석사학위 논문
구체적 조작물을 이용한 협동학습 전략이 수학 학업성취도에 미치는 효과
국민대학교 교육대학원
수 학 교 육 전 공
오 정 은
2 0 0 6
구체적 조작물을 이용한 협동학습 전략이 수학 학업성취도에 미치는 효과
지도교수 강 주 성
이 논 문 을 교 육 학 석 사 학 위 청 구 논 문 으 로 제 출 함
2007년 6월 일
국민대학교 교육대학원
수학교육전공
오 정 은
2 0 0 6
오정은의
석 사 학 위 청 구 논 문 을 인 준 함
2007년 6월 일
심사 위 원장 김 재 룡 (인 ) 심 사 위 원 강 주 성 (인) 심 사 위 원 박 태 훈 (인)
국민대학교 교육대학원
감사의 글
논문을 잘 마치게 해주시고 한걸음 한걸음 비젼을 향해 나아가게 해주시는 하나 님께 감사드립니다.
또한, 항상 저를 믿어주시는 부모님, 오빠와 동생 경주에게도 너무 감사드립니다.
오늘이 있기까지 저를 도와주신 모든 분 들게 지면으로나마 감사의 인사를 전하 고자 합니다.
너무나 부족한 저에게 격려로 지도해주신 강주성 지도교수님, 그리고 논문 심사 때 많은 도움을 주신 김재룡 교수님, 항상 격려해주시는 박태훈 교수님께 감사드 립니다. 조교로써 정말 부족했는데 저를 항상 격려해주신 신차균 교수님 너무 감 사드립니다.
그리고 무엇보다도 많은 기도를 해준 우리 미지캐머 유화, 애란, 승민, 은송, 미 현, 미경, 풀입, 태은이, 많은 중보 기도와 논문 수정을 도와준 수은 간사님 너무 감사드립니다.
실험을 할 수 있도록 장소를 알아봐 주고 많은 도움을 준 영옥이, 장소를 제공해 주신 U학원 장광일 원장선생님과 이쁘고 멋진 1학년 학생들에게 또한 감사드립니 다.
항상 도움 있으면 말만 하라는 혜진이, 옆에서 힘들 때 마다 도움이 되는 인선이, 독서실에서 함께 공부하면서 서로를 위로해준 정현이와 현정이, 그리고 대학원 다 니면서 많은 도움을 준 혜란언니와 세영이, 지혜에게도 고마움을 전합니다.
이 외에 저와 함께 해주신 모든 분 들게 감사의 마음을 전합니다.
목 차
국문 초록 ···
I. 서 론 ··· 1
A. 연구의 필요성 및 목적 ··· 1
B. 연구문제 ··· 3
C. 용어의 정의 ··· 4
가. 구체적 조작물 ··· 4
나. 소집단 ··· 6
D. 연구의 제한점 ··· 6
II. 이론적 배경 ··· 8
A. 구성주의 ··· 8
가. 조작적 구성주의 ··· 8
나. 급진적 구성주의 ··· 9
다. 사회적 구성주의 ··· 10
B. 구체적 조작물의 활용 ··· 10
가. 구체적 조작물을 이용한 수학학습 ··· 11
C. 협동학습 ··· 13
가. 협동학습의 개념 및 특성 ··· 13
나. 협동학습 모형 ··· 14
다. 협동학습에 관한 선행 연구 고찰 ··· 16
III. 연구의 방법 및 절차 ··· 17
A. 연구대상 ··· 17
가. 대상 집단 ··· 17
나. 동질성 검사 ··· 17
B. 연구방법 ··· 19
C. 연구기간 ··· 26
D. 검사도구 ··· 26
IV. 학습지도안 설계 ··· 28
A. 실험집단의 수업 설계서 작성 ··· 31
B. 비교집단 Ⅰ의 수업 설계서 작성 ··· 39
C. 비교집단 Ⅱ의 수업 설계서 작성 ··· 45
