Analysis of High School Students’ Difficulty Related to Conceptual Knowledge in Solving Electromagnetism Problems

Analysis of High School Students’ Difficulty Related to Conceptual Knowledge in Solving Electromagnetism Problems

Junhong Lim · Bongwoo Lee ^∗

Department of Science Education, Dankook University, Yongin 448-701, Korea (Received 31 August 2013 : revised 15 October 2013 : accepted 11 December 2013)

The purpose of this study was to analyze the difficulty that high school students experienced in solving electromagnetism problems. For this purpose, 50 high school students participated in this research. We analyzed 45 cases in which students felt ‘content knowledge difficulty’ in solving problems. The results of this study are as follows: First, the most frequent difficulty encountered in solving electromagnetism problems is a “lack of prerequisite knowledge.” This type of difficulty was found with every content and resulted from an inability to recall prerequisite learning. Second, we found 4 cases involving a ‘lack of formula understanding’. The students understanding of a formula may adversely or pasitively affect the students’ understanding of physics concept related to that formula. Thus, more research on the double-sideness of a formula in physics problem solving is need. Third, we found 9 cases involving ‘confusion of content knowledge’ and 9 cases related to

‘incorrect prior knowledge.’

PACS numbers: 01.40.Ej

Keywords: High school students, Solving physics problem, Difficulty factor, Electromagnetism, Content knowledge

w

ŠŽ Ö «] K ¡t  ô p §8 ý  ¹ Å M ] K ¡ à U Ø< g þ s ÚT  Ê ÝX N Ë; c" e + s Ò À W ¥ 4 G › È U Å k Ä å ¾ ËV Ó Å # a \“ Ô Û Ä Z ØV Ä



™ »+ Ö < ý — ¡ · T  õ i u­ £ ^∗

é

ß –² D G @ /† < Ɠ § õ † < Ɠ §¹ ¢ ¤ õ , 6   x“   448-701

(2013¸   8 Z 4 31{ 9  ~ à Î6 £ §, 2013¸   10 Z 4 15{ 9  à º& ñ ‘ : r ~ à Î6 £ §, 2013¸   12 Z 4 11{ 9  > F  S X ‰& ñ )

‘

: r ƒ  ½ ¨_  3 l q& h “ É r “ ¦1 p x † < Ɠ § † < ÆÒ q t[ þ t s  „   l † < Æ ë  H ] j\  ¦ Û  ¦ s    H õ & ñ \ " f     H > h¥ Æ t d ” õ  › ' aº  

 )

a # Q 9¹ ¡ §`  ¦ ì  r$ 3    H  כ s  . s \  ¦ 0 AK  “ ¦1 p x † < ÆÒ q t 50" î `  ¦ @ / © œÜ ¼– Ð €  { Œ ™`  ¦ : Ÿ x # Œ „   l † < Æõ  › ' aº  

 )

a ë  H ] j\  ¦ K    €  " f   “ É r > h¥ Æ t d ”  # Q 9¹ ¡ § _   Y V 45> h\  ¦ ì  r$ 3  % i  . Å Òכ ¹ ƒ  ½ ¨   õ   H  6 £ § õ  ° ú  



. ' Í P :, † < ÆÒ q t[ þ t s  „   l † < Æ ë  H ] j Û  ¦ s \ " f  © œ ´ ú §s  µ 1 Ï|  ) a # Q 9¹ ¡ §“ É r ‚  ' Ÿ  € 9 à ºt d ”   Ò7 á ¤ Ü ¼– Ð 8 ú x 21 > h (46.7%) µ 1 Ï| ÷ &% 3  . s   H — ¸Ž  H ? /6   x כ ¹™ è\ " f µ 1 Ï| ÷ &% 3 Ü ¼ 9, ‚  ' Ÿ † < Ƹ  \ " f † < Æ_ þ v ô  Ç ? /6   x`  ¦ š ¸ Ï ?

@1 l x î ß – l % 3  t  3 l w % i l  M :ë  H s % 3  . Ñ ü t P :, / B Nd ”  s K   Ò7 á ¤ \ " f 4> h_  _ | s  ] jr ÷ &% 3   H X <, / B Nd ” 

“ É

r Ó ü t o  " é ¶ o \  ¦ s K    H  כ `  ¦ ~ ½ ÓK  l • ¸ “ ¦, • ¸¹ ¡ §`  ¦ Å Òl • ¸   H € ª œ€  $ í `  ¦ t “ ¦ e ” l  M :ë  H \  Å

Ò_  U  ·“ É r ƒ  ½ ¨ € 9 כ ¹  . ! Ó P :, ? /6   x t d ”  ™ D ¥1 l x Ü ¼– Ð “  ô  Ç # Q 9¹ ¡ §“ É r — ¸¿ º 9> h– Ð, ‘ l  © œõ  „   l  Ä

»• ¸’ é ß –" é ¶ \ " f ´ ú §s  µ 1 Ï| ÷ &% 3  .  Å P :, ¸ ú ˜3 l w ) a ‚  ' Ÿ t d ” Ü ¼– Ð “  ô  Ç # Q 9¹ ¡ §“ É r — ¸¿ º 9> h% i  .

PACS numbers: 01.40.Ej

Keywords: “ ¦1 p x † < ÆÒ q t, Ó ü t o  ë  H ] j Û  ¦ s , # Q 9¹ ¡ § כ ¹“  , „   l † < Æ, > h¥ Æ  t d ” 

∗

E-mail: [email protected] 1353

This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License (http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

I. " e  ] Ø

t

d ”  & ñ ˜ Ð o r @ /\ " f Ä ºo 
 ü < ° ú  s  …  ;ƒ   " é ¶ s  ‘  

€



•ô  Ç
   H D h– Ðî  r ¨ 8 Š â \  & h ½ + Ëô  Ç “  F \  ¦ € ª œ$ í   H  כ s

 ² D G _  ” > r F \  ¦   & ñ t `  ¦ ë ß –
p u ×  æ כ ¹  . : £ ¤ y  / å L   

>

    o   H [ j © œ 5 Å q \ " f D h– Ðî  r õ † < Æl Õ ü t`  ¦ ‚ ½ ÓØ  ¦ ½ + É Ã º e ”

  H ‚ ½ Ó_ § 4  e ”   H “  F _  € ª œ$ í “ É r s „  _  # Q‹ "  r l ˜ Ð 

•

¸ ×  æ כ ¹ >  # Œ t “ ¦ e ”  . t è ß – 1[ jl  1 l x î ß – õ † < Æl Õ ü t _

 x 9  2 £ § s  ÷ &# Q µ 1 ϲ ú ˜K “ : r Ó ü t o † < Ɠ É r  8¹ ¡ ¤  8   É r 5 Å q • ¸

–

Ð µ 1 τ     H p A _  õ † < Æl Õ ü t [ j> \ " f• ¸  © œ ×  æ כ ¹ô  Ç

†

< Æë  H Ü ¼– Ð # Œ t “ ¦ e ”  . Ä ºo 
 _  Ó ü t o † < Æ ì  r  • ¸ t  è

ß – ì ø Í[ jl  1 l x î ß – ´ ú §“ É r µ 1 τ  `  ¦ s À Ò# Q M ® o Ü ¼ 9, ×  æ· “ ¦1 p x † < Æ

“

§ † < ÆÒ q t[ þ t _  Ó ü t o † < Æ Ã ºï  r • ¸ ß ¼>  † ¾ Ó © œ÷ &# Q ² D G ] jÓ ü t o `  ¦ a Ë

>x  × ¼\ " f  à º_  { 9  © œ \  ¦ C Ø  ¦   H 1 p x ´ ú §“ É r $ í õ 

\

 ¦ % 3 “ ¦ e ”  . Õ ª Q
 þ j   H \   H Ó ü t o \  @ /ô  Ç < É ª p  ± ú 



| 9  ÷  r ë ß –  m   s / B N > \  @ /ô  Ç l x  ‰ & ³ © œÜ ¼– Ð “   # Œ õ

† < Æ> \ P \  ”  † < Æ   H † < ÆÒ q t[ þ t s  & h & h  ×  ¦ # Q[ þ t “ ¦ e ”   [1, 2]. : £ ¤ y    É r “ §õ ˜ Ð • ¸ Ó ü t o † < Æ\  @ /ô  Ç l x  ‰ & ³ © œs   8

¹

¡

¤  8 ¿ º× ¼ Qt  9 s   H † < Ƹ  s  Z  }  | 9 à º2 Ÿ ¤  8 d ”  o÷ &“ ¦ e ”

  [3]. s – Ð “   # Œ “ ¦1 p x † < ÆÒ q t[ þ t _  Ó ü t o “ §õ  ‚  × þ ˜ q Ö  ¦ s

 ± ú  t “ ¦, @ /† < Æ\ " f  H Ó ü t o † < Æõ _  ” > r ` ‚ 0 Al  { Œ •u 



 H 1 p x Ä ºo 
 _  Ó ü t o “ §¹ ¢ ¤ \  d ” y Œ •ô  Ç 0 Al  © œ S ! s 
 

“ ¦ e ”  .

