<학술논문> DOI:10.3795/KSME-B.2009.33.3.170
고체 열원이 존재하는 공동 내의 복합열전달 문제의 유한요소해석
안영규* · 최형권†· 용호택**
(2008 년 7 월 29 일 접수, 2009 년 1 월 21 일 수정, 2009 년 2 월 2 일 심사완료)
A Finite Element Analysis of Conjugate Heat Transfer Inside a Cavity with a Heat Generating Conducting Body
Youngkyoo Ahn, Hyoung-gwon Choi and Hotaek Yong
Key Words : Conjugate Heat Transfer(복합 열전달), Natural Convection(자연대류), Square Cavity(사 각 공동), Heat-Generating Conducting Body(열 생성 전도 물체)
Abstract
In the present study, a finite element analysis of conjugate heat transfer problem inside a cavity with a heat- generating conducting body, where constant heat flux is generated, is conducted. A conduction heat transfer problem inside the solid body is automatically coupled with natural convection inside the cavity by using a finite element formulation. A finite element formulation based on SIMPLE type algorithm is adopted for the solution of the incompressible Navier-Stokes equations coupled with energy equation. The proposed algorithm is verified by solving the benchmark problem of conjugate heat transfer inside a cavity having a centered body. Then a conjugate natural heat transfer problem inside a cavity having a heat-generating conducting body with constant heat flux is solved and the effect of the Rayleigh number on the heat transfer characteristics inside a cavity is investigated.
1. 서 론
밀폐 계 내부의 복합 열전달 해석이 요구되는 문제는 태양열 집열판, 핵 또는 화학반응, 전자 장 비의 냉각 등 여러 가지 공학적인 문제와 관련되 어 있다.(1,2,4~7,9) 밀폐 계 내부에 고체 물체가 존재 하는 경우에 대한 자연대류를 포함한 복합 열전달 현상은 많은 연구자들에 의해서 수치해석과 실험 에 의해 연구되어 왔다. 하지만, 밀폐 계 내부에 열원이 존재하는 경우에 전체 시스템의 에너지 균 형을 고찰하여 수치해석을 수행한 바는 없다. 본 연구에서는 밀폐 계 내부에 열원이 존재하는 경우
에 고체 열원에서 발생되는 열량과 좌 우 벽면을 통해 유출되는 열량의 균형을 통해 수치 해를 구 한 후에, 열원이 존재하는 공동 내의 유동장 및 온도장의 특성을 파악하고자 한다.
유체 영역의 대류 방정식과 고체 물체의 전도 방정식이 연계 되어있는 복합 열전달 문제는 수치 적인 해석의 복잡성과 어려움으로 인하여 비교적 최근에 몇 연구자들에 의해서 수치적인 해석이 시 도되었으나, 비교적 단순한 형상을 가지는 문제의 해석에 제한되었다. House(1) 등은 SIMPLER 알고 리즘을 바탕으로 한 유한체적법을 사용하여 공동 의 중앙에 존재하는 고체 열전도 물체가 수직 공 동 내의 자연대류에 미치는 영향에 대하여 연구하 였다. 그들은 물체의 크기와 물체와 유체의 전도 열전달 계수의 비가 공동 내의 열전달 특성에 주 된 영향을 미침을 보였다. Das and Reddy(2)는 SIMPLE(3) 알고리즘과 QUICK 도식을 바탕으로 한
* 서울산업대학교 에너지환경대학원
† 책임저자, 회원, 서울산업대학교 기계공학과 E-mail : [email protected]
TEL : (02)970-6312 FAX: (02)949-1458
** 서울산업대학교 기계공학과
유한체적법을 사용하여 고체 물체가 있는 경사진 사각 공동 내의 수치해석 연구를 수행하였다. 그 들은 Rayleigh 수, 기울어진 각도, 전도 열전달 계 수의 비가 공동 내의 열전달에 미치는 영향에 대 하여 연구 하였다. 그들은 낮은 Rayleigh 수 에서 는 공동의 기울어진 각도가 열전달에 미치는 영향 이 매우 작음을 확인하였고, Rayleigh 수가 103 보 다 클 때에 평균 Nusselt 수의 상대적인 크기가 반 전이 되는 임계 기울기 각도가 존재함을 보였다.