Ⅴ. 연구의 결과 및 분석 ··· 51
Ⅵ. 결론 및 제언 ··· 54
A. 결론 ··· 54
B. 제언 ··· 55
참 고 문 헌 ··· 56
Abstract ··· 60
부 록 : 부록 1. 사전 학업성취도 평가지 ··· 61
부록 2. 사후 학업성취도 평가지 ··· 62
표 목 차
<표-1> 실험집단, 비교집단Ⅰ, 비교집단Ⅱ 사전 학력 검사결과 ··· 18
<표-2> 세 집단 간의 사전 학업성취도 결과 비교 ··· 21
<표-3> 실험집단, 비교집단Ⅰ, 비교집단Ⅱ 비교 ․분석 ··· 22
<표-4> 사전 ․사후 비교 ··· 23
<표-5> 비교집단Ⅰ의 수업시간 ··· 23
<표-6> 비교집단Ⅱ의 수업시간 ··· 24
<표-7> 실험집단의 수업시간 ··· 25
<표-8> 연구 절차 및 내용 ··· 28
<표-9> 비교집단Ⅰ과 실험집단의 사후 학업성취도 결과 ··· 30
<표-10> 비교집단Ⅱ과 실험집단의 사후 학업성취도 결과 ··· 31
<표-11> 비교집단Ⅰ과 비교집단Ⅱ의 사후 학업성취도 결과 ··· 32
<표-12> 사후 학업성취도 결과 ··· 33
그 림 목 차 <도-1> 대수막대 ··· 5
<도-2> 소집단 구성 ··· 26
국문 국문 국문 국문 요약 요약 요약 요약
구체적 구체적
구체적 조작물을 구체적 조작물을 조작물을 조작물을 이용한 이용한 이용한 이용한 협동학습 협동학습 전략이 협동학습 협동학습 전략이 전략이 수학 전략이 수학 수학 수학 학업성취도에
학업성취도에 학업성취도에
학업성취도에 미치는 미치는 미치는 효과 미치는 효과 효과 효과
오 오
오 오 정 정 정 은 정 은 은 은
국민대학교 국민대학교 국민대학교
국민대학교 교육대학원 교육대학원 교육대학원 교육대학원 수학교육전공 수학교육전공 수학교육전공 수학교육전공
본 연구는 구체적 조작물을 학생이 직접 사용하면서 협동학습을 하도록 활동지 와 구체적 조작물을 제작하여 중학교 1학년 ‘문자와 식’ 단원의 수업 현장에 투 입하였다. 또한, 구체적 조작물을 가지고 협동학습을 한 수업이 학생들로 하여금 수업에 능동적으로 참여하게 하여, 수학 학업 성취도에 긍정적인 효과를 가져오 는지 알아보고자 하였다.
이러한 수학 학업 성취도를 알아보기 위하여 실험집단은 학생들이 직접 구체적 조작물로 협동학습을 하는 교수-학습 방법을 이용하여 수업을 하였고, 비교집단
Ⅰ은 구체적 조작물을 교사만 이용하는 교수-학습 방법을 이용한 수업을 하였고, 비교집단Ⅱ는 협동학습만을 통한 교수-학습 방법을 채택하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다.
첫째, 구체적 조작물을 교사만 사용하며 수업을 진행 하였을 때와 학생들이 직접 구체적 조작물을 사용하며 협동학습을 하였을 때 수학 학업 성취도에 어떠한 차 이점이 있는가?
둘째, 협동학습만 하였을 때와 학생들이 직접 구체적 조작물을 사용하며 협동학 습 하였을 때, 수학 학업 성취도에 어떠한 차이점이 있는가?
셋째, 구체적 조작물을 교사만 사용하며 수업을 진행 하였을 때와 협동학습만을 통하여 수업 하였을 때, 수학 학업 성취도에 어떠한 차이점을 보이는가?
