Vol.12, No.5, pp.40-47 (2018) https://doi.org/10.20910/JASE.2018.12.5.40
서 론 1.
수축 확대 노즐은 비교적 단순한 형상으로도 유동을 아음속에서 초음속으로 가속시킬 수 있다는 장점으로 로켓이나 제트 엔진과 같은 각종 추진시스템에서 널리 이용이 된다 노즐 내에서 유동의 속도는 작동 유체의 상태 노즐 압력비 노즐 목의 면적 작동 유체의 물성 치 그리고 노즐 외부 환경 등에 영향을 받는다 이러
한 요인들 중 는 노즐 압력비에 초점을 맞추 어 수축 확대 사각 노즐에 대한 실험적 수치적 연구 를 수행하였다 는 레이놀즈 스트레스 모델을 이용하여 노즐 압력비에 따른 유동의 변화를 수치 해
석적으로 도출하였다 이후 등 은 다수의 난
류 모델을 도입하여 실험과의 비교를 통해 모델들을 평가하였다
노즐 내의 유동은 노즐 압력비가 커짐에 따라 아음 속에서 초음속으로 가속이 된다 이러한 과정 속에서
노즐 내부의 유동이 과대 하게 팽창 되
면 노즐 내부에서 박리가 발생하게 된다 이러한 박리
강한 박리 유동을 동반한 초음속 수축 확장 사각 노즐 - 유동에 적합한 난류 모델과 압축성 보정 모델의 평가
이주용1· 신준수1· 성홍계2,†
1한국항공대학교 항공우주 및 기계공학과
2한국항공대학교 항공우주 및 기계공학부
Assessment of Turbulence Models with Compressibility Correction for Large Flow Separation in a Supersonic
Convergent-Divergent Rectangular Nozzle
Juyong Lee1, Junsu Shin1 and Hong-Gye Sung2,
1Department of Aerospace Engineering, Korea Aerospace University, Korea
2School of Aerospace and Mechanical Engineering, Korea Aerospace University Abstract
The objective of this study is to investigate the turbulence models with compressibility correction for large separation-flow in a supersonic convergent-divergent rectangular nozzle. As turbulence models, Yang and Shih’s Low-Re k- model, Mener’s k-ε ω SST model and Wilcox’s k-ω model were evaluated. In order to get a significant compressible effects, Sarkar and Wilcox compressibility correction models were applied to the turbulence models respectively. Also, the simulation results were compared with experimental data. The turbulence model with compressibility correction model improves both of shock position and pressure recovery, but deteriorates the length of Mach disk.
초 록
초음속 수축 확대 사각 노즐 내 강한 유동 박리를 동반한 초음속 유동에 적합한 난류 모델과 압축성 - 보정 모델을 평가하였다 난류 모델로는 . Yang과 Shih의 Low-Re k-ε 모델, Menter의 k-ω SST 모델,
의 모델을 평가하였다 압축성 효과를 보다 정확하게 예측하기 위하여 각각의 난류 모델에
Wilcox k-ω .
와 의 압축성 보정 모델을 적용하였다 각 난류 모델과 압축성 보정 모델의 결과는 실험 데
Sarkar Wilcox .
이터와 비교하여 분석을 하였다 난류 모델에 따라 충격파. 의 위치와 압력 회복률이 다르게 나타났으나 압축성 보정을 통해 더욱 개선된 결과를 얻었다.
