Quantum Action-angle Variables

(1)

Quantum Action-angle Variables

Kyu Hwang Yeon ^∗ · Eun Ji Lim

Department of Physics, Chungbuk National University, Cheonju 361-763, Korea (Received 1 April 2013 : revised 13 April 2013 : accepted 7 May 2013)

There are innumerable classical Hamiltonians which give rise to one classical equation of motion.

These Hamiltonians are connected by canonical transformation, but they can not be distinguished by the classical equation motion. However, each of the quantum Hamiltonian systems corresponding to those classical Hamiltonians are distinguishable quantum mechanically and they are connected by various unitary transformations respectively. Action-angle variables of a system are canonical variables and are connected to other canonical variables, which gives the equation of motion canon- ically. If we use the action-angle variables in classical mechanics, we can calculate the frequencies in a closed system without solving the classical equations of motion. By treating the quantum action- angle variables, we can calculate the energy eigenvalues without a direct solution of the Schrodinger equations for the system. In this work, we treated a quantum harmonic oscillator in one and two dimensions respectively, and we also treated an infinite quantum potential well as an example.

PACS numbers: 03.65.Ge, 03.65.Fd, 03.65.Ca

Keywords: Canonical transformation, Hamilton-Jacobi theory, Quantum action-angle variables, Quantum harmonic oscillator in two dimensions

W

ë s X c l Ó Þ-P c l ì Å ¤

a :

@¦ % · n

∗ · »ª <U

Ø

æ· ¡ ¤ @ / < Æ § Ó ü t o < Æõ , ' õ AÅ Ò 361-763

(2013¸ 4 Z 4 1{ 9 ~ Ã Î6 £ §, 2013¸ 4 Z 4 13{ 9 Ã º& ñ : r ~ Ã Î6 £ §, 2013¸ 5 Z 4 7{ 9 > F S X & ñ )

¦ % i < Æ\ " f > _ 6 x- y Ã º H & ñ ï r Ã ºs 9 > _ î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ Í Ç x~ É r & ñ ï r Ã º[ þ t õ

& ñ ï r ¨ 8 Ü ¼ Ð ÷ &# Qe . { 2 ³ Ð > r > _ 6 x- y Ã º\ ¦ 2 [/ å L > _ î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ f ] X Û

¦ t · ú § ¦ ¸ > _ 1 l x Ã º\ ¦ % 3 ` ¦ Ã º e H © & h s e . { 2 ³ Ð > r ª > _ ª 6 x- y Ã º_ 2 [ /

å

L Ü ¼ Ð / 'ø @` ç ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ Û ¦ t · ú § ¦ ¸ f ] X \ -t ¦Ä »u \ ¦ % 3 ` ¦ Ã º e 6 £ §` ¦ Ð .

PACS numbers: 03.65.Ge, 03.65.Fd, 03.65.Ca

Keywords: & ñ ï r ¨ 8 , K x 9 ïq s : r, ª 6 x-y Ã º, 2 " é ¶ ª ¸ o 1 l x

I. " e Â ] Ø

K

x 9 Ðm î ß / B Nd É r > _ î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d _ > í ß ` ¦ Ð

~ 1

> ½ + É 3 l q& h Ü ¼ Ð 6 x t ë ß Õ ª כ _ + þ Ad & h ½ ¨ ¸_ s

∗

E-mail: [email protected]

K

H ¦ % i < Æ_ U · É r : x ¹ 1 Ï§ 4 ` ¦ % 3 > ô Ç . ô Ç > _ % i

< Æ © I \ ¦ ? /l 0 AK " f H > _ Ä » ¸ Ã ºë ß p u _ 1 l q w n

) a { 9 ì ø Í o ý a³ ð 9 כ ¹ ¦, > _ î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d É r Õ ª { 9 ì

ø Í o ý a³ ð\ _ # ? / . K x 9 ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ s 6 x

# > _ K x 9 Ðm î ß Ü ¼ Ð Â Ò' Õ ª > _ î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ` ¦

524

(2)

½

¨Ù þ ¡ , Ä ºo H Õ ª > \ ¦ Í Ç x~ { 9 ì ø Í o ý a³ ðü < Õ ª כ _

{ 9 ì ø Í o î r1 l x | ¾ Ó` ¦ & ñ ï r Ã º Â Ò É r [1–3].

#

Q " > \ ¦ ? / H ô Ç & ñ ï r Ã º ¸ (ì)ü < É r ¢ ¸ H Õ

ª > \ ¦ ? / H ô Ç Ã º ¸ (ì)[ þ t s " f Ð & ñ g Ë : < ÊÃ º

'

a > Ð ) a Ä ºo H Õ ª ' a > d ` ¦ & ñ ï r ¨ 8 s Â

Ò É r . & ñ ï r ¨ 8 × æ \ H & ñ ï r Ã º Õ ª ^ Ð ¨ 8 ÷ & H 1

l x{ 9 & ñ ï r ¨ 8 , ô Ç ¸ (ì)_ { 9 ì ø Í o ý a³ ð\ " f É r ô Ç ¸ (ì) _ { 9 ì ø Í o ý a³ ð Ð ¨ 8 ÷ & H & h & ñ ï r ¨ 8 , { 9 ì ø Í oý a

³

ðü < @ /6 £ x ÷ & H { 9 ì ø Í o î r1 l x | ¾ Ó` ¦ " f Ð § ¨ 8 > H §

¨ 8

& ñ ï r ¨ 8 1 p x _ : £ ¤Z > ô Ç & ñ ï r ¨ 8 [ þ t s e [1–3].

&

ñ ï r ¨ 8 É r í 5 Å x F c ñ\ ' a # Ô ¦ s ¦, Õ ª| ½ Ó t

F c ñ\ ' a # ¸ Ô ¦ e É r ¸ ú · ú 94 R e . ¢ ¸ô Ç, > _

¿ º É r & ñ ï r Ã º ¸ Ð · p 0 A © / B N ç ß _ ^ & h è[ þ t

¨ 8 ' a > \ " f ïq î ß ' § > =d É r 1 s H d ¸ ¸ ú · ú 94 R e

. & ñ ï r Ã ºs : r \ " f K x 9 Ðm î ß É r r ç ß \ @ /ô Ç > î r 1

l

x _ ¸ < ÊÃ ºe ` ¦ Ð# Å Ò ¦, K x 9 Ðm î ß ` ¦ Ô ¦ Ü ¼ Ð z l

H p è& ñ ï r ¨ 8 _ ¸ < ÊÃ º H î r1 l x © Ã º H d ¸ 7 £ x" î

)

a [1,2].

