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불확실성을 갖는 2차원 비선형 시스템의 출력 궤환 안정화
서상보*, 심형보*, 서진헌* 서울대학교 전기공학부*
Output feedback stabilization of planar systems with uncertainty
Sangbo Seo*, Hyungbo Shim*, Jin Heon Seo*,
ASRI, School of Electrical Engineering and Computer Science, Seoul National University* Abstract
- 본 논문에서는 불확실성을 가지는 2차원 비선형 시스템을
안정화하기 위해서 추가 다이나믹스를 이용하여 출력 궤환 제어기법을 제안한다. 추가 다이나믹스는 이득값에 대한 것으로 0으로 수렴하는 구 조를 지니고 있으며, 이 상태변수의 역수가 고이득의 역할을 함으로써 불확실성이 존재함에도 불구하고 제어목표를 이룰 수 있다. 더욱이 추가 다이나믹스는 그 설계에 의해 목표달성 후에는 본래의 초기값으로 복귀 하는 구조를 지니고 있다.
1. 서 론
상태 궤환 안정화와 달리 출력 궤환 안정화는 전체 상태변수들이 아 닌 일부 상태들이 알려진 상태에서 안정화가 가능하다는 장점 때문에 다양한 연구결과들이 발표되고 있다[1-6]. 그 중 [1,2]에서는 선형 고이 득 관측기를 이용하여 선형 출력 궤환 제어기를 설계하였다. 또한 [3]에 서는 상한을 아는 미정의 상수를 가진 시스템에 대하여 고이득 관측기 의 아이디어를 바탕으로 관측기와 제어기를 복합적으로 설계하는
‘nonseparation principle’의 방법을 제시하였다. 그리고 [4]에서는 미정의 상수에 대해 상한을 알고있다는 조건을 제거하기 위해서 시변 선형 출 력 궤환 제어기법을 소개하였다. 여기서 제시된 제어기는 기본적으로 발 산형 시변 이득값을 가지므로 실제 시스템에 적용에의 어려움이 발생한 다. 이 단점을 보완하기 위해서 [5]에서는 이득값의 다이나믹스 변화가 출력과 관측기 상태변수의 오차값에 의존하도록 하였으며, [6]에서는 이 득값이 증가 후 초기값으로 복귀하는 출력 궤환 제어기를 소개하였다.
이 논문에서는 다음의 불확실성을 포함한 2차원 시스템을 다루고자 한다.
(1)
여기서
∈
∈
∈는 각각 시스템 상태변수, 제어 입력, 출력이다. 그리고 함수
×
×
→
는 연속미분가능 (
)함수이다. 이 함수는 불확실성을 내포하고 있는 함수로써 다음의 가정을 만족한다.
가정 1: 함수
⋅에 대해서 다음을 만족하는 미지의 상수
≥ 와 함수
가 존재한다.
≤
(2)본 논문에서는 시스템 (1)에 대하여 (2)의 가정 하에 다이나믹 출력 궤환 안정화 제어기법을 소개하고자 한다. 가정 1에 대해 [5]에서는
을 가정을 하였고, [6]에서는
를 알고 있는 상한 함수
로 가정을 하였다는 점에서 본 논문과 차이점을 가진다. 본 논문에 서 제시하는 방법은 [5]에서 제시된 방법 보다 더 넓은 범위의 시스템을 다루고 있으며, [6]과는 가정에서의 차이점과 편리하고 간단한 설계 방 법이라는 점에서 큰 차이를 가진다.
2. 불확실성을 가지는 시스템에 대한 출력 궤환 제어
2.1 출력 궤환 제어입력 및 관측기
본 논문에서 제시하는 제어입력 및 관측기는 다음과 같다.
(3)
여기서
는 Hurwitz 다항식
의 계수들을, 제어입력의 이득값들은 Hurwitz 다항식
을 만족한다. 그리고
는 후에 결정되는 상수들이다.
추가된
의 다이나믹스는 다음과 같다.
(4)
여기서
≤ 의 조건을 만족하도록 초기값을 가진다. 그리고 만약
이라면,
의 해를 갖게 된다.
초기시간에
일 경우,
는 0으로 수렴하게 되고,
이 감소함에 따라
의 관계에 의해 1로 수렴 을 하게 된다. 그러므로
와
는
를 만족하도록 설정한다.
2.2 다이나믹 변환
다이나믹스 (4)의 변수를 이용한 변환
(5)
을 이용하면 시스템 (1)이 다음과 형태를 지니게 된다.
(6)
여기서
⋅ ⋅ 이다. 그리고 관측기와 제어 입력은 다음의 변환된 형태를 지니게 된다.
(7)
여기서
이다.