Ó ü

t o  # Q§ >    H  כ “ É r ´ ú §“ É r ƒ  ½ ¨[ þ t [4–8] \ " f  À Ò# Q 4

R M ® o  . ^ ”  B â õ  s 4 Ÿ x Ä º [4]  H ×  æ· “ ¦1 p x † < ÆÒ q t[ þ t \ >  Ó ü t o 

 F p \ O  “ ¦ Ö ¼z   H s Ä »\  @ / # Œ ‘Ó ü t o  # Q 90 >" f’,

‘Ó ü t o  à º† < Æõ  › ' aº  s  e ” # Q" f’, ‘> í ß –õ  / B Nd ” s  Ÿ í† < Ê÷ &

#

Q e ” l  M :ë  H’ s    H   õ \  ¦ ] jr Ù þ ¡ . Angell 1 p x [7]“ É r,

†

< ÆÒ q t[ þ t s  Ó ü t o \  ¦ # Q 90 >   H s Ä » Ó ü t o \ " f  H > h¥ Æ \ 

@

/ô  Ç s K   H Ó ü t : r s  כ `  ¦ z  ´+ « >, / B Nd ” , > í ß –, Õ ªA á Ô 1 p x _ 



 É r ³ ð‰ & ³[ þ t – Ð  Ë ¨# Q s K K   l  M :ë  H s    H  כ `  ¦ µ

1 ß+ À I . Ó ü t o \  ¦ K $ 3  l  0 AK " f  H à º† < Æ& h “   0 p x§ 4 `  ¦ ° ú  Æ

ғ ¦ e ” # Q    H X <, s  כ “ É r † < ÆÒ q t[ þ t \ >  B Ä º  H # Q 9¹ ¡ § Ü

¼– Ð  “ : r   [9,10].

™

 ¥ y  † < ÆÒ q t[ þ t s  Ó ü t o  K $ 3 \  # Q 9¹ ¡ §`  ¦ ° ú   H  â Ä º  H Ó ü t o

 ë  H ] j\  ¦ Û  ¦ s    H õ & ñ \ " f
 è ß – . ë  H ] j\  ¦ K    



 H õ & ñ \ " f µ 1 ÏÒ q t   H # Q 9¹ ¡ §`  ¦ s K  l  0 AK " f  H ë  H ]

j K    õ & ñ `  ¦ ¶ ú ˜( R˜ Ѝ  H  כ s  _ p  e ”  .  © œ @ /³ ð

&

h “   — ¸+ þ A“ É r Polya [11] _  4é ß –>  — ¸+ þ AÜ ¼– Ð ë  H ] j_  s K ,

>

 S \ ‰ _  “ ¦î ß –, >  S \ ‰ _  z  ´…  ;, ì ø Í$ í Ü ¼– Ð ] jî ß – % i “ ¦, s  â   ñ [12]  H Ó ü t o \  ¦ # Q 90 >   H " é ¶ “  `  ¦ ì  r$ 3  l  0 AK  t d ”  ’  

¥ Æ

d  ¦`  ¦ > hµ 1 Ï “ ¦ t d ” `  ¦ > h¥ Æ & h  t d ” , õ & ñ & h  t d ” , Ð  o

| Ã

Ì& h  t d ”  1 p x Ü ¼– Ð
¾ º% 3  . e ” ï  r<  ª õ  s 4 Ÿ x Ä º [13]  H † < Æ Ò q

t[ þ t s  Ó ü t o  ë  H ] j Û  ¦ s  õ & ñ \ " f     H # Q 9¹ ¡ §`  ¦ > h¥ Æ  t  d ”

õ  õ & ñ t d ” Ü ¼– Ð
* $ ì  r$ 3  % i  .

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f  H † < ÆÒ q t[ þ t s  Ó ü t o  ë  H ] j\  ¦ Û  ¦ s    H õ & ñ

\

" f     H # Q 9¹ ¡ § \  @ /ô  Ç ½ ¨^ ‰& h “    Y Vƒ  ½ ¨– Ð" f „    l

† < Æ\  @ /ô  Ç ì  r$ 3 `  ¦ % i  . „   l † < Æ`  ¦ @ / © œÜ ¼– Ð ‚  × þ ˜ ô

 Ç  כ “ É r Ó ü t o  ë  H ] j_   â Ä º\  † < ÆÒ q t[ þ t s   © œ # Q 90 >   H

 כ

s  „   l † < Æõ  › ' aº   ) a ë  H ] j\  ¦ Û  ¦ s    H õ & ñ \ " f
 


l  M :ë  H s   [4, 14]. s  â   ñ [12]  H McDermott\  ¦ q

2 Ÿ © ô  Ç 0 >d ç ‡  @ /† < Æ_  Ó ü t o “ §¹ ¢ ¤ ƒ  ½ ¨Õ ªÒ  ¨ _  ƒ  ½ ¨[ þ t [15–

17]`  ¦ ì  r$ 3  # Œ „  l \  @ /ô  Ç † < ÆÒ q t[ þ t _  # Q 9¹ ¡ §`  ¦ ‘ › ' aº   Ó ü t o

> h¥ Æ  („  À Ó, „  · ú š, \  -t , „  § 4  1 p x)[ þ t`  ¦ ì  rZ >  t  3 l w

†

< Ê’, ‘s K _  ì  r] X $ í ’, ‘z  ´] j „  l  r– Ð\  @ /ô  Ç  â + « > Ò7 á ¤’,

‘ ¸ ú ˜3 l w ) a ’  ¥ Æ  (<  ʓ É r š ¸> h¥ Æ )’, ‘„  0 Aü < „  0 A _  ½ ¨ì  r # Q



9¹ ¡ §’, ‘# î § > = r– Ðü < f ” § > = r– Ð_  ½ ¨Z > 3 l w † < Ê’, ‘ r– Ð\  ¦  Òì  r ë

ß –`  ¦ ˜ Ѝ  H š ¸À Ó’, ‘„  l  r– Ð\  @ /ô  Ç [ O " î `  ¦ ½ + É Ã º e ”   H

>

h¥ Æ & h  — ¸+ þ A_   ÒF ’ 1 p x`  ¦ ] jr  % i  .  ë ß – s  ƒ  ½ ¨[ þ t

“ É

r # Q 9¹ ¡ § _  כ ¹“  \  @ /ô  Ç 7 á x ½ + Ë& h “   ì  r$ 3 `  ¦ ] jr  t  · ú §

“

¦ : £ ¤& ñ  Y V\  @ /ô  Ç ì  r$ 3 `  ¦ à º' Ÿ  % i  . † < ÆÒ q t[ þ t _  Ó ü t o  ë

 H ] jK   l 0 p x`  ¦ ’   © œr v l  0 AK " f  H ë  H ] jK   \  % ò † ¾ Ó

`

 ¦ p u   H   “  [ þ t`  ¦ ¹ 1 Ô ? /# Q Õ ª   õ \  ¦ à º\ O  õ & ñ õ  “ §

¹

¢

¤ õ & ñ , ¨ î \  ì ø Í% ò   H  כ s  € 9 כ ¹ l  M :ë  H \ , † < ÆÒ q t[ þ t s

 „   l † < Æ\ " f # Q* ‹ô  Ç כ ¹“  \  # Q 9¹ ¡ §`  ¦   “ ¦ e ”   H t 

\

 ¦ ì  r$ 3    H  כ “ É r B Ä º u  e ”  “ ¦ ½ + É Ã º e ”  .

s

 ƒ  ½ ¨  H † < ÆÒ q t[ þ t s  Ó ü t o † < Æ ë  H ] j\  ¦ Û  ¦ s    H õ & ñ \ 

"

f     H # Q 9¹ ¡ § \  @ /ô  Ç { 9 º  _  ƒ  ½ ¨ ×  æ { 9  Òs  . ‘ : r ƒ  

½

¨\ " f  H † < ÆÒ q t[ þ t s  „   l † < Æ ë  H ] j\  ¦ Û  ¦ s    H õ & ñ \ " f

 

  H # Q 9¹ ¡ § ×  æ > h¥ Æ  t d ” õ  › ' aº   ) a # Q 9¹ ¡ §`  ¦ ×  æd ” Ü ¼– Ð ì

 r$ 3  “ ¦  ô  Ç . s   H † < ÆÒ q t[ þ t _  Ó ü t o  ë  H ] j Û  ¦ s \  @ /ô  Ç

“

§ _  “ §Ã º † < Æ_ þ v ~ ½ ÓZ O  [ O > 
 t • ¸\  r  & h `  ¦ ×  ¦  כ s 



.

II. Ž ì ŏ Œ 5 “ Ó Þ õ m Í U ê s0 n É

‘

: r ƒ  ½ ¨\  ‚ à Ð# Œô  Ç † < ÆÒ q t“ É r  â l • ¸ t % i \  ™ èF ô  Ç “ ¦1 p x

†

< Ɠ § z Œ ™† < ÆÒ q t 33" î õ  # Œ† < ÆÒ q t 17" î Ü ¼– Ð 8 ú x 50" î s  . ƒ  ½ ¨

\

 ¦ z  ´r  l  „   † < ÆÒ q t[ þ t \ >  ƒ  ½ ¨_  3 l q& h `  ¦ [ O " î “ ¦, à º

\ O

r ç ß –\  µ 1 Ï$ í  “ ¦Z O õ  ë  H ] jK   õ & ñ `  ¦ l 2 Ÿ ¤ ½ + É ƒ  _ þ v t  l

2 Ÿ ¤ ~ ½ ÓZ O \  @ /K  [ O " î “ ¦ 2 Y V & ñ • ¸ ƒ  _ þ v`  ¦ % i  .