K

x 9 - ïq s : r É r K x 9 Ðm î ß ? /\ " f > _ Ã º [

þ

t s ¸¿ º í H¨ 8 & ñ ï r Ã º[ þ t` ¦ % 3 & ñ ï r Ã º ¸¿ º

© Ã º ¨ 8 ` ¦ % 3 H & ñ ï r ¨ 8 _ 2 [/ å L Ü ¼ Ð ¨ 8 Ê ê > _ K

ÐÂ Ò' ¨ 8 > _ î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d _ Û ¦ s \ ¦ % 3 > F K K ï

r [1,3].

>

{ ) e ¦ Å Òl & h î r1 l x` ¦ ô Ç 6 x- y Ã º s

: r` ¦ & h 6 x ½ + É Ã º e . 6 x- y Ã º ¸ { 9 7 á x _ & ñ ï r Ã º s

. s M : ¨ 8 É r Å Òl 1 y Ã ºü < s \ @ /6 £ x

H 6 x Ã º\ ¦ ¸{ 9 ô Ç, K x 9 Ðm î ß s © Ã º ÷ & H & ñ ï r

¨ 8 s . s ¨ 8 ` ¦ s 6 x f ] X & h î r1 l x p ì r ~ ½ Ó& ñ d

` ¦ > í ß t · ú § ¦ > _ 1 l x Ã º\ ¦ % 3 ` ¦ Ã º e > F K H

כ

s © & h s [1,3].

ô

Ç > \ ¦ ? / H K x 9 Ðm î ß É r m ¦ Á ºÃ º y

´ ú § . \ V\ ¦ [ þ t K x 9 ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ s 6 x # ¸ o 1

l

x _ î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ Å Ò H K x 9 Ðm î ß É r î r1 l x \ -t ü <

(

J $ [ > \ -t \ ¦ 8ô Ç ¸ ª Ü ¼ Ð ÷ &# Qe H כ m

. 8 & ñ S X y ´ ú { 9 ì ø Í o ý a³ ð H Õ ª ^ Ð ¨ 8 r

v ¦ { 9 ì ø Í o î r1 l x | ¾ Ó É r É r כ Ü ¼ Ð ¨ 8 r v H & ñ ï r

¨ 8 É r ¸¿ º ô Ç î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ ï r . Õ ªX O > ¨ 8 r v

H ¨ 8 É r Á ºÃ ºy ´ ú §s ë ß [ þ t Ã º e Ü ¼Ù ¼ Ð ° ú É r ¦ î r 1

l

x ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ Å Ò H ô Ç > _ K x 9 Ðm î ß É r Á ºÃ ºy ´ ú § [4, 5].

s

ü < ° ú É r ¦ % i < Æ_ + þ Ad & h ½ ¨ ¸_ s K \ ¦ ½ ÓÜ ¼

Ð K x 9 Ðm î ß / B Nd [ þ t s : x > % i < Æõ ª % i < Æ_ @ /\ ¦ s

À Ò ¦ µ 1 Ï K M ® o6 £ §` ¦ Ä ºo H ¸ ú · ú ¦ e . ¢ ¸ô Ç Ä ºo

H Ä ºo _ â + « > [ j> Ð s K ½ + É Ã º \ O H ª % i < Æ& h K

$ 3

É r @ /6 £ x ÷ & H ¦ % i < Æ K $ 3 Ü ¼ ÐÂ Ò' Ø ¦ µ 1 Ï, s K ô Ç [7–9].

Ä

ºo H ¦ % i < Æ\ " f & ñ ï r ¨ 8 Ü ¼ Ð " f Ð ) a > [

þ

t É r ª % i < Æ\ " f # Q " ' a > \ e Ü ¼ 9 ¢ ¸ô Ç & ñ ï r ¨ 8

^ H ª % i < Æ& h Ü ¼ Ð # Q " כ \ @ /6 £ x ÷ & H \ ¦ _ ë H K

^

¦ Ã º e . > _ % i < Æ © I ô Ç ý a³ ðü < { 9 ì ø Í o î r1 l x | ¾ Ó

¸ Ð ? / @ /6 £ x ÷ & H ª > _ í ß [ þ t É r ¦

> _ & ñ ï r Ã º[ þ t \ @ /6 £ x ÷ & 9, Õ ª í ß [ þ t Ð % 3 # Q

§ ¨ 8 H d É r ª % i < Æ_ l : r & ñ [ þ t ÐÂ Ò' % 3 # Q [3–5,8].

#

Q* ô Ç > \ ¸ Á ºÃ ºy ´ ú § É r & ñ ï r Ã º ¸ e H X <, ½ ¨ Z >

÷ & H ¸ H & ñ ï r Ã º ¸[ þ t \ " f ¸ @ /6 £ x ÷ & H í ß [ þ t s

° ú É r + þ Ad Ü ¼ Ð % 3 # Q| 9 Ã º e ` ¦ ? r ç ß \ _ > r t

· ú

§ H & ñ ï r & h ¨ 8 \ " f K x 9 Ðm î ß É r Ô ¦ ô Ç [1,2]. s

â

Ä º & ñ ï r & h ¨ 8 ` ¦ ô Ç @ /6 £ x ÷ & H & ñ ï r Ã º[ þ t É r y y

_ @ /6 £ x í ß Ð ¸ ú Ü ¼ ) a H כ É r ¸ ú · ú 94 R e [1]. f y ý a³ ð\ " f ½ ¨F G ý a³ ð Ð_ ý a³ ð ¨ 8 s s â Ä º_ ô

Ç \ V{ 9 כ s . { 9 ì ø Í& h Ü ¼ Ð r ç ß \ _ > r H & ñ ï r ¨ 8

É

r ¨ 8 Ê ê\ K x 9 Ðm î ß s ô Ç [1,2]. s â Ä º Ä ºo

H · ú ¡ ½ ¨\ " f > + þ A & h ¨ 8 ` ¦ s Ò ¦ M :\ H r ç

ß \ _ > r t · ú § H & ñ ï r & h ¨ 8 \ " f% ! 3 @ /6 £ x ÷ & H & ñ ï

r Ã º[ þ t É r y y _ @ /6 £ x í ß Ð ¸ ú Ü ¼ H d` ¦ Ð% i [10].