Key Words : Convergent-Divergent Rectangular Nozzle(수축 확대 사각 노즐- ), Turbulence Model(난류 모델),
압축성 보정 박리 유동
Compressibility Correction( ), Separated Flow( )
Received: July. 27, 2018 Revised: Sep. 29, 2018 Accepted: Oct. 14, 2018 Corresponding Author
†
Tel: +82-02-300-0104, E-mail: [email protected] The Society for Aerospace System Engineering
Ⓒ
Nomenclature
″″
ε
″
현상은 노즐의 성능 저하와 불안정성을 야기한다 노 즐 내에서 발생하는 박리를 보다 안정적으로 조절하기
위하여 등 은 표면에 다공성 매
질이 존재하는 노즐에 대하여 수치적 연구를 수행하였 다
강한 유동 박리를 동반한 초음속 노즐을 안정적으로 설계하기 위해서는 박리가 발생될 때 나타나는 역압력 구배 하에서의 유동의 특성을 정확하게 예측할 수 있 어야 한다 그렇기 때문에 노즐 내부의 난류 현상을 적절하게 묘사할 수 있는 난류 모델이 필요하다
난류 유동을 해석하기 위해 여러 가지 난류 모델들이 제안이 되었다 년에 는 난류 에너지 와 난류 에너지 비소산율ω에 대한 수송 방정식을 이용 하여 방정식 난류 모델을 고안하였다 년에는
과 가 충격파 구조로 인한 난류 특성의 정확 한 모사를 위하여 ε 모델을 제안을 하였고 년에는 가 ε 모델과 ω 모델을 병합 하여 각 모델의 장점을 살린 ω 모델을 제안하 였다
초기에 개발된 난류 모델은 비압축성 유체를 해석하 기 위해 개발이 되었으며
방정식에 근거하였다 하지만 유 동 박리를 동반한 초음속 유동과 같이 밀도 변화가 주 요한 유동을 해석하기 위해서는 질량 평균화된
방정식을 이용하는 것이 적합 하다 이 방정식은 와 비교하였을 때 압력팽창항
등이 추가적으로 발생한다 등 은 결과
를 바탕으로 추가적인 항들에 대하여 모델링을 하였 다 또한 는 의 모델링을 변형시켜 ω 계 열의 난류 모델에도 적용될 수 있는 압축성 보정 모델 을 제안하였다
등은 와 의 압축성 보정 모델을 ε 모델과 ω 모델에 적용하여 아크 펌
프 디퓨져 분출 충돌
에서의 천음속 초음속 유동에 대한 수치적인 연
구를 수행했다 또한 의 압축성 보정 모델이 적용된 ε 모델을 이용하여 로켓 디퓨져
와 핀틀 에 대한 수치적 인 연구를 수행한 바 있다
본 연구에서는 다양한 압축성 보정 모델들의 영향을 판단하기 위하여 초음속 수축 확장 노즐 유동에 대한 연구를 수행하였다 초음속 수축 확장 노즐 내 유동은 압력비에 따라 강한 박리가 동반되고 이로 인해 압축 파와 팽창파가 동시에 발생하는 매우 복잡한 유동이 다 따라서 본 연구에서는
방정식에 근거한 난류 모델을 적용하였 으며 압축성 유동에서 널리 사용되고 있는 ω ω 난류 모델과 ε 난류 모델을 적용하였다 또한 각 난류 모델에는 개의 압축성 보정 모델이 적 용되었고 압력 분포와 유동 구조 차이를 실험값과 비 교함으로써 난류 모델 및 압축성 보정 모델에 대한 평 가를 수행하였다
수치 해법 2.
지배 방정식 2.1
본 연구에서는 압축성 유동 해석에 적합한
평균화된 방정식을 이용하였
으며 질량 운동량 에너지 보존 방정식은 다음과 같 다
(1)
″″
(2)
″″
(3)
난류 모델과 압축성 보정 모델 2.2
및 는 가 제안한 ω 모델의 수송 방정식을 나타낸다 여기서 은 ε 모델 과 ω 모델을 병합하기 위해 사용한 혼합 함수 이며 이 일 경우 의 ω의 수송 방정식과 동일한 형태가 되며 이 일 경우 로 표현된 ω ε의 수송방정식과 동일한 형태가 된다 이러한 혼합 함수를 이용함으로서 벽면 근처에 서는 ω 모델이 적용되고 그 이외의 영역에서는 ε
모델이 적용될 수 있다 및 은 과
의 ε 모델의 수송 방정식이다
는 을 통해 추가적으로 발생하
는 압축성 소산 항과 압력 팽창 항을 다음과 같이 모 델링하였으며 여기서 와 는 각각 와 를 적
용한다 및
ω
(4)
(5)
ε
″″
(6)
(7)
(8)
″″ (9)
는 과 의 관계식을 이용하여ε ω
의 압축성 보정 모델을 변형시켜 ω 계열의 난 류 모델에도 적합한 압축성 보정 모델을 제안하였다
(10)
(11)
(12)
(13)
수치기법 2.3
본 연구에서는 시간적분을 위하여
기법을 적용하였다 셀 경계에서 플럭스 계산을 위하여
기법 을 이용하였고 유동 변수에 대한 차 외 삽 기법 을 이용하여 고차의 공간 정확도를 갖게 하 였다 또한 다양한 격자 크기에 안정적인 해를 얻기
위하여 기법 을 사용하였다
해석 모델 3.