실험한 후 평가지의 성취도 결과를 가지고 비교하여 다음과 같은 결론을 얻었 다.
첫째, 실험집단의 학생들이 비교집단Ⅰ의 학생들보다 학업성취도가 더 높음을 알 수 있었다. ‘문자와 식’ 단원의 학습에서 구체적 조작물을 교사만 이용한 방법 보다는 학생들이 직접 구체적 조작물을 조작하며 협동학습을 하는 것이 개념을 이해시키는데 효과적이고 개념을 이해하지 못하여 발생하는 오류의 빈도를 줄일 수 있는 지도방법이라는 결론을 얻었다.
둘째, 실험집단의 학생들이 비교집단Ⅱ의 학생들보다 학업성취도가 더 높음을 알 수 있었다. ‘문자와 식’ 단원의 학습에서 학생들이 협동학습만을 하는 것 보다 는 구체적 조작물을 조작하여 협동학습 하는 것이 개념을 이해시키는데 효과적 이고 개념을 이해하지 못하여 발생하는 오류의 빈도를 줄일 수 있는 지도방법이 라는 결론을 얻었다.
셋째, 비교집단Ⅰ과 비교집단Ⅱ의 학생들의 학업성취도를 비교해본 결과 유의미 한 결과를 얻지 못했다. 따라서 ‘문자와 식’ 단원의 학습에서 협동학습의 교수- 학습 방법과 구체적 조작물을 이용한 교수-학습 방법에는 구체적 조작물을 이용 하면 협동학습의 교수-학습 방법과 비슷한 효과를 볼 수 있음을 알 수 있다.
이 연구의 결과를 통해 볼 때, 학생들이 직접 구체적 조작물을 이용한 협동학습 은 학생들의 수학 학업성취도를 높일 수 있는 적절한 교수전략으로 활용될 수 있음을 알 수 있었다. 이러한 학습전략에 필요한 학습 자료의 개발과 보급이 더 욱 이루어 져야 할 것이다.
Ⅰ Ⅰ
Ⅰ Ⅰ. . . 서 . 서 서 서 론 론 론 론
A.
A. A.
A. 연구의 연구의 연구의 필요성 연구의 필요성 필요성 필요성 및 및 및 및 목적 목적 목적 목적
NCTM(National Council of Teachers of Mathematics, 1989, 2000)은 수학 의 학습 목표로서 다음의 사항들을 제시하고 있다. 학습자가 수학의 가치를 알고 수학하는 자신의 능력을 확신하며, 수학적으로 문제를 해결하고, 수학적으로 의 사소통을 할 수 있으며, 수학적으로 추론할 수 있게 해야 한다는 것이다. 그리고 초․중등 수학교육을 통해 일관되게 이러한 목표 달성을 위한 다양한 경험들을 학 생들에게 제공해야 할 것을 요구하고 있다1).
제7차 교육과정에서는 학생중심 교육과정으로 학생이 스스로 탐구하고, 학생의 자기주도적인 학습능력을 신장시킬 수 있도록 하는 교사의 지원적인 입장이 강 조되고 있다.
이제 교사의 일방적인 수업과 단편적인 지식전달의 방식에서 탈피해야 한다.
그리하여 교수-학습의 전개과정에서 교사와 학생의 만남을 통해 학생 개개인의 학습 특성을 적시에 확인하고, 이에 따른 적절한 학습 과제를 마련해 줌으로써 학생들이 계속적으로 의미있는 학습활동을 전개할 수 있도록 도와주어야 한다.
즉, 학생들 스스로 생각하고, 토의하고, 문제를 해결할 수 있는 능동적이고 적극 적인 탐구활동을 통하여 학생들의 무한한 잠재력을 키울 수 있는 새로운 교수- 학습의 장이 열려야 한다는 것이다.