“

¦1 p x † < Ɠ § Ó ü t o I`  ¦ s à ºô  Ç 2† < Ƹ   † < ÆÒ q t[ þ t õ  Ó ü t o Iõ  Ó ü t o II

\

 ¦ s à ºô  Ç 3† < Ƹ   † < ÆÒ q t[ þ t \ >  à º' Ÿ ¨ î – Ð † < ÆÒ q t[ þ t s  Ó ü t o 

“

§õ \  @ /K  r ×  æ \ " f ó ø ÍB ÷ &  H ë  H ] jt 
 — ¸_ “ ¦  1 p x

`

 ¦ Û  ¦€  " f „   l ü < › ' aº   ) a ë  H ] j Û  ¦ s \  # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H

 â

Ä º, ë  H ] j\  ¦ ƒ  ½ ¨ \ >  4 Rš ¸>  # Œ ° ú  s  ë  H ] jÛ  ¦ s  õ

& ñ \  @ / # Œ  7 H _  % i  .

†

< ÆÒ q t[ þ t õ _   7 H _   H & ñ ½ © à º\ O  r ç ß –s  = å Q è ß – Ê ê\  > hZ > 

&

h Ü ¼– Ð ”  ' Ÿ ÷ &% 3  . † < ÆÒ q t[ þ t s  # Q 90 >ô  Ç ë  H ] j\  @ /K " f

Table 1. Studentsï difficulty in solving electro-magnetism problems related to contents knowledge.

Difficulty No. (%)

Lack of contents knowledge

Lack of prerequisite knowledge 21 (46.7%)

Lack of symbol recognition 2 (4.4%)

Lack of formula understanding 4 (8.9%)

mid-sum 27 (60.0%)

Confusion of Content Knowledge 9 (20.0%)

Incorrect prior knowledge 9 (20.0%)

[ O

" î “ ¦, “ § ü < ° ú  s  K      H õ & ñ s  Ÿ í† < Ê÷ &# Q & h > 



 H 20ì  r& ñ • ¸ ™ èכ ¹÷ &l • ¸ Ù þ ¡“ ¦, U  ´>   H 1 r ç ß –& ñ • ¸ ”  ' Ÿ ÷ &

%

3  . ‘ : r ƒ  ½ ¨\  ¦ 0 AK " f  7 H _  õ & ñ ×  æ \  † < ÆÒ q t[ þ t \ >  ë  H ]

j Û  ¦ s  õ & ñ \ " f # Q* ‹ô  Ç # Q 9¹ ¡ §`  ¦   % 3   H t , Õ ªo “ ¦ Õ ª X O

>  Ò q ty Œ •ô  Ç s Ä »  H Á º% Á “  t  | 9 ë  H`  ¦ % i  .

„

 ^ ‰_   7 H _  õ & ñ “ É r 0 l q6 £ § l – Ð 0 l q6 £ § % i Ü ¼ 9 ƒ  _ þ v t \ 

†

< ÆÒ q t[ þ t s   Ä »\  v >  ë  H ] j Û  ¦ s  õ & ñ `  ¦ l 2 Ÿ ¤ >  % i  .

†

< ÆÒ q t[ þ t õ  ë  H ] j Û  ¦ s  õ & ñ `  ¦  • 2 ; Ê ê\   H ë  H ] j K    õ 

&

ñ `  ¦ 0 l q6 £ § ô  Ç ? /6   x`  ¦ „    “ ¦, „   ô  Ç ? /6   x õ  † < ÆÒ q t[ þ t s  ó

 r ƒ  _ þ v t \  ¦  Ö ¸6   x # Œ 6 £ x ² ú š " é ¶ î ß –t \  ¦ ] j Œ •ô  Ç Ê ê † < ÆÒ q t[ þ t s

 „  l ü <  l ü < › ' aº   ) a ë  H ] jÛ  ¦ s  õ & ñ \ " f     H # Q 9

¹

¡

§`  ¦ ì  r$ 3  % i  . † < ÆÒ q t[ þ t“ É r 8 ú x 62 > h_  ë  H ] j\ " f 100> h_ 

#

Q 9¹ ¡ §`  ¦ ] jr  % i  . Õ ª ×  æ 45 > h  H > h¥ Æ  t d ” õ  › ' aº   ) a

#

Q 9¹ ¡ § s % 3 “ ¦, 55> h  H õ & ñ t d ” õ  › ' aº   ) a # Q 9¹ ¡ § s % 3 



.

ì

 r$ 3 d  ¦“ É r e ” ï  r<  ª õ  s 4 Ÿ x Ä º [13] > hµ 1 Ïô  Ç † < ÆÒ q t_  Ó ü t o  ë

 H ] j Û  ¦ s õ & ñ \ " f     H # Q 9¹ ¡ § כ ¹“   ì  r$ 3 d  ¦`  ¦  6   x 

%

i  . s  ì  r$ 3 d  ¦“ É r 5 > h_  [ jÂ Ò # 3 Å Ò\  ¦ ”   > h¥ Æ  t d ” õ  20 > h_  [ jÂ Ò # 3 Å Ò\  ¦ ”   õ & ñ t d ” Ü ¼– Ð ½ ¨$ í ÷ &% 3  . s 

×

 æ \ " f ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f  H > h¥ Æ  t d ” õ  › ' aº   ) a † < ÆÒ q t[ þ t _  # Q



9¹ ¡ § \  @ / # Œ ì  r$ 3  % i  . ì  r$ 3 _  ’  ø @• ¸\  ¦ Z  } s l  0 A K

 4" î _  Ó ü t o  “ §¹ ¢ ¤ „  ë  H  ì  r$ 3  l ï  r`  ¦  „ ½ ÓÜ ¼– Ð 6 £ x

² ú

š" é ¶ î ß –t \  ¦ 1  ì  r$ 3  # Œ ì  r$ 3  ç ß – { 9 u • ¸\  ¦ S X ‰ “  ô  Ç Ê ê { 9

u  t  · ú §  H † ½ Ó3 l q“ É r “ §¹ ¢ ¤„  ë  H [ þ t õ  d ” • ¸ e ”   H ž Ð_ 

\

 ¦  5 g { 9 u ½ + É M : t  ì ø Í4 Ÿ ¤ % i  .

III. Ž ì ŏ Œ + s ÇÊ Ý

1. ] K ¡t  ô p §T   ¹ Å M ] K ¡ à U Ø< g þ s ÚT ; c" e + s Ò À W ¥ 4 G › È U

Å k Ä å ¾ ËV Ó Å # a \“ Ô Û

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f  H „   l † < Æ ë  H ] j\  ¦ Û  ¦ s    H õ & ñ \ " f   



 H > h¥ Æ  t d ” õ  › ' aº   ) a # Q 9¹ ¡ § 45 > h\  ¦ ì  r$ 3  % i  . e ” ï  r

<

 ª õ  s 4 Ÿ x Ä º [13]_  ì  r$ 3 d  ¦ – Ð ì  r$ 3 ô  Ç   õ , ‘? /6   x t d ”  Â Ò 7

á ¤’ ×  æ ‘‚  ' Ÿ  € 9 à º t d ”   Ò7 á ¤’“ É r 21 > h, ‘l   ñ “  d ”   Ò7 á ¤’

“

É r 2 > h, ‘/ B Nd ”  s K   Ò7 á ¤’“ É r 4 > h µ 1 Ï| ÷ &% 3  . ¢ ¸ô  Ç ‘? / 6

 

x t d ”  ™ D ¥1 l x’“ É r 9 > h, ‘¸ ú ˜3 l w ) a ‚  ' Ÿ  t d ” ’“ É r 9 > h µ 1 Ï| ÷ &

%

3  . Õ ª   õ \  ¦ Table 1 \  ] jr  % i  .

>

h¥ Æ  t d ” õ  › ' aº   ) a # Q 9¹ ¡ § \ " f ‘? /6   x t d ”   Ò7 á ¤’ s  27 > h (60.0%), ‘? /6   x t d ”  ™ D ¥1 l x’ s  9> h (20.0%), ‘¸ ú ˜3 l w ) a

‚

 ' Ÿ  t d ” ’s  9> h (20.0%)– Ð
 z Œ ¤ . ‘? /6   x t d ”  ™ D ¥1 l x’

s


 ‘¸ ú ˜3 l w ) a ‚  ' Ÿ  t d ” ’\  _ K " f ë  H ] jK   \  # Q 9¹ ¡ §`  ¦

 

l • ¸ t ë ß – ˜ ÐÄ »t d ”  7 £ ¤, ë  H ] j K   \  € 9 כ ¹ô  Ç ? /6   x t

d ” s   Ò7 á ¤ # Œ ë  H ] j\  ¦ K      H X < # Q 9¹ ¡ §`  ¦   “ ¦ e ” 

%

3  . î? /6   x t d ”   Ò7 á ¤’ _  # Q 9¹ ¡ § כ ¹“   ×  æ ‘‚  ' Ÿ  € 9 à º t  d ”

  Ò7 á ¤’ s  21> h (46.7%), ‘l   ñ “  d ”   Ò7 á ¤’ s  2> h (4.4%),

‘/ B Nd ”  s K   Ò7 á ¤’ s  4> h (8.9%)– Ð
 z Œ ¤ . l   ñü < / B Nd ” 

\

 @ /ô  Ç t d ” ˜ Ð   H ‚  ' Ÿ  € 9 à º t d ”  7 £ ¤, ë  H ] j\  ¦ K     l

 0 AK  =  G · ú ˜“ ¦ e ” # Q    H € 9 à º † < Æ_ þ v כ ¹™ è\  @ /ô  Ç t  d ”

s   Ò7 á ¤ # Œ ë  H ] jK   \  # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H  כ Ü ¼– Ð
  z

Œ

¤ .