격자구성 및 경계조건 3.1
본 연구는 의 실험모델에 근거하였으며 경 계 조건은 과 같다 계산 영역은 노즐 내부와 노 즐 외부로 구성이 되어 있으며 노즐 외부는 노즐 목 을 기준으로 가로 방향으로 배 세로 방향으로 배 로 구성하였다 벽면 근처에서 유동을 정확하게 해석 하기 위하여 첫 번째 셀의 크기는 을 기준으로 구성하였다
계산 영역은 총 개의 블록으로 구성하여 노즐 내
부에는 약 개 외부에는 개의 격자를 설정
하였다 효율적인 계산을 위해 조건을 이용
하여 전체 노즐 형상의 차원일시 만을 계산
하였다 은 입구 경계 조건과 난류 모델 압축
성 모델에 따른 수치 해석의 경우의 수이다
해석 결과 4.
난류 모델과 압축성 보정 모델의 효과를 조사하기 위하여 과 같이 노즐 압력비
난류 모델 압축성 보정 모델에 대한
계산을 진행하였다 수치 해석적으로 구한 각각의 결 과는 가 실험으로 도출한 압력 및 유동 구조 와의 비교를 통하여 평가되었다 난류 모델과 압축성 보정 모델에 따른 차이는 노즐의 확장부에서 명확하게 나타나고 수축부에서는 미미하기 때문에 확장부에서 의 압력분포를 집중적으로 분석하였다 또한 실험에서 사용한 모델은 사각 수축 확장 노즐로서 측벽에 의한 효과가 위 아래 벽에 의한 효과보다 미미함으로 차 원적 수치해석을 통하여 난류 모델 및 압축성 보정 모 델을 앞서 평가하였고 우수한 난류 모델을 선정 후 차원적 수치해석을 진행하였다
Fig. 1 Computational domain and boundary conditions
노즐 압력비에 따른 결과 4.1
는 노즐 압력비에 따른 해석 결과의 유동
구조의 차이를 나타낸다 이 일 경우
노즐 내부에서 박리와 경사충격파가 발생하며 람다 λ 형의 유동 구조가 관찰되었고 이 일 경우 노즐 내부에서 박리가 발생하지 않으며 과대팽창
된 것을 관찰할 수 있다
은 각 노즐 압력비에 대하여 ε 모 델과 ω 모델을 적용하였을 때의 압력 결과를 실 험값과 비교한 것이며 두 난류 모델에는 의 압
경우 차원 NPR 난류 모델 압축성 보정 모델
1
2차원
5.4 (549,486 Pa)
Low-Re k-ε Sarkar
2 k-ω SST Sarkar
3
2.4 (244,193 Pa)
Low-Re k-ε None
4 Low-Re k-ε Sarkar
5 k-ω None
6 k-ω Sarkar
7 k-ω Wilcox
8 k-ω SST None
9 k-ω SST Sarkar
10 k-ω SST Wilcox
11 3차원 Low-Re k-ε Sarkar
Table 1 Test Cases
축성 보정이 적용되었다 여기서 축은 노 즐 입구에서부터 노즐 목까지의 거리로 무차원화 된 값이며 축은 전압에 대한 정압의 비 이다 이 인 경우 노즐 내부에서 박리가 발생하 지 않았고 두 모델의 차이가 미미하였으며 모두 실험 값과 유사하였다 이 인 경우 노즐의 내부에서 박리가 발생하였고 압력 상승률과 박리 시작점의 측 면에서 차이를 보였다 이 경우 ε 모델이 ω 모델보다 실험값에 더 근접하였다
압축성 보정 모델에 따른 결과 4.2
난류 모델과 압축성 보정 모델의 차이를 조사하기 위하여 노즐 내부에서 박리가 발생하는 이 인 경우에 대하여 차원적 수치해석을 수행하였다
ε 모델에는 의 모델만 적용 하였고 ω 모델과 ω 모델에는 의 모델과
의 모델을 적용하였다
는 ε 모델에 의 압축성 보