또한 제 7차 수학과 교육과정에서는 학생들의 구체적인 조작활동과 사고과정 을 통해 수학의 기초적인 개념과 원리를 발견하고 해결하는 기회를 제공하고, 학 생으로 하여금 발견의 즐거움을 맛 볼 수 있도록 교수방법이 전환되어야 함을
1) NCTM(National Council of Teachers of Mathematics, 1989, 2000).
강조하고 있다.
이와 더불어 창의적 사고력, 비판적 사고력, 문제해결 능력, 추론 능력, 의사소 통 능력 등의 제반 고등사고 능력의 신장과 함께 수학에 대한 자신감과 긍정적 인 태도, 수학과 인접 학문과의 관련성 및 수학의 유용성 인식과 같이 정의적인 목표도 추구하고 있다. 즉 지식 기반 정보화 사회의 도래에 따라 단편적인 지식 의 습득이나 알고리즘적인 연습을 위주로 하는 수학보다는 고등 사고 능력을 신 장시키고 수학에 대한 긍정적인 태도를 고무시키기 위한 수학이 필요하며 이 점 이 제 7차 교육과정 개정의 중요한 배경 및 기본 방향이 된다.2)
그 동안 학교 교육의 개선을 위해 교수-학습 방법 중의 하나인 협동학습에 관 한 많은 연구들이 진행되어 왔다. 이들 선행연구에 의하면 협동학습은 학습 성취 의 향상과 긍정적인 자아 개념의 증진은 물론 동료에 대한 호감, 교우 관계 증진 등에 효과가 있다고 보고되고 있다. 그리고 협동학습 집단에서 학습 능력이 높은 학습자는 동료 학생에게 설명을 해주고, 학습 능력이 낮은 학습자는 동료들에게 설명을 받음으로써 학습 성취가 향상된다고 밝히고 있다(Webb, 1982; 이동원, 1995; 김광휘, 1996; 박상규, 1999). 또한 협동학습에서 선행학습 수준에 따른 집단보상과 개인별 향상점수제가 학업성취에 미치는 효과에서 집단보상과 개인 별 향상점수제를 적용한 학생들의 학업성취도가 높다는 연구(권학규, 1997), 협 동학습이 문제해결 과제 및 개념 과제의 성취에 미치는 효과(류희경, 1998), 협 동학습이 수학과 영역별 학업성취 및 파지에 미치는 효과(이재영, 1998) 등에서 협동학습의 긍정적인 효과를 밝히고 있다3).
또한 활동적인 학습활동 이용에 대한 연구와 그 적용이 필요함에 따라 구체적 조작물을 이용한 연구들을 보면, 강완(1992)은 큐브, 주사위, 타일, 작도기구 등 을 조작기구로 분류하여 다른 학습자료와 함께 사용한 연구도 있고, 김응태 등 (1989)은 구조교구라고 하여 속성 블록, 퀴즈네르 막대, 기하판 등의 이용에 대 해서도 기술한 연구도 있다. 고정석(1992)은 초등학교 5학년 학생을 대상으로 한 카드 게임 학습 자료를 이용한 수업이 학업성취도와 수학에 대한 긍정적인 2) 교육부, 중학교 교육과정 해설Ⅰ, 서울 교육부, (1999).
3) 권용옥, STAD 협동학습이 수학과의 학업성취도에 미치는 영향, 국민대학교 교육대학원 석사학 위 논문, (2003).
태도 변화에 효과가 있었다는 연구결과도 있다. 이와 같이 수학과 문제 해결 과 정에서 아동들의 사고 활동을 증진시킬 수 있는 조작적 학습 자료의 개발에 최 선을 다할 것을 제안하고 있다4).
이러한 선행연구들을 살펴볼 때 협동학습이 학업 성취에 미치는 긍정적인 효 과와 협동학습의 방법에 대한 다양한 연구들과 구체적 조작물을 이용하여 정의 적 영역과 인지적 영역에 미치는 효과에 대한 연구들이 있으나 대수 단원에서 교수-학습을 개선하기 위해 조작적 도구물을 학생들이 직접 이용하게 하여 협동 학습을 적용한 선행연구들은 많지 않았다.
