Effect of Prandtl Number on Natural Convection in Tilted Square Enclosure with Inner Circular Cylinder

<학술논문>

DOI http://dx.doi.org/10.3795/KSME-B.2014.38.11.935 ISSN 1226-4881(Print) 2288-5324(Online)

Prandtl 수 변화가 내부 원형 실린더가 존재하는 기울어진 정사각형 밀폐계 내부의 자연대류 현상에 미치는 영향 ^§

문기수

^*

· 최창영

^*

· 하만영

^*†

· 윤현식

^**

* 부산대학교 기계공학부, ** 조선해양플랜트 글로벌 핵심 연구센터

Effect of Prandtl Number on Natural Convection in Tilted Square Enclosure with Inner Circular Cylinder

Gi Su Mun

^*

, Changyoung Choi

^*

, Man Yeong Ha

^*†

andHyun Sik Yoon

^**

* School of Mechanical Engineering, Pusan Nat'l Univ.,

** Global Core Research Center for Ships and Offshore Plants, Pusan Nat'l Univ.

(Received April 11, 2014 ; Revised June 21, 2014 ; Accepted July 7, 2014)

- 기호설명 - d : 격자 간격

f i : 강제 모멘텀 g : 중력가속도 h : 열 소스 및 싱크 k : 열전도 계수 L : 밀폐계 벽면 길이

Key Words: Natural Convection(자연대류), Prandtl Number Effect(Pr 수 영향), Tilted Square Enclosure(기울어진 사각 밀폐계), Inner Circular Cylinder(내부 원형 실린더)

초록: 본 연구에서는 내부에 고온의 원형 실린더가 위치한 저온의 기울어진 사각 밀폐계에서 Prandtl 수 변화에 따른 밀폐계 내부 자연대류 현상에 대한 수치해석을 수행하였다. Rayleigh 수가 10 ³ , 10 ⁴ , 10 ⁵ 그리고 밀폐계의 각도가 0°, 15°, 30°, 45° 인 경우에 대해서 Prandtl 수를 0.1, 0.7, 7 로 변화시키며 Prandtl 수의 영향을 분석하였다. Prandtl 수의 변화에 따른 밀폐계 내부의 자연대류 현상은 실린더 표면과 밀폐계 벽면의 평균 Nusselt 수, 밀폐계 내부의 등온선 및 유선을 바탕으로 분석되었다. Prandtl 수가 0.7, 7 인 경우에는 각도 및 Rayleigh 수에 관계없이 열유동은 정상상태의 특성을 보였지만 Prandtl 수가 0.1 인 경우에는 Rayleigh 수가 10 ⁵ 이고 밀폐계의 각도가 0° 와 45° 일 때 시간에 따라 열유동장이 변하였다.

실린더 표면과 밀폐계 벽면의 평균 Nusselt 수는 Rayleigh 수가 10 ⁵ 인 경우, 각도에 관계없이 Prandtl 수가 클수록 증가하였다. 특히 Rayleigh 수가 10 ⁵ 이고 Prandtl 수가 0.1 일 때 밀폐계의 각도가 45° 인 경우 실린더 표면과 밀폐계 벽면의 평균 Nusselt 수가 크게 증가하였다.

Abstract: A numerical analysis of the effect of the Prandtl number on the natural convection in a cold outer tilted square enclosure with an inner hot circular cylinder is presented. Several Prandtl numbers (Pr=0.1, 0.7, 7) are considered, with different angles(0°, 15°, 30°, 45°) for the enclosure and Rayleigh numbers (Ra=10 ³ , 10 ⁴ ,10 ⁵ ). The effect of the Prandtl number on the natural convection is analyzed using isotherms and streamline and surface-averaged Nusselt numbers.

The flow and heat transfer characteristics are found to be dependent on the time for Ra=10 ⁵ and Pr=0.1 at angles of 0°

and 45°. However, in the other cases, the flow and heat transfer characteristics are independent of the time.The surface- averaged Nusselt number increases with an increase in the Prandtl number. As the Prandtl number increases, the Nusselt number becomes larger regardless of the angle for Ra=10 ⁵ . In particular, the Nusselt number steeply increases when the angle is 45° for Ra=10 ⁵ and Pr=0.1.

