STEAM R&E 연구결과보고서
(가상매듭의 풀림변환과 유전자의 진화)
2016. 11. 30.
한국과학기술원부설한국과학영재학교
< 연구 결과요약 >
과 제 명 가상매듭의 풀림변환과 유전자의 진화
연구목표 평행매듭과 반평행매듭이라는 특수한 상황에서 p-다항식의 특성을 알아본다.
연구내용
먼저 평행매듭의 상황을 분석해보자.
와 사이의 관계는 이며,
와 사이의 관계는 이다.
이를 통해 라는 사실을 추론할 수 있으며,
′ ′ ′를 정의하여 귀납적으로 증명가능하다.
비슷한 방법으로 반평행매듭의 상황을 분석해보면,
와 사이의 관계는 이며,
와 사이의 관계는 이다.
이를 통해 라는 사실을 추론할 수 있으며,
′ ′ ′를 정의하여 귀납적으로 증명가능하다.
연구성과 학생 주도적으로 진행하여 p-다항식의 중요한 특성을 밝혀냈다.
주요어
(Key words) 가상매듭(virtual knots), p-다항식(p-polynomial)
< 연구 결과보고서 >
1. 개요
1.1 매듭 이론은 왜 필요한가?
직선 위의 모든 점은 한 점을 제외한 원 위의 모든 점에 대응된다. 또한, 평면 위의 모든 점은 한 점을 제외한 구 위의 모든 점에 대응된다. 이를 일반적으로 적용하여 ℝ를 두 구면에 대응시키면 두 구면 또한 두 개의 원소를 가지는 고리에 대응된다. 따라서 3차원 공간을 정확히 이해하기 위해 서는 고리와 매듭에 대한 이해가 먼저 이루어져야 한다. 우리가 살고 있는 이 세상의 구조를 이해 하기 위해서는 더욱 발전된 매듭 이론에 대한 연구는 필수적이다.
1.2 가상 매듭은 왜 필요한가?
가우스 코드는 매듭 다이어그램을 분석하기 위한 하나의 도구이다. 본래의 가우스 코드는 부호의 개념이 없으나, 우리가 매듭에 일정한 방향을 지정해주려 한다면 가우스 코드의 각 교차점에 +1과 -1과 같은 부호를 줄 수 있다. 가상 매듭은 우리가 매듭의 방향을 정의할 때 생길 수 있는 모호함 을 해결해준다. 다음의 문제를 생각해보자. 만약 가우스 코드를 무작위하게 지정해 줄 경우 과연 그 매듭이 항상 정확하다고 할 수 있을까? 실교차점만을 가지고는 모든 가우스 코드에 모든 매듭 을 대응시킬 수 없다. 즉, 실매듭으로는 표현 불가능한 가우스 코드는 분명히 존재한다. 이런 모호 함을 해결하기 위해 가상 매듭의 개념이 제시되었다.
2. 연구 수행 내용
□ 이론적 배경 및 선행 연구 2.1 매듭
매듭은 끈 하나를 적절히 엉기게 한 후 끝 점 두 개를 이어붙인 것을 의미한다. 이 매듭들은 매 듭 다이어그램으로 표현된다. , 를 매듭 다이어그램이라 하자. 이 때, 만약 을 자르거나 붙 이지 않고 로 변환할 수 있다면, 과 는 같은 매듭을 나타낸다. 또한 이 와 같다면 을 라이더마이스터 변형을 통해 로 바꿀 수 있음이 잘 알려져 있다.
RI RII RIII
그림 1. 라이더마이스터 변형
방향을 가지는 매듭에서는 교차점 부호를 생각할 수 있다. 교차점 의 교차점 부호는 으로 나타내며, 그림 2는 어떻게 을 결정하는지 보여주고 있다.
교차점 부호 = +1 교차점 부호 = -1
그림 2. 교차점 부호
2.2 가상 매듭
가상매듭은 가상 교차점을 가지는 매듭을 의미하며, 매듭 다이어그램에서는 다음과 같이 표현된 다.
그림 3. 가상 교차점의 표현
, 가 어떤 가상 매듭의 매듭 다이어그램이라 하자. 이 때 이 라이더마이스터 변형과 가상 라이더마이스터 변형을 통해 로 변환될 수 있다면,과 는 같은 가상 매듭으로 정의된다.
