다. 또한 대류의 영향이 지배적인 비교적 높은 Ra수 범위에서 발생하는 플룸은 주 로 밀폐계의 상부에 존재한다. 그러므로 밀폐계 벽면의 Nu수의 분포는 Fig. 10과 같이 위쪽 벽면 과 오른쪽 벽면 부분만 나타내었다.

Ra=10⁵에서는 밀폐계의 위쪽 벽면 중심에서 Nu 수의 최대값이 존재하며, 중심으로부터 Nu수가 점 점 감소한다. 또한 밀폐계의 종횡비가 증가할수록

(a) (b) Fig. 10 Local Nusselt number distribution on the top

wall and side wall of the enclosure for the different cases considered with W/L=1, 2, 3, 4;

(a) Ra=10⁵, (b) Ra=10⁶

Fig. 11 Surface-averaged Nusselt numbers of walls of enclosure as a function of W/L at Ra=10⁵ and Ra=10⁶

밀폐계 좌우 벽면에 미치는 플룸의 영향이 감소하 므로 오른쪽 벽면의 Nu수는 점차 감소하였다.

Ra=10⁶에서는 Ra=10⁵에 비해 Nu수의 최대값이 증가하며, 중심으로부터 급격하게 Nu수가 감소한 다. 이는 Ra수가 증가할수록 밀폐계의 상부 중심 으로 더욱 집중되는 플룸이 생성되기 때문이다.

그리고 Ra수의 증가에 따른 강한 대류의 영향으 로 인해 오른쪽 벽면에서 Nu수가 Ra=10⁵에 비해 더욱 증가한다. 또한 밀폐계의 종횡비가 증가할수 록 Ra=10⁵과 같이 오른쪽 벽면의 Nu수는 점차 감 소하였다.

Fig. 11은 Ra=10⁵과 Ra=10⁶에서 밀폐계의 종횡비 에 대한 함수로써 밀폐계 벽면의 표면 평균 Nu수 를 보여준다. 여기서 하첨자 B, S, T는 각각 밀폐계 의 아래쪽, 옆쪽, 위쪽 벽면을 나타낸다. 밀폐계 아래쪽 벽면의 표면 평균 Nu수는 밀폐계의 종횡 비 변화와 관계없이 0에 가까운 일정한 값을 가진 다. 이는 열유동장에서 볼 수 있듯이 비교적 높은

(a) (b) Fig. 12 (a) Surface-averaged Nusselt number of the

inner circular cylinder and (b) total surface- averaged Nusselt number of walls of enclosure as a function of W/L at Ra=10⁵ and Ra=10⁶ Ra 수로 인해 대류의 영향이 지배적으로 나타나고, 실린더에서 발생하는 플룸이 밀폐계 상부에 집중 되기 때문이다. Ra 수가 10⁵에서 10⁶으로 증가하면 강한 대류의 영향으로 인해, 밀폐계 위쪽 벽면과 옆쪽 벽면의 표면 평균 Nu 수가 크게 증가한다.

그러나 밀폐계의 종횡비가 증가할수록 밀폐계 위 쪽 벽면과 좌우 벽면의 표면 평균 Nu 수는 감소 한다.

Fig. 12는 Ra=10⁵과 Ra=10⁶에서 밀폐계의 종횡 비에 대한 함수로써 실린더와 밀폐계의 전체 표면 평균 Nu수를 보여주고 있다. Ra수가 10⁶인 경우, Ra 수 10⁵에 비해 내부 실린더와 밀폐계의 전체 표면 평균 Nu수는 크게 증가한다. 이는 Ra수가 증 가할수록 강한 대류의 효과로 인해 열전달량이 증 가하기 때문이다.

Fig. 12(a)를 보면 알 수 있듯이 본 연구에서 고 려한 Ra 수에서 밀폐계의 종횡비가 증가할수록 실 린더의 표면 평균 Nu 수는 약간 증가한다. 이는 밀폐계의 종횡비가 증가할수록 플룸이 밀폐계의 상부에 집중되어 실린더 하부의 온도 경계층이 얇 아지기 때문이다. 또한 Fig. 12(b)와 같이 밀폐계의 종횡비가 증가할수록 밀폐계의 전체 표면 평균 Nu 수는 감소한다. 이는 밀폐계의 종횡비가 증가 할수록 실린더와 밀폐계 좌우 벽면 사이의 공간이 증가하여 밀폐계 좌우 벽면에 미치는 플룸의 영향 이 감소하기 때문이다.

4. 결 론

본 연구에서는 밀폐계 내부에 고온의 원형 실린 더가 존재할 때, 밀폐계의 종횡비 변화에 따른 밀 폐계 내부의 3차원 자연대류 현상에 관해 수치해 석을 수행하였다. 본 연구에서 고려한 모든 Ra수 와 밀폐계의 종횡비 범위에서, 열유동장은 x = 0 단

면을 기준으로 좌우 대칭을 이루며 정상 상태에 도달하였다.

Ra 수가 10⁵에서 10⁶으로 증가할수록, 부력의 효 과로 인해 발생하는 대류가 밀폐계 내부의 열유동 에 미치는 영향이 증가하였다. 이로 인해 밀폐계 내부의 온도장 및 유동장에서 3차원 효과가 크게 나타났다. 또한 밀폐계의 상부 및 좌우 벽면과 내 부 원형 실린더의 표면에서 열전달량이 증가하여 표면 평균 Nu수가 상당히 증가하였다.

밀폐계의 종횡비가 증가할수록 밀폐계의 상부로 플룸이 집중되고, 밀폐계의 좌우 벽면에 미치는 플룸의 영향이 감소하였다. 또한 밀폐계의 좌우 벽면과 내부 원형 실린더 사이의 공간이 증가하여 와류 구조의 길이가 x 방향으로 증가하였다. 이로 인해 x 축 회전방향의 3차원 와류 구조가 비교적 뚜렷하게 나타났고, Orthogonal enstrophy가 증가하 였다. 또한 밀폐계의 종횡비가 증가할수록 내부 원형 실린더 표면의 평균 Nu 수는 증가하고, 밀폐 계 벽면의 표면 평균 Nu 수는 감소하였다.

그러므로 원형 실린더가 존재하는 밀폐계 내부 의 3차원 자연 대류 현상은 Ra 수에 의한 대류 효 과와 밀폐계의 종횡비 간의 상호작용을 통해 나타 난다.

후 기

본 연구는 환경부의 화학사고 대응 환경기술개 발사업에서 지원받았습니다(No. 2015001950002).

본 연구는 한국과학기술정보연구원(KISTI)과 부산 대학교 슈퍼컴퓨팅센터의 PLSI 전산자원을 활용 하였음.

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