§ 이 논문은 2014년도 대한기계학회 열공학부문 춘계학술 대회(2014. 4. 23.-26., 제주대) 발표논문임

† Corresponding Author, [email protected]

Ⓒ 2014 The Korean Society of Mechanical Engineers

문기수 · 최창영 · 하만영 · 윤현식 936

Nu : Nusselt 수 P : 무차원 압력 Pr : Prandtl 수 ( = ν α ) q : 질량 소스 및 싱크 R : 원형 실린더 반지름

Ra : Rayleigh 수 ( = g β ( T _h − T L _c ) ³ να )

S : 밀폐계 벽면을 따라 정의된 위치

t : 무차원 시간

T c : 유차원 밀폐계 벽면 온도

T h : 유차원 실린더 표면 온도 u i : 무차원 속도

x i : 직교 좌표계 α : 열확산 계수 β : 열팽창 계수

γ : 사각 밀폐기의 기울어진 각도 δ ij : Kronecker delta

θ : 무차원 온도 ν : 동점성 계수

ρ : 밀도

ϕ : 원형 실린더 표면을 따라 정의된 원주 방향의 각도

* : 차원값

1. 서 론

밀폐계 내부의 자연대류 현상은 열교환기 _, 핵반 응 , 베어링 윤활 , 전자장비 냉각 등 여러 가지 공 학 및 환경 문제와 관련되어 있다 _. 선행연구 결과

에 따르면 사각 밀폐계 내부의 자연대류 현상은

밀폐계 내부 물체의 유무 _, 밀폐계 내부 물체의 형

상과 밀폐계의 형상 등에 큰 영향을 받는다 _. ^(1~4)

Lee 등 ⁽¹⁾ 은 사각 밀폐계 내부에 사각형의 물체

가 존재하는 경우와 존재하지 않는 경우를 비교하 였다 . 그 결과 밀폐계 내부에 존재하는 물체는 밀 폐계 내부에 형성되는 열유동에 큰 영향을 주었다 _.

Angeli 등 ⁽²⁾ 은 사각 밀폐계 내부에 원형 물체가 존

재하는 경우 밀폐계 내부의 자연대류 현상이 변함 을 관찰하였다 . Moukalled 등 ⁽³⁾ 은 마름모 밀폐계 내부에 마름모 물체가 존재하는 경우 밀폐계 내부 의 형상 변화가 밀폐계 내부 열전달 및 유동 현상 에 영향을 미친다는 것을 보고하였다 . Park 등 ⁽⁴⁾ 은 저온의 사각 밀폐계 내부에 고온의 원형의 실린더 를 위치 시킨 후 사각 밀폐계의 각도와 원형 실린 더의 반경 변화에 따른 수치적 연구를 진행하였다 _.

그 결과 밀폐계 형상 및 밀폐계와 원형 실린더 사

이의 거리 변화가 평균 Nusselt 수에 영항을 미치

는 것을 보고하였다 _.

자연대류 현상은 앞서 언급한 요인들 외에 Rayleigh 수와 _Prandtl 수에 큰 영향을 받는다 _. ^(5,6)

Mohamad 등 ⁽⁵⁾ 은 수평방향 온도구배를 가지는 사

각 밀폐계에서 다양한 _Prandtl 수와 Rayleigh 수에

대한 수치적 연구를 진행 하였다 . 그 결과 Prandtl

수가 작을수록 유동의 천이가 일어나는 임계

Rayleigh 수가 감소함을 보였다 . Yu 등 ⁽⁶⁾ 은 저온의 원형 밀폐계 내부에 고온의 삼각형 실린더를 위치 시킨 후 다양한 Rayleigh 수에서 _Prandtl 수를 변화

시키며 밀폐계 내부의 자연대류 현상을 관찰하였

다 _. 그 결과 _Prandtl 수와 Rayleigh 수의 변화가 밀 폐계 내부의 열유동과 열전달 분포에 크게 영향을 끼쳤다 _.

위와 같이 본 연구에서 수행한 문헌조사에 따르

면 _Park 등 ⁽⁴⁾ 은 내부에 원형 실린더가 존재하는

사각 밀폐계의 형상이 변하는 경우 밀폐계 내부에 서 발생하는 자연대류 현상에 큰 영향을 미친다고 보고하였다 _. 한편 _Yu 등 ⁽⁶⁾ 의 연구에 따르면 내부

에 물체가 존재하는 경우 밀폐계의 형상 변화가

없더라도 _Prandtl 수의 변화가 밀폐계 내부에서 발

생하는 자연대류 현상에 큰 영향을 미친다 . 하지

만 본 연구에서 수행한 선행연구 조사에 따르면

밀폐계의 형상과 Prandtl 수 변화를 모두 고려했을

때 이러한 두가지 요인들이 밀폐계 내부의 자연대 류 현상에 미치는 영향에 대한 연구는 미미한 실 정이다 _.