정 모델을 적용하기 전후의 압력 분포를 나타낸다 실 제 실험에서는 노즐 내부에서 발생한 경사 충격파가 중첩과 반사를 통하여 연속되는 구조가 관찰되었으며 이러한 물리적 현상이 의 압축성 보정 모델을 적용하였을 때 더욱 개선이 된 것을 그림을 통해 확인 할 수 있다
Fig. 2 Density gradient magnitude contours of numerical simulation for NPR 2.4 and 5.4 using Low-Re k-ε model with Sarkar’s correction model
Fig. 3 Pressure distribution along the nozzle center with respect to NPR (Sarkar’s correction model applied)
Fig. 4 Static Pressure contours with/without compressibility correction model
는 ε 모델에 의 압축성 보
정 모델을 적용하였을 때 충격파의 위치와 강도의 변 화를 나타낸다 왼쪽의 그림은
의 분포를 나타내고 오른쪽 그래프는 노즐 중심부 빨간선 에서 측정된 압력 분포를 나타 낸다 의 모델이 적용된 경우 노즐 중심 부근의 충격파가 노즐의 출구 방향으로 이동하고 충격파의 강도가 증가하였다
및 은 각각 ε 모델과 ω ω 모델에 압축성 보정 모델 적용 여부에 따른 결과
를 실험값과 비교한 것이다 에서 ε
모델은 의 압축성 보정 모델이 적용되었을 때 박리 시작점과 압력 상승률을 예측이 모두 개선이 되 어 실험값과 매우 근접한 결과를 나타냈다 의 압축성 보정 모델은 ω 난류 모델을 위해 개발한 것 이므로 ε 모델에는 적용하지 않았다 에서
ω 계열의 난류 모델은 의 압축성 보정 모델을 적용하였을 경우 박리 시작점을 예측하는 측면에서는 개선이 되었지만 압력 상승률의 측면에서는 실험값과
큰 오차를 보였다 이러한 압력 상승률의 차이는 의 압축성 보정 모델을 적용하였을 때 개선이 되었으며 실험값과 근접한 결과를 나타낸다
는 실험과 각 난류 모델 및 압축성 보정 모 델의 박리 시작점과 압력 상승률을 나타낸다 박리 시 작점은 노즐 목의 위치를 기준으로 측정을 하였고
압력 상승률는 충격파 전후의 압력 비
로 측정을 하였다 의 압축성 보정
모델이 적용된 ε 모델과 의 압축성
보정 모델이 적용된 ω 모델이 모두 오차율 이하 로 실험값에 근접하였다 하지만 의 압축성 보 정 모델이 적용된 ω 모델은 압력 기울기
를 실험보다 작게 예측을 하였고 이로 인하 여 충격파의 두께를 실험보다 크게 예측하였다 종합 적으로 충격파의 반사 박리 시작점 압력 상승률을 예 측하는 관점에서 가장 우수한 난류 모델은 의 압축성 보정 모델을 적용한 ε 모델임을 알 수 있다
Fig. 5 Position and intensity of shock of Low-Re k-ε model with/without Sarkar’s model inside the nozzle
Fig. 6 Pressure distribution of Low-Re k-ε model with/without Sarkar’s model
Fig. 7 Pressure distribution of k-ω SST model and k-ω model with compressibility correction models.
