2 단항식의 곱셈과 나눗셈

생각 열기

미술

오른쪽 그림은 부모님을 위해 가로의 길이와 세로의 길이가 각각 a, b인 직사각형 모양의 카드를 이용하여 학생들이 만든 카드 섹션이다.

➊ 전체 직사각형의 가로의 길이와 세로의 길이를 각각 a, b를 사용하 여 나타내어 보자.

➋ 카드 섹션에 사용된 카드 하나의 넓이는 얼마인가? 이를 이용하여 오른쪽 그림의 전체 넓이를 구해 보자.

➌ 위 ➊, ➋의 결과를 이용하여 다음 안에 알맞은 수를 각각 써 넣어 보자.

a_ b= ab

단항식끼리의 곱셈과 나눗셈은 어떻게 할까?

두 단항식 6a와 4b의 곱은 곱셈의 결합법칙과 교환법칙을 이용하여 다음과 같이 계산한다.

6a_4b=(6_a)_(4_b)

=6_(a_4)_b

=6_(4_a)_b

=(6_4)_(a_b)

=24ab

결합법칙 교환법칙 결합법칙

이와 같이 단항식끼리의 곱셈은 계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리 곱하여 계산한다.

또, 두 단항식 15ab와 3a의 나눗셈은 곱셈으로 바꾸거나 분수 꼴로 나타내어 다음과 같이 계산한다.

15ab/3a=15ab_;3¡a;

=15_;3!;_ab_;a!;

=5b

15ab/3a= 1

55?a¹/b 31/a

1/

=5b

이와 같이 단항식끼리의 나눗셈은 수의 계산에서와 마찬가지로 곱셈으로 바꾸거나 분수 꼴로 나타낸 후 계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리 계산한다.

단항식의 곱셈

6a_4b=24ab 계수끼리의 곱

문자끼리의 곱

•단항식의 곱셈과 나눗셈의 원리를 이해하고, 그 계산을 할 수 있다.

단항식의 곱셈과 나눗셈

2

보기 1 4x‹_5xy€=4_5_x‹_x_y€=20x›y€

2 18a‹/{-;5^;a›}=18a‹_{- 56a› }=18_{-;6%;}_a‹_ 1

a› =-15 a

a b

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ -xy€_(-6x‹y)€_xy

⑵ (3x€y)‹_(-2xy‹)€/9xy

⑶ (-10x‹y)€/(2xy€)‹/5xfiy‹

2

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ -3a_4b ⑵ 7x‹y_(x‹y€)€

⑶ (-5xy)€/5xy ⑷ 3a‹b/ ab2

1

배우고 익히는 수학

다음은 민준이와 희정이의 대화이다. 민준이의 대답에서 옳지 않은 부분을 찾아 바르게 고치시오.

3

희정아!6a/;2#;a€을 계산하는데 자꾸 답이 틀려.

나누는 식 ;2#;a€을 역수 ;3@;a€으로 만들고

나눗셈을 곱셈으로 바꾸어 계산했지.

어떻게 풀었는데?

곱셈과 나눗셈이 섞여 있는 식의 계산은 나눗셈을 곱셈으로 바꾸어 계산하면 편리하다.

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ 9a‹b/;4#;b›_ab‹ ⑵ (-3x€y)€_4xy€/12x›yfl 예 제

풀이 ⑴ 9a‹b/;4#;b›_ab‹

=9a‹b_ 4 3b›_ab‹

= 9a‹b_4_ab‹

3b›

=12a›

⑵ (-3x€y)€_4xy€/12x›yfl =9x›y€_4xy€_ 1

12x›yfl = 9x›y€_4xy€

12x›yfl = 3x

y€

⑴ 12a› ⑵ 3x y€

단항식의 곱셈과 나눗셈을 해 본 느낌은? 1. 식의 계산

41

생각 열기

생활

도넛은 한 개에 a원, 음료수는 한 개에 b원인 어느 빵집에서 진희에게 도넛 3개와 음료수 4개, 석민이에게 도넛 4개와 음료수 2개를 판매하였다. 다음 빈칸을 채워 보자.

도넛을 판매한 금액(원) 음료수를 판매한 금액(원) 도넛과 음료수를 판매한 금액(원) 진희

석민 합계

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ 2(3a-2b)-(6a+4b) ⑵ (2x€+3x-5)+(3x€-4x+2) 예 제 1

풀이 ⑴ 2(3a-2b)-(6a+4b)

=6a-4b-6a-4b

=6a-6a-4b-4b

=-8b

⑵ (2x€+3x-5)+(3x€-4x+2)

=2x€+3x-5+3x€-4x+2

=2x€+3x€+3x-4x-5+2

=5x€-x-3

⑴ -8b ⑵ 5x€-x-3

생각 열기에서 두 사람에게 도넛과 음료수를 판매한 금액은 각각 (3a+4b)원, (4a+2b)원 이므로 두 사람에게 도넛과 음료수를 판매한 금액의 합은

{(3a+4b)+(4a+2b)}원

이다. 이것은 두 사람에게 판매한 도넛 7개의 금액 7a원과 음료수 6개의 금액 6b원의 합 인 (7a+6b)원과 같으므로

(3a+4b)+(4a+2b)=7a+6b(원) 임을 알 수 있다. 즉,

(3a+4b)+(4a+2b)

=3a+4b+4a+2b

=(3a+4a)+(4b+2b)

=7a+6b

괄호를 푼다.

동류항끼리 모은다.

이와 같이 다항식의 덧셈과 뺄셈은 먼저 괄호를 풀고 동류항끼리 모아서 계산한다.

다항식의 덧셈과 뺄셈은 어떻게 할까?

•다항식의 덧셈과 뺄셈의 원리를 이해하고, 그 계산을 할 수 있다.

•‘(단항식)_(다항식)’, ‘(다항식)/(단항식)’과 같은 곱셈과 나눗셈의 원리를 이해하고, 그 계산을 할 수 있다.

다항식의 계산

3

(단항식)’과 같은 곱셈과 나눗셈의 원리를 이해하고, 그 계산을 할 수 있다.

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ (3x+5y)+(-x+6y) ⑵ (-3x-2y)-(x-5y)

⑶ (2x€+4x-5)+(3x€-5x+7) ⑷ (5x€+x+6)-(4x€+3x-2)

1

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ 3(-a+5b)+(2a-9b) ⑵ (7a+2b)-2(-4a+5b)

⑶ (3x€+6x+4)-2(2x€+4x+3) ⑷ 2(x€-x+6)+5(x€+x-1)

2

배우고 익히는 수학

수학

활동

와글 ^와글 와글 ^와글

다항식의 덧셈 또는 뺄셈의 결과가 오른쪽 두 다항식 중 하나와 같이 되도록 수학자와 그의 업적을 연결해 보자.

문제 해결

유클리드 (Euclid, B.C. 325?

~B.C. 265?) 3x€+5x+2

아르키메데스 (Archimedes, B.C. 287?~

B.C. 212) 2x€-3x

데카르트 (Descartes, R., 1596~1650) x€-2x+3

오일러 (Euler, L., 1707~1783) 4x€-x+1

3x€+4x-2

처음으로 지수법칙을 발 견하였다.

5x€+6x-1

처음으로 미지수를 지수 로 사용하였다.

-x€-2x+2

“원론(Elements)” 13권 을 지었다.

x€+5x+1

거듭제곱을 밑과 지수를 사용하여 나타내었다.

2x€+3x+4, -x€-7x+2

분리수거는 같은 종류끼리! 다항식의 덧셈과 뺄셈은 끼리!

( 자료: Cuoco, A.•Rotman, J., “Learning Modern Algebra” / Hasan, H., “Archimedes: The Father of Mathematics” / Cajori, F., “History of Mathematical Notations” / Bradley, R. E.•Sandifer, E., “Leonhard Euler: Life, Work and Legacy”)

1. 식의 계산

43

생각 열기

생활

오른쪽 그림과 같이 직사각형 모양의 벽지를 두 부 분으로 나누어 벽에 붙였다.

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ 2a(a-2b)+3a(a-b) ⑵ 2x(3x-y)-4y(-x+3y) 예 제 2

풀이 ⑴ 2a(a-2b)+3a(a-b) =2a_a+2a_(-2b)+3a_a+3a_(-b)

=2a€-4ab+3a€-3ab

=5a€-7ab

⑵ 2x(3x-y)-4y(-x+3y) =2x_3x+2x_(-y)-4y_(-x)-4y_3y

=6x€-2xy+4xy-12y€

=6x€+2xy-12y€

⑴ 5a€-7ab ⑵ 6x€+2xy-12y€

단항식 2x와 다항식 x+3y의 곱은 분배법칙을 이용하여 다음과 같이 계산한다.