따라서 본 연구는 내부 원형 실린더가 존재하는 기울어진 정사각형 밀폐계에서 _Rayleigh 수가 ₁₀ ³ _, 10 ⁴ , 10 ⁵ 이고 밀폐계의 각도가 0°, 15°, 30°, 45° 인 경우에서 Prandtl 수를 0.1, 0.7, 7 로 변화시키며 수

치해석을 수행하여 _Prandtl 수 변화의 영향을 분석

하였다 .

2. 수치 해석 방법

본 연구에서 사용된 무차원 지배방정식은 2 차 원의 비정상 상태 _, 비압축성 연속방정식 _, 운동량

보존 방정식 및 에너지 방정식으로 다음과 같이

정의된다 . ui q 0 xi

∂ − =

∂ (1)

2

2 u i u j u i P Pr u i Ra Pr i f i

t x j x i x j x j

∂ ∂ ∂ ∂ θδ

+ = − + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (2)

2

u j h

t x j x j x j

θ θ θ

∂ ∂ ∂

+ = +

∂ ∂ ∂ ∂ (3) 위 식들에 사용된 무차원 변수들의 정의는 다음 과 같다 .

* 2 t t

L

= α

,

xi * xi = L

,

u L *

ui ⁼ α

,

^{* 2}

2 P P L

ρα

=

,

^{T Tc}

T h T c θ = ⁻

− (4)

식 _{(1 )} 에 사용된 질량 원천 _q 와 식 ₍₂₎ 에 사용된 운동량 부과 f 는 _i 가상 경계면에서 점착 경계 조건과 가상 경계면을 포함한 격자내의 질량 보존을 만족시키기 위해 사용되었으며 _, 식 ₍₃₎ 에 사용된 열원 h 는 가상 경계면에서의 일정 벽 온 도 조건을 만족시키기 위해 사용되었다 . 가상경계

면에서의 점착조건과 등온조건을 만족시키기 위하

여 2 차 선형보간법이 사용되었다 . 가상경계법에 대한 자세한 내용은 _Kim 등 ⁽⁸⁾ 과 _Kim 과 _Choi ⁽⁹⁾ 의 논문에 기술되어 있다 _.

지배방정식의 공간에 대한 이산화는 2 차 정확 도를 가지는 유한체적법이 사용되었다 _. 대류항과 확산항의 이산화는 각각 2 차 정확도를 가지는 Adams-Bashforth scheme 과 Crank-Nicolson scheme 이 사용되었다 . 시간에 따른 해를 구하는 과정에서 Choi 와 _Moin ⁽¹⁰⁾ 이 제안한 fractional step method 를 사용하였다 .

Figure 1 은 본 연구에서 고려한 계산 영역을 보여

주고 있다 . 밀폐계는 지면으로부터 γ 만큼 기울어져 있고 벽면의 길이는 L 이다 . 밀폐계 내부에 존재하는 고온의 원형 실린더의 반경 R 은 0.2 L 이다 .

격자 해상도에 대한 결과의 독립성을 확보하기

위해 각각의 _Prandtl 수에 대한 격자 의존성 테스

트를 수행하여 Pr = 0.1 인 경우 1/d =350, Pr = 0.7 인 경우 1/d =250, Pr = 7 인 경우 1/d =300 의 간

격을 가지는 균일한 분포의 격자를 이용하여 본

연구를 수행하였다 .

Table 1 과 같이 원형 실린더가 존재하는 사각

밀폐계 내부의 실린더 벽면 평균 _Nusselt 수를 _Kim

등 ⁽¹¹⁾ 의 연구 결과와 비교하여 본 연구에서 사용 된 수치 기법을 검증하였다 _. 그 결과 _2% 이내의 차이를 보이며 오차범위 내에서 선행연구와 잘 일 치하였다 _.

3. 결과 및 고찰

3.1 유동장과 온도장

본 연구에서 고려한 Pr 수 범위에서 Ra = 10 ³ 과

Table 1 Comparison of the surface-averaged Nusselt numbers on the surface of the cylinder from this study with those of previous numerical studies for different Rayleigh numbers

Ra

Mean Nusselt number at cylinder Present

study Kim et al. ⁽⁸⁾ Difference(%)

10 ³ 5.012 5.093 1.59

10 ⁴ 5.105 5.108 0.05

10 ⁵ 7.768 7.767 -0.01

Fig. 1 Schematic of system

0.1 Pr =

0.7 Pr =

7 Pr =

γ = ˚ 0 γ = ˚ 45 γ = ˚ 0 γ = ˚ 45 10 3

Ra = Ra = 10 ⁴

Pr s at

γ

= ˚ 0 and 45˚ and Ra = 10 ³ and 10 ⁴ .

