Multivariate EWMA charts with accumulate-combine method for multivariate normal process ^†

2020, 31

1)

51–63

누적결합방법을 적용한 다변량 정규공정을 위한 다변량 지수가중이동평균 관리도 ^†

ᄌ ᅡᆼ덕준

¹

1창원대학교 통계학과

ᄌ ᅥ

ᆸᄉ ᅮ 2019ᄂ ᅧ ᆫ 12ᄋ ᅯ ᆯ 31ᄋ ᅵ ᆯ, ᄉ ᅮᄌ ᅥ ᆼ 2020ᄂ ᅧ ᆫ 1ᄋ ᅯ ᆯ 8ᄋ ᅵ ᆯ, ᄀ ᅦᄌ ᅢ ᄒ ᅪ ᆨᄌ ᅥ ᆼ 2020ᄂ ᅧ ᆫ 1ᄋ ᅯ ᆯ 8ᄋ ᅵ ᆯ

요 약

ᄌ

ᅮᄋ ᅭ ᄑ ᅮ ᆷᄌ ᅵ ᆯᄐ ᅳ ᆨᄉ ᅥ ᆼᄎ ᅵᄋ ᅴ ᄉ ᅮᄀ ᅡ p (p ≥ 2)ᄀ ᅢᄋ ᅵ ᆫ ᄃ ᅡᄇ ᅧ ᆫᄅ ᅣ ᆼ ᄌ ᅥ ᆼᄀ ᅲᄀ ᅩ ᆼᄌ ᅥ ᆼ N

(µ, Σ)ᄋ ᅴ ᄆ ᅩᄃ ᅳ ᆫ ᄀ ᅩ ᆼᄌ ᅥ ᆼᄆ ᅩᄉ ᅮᄃ ᅳ ᆯᄋ ᅳ ᆯ ᄃ ᅩ ᆼ ᄉ ᅵᄋ ᅦ ᄀ ᅪ

ᆫ ᄅ ᅵᄒ ᅡᄀ ᅵ ᄋ ᅱᄒ ᅡ ᆫ ᄂ ᅮᄌ ᅥ ᆨᄀ ᅧ ᆯᄒ ᅡ ᆸᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅥ ᆸᄋ ᅳ ᆯ ᄌ ᅥ ᆨᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡ ᆫ 3ᄀ ᅢᄋ ᅴ ᄃ ᅡᄇ ᅧ ᆫᄅ ᅣ ᆼ ᄌ ᅵᄉ ᅮᄀ ᅡᄌ ᅮ ᆼ ᄋ ᅵᄃ ᅩ ᆼᄑ ᅧ ᆼᄀ ᅲ ᆫ ᄀ ᅪ ᆫ ᄅ ᅵᄃ ᅩᄅ ᅳ ᆯ ᄌ ᅦᄉ ᅵᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ. ᄌ ᅦᄉ ᅵ ᄃ ᅬ ᆫ 3ᄀ ᅢᄋ ᅴ ᄀ ᅪ ᆫ ᄅ ᅵᄃ ᅩᄅ ᅳ ᆯ ᄀ ᅧ ᆯᄒ ᅡ ᆸᄒ ᅡ ᆫ 3-ᄀ ᅪ ᆫ ᄅ ᅵᄃ ᅩ ᄀ ᅧ ᆯᄒ ᅡ ᆸᄌ ᅥ ᆯᄎ ᅡᄅ ᅳ ᆯ ᄌ ᅥ ᆨᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄀ ᅮᄉ ᅥ ᆼᄃ ᅬ ᆫ ᄀ ᅪ ᆫ ᄅ ᅵᄃ ᅩᄋ ᅴ ᄉ ᅮᄎ ᅵᄌ ᅥ ᆨ ᄉ ᅮᄒ ᅢ ᆼᄃ ᅩᄅ ᅳ ᆯ ᄆ ᅩᄋ ᅴᄉ ᅵ ᆯᄒ ᅥ ᆷᄋ ᅳ ᆯ ᄐ

ᅩ

ᆼ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᄀ ᅳ ᄐ ᅳ ᆨᄉ ᅥ ᆼᄋ ᅳ ᆯ ᄉ ᅡ ᆯᄑ ᅧᄇ ᅩᄋ ᅡ ᆻᄃ ᅡ. ᄂ ᅮᄌ ᅥ ᆨᄀ ᅧ ᆯᄒ ᅡ ᆸᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅥ ᆸ (accumulate-combine method)ᄋ ᅳ ᆯ ᄌ ᅥ ᆨᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡ ᆫ ᄃ ᅡᄇ ᅧ ᆫᄅ ᅣ ᆼ ᄌ ᅵᄉ ᅮ ᄀ

ᅡᄌ ᅮ ᆼ ᄋ ᅵᄃ ᅩ ᆼᄑ ᅧ ᆼᄀ ᅲ ᆫ ᄀ ᅪ ᆫ ᄅ ᅵᄃ ᅩᄀ ᅡ ᄀ ᅧ ᆯᄒ ᅡ ᆸᄂ ᅮᄌ ᅥ ᆨᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅥ ᆸ (combine-accumulate method)ᄋ ᅳ ᆯ ᄌ ᅥ ᆨᄋ ᅭ ᆼ ᄒ ᅡ ᆫ ᄀ ᅪ ᆫ ᄅ ᅵᄃ ᅩᄋ ᅦ ᄇ ᅵᄒ ᅢ ᄀ ᅩ ᆼᄌ ᅥ ᆼ ᄇ

ᅧ ᆫᄒ ᅪᄋ ᅴ ᄐ ᅡ ᆷᄌ ᅵᄋ ᅦ ᄃ ᅥ ᄆ ᅵ ᆫᄀ ᅡ ᆷᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄋ ᅳᄆ ᅧ ᄌ ᅵᄉ ᅮᄀ ᅡᄌ ᅮ ᆼ ᄋ ᅵᄃ ᅩ ᆼᄑ ᅧ ᆼᄀ ᅲ ᆫ ᄋ ᅴ ᄑ ᅧ ᆼᄒ ᅪ ᆯ ᄀ ᅨᄉ ᅮ λ ᄌ ᅡ ᆨᄋ ᅳᄆ ᅧ ᆫ ᄀ ᅩ ᆼᄌ ᅥ ᆼᄋ ᅴ ᄌ ᅡ ᆨᄋ ᅳ ᆫ ᄇ ᅧ ᆫᄒ ᅪᄋ ᅦ ᄃ ᅥ ᄆ ᅵ ᆫᄀ ᅡ ᆷ ᄒ

ᅡᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ. ᄐ ᅳ ᆨ ᄒ ᅵ ᄑ ᅮ ᆷᄌ ᅵ ᆯᄐ ᅳ ᆨᄉ ᅥ ᆼᄎ ᅵᄃ ᅳ ᆯ ᄋ ᅴ ᄉ ᅡ ᆼ ᄀ ᅪ ᆫ ᄀ ᅨᄉ ᅮᄀ ᅡ ᄇ ᅧ ᆫᄒ ᅪᄒ ᅡᄂ ᅳ ᆫ ᄀ ᅩ ᆼᄌ ᅥ ᆼᄋ ᅦᄉ ᅥᄂ ᅳ ᆫ ᄀ ᅪ ᆫ ᄅ ᅵᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄅ ᅣ ᆼ D

ᄋ ᅦ ᄀ ᅵᄇ ᅡ ᆫᄒ ᅡ ᆫ ᄃ ᅡᄇ ᅧ ᆫᄅ ᅣ ᆼ ᄉ ᅲᄒ ᅡ ᄅ

ᅳᄐ ᅳ ᄀ ᅪ ᆫ ᄅ ᅵᄃ ᅩ ᄆ ᅵ ᆾ ᄃ ᅡᄇ ᅧ ᆫᄅ ᅣ ᆼ ᄌ ᅵᄉ ᅮᄀ ᅡᄌ ᅮ ᆼ ᄋ ᅵᄃ ᅩ ᆼᄑ ᅧ ᆼᄀ ᅲ ᆫ ᄆ ᅩᄃ ᅮ ᄀ ᅩ ᆼᄌ ᅥ ᆼᄇ ᅧ ᆫᄒ ᅪᄋ ᅴ ᄐ ᅡ ᆷᄌ ᅵᄋ ᅦᄂ ᅳ ᆫ ᄒ ᅭᄀ ᅪᄌ ᅥ ᆨᄋ ᅵᄌ ᅵ ᄆ ᅩ ᆺ ᄒ ᅡᄋ ᅧ ᆻᄃ ᅡ.

ᄌ

ᅮᄋ ᅭᄋ ᅭ ᆼ ᄋ ᅥ: ᄀ ᅧ ᆯᄒ ᅡ ᆸᄂ ᅮᄌ ᅥ ᆨᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅥ ᆸ, ᄂ ᅮᄌ ᅥ ᆨᄀ ᅧ ᆯᄒ ᅡ ᆸᄇ ᅡ ᆼᄇ ᅥ ᆸ, 3-ᄀ ᅪ ᆫ ᄅ ᅵᄃ ᅩ ᄀ ᅧ ᆯᄒ ᅡ ᆸᄌ ᅥ ᆯᄎ ᅡ, ᄑ ᅧ ᆼᄀ ᅲ ᆫᄀ ᅧ ᆼᄇ ᅩᄑ ᅭᄇ ᅩ ᆫ ᄉ ᅮ, ᄑ ᅧ ᆼᄀ ᅲ ᆫᄅ ᅥ ᆫᄀ ᅵ ᆯᄋ ᅵ.

1. 서론 ᄐ

ᅩ

ᆼ계적 공정관리의 주요 목적은제품의 품질과 생산성을향상시키는것이라 할 수 있을것이다. 관리 ᄃ

ᅩ는제품의 생산과정에서 발생하는 공정변화나 품질의 변동을탐지할 수 있는효과적인 품질도구 중의 ᄒ

ᅡ나이다. 제품의 품질은하나의 품질특성치로 평가되기보다는 일반적으로 서로관련이 있는다수의 품 지

ᆯ특성치에 의해 평가되는것이 더욱 일반적일 것이다. 특히 여러 품질특성치들이 서로 연관되어 있는 겨

ᆼ우라면 각 품질특성치 또는 공정모수 하나하나에 대한 각각의관리도를 운용하는것보다는하나의 다 ᄇ

ᅧᆫ량관리도를 운용하는것이 보다 더 효과적인관리를할 수도 있을것이다.

ᄀ

ᅩᆼ정이 어떤 이상원인으로 인해 관리상태에서 이상상태로 변화되었을때, 공정관리자는가급적 신속 ᄒ

ᅵ 이상상태로의 전환에 영향을미친 이상원인을찾아낸 후 제거함으로써 다시 공정을만족스러운관리 ᄉ

ᅡᆼ태로 전환하고 싶을것이다.

ᄀ

ᅩᆼ정이관리상태에서 변화하였을때, 관리도가 경보를제시할 때까지 추출한 표본수의 평균인 평균런 ᄀ

ᅵᆯ이 (average run length; ARL), 평균경보표본수 (average number of samples to signal; ANSS)와 펴

ᆼ균경보시간 (average time to signal; ATS)는관리도의 성능을평가하고 비교하기위한 유용한 판단 ᄀ

ᅵ준으로 이용된다. 공정이 변화되었을때 변화된시점부터관리도가 경보 (signal)를제시할 때까지의 ᄉ

ᅵ간을경보시간 (time to signal; TS)이라하며, 경보시간은평균런 길이 ARL과 일정한 표본추출간격

†

ᄋ ᅵ ᄂ ᅩ ᆫᄆ ᅮ ᆫᄋ ᅳ ᆫ 2019∼2020ᄂ ᅧ ᆫᄃ ᅩ ᄎ ᅡ ᆼᄋ ᅯ ᆫ ᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄌ ᅡᄋ ᅲ ᆯᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄀ ᅪᄌ ᅦ ᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄇ ᅵ ᄌ ᅵᄋ ᅯ ᆫ ᄋ ᅳᄅ ᅩ ᄉ ᅮᄒ ᅢ ᆼᄃ ᅬ ᆫ ᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄀ ᅧ ᆯᄀ ᅪᄋ ᅵ ᆷ.

1

(51140) ᄀ ᅧ ᆼᄂ ᅡ ᆷ ᄎ ᅡ ᆼᄋ ᅯ ᆫ ᄉ ᅵ ᄋ ᅴᄎ ᅡ ᆼᄀ ᅮ ᄎ ᅡ ᆼᄋ ᅯ ᆫ ᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄅ ᅩ 20ᄇ ᅥ ᆫᄌ ᅵ, ᄎ ᅡ ᆼᄋ ᅯ ᆫ ᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅪ, ᄀ ᅭᄉ ᅮ.