2x(x+3y)=2x_x+2x_3y

=2x€+6xy

(단항식)_(다항식)을 어떻게 계산할까?

➊ 벽지 전체의 가로의 길이를 구하고 이를 이용하여 벽지 전체의 넓이를 식으로 나타내어 보자.

➋ 벽지에서 나누어진 두 직사각형의 넓이를 각각 구 하고 이를 이용하여 벽지 전체의 넓이를 식으로 나 타내어 보자.

이와 같이 단항식과 다항식의 곱은 수의 계산에서와 마 찬가지로 분배법칙을 이용하여 단항식을 다항식의 각 항 에 곱하여 계산한다.

이때, 분배법칙을 이용하여 단항식과 다항식의 곱을 하 나의 다항식으로 나타내는 것을 전개한다고 한다.

전개

전개

2x(x+3y)=2x€+6xy

보기 1 4a(2a-3)=4a_2a+4a_(-3)=8a€-12a

2 -x(-5x+6y)=(-x)_(-5x)+(-x)_6y=5x€-6xy

x m y m

2x m

다음 식을 전개하시오.

⑴ 2x(-x+3) ⑵ (xy+5x)_(-2x)

⑶ a(3a€+a-4) ⑷ -5x€(2y-4y€+3)

1

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ 3x(x-2y)+2x(x-y) ⑵ 2x(2x-3y)+3y(-x+4y)

⑶ 5a(a+3b)-2a(4a-b) ⑷ a(a-6b)-3b(2a+3b)

2

배우고 익히는 수학

수학

놀이

와글 ^와글 와글 ^와글

모둠별로 다음 규칙에 따라 다항식 계산 놀이를 해 보자.

의사소통

인원 4명

규칙

➊ 각 모둠별로 칠판에 원을 그린 후 원 안에 다항식을 하나씩 적는다.

➋ 모둠별로 원 안에 적힌 다항식과 같은 문자를 사용하여 아래와 같은 형태의 메모지 20개를 만든다.

_(단항식) +(다항식) -(다항식)

➌ 모둠별로 만든 메모지 20개를 옆 모둠과 교환한 후 자기 모둠의 원 둘레에 모두 붙인다.

➍ 모든 모둠원은 옆 모둠에서 만든 메모지의 식을 계산하 여 답을 해당 메모지에 적는다.

➎ 옆 모둠의 계산 결과를 확인한 후 틀린 답이 적힌 메 모지를 떼어 낸다.

➏ 원 둘레에 붙인 메모지가 가장 많이 남은 모둠이 승리한다.

오늘 수업을 한마디로 표현하면? 1. 식의 계산

45

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ (9a€-3ab)/;2#;a ⑵ (8x€+6xy-4x)/(-2x) 예 제 3

풀이 ⑴ (9a€-3ab)/;2#;a=(9a€-3ab)_;3™a;=9a€_;3™a;-3ab_;3™a;

=6a-2b

⑵ (8x€+6xy-4x)/(-2x)= 8x€+6xy-4x-2x = 8x€-2x + 6xy -2x - 4x

-2x

=-4x-3y+2

⑴ 6a-2b ⑵ -4x-3y+2

다항식 4a€x+6ay를 단항식 2a로 나눌 때에는 나눗셈을 곱셈으로 바꾸거나 분수 꼴 로 나타내어 다음과 같이 계산한다.

(4a€x+6ay)/2a

=(4a€x+6ay)_;2¡a;

=4a€x_;2¡a;+6ay_;2¡a;

=2ax+3y

(4a€x+6ay)/2a

= 4a€x+6ay2a

= 4a€x2a +6ay 2a

=2ax+3y

이와 같이 다항식을 단항식으로 나눌 때에는 수의 계산에서와 마찬가지로 나눗셈을 곱셈으로 바꾸거나 분수 꼴로 나타낸 후 계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리 계산한다.

(다항식)/(단항식)을 어떻게 계산할까?

다음 식을 간단히 하시오.

(12xy€-18x€y)/6xy-(-xy+3y€)_;y%;

예 제 4

풀이 (12xy€-18x€y)/6xy-(-xy+3y€)_;y%;

= 12xy€-18x€y6xy -{-xy_;y%;+3y€_;y%;}

=2y-3x-(-5x+15y)

=2y-3x+5x-15y

=2x-13y 2x-13y

다항식과 단항식의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 섞여 있는 식의 계산은 곱셈과 나눗셈 을 먼저 계산한 후 동류항끼리 모아서 간단히 한다.

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ (16a€-8a)/8a ⑵ (15xy€+9x€y)/{-;2#;xy}

⑶ (6a€b€+9a€b-12ab€)/3ab ⑷ (5x€-25xy+20x)/{-;2%;x}

1

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ (9x€+12xy)_;3¡x;+(15y€-20xy)/5y

⑵ (16x€+40xy)/(-8x)-(2y€-3xy)_;y@;

2

배우고 익히는 수학

창의・융합 문제 해결

드론이 농약을 살포한 지역의 넓이는 어떻게 구할까?

33쪽

초음파나 레이저 센서를 이용한 드론은 자율 비행이 가능해졌다. 이와 같은 드론에 농업에 적합한 프로그램 을 장착하면 토양의 질, 수분의 양, 작물의 건강 상태 등을 관찰하고 관리하는 것은 물론 농작물에 비료를 주 거나 농약을 살포하는 데에도 이용할 수 있다. 이는 기존 기계를 이용한 방식보다 훨씬 효과적이다.

(자료: “조선비즈”, 2017년 5월 5일)

드론이 농약을 살포한 지역의 넓이는 어떻게 구할까?

배운 내용을 이해했나요?

오른쪽은 민지가 (24a€-8a)/(-4a)를 간단히 한 것이 다. 잘못된 부분을 찾아 바르게 고치시오.

3

(24a€-8a)/(-4a)= 24a€-8a-4a

=-6a-2a

=-8a (

오른쪽 그림과 같은 직사각형 모양의 지역에서 드론은 색칠한 부분에 병해 충이 발생하였음을 탐지하여 농약을 살포하였다. 이때, 드론이 농약을 살포한 지역의 넓이를 구해 보자.

5y 3x

8

6

1. 식의 계산

47

교과 역량 더하기

집중!

다음 두 학생의 대화를 읽고 물음에 답해 보자.

(1) 위의 두 학생이 계산하는 방법의 불편한 점을 말해 보고, 어떤 지수법칙을 이용하면 편리할지 생각해 보자.

(2) 지수법칙을 이용하여 2·_5fl은 몇 자리 자연수인지 말해 보자.

몇 자리 자연수일까?

1

추론

헉! 내가 2·을

계산할게. 이제 두 결과를

곱해 볼까?

열심히 계산

그래! 그럼 난 5fl을 계산할게.

오른쪽 그림은 직사각형 1개와 합동인 직각삼각형 4개를 이용하여 만든 도 형이다. 다음 순서에 따라 이 도형의 넓이를 a, b를 사용한 식으로 나타내 어 보자.

1단계 직각삼각형 1개의 넓이를 A, 직사각형의 넓이를 B라고 할 때, 전체 도형의 넓이 S를 A, B를 사용한 식으로 나타내어 보자.

2단계 직각삼각형 1개의 넓이 A와 직사각형의 넓이 B를 각각 a, b를 사용한 식으로 나타내어 보자.

3단계 전체 도형의 넓이 S를 a, b를 사용한 식으로 나타내어 보자.

식의 대입

문제 해결

2

3 6

a+3b

두 팀이 차례를 정한 후 다음과 같은 색칠하기 놀이를 해 보자.