Fig. 2 Isotherms and streamlines for different

문기수 · 최창영 · 하만영 · 윤현식 938

10 4

Ra = 인 경우 Prandtl 수와 γ 에 관계없이

유사한 열유동장이 나타났고 모든 열유동장에서

정상상태의 특성을 보였다. 하지만 Ra = 10 ⁵ 이고

모든 γ 에 대해 Pr 수가 0.7 에서 0.1 로 감소한 경우 열유동장이 복잡하게 나타난다. 그리고 특히

0.1

Pr = 이고

γ

= ˚, ˚ 0 45 인 경우 열유동장은

시간에 따라 변하는 특성을 보였다. Pr 수가

0.7 에서 7 로 증가한 경우 열유동장은 Pr = 0.7 일 때와 유사하게 나타났다.

3.1.1 Ra = 10 ³ 과 Ra = 10 ⁴

Figure 2 는 Rayleigh 수가 10 , 10 ^{3 4} 이고 γ 가 0˚ , 45˚ 일 때 Prandtl 수가 0.1, 0.7, 7 인 경우의 온도장과 유동장을 나타낸다. 낮은 Rayleigh 수 영역에서는 Prandtl 수의 영향이 미미해서 Pr 수가 다르더라도 밀폐계 내부의 열유동장의 특성이 거의 유사하기 때문에 Fig. 2 에서는 γ = ˚, ˚ 0 45 인 경우의 열유동장을 나타내었다. Ra = 10 ³ 과

10 4

Ra = 과 같이 낮은 Rayleigh 수의 영역에서는 전도의 영향이 지배적이므로 Fig. 2 와 같이 Prandtl 수와 γ 에 관계없이 유사한 열유동장이 나타난다.

3.1.2 Ra = 10 ⁵

Figure 3 은 Ra = 10 ⁵ 일 때 Prandtl 수와 γ 에 따른 열유동장이며, 이 중 Pr = 0.1 이고

γ

= ˚, ˚ 일 0 45 때는 시간에 따라 열유동장이 변하였다. 따라서 Fig.

3(a)와 (j)는 시간에 대해 평균한 온도장과 유동장을 나타내었다. Ra = 10 ⁵ 에서는 낮은 Rayleigh 수에서의 열유동장과는 달리 밀폐계 내부의 열전달에 미치는 대류의 영향이 크다. 따라서 Fig. 3 과 같이 Prandtl 수와 γ 에 상관없이 실린더 상부에 열적 플룸(thermal plume)이 나타난다. Pr = 0.1 인 경우 Pr = 0.7 과

7

Pr = 일 때에 비해 열 확산 비율이 크다. 이로 인해 밀폐계 내부에 열경계층이 두꺼워져서 Fig. 3(a,d,g,j)과 같이 온도장이 상대적으로 고르게 분포한다. 또한 실린더 상부의 플룸 개수가 증가하고 밀폐계 내부의 유동장이 복잡해진다. Pr = 0.7 과 Pr = 7 인 경우는

0.1

Pr = 인 경우와 달리 운동량 확산 비율이 증가하여 Fig. 3(b,e,h,k)와 (c,f,i,l)과 같이 실린더 상부의 상승 플룸의 세기가 커진다. 하지만

0.7

Pr = 과 Pr = 7 에서 열유동장은 유사하게 나타난다.