Dong and Li(4) 는 와도-유선 함수 (vorticity-stream function) 기법을 사용하여 복잡한 공동 내의 대류 와 전도를 포함하는 복합 열전달 문제를 연구하였 다. 그들은 전도 열전달 계수의 비와 기하학적 요 건은 Rayleigh 수와 마찬가지로 Nusselt 수에 미치 는 영향이 큼을 보였다. 고체 전도 물체가 존재하 는 수평 사각 공동 내의 복합 열전달 문제의 수치 해석 연구는 Lee 와 Ha(5)에 의하여 수행되었다.
그들은 Chebyshev spectral 방법과 다중 영역 기법 을 사용하여 2 차원 비정상 상태의 자연 대류를 해석하여, 하부의 뜨거운 벽에서의 Nusselt 수는 높은 Rayleigh 수의 경우에서는 전도에 비하여 대 류에 의한 영향이 보다 지배적이므로 낮은 Rayleigh 수일 때 보다 고체 물체의 전도 열전달 계수에 더 독립적임을 확인하였다. 명현국과 전태 현(6)은 비정렬 격자계를 사용하여 고체 물체가 존 재하는 밀폐된 사각 공동 내의 자연대류에 대한 수치해석을 고체 내의 열전도 현상을 포함하여 수 행하였다. 그들은 다양한 Rayleigh 수와 열전도 물 체의 크기 등에 변화에 따른 공동 내의 열전달 특 성을 연구하였다. 그들은 열확산비가 낮은(또는 큰) 열전도 물체를 공동 중앙에 위치시키면 자연 대류 열전달 현상을 증가(또는 감소)시킬 수 있음 을 확인 하였다. 한편, Malatip(7) 등은 Choi 와 Yoo(8)에 의해 제안된 SUPG (streamline upwind Petrov-Galerkin)기법과 SIMPLE(3) 알고리즘을 혼용 한 분리유한요소 알고리즘을 사용하여 복합 열전 달의 해석이 가능한 코드를 제안하였다. 기존의 복합 열전달 문제에 대한 수치해석 연구들은 Malatip(7) 등을 제외하고는 유한체적법을 사용하였 다. 따라서, 유체/고체 경계상의 온도나 열 유속에 관한 추가적인 경계 조건들은 서론에서 언급한 선 행된 연구들에서 명시된 것처럼 유한체적 공식화 에 포함 되어야 했다. 열원을 포함한 복합 열전달 문제는 공학적인 문제에서 빈번히 발견되는 문제 이다. 하지만, 이 문제에 대한 연구는 고체 전도체 가 내부에 존재하는 복합 열전달의 수치해석에 비
해서 상대적으로 적게 수행되었다. Lee 와 Ha(5)는 분리계산 방법과 다중 영역 기법(multi-domain technique) 을 사용하여 열원이 있는 고체 물체를 포함한 수평 사각 공동 내의 비정상 자연대류에 대한 연구를 수행하였다. 그들은 서로 다른 온도 를 갖는 상부 벽과 하부 벽 사이에 단위 면적당 일정한 열유속 (q ′′)을 발생하는 사각 물체를 두었 다. 그들은 작은 q ′′에서는 속도장과 온도장의 시 간에 따른 변화가 적어지는 반면에, q ′′가 커짐에 따라 유동장은 불안정해지며 비정상 거동을 보임 을 발견하였다. 또한, q ′′가 작을 때 낮은 Rayleigh 수에서는 전도 열전달 계수의 비가 중요함을 보였 다. 이는 Rayliegh 수가 103 과 104 사이에서는 대 류에 비해 확산의 영향이 지배적이기 때문이다.
하지만 Rayliegh 수가 105 과 106 사이에서는 대류 의 영향이 지배적이어서 전도 열전달 계수의 비가 온도장에 미치는 영향은 적음을 보였다. Ha 와 Jung(9)은 열 발생이 있는 육면체 형태의 물체를 포함한 수직 공동 육면체 내의 복합 열전달 문제 를 수치적으로 연구하였다. 그들은 Rayliegh 수와 열 생성량의 강도가 증가할 때 국소 Nusselt 수가 증가하며, 공동 내에 존재하는 고체 물체는 자연 대류의 3 차원성과 강하게 연계됨을 보였다. 복합 열전달 문제에 대한 선행연구들을 조사한 결과, 열 발생이 있는 복합 열전달 문제에 대한 수치해 석 연구는 일정한 온도 경계조건을 갖는 문제의 해석보다 그 수가 적은 편이다.