2. ‘ 5 “ Ó Þ U Å k Ä ” ¼” Ò ×’® Žz º ß Ã Å” X ¢ # a \“ Ô Û Ä Z ØV Ä

1) ‚  ' Ÿ  € 9 à º t d ”   Ò7 á ¤

‘ ? /6   x t d ”   Ò7 á ¤’ Ä »+ þ A\ " f ' Í   P : # Q 9¹ ¡ § כ ¹“  “ É r ‘‚   '

Ÿ  € 9 à º t d ”   Ò7 á ¤’ s  . „   l † < Æ › ' aº   é ß –" é ¶ \ " f ‚  ' Ÿ 

€ 9

à º t d ”  7 £ ¤, ë  H ] j\  ¦ K    l  0 Aô  Ç l ‘ : r t d ” s   Ò7 á ¤

# Œ ë  H ] j K   \  # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H  כ Ü ¼– Ð ? /6   xZ > – Ð ¶ ú ˜( R

˜

Ѐ   Table 2ü < ° ú   .

‘‚  ' Ÿ  € 9 à º t d ”   Ò7 á ¤’ Ü ¼– Ð „   l † < Æ ë  H ] j Û  ¦ s õ & ñ \ 

"

f # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H Ä »+ þ A`  ¦ % ò % i Z > – Ð ì  r À Ó # Œ › ¸ ô  Ç    õ

 † < ÆÒ q t[ þ t“ É r — ¸Ž  H é ß –" é ¶ \ " f ë  H ] j K   \  € 9 כ ¹ô  Ç C  â t  d ”

s   Ò7 á ¤ ô  Ç  כ Ü ¼– Ð
 z Œ ¤ . s   H { © œƒ  ô  Ç  כ Ü ¼– Ð s  K

½ + É Ã º e ” t ë ß –, ë  H ] j K    õ & ñ \ " f ë  H ] jü < › ' aº   ) a l 

‘

: r& h “   C  â t d ” s  € 9 à º& h Ü ¼– Ð Ø  æ7 á ¤ ÷ &# Q  ë  H ] j K    _

  6 £ § é ß –> – Ð
 ° ú ˜ à º e ” 6 £ §`  ¦ r  K  Å Òl • ¸ ô  Ç .

†

< ÆÒ q t[ þ t \ >   Ò7 á ¤ ô  Ç ‚  ' Ÿ  € 9 à º t d ” \  K { © œ÷ &  H ? /6   x[ þ t

“ É

r @ / Òì  r ×  æ † < Ɠ § õ & ñ \ " f <  ʓ É r “ ¦1 p x † < Ɠ § 1† < Ƹ   õ & ñ

Table 2. Cases of students’ difficulties related to ‘lack of prerequisite knowledge’.

Unit Theme Cases of difficulty

Current and voltage

Current and voltage

current

Student donït know the fact that current should flow to the non-resistance object in the circuit of paral- lel connection of non-resistance object and resistance object.

Ohmïs law

Student donït know the fact that voltage of each re- sistance will be 1/2 times in the serial connection of 2 resistances.

Electric resistance

electric resistance

When the temperature of metal increases, the resis- tance increases, too. Student donït know exactly the reason of temperature increase.

Student donït know that there is a resistance in a bulb.

Student donït know that there is a resistStudent donït know what the adjustable resistance is.

connection of resistance Student donït know the difference of parallel and se- rial connection.

Heating effect of current

heating effect of current Student donït know what a caloric value is.

Student donït know what a calory is.

electric power

Student donït know what a electric power consump- tion is.

When one resistance changes in a parallel connection of resistances, the other resistance does not change and voltage does not change. So electric power re- mains with no change. Students doesnït know this fact.

Magnetism and

electromagnetic induction

Magnetic effect of current

Student can only memorize how to increase mag- netic field of inner of solenoid but he donït know the essence.

magnetism by current

Student donït know exactly how solenoid make a magnetic field and canït compare the relative mag- nitude of gravitational force and magnetic force.

Student donït know the fact that a magnetic field in solenoid is made by current of solenoid. So, he canït explain the interaction with magnet.

force to current in magnetism

Student donït understand the Flemingïs left hand rule, so he donït know on which condition he should use the left hand rule.

use of magnetic force Student donït know the fact that motor is made by using magnetic force.

Electromagnetic induction electromagnetic induction

Student is lack of contents knowledge related to mu- tual induction.

Student donït understand a electromagnetic induc- tion which is made by relative motion of magnet and coil.

\

" f † < Æ_ þ v ÷ &# Q    H ? /6   x[ þ t s  ´ ú §s  e ”  . ´ ú §“ É r † < ÆÒ q t[ þ t s

 s \  ¦ ¸ n q t  t  3 l w “ ¦ e ”   H  כ “ É r ×  æ † < Ɠ § “ §¹ ¢ ¤ õ & ñ \ 

"

f  À ҍ  H „   l † < Æ › ' aº   ? /6   x[ þ t s  ] j@ /– Ð † < Æ_ þ v ÷ &t  · ú §

€

Œ

¤l  M :ë  H Ü ¼– Ð s K ½ + É Ã º e ”  . þ j   H “ §¹ ¢ ¤ õ & ñ _    …  ; õ

 † < Êa  † < ÆÒ q t[ þ t s  † < Æ_ þ v K   | ¨ c ? /6   x s  ¾ º| à Ì÷ &€  " f † < ÆÒ q t [

þ

t _  „   l † < Æ\  @ /ô  Ç # Q 9¹ ¡ §`  ¦ 7 £ x r v   H  â Ä º• ¸ µ 1 Ï Ò q

t % i  . ] j7  “ §¹ ¢ ¤ õ & ñ \ " f ×  æ † < Ɠ § 3† < Ƹ  _  p„  l _ 



Œ

•6   xy é ß –" é ¶ \ " f „  l _  \ P  Œ •6   x õ   l  Œ •6   x \  @ / # Œ † < Æ _

þ

v • ¸2 Ÿ ¤ ÷ &# Q e ” % 3   H X <, Õ ª ? /6   x s  # Q§ >    H “  d ” \   



 2007¸   > h& ñ “ §¹ ¢ ¤ õ & ñ \ " f  H “ ¦1 p x † < Ɠ § 1† < Ƹ   ‘õ † < Æ’

Ü

¼– Ð s 1 l x % i  . Õ ª Q
 2007¸   > h& ñ “ §¹ ¢ ¤ õ & ñ “ É r & h 6   x

•

¸ ÷ &t  · ú §“ É r  © œI – Ð 2009 > h& ñ “ §¹ ¢ ¤ õ & ñ Ü ¼– Ð s # Q& ’ “ ¦,

 

² D G 2007¸   > h& ñ “ §¹ ¢ ¤ õ & ñ `  ¦ s à º “ ¦ “ ¦1 p x † < Ɠ §– Ð ”  

†

< Æô  Ç † < ÆÒ q t[ þ t _   â Ä º\   H  l   Òì  r \  @ /ô  Ç † < Æ_ þ v`  ¦ t 

Fig. 1. Case of ‘lack of prerequisite skills’ problem.

· ú

§“ É r  © œI – Ð Ó ü t o \  ¦ s à º >  ÷ &  H ‰ & ³ © œs 
 z Œ ¤ .  

 É

r ? /6   x ˜ Ð • ¸ „  À Ó\  _ ô  Ç \ P  Œ •6   x õ   l  Œ •6   x  Òì  r \ 

"

f # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H ? /6   x s  ´ ú §“ É r  כ • ¸ s ü < › ' aº  t # Q [ O " î

½

+ É Ã º e ”  . ‚  ' Ÿ  € 9 à º t d ” s   Ò7 á ¤ # Œ # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H



© œ S !  (ë  H ] j : Fig. 1)\  @ /K  † < ÆÒ q tõ _  €  { Œ ™ ? /6   x _  { 9  Ò

\

 ¦ `  … l €    6 £ § õ  ° ú   .

†

< ÆÒ q tA : “ É r כ ¹. s >  f ” § > =s # Œ" f „  À Ó   ° ú  ¸ ú § כ ¹.



 H X < V = IRs m   $ † ½ Ó`  ¦ 7 £ x r v €   è  HF K s  7 £ x ô  Ç



“ ¦ Ù þ ¡¸ ú § כ ¹. V  H ° ú  “ É r X < $ † ½ Ós  Z  }  t €   „  À Ó  Œ •



t ¸ ú § כ ¹. Õ ªA " f d  ¦§ 4 # Qכ ¹. “ É r כ ¹. $ † ½ Ó ° ú כ`  ¦ 7 £ x r  v

€   > á ¤ ° ú  s  Õ ªA " f E   H y Œ ™™ èK כ ¹. „  À Ó ° ú  Ü ¼m   # Œ l

" f $ † ½ Ó ° ú כ`  ¦ 7 £ x r v €   E  („  · ú š) y Œ ™™ è ° ¹.

“

§  :  =?

†

< ÆÒ q tA : # Œl  e ”   H >  (R

^x

\    o   H „  · ú š) 7 £ x  m  

#

Œl  (R\    o   H „  · ú š)  H y Œ ™™ èK כ ¹. Õ ª  X < “ É r — ¸Ø Ô

 ’ x# Qכ ¹.

“

§  :  =? R

x

ü < Rs  ° ú  X <.