밀폐계의 기울기가 0˚일 때 Pr = 0.7 인 경우 Fig. 3(b)와 같이 실린더 상부에 1 개의 강한 상승

(a) Pr = 0.1 ,

γ

= ˚ 0 (b) Pr = 0.7 ,

γ

= ˚ 0 (c) Pr = 7 ,

γ

= ˚ 0

(d) Pr = 0.1 ,

γ

= ˚ 15 (e) Pr = 0.7 ,

γ

= ˚ 15 (f) Pr = 7 ,

γ

= ˚ 15

(g) Pr = 0.1 ,

γ

= ˚ 30 (h) Pr = 0.7 ,

γ

= ˚ 30 (i) Pr = 7 ,

γ

= ˚ 30

(j) Pr = 0.1 ,

γ

= ˚ 45 (k) Pr = 0.7 ,

γ

= ˚ 45 (l) Pr = 7 ,

γ

= ˚ 45

Fig. 3 Isotherms and streamlines for different Pr s and

γ

s at Ra = 10 ⁵

플룸이 생성된다. 유동장의 경우 밀폐계 좌측과 우측의 상부에 한쌍의 와가 나타난다. Pr 수가 0.1 로 감소하면 0.7 일 때에 비해 열 확산 비율이 증가한다. 이로 인해 Fig. 3(a)와 같이 Pr = 0.7 일 때 실린더 상부에 존재하던 1 개의 강한 플룸이 아닌 3 개의 약한 플룸이 생성된다. 유동장의 경우 실린더를 지나는 수직 중심선을 기준으로 밀폐계 양측에 두쌍의 와가 생성된다. Pr 수가 0.7 에서 7 로 증가하면 운동량 확산 비율이 증가한다.

따라서 Fig. 3(c)와 같이 Pr = 0.7 일 때에 비해 실린더 상부의 플룸의 세기가 커진다. 밀폐계 내부의 유동은 Pr = 0.7 일 때와 유사하다.

밀폐계의 기울기가 15˚일 때 Pr = 0.7 인 경우 Fig. 3(e)같이 실린더 상부에 기울어진 1 개의 플룸이 생성된다. 유동장의 경우 밀폐계 좌측과 우측에 주 순환 영역이 형성된다. Pr 수가 0.1 로 감소하면 Fig. 3(d)와 같이 실린더 상부에 2 개의 플룸이 생성된다. 유동장의 경우 밀폐계 좌측의 주 순환 영역이 커지고 내부에 두개의 와가 생성된다. Pr 수가 0.7 에서 7 로 증가한 경우 Fig.

3(f)와 같이 실린더 상부의 플룸의 세기가 강해지고 밀폐계 내부의 와의 크기가 증가한다.

밀폐계의 기울기가 30˚일 때 Pr = 0.7 인 경우 Fig. 3(h)와 같이 실린더 상부에 기울어진 1 개의 플룸이 생성된다. 유동장은 밀폐계 좌측에 1 개의 와와 밀폐계 우측에 2 개의 와가 나타난다.

Pr 수가 0.1 로 감소하면 Fig. 3(g)와 같이 밀폐계 내부의 유동장이 복잡해진다. Pr 수가 0.7 에서 7 로 증가한 경우 점성력의 증가로 인해 Fig. 3(i)와 같이 밀폐계 우측 상부 와의 크기가 증가하지만 전반적인 열유동장의 형태는 유사하다.

밀폐계의 기울기가 45˚일 때는 Fig. 3(j~l)과 같이 실린더를 지나는 수직 중심선을 기준으로 대칭인 열유동장이 나타난다. Prandtl 수가 증가함에 따라 실린더 상부의 상승 플룸의 세기는 강해 진다.

Pr 수가 0.1 로 감소한 경우 Fig. 3(j)와 같이 0.7

Pr = 일 때에 비해 실린더 상부에 작은 와가 나타난다. Pr 수가 7 로 증가한 경우 Fig. 3(l)과 같이

0.7

Pr = 인 경우와 비교하여 밀폐계의 주 순환 영역에서 실린더 상부에 작은 와가 생성된다.

3.2 Local Nusselt number 10 3

Ra = 과 Ra = 10 ⁴ 인 경우 Nu _cyl 와 Nu _en 값의 분포에 대한 Prandtl 수의 영향은 거의 없다. 그러 나 Ra = 10 ⁵ 일 때, Pr = 0.1 인 경우와 Pr = 0.7, 7 인 경우 Fig. 4 와 같이 Nu _cyl 와 Nu _en 값의 분포에서

차이가 나타난다. 따라서 Fig. 4 에는 Prandtl 수의 영향이 드러나는 Ra = 10 ⁵ 인 경우에 대해서만 나 타내었다.

Figure 4 는 Ra = 10 ⁵ 일 때 Prandtl 수와 γ 에 대한 원형 실린더 및 밀폐계 벽면 Nusselt 분포를 나타 낸다.