본 연구에서는 SIMPLE(3) 알고리즘을 기반으로 하여 Choi 와 Yoo(8)에 의해 개발된 분리 유한요소 코드를 확장하여 고체열원이 존재하는 복합 열전 달 문제를 해석하였다. 제안된 알고리즘은 공동 내의 자연대류 문제와 열전도 물체를 포함하는 공 동 내의 복합 열전달 문제의 해석을 통하여 검증 하였다. 마지막으로 일정한 열유속을 갖는 고체열 원을 포함한 사각 공동 내의 복합 열전달 문제를 수치해석하여 공동 내의 열전달 특성에 Rayliegh 수가 미치는 영향을 고찰하고자 한다.
2. 수치해석 방법
본 연구에서는 Choi 와 Yoo(8)에 의해 제안된 분 리유한요소 알고리즘을 확장하여 복합 열전달 문 제를 해석하는 코드를 개발한다. 지배 방정식은 2 차원 비압축성 Navier–Stokes 방정식, 연속 방정식 과 에너지 방정식으로 다음과 같이 표시된다.
연속방정식,
=0
∂ +∂
∂
∂ y v x
u on Ω (1) f
운동량 방정식,
) (
) 1 (
Ω on :
y
) 1 (
: x
2 2 2 2
2 2 2 2
y v x
T v T y g
p y v v x u v
y u x
u x
p y v u x u u
c
f
∂ +∂
∂ + ∂
−
∂ +
−∂
=
∂ + ∂
∂
∂
∂ +∂
∂ + ∂
∂
−∂
∂ = + ∂
∂
∂
ν ρ β
ρ ν 방향
방향
(2)
에너지 방정식,
) (
)
( 2
2 2 2
y T x k T y v T x u T cp
∂ +∂
∂
= ∂
∂ + ∂
∂
ρ ∂ on Ω (3) f
y S T x
k T + &
∂ +∂
∂
= (∂ )
0 2
2 2 2
on Ω s
여기서, ρ 는 밀도, c 는 비열, g 는 중력가속p 도, β 는 열팽창 계수이며, k 는 전도 열전달 계수 를 나타낸다. 한편, Fig. 1 은 각기 다른 전도 열전 달 계수를 갖는 물체 사이의 경계면 Γ 를 포함한 fs 2 차원 공간 Ω을 나타낸다. 본 유한요소 해석에 서 Galerkin 유한요소 공식화는 Ω 에서의 운동량 f 방정식과 Ω=Ωf +Ωs에서의 에너지 방정식에 적 용되었다. 연속방정식은 유체영역 Ω 에서만 고려f 된다. 유체와 고체 영역에 대한 에너지 방정식의 Galerkin 유한요소 공식화는 각각 다음과 같이 표 시된다.
f f
f i i f
i i p
fs
f f
d n q w
x d T x k w x d
u T w c
Ω Γ
⋅
=
∂ Ω
∂
∂ + ∂
∂ Ω
∂
∫
∫
∫
Γ
Ω Ω
on r
r
ρ (4)
on s
Ω Γ
⋅
=
Ω
−
∂ Ω
∂
∂
∂
∫
∫
∫
Γ
Ω Ω
fs
s s
d n q w
d S w x d
T x k w
s
s s
i ir r
&
(5)
여기서, q 은 Fig. 1 에서 정의된 경계면 n Γ 에서 의 바깥 수직 방향으로의 열유속을 나타낸다.