†

< ÆÒ q tA : W 1.

“

§  : > á ¤ ° ú  s  R

^x

ü < Rs  1s  “ ¦ K ú <. | „  t _  „  · ú šs  2 V  “ ¦ K ú <. „  ^ ‰ ½ + Ë$ í $ † ½ Ós  \ O   ?

†

< ÆÒ q tA : 2 Ωכ ¹.

“

§  : „  ^ ‰„  À Ӎ  H?

†

< ÆÒ q tA : 1 Aכ ¹.

“

§  : 1 A # Qn # Qn \  f  Ë  Q?

†

< ÆÒ q tA : Ñ ü t  כ ¹.

“

§  : Õ ª! 3  ¿ º $ † ½ Ó\    o   H „  · ú š“ É r # QM :?

†

< ÆÒ q tA :° ú   כ ¹.

“

§  : # Œl \  (R

x

) e ”   H „  · ú šõ  # Œl \  (R) e ”   H „  · ú šs 

° ú  t ?

†

< ÆÒ q tA : W 1.

“

§  : Õ ª! 3  „  ^ ‰$ † ½ Ó\    o   H „  · ú š“ É r? # Œl \  (R

x

) e ” 



 H „  · ú šõ  # Œl \  (R) e ”   H „  · ú š_  - $ ?

†

< ÆÒ q tA : ½ + Ës כ ¹.

“

§  : Õ ª! 3  + ‹ú <. | „  t _  „  · ú š“ É r Á º% Á õ  ° ú  t ?

†

< ÆÒ q tA : ¿ º $ † ½ Ó\    o   H „  · ú š_  ½ + Ëõ  ° ú   כ ¹.

“

§  : Õ ª Q€   R

x

ü < R\    o   H „  · ú š“ É r # QM :  K ?

†

< ÆÒ q tA : ° ú      #כ ¹.

“

§  : Õ ª! 3  y Œ • $ † ½ Ó\    o   H „  · ú š“ É r Y >  V ?

†

< ÆÒ q tA : 1 Vכ ¹.  ! Õ ªX O ½ ¨
!

“

§  : s  ë  H ] j\ " f - $ # Q 9 ° ?~     ? $ † ½ Ós  ° ú  Ü ¼€  

¿

º $ † ½ Ó\  ° ú  “ É r „  · ú šs    o   H  כ `  ¦ ]  t | à Û~     ?

†

< ÆÒ q tA : W 1. $ † ½ Ós  ° ú  Ü ¼€   ¿ º $ † ½ Ó\    o   H „  · ú šs  ° ú   s

   o   H    ]  t | à Û# Qכ ¹.

†

< ÆÒ q t A  H $ † ½ Ós  f ” § > = ƒ     ) a  r– Ð\ " f ô  Ç A á ¤ $ † ½ Ós 



 ½ + É M :, „  ^ ‰ „  À Ó_     oü < y Œ • $ † ½ Ó\    o   H „  · ú š_ 

@

/·™ è › ' a > _     o\  ¦ \ V8 £ ¤ ½ + É Ã º e ” % 3 Ü ¼
 y Œ • $ † ½ Ó\     o

  H „  · ú š_  q   H ¹ 1 Ô ? /t  3 l w % i  . „  l   r– Ð\  ¦ & ñ $ í

&

h Ü ¼– Ѝ  H s K  “ ¦ e ” Ü ¼
 & ñ | ¾ Ó& h Ü ¼– Ѝ  H s K   Ò7 á ¤Ù þ ¡



. 7 £ ¤, „  ^ ‰ $ † ½ Ó\    o   H „  · ú š“ É r y Œ • $ † ½ Ó\    o   H „  

· ú

š_  ½ + Ës    H  כ “ É r s K  “ ¦ e ” % 3 t ë ß – & ñ | ¾ Ó& h “   ë  H ] j



 H Û  ¦ # Q? /t  3 l wÙ þ ¡ . s   H & ñ $ í & h “   > h¥ Æ `  ¦ à ºd ”  o # Œ Õ

ª ° ú כ`  ¦ ½ ¨   H ƒ  _ þ v s   Ò7 á ¤Ù þ ¡l  M :ë  H{ 9  à º• ¸ e ” Ü ¼
 6 Ÿ § _

 Z O g Ë :\  @ /ô  Ç & ñ S X ‰ ô  Ç > h¥ Æ `  ¦ ° ú t  3 l w ô  Ç  © œI \ " f / B Nd ”  ë

ß –`  ¦ Qo \  Å Ò{ 9  # Œ Õ ªü < › ' aº   ) a 6 £ x6   xë  H ] j\  ¦ Û  ¦ # Q? / t

 3 l w ô  Ç  כ Ü ¼– Ð ˜ Г   . s ü < ° ú  s  ´ ú §“ É r † < ÆÒ q t[ þ t s  s „   _

 õ & ñ \ " f =  G † < Æ_ þ v s  ÷ &# Q    H ? /6   x`  ¦ ¸ ú ˜ ¸ n q t  t  3

l

w K " f Ò q tl   H # Q 9¹ ¡ §[ þ t s  ´ ú §s  e ” % 3  . Ä ºo 
 _  “ §

¹

¢

¤ õ & ñ “ É r
‚  + þ A “ §¹ ¢ ¤ õ & ñ Ü ¼– Ð ½ ¨$ í ÷ &# Q q 5 p w ô  Ç ? /6   x`  ¦ Ã

ºï  r`  ¦ ² ú ˜o  €  " f  © œ0 A † < Ƹ  \ " f 7 á §  8 d ”  o # Œ t • ¸

• ¸2 Ÿ ¤ כ ¹½ ¨ “ ¦ e ”  . Õ ª Q
 † < ÆÒ q t[ þ t s  † < Æ_ þ v ô  Ç ? /6   x`  ¦

· ú

˜t  3 l w   H  â Ä º\   H  r  s „  _  Ó ü t o  > h¥ Æ `  ¦ [ O " î K 



 l  M :ë  H \  " é ¶ A _  “ §¹ ¢ ¤ õ & ñ \ " f >  S \ ‰ ô  Ç r ç ß –˜ Ð 



8 ´ ú §“ É r r ç ß –s  € 9 כ ¹Ù þ ¡ . Õ ª Q
 ] jô  ǝ ) a r ç ß – ? /\  s 

\

 ¦ K   ½ + É Ã º  H \ O % 3  . ] j7  “ §¹ ¢ ¤ õ & ñ ˜ Ð  2007¸   > h

&

ñ “ §¹ ¢ ¤ õ & ñ , 2009 > h& ñ “ §¹ ¢ ¤ õ & ñ \ " f é ß –" é ¶ _  à º\  ¦ ×  ¦ s 

“

¦ † < Æ_ þ v | ¾ Ó`  ¦ ×  ¦ s  9“ ¦ ” ¸§ 4 ô  Ç  כ • ¸ s \  ¦ K    l  0 Aô  Ç

~

½ Óî ß –s % 3 Ü ¼
, ½ ¨^ ‰& h “   ´ òõ  × ¼ Q
t   H 3 l w “ ¦ e ” 



.

2) l   ñ “  d ”   Ò7 á ¤ x 9  / B Nd ”  s K   Ò7 á ¤

î ? /6   x t d ”   Ò7 á ¤ï Ä »+ þ A\ " f ¿ º   P : # Q 9¹ ¡ § כ ¹“  “ É r ‘ l   

ñ “  d ”   Ò7 á ¤ï s  9, [ j   P : # Q 9¹ ¡ § כ ¹“  “ É r î/ B Nd ”  s K 

Table 3. Cases of studentsï difficulties related to îLack of symbol recognitionï and îLack of formula understandingï.

Unit Theme Cases of difficulty

Current and voltage

Current and voltage current

Student canït understand the meaning of symbol be- cause of he doesnït have a knowledge related to am- meter and power supply.(lack of symbol recognition) Student canït understand the meaning of symbol of power supply.(lack of symbol recognition)

Electric resistance

electric resistance

Student knows the fact that electric resistance is pro- portional to length and is inversely proportional to area, but he donït know the formular, R = ρ

^L_S

. (lack of formula understanding)

Magnetism and induction

magnetic effect of current

magnetism by current

Student donït know the formula of magnetism by cur- rent and electromagnetic force. (lack of formula un- derstanding)

electromagnetic induction

electromagnetic induction

Student donït know exactly the symbol of Faradayïs law, V = N

^4Φ_4t

. So he would misunderstand that magnetic force is proportional to magnetic flux. (lack of formula understanding)

Student canït understand the formula of kinetic en- ergy. So he canït solve the kinetic energy of magnet which pass through coil. (lack of formula understand- ing)

Fig. 2. Case of îLack of symbol recognitionï problem.

Â

Ò7 á ¤ï s  . „   l † < Æ é ß –" é ¶ \ " f îl   ñ “  d ”   Ò7 á ¤ï õ  î/ B Nd ”  s

K   Ò7 á ¤ï Ü ¼– Ð ë  H ] j K   \  # Q 9¹ ¡ §`  ¦   “ É r Ä »+ þ A“ É r — ¸¿ º 6 t – Ð ? /6   xZ > – Ð ¶ ú ˜( R˜ Ѐ   Table 3õ  ° ú   .