주사위 땅따먹기

3

의사소통 태도 및 실천

문제 해결 추론 창의 융합 의사소통 정보 처리 태도 및 실천

1

1 2 3 4 5 6

2

3

4

5

6

8x‹y€/4xy 4x(x-4y) (-3x‹y€)€ (7a+3b)+(3a-2b) 8afi/2a _x€y›

5x€_(-3x€)

(a€)‡/(a›)fi {;3@;x-;2!;y}-{;6!;x-;4%;y} (-16ab)/8a_3a€b

(-2x+3y)-(6x-y) ;3!;ab€_(2a€b)€ (3x€y-15xy€)/{-;5#;xy} 4x‹_3x›

(-2x€y)

/(-8x‹y€) (3x€+x-2)-(7x€-5x+1) 3a‹_(-4ab)€ 4a-{a+2b-(2a+b)}

(a€-2a)/{-;4A;} (x€y)›_(xy›)€ x(3x-5)+(10x‹+6x€)/2x 3a‹b€/;2#;a€b

피사

로잔

델리 샤알람 쿠알라룸푸르 이스탄불

취리히 앙카라 피렌체

로마 베네치아 베이징

바르셀로나 마드리드 서울 말라가

뮌헨 디종 베를린 뉴욕 파리

사라고사 부산 프랑크푸르트 워싱턴

3x€_7x› 8x-10x€ 21x‹y‹/;3&;xyfi {-;2!;ab€}‹_(-2a‹b‹)€

2x + 12x€-9x3x

➊ 4인 1모둠으로 모둠을 구성하고 2명씩 짝을 지어 팀을 정한다. 이때, 팀별로 서로 다른 색연필을 하 나씩 가진다.

➋ 팀별로 주사위를 2번 던지고, 첫 번째 나온 주사위의 숫자는 가로, 두 번째 나온 주사위의 숫자는 세 로로 하여 해당하는 도시에 적힌 식을 간단히 한다.

➌ 위의 ➋에서 문제를 바르게 풀었으면 그 도시를 색연필로 색칠한다.

➍ 상대 팀과 번갈아 가며 위의 ➋, ➌을 반복하여 진행하고, 제한 시간 동안 더 많은 도시를 색칠한 팀 이 승리한다. (단, 이미 색칠된 도시가 선택되면 기회는 상대 팀에게 넘어간다.)

준비물 색연필, 주사위 놀이 순서

집중! 교과 역량 더하기

49

다음 보기 중 옳은 것을 모두 고르시오.

㉠ x€_xfi=x⁄‚ ㉡ {y€

x }‹= yfl x‹

㉢ x⁄‚/x›=xfl ㉣ (x€y‹)€=x€yfl

㉤ (2xy‹)‹=6x‹y· ㉥ (x€)€_x=xfi

보기 기

1

초

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ 7a€b_2ab ⑵ 6x€y‹/(-2xy€)

⑶ -4a€_;4(;a/9a ⑷ 12x€y/(-4xy)_3y€

2

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ (x-6y)-(11x-4y) ⑵ (x€+4x-5)+(3x€+x-7)

⑶ 3(x-2y)+2(2x-y) ⑷ 5(x€+x+2)-3(2x€+x-3)

3

식의 계산 다음과 같이 배운 내용을 정리해 보자.

중단원 마무리

스스로 쓱쓱 ^{중단원 마무리}

스스로 쓱쓱

(a€b›)€_(a‹b)‹/(ab€)€=a^mbⁿ일 때, m+n의 값을 구하시오. (단, m, n은 자연수.)

4

기본

(-3x›y‹)€/;3$;y_{ 2y€3x‹ }‹을 간단히 하시오.

5

x-[7y-3x-{2x-(x-3y)}]=ax+by일 때, ab의 값을 구하시오. (단, a, b는 수.)

7

2⁄‡_3€_5⁄·이 n자리 자연수일 때, n의 값을 구하시오.

8

전 발

어떤 다항식에 -;3!;xy를 곱해야 할 것을 잘못하여 나누었더니 9x-6y가 되었다. 이때, 바르게 계산한 결 과를 구하시오.

밑줄 친 부분의 식을 바꾸어 문제를 만들고 친구와 바꾸어 풀어 보자.

9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

34~39쪽 41쪽 1, 2 43쪽 1, 2 34~39쪽 41쪽 2 45쪽 1 42~43쪽 34~39쪽 44~47쪽 복습이 필요한 문항은 아래 교과서 쪽에서 찾아 확인해 봅시다.

문항 번호 되돌아보기

1.^{식의 계산}

오른쪽 그림과 같이 밑면의 가로의 길이가 a, 세로의 길이가 2b, 높이가 4ab-3a인 직육면체의 부피를 구하시오.

6

a 2b

4ab-3a

중단원 마무리

51

곱셈 마방진

수를 정사각형 모양으로 나열하여 가로, 세로, 대각선으로 배열된 각각의 수의 합이 모두 같게 만든 것을 마방진이라고 한다.

이와 달리 가로, 세로, 대각선으로 배열된 각각의 수의 곱이 모두 같은 ‘곱셈 마방진’

도 있다.

예를 들어, 오른쪽 그림에서 가로, 세로, 대각선의 곱은 16_512_4=8_32_128=256_2_64=32768 16_8_256=512_32_2=4_128_64=32768 16_32_64=4_32_256=32768

이다. 즉, 가로, 세로, 대각선으로 배열된 각각의 수의 곱이 모두 32768이다.

이 곱셈 마방진은 다음과 같은 규칙이 있음을 알 수 있다.

즉, 지수만 나타낸 마방진에서 가로, 세로, 대각선으로 배열된 각각의 수의 합이 모두 15이므로 곱셈 마방진에서 가로, 세로, 대각선으로 배열 된 각각의 수의 곱은 모두 2⁄fi=32768이 된다.

직접 해 보기 다음 <그림 1>의 마방진을 이용하여 <그림 2>에 곱셈 마방진을 만들 어 보자.

수학 충전소

규칙과 _{수학 사이}

16 512 4

8 32 128

256 2 64

3 8 7

10 6 2

5 4 9

<그림 1> <그림 2>

4 9 2

3 5 7

8 1 6

2의 거듭제곱 으로 나타내기

지수만 나타내기

2› 2· 2€

2‹ 2fi 2‡

2° 2⁄ 2fl 16 512 4

8 32 128

256 2 64

▲ 뒤러(Durer, A., 1471~1528)의 멜랑콜리아

Ⅰ

2 일차부등식과 연립일차방정식

1. 부등식의 뜻과 성질 2. 일차부등식의 풀이 3. 연립일차방정식과 그 해 4. 연립일차방정식의 풀이

^{탄소 발자국}

탄소 발자국이란 일상생활 속에서 만들어지는 이산화 탄소의 양 을 말한다. 이산화 탄소는 지구 온난화의 주요 원인이기 때문에 최근에는 탄소 발자국을 줄이려는 사회적 운동이 전개되고 있다.

또, 개인의 탄소 발자국을 기록하고 확인할 수 있는 누리집도 개 설되어 우리 생활이 환경에 미치는 영향을 쉽게 알아볼 수 있다.

(자료: 한국환경공단 블로그, http://blog.naver.com/kecoprumy, 2016년)

일회용 컵을 사용하지 않는다면 탄소 발자국을 얼마나 줄일 수 있을까?

일회용 컵을 사용하지 않는다면 탄소 발자국을 얼마나 줄일 수 있을까? 65쪽

기술 역사 문화 사회 공학 경제

환경 안전

2. 일차부등식과 연립일차방정식

53

생각 열기

생활

오른쪽 그림을 보고 물음에 답해 보자.

‘3은 5보다 작다’와 ‘어떤 수 x를 2배 하여 3을 더하면 7보다 크거나 같다’를 부등호를 사용하여 각각

3<5, 2x+3>7 과 같이 나타낼 수 있다.

이와 같이 부등호 <, >, <, >를 사용하여 수 또는 식의 대소 관계를 나타낸 식을 부등식이라고 한다.

보기 2<4, x>3, -3x+2<1, x-5>3x+2는 모두 부등호를 사용하여 나타낸 식이므로 부등 식이다.

부등식 4x-2>3x의 x에 1, 2, 3, 4를 차례대로 대입하여 부등식이 참이 되는지 알 아보면 다음과 같다.

x 좌변 4x-2 우변 3x 4x-2>3x의 참, 거짓

1 4_1-2=2 3_1=3 2>3 거짓

2 4_2-2=6 3_2=6 6>6 거짓

3 4_3-2=10 3_3=9 10>9 참 4 4_4-2=14 3_4=12 14>12 참

위의 표에서 부등식 4x-2>3x는 x의 값이 3 또는 4일 때에는 참이 되지만 x의 값 이 1 또는 2일 때에는 거짓이 된다.