E-mail: [email protected]

(fixed sampling interval; FSI)의 곱으로 표현할 수 있다. 따라서 ARL은 공정이 변화되었을때 이상신 ᄒ

ᅩ를제시할 때까지의 시간으로 간주할 수도 있을것이다.

ᄌ

ᅵ금까지의 다변량 관리도는 품질특성치 벡터 X = (X¹, X2, · · · , Xp)의 i번째 변수 Xⁱ의 평균 µi

(i = 1, 2, · · · , p) 들을 동시에관리하기 위한 다변량 정규공정의 평균 벡터 (mean vector) µ를관리하는 ᄃ

ᅡ변량관리도에 대한 연구들이 주를이루고 있다.

ᄇ

ᅩᆫ연구에서는다변량 정규공정 Np(µ, Σ)의 모든모수들을 동시에관리하기 위한 다변량 지수가중이 ᄃ

ᅩᆼ평균 (EWMA, exponentially weighted moving average) 관리도를제안하고 제안된관리도의 성능 으

ᆯ모의실험을 통해 평가하였다. 특히 두 품질변수 Xi와 Xj의 선형상관의 정도를 설명하는상관계수 ρij의 작은변화에 민감한 다변량 지수가중이동평균관리도를함께 제안하였고 모의실험을 통해 그 수행 ᄃ

ᅩ (performances)를제시하면서 제안된 관리도들의 성능을비교하였다.

ᄃ

ᅡ변량관리도는 Hotelling (1947)에 의해 최초의 연구가 소개되었고, Alt (1984)와 Jackson (1985)은 ᄃ

ᅡ변량에 대한 많은연구결과들을리뷰하였다. Jeong과 Cho (2012) 그리고 Park과 Cho (2013) 등이 ᄃ

ᅡ변량관리도 절차에 대한 연구를 진행하였으며 Chang (2015)은다변량 정규공정을관리하기 위한 표 보

ᆫ추출간격이 두 개인 경우와 세 개인 경우를고려한 가변추출간격에 대한 연구를수행하였다.

ᄋ

ᅵ 연구에서 우리는다변량 정규공정 Np(µ, Σ)의 평균벡터 µ와 분산-공분산 행렬 Σ의 모든성분인 (p²+ p + 2)/2개의 공정모수들을 동시에관리하기 위한 다변량관리도들을제안하고 제안된다변량관 ᄅ

ᅵ도들의 성능을평가하기 위한 수치적 분석결과를유도하였다.

2. 다변량 관리통계량 ᄋ

ᅧᆫ속인 품질특성치들의관리를위해 표본들간의 추출간격을 일정하게 유지하면서 운용하는고정추출 ᄀ

ᅡᆫ격 (fixed sampling interval; FSI) 관리도가 전통적이고 일상적으로 운용되어왔으며 관리도의 성능 ᄋ

ᅦ 대한 연구들은최근까지 고정추출간격관리도를 중심으로 개발되어왔다.

ᄀ

ᅩ정추출간격 관리도에서, 공정변화가 발생하였을 때부터 관리도가 공정변화에 대한 경보를 제시할 ᄄ

ᅢ까지 추출한 표본의 개수를런길이 (run length; RL)라 하며 런길이의 기댓값을 평균런길이 (ARL, average run length)라 한다. 따라서 고정추출간격관리도에서의 경보시간은관리도가 경보를 줄때까지 ᄎ

ᅮ출한 표본의 수인 평균경보표본수 ANSS 등을 이용하여 평가할 수 있다. 관리도 기법을 운용할 때, ᄆ

ᅢ 추출시점에서 연속변량인 각 품질특성치에 대한 표본의 수로는 보통 4개 또는 5개를 추출하여 운용 ᄒ

ᅡ는것이 일반적이다.

ᄀ

ᅩᆼ정에서 관심이 있는 품질특성치의 수는 p (p ≥ 2)이고, 확률벡터 X = (X1, X2, · · · , Xp)^′는다변 ᄅ

ᅣᆼ 정규분포 Np(µ, Σ)를 따른다고 가정하자. 그리고 표본의 각 추출시점 i (i = 1, 2, 3, · · · ) 에서 추 추

ᆯ한 n개의 서로 독립적인 확률표본 벡터를 X_i로 표현하면 X_i = (X^′_i1, X^′_i2, · · · , X^′_in)^′이고 Xij = (Xij1, Xij2, · · · , Xijp)^′이다. Xi의 jk번째 원소인 Xijk는추출시간 i일 때의 k번째 품질특성치에 대한 j번째관측치이다 (j = 1, 2, · · · , n; k = 1, 2, · · · , p). 따라서확률표본 벡터 Xi는차원이 np × 1인 열 베

ᆨ터이다. 또한 우리는관측값 벡터들간 및관측값 벡터 내의 표본들은서로 독립적인 다변량 정규분포 N (µ, Σ)를따른다고 가정한다.

ᄃ

ᅡ변량 정규공정의 공정모수 θ0 = (µ

0, Σ0)를 p개의 품질특성치에 대한 공정모수들 θ = (µ, Σ)의 알 ᄅ

ᅧ진 목표 공정모수들 (target process parameters)일 때, θ0의 목표 평균벡터 µ₀와 목표 분산-공분산행 려

ᆯ Σ0의 성분들은다음과 같다.

µ0 =











 µ10

µ20

.. . µp0











 , Σ0=













σ²₁₀ ρ120σ10σ20 · · · ρ1p0σ10σp0

ρ120σ10σ20 σ²₂₀ · · · ρ2p0σ20σp0

..

. ... . .. ... ρ1p0σ10σp0 ρ2p0σ20σp0 · · · σ²_p0













ᄋ

ᅵ고 두 품질특성치 X^r과 X^s의 목표 공분산 성분 σrs0= ρrs0σr0σs0(r, s = 1, 2, · · · , p)이다.

보

ᆫ연구에서 제안한 다변량관리도의 수치적 성능을간편하게 유도하기 위해 목표 평균벡터 µ₀ = 0^′, ᄀ

ᅳ리고 목표 분산-공분산 행렬 Σ0의 모든대각성분은 1이며 Σ0의 모든 비대각 성분은모두 0.3이라고 ᄀ

ᅡ정하고 제안된 관리도들의 성능을평가하기 위한 수치적 연산과 비교를 실시하였다.