Ω
sΩ
fΓ
fsΓ Ω
sΩ
fΓ
fsΓ
Fig. 1 Two dimensional domain containing an interface Γ between solid and fluid fs
식 (4)와 (5)의 우변항은 고체와 유체가 접하는 표면 Γ 를 따라서의 열유속을 나타낸다. 그런데, fs
Γ 에 접한 유체요소에서의 바깥방향으로 수직단fs
위벡터 nrf 와 고체요소에서의 바깥방향으로 수직 단위벡터
n
rs는 서로 방향이 정반대이다. 즉, 다음 의 잘 알려진 조건을 만족한다.=0 + s
f n
nr r (6)
즉, 고체 요소와 유체 요소의 행렬이 조합이 되어 전체 행렬이 만들어지면 경계면 Γfs 를 따라서의 열유속 항은 자동적으로 소거된다. 따라서, 고체와 유체영역의 유한요소 공식화에서 Γ 에서의 열유fs 속 항의 연속조건은 유한 차분법이나 유한체적법 에서 열유속의 연속을 위한 별도의 식을 부가하는 것과 달리 특별한 처리 없이 자동적으로 만족된다.
한편, Choi 와 Yoo(8)에 의해 개발된 SIMPLE(3) 기반 SUPG 유한 요소 기법을 운동량, 에너지의 이송방정식을 풀기 위하여 사용한다. 수치 해석 절차는 다음과 같다.
(1) 압력장과 온도장을 가정하여 식 (2)의 운동량 방정식을 푼다.
(2) SIMPLE 알고리즘에서 식 (1)을 적용하여 유도 된 압력방정식을 이용하여 압력장을 구하고 속도 를 보정한다.
(3) (2)에서 구한 속도장을 이용하여 식 (3)의 에너 지 방정식을 유체와 고체 영역 전체에 대하여 동 시에 푼다.
(4) (1)~(3)의 계산을 수렴할 때까지 반복한다.
Solid body adiabatic
adiabatic
g
Tc Th
x y
Fluid
L
L W
W Solid body WW
W L
L Solid body
adiabatic
adiabatic
g
Tc Th
x y
Fluid
L
L W
W Solid body WW
W L
L
Fig. 2 Schematic diagram of cavity with a centered solid body
이송 방정식의 SUPG 공식화와 압력 방정식의 유 도 및 수치해석 절차에 대한 보다 자세한 설명은 Choi 와 Yoo(8)의 논문 또는 Park 등(10) 의 논문을 참고한다.
3. 수치해석 결과
3.1 표준예제의 검증
먼저, 제안된 분리유한요소 알고리즘의 검증을 위하여 표준예제를 해석한다. 첫 번째 표준 예제 는 중앙에 물체가 존재하는 공동 내의 복합 열전 달 문제로, 문제의 도식은 Fig. 2 와 같다. 본 연구 에서는 W/L = 0.5, Pr = 0.71 이고 고온 벽과 저온 벽의 온도가 각각 Th =1, Tc =0로 지정된 경우에 대하여 수치해석을 수행하였다. Table 1 은 Ra=105 에서 ks/kf =5인 경우에 대하여 다양한 격자 조 밀도를 사용하여 얻은 평균 Nusselt 수를 House(1) 등의 결과와 비교하였다. Table 2 는 Ra=105 에서
10 / f =
s k
k 인 경우에 복합 열전달 문제의 해석결 과를 보여준다. 수치해석결과 얻어진 평균 Nusselt 수를 명현국과 전태현(5)의 결과와 비교하였다. 기 존의 수치해석 결과들과의 비교를 통하여 본 연구 에서 고안된 분리 유한 요소 알고리즘이 복합 열 전달 문제를 잘 해석함을 확인하였다.
Table 1 Comparison of the present results with the bench mark solution (Ra=105,ks/kf =5)
격자계 Nuavg
Present result 4.1902 8-6-8
House et al. (1) 4.3416 Present result 4.2294
14-10-14
House et al. (1) 4.3249 Present result 4.3259
24-22-24
House et al.(1) 4.3221
Table 2 Comparison of the present result with the bench mark solution (Ra=105)
f
s k
k / Nuavg
Present result 4.26 10
명현국 & 전태현(6) 4.256
3.2 공동 내에 고체열원이 존재하는 문제의 복 합 열전달 해석
본 연구에서는 단위 면적당 일정한 열유속을 발 생하는 고체 열원이 존재하는 공동 내의 자연대류 문제를 수치해석 한다. 수치 해의 수렴은 고체 열 원에서 발생되는 열량과 좌 우 벽면을 통해 유출 되는 열량의 균형에 의해서 판정된다. 문제의 도 식은 Fig. 3 에서 주어진 바와 같이 하부 벽과 상 부 벽은 단열이며 오른쪽과 왼쪽 벽의 온도는 273 K 를 유지한다. 공동의 중앙에 위치한 물체는 단 위 면적당 일정한 열 유속을 생성한다. 본 연구에 서는 전도 열전달 계수의 비 (k /s kf)와 유체의 물 성치를 고정한 후에 열 유속의 강도를 변화시키면 서 Rayleigh 수의 변화에 따른 공동 내의 자연대 류의 특성을 고찰하였다. Fig. 4 에서는 본 연구에 사용된 대표적인 격자계를 나타내었다.