이와 같이 주어진 부등식을 참이 되게 하는 x의 값을 그 부등식의 해라고 한다. 또, 부등식의 해를 모두 구하는 것을 부등식을 푼다고 한다.

부등식과 그 해는 무엇일까?

•부등식과 그 해의 의미를 알고, 부등식의 성질을 이해한다.

부등식의 뜻과 성질

1

➊ <그림 1>에서 비행기에서 휴대할 수 있는 수 하물의 무게를 a kg이라고 할 때, a의 값의 범 위를 부등호를 사용한 식으로 나타내어 보자.

➋ <그림 2>에서 이용 가능한 키를 b cm라고 할 때, b의 값의 범위를 부등호를 사용한 식 으로 나타내어 보자.

참고 부등식에서 부등호의 왼쪽 부분을 좌변, 오른쪽 부분을 우변이라 하고, 좌변과 우변을 통틀어 양변이라고 한다.

<그림 1> <그림 2>

최저 속도: 시속 30 km 자동차의 속력: 시속 a km 부등식 a>30

다음 부등식 중에서 x=3을 해로 갖는 것을 모두 고르시오.

⑴ 4x-1<5x ⑵ x>4x

⑶ 5<2x-1 ⑷ 3x<x-1

2

x의 값이 -1, 0, 1, 2일 때, 다음 부등식의 해를 구하시오.

⑴ 2x-3>-5 ⑵ 3x-2<-x

3

다음 문장을 부등식으로 나타내시오.

⑴ 아이스크림을 운반하는 냉동차의 보관실 온도 a #는 영하 20 # 이하이다.

⑵ 어떤 수 x의 2배에서 3을 뺀 것은 10보다 작다.

⑶ 한 개에 500원인 과자 y개와 한 병에 1000원인 음료수 3병의 값의 합은 5000원을 넘는다.

1

배우고 익히는 수학

최저 속력: 시속 30 km 자동차의 속력: 시속 a km 부등식 a>30

수학

글쓰기

와글 ^와글 와글 ^와글

실생활에서 쓰이는 부등식을 찾아 다음 보기와 같이 설명을 쓰고 부등식으로 표현해 보자.

창의・융합 의사소통

보기

그림 또는 사진을 붙이시오.

(오늘 나의 )>(과거 나의 ) 2. 일차부등식과 연립일차방정식

55

생각 열기

생각 열기에서 부등식 2<6의 양변에 2를 더하거나 양변에서 2를 빼어도 부등호의 방 향은 바뀌지 않음을 알 수 있다.

2+2<6+2

6 7 8 9 5

4 3 2 1

6 7 8 9 5

4 3 2 1

+2 +2

2-2<6-2

6 7 5 4 3 2 1 0 -1

6 7 5 4 3 2 1 0 -1

-2 -2

일반적으로 부등식의 양변에 같은 수를 더하거나 양변에서 같은 수를 빼어도 부등호 의 방향은 바뀌지 않는다.

부등식은 어떤 성질이 있을까?

➊ 표의 빈칸에 알맞은 부등호를 써넣어 보자.

➋ 부등식 2<6과 비교하여 부등호의 방향이 바뀌는 경 우를 말해 보자.

좌변 부등호 우변

2 < 6

2+2 < 6+2

2-2 6-2

2_2 6_2

2/2 6/2

2_(-2) 6_(-2)

2/(-2) 6/(-2)

또, 부등식 2<6의 양변에 양수 2를 곱하거나 양변을 양수 2로 나누어도 부등호의 방 향은 바뀌지 않음을 알 수 있다.

2_2<6_2

10 12 8

6 4 2 0

10 12 8

6 4 2 0

\2 \2

2/2<6/2

5 6 4

3 2 1 0

5 6 4

3 2 1 0

÷2 ÷2

일반적으로 부등식의 양변에 같은 양수를 곱하거나 양변을 같은 양수로 나누어도 부 등호의 방향은 바뀌지 않는다.

a<b일 때, 다음 안에 알맞은 부등호를 써넣으시오.

⑴ a_(-4) b_(-4) ⑵ a/(-3) b/(-3)

⑶ a_{-;5!;} b_{-;5!;} ⑷ a/{-;7@;} b/{-;7@;}

2

a<b일 때, 다음 안에 알맞은 부등호를 써넣으시오.

⑴ 2a+5 2b+5 ⑵ 3a-1 3b-1

⑶ -a-2 -b-2 ⑷ -;4A;+3 -;4B;+3

3

한편, 부등식 2<6의 양변에 음수 -2를 곱하거나 양변을 음수 -2로 나누면 부등호 의 방향이 바뀜을 알 수 있다.

2_(-2)>6_(-2) 2 4 6 0

-4 -8 -12

2 4 6 0

-4 -8 -12

\(-2)

\(-2)

2/(-2)>6/(-2) 2 3 4 5 6 1

0 -1 -2 -3

2 3 4 5 6 1

0 -1 -2 -3

÷(-2) ÷(-2)

일반적으로 부등식의 양변에 같은 음수를 곱하거나 양변을 같은 음수로 나누면 부등 호의 방향은 바뀐다.

부등식의 성질

1 a<b이면 a+c<b+c, a-c<b-c 2 a<b, c>0이면 ac<bc, ;cA;<;cB;

3 a<b, c<0이면 ac>bc, ;cA;>;cB;

참고 부등호 ‘<’를 ‘<’로, ‘>’를 ‘>’로 바꾸어도 부등식의 성질은 성립한다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

a>b일 때, 다음 안에 알맞은 부등호를 써넣으시오.

⑴ a+3 b+3 ⑵ a-6 b-6

⑶ a_5 b_5 ⑷ a/4 b/4

1

배우고 익히는 수학

등식의 성질과 부등식의 성질의 차이점은? 2. 일차부등식과 연립일차방정식

57

생각 열기

과학

다음 그림은 종이봉투에 들어 있는 블록의 개수를 x개라고 할 때, 접시

저울을 이용하여 부등식을 푸는 과정을 나타낸 것이다. (단, 종이봉투의 무게는 무시한다.)

<1단계> <2단계>

x+2<5 <

생각 열기의 부등식 x+2<5의 양변에서 5를 빼면 x+2-5<5-5

이다. 이것을 정리하면 x-3<0

이다. 이때, 좌변의 x-3은 x에 대한 일차식이다.

이와 같이 부등식의 성질을 이용하여 정리하였을 때, (x에 대한 일차식)<0, (x에 대한 일차식)>0, (x에 대한 일차식)<0, (x에 대한 일차식)>0

의 네 가지 중 어느 하나의 꼴로 나타나는 부등식을 x에 대한 일차부등식이라고 한다.

•일차부등식을 풀 수 있고, 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다.

일차부등식의 풀이

2

일차부등식은 무엇이고, 그 해는 어떻게 구할까?

부등식의 성질을 이용하여 부등식을 변형해도 해는 같으므로 주어진 부등식을 x<(수), x>(수), x<(수), x>(수)

의 꼴로 바꾸면 일차부등식의 해를 모두 구할 수 있다.

➊ <2단계>의 그림에 알맞은 식 또는 수를 안에 써넣어 보자.

➋ <2단계>에서 이용한 부등식의 성질은 무엇인지 설명해 보자.

보기 부등식 4x-1>-3의 양변에 3을 더하여 정리하면 4x+2>0이므로 이 부등식은 x에 대한 일차부등식이다.

다음 중 일차부등식을 모두 찾으시오.

⑴ 2x-5>3 ⑵ x€+4x<x€-1

⑶ 3x+2>3x-5 ⑷ x€+x-3<0

1

배우고 익히는 수학

다음 일차부등식을 풀고 그 해를 수직선 위에 나타내시오.

⑴ x-5<-1 ⑵ -7x+5>-9

2

다음 일차부등식을 풀고 그 해를 수직선 위에 나타내시오.

⑴ 5x-4<6 ⑵ -3x+1<16 예 제 1

풀이 ⑴ 양변에 4를 더하면 5x-4+4<6+4 양변을 정리하면 5x<10 양변을 5로 나누면 5x

5 <:¡5º:, x<2 즉, x의 값은 2보다 작은 모든 수이므로 이 해를

수직선 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다.

⑵ 양변에서 1을 빼면 -3x+1-1<16-1 양변을 정리하면 -3x<15 양변을 -3으로 나누면 -3x-3 > 15

-3 , x>-5 즉, x의 값은 -5보다 크거나 같은 모든 수이므

로 이 해를 수직선 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다.