· ú

¡\ " f ô Ç ¦ î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ Å Ò H Á ºÃ ºy ´ ú § É r ¦ K

x 9 Ðm î ß s e ¦ Ù þ ¡ H X <, s כ [ þ t É r ª % i < Æ& h Ü ¼ Ð

#

Qb G> ½ ¨Z > ÷ & H \ ¦ : r ½ ¨\ " f Ð{ 9 כ s ¦ ¢ ¸ô Ç 6

x- y & ñ ï r Ã º\ @ /6 £ x ÷ & H ª 6 x- y Ã º\ ¦ Ò ¦

כ

s . Õ ªo ¦ s ì r _ \ V ÐÂ Ò' ª 6 x- y Ã º

~

½ ÓZ O _ 2 [/ å L õ © & h ` ¦ Ð{ 9 כ s .

II. 4 ; c ì Å+ s Çc Ü R ¤ 6 ~ Æ W ¥ w ¹ Å X N Ë Ç U Ø ì Åò & ÿô p §

>

_ K x 9 Ðm î ß ` ¦ H(q, p, t) . # l \ " f q H q

1

, · · · q

n

` ¦ ? / ¦ p H p

1

, · · · p

n

\ ¦ ? / 9 n É r > _

Ä » ¸ Ã ºs . ë ß K x 9 ~ ½ Ó& ñ d

˙ q

i

= ∂H

∂p

_i

, (1) õ

˙

p

_i

= − ∂H

∂q

i

, (2)

\

¦ s 6 x # H(q, p, t) ÐÂ Ò' > _ i P : î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d F

_i

(q, p

_k

, t) = dp

_ki

dt , (3)

(3)

`

¦ ½ ¨ % i Ä ºo H q ü < p\ ¦ & ñ ï r Ã º Â Ò É r . # l

\ " f

p

k

= m ˙ q, (4)

H Ó ü t o î r1 l x | ¾ Ós Â ÒØ Ô 9 { 9 ì ø Í& h Ü ¼ Ð & ñ ï r î r1 l x | ¾ Ó pü <

° ú

t H · ú § . ¢ ¸ô Ç H(q, p, t) ¸ { 9 ì ø Í& h Ü ¼ Ð % i < Æ& h \ - t

Eü < H ° ú t · ú § [1].

ë

ß ¨ 8 ½ ¨> _ K x 9 Ðm î ß s H

¹

(q, p, t) s ¦

¨ 8

Ê ê > _ K x 9 Ðm î ß s H

²

(Q, P, t) ½ + É M :, s ¿ º K

x 9 Ðm î ß Ü ¼ ÐÂ Ò' K x 9 ~ ½ Ó& ñ d (1)õ (2)d ` ¦ s 6 x,

%

3 # Q & ñ ï r Ã º[ þ t _ p ì r î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d _ K \ ¦ Û ¦ # Q Õ ª

כ [ þ t s

Q = Q(q, p, t) P = P (q, p, t), ü

< ¢ ¸ô Ç

q = q(Q, P, t)

p = p(Q, P, t), (5) _

' a > \ ¦ s ê r s ¨ 8 ` ¦ & ñ ï r ¨ 8 s Â Ò É r . & ñ ï

r ¨ 8 ` ¦ s ê r ¿ º & ñ ï r Ã º[ þ t s H í 5 Å x F c ñ

\

' a # Ô ¦ s ¦, Õ ª| ½ Ót F c ñ\ ' a # ¸ Ô ¦ s 9, 0 A © / B N ç ß \ " f ^ & h è & ñ ï r Ô ¦ s . ¢ ¸ô Ç s כ [ þ t

É

r % i ¸ $ í w n 9 " f Ð ° ú 6 £ § s 7 £ x" î ) a [1].

¿

º > s _ & ñ ï r ¨ 8 É r # Q t , # Q + þ AI e

. Ä ºo ¥ y §õ " f\ " f 6 x ¦ e H f y ý a³ ðü <

/

B G ý a³ ð[ þ t s _ ¨ 8 É r ¸¿ º & h & ñ ï r ¨ 8 s . q

i

= Q

i

, p

i

= P

i

\ ¦ s À Ò H 1 l x{ 9 ¨ 8 , q

i

= P

i

, p

i

= −Q

i

Ð s

À Ò# Q § ¨ 8 ¨ 8 ¸ & ñ ï r ¨ 8 s [1,3].

{ 9

ì ø Í& h Ü ¼ Ð î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d (3)` ¦ Å Ò H K x 9 Ðm î ß É r Á º Ã

ºy ´ ú § . 7 £ ¤, # Q " q, p

i

¸ " f Ð & ñ ï r ¨ 8 Ü ¼ Ð ) a



 



 



H

₁

= H

₁

(q, p

₁

, t), H

₂

= H

₂

(q, p

₂

, t),

.. .

H

_i

= H

_i

(q, p

_i

, t), .. .

(6)

É

r ¸¿ º K x 9 ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ s 6 x ô Ç ¦ î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d (3)` ¦ ï r . s K \ ¦ [ v l 0 A # ¸ o 1 l x _ \ V\ ¦ [ þ t

#

Q Ð . [5] Ä ºo Ð: x §õ " f\ " f 6 x H î r1 l x \ - t

ü < 0 Au \ -t _ ½ + ËÜ ¼ Ð s À Ò# Q K x 9 Ðm î ß ,

H

₁

(q, p, t) = p

²

2m + m

2 ω

²

q

²

, (7)

É

r ì r" î y K x 9 ~ ½ Ó& ñ d (1)õ (2)\ ¦ s 6 x ¸ o 1

l

x _ î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d

¨

q + ω

²

q = 0, (8)

`

¦ % 3 > ô Ç . Õ ª X <

H

α

(q, p, t) = p

²

2m + α(t) m qp + 1

2 α

²

(t)

m + ˙ α + mω

²

q

²

, (9)