0

γ = ˚ 일 때는 실린더를 지나는 수직 중심선에 대칭을 이루는 밀폐계의 형상에 의한 효과로 인해 모든 Prandtl 수에 대해서 Fig. 4(a)와 같이 Nu _cyl 값

(a)

γ

= ˚ 0 (b)

γ

= ˚ 0

(c)

γ

= ˚ 15 (d)

γ

= ˚ 15

(e)

γ

= ˚ 30 (f)

γ

= ˚ 30

(g)

γ

= ˚ 45 (h)

γ

= ˚ 45 Fig. 4 Distribution of the local Nusselt number along

the surface of the inner cylinder and along the

walls of the enclosure for different Pr s and γ s

at Ra = 10 ⁵

문기수 · 최창영 · 하만영 · 윤현식 940

의 분포가

ϕ

= 180 ˚를 기준으로 대칭인 분포가 나 타난다. Pr = 0.1 인 경우 Fig. 3(a)처럼

ϕ

= 120 ˚와

ϕ

= 240 ˚ 부근에서 실린더 벽면의 온도구배가 가 장 크다. 따라서 Nu _cyl 값은 Fig. 4(a)와 같이

ϕ

= 120 ˚와

ϕ

= 240 ˚ 부근에서 최대값을 가진다.

0.7, 7

Pr = 인 경우의 Nu _cyl 값은 Fig. 4(a)와 같이

ϕ

= 180 ˚부근에서 최대값이 나타난다. Nu _en 값은

0.7

Pr = 인 경우 Fig. 4(b)와 같이 Wall 4 에서 최대 값이 나타난다. Pr 수가 0.1 로 감소하면 Wall 1 과 Wall 3 에서 최대값이 나타난다. Pr 수가 0.7 에서 7 로 증가한 경우 Nu _en 값의 분포는 Fig. 4(b)와 같 이 Pr = 0.7 일 때에 비해 변화가 거의 없다. 하지 만 Pr = 7 인 경우가 Wall 4 에서 Nu _en 값이 더 크다.

이는 Fig. 3(c)에 나타나듯이 Prandtl 수의 증가로 인해 실린더 상부 플룸의 세기가 커져서 Wall 4 의 중앙에 온도구배가 집중되기 때문이다.

15

γ = ˚ 일 때 Pr = 0.7 인 경우 Nu _cyl 값은 Fig.

4(c)와 같이

ϕ

= 180 ˚ 부근에서 최대값을 가지고

ϕ

= ˚ 부근에서 최소값을 가진다. 0 Nu _en 값은 Fig.

4(d)와 같이 Wall 4 에서 최대값을 가지며 그 분포 는 S = 4 로 치우쳐서 나타난다. Pr 수가 0.1 로 감소하면 Fig. 4(c)와 같이

ϕ

= 240 ˚부근에서 Nu _cyl 값이 최대가 된다. Nu _en 값은 Fig. 3(d)에서 처럼 실린더 우측 상부의 플룸의 영향으로 Fig. 4(d)와 같이 Wall 1 에서 최대값을 가지며 Nu _en 값의 분포는 S = 으로 치우쳐서 나타난다. Pr 수가 0.7 0 에서 7 로 증가하면 Fig. 4(c-d)와 같이 Nu _cyl 와

Nu en 값은 Pr = 0.7 일 때와 대체적으로 유사한 분포를 보이지만 Wall 4 에서의 Nu _en 값이 Pr = 0.7 인 경우에 비해 증가한다. 이는 Prandtl 수의 증가로 인해 Fig. 3(f)와 같이 실린더 상부의 플룸 의 세기가 강해졌기 때문이다.

γ

= ˚ 일 때 30 Pr = 0.7 인 경우 Nu _cyl 값은 Fig.

4(e)와 같이

ϕ

= 180 ˚ 부근과,

ϕ

= ˚ 부근에서 각 0 각 최대값과 최소값을 가진다. Nu _en 값은 Fig. 4(f) 와 같이 Wall 4 에서 최대값을 가지며 Wall 1 에서의

Nu en 값의 분포는 S = 0 으로 치우쳐 나타난다.

Pr 수가 0.1 로 감소하면 Fig. 4(e)와 같이 ϕ = 240 ˚ 에서 Nu _cyl 값이 최대가 되고 나타나고 ϕ = 100 ˚ 부 근에서 정점이 나타난다. Pr 수가 0.7 에서 7 로 증

가하면 Fig. 4(e-f)와 같이 Nu _cyl 와 Nu _en 값은 0.7

Pr = 일 때와 대체적으로 유사한 분포를 보인다.

γ = ˚ 45 일 때는 앞서 언급한 γ = ˚ 0 일 때와 마찬 가지로 실린더를 지나는 수직 중심선에 대칭을 이 루는 밀폐계의 형상에 의한 영향으로 인해 Nu _cyl 의 경우 Fig. 4(g)와 같이 모든 Prandtl 수에 대해

ϕ

= 180 ˚ 을 기준으로 대칭인 분포가 나타난다.