⑴ x<2 ⑵ x>-5 수직선은 풀이 참조 1

0 2 3 4

-1

-4

-5 -3 -2-1 0 -6

수직선 위의 2에 대응하는 점에서 ◯는 수 2가 부등식 의 해에 포함되지 않음을 나타낸다.

수직선 위의 -5에 대응하 는 점에서 는 수 -5가 부등식의 해에 포함됨을 나 타낸다.

오른쪽 일차부등식의 풀이에서 잘못된 부분을 찾아 그 까닭을 설명하고 바르게 고치시오.

의사소통

3

일차부등식을 열심히 푼 나에게 칭찬 한마디! 2. 일차부등식과 연립일차방정식

59

여러 가지 일차부등식은 어떻게 풀까?

부등식 x-6>3의 양변에 6을 더하면 x-6+6>3+6, x>3+6

이 된다. 이때, x-6>3의 좌변에 있던 -6이 우변으로 옮겨져 x>3+6 의 +6이 되었다고 생각할 수 있다.

이와 같이 부등식의 성질을 이용하여 부등호의 방향을 바꾸지 않으면서 부등식의 한 변에 있는 항을 부호를 바꾸어 다른 변으로 옮기는 것을 방정식에서와 마찬가지로 이 항이라고 한다.

일차부등식 -(4x+2)<2(x+5)를 푸시오.

예 제 3

풀이 괄호를 풀면 -4x-2<2x+10

2x와 -2를 이항하면 -4x-2x<10+2 양변을 정리하면 -6x<12

양변을 -6으로 나누면 x>-2 x>-2

괄호가 있는 일차부등식은 먼저 분배법칙을 이용하여 괄호를 풀어 정리한 후 부등식 을 푼다.

다음 일차부등식을 푸시오.

⑴ 5x>2(x+8)-4 ⑵ 3-4(x+1)>5(x-2)

2

이항

x-6>3이항

x>3+6

일차부등식 4x-15>x+6을 푸시오.

예 제 2

풀이 x와 -15를 이항하면 4x-x>6+15 양변을 정리하면 3x>21

양변을 3으로 나누면 x>7 x>7

다음 일차부등식을 풀고 그 풀이 방법을 설명하시오.

⑴ 5x-4<2x+5 ⑵ -3x+11>4x-3

의사소통

1

일차부등식을 풀 때에는 보통 미지수를 포함하는 항은 모두 좌변으로, 상수항은 모두 우변으로 이항한 후 동류항을 정리하여 푼다.

인원 4명

카드 만들기

➊ 크기가 같은 카드를 33장 준비한다.

➋ 모둠별로 별 카드를 1장 만든다.

➌ 4명의 모둠원이 각자 4장의 부등식 문제 카드와 각 문제의 해가 적힌 4장의 부등식 해 카드를 만든다.

규칙

➊ 카드를 잘 섞은 후 4명의 모둠원이 가위바위보를 하여 3명은 8장, 나머지 한 명은 9장의 카드를 갖는다.

➋ 먼저 자신이 갖고 있는 카드 중 문제 카드와 그 문제의 해 카드를 모두 내려놓는다.

➌ 카드가 남은 모둠원끼리 순서를 정한 후 자신의 차례가 되면 오른쪽에 앉은 사람의 카드 중 하나를 가 져온 뒤 위의 ➋와 같은 방법으로 카드를 내려놓는다.

➍ 별 카드를 마지막으로 갖고 있는 사람이 진다.

수학

놀이

와글 ^와글 와글 ^와글

다음 규칙에 따라 일차부등식 놀이를 해 보자.

문제 해결 의사소통

계수가 소수인 일차부등식은 양변에 10, 100, 1000, y과 같이 적당한 수를 곱하고, 계수가 분수인 일차부등식은 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 계수를 정수로 바꾸 어 풀면 편리하다.

다음 일차부등식을 푸시오.

⑴ 0.5x+2>0.3(x+4) ⑵ 1-x3 <;2!;(x+4)

3

다음 일차부등식을 푸시오.

⑴ 0.1x+0.2<1-0.3x ⑵ ;2X;-;3!;<;6%;x+1 예 제 4

풀이 ⑴ 양변에 10을 곱하면 x+2<10-3x -3x와 2를 이항하면 x+3x<10-2 양변을 정리하면 4x<8

양변을 4로 나누면 x<2

⑴ x<2 ⑵ x>-4

⑵ 양변에 6을 곱하면 3x-2<5x+6 5x와 -2를 이항하면 3x-5x<6+2 양변을 정리하면 -2x<8

양변을 -2로 나누면 x>-4

여러 가지 일차부등식을 풀어 본 느낌은?

2x+2<6 x<2 카드 예시

2. 일차부등식과 연립일차방정식

61

생각 열기

생활

다음은 엘리베이터에 짐을 싣고 있는 모습이다.

상자를 몇 개까지 실을 수 있어?

음. 이 엘리베이터는 450kg까지 실을 수

있고, 상자 한 개는 15kg이야.

아! 너랑 나랑 같이 타고 올라가니까 몸무게도 생각해

야 하는 구나! 내 몸무게는 60kg이야.

내 몸무게는 50kg이야.

그럼, 상자를 최대 몇 개 까지 실을 수 있을까?

수진

동철

일차부등식을 이용하여 문제를 해결할 때에는 문제 상황에서 구하려고 하는 수량을 찾아 미지수로 놓고, 문제에 주어진 조건을 이용하여 수량 사이의 관계를 일차부등식 으로 나타내어 푼다.

일차부등식을 활용하여 어떻게 문제를 해결할 수 있을까?

➊ 구하려고 하는 것은 무엇인가?

➋ 위의 ➊에서 구하려고 하는 것을 미지수 x로 놓고 식을 만들어 보자.

➊ 미지수 정하기

문제의 뜻을 이해하고, 구하려고 하는 것을 미지수 x로 놓는다.

엘리베이터에 실을 수 있는 상자를 x개라고 하자.

➋ 부등식 세우기

주어진 조건을 이용하여 수량 사이 의 관계를 찾아 부등식을 세운다.

동철이와 수진이의 몸무게와 엘리베이터에 실을 수 있는 상 자의 무게의 합이 450 kg 이하가 되어야 한다. 즉,

(동철이와 수진이의 몸무게)+(상자 한 개의 무게)_x<450 이므로 60+50+15x<450

➌ 부등식 풀기 부등식을 푼다.

부등식을 풀면 15x<340, x<22.666 y 따라서 최대 22개까지 실을 수 있다.

➍ 확인하기

구한 해가 문제의 뜻에 맞는지 확 인한다.

22개의 상자를 실을 때, 엘리베이터에 실린 총무게는 60+50+15_22=440 (kg)

이고, 23개의 상자를 실을 때, 엘리베이터에 실린 총무게는 60+50+15_23=455 (kg)

이다.

따라서 상자를 22개 이하로 실으면 엘리베이터에 실린 총 무게는 450 kg 이하이므로 문제의 뜻에 맞는다.

생각 열기의 상황을 일차부등식을 활용하여 해결해 보자.

선우가 집에서 시장에 갈 때에는 분속 50 m로, 시장에서 집으로 돌아올 때에는 분속 40 m로 걸었다.

시장에서 물건을 사는 데 걸린 시간 4분을 포함하여 집으로 돌아오는 데 총 40분을 넘기지 않았을 때, 시장과 집 사이의 거리는 몇 m 이하인지 구하시오.

예 제 5

풀이

미지수 정하기 시장과 집 사이의 거리를 x m라고 하자.

부등식 세우기 시장에 갈 때 걸린 시간은 x50 분, 집으로 돌아올 때 걸린 시간은 x

40 분이다.

이때, 물건을 사는 데 걸린 시간 4분을 포함하여 집으로 돌아오는 데 총 40분을 넘기지 않았으므로 x50 + x

40 +4<40

부등식 풀기 부등식을 풀면 4x+5x+800<8000, 9x<7200, x<800 따라서 시장과 집 사이의 거리는 800 m 이하이다.

확인하기 선우가 집에서 800 m 거리에 있는 시장에 다녀온다면 소요되는 총시간은 :•5º0º:+:•4º0º:+4=40(분)이므로 문제의 뜻에 맞는다. ^{800 m}

일차부등식을 푸는 데 자신감이 생겼나요?