%

i r K x 9 ~ ½ Ó& ñ d (1)õ (2)\ ¦ s 6 x ¸ o 1 l x _ î

r1 l x ~ ½ Ó& ñ d (8)` ¦ ï r . # l \ " f α(t) H e _ _ r ç ß _

> r © Ã ºs Ù ¼ Ð (9)d Ü ¼ Ð s À Ò# Q K x 9 Ðm î ß É r Á ºÃ º y

´ ú §` ¦ Ã º e . z ´ s ü @\ ¸ # Q + þ AI _ ¸ o 1 l x

_ K x 9 Ðm î ß ` ¦ ë ß [ þ t Ã º e . (7)d _ K x 9 Ðm î ß ` ¦ s

À Ò H & ñ ï r Ã º[ þ t õ (9)d _ K x 9 Ðm î ß ` ¦ s À Ò H & ñ ï

r Ã º[ þ t s H " f Ð 0 Au H ° ú ¦, & ñ ï rî r1 l x | ¾ Ó É r É r

&

ñ ï r ¨ 8 ' a > \ ¦ s ê r .

¦ % i < Æ\ " f H î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d (3)ë ß Ü ¼ Ð î r1 l x` ¦ l Õ ü t

½

+ É Ã º e . î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d (3)Ü ¼ Ð 0 Au ü < Ó ü t o î r1 l x | ¾ Ó` ¦

½

¨½ + É Ã º e t ë ß & ñ ï r î r1 l x | ¾ Ó É r ½ ¨½ + É Ã º \ O . É r ´ ú Ð

¦ % i < Æ\ " f H z ´+ « >& h Ü ¼ Ð & ñ ï r î r1 l x | ¾ Ó` ¦ ½ ¨Z > ½ + É Ã

º \ O . Õ ªo ¦ ¦ & h Ü ¼ Ð ½ ¨Z > ÷ & H, 7 £ ¤ 8 £ ¤& ñ ÷ & H # Q " Ó

ü

t o | ¾ Ó ¸ 0 Au ü < Ó ü t o î r1 l x | ¾ Ó_ < ÊÃ º f (q, p

k

, t) _ + þ A I

Ð s À Ò# Q4 Re . \ V\ ¦ [ þ t z ´+ « >& h Ü ¼ Ð 8 £ ¤& ñ 0 p x ô Ç

%

i < Æ& h \ -t , y î r1 l x | ¾ Ó1 p x É r ì r" î y 0 Au ü < Ó ü t o î r1 l x

|

¾ Ó_ < ÊÃ º Ð s À Ò# Q4 Re . r ´ ú z ´+ « >& h Ü ¼ Ð 8 £ ¤

&

ñ 0 p x ô Ç Ó ü t o | ¾ Ó[ þ t É r & ñ ï r ¨ 8 \ Ô ¦ s .

III. w ¹ Å X c l Ó Þ-P c l ì Å ¤ X N Ë Ç U Ø ì Åò & ÿ § P w

m m X ¢ ; d

K

x 9 Ðm î ß s r ç ß _ Ðe Ã º < ÊÃ º(explicit function)

m K x 9 - ïq ~ ½ Ó& ñ d ,

H

q, ∂W

∂q

= α

₁

, (10)

`

¦ ë ß 7 á ¤ r v H K x 9 : £ ¤$ í < ÊÃ º W (q, α)\ ¦ ½ ¨ # ¸¿ º í

H¨ 8 & ñ ï r Ã º Ð_ & ñ ï r ¨ 8 s ¸¿ º © Ã º Ð_ & ñ ï r

¨ 8 s 0 p x .

K

x 9 Ðm î ß s r ç ß _ Ðe Ã º < ÊÃ º (explicit function) m 9 > 5 Å q ~ Ã Ì÷ &# Qe , { 9 ì ø Í o î r1 l x | ¾ Ós { 9

ì ø Í o ý a³ ð\ Å Òl & h s > H Å Òl & h î r1 l x` ¦ ô Ç

(4)

. s â Ä º > ¢ - a ì r o ) a , 7 £ ¤, K x 9 - ïq ~ ½ Ó

&

ñ d ` ¦ ë ß 7 á ¤ r v H K x 9 : £ ¤$ í < ÊÃ º

W = X

j

W

_j

(q, j; J

₁

, J

₂

, · · · , J

_n

), (11)

_

+ þ AÜ ¼ Ð % 3 # Qt H â Ä º, Ä ºo H > \ (q, p) ⇔ (w, J)

6 x- y Ã º & ñ ï r ¨ 8 ` ¦ & h 6 x ½ + É Ã º e . s â Ä º { 9 ì ø Í

o ý a³ ð\ K { © ÷ & H y Ã º w

i

H I

dw

i

(q) = 1, (12)

`

¦ ë ß 7 á ¤ r v H Å Òl 1 Ã ºs ¦, { 9 ì ø Í o î r1 l x | ¾ Ó\ K

{ © ÷ & H 6 x Ã º J

i

H I

p

_i

dq

_i

=

I ∂W

_i

(q

_i

; α

₁

, · · · , α

_n

)

∂q

i

dq

_i

= J

_i

, (13) Ü

¼ Ð & ñ _ ) a . Å Ò# Q (11)d ` ¦ (13)d \ @ /{ 9 # & ñ o

í H¨ 8 ý a³ ð Ð ³ ðr ) a H = H(J

₁

, · · · , J

_n

) ¨ 8 Ê ê

>

_ K x 9 Ðm î ß ` ¦ ½ ¨½ + É Ã º e . ½ ¨ # K x 9 Ðm î ß

\

_ #

ν

_i

= ∂H

∂J

i

, (14)

\

¦ s 6 x > _ 1 l x Ã º\ ¦ ½ ¨½ + É Ã º e . s כ É r p ì r ~ ½ Ó

&

ñ d + þ AI z ´] j î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ f ] X Û ¦ t · ú § ¦ > _ 1

l

x Ã º (14)d ` ¦ % 3 H H כ s © & h s . { 9 ì ø Í& h Ü ¼ Ð 1

l

x Ã º H ν

i

= ν

i

(J ) Ð % 3 # Qf ` ¦ · ú Ã º e [1,3].