본 연구에서 Rayleigh 수의 정의는 다음과 같이 정의되었다.
αν β(T T )(L/2)3 Ra= g h− c
Solid body (Heat source)
adiabatic
adiabatic
T=273K T=273K
x y L
L
g
WW
W Solid body (Heat source)
adiabatic
adiabatic
T=273K T=273K
x y L
L
g
WW
W
Fig. 3 Schematic diagram of cavity with a centered heat generating solid body
Fig. 4 Grid system of cavity with a centered heat generating solid body
여기서, Th 는 고체 열원 내부에서의 최고 온도로 에너지 균형을 만족하는 수치해석이 완료된 후에 후처리 과정에서 구해진다.
본 연구에서는 Rayleigh 수 또는 열원의 강도가 공동 내의 열전달 및 유동장에 미치는 영향을 수 치적으로 고찰하였다. 3.3 절에서는 에너지 평형을 통하여 검증한 본 수치해석 기법의 격자 독립성에 대하여 논의 하고, Rayleigh 수가 공동 내의 열전 달 특성에 미치는 영향은 3.4 절에서 설명하고자 한다.
3.3 수치 해의 격자 계 검증
본 연구에서 격자 독립성을 지닌 해는 순차적으 로 조밀한 격자를 사용하여 얻었다. 각각의
Table 3 Energy balance with grid resolution for various Rayleigh numbers
Rayleigh
number 격자계 Heat flux- ×100 열생성량
열생성량
41×41 26.0995 71×71 0.1050 Case Ⅰ
(Ra=8.4×103)
101
101× 0.0343 41×41 23.9800 71×71 0.3100 Case Ⅱ
(Ra=5.6×104)
101×101 0.0925 41×41 14.0185 71×71 1.3420 Case Ⅲ
(Ra=3.9×105)
101×101 0.2637 41×41 6.1093 71×71 7.5412 101×101 2.1723 Case Ⅳ
(Ra=2.6×106)
151×151 0.1223
Rayliegh 수에 대하여, 계산은 에너지 균형 오차가 1% 이내가 될 때까지 보다 조밀한 격자를 반복적 으로 사용하여 얻었다. 에너지 균형 오차는 다음 과 같이 정의된다.
×100
−
G G F
Q Q Q
&
&
&
여기서, Q&G와 Q&F 는 중앙 열원에서의 열 생성 량과 왼쪽과 오른쪽의 차가운 벽을 통한 열 유속 의 양이다. Table 3 은 다양한 Rayliegh 수에 대한 격자 계의 조밀도와 에너지 균형 오차를 나타낸다.
에너지 균형은 낮은 Rayliegh 수에서는 적절한 격 자 조밀도로도 만족함을 보인 반면, 높은 Rayliegh 수에서는 에너지 균형을 만족시키기 위하여 매우 조밀한 격자계가 필요함을 보였다. Rayliegh 수
5 3~10
10 의 범위에 대해서는 101×101의 격자 조 밀도가 1% 이내의 오차를 갖는 해를 주는 반면에, Rayliegh 수가 106 보다 큰 경우에는 에너지 균형 을 만족시키기 위하여 보다 조밀한 격자계가 필요 함을 확인하였다.
3.4 Rayleigh 수가 공동 내의 유동장 및 열전 달 특성에 미치는 영향
이 절에서는 고체열원이 존재하는 공동 내에서 Rayleigh 수가 열전달 및 유동장 특성의 연관성에 대하여 고찰하고자 한다. Fig. 5 는 다양한 Rayliegh 수에 대하여 오른쪽 변을 따른 열 전달 계수의 분 포를 나타낸다.