따라서 본 연구는 구체적 조작물을 학생이 직접 사용하면서 협동학습을 하도록 활동지와 구체적 조작물을 제작하여 중학교 1학년 ‘문자와 식’ 단원의 수업 현장 에 투입하였다. 또한, 구체적 조작물을 가지고 협동학습을 한 수업이 학생들로 하여금 수업에 능동적으로 참여하게 하여, 수학 학업 성취도에 긍정적인 효과를 가져오는지 알아보고자 한다.
B. B. B.
B. 연구문제 연구문제 연구문제 연구문제
본 연구에서는 앞에서 제시한 연구의 필요성과 목적을 구현하기 위하여 다음과 같은 연구문제를 설정하였다.
가. 구체적 조작물을 이용하여 수업을 진행 하였을 때와 협동학습만을 이용하여 수업 하였을 때, 수학 학업 성취도에 어떠한 차이점이 있는가?
나. 협동학습만 하였을 때와 학생들이 구체적 조작물을 이용하면서 협동학습 하 였을 때, 수학 학업 성취도에 어떠한 차이점이 있는가?
다. 구체적 조작물을 이용하여 수업을 진행 하였을 때와 학생들이 구체적 조작물
4) 김효정, 구체적 조작물을 이용한 활동 지향적 수학 수업에 관한 연구, 이화여자대학교 교육대학 원 석사논문, (1994).
을 이용면서 협동학습을 하였을 때 수학 학업 성취도에 어떠한 차이점이 있는 가?
C. C. C.
C. 용어의 용어의 용어의 용어의 정의 정의 정의 정의
가 가가
가. . . . 구체적 구체적 구체적 구체적 조작물조작물조작물조작물
구체적 조작물은 연구자에 따라 조작교구라고 하나 본 연구에서는 구체적 조 작물로 표현하기로 하였다. Kennedy(1986)는 구체적 조작물 이란 ‘여러 가지 감각에 호소하며, 학생들이 만질 수 있고, 움직일 수도 있고 배열할 수 있으며 그 밖에도 다르게 다루어 질 수 있는 물체’ 라고 정의 하였다.5) Post(1980)는
‘아동들에게 가르치려는 보다 추상적인 수학적 개념을 나타내는 동형구조물’ 이 라고 하였다. 동형구조란 실세계를 모델화 하여 추상적인 수학 세계에 가까운 구 조라고 할 수 있다6). 김효정(1994)은 ‘구체적 조작물은 수학의 추상적 아이디어 를 구체화 한 물체로서, 학생이 직접 다루어 보도록 하여 그 아이디어를 이해하 고 실세계와 수학적 세계의 연결을 꾀하는 것’ 이라고 하였다7).
위의 정의를 종합하여 보면 구체적 조작물이란 ‘학생들이 직접 조작을 통하여 수학적 개념을 쉽게 이해하도록 도와주는 실세계의 물체’로 보고자 한다. 본 연 구에서는 수수깡으로 대수막대를 대신하고 종이를 이용하여 만든 카드를 연구에 사용하였다.
(1) (1) (1) (1) 대수막대대수막대대수막대대수막대
대수막대는 대수 부분을 배우고 가르칠 때, 좀 더 활동적인 방법을 도입하고자 5) Kennedy, L. M. A rationale. Arithmetic Teacher, 33, 6-7. (1986).
6) Post, T. R. The role of manipulative materials in the learning of mathematical concepts.
In Selected issues in Mathematics Education ed M. Kindquist. Berkeley, CA:
McOutchan.(1980).
7) 김효정, 구체적 조작물을 이용한 활동지향적 수업에 관한 연구, 이화여자대학교 교육대학원 석사 학위 논문, (1994).