ª 6 x- y Ã º_ 2 [/ å L \ ¸¹ ¡ §` ¦ Å Òl 0 A # q §

&

h 2 [/ å L s / 'î r Y > Y > > _ ¦ 6 x- y Ã º \ V\ ¦ 2 [/ å L

. $ ¸ o 1 l x \ ¦ 2 [/ å L ô Ç . K x 9 Ðm î ß (7)d ` ¦ s

6 x # & ñ ï r î r1 l x | ¾ Ó p\ ¦ % 3 ¦ (13)d \ @ /{ 9 J =

I

pdq = 2πH

ω , (15)

\

¦ % 3 ¦ í H¨ 8 ý a³ ð w Ð s À Ò# Q K x 9 Ðm î ß H(J ) = ω

2π J, (16)

`

¦ % 3 H . (14)d õ (16)d Ü ¼ ÐÂ Ò' ν = ∂H

∂J = ω

2π , (17)

Ð J\ 1 l qw n , Ä ºo ¸ ú · ú ¦ e H ¸ o 1 l x _ 1 l x Ã

º % 3 # Q [1,3]. & ñ _ \ _ # y Ã º w H Å Òl

1e ` ¦ © l .

6 £ § Ü ¼ Ð H K x 9 Ðm î ß s H =

_p²

2m

, 0 ≤ q ≤ L,

0, q < 0, L < q, (18) Ü

¼ Ð Å Ò# Qt H Á ºô Ç íJ $ [ > Ä ºÓ ü t _ > \ ¦ À Ò . (13)d

\

(18)d ` ¦ @ /{ 9 > í ß J =

√

8mL

²

H, (19) s

% 3 # Qt ¦ (19)d Ü ¼ ÐÂ Ò' ¨ 8 Ê ê_ K x 9 Ðm î ß ,

H(J ) = J

²

8mL

²

, (20)

`

¦ % 3 H . (20)d ` ¦ (14)d \ @ /{ 9 ν = J

4mL

²

, (21)

Ð J\ _ > r H > _ 1 l x Ã º % 3 # Q . s > ¸ & ñ _

\

_ # y Ã º w H Å Òl 1e ` ¦ © l .

6 £ § Ü ¼ Ð K x 9 Ðm î ß s F G ý a³ ð> \ " f

H = 1 2m

p

²_r

+ p

²_θ

r

²

+ m

²

ω

²

r

²

= E, (22)

Ð Å Ò# Qt H 2 " é ¶ ¸ o 1 l x _ \ V\ ¦ [ þ t # Q Ð . K x 9

- ïq ~ ½ Ó& ñ d (10)d õ (22)d \ _ # K x 9 : £ ¤

$ í

< ÊÃ º H

W = W

r

(r) + p

θ

θ, (23) Ü

¼ Ð % 3 # Q . # l \ " f W

r

(r) É r

∂W

r

∂r = r

2mE − m

²

ω

²

r

²

− p

²_θ

r

²

, (24)

`

¦ ë ß 7 á ¤ ô Ç . (13)d õ (24)d Ü ¼ ÐÂ Ò'

J

θ

= 2πp

θ

, (25) ü

<

J

r

= I r

2mE − m

²

ω

²

r

²

− p

²_θ

r

²

dr = 2πE

ω − πp

θ

, (26) s

½ ¨K . Õ ª QÙ ¼ Ð (26)d \ " f K x 9 Ðm î ß s H(J

r

, J

θ

) = ω

2π (J

r

+ J

θ

), (27) s

% 3 # Qt ¦ (27)d ` ¦ (14)d Ü ¼ Ð @ /{ 9 ν

r

= ν

θ

= ω

2π , (28) Ü

¼ Ð 1 l x Ã º ½ ¨K . # l \ " f y Ã º w

^r

õ w

^θ

H {

© y y y Å Òl 1s .

(5)

IV. w ¹ Å X N Ë Ç U Ø ì Åò & ÿ® z º ì Å+ s Çc Ü R 4 ô p §; c 6

Ö «3 ûÀ W ¥ W ë s 4 ô p §8 ý ì Å+ s Ç å ¾ Ë4

Ä

ºo H 2] X \ " f ô Ç > _ ¦ î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ Å Ò H K x 9

Ðm î ß É r Á ºÃ ºy ´ ú § H כ ` ¦ 7 HÙ þ ¡ . Õ ª Q # Q " K x 9

Ðm î ß s Õ ª > _ ª K x 9 Ðm î ß \ ¦ _ ë H K ^ ¦ Ã

º e . 7 £ ¤, / 'ø @` ç ~ ½ Ó& ñ d , i~ ∂|ψ >

∂t = ˆ H|ψ >, (29)

\

" f ˆ H H # Q " ¦ K x 9 Ðm î ß \ @ /6 £ x ÷ & H \ ¦ Ò q ty K

^ ¦ Ã º e . Ä ºo H ¼ # _ © î r1 l x \ -t \ ( J $ [ > \

-t \ ¦ 8ô Ç K x 9 Ðm î ß Ü ¼ Ð s À Ò# Q > _ ¦ K x 9

Ðm î ß \ " f, & ñ ï r Ã º\ @ /6 £ x ÷ & H ª í ß \ ¦ @ /u r

& ª K x 9 Ðm î ß Ü ¼ Ð 6 x ô Ç . Õ ªA " f ¸ o 1 l x

_ â Ä º ¸ (7)d \ @ /6 £ x ÷ & H ª K x 9 Ðm î ß í ß

\

¦ 6 x # ê r .

Õ

ª Q ô Ç ¦ K (3)d ` ¦ Å Ò H (6)d _ ¸ H K x 9 Ð m

î ß [ þ t s K x 9 " é ¶ o \ ¦ ë ß 7 á ¤ r v Ù ¼ Ð Õ ª # Q " K x 9 Ð m

î ß ¸ (29)d _ ª K x 9 Ðm î ß Ü ¼ Ð @ /u & 6 x ½ + É Ã º e

. 7 £ ¤,



 



 



H ˆ

1

(q, p

1

, t), H ˆ

2

(q, p

2

, t),

.. .

H ˆ

i

(q, p

i

, t), .. .