VRI VRII VRIII VRIV
그림 4. 가상 라이더마이스터 변형
2.3 매듭 불변량
를 모든 매듭들의 집합, 를 와 같은 집합이라 하자. 함수 →에 대해 함수 가 ⇒ 을 만족할 때, 를 매듭 불변량이라고 부른다. 매듭 불변량은 두 매듭이 서로 다름을 보일 때 유용하게 사용된다. 콘웨이 다항식, 카우프만 다항식, HOMFLY 다항식이 대 표적인 매듭 불변량들이다. 하지만 이 불변량들을 가상 매듭에 적용하는 데에는 어려움이 있다. 우 리는 가상 매듭에 대해서도 적용할 수 있는 매듭 불변량으로 p 다항식을 사용할 것이다.
2.4 p 다항식의 정의
를 가상 매듭, 는 의 임의의 교차점이라 하자. 그 때 d의 smoothing 과정은 다음과 같이 정 의된다.
smoothing의 결과로, 우리는 두 개의 원소를 가지는 가상 고리를 얻을 수 있다. ①과 ②가 각각의 원소일 때, 그림 5는 어떻게 ①과 ②를 설정하는지 보여주고 있다. 그 후 smoothing을 하지 않은 모든 실교차점들을 붕괴된 교차점으로 바꿈으로써 를 얻을 수 있다.
를 의 붕괴된 교차점이라 하자. 이 때 는 다음과 같이 정의된다.
정의. 를 의 교차점들의 집합으로 놓고 ∈일 때 를 의 붕괴된 교차점이라 하 자. 이 때 는 다음과 같이 정의된다.
→
① ②
←
그림 5. smoothing of d
그림 6.
∈
정의. 정수 계수 다항식 는 다음과 같이 정의된다.
∈
정리.
이면
이다. 즉, p다항식은 매듭 불변량이다.
3. 연구 결과 및 시사점
□ 평행매듭의 p다항식
3.1 평행 매듭
그림 10과 같은 교차점을 가지는 매듭을 평행 매듭이라고 부르기로 약속하자. 각각의 평행매듭의 p-다항식을 표현하는 방법 역시 그림 7에 나타나있다.
...
그림 7. 평행 매듭과 그들의 p-다항식 표기법
3.2 와 사이의 관계
, 로 놓자. , 가 매듭이 되어야하기 때문에 그림 8의 상황만 을 보이는 것으로 충분하다.
그림 8. 매듭 과
이 때 과 양쪽에서 공통적으로 나타나는 교차점이 반드시 존재한다. 이 교차점을 으로 놓 자. ⋯ 을 실교차점으로 놓고 ⋯을 가상교차점으로 놓자.
임은 정의에 의해서 자명하다.
두 가지 경우를 고려할 수 있다. (1) 이 실교차점인 경우 (2) 이 가상교차점인 경우 (1)의 경우를 보자.
,
이는 ()과 ()의 방향이 서로 반대이기 때문이다. 그렇다면,
이 때, 는 ⋯의 p다항식을 나타낸다.
(2)의 경우도 비슷하게 접근하면,
이 때, 는 ⋯의 p다항식을 나타낸다.
에서 와 사이의 관계를 알아보자.
은 과 에 대해 같기 때문에 도 과 에 대해 같다. 그러므로
이다. 즉,
이 0 이상의 정수일 때
라는 결론을 도출할 수 있다.
3.3 와 사이의 관계
, 로 놓자. , 가 매듭이 되어야하기 때문에 그림 9의 상황만 을 보이는 것으로 충분하다.
그림 9. 매듭 과
이 때 과 양쪽에서 공통적으로 나타나는 교차점이 반드시 존재한다. 이 교차점을 으로 놓 자. 그리고 ⋯을 실교차점으로 놓고 ⋯을 가상 교차점으로 놓자.
임은 정의에 의해서 자명하다.
두 가지 경우를 고려할 수 있다. (1) 이 실교차점인 경우 (2) 이 가상 교차점인 경우 (1)의 경우를 보자.
,
이는 ()와 ()의 방향이 서로 반대이기 때문이다. 그렇다면,
이 때, 는 ⋯의 p-polynomial이다.