사용되는 것으로 식의 계산 과정을 도형의 길이와 넓이를 정리하는 과정으로 전 환시킨 구체적 조작물이다. 이 대수 막대의 사용은 자칫 기계적인 식의 조작으로 만 생각하기 쉬운 대수적 조작을 직접 눈으로 보고 손으로 만지면서 그 의미를 생각할 수 있도록 도와준다.
대수막대의 기본적인 사용법은 양(+)을 나타내는 조각들은 길이가 맞는 부분을 서로 맞대어 늘어놓고, 음(-)을 나타내는 조각들은 양(+)을 나타내는 조각 위에 얹어 놓는다. 이 때 겹친 부분만큼의 넓이는 0으로 본다. 다음 그림은 대수막대 의 사용법을 나타내고 있다.
본 연구자는 대수막대를 직접 수수깡으로 만들어 사용하였다.
<도-1>
1 -1
나 나나
나. . . . 소집단소집단소집단소집단
기존의 조별 활동에서 인원수는 별 의미가 없을 수 있다. 또 조별 정체성이나 지속성을 가질 필요도 없었다. 그러나 협동 학습에서는 강하고 긍정적인 소집단 의 정체성이 요구되며 이상적으로는 4명의 모두미들로 조직되어 일정기간 동안 지속된다. 그래서 본 연구에서는 4명의 모두미들로 조직되었다. 모두미들은 서로 를 잘 알고 용납하며 서로를 돕는다. 다양한 유형의 소집단을 구성할 수 있는 능 력이 협동 학습 교사에게 요구되는 첫 번째 자질이다.
가장 보편적인 소집단 구성 방법은 학생들의 이질적인 특성을 최대한 살려서 구성하는 것이다. 다양한 학력 차, 남녀 성별, 인종이나 언어의 다양성 등을 최대 한 반영한 이질적인 소집단은 바로 그 교실의 축소판이 될 것이다. 학력 차이가 나는 소집단에서는 또래 가르치기 및 학급 운영을 보조하는 활동이 활발하게 일 어날 수 있다. 각 소집단에서 성적이 우수한 학생들은 새로운 단원 이해와 습득 을 용이하게 도울 수 있다.8)
D.
D. D.
D. 연구의 연구의 연구의 제한점 연구의 제한점 제한점 제한점
(1) 본 연구는 서울시의 U학원에서 중학교 1학년 16명이라는 소수의 인원을
8) 김혜민, 수학과 수업에 적용한 협동 학습에 관한 연구:7-가 단계의 유리수의 뺄셈을 중심으로, 경희대학교 교육대학원 석사학위 논문, (2003).
연구 대상으로 짧은 기간 내에 연구가 실시되었기 때문에 지역적인 변수, 집단의 크기, 연구기간에 따른 제한점이 있다.
(2) 본 연구는 중학교 수학 7-가 단계의 대수 영역의 ‘문자와 식’의 단원에서 의 연구이므로 다른 교과 및 다른 학년으로 일반화 하는데 어려움이 있다.
(3) 본 연구에서 사용한 협동학습전략은 여러 학자들이 제안한 전략 가운데서, 전략자체가 구체화 되어있고 비교적 간단한 전략으로 학습자들이 쉽게 활용할 수 있는 STAD 전략의 기준을 따른 것이 연구의 제한점이라 할 수 있다.
Ⅱ Ⅱ
Ⅱ Ⅱ. . . 이론적 . 이론적 이론적 이론적 배경 배경 배경 배경
A. A. A.
A. 구성주의 구성주의 구성주의 구성주의
전통적인 수학 수업 방식은 학생이 교사의 설명을 듣고 교사로부터 새로운 지 식을 전달받는 것이다. 이러한 수업의 배경에는 지식 습득이 전수에 의한 것이라 는 생각이 놓여 있다.