(30)

s

¸¿ º ª K x 9 Ðm î ß s | ¨ c Ã º e . \ V\ ¦ [ þ t ¸ o

1 l x _ â Ä º ì ø Í× ¼r (7)d \ @ /u ) a כ ë ß s ª K x 9

Ðm î ß Ü ¼ Ð 6 x| ¨ c 9 כ ¹ H \ O . (9)d \ " f & ñ ï r Ã º\ ¦

@

/6 £ x í ß Ð @ /u r ª K x 9 Ðm î ß s ¸ o 1 l x _

ª K x 9 Ðm î ß í ß Ð 6 x| ¨ c Ã º ¸ e ` ¦ כ s .

(30)d _ K x 9 Ðm î ß [ þ t ? /\ e H # Q " ª í ß [ þ t s

[ˆ q, ˆ p

i

] = i~, (31)

`

¦ ë ß 7 á ¤ r Õ ª K x 9 Ðm î ß H

i

(ˆ q, ˆ p, t)\ ¦ 6 x ô Ç (29)d _ / 'ø @` ç ~ ½ Ó& ñ d s ½ ¨ # 4 R ª K x 9 Ðm î ß Ü

¼ Ð 6 x ½ + É Ã º e 6 £ § s z ´] j Ð 7 £ x" î ) a [3–5,8]. Õ ª Q z

´] j Ð (30)d _ ¸ H K x 9 Ðm î ß s ½ ¨Z > ÷ &Ù ¼ Ð (29)d _

/ 'ø @` ç ~ ½ Ó& ñ d _ K ¸ y y Ø Ô . Õ ª QÙ ¼ Ð ô Ç ¦

> \ @ /6 £ x ÷ & H ª > H Á ºÃ ºy ´ ú §s e ` ¦ Ã º e H

כ

` ¦ · ú Ã º e .

¦ % i < Æ\ " f 8 £ ¤& ñ 0 p x ô Ç Ó ü t o | ¾ Ó[ þ t, 7 £ ¤ f (q, p

k

) Ð Å Ò

#

Qt H Ó ü t o | ¾ Ó É r & ñ ï r ¨ 8 \ Ô ¦ כ % ! 3 , Õ ª כ \ @ / 6

£

x ÷ & H ª í ß f(ˆ q, ˆ p

k

) Ð Å Ò# Qt H Ó ü t o | ¾ Ó É r (30)d _

# Q " K x 9 Ðm î ß ` ¦ × þ K / 'ø @` ç K \ ¦ % 3 # Q ª

¨ î

ç H` ¦ ½ ¨ # ¸ Õ ª ¨ î ç H ° ú כ É r ° ú . 7 £ ¤, f (ˆ q, ˆ p

k

) _ ª

¨ î

ç H ° ú כ É r (30)d _ K x 9 Ðm î ß _ × þ \ _ > r t · ú § H

. \ V\ ¦ [ þ t % i < Æ& h \ -t í ß + þ A î r1 l x | ¾ Ó í

ß , y î r1 l x | ¾ Ó í ß 1 p x É r (30)d ? /_ # Q " ª K x 9

Ðm î ß ` ¦ s 6 x # ª © I \ ¦ ½ ¨ # ª ¨ î ç H` ¦ % 3

#

Q ¸ ° ú É r õ : r .

Õ

ª Q & ñ ï r ¨ 8 _ × þ \ Ô ¦ s Ó ü t o | ¾ Ó f (q, p) É r (30)d _ K x 9 Ðm î ß _ × þ \ _ > r ô Ç . 7 £ ¤, f (q, p) É r (30)d ? /_ # Q " ª K x 9 Ðm î ß ` ¦ s 6 x #

ª © I \ ¦ ½ ¨ô Ç 6 £ § ª ¨ î ç H` ¦ % 3 H \

É

r õ : r . \ V\ ¦ [ þ t 0 Au î r1 l x | ¾ Ó Ô ¦S X & ñ ° ú כ É r (30)d ? /_ K x 9 Ðm î ß _ × þ \ _ > r ô Ç . (6)d É r ô Ç î

r1 l x ~ ½ Ó& ñ d _ K \ ¦ Å Ò H # Q K x 9 Ðm î ß ` ¦ · p כ

X <, 0 Au & h ¨ 8 Ü ¼ Ð ) a # Q " & ñ ï r ¨ 8 _ â Ä

º ¸ ° ú É r 7 H o \ ¦ & h 6 x ½ + É Ã º e .

&

ñ ï r ¨ 8 \ _ > r t · ú § H Ó ü t o | ¾ Ó\ @ /6 £ x ÷ & H ª

í ß _ ª ¨ î ç H ° ú כ É r @ /6 £ x ÷ & H ª K x 9 Ðm î ß _

× þ

\ _ > r t · ú § H .

V. W ë s X c l Ó Þ-P c l ì Å ¤

3] X \ " f / å LÙ þ ¡1 p w s ¦ 6 x- y Ã º ¨ 8 É r K x 9

Ðm î ß _ ¸ H ý a³ ð í H¨ 8 ý a³ ð ÷ &> F K H & ñ ï

r ¨ 8 s . s & ñ ï r ¨ 8 \ @ /6 £ x ÷ & H ª ¨ 8 \

"

f ¸ 4] X _ 7 H o ° ú s $ í w n ô Ç . 7 £ ¤, 6 x- y Ã º

>

_ K x 9 Ðm î ß H(J

1

, · · · , J

_n

) \ @ /6 £ x ÷ & H ª K x 9

Ðm î ß É r H( ˆ J

1

, · · · , ˆ J

n

) Ü ¼ Ð % 3 # Qt ¦ y Ã º í ß ˆ

w

₁

, · · · , ˆ w

_n

õ 6 x í ß ˆ J

₁

, · · · , ˆ J

_n

s \ H

[ ˆ w

j

, ˆ w

k

] = i~δ

^jk

, (32)

$ í

w n ô Ç ¦ & ñ ½ + É Ã º e . Õ ªo ¦ ¨ 8 H(q, p)> ü <

6 x- y Ã º ¨ 8 Ê ê H(J

1

, · · · , J

_n

) > s \ " f % i < Æ& h

\

-t H & ñ ï r ¨ 8 \ Ô ¦ s . 7 £ ¤,

H(q, p) = H(J ), (33)

$ í w n Ù ¼ Ð Ä ºo H > _ / 'ø @` ç ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ f ] X Û ¦ t

· ú § ¦ > _ \ -t ¦Ä »u \ ¦ > í ß ½ + É Ã º e [11].