Turbulence Model (CC model)
Separation Point [X/Xt]
Error Rate [%]
Pressure Ratio [PH/PL]
Error Rate [%]
Pressure Gradient [△P/ X]△
Experiment 1.45 0 1.76 0 3.02
Low-Re k-ε
(None) 1.41 2.76 1.64 6.82 3.41
Low-Re k-ε
(Sarkar) 1.46 0.69 1.75 0.57 3.66
k-ω SST
(None) 1.40 3.45 1.65 6.25 2.03
k-ω SST
(Sarkar) 1.43 1.38 1.85 5.11 1.76
k-ω SST
(Wilcox) 1.42 2.07 1.69 3.98 1.82
k-ω
(None) 1.51 4.14 2.06 17.1 4.67
k-ω
(Sarkar) 1.47 1.38 1.82 3.41 3.07
k-ω
(Wilcox) 1.44 0.69 1.745 0.85 1.78
Table 2 The comparison of the separation point and pressure recovery
유동 구조 비교 4.3
은 실험에서 관찰한 유동 구조와 수치 해석
의 유동 구조를 비교한 것이다 노즐 내부의
유동은 박리로 인해 경사 충격파가 발생하고 람다 λ 형의 유동 구조를 보였다 충격파의 중첩으로 인하여 노즐 중심부에서 마하 디스크를 형성한다 전반적인 유동 구조는 실험과 잘 일치 한다 하지만 압축성 보 정 효과에 의한 유동 구조의 변화를 상세히 분석하기 위하여 마하디스크의 길이를 비교하였다
는 각 난류 모델과 압축성 보정 모델을 적용 한 결과의 마하 디스크의 길이를 나타낸다 실험에서
측정된 마하디스크의 길이는 약 이다 전반적
으로 마하디스크의 길이는 실험값보다 작게 형성이 되 었으며 압축성 보정 모델을 적용했을 경우 그 길이는 더욱 줄어들었다
마하 디스크의 길이는 유동 구조를 대표하는 요소
중 하나로 경사 충격파의 각도와 압력 회복률의 정도 에 따라 결정된다 압축성 보정은 박리 시작점 예측과 벽면의 압력 회복률에는 긍정적인 영향을 주었지만 마하 디스크의 길이를 감소시키므로 노즐 중심에서의 유동구조를 예측하는데 있어서는 부정적인 영향을 주 었다
차원 해석 결과 4.4 3
차원 해석에서 실험 데이터와 가장 유사하였던 ε 모델에 의 압축성 보정 모델이 적용 된 차원 수치 해석을 수행하였다 실험에서 압력 측정은 벽면에서 떨어진 지점 벽면부
과 노즐 중심부 두 지점에서 측
정이 되었다 는 중심부와 벽면부에서 실험값
과 수치 해석결과의 압력 값을 비교한 것이다 박리 시작점이 중심부보다는 벽면부에서 출구 방향으로 지 연이 되며 이는 실험과 수치 해석 결과에서 모두 확 인할 수 있다
은 벽면에서 부터 중심으로 이동된 위치에 서의 압력 분포를 나타낸다 노즐의 중심에서 측면으
로 갈수록 측벽 의 영향력이 커지며 이로 인
하여 충격파의 각도가 변화하여 마하디스크의 크기도 변화하였다 노즐 중심부에서 마하 디스크의 길이는 로 차원 계산의 결과보다 크게 관찰되었으
며 실험값 에 근접한 결과를 도출하였다
(unit : mm) No comp. Sarkar Wilcox
Low-Re k-ε 13.2 11.9 ㆍ
k-ω 10.9 10.7 10.4
k-ω 13.7 10.7 10.9
Table 3 The comparison of the length of Mach Disc
Fig. 8 Flow structure comparison between experiment and numerical simulation.
Fig. 9 Pressure comparison between experiment and 3-D numerical simulation
Fig. 10 Numerical static pressure contours from the side line to the center line
결 론 5.
사각 노즐 내부의 초음속 유동은 충격파와 강한 박 리를 동반하는 복잡한 유동 구조로 인하여 일반적인 난류 모델로는 정확한 예측이 어렵다 따라서 본 연구 에서는 보다 정확한 해석을 위해 가지 난류 모델에 압축성 보정 모델을 적용함으로서 강한 충격파와 유동 박리가 내포된 초음속 유동의 수치 해석을 수행하였 다 수치 해석 결과는 실험에서 측정된 박리 시작점 압력 값 및 압력 상승률 마하디스크 크기의 측면에서 평가되었다
사용한 난류 모델로는 과 의 ε
의 ω과 의 ω 모델이 사용되었고 각각의 모델에 와 의 압축성 보정 모델을 적용하여 비교 평가되었다
난류 모델에 압축성 보정이 적용되지 않았을 경우 노 즐 내부로 들어오는 유동의 역류 를 정 확하게 예측하지 못하였고 이로 인하여 박리 시작점 과 압력 상승률이 실험과 큰 오차를 나타냈다
의 압축성 보정 모델을 적용했을 경우
ε 모델이 압력 상승률과 박리 시작점을 가장 정확하 게 예측하였다 또한 충격파가 반사되는 현상을 보다 선명히 예측하였다 반면 ω 모델과 ω 모델은 의 압축성 보정 모델보다 의 압축성 보정 모델을 적용했을 때 개선이 되었다
차원 계산에 근거하여 가장 우수한 모델인 의 압축성 보정을 이용한 ε 모델을 이용하여 차원적인 수치 해석을 수행하였다 벽면으로부터 떨어 진 거리에 따른 압력 분포 변화를 관찰하였고 실험 과 매우 유사한 결과를 도출하였다
난류 모델에 압축성 보정 모델을 적용하였을 때 박 리 시작점이나 압력 상승률을 예측하는 측면에서 개선 이 되었고 충격파의 두께 및 반사 현상을 예측하는 측면에서도 긍정적인 영향을 주었다 하지만 유동 구 조를 예측하는 측면에서 모든 압축성 보정 모델은 마 하디스크의 길이를 감소시키며 부정적인 영향을 주었 다
References
[1] C. A. Hunter, "Experimental, Theoretical, and Computational Investigation of Separated Nozzle Flows," AIAA-98-307, 1998
[2] A. Balabel, A. M. Hegab, M. Nast, Samy M.