3. 다변량 슈하르트 관리도 ᄃ

ᅡᆫ일 품질특성치 X가 일변량 정규분포 N(µ, σ²)를 따르는 공정에서 일변량 슈하르트 관리도를 고 ᄅ

ᅧ해보자. (Xi1, Xi2, · · · , Xin)을추출시점 i에서 추출한관측값이고관측값들은평균이 µ이고 분산이 σ²인 서로 독립인 정규분포를따르며 목표값 µ⁰와 σ0²은 µ와 σ²의 알려진 값이라고 가정하자.

Reynolds와 Ghosh (1981)는 품질특성치 X의 평균 µ와 분산 σ²을 동시에관리하기 위한관리통계량 ᄋ

ᅳ로 (3.1)의관리통계량 UVi를사용할 것을제안하였고, UVi는 µ0와 σ0²이 알려졌을때 자유도가 n인 ᄏ

ᅡ이제곱분포를 따른다. 이 관리도는 U Vi가 χ²1−α(n)를 초과하게 될 때 공정이 이상상태라는 경보를 ᄌ

ᅮ게된다. 즉

U Vi=

n

X

j=1

(Xij− µ0)²/σ0²≥ χ²1−α(n) (3.1)

이

ᆯ 때, 경보를주게 되며 χ²1−α(n)는자유도가 n인 χ²분포의 상위 100α% 백분위수이다.

이

ᆯ변량일때의관리통계량 UVi를다변량의 경우로확장하면, 평균벡터 µ와 분산-공분산 행렬 Σ를 동 ᄉ

ᅵ에관리할 수 있는관리통계량 Dⁱ를얻을수 있다.

Di=

n

X

j=1

(X_ij− µ

0)^′Σ⁻¹₀ (X_ij− µ

0). (3.2)

시

ᆨ (3.2)은연산을 통해, 우리는관리통계량 Di = Z_i²+ Vi이 됨을 유도할 수 있으며 Zi² = n( ¯X_i− µ0)^′Σ⁻¹₀ ( ¯X_i−µ

0), Vi= tr(AiΣ⁻¹₀ )이고 Ai=Pn

j=1(X_ij− ¯X_i)(X_ij− ¯X_i)^′. Hotelling (1947)은 통계량 Z_i²을평균벡터 µ를위한관리통계량으로 제안하였고, 통계량 Vi를 분산-공분산 행렬의관리를위한관 ᄅ

ᅵ통계량으로 사용한 선행 연구들도 존재한다. 여기서 Zi²과 Vⁱ는서로 독립이며관리상태인 µ = µ

0이 ᄀ

ᅩ Σ = Σ0일 때 Zi²은 χ²(p)인 분포를따르며 Vi는 χ²((n − 1)p)인 분포를따르게된다.

ᄆ

ᅡᆫ약 공정이 관리상태라면, 관리통계량 Di는 자유도가 np인 카이제곱분포를 따르게 된다. 그러나 ᄀ

ᅩᆼ정평균이 목표 평균벡터인 µ

0에서 µ로 변화하게 되면 Di는 자유도가 np이고 비중심모수가 τ² = n(µ − µ

0)^′Σ⁻¹₀ (µ − µ

0)인 비중심 카이제곱분포를따르게된다.

과

ᆫ리통계량 Di에 기반한 다변량 슈하르트관리도는

Di≥ χ²1−α(np) (3.3)

이

ᆯ 때 경보를 제시하게 되며 통계량 Di가 카이제곱분포를따르므로 Di에 대한 백분위수는카이제곱분 ᄑ

ᅩ를이용해 얻을수 있다.

ᄀ

ᅡ장 널리 적용되는관리도 중의 하나인 슈하르트관리도는관리하려는 공정모수에 대한 공정의 변화 ᄅ

ᅣᆼ이 클때 공정이상의 탐지에 우수한 능력을가진관리도이며 적용하기와 해석이 쉽다는것이 장점으 ᄅ

ᅩ 알려진 관리도이다. 슈하르트관리도는 관리도를이해하기 쉽고 적용이 쉽다는 장점을가지고 있지 ᄆ

ᅡᆫ 현재 시점의 품질정보만을이용하여 공정의 변화를탐지하기 때문에 공정의 변화량이 작거나 서서히 ᄌ

ᅳ

ᆼ가하는 공정의 변화에는상대적으로 비효율적이라고 알려져 있다.

4. 다변량 지수가중이동평균 관리도

Roberts (1959)에 의해 처음소개된지수가중이동평균관리도는 Page (1954)에 의해 처음소개된누 ᄌ

ᅥᆨ합 (cumulative sum; CUSUM)관리도와 비슷한 정도의 성능을가진관리도로 알려져 있으며 공정의 ᄇ

ᅧᆫ화량이 작거나 크지 않은경우에관심이 많를때 우수한 성능을가진관리도로 알려져 있다.

ᄃ

ᅡ변량관리도에서 과거의 품질정보를이용하는두 가지 방법이 있다. 첫 번째는 결합누적방법으로 ᄆ

ᅥᆫ저 관리하려는 공정모수들에 대한 다변량 자료의 품질정보를결합하여 일변량 통계량으로 전환한 뒤 ᄀ

ᅪ거의 품질정보를누적하는방법이다. 두 번째는누적결합방법으로 먼저관리하려는각각의 공정모수 ᄃ

ᅳ

ᆯ에 대한 과거의 품질정보를누적한 다음다변량으로 표현된이 누적값들을 일변량으로 결합하여 일변 ᄅ

ᅣᆼ 통계량으로 전환하는방법이다.

4.1. 결합누적방법을 적용한 다변량 지수가중이동평균 관리도 ᄌ

ᅵ수가중이동평균관리도는 공정변화량이 작거나 크지 않은경우에 공정의 작은변화를 신속히 탐색 ᄒ

ᅡᆯ 수 있도록고안된효과적인관리도 기법으로 최근주목받고 있는 공정관리 도구들 중의 하나이며 최 ᄀ

ᅳᆫ 품질관리 문헌에서 많은관심을받고 있다.