Rayliegh 수가 증가함에 따라 부력에 의한 영향 이 보다 지배적이 되기 때문에, Rayliegh 수가 증 가함에 따라 최대 열전달 계수가 나타나는 위치는 위로 이동함을 보였다. Fig. 6 는 다양한 Rayliegh 수에 따른 최대 열전달 계수의 위치를 나타낸다.
105
≤
Ra 에 대하여 Rayliegh 수와 최대 열전달 계
y/L
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Case Ⅰ Case Ⅱ Case Ⅲ Case Ⅳ
h/hmax
y/L
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Case Ⅰ Case Ⅱ Case Ⅲ Case Ⅳ Case Ⅰ Case Ⅱ Case Ⅲ Case Ⅳ
h/hmax
Fig. 5 Distributions of convection heat transfer coefficient for various Ra numbers along the right vertical wall (ks/kf =100)
Ra
y/L
103 104 105 106
0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1
2 10
4log 8.72 10
10 73 .
8 × − + × −
= Ra
y
Ra
y/L
103 104 105 106
0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1
2 10
4log 8.72 10
10 73 .
8 × − + × −
= Ra
y
Fig. 6 Linear relation between the position of maximum heat transfer coefficient and Ra
수의 위치에 대하여 다음의 관계식이 도출되었다.
B Ra A
y= log10 + (1) 식 (1)에서 상수 A 와 B 는 8.73×10−4 와
10 2
72 .
8 × − 이다. 식 (1)로부터 최대 열전달 계수의 위치는 Rayliegh 수에 상용로그를 취한 값과 선형 적인 관계를 보임을 발견하였다.
Fig. 7 은 단열상태인 윗 벽에서의 무차원화된 온도 분포를 나타낸다. Rayliegh 수가 증가함에 따라, 윗 벽에서의 온도 분포는 양쪽 끝 단을 제 외한 지역에서 일정한 온도를 가지며, 양쪽 끝 단 에서의 온도 구배는 Rayliegh 수가 증가함에 따라 보다 급격해짐을 보인다. Fig. 8 은 단열 상태인
x/L
non-dimensionaltemperature
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
0.7 Case Ⅰ
Case Ⅱ
Case Ⅲ Case Ⅳ
x/L
non-dimensionaltemperature
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
0.7 Case Ⅰ
Case Ⅱ
Case Ⅲ Case Ⅳ
Fig. 7 Non-dimensional temperature distributions along the upper adiabatic wall for various Rayleigh numbers (ks/kf =100)
x/L
non-dimensionaltemperature
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 0.02 0.04 0.06
0.08 Case Ⅰ
Case Ⅱ
Case Ⅲ
Case Ⅳ
x/L
non-dimensionaltemperature
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 0.02 0.04 0.06
0.08 Case Ⅰ
Case Ⅱ
Case Ⅲ
Case Ⅳ
Fig. 8 Non-dimensional temperature distributions along the lower adiabatic wall for various Rayleigh numbers (ks/kf =100)
0.9 0.9
0.9 0.9
0.8
0.9 0.8
0.9
0.7
0.8 0.9
0.7 0.8
0.9
(a) Case Ⅰ(Ra=8.4×103) (b) Case Ⅱ(Ra=5.6×104) (c) Case Ⅲ(Ra=3.9×105) (d) Case Ⅳ(Ra=2.6×106) Fig. 9 Non-dimensional temperature contours in a solid body for various Ra numbers (ks/kf =100)
(a) Case Ⅰ(Ra=8.4×103) (b) Case Ⅱ(Ra=5.6×104) (c) Case Ⅲ(Ra=3.9×105) (d) Case Ⅳ(Ra=2.6×106) Fig. 10 Non-dimensional temperature contours for various Ra numbers (ks/kf =100)
(a) Case Ⅰ(Ra=8.4×103) (b) Case Ⅳ(Ra=8.4×103) Fig. 11 Non-dimensional pressure contours for various
Ra numbers (ks/kf =100)
아래 벽에서의 무차원화된 온도분포를 나타낸 다. Rayliegh 수가 증가함에 따라 위 벽에서와 마 찬가지로 양쪽 끝단을 제외한 지역에서 거의 일정 한 온도분포를 가짐을 확인하였다. 하지만 위 벽 에 비하여 아래 벽의 분포가 덜 평평한데 이는 상 대적으로 아래 벽 근처에서 부력의 효과에 비하여 확산의 효과가 보다 지배적으로 작용하기 때문인 것으로 여겨진다. Fig. 9 은 다양한 Rayliegh 수 에 따른 고체 물체 내부의 무차원화된 온도분포를 나 타낸다. 본 연구에서 택한 전도 열전달 계수 비
100 / f =
s k
k 에 대하여, Rayliegh 수가 감소함에 따 라 물체 내의 온도 분포는 균일해지는 경향이 있 다. 반면에, Rayliegh 수가 증가함에 따라 고체열원 의 아래 쪽은 온도가 내려감을 알 수 있다. 이는
Rayliegh 수가 증가함에 따라 부력의 효과가 보다 지배적이 되어 고체열원의 하부에 존재하는 차가 운 공기의 상승 기류가 더 강해지기 때문인 것으 로 여겨진다. Fig. 10 는 공동 내의 온도 분포를 보 여준다. Rayliegh 수가 감소함에 따라 확산의 영향 이 커져서 온도 분포는 보다 확산적임을 보여준다.