의 값에 따라
값이 결정되는데 간단히
로 두면
가 고이득 관측기의 이득값 역할을 함을 알 수 있다. 또한 위의 구조에서 제어입력은 (5)의 변환 하에서는 선형제어 기임을 알 수 있다.
2.3 주요정리
다음은 이 논문의 주요 결과를 보여주는 정리이다.
정리 1 : 가정 1을 만족하는 시스템 (1)에 대해서 다이나믹 제어입력 과 관측기 (3)의 설계는 시스템의 불확실성의 존재에도 불구하고 시스템 을 안정화 할 수 있다.
정리 1의 증명 : 주요정리를 증명하기에 앞서 먼저 시스템 상태변수 와 관측기의 상태변수의 차를 다음과 같이 정의한다.
(8)
시스템 (6)과 (7)은 (8)의 정의에 의해
(9)
2008년도 대한전기학회 하계학술대회 논문집 2008. 7. 16 - 18
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로 요약되고, 여기서 각 벡터와 행렬은 아래와 같다
⋅
⋅
(10)
시스템 (8)에 대한 해의 존재성과 유일성은 함수
⋅가 연속 미분 가능한 함수라는 점과
가 절대 0의 값을 가지지 않는다는 사실로 쉽 게 알 수 있다.
다음 단계로 리아푸노프 함수를 이용한 안정도 해석을 하고자 한다.
다이나믹스에 대한 리아푸노프 함수를 각각
(11)로 두자. 행렬
는 Hurwitz 행렬이므로
≤
≤
≥
≥ (12)를 만족하는 행렬
와
가 존재한다.[5]
시스템 (9)에 대한 리아푸노프 함수
과
의 미분은 각각
≤
≤
(13)
가 되고, 더 진행하기 위해 각 마지막 항들의 추정이 필요하다.
항
은 함수
⋅가 포함되어 있으므로 가정 1을 이용하면
⋅
≤
≤
⋅
≤
≤
(14)
를 얻을 수 있고, 이를 적용하면
≤
≤
(15)를 유도할 수 있다. 위 식에서 영의 부등식이 사용되었으며, 함수
는
⋅ ⋅
의 형태를 가진다.
항
는 영의 부등식에 의해서 간단히 추정할 수 있다.
≤
(16)
전체 리아푸노프 함수
와 (14), (15)의 결과들을 이용하 면 최종적으로
≤
(17)의 결론에 도달하게 된다. (16)의 결과로 정리 1이 유효함을 알 수 있다.
(17)의 결과와 함께
와
가 유한함은 [5]와 유사한 방식으로 증 명할 수 있으므로 이에 대한 증명은 공간의 제약으로 생략하고자 한다.
3. 예제 및 시뮬레이션
3.1 예제
정리 1의 내용을 확인하기 위해 다음의 불확실성을 가지는 2차원 시 스템을 고려한다.
(18)
여기서
과
≥ 는 모르는 상수들이다. 위의 예제는 [5]에서 제시된 예제와 비슷한 형태를 가지고 있지만 더 복잡한 드리프트항들을 가짐을 유의하자.
≤
≤
(19)
그러므로 모르는 상수
에 의해서 드리프트 항
들이 가정 1을 만족함을 알 수 있다.
3.2 시뮬레이션
미정 상수
를 가지는 예제 시스템 (18)에 대해서 (3) 에서 제시된 제어입력과 관측기를 적용한다. 이에 대한 시뮬레이션 환경 은
과 같고, 초기값은
이다.
위의 환경에서의 시뮬레이션 결과는 그림 1에 제시되어 있다. 대략 0.25초까지
는 시스템을 안정화하기 위해서 감소한다. 즉,
값이 시스템에 포함되어 있으므로 불확실성에 대해 시스템에서 요구하는 이 득값을 자동적으로 찾게 되는 것이다. 0.25초 이후에는 상태변수들이 원 점으로 수렴해 감에 따라 초기값으로 복귀하고 있음을 확인할 수 있다.
<그림 1> 예제의 시뮬레이션 결과
4. 결 론
이득값 역할을 하는 다이나믹스를 추가함으로써 불확실성을 가지는 2 차원 비선형 시스템을 안정화하기 위해서 출력 궤환 제어기를 설계하였 다. 출력과 관측기 상태변수의 오차가 추가 다이나믹스의 이득값 역할을 하고, 추가된 변수는 오차가 커질수록 0으로 수렴, 작아질수록 초기값으 로 복귀하는 특징을 지니고 있다. 추후의 연구목표는 2차 시스템에 대한 위의 결과를
차 시스템으로 확장하는 것이 되겠다.
[참 고 문 헌]