ᄌ

ᅵ수가중이동평균관리도에서는가장 최근의 관측값 정보에 보다 많은가중치를부여하며 과거의 오 ᄅ

ᅢ된 관측값 정보에는보다 작은가중치를부여하여 공정의 변화를탐지하려는관리도 기법이다. Page (1954)가 제안한 누적합관리도와 비교하면 누적지수가중이동평균관리도 역시 슈하르트관리도와 마찬 ᄀ

ᅡ지로 이해과 적용이 쉽다는장점을가지고 있다.

펴

ᆼ균벡터 µ와 분산-공분산 행렬 Σ를 동시에관리하기 위한관리통계량 Dⁱ에 기반한 다변량 지수가중 ᄋ

ᅵ동평균관리도는

YD,i= (1 − λ)YD,i−1+ λDi (4.1) ᄀ

ᅡ 되며 Y^D,0= ω · · · I(ω≥0)이고 λ (0 < λ ≤ 1)는평활상수 (smoothing constant)이다. 이 다변량관 ᄅ

ᅵ도는 YD,i≥ hD일 때 공정이상에 대한 경보를주게된다.

ᄀ

ᅩᆼ정이관리상태이거나 평균 벡터 µ가 변화되었을때, 관리통계량 Di에 기반한 다변량 지수가중이동 펴

ᆼ균관리도의 수행도 (performances)는마코프 체인 방법을이용해 구할 수 있다. 그리고 분산-공분산 ᄒ

ᅢᆼ렬 Σ, µ와 Σ가 변화되었을경우에는모의실험을 통해 수행도를얻을수 있다.

4.2. 누적결합방법을 적용한 지수가중이동평균 관리도 ᄂ

ᅮ적결합방법으로 다변량 정규공정 Np(µ, Σ)의 µ와 Σ를 동시에 관리하는 다변량 관리도의 제안을 ᄋ

ᅱ해 먼저 평균벡터 µ, 분산-공분산 행렬 Σ의 대각성분들인 분산성분들과 품질특성치들의 상관계수들 으

ᆯ누적결합방법으로관리하기 위한 세 개의관리도를각각 제시하고, 그 다음제시된세 개의관리도를 겨

ᆯ합한 3-관리도 결합절차를적용하였다. 3-관리도 결합절차는제시된 세 개의 누적결합방법으로 구성 되

ᆫ다변량관리도중어느 하나라도 공정에 대한 경보를주게 되면 이관리도는경보를주게된다.

평균벡터를 위한 관리도

Lowry 등 (1992)은누적결합방법을이용하여 품질특성치들의 평균벡터를관리하는 MEWMA 관리 ᄃ

ᅩ를 제안하였다. 그가 제안한 평균벡터를관리하기 위한 MEWMA관리도는 Crosier (1988)와 Pig- natiello와 Runger (1990)가 제안한 다변량 CUSUM 통계량들보다 일변량 절차를 좀더 직접적으로 일 ᄇ

ᅡᆫ화한 방법이라고 주장하였다.

Lowry 등 (1992)에 의해 제안된 평균벡터를 위한 MEWMA 관리도는 일변량 지수가중이동평균을 ᄃ

ᅡ변량의 경우로확장시킨 것이다. 지수가중이동평균들의 벡터 Yi (i = 1, 2, 3, · · · )는

Y_i= (I − Λ)Y_i−1+ Λ ¯X_i (4.2) ᄅ

ᅩ 정의된다. 여기서 ¯X_i는추출시점 i에서의 p개 품질특성치들의 표본평균 벡터이고, Y0= µ

0이며 평 화

ᆯ행렬 Λ = diag(λ1, · · · , λp) (0 < λj ≤ 1 : j = 1, 2, · · · , p)이다. 반복연산으로 식 (4.2)는다음과 같 ᄋ

ᅵ 재표현할 수 있다.

Y_i=

i

X

k=1

Λ(I − Λ)^i−kX¯_i+ (I − Λ)ⁱµ

0

ᄀ

ᅳ러면 분산-공분산 행렬 Σ가 알려져 있을 때, 지수가중이동평균들의 벡터 Yi의 분산-공분산 행렬 ΣY_i는다음과 같이 유도된다.

ΣY_i=

i

X

k=1

V ar(Λ(I − Λ)^i−kX¯_i) =

i

X

k=1

n · [Λ(I − Λ)^i−kΣ(I − Λ)^i−kΛ], (4.3)

펴

ᆼ균벡터 µ의관리를위한 MEWMA관리도는

T_1,i² = (Y_i− µ

0)^′ΣY_i(Y_i− µ

0) > h1

이

ᆯ 때, 경보를 주게 되며 h¹(> 0)은 관리상태에서 지정된 특정한 ARL을만족하는값으로 모의실험을 ᄋ

ᅵ용해 얻을수 있다. 만약관리하려는 p개의 공정평균 µi에 대한 평활계수들이 모두 달라야할 명확한 ᄋ

ᅵ유가 없다면 대각행렬인 상관행렬 Λ의 모든대각성분들을같은값으로 할 수도 있을것이다. 평활행 려

ᆯ Λ의 대각성분 λ1= λ2= · · · = λp= λ라는가정에서, MEWMA 벡터 Yi(i = 1, 2, 3, · · · )는다음과 ᄀ

ᅡ

ᇀ이 표현할 수 있으므로

Y_i= (1 − λ)Y_i−1+ λ ¯X_i ᄋ

ᅵ 되고, Yi의 분산-공분산 행렬은다음과 같다.

ΣY_i= λ 2 − λ

n

1 − (1 − λ)²ⁱoΣ n. ᄄ

ᅩ한 Lowry 등 (1992)은 T_1,i² 의 분포는오직 비중심모수 τ = n n(µ− µ

0)^′Σ⁻¹(µ− µ

0)o1/2

르 ᆯ 통해 ᄉ

ᅥ만 µ와 Σ에 의존한다는것과, 평활상수 λ의 값이 작을때 MEWMA관리도가 평균벡터의 작은변화 ᄋ

ᅦ 더욱효율적인관리도가된다는것을모의실험을 통해 보였다.