현재 형의 저축액은 9000원, 동생의 저축액은 5000원이다. 다음 주부터 매주 월요일에 형은 400원씩, 동생은 1000원씩 저축할 때, 지금으로부터 몇 주 후 에 처음으로 동생의 저축액이 형의 저축액보다 많아지는지 구하시오.

1

배우고 익히는 수학

오른쪽 그림과 같이 윗변의 길이가 6 cm이고 높이가 10 cm인 사다리꼴의 넓이가 72 cm€ 이상이 되도록 할 때, 아랫변의 길이의 범위를 구하시오.

2

10`cm 6`cm

오른쪽 와 같이 일상생활에서 일차부등식을 이용하여 해결할 수 있는 문제를 만들어 풀어 보자. 또, 자신의 풀이 방법을 친구들에게 이야 기해 보자.

의사소통

3

꽃 가게에서 한 송이에 1300원인 장미를 포장하여 사려고 한다. 포장하는 가격이 5000원일 때, 18000원으로 장미를 몇 송 이까지 살 수 있는지 구하시오.

2. 일차부등식과 연립일차방정식

63

생각 열기

사회

수지는 장애인 복지 센터에서 오렌지과자는 한 봉지에 4개씩, 초콜릿 과자는 한 봉지에 5개씩 넣어 포장하는 봉사 활동을 하고 있다. 오렌지 과자용 봉지는 x개, 초콜릿과자용 봉지는 y개 있다고 한다.

➊ 포장하게 될 과자의 개수를 x, y를 사용한 식으로 나타내어 보자.

➋ 포장한 과자의 개수가 50개일 때, 이를 x, y를 사용한 등식으로 나타내어 보자.

미지수가 2개인 일차방정식은 무엇일까?

•연립일차방정식과 그 해의 의미를 이해한다.

연립일차방정식과 그 해

3

생각 열기에서 x, y 사이의 관계를 등식으로 나타내면 4x+5y=50

이다. 이 등식은 x, y의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하므로 두 미지수 x, y에 대한 방정식이다.

이와 같이 미지수가 2개이고 그 차수가 모두 1인 방정식을 미지수가 2개인 일 차방정식 또는 간단히 일차방정식이라고 한다.

일반적으로 미지수가 x, y의 2개인 일차방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

ax+by+c=0 (단, a, b, c는 수, a+0, b+0)

보기 2x+3y=0, x-4y+2=0, 3x-4y=7, -2x+5=y는 모두 미지수가 2개인 일차방정식이다.

이제 x, y의 값이 자연수일 때, 일차방정식 3x+y=10 을 참이 되게 하는 x, y의 값을 구해 보자.

일차방정식 3x+y=10의 x에 자연수 1, 2, 3,`…을 차례대로 대입하여 y의 값을 구하 면 다음 표와 같다.

x 1 2 3 4 5 …

y 7 4 1 -2 -5 …

이때, y의 값도 자연수이어야 하므로 일차방정식 3x+y=10 을 참이 되게 하는 x, y의 값을 순서쌍 (x, y)로 나타내면 (1, 7), (2, 4), (3, 1)이다.

이와 같이 미지수가 2개인 일차방정식을 만족시키는 x, y의 값 또는 그 순서쌍 (x, y) 를 그 일차방정식의 해라고 한다. 또, 일차방정식의 해를 모두 구하는 것을 방정식을 푼 다고 한다.

참고 x, y에 대한 일차방정식의 해 (3, 1)을 x=3, y=1로 쓰기도 한다.

태도 및 실천

다음 중 해가 x=4, y=1인 일차방정식을 모두 찾으시오.

⑴ x-3y=7 ⑵ 3x-y=11

⑶ 2x+3y=5 ⑷ x+5y=9

2

x, y가 자연수일 때, 다음 일차방정식의 해를 모두 구하시오.

⑴ x+y=4 ⑵ 3x+2y=10

3

우리 주변에서 미지수가 2개인 일차방정식으로 나타낼 수 있는 상황을 찾아 다음 보기와 같이 써 보자.

의사소통

1

배우고 익히는 수학

내가 정한 오늘 수업의 주인공은?

상황

x:

y:

식

상황

x:

y:

식

상황

준석이는 농구 대회에서 2점 슛 과 3점 슛을 합하여 14득점을 기록하였다.

x: 2점 슛을 넣은 횟수(회) y: 3점 슛을 넣은 횟수(회) 식 2x+3y=14

보기

오른쪽 그림은 일회용 컵 1개와 연습장 1장을 사용했을 때의 탄소 발자국이 다. 어느 날 준석이가 하루 동안 일회용 컵과 연습장을 사용한 결과 발생 한 탄소 발자국이 31 g이라고 한다.

⑴ 이날 준석이가 사용한 일회용 컵과 연습장의 수를 각각 구해 보자.

⑵ 이날 준석이가 일회용 컵을 사용하지 않았다면 탄소 발자국을 얼 마나 줄일 수 있었는지 말해 보자.

(자료: 한국환경공단 블로그, http://blog.naver.com/kecoprumy, 2016년) 문제 해결 창의・융합

일회용 컵을 사용하지 않는다면 탄소 발자국을 얼마나 줄일 수 있을까?

53쪽

탄소 발자국은 전등을 켜거나 컴퓨터를 사용하거나 버스나 자동차를 타는 등 대부분의 일상생활에서 발생 한다. 탄소 발자국을 완전히 없애는 것은 불가능하지만 계단 오르내리기, 자전거 타기, 대중

교통 이용하기, 일회용품 사용 줄이기 등을 실천하면 탄소 발자국을 줄일 수 있다.

일회용 컵을 사용하지 않는다면 탄소 발자국을 얼마나 줄일 수 있을까?

장을 사용했을 때의 탄소 발자국이 다. 어느 날 준석이가 하루 동안 일회용 컵과 연습장을 사용한 결과 발생

년)

한다. 탄소 발자국을 완전히 없애는 것은 불가능하지만 계단 오르내리기, 자전거 타기, 대중 교통 이용하기, 일회용품 사용 줄이기 등을 실천하면 탄소 발자국을 줄일 수 있다.

2. 일차부등식과 연립일차방정식

65

생각 열기

환경

진혁이네 반 학생 26명은 환경 보호 활동에 참가하기 위해 3명 또는 4명이 한 모둠을 이루어 총 7개의 모둠을 만들었다.

생각 열기에서 얻은 두 일차방정식은 x+y=7, 3x+4y=26 이다.

이때, 두 미지수 x, y에 대한 일차방정식 2개를 묶어 [ x+y=7

3x+4y=26

과 같이 나타낸 것을 미지수가 2개인 연립일차방정식 또는 간단히 연립방정식이라고 한다.

미지수가 2개인 연립일차방정식은 무엇이고, 그 해는 어떻게 구할까?

➊ 3명인 모둠이 x개, 4명인 모둠이 y개라고 할 때, 다음 안에 알맞은 식을 써넣어 보자.

모둠의 총개수 7개 =7 반 학생 수 26명 =26

➋ 위의 ➊에서 구한 식을 동시에 참이 되게 하는 x, y의 값을 구하는 방법을 말해 보자.

x, y가 자연수일 때, 다음 연립방정식을 푸시오.

[ x+y=5 yy① 2x+y=8 yy② 예 제

풀이 두 일차방정식 ①, ②의 해를 각각 구하면 다음 표와 같다.

①의 해

x 1 2 3 4 …

y 4 3 2 1 …

②의 해

x 1 2 3 4 …

y 6 4 2 0 …

따라서 구하는 연립방정식의 해는 위의 표에서 ①, ②의 공통인 해 x=3, y=2이다.

x=3, y=2

또, 연립방정식을 이루는 두 일차방정식을 동시에 참이 되게 하는 x, y의 값 또는 그 순서쌍 (x, y)를 그 연립방정식의 해라고 하며, 연립방정식의 해를 구하는 것을 연립 방정식을 푼다고 한다.

개인 연립일차방정식은 무엇이고, 그 해는 어떻게 구할까?

x, y가 자연수일 때, 다음 연립방정식을 푸시오.

⑴ [ x+y=5

x-y=3 ⑵ [ 2x-y=4

3x+2y=13

3

다음 중 해가 (3, -1)인 연립방정식을 모두 찾으시오.

⑴ [ x+y=2

x+5y=-2 ⑵ [ 4x+y=11

3x-y=8

⑶ [ 2x-y=-7

4x-3y=15 ⑷ [ x+4y=-1

2x+y=5

2

컴퓨터 단층 촬영(CT 촬영)에 기본이 되는 수학 원리는 연립일차방정식이다.