구성주의에서는 종래의 지식관이 지식 형성 과정의 본질을 제대로 해명하지 못 한다고 본다. 구성주의는 학습자가 지식을 기계적으로 수용하는 것이라는 종래의 통념을 부정하고, 학습자는 스스로의 능동적인 구성 활동을 통해 자신에게 의미 있는 지식을 구성해 나간다고 보며, 학습자의 능동적인 반성 활동이나 사회적 상 호 작용을 중요시한다. Kilpatric은 구성주의자의 주장을 다음과 같이 두 가지로 요약하였다.
⑴ 지식은 인식 주체에 의해 능동적으로 구성되는 것이며, 환경으로부터 수동적 으로 받아들여지는 것이 아니다.
⑵ 알게 된다는 것은 자신의 경험 세계를 조직하는 조절 과정이다. 즉 그것은 인 식 주체의 관념 밖에 독립적으로 이미 존재하는 세계를 발견하는 것이 아니다.
가가가가. . . . 조작적 조작적 조작적 조작적 구성주의구성주의구성주의구성주의
Piaget의 이론에 의하면, 논리 수학적 개념은 ‘행동과 조작의 일반적 조정으로 부터 반영적 추상화를 통해 형성된 조작적 scheme’ 이다. scheme은 행동과 조 작을 가능하게 하고 그것을 일반화할 수 있게 하는 행동과 조작의 일반적 구조 를 말한다.
Piaget 이전에는 수학적 개념은 사물로부터 공통 성질을 추상화해서 얻어지는 것이라는 견해가 일반적이었다. 그러나 Piaget는 물리적 경험과 논리 수학적 경 험을 구분하고 사물로부터의 추상화와 행동으로부터의 추상화를 구분하였다. 물
리적 경험은 예를 들어 큰 돌멩이가 작은 돌멩이보다 무겁다는 것을 경험하는 것이다. 이때 무게라는 성질은 아동이 돌멩이를 들어보기 전부터 돌멩이가 갖고 있던 성질이다. 그러나 논리 수학적 경험은 예를 들어 돌멩이들을 어떻게 늘어놓 고 세어도 그 개수가 동일하다는 것을 아는 것이다. 이 때 수 라는 성질은 이전 부터 돌맹이 속에 있던 것이 아니라 주체의 행동의 조정에 의해서 도입된 것이 다. 피아제는 이러한 ‘행동으로부터의 추상화’를 ‘반영적 추상화’라고 부르며, 수 학적 추상화는 본질상 반영적 추상화라고 보고 있다.
즉, 조작적 구성주의에 따르면, 수학적 지식은 인간의 조작 활동에 그 근원을 두고 있다. 이로부터 수학 수업에서 그러한 수학적 지식의 발생적 근원이 되는 조작을 강조해야 한다는 시사를 얻을 수 있다.
나나나나. . . . 급진적 급진적 급진적 급진적 구성주의구성주의구성주의구성주의
급진적 구성주의는 전통적으로 인정되어 온 객관성 개념을 부정한다.
Glasersfeld는 급진적 구성주의의 원리를 다음과 같이 제시하였다.
⑴ 지식은 감각을 통하거나 의사소통에 의해 수동적으로 받아들여지는 것이 아 니다. 지식은 인식하는 주체에 의해서 능동적으로 구성된다.
⑵ 인식의 기능은 적응적이며, 생물학적인 용어로 적합성 또는 생장성을 지향하 는 경향을 지닌다.
⑶ 인식은 주체가 경험 세계를 조직하는데 도움을 주는 것이지, 결코 객관적인 존재론적 실재를 발견하는 것을 돕는 것이 아니다.
즉, 급진적 구성주의에 따르면 각각의 주체는 그들 자신의 방식으로 그들 자신 을 둘러싼 환경에 적응하기 위해 그들 자신의 경험을 조직한다. 각각의 주체는 개별적이고 주관적인 자신의 이해의 세계의 중심인 것이다. 즉, 각 개인이 구성 한 지식은 필연적으로 고유하며 상황 의존적이다.