Σ의 분산성분들을 위한 관리도 이

ᆯ변량 정규분포 N(µ, σ²)을 따르는 품질특성치의 분산 σ²을관리하기 위한 지수가중이동평균관리 ᄃ

ᅩ

Yi= (1 − λ)Yi−1+ λ

n

X

j=1

 Xij− µ0

σ0

2

(4.4)

르

ᆯ구성할 수 있으며, 여기서 µ0와 σ0²은알려진 모수들이고 0 < λ ≤ 1이다. 식 (4.4)에 대한 반복연산 ᄋ

ᅳᆯ 통해 다음과 같은결과를유도할 수 있다.

Yi= (1 − λ)ⁱY0+

i

X

k=1

λ(1 − λ)^i−k

n

X

j=1

 Xkj− µ0

σ0

2

.

ᄌ

ᅥᆫ술한 σ²의 관리를 위한 일변량 지수가중이동평균 관리도를 각각의 품질특성치에 대한 σ²i (i = 1, 2, · · · , p)을 동시에 관리하기 위해 누적결합방법의 경우로 확장한다면 p개의 분산성분들을 위한 다 ᄇ

ᅧᆫ량 지수가중이동평균관리도를구성할 수 있다. 다변량의 경우, 지수가중이동평균들의 벡터 Yi는

Y_i=











 Yi1

Yi2

.. . Yip













=

















(1 − λ1)ⁱY10+Pi

k=1λ1(1 − λ1)^i−kh Pn

j=1(^Xkj1−µ01_σ

01 )²− ni (1 − λ2)ⁱY20+Pi

k=1λ2(1 − λ2)^i−kh Pn

j=1(^Xkj2−µ02_σ

02 )²− ni ..

. (1 − λp)ⁱYp0+Pi

k=1λp(1 − λp)^i−kh Pn

j=1(^Xkjp−µ0p_σ

0p )² − ni

















ᄋ

ᅪ 같이 정의할 수 있으며 0 < λl≤ 1 (l = 1, 2, · · · , p : i = 1, 2, · · · )이다.

ᄀ

ᅳ러면 다변량 지수가중이동평균 벡터 Yi는

Y_i= (I − Λ)Y_i−1+ ΛZ_i (4.5) ᄋ

ᅪ 같이 나타낼 수 있으며, 여기서 Y0= 0, Z_i= (Zi1, Zi2, · · · , Zip)^′이고 Z^il=Pn j=1

_X

ijl−µ_0l σ_0l

2

− n (l = 1, 2, · · · , p)이다. 식 (4.5)에 대한 반복연산을 통하여 Yi는

Table 4.1 ARL values for multivariate charts based on D

(p=4)

Shewhart Chart EWMA Chart EWMA Chart EWMA Chart (λ = 0.1) (λ = 0.21) (λ = 0.3)

in-control state 200.00 200.00 200.00 200.00

τ = 0.5 173.44 153.20 155.85 159.46

τ = 1.0 116.91 83.29 83.22 88.14

τ = 1.5 66.19 45.48 40.09 41.65

τ = 2.0 34.25 28.88 21.71 20.77

τ = 2.5 17.38 20.65 13.84 12.07

τ = 3.0 9.10 15.82 9.91 8.08

τ = 3.5 5.09 12.63 7.62 5.96

τ = 4.0 3.11 10.37 6.12 4.68

σ

= 1.1 108.26 80.02 78.40 82.79

σ

= 1.2 58.38 45.20 39.28 39.78

σ

= 1.3 32.38 31.52 23.89 22.83

σ

= 1.4 19.02 29.84 17.01 15.23

σ

= 1.5 12.05 20.05 13.21 11.25

σ

= 1.6 8.27 17.07 10.81 8.84

σ

= 1.7 6.05 14.81 9.16 7.27

σ

= 1.8 4.62 13.07 7.94 6.22

Y_i=

i

X

k=1

Λ(I − Λ)^i−kZ_i+ (I − Λ)ⁱY₀

ᄋ

ᅪ 같이 재표현할 수 있으며 이때 평활행렬 Λ = diag(λ1, λ2, · · · , λp)이고 0 < λ^j ≤ 1 (j = 1, 2, · · · , p)이다. 그러면 공정이관리상태일 때 Yi의 분산-공분산 행렬 ΣY_i는

ΣY_i=

i

X

k=1

Λ(I − Λ)^i−kΣZ(I − Λ)^i−kΛ

와 같이 유도할 수 있으므로 Z의 분산-공분산행렬 ΣZ를유도하면 ΣZ = 2nR⁽²⁾이된다. 여기서 대칭 ᄒ

ᅢᆼ렬 R⁽²⁾는 (i, j)번째 성분이 X = (X1, X2, · · · , Xp)의 상관행렬 R의 (i, j) 성분의 2승이 되는 행렬이 ᄃ

ᅡ.

ᄂ

ᅮ적결합방법을적용한 분산성분들의관리를위한 이 다변량 지수가중평균관리도는

T2,i² = Y^′_iΣ⁻¹_Y

iY_i> h2

이

ᆯ 때 경보를제시하게 되며 h2(> 0)는관리상태에서 지정된 특정한 ARL을만족하는값으로 모의실험 으

ᆯ 통해 얻을수 있다. 평활행렬 Λ의 대각성분 λ1= λ2= · · · = λp= λ라는가정에서, Yi의 분산-공분 ᄉ

ᅡᆫ 행렬 ΣY_i는

ΣY_i =λ[1 − (1 − λ)²ⁱ]

2 − λ · ΣZ (4.6)

ᄋ

ᅪ 같이 나타낼 수 있다.

Σ의 상관계수 성분들을 위한 관리도 ᄆ

ᅥᆫ저 두 품질특성치 X1과 X2의 상관계수 ρ12를 관리하기 위한 일변량 지수가중이동평균관리도를 새

ᆼ각해보자. Stuart (1955)는이변량 정규분포 N2(µ1, µ2, σ²₁, σ₂², ρ12)의 네 모수 µ1, µ2, σ₁², σ₂²이 모두 ᄋ

ᅡ

ᆯ려져 있을때, 상관계수 ρ12의 추정량 r12를제안하였으며 다음과 같다.

r12=

n

X

j=1

(xj− µ1)(yj− µ2) nσ1σ2

.