검사하고자 하는 인체의 부위에 여러 방향에서 X선을 투과하면 X선이 통과하는 영역 에서 각각 흡수한 에너지 차이를 일차방정식으로 나타낼 수 있다. 또, X선의 방향을 바 꾸면 여러 개의 일차방정식이 나타나고 이를 연립방정식으로 묶어 해를 구할 수 있다.

이때, 방정식의 개수는 수천 개에서 수만 개인데 컴퓨터를 이용하면 5초 정도의 짧은 시간 안에 풀이가 가능하다고 한다.

이와 같이 구한 X선 흡수율 정도에 따라 촬영된 부분을

흰 점, 검은 점 또는 중간 밝기의 회색 점으로 표시하여 단면 영상이나 3차원 영상을 얻을 수 있고, 이를 통해 병을 진단할 수 있다고 한다.

(자료: “수학동아”, 2012년, 11월)

연립방정식을 이용한 컴퓨터 단층 촬영 ^{추론 창의・융합}

다음 문장을 연립방정식으로 나타내시오.

⑴ 리우 올림픽 양궁 종목 단체전에서 우리나라 여자 대표 팀은 9점 x발과 10점 y발을 합하여 18발을 쏘아 164점을 얻었다.

⑵ 2016년 우리나라 총인구는 남자 x명과 여자 y명

을 합하여 49855796명이고, 여자가 남자보다 92756명이 더 많다.

(자료: 국가통계포털, http://kosis.kr, 2016년)

1

배우고 익히는 수학

차원 영상을 얻을 수 있고, 이를 통해 병을 진단할 수 있다고 한다.

배운 내용을 이해했나요? 2. 일차부등식과 연립일차방정식

67

생각 열기

과학

구 2개의 무게와 사각뿔 1개의 무게의 합은 500 g이고, 구 1개의 무게는 사각뿔 2개의 무게와 같다고 한다. 이때, 사각뿔 1개의 무게를 구하는 방법을 말해 보자.

대입을 이용하여 연립일차방정식을 어떻게 풀까?

•미지수가 2개인 연립일차방정식을 풀 수 있고, 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다.

연립일차방정식의 풀이

4

생각 열기에서 구 1개의 무게를 x g, 사각뿔 1개의 무게를 y g이라고 할 때, x, y 사이의 관계를 식으로 나타내면

[ 2x+y=500 yy①

x=2y yy②

와 같다. 이때, ②를 ①에 대입하면 2_2y+y=500

이고 이 방정식을 풀면 5y=500, y=100

이다. 또, y=100을 ②에 대입하면 x=2_100=200

이다. 따라서 연립방정식의 해는 x=200, y=100이다.

x=2y 대입

2x+y=500

2_2y+y=500

일반적으로 연립방정식에서 한 방정식을 x=(y에 대한 식) 또는 y=(x에 대한 식) 으로 바꾸어 다른 방정식의 같은 미지수에 대입하여 미지수의 개수를 하나로 줄여 해 를 구할 수 있다.

연립방정식 [ 3x+y=2 yy①

x-3y=4 yy② 를 대입을 이용하여 푸시오.

예 제 1

풀이 ①에서 3x를 이항하면 y=2-3x yy③

③을 ②에 대입하면 x-3(2-3x)=4 10x=10, x=1

x=1을 ③에 대입하면

y=2-3_1=-1 x=1, y=-1

확인

3_1+(-1)=2 2=2 1-3_(-1)=4 4=4 )=

2=2 )=

4=4

=100`g

수학

활동

와글 ^와글 와글 ^와글

다음 연립방정식의 해를 구하고 그 해에 해당하는 글자를 아래에서 찾아 빈 곳에 차례대로 써넣어 수학자 의 이름을 완성해 보자.

문제 해결 의사소통

다음 연립방정식을 대입을 이용하여 푸시오.

⑴ [ y=-x+5

3x+y=7 ⑵ [ 4x-7y=-4

x=y+2

⑶ [ 2x+y=6

-3x+y=-4 ⑷ [ x+2y=5

3x-y=-6

1

배우고 익히는 수학

를 누르면 사라지는 것은 소리! 대입을 하면 사라지는 것은 !

㉠ [ y=-2x-5

-x+y=1 ㉡ [ x=10-2y

x+y=6 ㉢ [ x-y=2

2x-3y=3 x=

y=

x=

y=

x=

y=

x=3 y=1 스

x=-1 y=1

피

x=-2 y=-1

가

x=3 y=-1

타

x=2 y=-1

메

x=4 y=2 키

x=2 y=4 우

x=-2 y=-2 고

x=1 y=2 소

x=-1 y=2

데 다음은 두 학생이 연립방정식 [ 2y=x+3 yy①

3x-2y=-1 yy②의 해를 구한 것이다. 두 학생의 계산 과정을 비교하여 친구들과 이야기해 보자.

의사소통

2

경수 선희

①을 ②에 대입하면 3x-(x+3)=-1

3x-x-3=-1, 2x=2, x=1 x=1을 ①에 대입하면

2y=1+3, 2y=4, y=2 따라서 연립방정식의 해는 x=1, y=2

①의 양변을 2로 나누면 y= x+32 y③

③을 ②에 대입하면 3x-2_ x+32 =-1 2x=2, x=1

x=1을 ③에 대입하면 y= 1+32 =2 따라서 연립방정식의 해는 x=1, y=2

2. 일차부등식과 연립일차방정식

69

생각 열기

생활

배구 동아리에서 유니폼을 구입하려고 한 다. 상의 1벌과 하의 1벌을 사면 33000원 이고, 상의 2벌과 하의 1벌을 사면 51000 원이라고 한다.

연립방정식 [ x-y=4 yy①

3x+y=8 yy②에서 미지수 y를 없애기 위하여 방정식 ①, ②의 좌변과 우변을 각각 변끼리 더하면

(x-y)+(3x+y)=4+8 이다. 이 식을 정리하면 4x=12가 되어

x=3 이다.

이제 x=3을 ①에 대입하면 3-y=4, y=-1 이다.

따라서 연립방정식의 해는 x=3, y=-1 이다.

이와 같이 두 일차방정식을 변끼리 더하거나 빼어서 한 미지수를 없애 연립방정식의 해를 구할 수 있다.

연립방정식의 두 일차방정식에서 두 미지수 x, y의 계수의 절댓값이 각각 다른 경우 에는 각 방정식의 양변에 적당한 수를 곱하거나 나누어서 x 또는 y의 계수의 절댓값을 같게 만든 후, 두 일차방정식을 변끼리 더하거나 빼어서 푼다.

더하거나 빼어서 연립일차방정식을 어떻게 풀까?

➊ 상의 1벌과 하의 1벌의 가격을 각각 구 해 보자.

➋ 상의 1벌과 하의 1벌의 가격을 어떻게 구했는지 말해 보자.

33000원

51000원

x-y=4 +®†3x+y=8 4x =12

등식의 성질에 의하 여 [ A=B

C=D이면 A+C=B+D, A-C=B-D

가 성립한다.

<그림 1>

<그림 2>

다음 연립방정식을 더하거나 빼어서 푸시오.

⑴ [ x+y=-2

x-y=6 ⑵ [ 2x-3y=9

-4x-3y=3

⑶ [ 3x+4y=10

x+5y=7 ⑷ [ 7x+6y=11

5x-4y=-17

1

배우고 익히는 수학

다음 연립방정식을 더하거나 빼어서 푸시오.

[ 2x-3y=9 yy① 3x-2y=11 yy② 예 제 2

풀이 ①의 양변에 3을 곱하고, ②의 양변에 2를 곱하면 [ 6x-9y=27 yy①_3

6x-4y=22 yy②_2 위의 두 방정식을 변끼리 빼면 (6x-9y)-(6x-4y)=27-22 -5y=5, y=-1

y=-1을 ①에 대입하면 2x-3_(-1)=9

2x=6, x=3 x=3, y=-1

확인

2_3-3_(-1)=9 9=9 3_3-2_(-1)=11

11=11 )=

9=9 )=

11=11

내가 더 좋아하는 연립방정식 풀이 방법은?

6x-9y=27 -®†6x-4y=22 -5y= 5

다음은 두 학생이 연립방정식 [ y=2x-1 yy①

2x+y=7 yy②의 해를 구한 것이다. 두 학생의 계산 과정을 비교하여 친구들과 이야기해 보자.