(2)의 경우도 비슷하게 접근하면,
여기서 는 ⋯의 p-polynomial이다.
에서 와 사이의 관계를 알아보자.
이 , 에 대해 같기 때문에, 는 과 에 대해 같다. 즉,
이다. 그러므로
이 0 이상의 정수일 때
임을 알 수 있다.
3.4 와 의 관계
3.2와 3.3을 통해 와 사이의 관계를 쉽게 추측할 수 있다.
정리 3.1.
보조정리 3.1.
보조정리의 증명. 가운데에 의 교차점들을 가지는 매듭을 생각해보자. 실교차점은
, 가상교차점은 로 놓자.
(
,
)증명. ∈일 때 로 놓자.
우리는 ∈ ℕ∪ 임을 보이면 된다.
이 식은 3.2에 의해 일 때 성립한다. 그리고 귀납적으로 접근해보면,
즉, 에 대해 이 식은 참이다. 따라서 모든 ∈에 대해 식이 성립함을 알 수 있다.
□ 반평행매듭의 p다항식 4.1 반 평행 매듭
그림 10과 같은 교차점을 가지는 매듭을 반 평행 매듭이라고 부르기로 약속하자. 각각의 반 평행 매듭의 p다항식을 표현하는 방법 역시 그림 10에 나타나있다.
...
′ ′ ′
그림 10. 반 평행 매듭과 그들의 p-다항식 표기법
4.2 ′와 ′ 사이의 관계
′
′
′
′ ′, ′ ′로 놓자. ′, ′가 매듭이 되어야하기 때문에 그림 11의 상 황만을 보이는 것으로 충분하다.
′ ′
그림 11. 매듭 ′과 ′
매듭에서 을 실교차점, 을 가상 교차점으로 놓자.
이 때, 임은 정의에 의해서 자명하다. 그러면,
,
이는 과 의 방향이 서로 반대이기 때문이다.
즉, ′
이 성립한다. (단, f(t)는 의 p-다항식)
와 ′의 관계를 찾아보자. ′에서는
′과 ′에 대해서 가 같기 때문에, ′과 ′에서 은 동일하다. 따라서
′가 성
립한다.
그러므로 0 이상의 정수 에 대해 ′
′ 이 성립한다.
4.3 ′와 ′의 관계
′ ′, ′ ′로 놓자. ′, ′가 매듭이 되어야하기 때문에 그림 12의 상 황만을 보이는 것으로 충분하다.
′ ′
그림 12. 매듭 ′과 ′
매듭에서 을 실교차점, 을 가상 교차점으로 놓자.
이 때, 임은 정의에 의해서 자명하다. 그러면,
,
이는 (or )와 (or )의 orientation이 반대이기 때문이다.
즉, ′
이 성립한다. (단, f(t)는 의 p-다항식)
와 ′의 관계를 찾아보자. 에서는,
′과 ′에 대해 가 같기 때문에, ′과 ′에서 은 동일하다. 따라서 ′가 성립 한다.
그러므로 이 0보다 크거나 같은 정수일 때 ′ ′ 임을 알 수 있다.
4.4 ′와 ′의 관계
4.2와 4.3을 통해 ′와 ′ 사이의 관계를 쉽게 추측할 수 있다.
정리 4.1. ′′
보조정리 4.1. ′ ′ ′
보조정리의 증명. 보조정리 3.1의 증명과 완전히 동일하므로 생략한다.
증명. ∈일 때 로 놓자.
우리는 ∈ ℕ∪ 임을 보이면 된다.
이 식은 4.2에 의해 일 때 성립한다. 그리고 귀납적으로 접근해보면,
′ ′ ′
즉, 에 대해 이 식은 참이다. 따라서 모든 ∈에 의해 이 식이 성립한다.
4. 홍보 및 사후 활용
□ 논문집 게재
5. 참고문헌
[1] Allison Henrich(2008). A sequence of Degree One Vassiliev Invariants for Virtual Knots. arXiv:0803.0754v3 [math.GT]. 1-9.
[2] Louis H. Kauffman(1999). Virtual Knot Theory. Europ. J. Combinatorics. 663-691.
[3] Louis H. Kauffman(1988). New Invariants in the Theory of Knots. 195-208