ρ12의관리를위한 통계량 r12에 기반한 지수가중이동평균관리도의 Yi(i = 1, 2, 3, · · · )는

Yi= (1 − λ)Yi−1+ λ Pn

j=1(Xij1− µ10)(Xij2− µ20) nσ10σ20

(4.7) ᄀ

ᅪ 같이 구성할 수 있으며, 0 < λ ≤ 1이다. 식 (4.7)에 대한 반복연산을 통해

Yi= (1 − λ)ⁱY0+

i

X

k=1

λ(1 − λ)^i−kZk

ᄋ

ᅪ 같이 재표현할 수 있으며 Zk=Pn

j=1(Xkj1− µ10)(Xkj2− µ20)/nσ10σ20이다.

부

ᆫ산-공분산 행렬 Σ의 모든 상관계수 성분들을 동시에 관리하기 위한 다변량 관리도는 ρ12를 위한 이

ᆯ변량 관리도를 다변량 관리도를 위한 경우로 확장하면 가능해 진다. 다변량 경우로 확장하기 위해 ρlm을위한관리통계량을 rlm으로 두면 Σ의 모든상관계수 성분 s (= p(p − 1)/2)개를관리하기 위한 ᄌ

ᅵ수가중이동평균 벡터는다음과 같이 정의할 수 있다.

Y^′_I=(r12, r13, · · · , r1p, r23, · · · , r2p, · · · , rp−1,p−2, rp−1,p)^′

=(Yi1, Yi2, · · · , Yi,p−1, Yip, · · · , Yi,2p−3, · · · , Yi,s−1, Yi,s)^′. ᄀ

ᅳ러면 열벡터 Yi(i = 1, 2, 3 · · · )는다음과 같이 재표현할 수 있으며

Y_i=





































(1 − λ1)ⁱYi10+Pi

k=1λ1(1 − λ1)^i−kZk12

.. . (1 − λp−1)ⁱYi,p−1,0+Pi

k=1λp−1(1 − λp−1)^i−kZk1p

(1 − λp)ⁱYi,p,0+Pi

k=1λp(1 − λp)^i−kZk23

.. . (1 − λ2p−3)ⁱYi,2p−3,0+Pi

k=1λ2p−3(1 − λ2p−3)^i−kZk2p

.. . (1 − λs)Yi,s,0+Pi

k=1λs(1 − λs)^i−kZk,p−1,p



































 ,

s = p(p − 1)/2이고 0 < λa≤ 1 (a = 1, 2, · · · , s)이다.

ᄄ

ᅡ라서 다변량 지수가중이동평균 벡터는

Y_i=

i

X

k=1

Λ(I − Λ)^i−kZ_k+ (I − Λ)ⁱY₀ (4.8)

ᄋ

ᅪ 같이 표현할 수 있으며

Z_k= (Zk1, Zk2, · · · , Zks)^′= (Zk12, Zk13, · · · , Zk1p, Zk23, · · · , Zk2p, · · · , Zk,p−1,p)^′, ᄋ

ᅧ기서 Zkmu =

Pn

j=1(X_kjm−µ_m0)(X_kju−µ_u0)

nσ_m0σ_u0 − ρmu0 (m ̸= u), 평활행렬 Λ = diag(λ1, λ2, · · · , λs), 0 < λj≤ 1 (j = 1, 2, · · · , s)이다. s개의 평활상수 λ1= λ2= · · · = λs= λ의 가정에서 (4.8)의 다변량 ᄌ

ᅵ수가중이동평균 벡터 Yi는다음과 같이 표현할 수 있다.

Y_i= (1 − λ)Y_i−1+ λZ_i=

i

X

k=1

λ(1 − λ)^i−kZ_k+ (1 − λ)ⁱY₀.

ᄉ

ᅡᆼ관계수들의 벡터 ρ = (ρ12, ρ13, · · · , ρ1p, ρ23, · · · , ρ2p, · · · , ρp−1,p)를 동시에관리하기 위한 다변량 ᄌ

ᅵ수가중이동평균관리도는

T3,i² = Y^′_iΣ⁻¹_Y

iY_i> h3

이

ᆯ 때 경보를주게 되며 ΣY_i는차원이 s × s인 다변량 지수가중이동평균 벡터 Yi의 분산-공분산 행렬이 ᄃ

ᅡ. 공정이관리상태이고 Y0= 0일 때, Yi의 분산공분산 행렬 ΣY_i는다음과 같다.

ΣY_i= λ[1 − (1 − λ)²ⁱ] 2 − λ



· ΣZ

ᄋ

ᅵ고, Σ^Z에서 첨자 p, q, r과 w는모두 다를때

ΣZ=













V ar(Zi12) Cov(Zi12, Zi13) · · · Cov(Zi12, Zi,p−1,p) V ar(Zi13) · · · Cov(Zi13, Zi,p−1,p)

. .. ... Sym V ar(Zi,p−1,p)













ᄋ ᅵ 되며

V ar(Zipq) =1 + ρ²_pq0

n , Cov(Zipq, Zipr) = ρqr0+ ρpq0ρpr0

n ,

Cov(Zipq, Zirw) = ρpr0ρqw0+ ρpw0ρqr0

n .

ᄂ

ᅮ적결합방법을 적용하여 평균벡터 µ, 분산-공분산 행렬 Σ의 대각성분들인 분산성분들과 품질상관 ᄀ

ᅨ수들을 동시에 관리하기 위한 세 개의 다변량 지수가중이동평균 관리도를 결합하여 운용하는 이 지

ᄉ

ᅮ가중이동평균 관리도는 T_1,i² > h1 또는 T_2,i² > h2 또는 T_3,i² > h3일 때 경보를 주게 된다. 즉 제 ᄋ

ᅡᆫ된 세 개의 관리도중 어느 하나라도 공정변화에 대한 경보를주게 되면 관리도는 경보를 주게 된다.

(T1,i² , T2,i² , T3,i² )에 기반한 이관리도는평균벡터, 분산성분, 상관계수성분을위한 각각의관리도가 경보 르

ᆯ 줄확률이 각각 α1, α2, α3일 때, 전체적인 오경보확률은 1 − (1 − α1)(1 − α2)(1 − α3)가된다. 통 ᄀ

ᅨ량 T1,i² , T_2,i² 과 T3,i² 의 정확한 결합확률분포를구하는얻는것이 어려우므로 우리는관리를위한 모수 h1, h2와 h³를모의실험을 통해 얻는다.