î l   ñ “  d ”   Ò7 á ¤ï Ü ¼– Ð „   l † < Æ é ß –" é ¶ _  ë  H ] j Û  ¦ s õ & ñ

\

" f # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H  â Ä º  H  Y V ´ ú §t   H · ú §€ Œ ¤  H X <, „   À

Óü < „  · ú š é ß –" é ¶ \ " f „  À Ó> , „  " é ¶  © œu ,   „  " é ¶  © œu  1 p x _

 l   ñ\  @ /ô  Ç t d ” s   Ò7 á ¤ # Œ Ò q t|   # Q 9¹ ¡ § s % 3  . l   

ñ “  d ”   Ò7 á ¤ Ü ¼– Ð ë  H ] jÛ  ¦ s \  # Q 9¹ ¡ §`  ¦   “ É r † < ÆÒ q tõ _ 

@

/ o ? /6   x`  ¦ `  … l €    6 £ § õ  ° ú   .

†

< ÆÒ q tB : Ä º‚     $ † ½ Ó\  @ /ô  Ç _ p \  ¦ ¸ ú ˜ — ¸Ø Ô ’ x# Qכ ¹.

“

§  :   $ † ½ Ós ê ø Í $ † ½ Ó`  ¦    or ~  ´ à º e ”   H $ † ½ Ós ê ø Í _

p  

†

< ÆÒ q tB: $ † ½ Ós   Ÿ ÷ ¶    H  ° ¹? Õ ªz ª œ.

“

§  : 6 £ x Õ ªX O t . Õ ª! 3  Å Ò# Q”   Õ ªa Ë >`  ¦ ˜ Ðl  ¼ #  • ¸2 Ÿ ¤  r

–

Е ¸\  ¦ Õ ª 9ú <.

†

< ÆÒ q tB : ( r– Ð\  ¦ Õ ªa Ë >)„  À Ó>  I\ Vכ ¹?

“

§  :  m  A.

†

< ÆÒ q tB : A\ Vכ ¹? Õ ª! 3  „  " é ¶  © œu   H s X O >  Õ ª 9כ ¹?

“

§  : 6 £ x. „  l   r– Ð\  ¦ s K  l  0 AK " f  H l ‘ : r& h Ü ¼– Ð y

Œ

•y Œ •_  l   ñ\  @ /ô  Ç ? /6   x“ É r · ú ˜“ ¦ e ” # Q  ë  H ] j\  ¦ K   ½ + É Ã

º e ” # Q.

†

< ÆÒ q tB : \ V · ú ˜ ’ x# Qכ ¹. l   ñ  H ß ¼>  ’   â æ ¼t  · ú §€ Œ ¤~    כ

° ú

  כ ¹.  6 £ §  Ò'   H =  G · ú ˜“ ¦ e ” `  ¦ > כ ¹.

< Ê ê| Ä Ì>

†

< ÆÒ q t B  H „  À Ó> _  l   ñü < é ß –0 A\  ¦ ½ ¨ì  r t  3 l w “ ¦,

„

 t _  l   ñ\  @ /ô  Ç S X ‰ ’  s  \ O % 3  . Õ ª s Ä »  H „  l   r

–

Ð\  @ /K  l ‘ : r& h Ü ¼– Ð · ú ˜     H „  l  l l \  @ /ô  Ç l   

ñ\  ¦ ] j@ /– Ð · ú ˜t  3 l w # Œ  r– Е ¸\  ¦ Õ ªw n = M : # Q 9¹ ¡ §`  ¦   

“

¦ e ”   H  כ Ü ¼– Ð ó ø Íé ß –  ) a  . „  l  r– Ð\ " f y Œ •y Œ •_  l   ñ\ 

@

/K   H q ×  æ`  ¦ ¿ ºt  · ú §“ ¦ / B Nd ” s 
 Z O g Ë :[ þ t 0 AŠҖ Ð € Œ ™l  ë

ß – “ ¦ s K   9 t  · ú §€ Œ ¤l  M :ë  H \  ë  H ] j K    œ íl Â Ò '

 # Q 9¹ ¡ §`  ¦   % 3 ~    כ Ü ¼– Ð ˜ Г   .

/

B Nd ” \  @ /ô  Ç s K   Ò7 á ¤ # Œ Ò q tl   H # Q 9¹ ¡ §“ É r — ¸¿ º 4 t  µ 1 Ï| ÷ &% 3  . „  l  $ † ½ Ó\ " f > h¥ Æ “ É r · ú ˜t ë ß – Õ ª > h

¥ Æ

`  ¦ Ÿ í† < Êô  Ç / B Nd ” `  ¦ s K  t  3 l w # Œ ë  H ] j Û  ¦ s \  ¦ 3 l w 



 H  â Ä º, „  À Ó\  _ ô  Ç  l  © œõ  „   l § 4 \  @ /ô  Ç / B Nd ” `  ¦

Fig. 3. Case of îLack of formula understanding’ problem.

—

¸Ø ԍ  H  â Ä º, î  r1 l x \  -t  / B Nd ” \  @ /ô  Ç s K   Ò7 á ¤ ô  Ç  â Ä

º 1 p x s  e ” % 3  . : £ ¤ y  ` … QX <s _  Z O g Ë :“   V = −N

^∆Φ_∆t

\ 

"

f  5 Å q _  r ç ß –\    É r    o Ä »• ¸l „  § 4 `  ¦ ë ß –Ž  H    H

 כ

`  ¦ s K  t  3 l w “ ¦ r ç ß –\    É r    o     é ß –í  H ô  Ç



5 Å q õ  Ä »• ¸l „  § 4 s  q Y Vô  Ç “ ¦ Ò q ty Œ •   H † < ÆÒ q t• ¸ e ” % 3 



. î/ B Nd ”  s K   Ò7 á ¤ï Ü ¼– Ð ë  H ] jÛ  ¦ s \  # Q 9¹ ¡ §`  ¦   “ É r † < Æ Ò q

tõ _  @ / o ? /6   x (ë  H ] j Ÿ í† < Ê)`  ¦ `  … l €    6 £ § õ  ° ú   .

†

< ÆÒ q tC : \ " f a& h õ  b& h \  | 9 > \  ¦ ƒ    Ù þ ¡`  ¦ M : $ † ½ Ós 

² ú

˜ t   H s Ä »\  ¦ — ¸Ø Ô ’ x# Qכ ¹?

“

§  :  r– Ð\  ¦ Õ ª 9˜ Ѐ   | ¨ c  כ ° ú  “ É r X <. a& h \  ƒ    Ù þ ¡`  ¦ M

:  r– Ð\  ¦ Õ ª 9ú <. „  À Ó â ìØ Ô  H ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ðë ß – Õ ª 9 t 

†

< ÆÒ q tC : s X O >  Õ ªo   H    m \ כ ¹? ( ’  y Œ ™s  \ O # Q ˜ Ð e ”

)

“

§  : Õ ª 9ú <. | „  t   H # Qn  e ” # Q?

†

< ÆÒ q tC : # Œl כ ¹

“

§  : Õ ªA  „  À Ó\  ¦   " f ú <. b& h \  ƒ     €   - $ë ß –

×

 ¦ # Q[ þ t% 3 # Q?

†

< ÆÒ q tC : P_  U  ´s  ×  ¦ # Q[ þ t # Qכ ¹.

“

§  : P_  U  ´s  ×  ¦ # Q[ þ t€   $ † ½ Ós  # Qb  G>  ÷ &  H   ?

†

< ÆÒ q tC :  õ. ×  ¦ # Q[ þ t # Qכ ¹.

“

§  : $ † ½ Ó / B Nd ” s  - $ ?

†

< ÆÒ q tC : î ß – ü @ ° ?# Qכ ¹. t ë ß – U  ´s  U  ´# Qt €   $ † ½ Ós  &  t

“ ¦, é ß –€  & h s  & t €   $ † ½ Ós   Œ • t   H  כ “ É r · ú ˜ כ ¹.

“

§  : Õ ª! 3  Õ ª כ `  ¦ / B Nd ” % ƒ! 3  + ‹ú <. $ † ½ ӓ É r q $ † ½ Ó é ß –€  

&

h

ì  r \  U  ´s ¸ ú § .

†

< ÆÒ q tC :  . W 1... (ô  Ǹ n u)

“

§  : a\ " f b– Ð €   $ † ½ Ó_  U  ´s  # Qb  G>   #?

†

< ÆÒ q tC : $ † ½ Ós  & & ’ # Qכ ¹.

“

§  :  =? & & ’ t ?

†

< ÆÒ q tC : $ † ½ Ós  U  ´# Q& ’ Ü ¼m  כ ¹

“

§  : Õ ªa Ë >`  ¦ ¸ ú ˜ ú <. a # Qn \  e ” # Q?

†

< ÆÒ q tC : a 0 AA á ¤ s כ ¹. a\  ƒ    Ù þ ¡`  ¦ M : b\  ƒ    Ù þ ¡`  ¦ M

: ˜ Ð  $ † ½ Ós  ß ¼m    l § 4 s  b  8 ß ¼ ’ xW 1כ ¹.

“

§  :  =?

†

< ÆÒ q tC : „  À Ó b\   8 ¸ ú ˜ : Ÿ x m  .

“

§  : b\ " f „  À Ó_  ° ú כs   8 ß ¼l  M :ë  H s t . Õ ª! 3  „    l

§ 4 “ É r  = b\  ƒ    Ù þ ¡`  ¦ M :  8 & ?

†

< ÆÒ q tC : „  À Ӎ  H Õ ª - $
? Õ ª.

“

§  : „   l § 4 _  / B Nd ” s   ã ¶ X <?