#

l \ " f 3] X _ ¦ 6 x- y Ã º\ " f Ð% i ~ > \

@

/6 £ x ÷ & H ª ¸ o 1 l x , ª Á ºô Ç ( J $ [ > Ä ºÓ ü t > , 2

"

é

¶ ª ¸ o 1 l x 1 p x 3 t \ V\ ¦ [ þ t # Q S X K Ð 9ô Ç

.

(6)

(7)d _ ¦ ¸ o 1 l x K x 9 Ðm î ß \ & ñ ï r Ã º (q, p)\ ¦ y y @ /6 £ x ÷ & H ª í ß (ˆ q, ˆ p) Ð @ /u r & ª

K x 9 Ðm î ß ` ¦ % 3 É r 6 £ § (29)d Ü ¼ Ð ª ¸ o 1 l x _

¦Ä »u \ ¦ > í ß

E

_n

= ~ω(n + 1/2), n = 0, 1, 2, · · · , (34)

Ð % 3 # Qf É r ¸ ú · ú ¦ e [7,8].

(32)d s $ í w n ½ + É M : ª ¸ o 1 l x _ w / B N ç ß \ " f r ç

ß \ 1 l qw n / 'ø @` ç ~ ½ Ó& ñ d É r ¦ K x 9 Ðm î ß (16)d Ü

¼ ÐÂ Ò'

~ω 2πi

∂ψ(w)

∂w = Eψ(w), (35)

% 3 # Qt ¦, (35)d Ü ¼ ÐÂ Ò' w/ B N ç ß \ " f 1 l x < ÊÃ º H ψ(w) = A exp

i 2πE

ω~ w

, (36)

.

¦ 6 x- y Ã º\ " f y Ã º_ Å Òl H 1 s Ù ¼ Ð w/ B N ç

ß \ " f 1 l x < ÊÃ º H ¸ H w

j

\ " f

ψ(w

j

+ 1) = ψ(w

j

), (37)

`

¦ ë ß 7 á ¤ K ô Ç . Õ ª QÙ ¼ Ð (36)õ (37)d \ " f Õ ªo ¦ ¸

o 1 l x _ \ -t H E > 0 ¸| \ " f

E

_n

= nω~, n = 1, 2, · · · , (38)

`

¸ ° ú É r ¦ î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ Å ÒÙ ¼ Ð s õ H (34)d õ { 9

u H õ s .

ª Á ºô Ç ( J $ [ > Ä ºÓ ü t > _ w/ B N ç ß \ " f r ç ß \ 1 l qw n /

'ø @` ç ~ ½ Ó& ñ d É r (20)d _ ¦ K x 9 Ðm î ß õ (32)d Ü

¼ ÐÂ Ò'

− ~

²

8mL

²

∂

²

ψ(w)

∂w

²

= Eψ(w), (39) d

Ü ¼ Ð % 3 # Q . s p ì r ~ ½ Ó& ñ d _ K H

ψ(w) = A exp

√ 8mEL

~ w

!

+ B exp −

√ 8mEL

~ w

! , (40)

¸ (37)d _ â > ¸| ` ¦ ë ß 7 á ¤ K Ù ¼ Ð \ -t ¦Ä »u

H

E

_n

= π

²

~

²

n

²

2mL

²

, n = 1, 2, · · · , (41) s

% 3 # Q . s õ H ª % i < Æ §F \ " f : r õ ü <

° ú

6 £ §` ¦ ¸¿ º · ú Ã º e ` ¦ כ s [7].

6 £ § Ü ¼ Ð 2 " é ¶ ª ¸ o 1 l x _ \ -t ¦Ä »u \ ¦

½

¨K Ð . s > _ / B N ç ß \ " f r ç ß \ 1 l qw n / 'ø @` ç ~ ½ Ó

&

ñ d É r (27)d _ ¦ K x 9 Ðm î ß õ (32)d Ü ¼ ÐÂ Ò'

− ω~

2πi

∂

∂w

r

+ ∂

∂w

θ

ψ(w

r

, w

θ

) = Eψ(w

r

, w

θ

), (42) Ü

¼ Ð % 3 # Qt ¦ s p ì r ~ ½ Ó& ñ d _ { 9 ì ø ÍK H ψ(w

r

, w

θ

) = A exp

i 2π

ω~ (E

r

w

r

+ E

θ

w

θ

)

, (43)

r

õ E

θ

H E

r

+ E

θ

= E, (44)

$ í w n K ô Ç . (37)d _ â > ¸| ` ¦ ë ß 7 á ¤ r & Ù ¼

Ð (43)d õ (44)d Ü ¼ Ð Â Ò'

E

n₁,n₂

= (n

1

+ n

2

)ω~, n

¹

, n

2

= 1, 2, · · · , (45)

`

Ðm î ß ¸ ° ú É r ¦ î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ ï r H 7 H o ÐÂ Ò '

ⁿ1,n₂

= (n

1

+ n

2

+ 1)ω~ Ð % 3

#

Qt H ª % i < Æ §F _ õ ü < ° ú [7].

VI. + s ÇÊ Ý õ m Í À X Ø8 ý

¦ % i < Æ\ " f & ñ ï r ¨ 8 É r ¦ î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d _ > í ß ` ¦

Ð ~ 1 > H 3 l q& h Ü ¼ Ð 6 x 9 ¸{ 9 ÷ &% 3 t ë ß & ñ ï r

¨ 8 ^ _ Ã º < Æ& h ½ ¨ ¸\ _ # ¦ % i < Æ` ¦ ^ & h Ü

¼ Ð : x ¹ 1 Ï ½ + É Ã º e > F K K ï r . # l \ " f Ô ¦ $ í , @ /g A

$ í

, é ß í H$ í 1 p x` ¦ ¹ 1 Ô ª % i < Æõ : x > % i < Æ_ @ /\ ¦ [ j

° ? ¦ Ó ü t o < Æ ^ \ ¦ Ð 7 H o & h Ü ¼ Ð U ·> ¦ >

H l í\ ¦ & ñ ï r ¨ 8 \ " f % 3 H .