의사소통

2

①에서 2x를 이항하면

-2x+y=-1 yy③

②에서 ③을 변끼리 빼면 4x=8 x=2

x=2를 ①에 대입하면 y=2_2-1=3

①을 ②에 대입하면 2x+(2x-1)=7 4x-1=7, 4x=8 x=2

x=2를 ①에 대입하면 y=2_2-1=3

선영 진수

2. 일차부등식과 연립일차방정식

71

여러 가지 연립일차방정식은 어떻게 풀까?

괄호가 있는 연립방정식은 먼저 분배법칙을 이용하여 괄호를 풀어 정리한 후 연립방 정식을 푼다.

계수가 소수 또는 분수인 연립방정식은 양변에 10, 100, 1000, …과 같이 적당한 수 를 곱하거나 분모의 최소공배수를 곱하여 두 방정식의 계수를 모두 정수로 바꾸어 풀 면 편리하다.

연립방정식 [ 4x-2(y+3)=3x-2 yy①

5x-4=2y+8 yy② 를 푸시오.

예 제 3

연립방정식

[

;2#;x+;4!;y=-1 yy② 를 푸시오.

예 제 4

풀이 ①의 좌변에서 괄호를 풀면 4x-2y-6=3x-2 위의 식에서 3x와 -6을 이항하면

x-2y=4 ……③

②에서 2y와 -4를 이항하면 5x-2y=12 ……④

③에서 ④를 변끼리 빼면 -4x=-8, x=2

x=2를 ③에 대입하면 2-2y=4 -2y=2, y=-1

x=2, y=-1

풀이 ①의 양변에 10을 곱하고, ②의 양변에 4를 곱하면 [ 6x-2y=17 yy③

6x+y=-4 yy④

③에서 ④를 변끼리 빼면 -3y=21, y=-7

y=-7을 ④에 대입하면 6x-7=-4 6x=3, x=;2!;

x=;2!;, y=-7 확인

4_2-2(-1+3)=3_2-2 4=4 5_2-4=2_(-1)+8

6=6 )=

4=4 6=6

확인

0.6_;2!;-0.2_(-7)=1.7 1.7=1.7

;2#;_;2!;+;4!;_(-7)=-1 -1=-1 )=

1.7=1.7

)=- -1=-1 x-2y= 4

-®† 5x-2y= 12

-4x =-8

6x-2y= 17 -®†6x+ y=-4 -3y= 21

다음 연립방정식을 푸시오.

⑴ [ 2(x-3)=y-5

x-1=y-3 ⑵ [ 5x-(x-3y)=4 2x+3(x+y)=4x+10

1

배우고 익히는 수학

다음 연립방정식을 푸시오.

⑴

[

;5!;x-;2!;y=4 ⑵ [ 0.2x+0.5y=-1 0.4x+0.25y=1

⑶

[

0.4x+0.3y=-0.2 ⑷

[

;3!;x-0.4y=1.2

2

연립방정식은 해가 하나인 경우도 있지만 연립방정식에 따라 다음과 같이 그 해가 무수히 많거나 없는 경우도 있다.

연립방정식의 해는 무조건 한 개일까? ^추론

오른쪽은 다음 연립방정식의 해를 구한 것이다. 처음 으로 잘못된 부분을 찾고, 옳은 해를 구하시오.

[

;3@;x+;2!;y=-1 yy②

3

②_6을 하면 4x+3y=-1 yy④

③에서 ④를 변끼리 빼면 -3x=3, x=-1 x=-1을 ③에 대입하면 -1+3y=2, y=1

연립방정식 [ x+2y=3 yy①

x=3-2y yy②를 풀어 보자.

②에서 -2y를 이항하면

x+2y=3 yy③

이때, ①과 ③은 일치하므로 이 연립방정식의 해는 무수히 많다.

연립방정식 [ 4x+y=3 yy①

4x+y=10 yy②를 풀어 보자.

①에서 ②를 변끼리 빼면 0=-7 yy③

이때, ③은 참이 될 수 없으므로 ①, ②를 동시에 만족시킬 수 없다.

따라서 이 연립방정식의 해는 없다.

여러 가지 연립방정식을 풀어 본 느낌은? 2. 일차부등식과 연립일차방정식

73

➊ 미지수 정하기

문제의 뜻을 이해하고, 구하려고 하는 것을 미지수 x, y로 놓는다.

이번 달 전기 요금을 x원, 수도 요금을 y원이라고 하자.

➋ 방정식 세우기

주어진 조건을 이용하여 수량 사이의 관계를 찾아 연립방정식을 세운다.

연립방정식을 세우면 [ x+y=31000 yy①

x-y=15000 yy②

➌ 방정식 풀기 연립방정식을 푼다.

방정식 ①, ②의 좌변과 우변을 변끼리 더하면 2x=46000, x=23000

x=23000을 ①에 대입하면 23000+y=31000, y=8000

따라서 전기 요금은 23000원이고 수도 요금은 8000원이다.

➍ 확인하기

구한 해가 문제의 뜻에 맞는지 확 인한다.

전기 요금과 수도 요금의 합은 23000+8000=31000(원) 이고, 전기 요금과 수도 요금의 차는 23000-8000=15000(원) 이므로 문제의 뜻에 맞는다.

생각 열기

생활

다음은 성민이네 집의 전기 요금과 수도 요금을 확인하는 모습이다.

이번 달은 전기 요금과 수도 요금이 얼마야?

아니! 전기 요금이 수도 요금보다 15000원

더 많이나왔어.

전기 요금과 수도 요금은 각각 얼마일까?

그렇구나! 두 요금이 같아?

31000합해서원 이야.

➊ 구하려고 하는 것은 무엇인가?

➋ 위의 ➊에서 구하려고 하는 것을 미지수 x, y로 놓고 식을 만들어 보자.

연립일차방정식을 활용하여 어떻게 문제를 해결할 수 있을까?

고지서

원

연립방정식을 이용하여 문제를 해결할 때에는 문제 상황에서 구하려고 하는 수량을 찾아 미지수로 놓고, 문제에 주어진 조건을 이용하여 수량 사이의 관계를 연립방정식 으로 나타내어 푼다.

생각 열기의 상황을 연립방정식을 활용하여 해결해 보자.

다음은 옛 수학책인 “구장산술(九章算術)”에 실린 문제이다. 이 문제를 풀어 보자.

소 다섯 마리와 양 두 마리에 열 냥, 소 두 마 리와 양 다섯 마리에 여덟 냥이다.

소 한 마리와 양 한 마리의 값은 각각 얼마인 지 구하시오.

(자료: 유휘(김혜경•윤주영 역), “구장산술”)

창의・융합

2

각 자리의 숫자의 합이 9인 두 자리 자연수가 있다. 십의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자를 바꾼 두 자 리 자연수는 처음 수보다 27이 작다고 할 때, 처음 두 자리 자연수를 구하시오.

1

배우고 익히는 수학

미영이는 집에서 5 km 떨어진 도서관까지 가는데 처음에는 시속 8 km로 뛰다가 도중에 시 속 4 km로 걸어서 1시간 만에 도착하였다. 이때, 미영이가 뛰어간 거리와 걸어간 거리를 각각 구하시오.

예 제 5

풀이

미지수 정하기 미영이가 뛰어간 거리를 x km, 걸어간 거리를 y km라고 하자.

방정식 세우기 미영이가 이동한 거리는 5 km이므로 x+y=5 ……①

또, 뛰어간 시간이 ;8X;시간, 걸어간 시간이 ;4Y;시간이고 걸린 시간이 1시간이므로

;8X;+;4Y;=1 ……②

방정식 풀기 ②의 양변에 8을 곱하면 x+2y=8 ……③ ③에서 ①을 변끼리 빼면 y=3

y=3을 ①에 대입하면 x+3=5, x=2

따라서 미영이가 뛰어간 거리는 2 km이고, 걸어간 거리는 3 km이다.

확인하기 뛰어간 거리와 걸어간 거리의 합은 2+3=5 (km)이고, 걸린 시간은

;8@;+;4#;=1(시간)이므로 문제의 뜻에 맞는다.

뛰어간 거리: 2 km, 걸어간 거리: 3 km

연립방정식을 푸는 데 자신감이 생겼나요? 2. 일차부등식과 연립일차방정식

75