†

< ÆÒ q tC :   - $t ? k Y  L l  rì  r \ 

“

§  : Õ ª|   l  © œs ¸ ú § . t F K „   l § 4 `  ¦ ½ ¨   H  




?

†

< ÆÒ q tC : „   l § 4 “ É r ILsinθ

“

§  : ILsinθ? - $  t t  · ú §€ Œ ¤# Q?

†

< ÆÒ q tC : - $° ¹?  .

“

§  : „   l § 4 _  / B Nd ” `  ¦ · ú ˜“ ¦ e ” # Q  „  À Ó & t €   j Ë µ

•

¸ & t   H  כ `  ¦ · ú ˜   
?

†

< ÆÒ q tC : @ /Ø  æ....

“

§  : @ /Ø  æ ü @0 >t “ ¦  H S X ‰ z  ´ >  ë  H ] j\  ¦ & ñ S X ‰ >  Û  ¦ Ã

º \ O t . & h 6   xë  H ] j
š ¸€   ë  H ] j\  ¦  8¹ ¡ ¤  8 Û  ¦ à º \ O > 



#. „   l § 4 _  / B Nd ” “ É r ILBsinθ ¸ ú § .

†

< ÆÒ q tC :  !! ´ ú  . l % 3 s   = î ß –
t ?

“

§  : / B Nd ” “ É r ë  H ] j K   `  ¦ 0 AK  =  G € 9 כ ¹ m   / B Nd ” `  ¦ é

ß –t  ü @Ä ºt ë ß – ´ ú ˜“ ¦, Õ ª _ p • ¸ † < Êa  s K  • ¸2 Ÿ ¤ K ú <.

†

< ÆÒ q tC : \ V · ú ˜ ’ x# Qכ ¹. Õ ª! 3  “ É r Û  ¦ à º e ” `  ¦  כ ° ú   כ ¹.

†

< ÆÒ q t C  H F K5 Å q _  $ † ½ ӓ É r U  ´s \  q Y V “ ¦ é ß –€  & h \  ì ø Í q

Y Vô  Ç   H > h¥ Æ `  ¦ # QÖ ¼ & ñ • ¸  H · ú ˜“ ¦ e ” % 3 t ë ß – s \  ¦ s  6

 

x # Œ ë  H ] j\  ¦ Û  ¦ s  t   H 3 l w % i  . 7 £ ¤, $ † ½ Ó`  ¦ ½ ¨   H /

B Nd ” Ü ¼– Ð   ¨ 8 Š t  3 l w K  ë  H ] j_  & ñ ² ú š`  ¦ · ú ˜ ? /t  3 l w ô  Ç

 כ

s  . ¢ ¸ô  Ç, „  À Ó & t €   „   l § 4 s  & ”     H > h¥ Æ 

•

¸ · ú ˜“ ¦ e ” % 3 t ë ß – „   l § 4 _  / B Nd ” “ É r & ñ S X ‰ >  · ú ˜t  3 l w Ù þ

¡ . s \  ¦ ì  r$ 3 K  ˜ Ѐ   s  † < ÆÒ q t“ É r Ó ü t o \  ¦ / B N  ҽ + É M : / B N d ”

`  ¦ ü @Ä ºl ˜ Ð   H / B Nd ” \ " f y Œ •   à º[ þ t  s _  › ' a > – Ð ë

ß – / B Nd ” `  ¦ s K   9 “ ¦ e ” # Q / B Nd ” \  @ /ô  Ç " î S X ‰ ô  Ç > h¥ Æ 

&

h  t d ” s  \ O  €   > h¥ Æ [ þ t ç ß –_  ™ D ¥1 l x`  ¦ { 9 Ü ¼~  ´ à º e ” “ ¦ & ñ

|

¾ Ó& h “   › ' a > d ” `  ¦ s 6   x   H ë  H ] j\ " f  H ë  H ] jK   \  # Q 9

¹

¡

§`  ¦   `  ¦  כ Ü ¼– Ð \ V © œ  ) a  .

Table 4. Cases of students’ difficulties related to ‘Confusion of Content Knowledge’.

Unit Theme Cases of difficulty

Electric Connection of Student confused serial connection of resistor with Current and resistance resistance alternating current.

voltage Heating effect electric power Student thought that power is same to efficiency.

of current

Student confused lines of magnetic force by circular magnetism by circuit with lines of magnetic force by solenoid.

current Student confused magnetic field by solenoid with Magnetic effect magnetic field by magnetic.

of current Student confused induced current by motion of magnet force to current in with current used in electromagnetic force, so he couldït

magnetism solve the direction of electromagnetic force.

Magnetism and Student confused Flemingïs left hand rule with

electromagnetic right hand rule

induction Student thought that current should be induced in

order for lines of magnetic force to occur in the

Electromagnetic electromagnetic opposite direction to the direction which lines of magnetic induction induction force enter coil.

Current is induced to interrupt the change of

magnetic filed. Student thought that current should be induced to opposite direction of this current.

Table 5. Cases of students’ difficulties related to ‘Incorrect prior knowledge’.

Unit Theme Cases of difficulty

Current and

current Student thought that positive charge too heavy to move.

voltage

Current and Student thought that current should flow to zero-resistor zero-resistor in voltage Electric connection of parallel connection of 2 resistor (one of them is 0 resistance).

resistance resistance Student thought that current should flow to all circuit in parallel circuit regardless of the magnitude of resistor.

3. î 5 “ Ó Þ U Å k Ä Ì g Ž Ò Þï® Žz º ß Ã Å” X ¢ # a \“ Ô Û Ä Z ØV Ä

†

< ÆÒ q t[ þ t ×  æ \   H Ó ü t o & h  ? /6   x t d ” _  s K   Ò7 á ¤ # Œ ë

 H ] j K   \  € 9 כ ¹ô  Ç > h¥ Æ `  ¦   É r > h¥ Æ õ  ™ D ¥1 l x # Œ ë  H ] j K

  \  # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H  â Ä º e ”  . s   H · ú ˜“ ¦ e ”   H  כ (| “ ¦ t  · ú §“ É r > h¥ Æ , Û  æ Â Ò t  · ú §  H t d ”  ½ ¨› ¸)õ  D h– Ð C

î  r  כ õ _  ƒ     0 p x§ 4   Ò7 á ¤ Ü ¼– Ð # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H  â Ä º („   ð

ø Í B 1 p x, 2010) \  K { © œ÷ &  H  כ `  ¦ ‘ ? /6   x t d ”  ™ D ¥1 l x’ Ü ¼– Ð ì  r À

Ó % i  . î? /6   x t d ”  ™ D ¥1 l xï Ü ¼– Ð # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H  â Ä º  H

—

¸¿ º 9> h µ 1 Ï| ÷ &% 3  . s \  ¦ ? /6   xZ > – Ð & ñ o  €   Table 4 ü < ° ú   .

î ? /6   x t d ”  ™ D ¥1 l xï _   â Ä º\   H † < ÆÒ q t[ þ t _  “  t ½ ¨› ¸ 5 Å q

\

 ë  H ] j\  ¦ K      H X < € 9 כ ¹ô  Ç > h¥ Æ õ  s ü < Ä » ô  Ç   É r

>

h¥ Æ [ þ t s  " f– Ð ™ D ¥ F ÷ &# Q e ”   H  â Ä º\ 
 è ß – “ ¦ ½ + É Ã º e ”

 . ? /6   xZ > – Ð & ñ o ô  Ç Table 4\  ¦ ˜ Ѐ  , „  À Óü < „  · ú š é ß –

"

é

¶ ˜ Ð   H  l  © œõ  „   l  Ä »• ¸ é ß –" é ¶ \ " f ´ ú §s  µ 1 Ï| ÷ &

%

3  . s   H  l  © œõ  „   l  Ä »• ¸ü < › ' aº   ) a Ó ü t o & h  > h

¥ Æ

[ þ t s  ™ D ¥ F ÷ &# Q e ” l  M :ë  H s  . „  À Óü < „  · ú šõ  › ' aº   ) a é ß

–" é ¶ \ " f  H ŠҖ Ð 6 Ÿ § _  Z O g Ë :õ  „  § 4 õ  › ' aº   ) a / B Nd ” Ü ¼– Ð ë

 H ] j\  ¦ K   ½ + É Ã º e ”   H ë  H † ½ Ó[ þ t s  ´ ú §s  µ 1 Ï| ÷ &% 3   H X <, s 



 H † < ÆÒ q t[ þ t s  ¸ ú ˜ K    “ ¦ e ” % 3  . Õ ª Q
  l  © œõ  „    l

 Ä »• ¸ü < › ' aº   ) a é ß –" é ¶ \ " f  H „  À Ó\  _ ô  Ç  l  © œõ    l

 © œ_     o\  _ ô  Ç Ä »• ¸„  À Ó\  @ /ô  Ç ? /6   x s  ] jr ÷ &# Q e ”

  H X <, ] jr   ) a  € ª œô  Ç > h¥ Æ [ þ t`  ¦ † < ÆÒ q t[ þ t s  ¸ ú ˜ s K  t  3

l

w “ ¦ e ” % 3  . „   l Ä »• ¸ü < › ' aº   # Œ ? /6   x t d ” _  ™ D ¥ 1

l

x Ü ¼– Ð ë  H ] j Û  ¦ s \  # Q 9¹ ¡ §`  ¦   “ É r † < ÆÒ q tõ _  @ / o ? /6   x (ë  H ] j Ÿ í† < Ê)`  ¦ `  … l €    6 £ § õ  ° ú   .