@

/Â Òì r §F \ " f & ñ ï r ¨ 8 _ @ /p H K x 9 - ïq s

¨ 8

¢ ¸ H ¸ H & ñ ï r Ã º í H¨ 8 s ÷ &> F K ¨ 8 r v H & ñ ï

r ¨ 8 ` ¦ ¹ 1 Ô > _ î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ Ð ~ 1 > > í ß H

~

½ ÓZ O ` ¦ ] jr ô Ç . : £ ¤ y > : £ ¤Z > ô Ç { 9 ì ø Í o ý a³ ð\ @ /

#

Å Òl & h s { 9 ì ø Í o î r1 l x | ¾ Ós @ /6 £ x { 9 ì ø Í o ý a³ ð\

@

/ # Å Òl & h s 9 K x 9 Ðm î ß s r ç ß \ _ > r t · ú §

H 6 x- y Ã º Ð & ñ ï r ¨ 8 s 0 p x . 6 x- y

) p ì r ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ f ] X Û ¦ t · ú § ¦ > _ Å Òl ¢ ¸ H 1

l

x Ã º\ ¦ ½ ¨½ + É Ã º e H כ s .

(7)

>

_ K x 9 Ðm î ß É r K x 9 ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ s 6 x > _ î r1 l x

~

½ Ó& ñ d ` ¦ Å Ò H כ s Ù ¼ Ð : £ ¤Z > ô Ç + þ AI ë ß s > _ K x 9 Ð m

î ß s ¦ ´ ú ½ + É Ã º H \ O . Õ ª QÙ ¼ Ð > _ K x 9 Ðm î ß

É

r Á ºÃ ºy ´ ú § . Õ ª Á ºÃ ºy ´ ú § É r K x 9 Ðm î ß É r ¦ & h Ü ¼

Ð H " f Ð ½ ¨Z > Ô ¦ 0 p x . # Q " ¦ & ñ ï r Ã º @ /6 £ x

÷ & H ª % i < Æ_ í ß \ @ /6 £ x ) a 7 £ ¤, (31)d s $ í w n

ô Ç ô Ç î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ Å Ò H Ã º ´ ú § É r K x 9 Ðm î ß É r

ª % i < Æ& h Ü ¼ Ð H \ ¦ כ s . s Á ºÃ ºy ´ ú § É r K x 9 Ð

î ß [ þ t É r ¦ & h Ü ¼ Ð H ½ ¨Z > Ô ¦ 0 p x t ë ß ª % i < Æ& h Ü

¼ Ð H ½ ¨Z > 0 p x H כ s . { 9 ì ø Í& h Ü ¼ Ð & ñ ï r ¨ 8

\

' a # Ô ¦ Ó ü t o | ¾ Ó\ @ /6 £ x ÷ & H í ß _ ª l Î .

° ú כ É r K x 9 Ðm î ß _ × þ \ _ > r t · ú §t ë ß & ñ ï r

¨ 8

\ ° ú כs ² ú t H Ó ü t o | ¾ Ó É r K x 9 Ðm î ß _ × þ

\

_ > r ô Ç .

Ä

ºo H & ñ ï r ¨ 8 \ @ / # Ô ¦ ¦ | ¾ Ó % i < Æ& h

\

-t \ ' a d ` ¦ ¿ º% 3 . Õ ªA " f ª 6 x- y Ã º\ ¦ ¸ { 9

# y / B N ç ß \ " f 1 l x < ÊÃ º\ ¦ ½ ¨ / 'ø @` ç ~ ½ Ó& ñ d

` ¦ f ] X Û ¦ t · ú § ¦ q §& h ~ 1 > \ -t ¦Ä »u % 3 # Q f

` ¦ Ð% i .

Ä

ºo _ \ -t ¦Ä »u > í ß ~ ½ ÓZ O É r Ð ~ 1 > > í ß

H 7 H o \ ¦ Â Ò# ô Ç כ s t ë ß # l \ " f ª % i < Æ ½ ¨ ¸_ D

h Ðî r ½ Ó` ¦ ] j/ B N ½ + É כ s Ò q ty ô Ç . · ú ¡Ü ¼ Ð 4 ¤ ¸ ú ô Ç Ã

º è" é ¶ ë H ] j1 p x Ð 4 ¤ ¸ ú ô Ç ë H ] j[ þ t ¸ À Ò# Q µ 1 Ï³ ð½ + É

\

V& ñ s ¦ & ñ ï r ¨ 8 _ @ /\ ¦ 8¹ ¡ ¤ ½ ¨ # ª % i < Æ _

½ Ó ½ ¨ ¸\ ¦ 8¹ ¡ ¤ U ·> Ð 9ô Ç .

P

c p 8 ý ò k >

s

7 Hë H É r 2012 < Æ¸ ¸ Ø æ· ¡ ¤ @ / < Æ § < ÆÕ ü t t " é ¶ ½ ¨ \ O _

½ ¨q t " é ¶ \ _ # ½ ¨ ÷ &% 3 _ þ v m .

Y

c p w Ã U Ø ô

[1] H. Goldstein, C. Poole and J. Safko, Classical Me- chanics, 3rd ed. (Addison-Wesley Publishing Com- pany, London, 2000).

[2] E. C. G. Sudarshan and N. Mukunda, Classical Dynamics; Mordern Perspective (Wiley, New York, 1974).

[3] W. Dittrich and M. Reuter, Classical and Quantum Dynamics (Springer-Verlag, Berlin, 1993).

[4] C. I. Um, K. H. Yeon and T. F. George, Phys. Rep.

362, 63 (2002).

[5] K. H. Yeon, New Phys.: Sae Mulli 62, 464 (2012).

[6] J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics Revised Edition (Addison-Wesley Publishing Company New York, 1994).

[7] R. L. Liboff, Introductory Quantum Mechanics (Addison-Wesley Publishing Company, New York, 1980).

[8] J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics Revised Edition (Addison-Wesley Publishing Company, New York, 1994).

[9] W. Greiner, L. Neise and H. St¨ ockerse, Thermody- namics and Statistical Mechanics (Springer-Verlag, New York, 1994).

[10] K. H. Yeon, J. R. Choi, S. Zhang and T. F. George, arXiv:1101.3392 [quant-ph], (2011).

[11] K. H. Yeon, S. K. Hong, S. Zhang, C. I. Um and T.

F. George, J. Korean Phys. Soc. 48, 345 (2006).

Quantum Action-angle Variables