Table 4.2 ARL values for multivariate EWMA chart based on (T

, T

, T

) (p=4) combined EWMA combined EWMA combined EWMA

(λ = 0.1) (λ = 0.2) (λ = 0.3)

in-control state 200.05 199.95 200.08

τ = 0.5 182.03 189.45 191.83

τ = 1.0 140.89 162.05 172.80

τ = 1.5 97.27 126.13 143.17

τ = 2.0 63.64 93.18 113.38

τ = 2.5 42.36 64.68 85.41

τ = 3.0 29.86 44.90 62.87

τ = 3.5 22.39 32.69 45.12

τ = 4.0 17.42 24.36 33.37

τ = 4.5 13.92 18.69 25.20

τ = 5.0 11.45 14.71 19.59

σ = 1.1 63.52 81.56 91.62

σ = 1.2 20.79 27.69 34.20

σ = 1.3 10.26 12.95 15.69

σ = 1.4 6.35 7.59 8.92

σ = 1.5 4.44 5.17 5.87

σ = 1.6 3.37 3.83 4.27

σ = 1.7 2.71 3.04 3.33

σ = 1.8 2.30 2.53 2.73

ρ

= 0.4 142.25 168.22 178.93

ρ

= 0.5 58.55 94.10 119.83

ρ

= 0.6 27.15 45.40 66.63

ρ

= 0.7 15.69 24.25 36.10

ρ

= 0.8 10.63 14.78 21.36

5. 결론 ᄌ

ᅦ안된다변량관리도들의 수행도와 다변량 슈하르트관리도, A-C 및 C-A 지수가중이동평균관리도 ᄋ

ᅴ 성능비교를위한 기준들이 필요하다. 본 논문에서 간편한 모의실험의 계산을위해 고정된단위시간 ᄋ

ᅴ 추출간격 d = 1,관리상태에서의 각 다변량관리도의 평균런길이 (ARL)는 200으로 두었다. 그리고 ᄑ

ᅮᆷ질특성치의 수 p = 2와 4일 때의 각 품질특성치에 대한 표본크기 n = 5로 두고 수치적 수행도를구하 ᄋ

ᅧᆻ다.

ᄎ

ᅬ근 공정의 작은변화를 신속하게 탐지하기 위한관리도 기법들이 많은관심을받고 있으므로, 이 연 ᄀ

ᅮ에서 제안한 관리도들의 성능과 성능비교를위한 이상상태에서의 공정 모수들의 변화량은 µ와 Σ의 ᄋ

ᅧ러 성분들 중 비중심모수 τ = n n(µ − µ

0)^′Σ⁻¹(µ − µ

0)o1/2

ᄋ

ᅴ 크기를 고려한 µ1, σ1과 ρij의 변화 ᄋ

ᅪ 같이 하나의 모수만이 변화하여 이상상태가 되는상황을고려하여 수치적 성질을 탐색하였다. 제안 ᄒ

ᅡᆫ 지수가중이동평균관리도의 성능평가를위해서는평활상수들이 결정된후, 각관리통계량에 기반한 ᄃ

ᅡ변량관리도의관리상한값 h는반복수가 10000인 모의실험 또는 r = 100인 마코프 체인 방법을이용

ᄒ

ᅡ여 구하였다. 본연구에서 제안한 다변량관리도들의 성질을파악하기 위한 모의실험의 결과를 Table 4.1과 Table 4.2에 나타내었다. 수치분석의 결과, 누적결합방법을적용한 다변량 지수가중이동평균 관 ᄅ

ᅵ도가 결합누적방법을적용한관리도 보다 공정변화의 탐지에 더 민감하였으며 지수가중이동평균의 평 화

ᆯ계수 λ 작으면 공정의 작은변화에 그리고 평활계수 λ 크면큰 공정변화에 더 효과적인관리도가 된 ᄃ

ᅡ는점을확인할 수 있었다.

ᄆ

ᅩ의실험결과, 식 (3.2)의 관리통계량 Dⁱ에 기반한 슈하르트 관리도와 지수가중이동평균 관리도는 ᄃ

ᅮ 품질특성치들의 상관계수 ρ^ij가 작은변화가 발생하더라도 평균런길이 ARL은관리상태에서의 ARL 200보다 현저히 높은 ARL이 나타나는것으로 판단되어 품질특성치들의 상관계수들을관리하는관리통 ᄀ

ᅨ량으로는추천하기 어렵다는결론을얻었다.

ᄆ

ᅩ의실험의 수치분석 결과 공정변화량이 작거나 적당한 경우에는지수가중이동평균관리도가 공정변 ᄒ

ᅪ를 보다 신속히 탐지하는데 효과적이었으며 공정변화가 크게 발생한 경우에는슈하르트관리도가 더 ᄒ

ᅭ과적임을확인할 수 있었다.

ᄀ

ᅳ리고 지수가중이동평균관리도의 평활상수 λ가 작을때는 공정의 작은 변화에 더 효과적인관리도 ᄀ

ᅡ 되며 λ가큰경우에는 공정의 작은변화보다는큰 공정변화를탐지하는데 더 효과적임을알 수 있었 ᄃ

ᅡ.

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2020, 31

1)

51–63

Multivariate EWMA charts with accumulate-combine method for multivariate normal process ^†

Duk-Joon Chang

¹

1Department of Statistics, Changwon National University

Received 31 December 2019, revised 8 January 2020, accepted 8 January 2020

Abstract

This research presents three multivariate EWMA (exponentially weighted moving average) charts using accumulate-combine method to control simultaneously both mean vector µ and variance-covariance matrix Σ, which are parameters of multivariate normal process Np(µ, Σ) with p (p ≥ 2) quality characteristics, and presents the 3-chart com- bining procedure which combines the three multivariate EWMA charts to one chart.

In addition, this research also shows the numerical performances of the 3-chart combin- ing procedure using simulation works. Simulation results shows that the multivariate EWMA chart using accumulate-combine method is more effective than the multivari- ate EWMA chart using combine-accumulate method, and that the multivariate EWMA chart with small smoothing constant λ is more sensitive to smaller shift. Especially, in case of interests of the change of correlation coefficients of quality variables both the multivariate Shewhart chart and the EWMA chart based on control statistic Di are not recommendable for detecting the process changing.

Keywords: Accumulate-combine method, ANSS, ARL, combine-accumulate method, 3-chart combining procedure.

†

This research was supported by Changwon National University in 2019∼2020.

1

Professor, Department of Statistics, Changwon National University, Changwon 51140, Korea.

E-mail: [email protected]