따라서, 공동의 아래 벽은 Rayliegh 수가 증가함에 따라 뜨거운 고체 물체에 의한 영향이 작아짐을 확인하였다. 또한, Rayliegh 수가 증가함에 따라 고 체 물체 주변으로 뜨거운 유체가 밀집함을 알 수 있었다. Fig. 11 은 공동 내의 무차원화된 압력분포 를 나타낸다. Rayliegh 수가 증가함에 따라 압력장 은 보다 성층화 됨을 발견하였고, 최대 압력은 부 력에 의한 강한 상승기류로 인하여 상부 벽의 중 심에 위치함을 발견하였다.
4. 결 론
본 연구에서는 Choi 와 Yoo(8)에 의해 개발된 유 한요소코드를 확장하여 복합 열전달 해석코드를 개발하였다. Bench Mark 문제와의 비교를 통하여 코드를 검증하고, 일정한 열유속을 포함하는 고체 가 존재하는 밀폐된 사각 공동 내의 복합 열전달 문제를 해석하여 다음의 결론을 도출하였다.
(1) 유한요소법의 특성에 의하여 유한요소법에
기반한 복합 열전달 문제의 공식화는 고체와 유 체의 경계면 에서의 별도의 경계조건을 필요로 하지 않는다.
(2) 제안된 분리요소 유한요소 알고리즘을 이 용하여 중앙에 물체가 존재하는 공동 내의 복합 열전달 문제를 성공적으로 해석하였다.
(3) 본 연구에서 격자 독립적인 해는 순차적으 로 조밀한 격자계를 사용하여 얻을 수 있었다.
해는 에너지 균형 오차가 1% 이내가 될 때까지 보다 조밀한 격자를 반복적으로 사용하여 얻었다.
(4) Rayliegh 수가 클수록 부력의 효과가 강해져 서 비단열 벽면에서 열전달 계수가 최대치를 가 지는 위치는 위로 상승함을 알 수 있었다
(5) Rayliegh 수가 증가할수록 윗 단열 면에서는 양끝 단을 제외한 지역에서는 균일한 온도분포를 가지려는 경향을 확인 하였다. 하지만 윗 벽에 비하여 아랫 벽의 분포가 덜 평평한데 이는 상대 적으로 아랫 벽 근처에서 부력의 효과에 비하여 확산의 효과가 보다 지배적으로 작용하기 때문인 것으로 여겨진다.
(6) Rayliegh 수가 감소함에 따라 물체 내의 온 도 분포는 균일해지는 경향이 있다. 반면에, Rayliegh 수가 증가함에 따라 고체 열원의 아래 쪽은 온도가 내려감을 알 수 있다. 이는 Rayliegh 수가 증가함에 따라 부력의 효과가 보다 지배적 이 되어 고체열원의 하부에 존재하는 차가운 공 기의 상승 기류에 기인한 것으로 여겨진다.
(7) Rayliegh 수가 감소함에 따라 확산의 영향이 커 져서 공동 내의 온도 분포는 보다 확산적이었다. 반 면에, Rayliegh 수가 증가함에 따라 뜨거운 고체 물체 가 공동의 아래 벽에 미치는 영향은 감소하였다.
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