0.7, 7

Pr = 인 경우의 Nu _cyl 값은

ϕ

= 180 ˚ 부근에 서 최대값이 나타나며 Pr 수가 0.1 로 감소하면

ϕ = 110 ˚ 와 ϕ = 250 ˚ 부근에서 최대 Nu _cyl 값이 나타 난다. Nu _en 값은 Pr = 0.7, 7 인 경우 Fig. 4(h)와 같 이 S = 0 과 S = 4 방향에서 최대값이 나타나지만

Pr 수가 0.1 로 감소하면 Pr = 0.7 일 때에 비해 1

S = 과 S = 3 으로 치우쳐 최대 Nu _en 값이 나타난 다.

(a) Ra = 10 ³ (b) Ra = 10 ³

(c) Ra = 10 ⁴ (d) Ra = 10 ⁴

(e) Ra = 10 ⁵ (f) Ra = 10 ⁵ Fig. 5 Surface-averaged Nusselt number of inner-cylinder and

enclosure

3.3 Surface-averaged Nusselt number

Figure 5 는 Rayleigh 수가 10 , 10 , 10 ^{3 4 5} 이고 Prandtl 수가 0.1, 0.7, 7 인 경우

γ

에 대한 원형 실린더와 밀폐계의 표면 평균 Nusselt 수, Nu _cyl 와 Nu _en 를 나타낸다.

10 3

Ra = 과 Ra = 10 ⁴ 과 같이 낮은 Rayleigh 수 영역에서는 대류의 영향보다 전도의 영향이 지배적이다.

따라서

γ

에 의한 _{Nu cyl} 와 Nu _en 값의 변화는 미미하다. 그리고 Prandtl 수의 변화에 따른 _{Nu cyl} 와

Nu en 값은 Ahmet 등 ⁽¹⁵⁾ 과 Projahn 과 Beer 등 ⁽¹⁶⁾ 의 연구 결과와 유사하게 Ra = 10 ³ 과 Ra = 10 ⁴ 과 같이 낮은 Rayleigh 수 영역에서는 변화가 거의 없다. 하지만

10 5

Ra = 인 경우 낮은 Rayleigh 수 영역에서와 달리 대류 영향의 증가로 인해 _{Nu cyl} 와 Nu _en 값이 증가하며 Prandtl 수가 증가할수록 _{Nu cyl} 와 Nu _en

값은 γ 와 상관없이 증가한다.

10 3

Ra = 인 경우 밀폐계 내부의 열전달에는 전도의 영향이 지배적이다. 따라서 밀폐계 내부의 열유동장은 Fig. 2 와 같이 모든 Prandtl 수와

γ

에 대해서 동일한 형태를 나타낸다. 이로 인해

Nu cyl 와 Nu _en 값은 Fig. 5(a-b)와 같이 모든

γ

에서 Prandtl 수가 변하여도 거의 일정한 값을 가진다.

10 4

Ra = 인 경우 Ra = 10 ³ 일 때에 비해 대류의 영향이 증가한다. 이로 인해 Ra = 10 ⁴ 에서의 온도장은 Fig. 2 와 같이 Ra = 10 ³ 일 때의 온도장에 비해서 실린더 하부 표면과 밀폐계 상부 벽면의 온도구배가 증가한다. 이러한 영향으로

Nu

cyl

와

Nu en 값은 Fig. 5(c-d)와 같이 Ra = 10 ³ 일 때에 비해서 미세하게 증가한다. 하지만 Ra = 10 ³ 일 때와 마찬가지로 모든

γ

에서 Prandtl 수가 변하여도

Nu cyl 와 Nu _en 값은 거의 변하지 않는다.

10 5

Ra = 인 경우 Fig. 5(e-f)와 같이 Prandtl 수가 클수록 _{Nu cyl} 와 Nu _en 값이 커진다. 이는 Prandtl 수 가 증가 할수록 열 확산 비율에 비해 운동량 확산 비율의 증가로 인해 대류의 영향이 증가하여 밀폐 계 내부의 열전달이 촉진되기 때문이다.

0.7

Pr = 과 Pr = 7 인 경우 Fig. 3(b,e,h,k)와 (c,f,i,l) 에서 처럼 밀폐계 내부의 열유동장의 패턴이 유사 하기 때문에 Fig. 5(e-f)와 같이

γ

에 따른 Nu _cyl 와

Nu en 값의 변화도 유사한 경향을 보인다.