El-Behery, "Assessment of turbulence modeling for gas flow in two-dimensional convergent-divergent rocket nozzle," Applied Mathematical Modeling, Vol.
35, No. 7, pp. 3408-3422, 2011.
[3] K. S. Abdol-Hamid, Alaa Elmiligui, Craig A.
Hunter, "Numerical Investigation of Flow in an Over expanded Nozzle with Porous Surface," Journal of Aircraft, Vol. 43, No. 4, pp. 1217-1225, 2006.
[4] Wilcox, D. C., "Reassessment of the Scale–
Determining Equation for Advanced Turbulence Models," AIAA Journal, Vol. 26, No. 11, pp.
1299-1310, 1988.
[5] Yang, Z., Shih, T. H., "New Time Scale Based k-ε Model for Near-Wall Turbulence," AIAA Journal, Vol. 31, No. 7, pp. 18-25, 2013.
[6] Menter, F. R., "Two-Equation Eddy -Viscosity Turbulence Models for Engineering Application,"
AIAA Journal, Vol. 32, No. 8, pp. 1598-1605, 1994.
[7] Sarkar, S., Erlebacher, B., Hussaini, M., Kreiss, H.,
"The Analysis and Modeling of Dilatational Terms in Compressible Turbulence," Journal of Fluid Mechanics, Vol. 227, pp. 473-493, 1991.
[8] Wilcox, D. C., Turbulence Modeling for CFD, 2nd ed., DCW Industries, La Canada, California, 2002 [9] Sung H. G., Kim S. J., Yeom H. Y., Heo J. Y.,
"On the Assessment of Compressibility Effects of Two-Equation Turbulence Models for Supersonic Transition Flow with Flow Separation," International Journal of Aeronautical and Space Science, Vol. 14, No. 4, pp. 387-397, 2013.
[10] Sung H. G., Yeom H. W., Yoon S. K. Kim S. J., Kim J. G., "Inverstigation of Rocket Exhaust Diffusers for Altitude Simulation," Journal of Propulsion and Power, Vol. 26, No. 2, pp. 240-247, 2010.
[11] Heo J. Y., Jung J. Y., Sung H. G., Yang J. S., Lee J. H., "Compressibility Correction Effects of Two-equation Turbulence Models for a Supersonic Through-type Pintle Nozzle with Large Scale Separation Flow," Journal of the Korean Society of Propulsion Engineers, Vol. 17, No. 1, pp. 61-69, 2013.
[11] Yoon, S., Jameson, A., "Lower-Upper Symmetric Gauss-Seidel Method for the Euler and Navier-Stokes Equations," AIAA Journal, Vol. 26, No. 9, pp.
1025-1026, 1998.
[11] Kim, K. H., Kim, C. A., Rho, O. H., "Methods for the Accurate Computations of Hypersonic Flow I.
AUSMPW+ Scheme," Journal of Computational Physics, Vol. 174, pp. 38-80, 2001.
[12] S. Kim, S. Lee, K. Kim, "Wavenumber-extended high-order oscillation control finite volume schemes for multi-dimensional aeroacoustic computations,"
Journal of Computational Physics, Vol. 227, pp.
4089-4122, 2008.
[13] Hsieh, S. Y., Yang, V., "A Preconditioned flux-differencing scheme for chemically reacting flows at all Mach numbers," International Journal of Computational Fluid Dynamics, Vol. 3, pp. 31-49, 1997.