†

< ÆÒ q tD : ü @ Ò l  © œ\ " f î  r1 l x m   š ¸ É r’ < H`  ¦ æ ¼  H  

¸ ú

§ כ ¹.

“

§  : ÿ .  ½ ¨½ + É M :?

Fig. 4. Case of îConfusion of Content Knowledgeï prob- lem.

†

< ÆÒ q tD : Ä »• ¸„  À Óכ ¹.

“

§  : Ä »• ¸„  À Ó_  ~ ½ ӆ ¾ Ós t .

†

< ÆÒ q tD : W 1. j Ë µs  š ¸ É rA á ¤ s m   š ¸ É r’ < H`  ¦ s X O >    H



¸ ú § כ ¹.

“

§  : 6 £ x.

†

< ÆÒ q tD : Õ ª Qm   „  À Ó s X O >  (B\ " f A– Ð) â ìØ Ô¸ ú §  כ

¹. Õ ª  X < • ¸^ ‰ } Œ •@ /\  ¦ š ¸ É rA á ¤ Ü ¼– Ð `  … l €   ì ø Í@ /– Ð f  Ë  Q



   H    m \ כ ¹? (Ä »• ¸„  À Ӎ  H  l  © œ_     o\  ¦ ~ ½ Ó K

   H ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð â ì É r    H Ò q ty Œ •õ  ™ D ¥1 l x “ ¦ e ” 6 £ §)

“

§  :    X <.. e  ¦ Y Ub ç _  š ¸ É r’ < HZ O g Ë :“ É r ü @ Ò l  © œ 5 Å q

\

" f • ¸^ ‰ } Œ •@ / î  r1 l x €   Õ ª M : Ä »• ¸÷ &  H „  À Ó_  ~ ½ ӆ ¾ Ó

`

 ¦ ¹ 1 ԍ  H   .

†

< ÆÒ q tD :  !! Õ ªX O ½ ¨
.

“

§  : e  ¦ Y Ub ç _  ¢ , a’ < HZ O g Ë :“ É r ü @ Ò l  © œ 5 Å q \ " f Ä »• ¸„   À

Ó • ¸^ ‰ } Œ •@ /\  â ìØ Ôm   • ¸^ ‰ } Œ •@ /_  î  r1 l x ~ ½ ӆ ¾ Óõ  ì ø Í

@

/~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð „   l § 4 s   Œ •6   x   H ~ ½ ӆ ¾ Ó`  ¦ ¹ 1 Ô`  ¦ M :  6   x

  H  t .

†

< ÆÒ q tD : Õ ª Q€   • ¸^ ‰ } Œ •@ /\  ¦ ¢ , aA á ¤ Ü ¼– Ð { © œl €   s X O >  ( Ä »• ¸„  À Ó_  ~ ½ ӆ ¾ Ós  ì ø Í@ / H † d) €   ÷ &  H  \ Vכ ¹?

“

§  : 6 £ x. Õ ªX O t .

†

< ÆÒ q tD :  ! Õ ªX O ½ ¨
.

“

§  : s  ë  H ] j\ " f # Q 9¹ ¡ §`  ¦   % 3 ~   s Ä » - $ ?

†

< ÆÒ q tD : $   H } Œ •@ / š ¸ É rA á ¤ Ü ¼– Ð î  r1 l x m   š ¸ É r’ < H Z O  g Ë

:Ü ¼– Ð „  À Ó\  ¦ ¹ 1 Ԁ Œ ¤  H X < Õ ª } Œ •@ /_  î  r1 l x`  ¦ ~ ½ ÓK    H ~ ½ Ó

†

¾ ÓÜ ¼– Ð Ä »• ¸„  À Ó f  Ë  Q  ô  Ç “ ¦ Ò q ty Œ •Ù þ ¡# Qכ ¹. ¿ º t 

 Z O g Ë :s  Qa Å @5 Å q \ " f [ O # Œ! Q§ 4 # Qכ ¹.

< Ê ê| Ä Ì>

Fig. 5. Case of îIncorrect prior knowledge’ problem.

†

< ÆÒ q t D  H „   l § 4 _  / B Nd ” s 
 Ä »• ¸l „  § 4 _  / B Nd ”  1 p x

`

 ¦ · ú ˜“ ¦ e ” # Q / B Nd ” `  ¦ s 6   x ô  Ç > í ß – ° ú כ“ É r ¸ ú ˜ ½ ¨Ù þ ¡ . ü @ Ò



l  © œ 5 Å q \ " f F K5 Å q } Œ •@ / î  r1 l x €   e  ¦ Y Ub ç _  š ¸ É r’ < HZ O  g Ë

:Ü ¼– Ð Ä »• ¸„  À Ó_  ~ ½ ӆ ¾ Ó`  ¦ ¹ 1 Ô`  ¦ à º e ” % 3 Ü ¼
, Õ ªX O >  ¹ 1 Ô

“ É

r „  À Ó_  ~ ½ ӆ ¾ Óõ  Ä »• ¸„  À Ӎ  H F K5 Å q } Œ •@ /_  î  r1 l x`  ¦ ~ ½ ÓK 

  H ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð â ì É r    H > h¥ Æ Ü ¼– Ð ™ D ¥1 l x # Œ ¹ 1 ԓ É r „  À Ó _

 ~ ½ ӆ ¾ Óõ  ì ø Í@ /– Ð Ä »• ¸„  À Ó f  Ë  Q  ô  Ç   H Ò q ty Œ •`  ¦ 

“

¦ e ” % 3  . s   H Ä »• ¸„  À Ӎ  H  ï{ 9 õ   $ 3 _  î  r1 l x \ " f  

$

3 _  î  r1 l x`  ¦ ~ ½ ÓK    H ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð â ì É r    H > h¥ Æ õ  f ” ‚  

•

¸‚  s   l  © œ 5 Å q \ " f î  r1 l x ½ + É M : Ä »• ¸„  À Ó_  ~ ½ ӆ ¾ Ó`  ¦ ¹ 1 Ô



 H e  ¦ Y Ub ç _  š ¸ É r’ < HZ O g Ë :  s \  " î S X ‰ >  > h¥ Æ s  & ñ w n 

÷

&t  · ú §€ Œ ¤l  M :ë  H \ 
 
  H ‰ & ³ © œÜ ¼– Ð ˜ Г   .

4. î±  o) ¦ Ýc Ü R  Ò Å{  E U Å k Äï® Žz º ß Ã Å” X ¢ # a \“ Ô Û Ä Z ØV Ä

†

< ÆÒ q t[ þ t“ É r Ó ü t o  à º\ O `  ¦ ~ à Îl  „  \ • ¸ { 9  © œÒ q t Ö ¸ _   â + « >

`

 ¦ : Ÿ x K   ƒ   ‰ & ³ © œ\  @ /ô  Ç  l 
2 £ § _  > h¥ Æ `  ¦ t “ ¦ e ” 



. s X O >  _ þ v1 p q ô  Ç > h¥ Æ õ  õ † < Æ& h  > h¥ Æ s    É r  â Ä º\  “   t

& h “   ° ú ˜1 p x`  ¦ “ ¦ † < ÆÒ q t\     `  ¦   É r õ † < Æ > h¥ Æ Ü ¼– Ð



7 l • ¸ “ ¦ Õ ªX O t  · ú §l • ¸ ô  Ç . # Q‹ "  † < ÆÒ q t[ þ t“ É r s p  + þ

A$ í  ) a > h¥ Æ ^ ‰>  ? /\  õ † < Æ& h  > h¥ Æ `  ¦ f  ¨ à º €  " f `  ¦  

 É

r õ † < Æ > h¥ Æ õ   H   É r > h¥ Æ `  ¦ ° ú   H  â Ä º ´ ú §“ É r X <, ‘ : r

ƒ

 ½ ¨\ " f  H s \  ¦ î ¸ ú ˜3 l w ) a ‚  ' Ÿ  t d ” Ü ¼– Ð “  ô  Ç # Q 9¹ ¡ §ï Ü ¼

–

Ð ì  r À Ó % i  . ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f  H — ¸¿ º 9> h_   Y V µ 1 Ï| 

÷

&% 3   H X <, s \  ¦ ? /6   xZ > – Ð & ñ o  €   Table 5ü < ° ú   .

†

< ÆÒ q t[ þ t“ É r „  l $ † ½ Ó é ß –" é ¶ \ " f ŠҖ Ð „  l   r– Ð\  Û ¼0 A u

 ƒ    ÷ &# Q Û ¼0 Au _  0 Au \     $ † ½ Ós  ™ D ¥ ½ + ˃    

| ¨

c M : $ † ½ Ós  e ”   H / B M õ  \ O   H / B M — ¸¿ º „  À Ó â ì É r    H

¸ ú

˜3 l w ) a ‚  ' Ÿ  t d ” `  ¦ t “ ¦ e ” # Q ë  H ] j K   \  # Q 9¹ ¡ §`  ¦

 

  H  כ Ü ¼– Ð
 z Œ ¤ . s  ? /6   x õ  › ' aº   # Œ “ § ü < † < ÆÒ q t _

 @ / o ? /6   x`  ¦ ¶ ú ˜( R˜ Ѐ    6 £ § õ  ° ú   .

†

< ÆÒ q tE : Û ¼0 Au \  ¦ \ P % 3 `  ¦ M :  H — ¸Ž  H  r– Ð f ” § > = ƒ    ÷ &