γ

가 증 가함에 따라 Nu _cyl 와 Nu _en 값은 점점 감소하여

γ = ˚ 45 일 때 최소값이 나타난다. 하지만 Pr = 0.1 인 경우 Fig. 5(e-f)에서 처럼 Pr = 0.7 과 Pr = 7 인 경우 와 다른 패턴이 나타난다. γ = ˚ 0 ~ 30 ˚ 일 때 Nu _cyl 와

Nu en 값은 변화가 거의 없다가

γ

= ˚ 가 되면 45

Nu cyl 와 Nu _en 값이 크게 증가한다. 이는 Fig.

3(a,d,g,j)과 같이 Pr = 0.1 이고 γ = ˚ 45 인 경우 Prandtl 수의 영향과 밀폐계의 형상의 영향이 함께 작용하여, γ = ˚ 0 ~ 30 ˚ 일 때와 비교해서 실린더 상부 의 플룸의 영향으로 인해 실린더 표면 및 밀폐계 벽면에 온도구배가 밀집되기 때문이다. 위와 같이 Prandtl 수에 따른 Nu _cyl 와 Nu _en 값의 변화를 미루 어 볼때 Pr = 0.1 과 Pr = 0.7, 7 에 대한 Nu _cyl 와 Nu _en

값의 편차는 Fig. 5(e-f)와 같이

γ

가 증가함에 따라 줄어들고 γ = ˚ 45 일 때 그 편차는 최소가 된다.

4. 결 론

본 연구에서는 내부에 고온의 원형 실린더가 위 치한 기울어진 사각 밀폐계에서 Prandtl 수 변화에 따른 밀폐계 내부 자연대류 현상에 대한 수치해석 을 수행하였다. 수치해석은 유한체적법에 기초한 가상 경계법을 사용하여 사각 밀폐계 내부의 원형 실린더를 구현하였다.

밀폐계 내부 열유동장은 다양한 Rayleigh 수와

γ

에 따라 Prandtl 수의 영향이 달리 나타났다.

10 3

Ra = 과 Ra = 10 ⁴ 일 때는 Prandtl 수와

γ

에 관 계없이 유사한 열유동장이 형성되었고 정상상태의 특성을 보였다. Ra = 10 ⁵ 이 되면 모든

γ

에서 Prandtl 수의 영향이 나타난다. Pr = 0.1 인 경우

0.7

Pr = 과 Pr = 7 인 경우에 비해 실린더 상부에 상승 플룸의 개수가 증가하고 밀폐계 내부 유동장 이 복잡하게 나타난다. 그리고 γ = ˚ 0 , 45 ˚ 인 경우 시간에 따라 열유동장이 변하였다. Pr = 0.7 과

7

Pr = 인 경우 밀폐계 내부의 열유동장은 유사하 게 나타난다. 이는 Prandtl 수가 0.7 이상일 때 열 유동 패턴이 Prandtl 수의 영향을 거의 받지 않음 을 의미한다.

원형 실린더 및 밀폐계 벽면의 평균 Nusselt 수, Nu cyl 와 Nu _en 값은 Ra = 10 ³ 과 Ra = 10 ⁴ 인 경우 Prandtl 수와

γ

에 따라 변화가 거의 없다. 하지만

10 5

Ra = 인 경우 Prandtl 수가 클수록 Nu _cyl 와

Nu en 값이 증가하였다. Pr = 0.7 과 Pr = 7 인 경우

Nu cyl 와 Nu _en 값은

γ

에 따라 점점 감소하는

문기수 · 최창영 · 하만영 · 윤현식 942

경향을 보였다. 하지만 Pr = 0.1 일 때는 Pr = 0.7 과 7

Pr = 인 경우와 다르게

γ

= ˚ 0 ~ 30 ˚일 때 Nu _cyl 와

Nu en 값은 변화가 거의 없다가 γ = ˚ 45 가 되면

Nu cyl 와 Nu _en 값이 크게 증가하는 특이점이 나타났 다.

후 기

이 논문은 2013년도 정부(미래창조과학부)의 재 원으로 한국연구재단의 지원을 받아 수행된 해외 우수연구기관유치사업 연구임(No.2009-00495). 이 논문은 2013년도 정부(미래창조과학부)의 재원으 로 한국연구재단의 지원을 받아 수행된 연구임 (No.NRF-2013R1A2A2A01067251).

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