급진적 구성주의에서는 ‘지식이나 의미가 언어를 통해 말하는 사람에게 듣는 사 람에게로 그대로 전달될 수 있다는 관점을 부정한다. 언어는 의미를 그대로 수송
하지 못하며, 듣는 사람은 자신이 들은 것에 자신의 주관적 의미를 부여할 수 밖 에 없다. 또한 언어의 의미는 개인적 경험으로부터 구성되므로 주관적인 것임에 도 불구하고 마치 사물로부터 순수하게 도출 된 것처럼 착각한다는 것이다.
이러한 급진적 구성주의의 입장은 지식의 주관적 측면을 강조하고, 학생 개개인 이 고유한 방식으로 그들 자신의 지식을 구성하도록 하는 교육을 지지하는 것으 로 해석될 수 있다.
다다다다. . . . 사회적 사회적 사회적 사회적 구성주의구성주의구성주의구성주의
사회적 구성주의에 따르면, 수학적 지식의 기초는 언어적 지식, 관습, 규칙과 같 은 사회적인 성격의 것이다. 즉, 수학은 사회적 구성물이므로 절대적인 수학적 지식은 없으며 지식은 오류 가능하다.
사회적 구성주의는 주관적 지식과 객관적 지식의 관계 및 수학적 지식의 사회 적 구성 과정에 주목한다. 개인이 가지고 있는 주관적인 지식이 객관적인 것이 되려면 그 지식이 공표되어야 한다. 공표된 지식은 사회적인 비판과 재형성 과정 을 거쳐 객관적인 지식으로 변한다. 주관적인 지식이 객관적인 지식이 되는 과정 이나 객관적인 지식이 개인의 주관적인 지식이 되는 과정에서 사회적 합의 과정 이 중요한 역할을 한다.
사회적 구성주의는 학생들의 발표와 토론이 중시되는 사회적 상호작용 수업을 지지하는 것으로 해석될 수 있으며, 소집단 협력 학습은 그 한 가지 유형으로 볼 수 있다.9)
B.
B. B.
B. 구체적 구체적 구체적 구체적 조작물의 조작물의 조작물의 조작물의 활용 활용 활용 활용
중학교 수학교육에서 큰 문제점중의 하나는 교수-학습에서 너무 급한 형식화 및 수식화가 이루어지고 있다는 점이다. 이러한 활동을 통하여 기능은 쉽게 숙달 할 수 있을런지 모른다, 하지만 수학적 개념, 원리, 법칙의 진정한 의미의 습득은 9) 황혜정외, 수학교육학신론, 문음사, (2005).
결코 성공적 일수는 없는 것이다. 새로운 개념이나 내용의 교수·학습과정에서 가 능한 한 구체적 조작 활동을 하거나 학생 스스로 실험을 통하여 개념, 원리, 법 칙을 찾거나 내용의 이해를 도울 수 있도록 하는 것이 바람직하므로, 기존의 시 청각 기자재 외에도 수학활동이나 수학적 사고 실험을 구체적으로 해 볼 수 있 도록 고안된 교육기자재의 활용을 적극 권장하고 있다.
초등학교 단계에서는 관찰, 실험, 조작 등 구체적 조작 활동을 통하여 재미있는 학습이 이루어져 오다가 중학교 단계부터는 그런 활동이 단절되어지는 모습으로 나타난다. 새로운 개념이나 내용의 교수·학습 과정에서 가능한 한 구체적 조작 활동을 하고 학생 스스로 실험을 통하여 개념, 원리, 법칙을 찾거나 내용의 이해 를 도울 수 있도록 하는 것이 바람직하다고 생각되어 진다. 일반적으로 수학이 학생들에게 재미없고 어렵게 인식되는 것은 근본적으로 수학의 내용을 최종적인 형태로 즉, 수학화 또는 추상화된 상태에서 해당 내용을 전달하고 받아들이기를 요구함으로써 발생되는 현상이다. 특히 중학교 학생들의 수학지도에 있어서는 학 생의 인지적 측면에 대한 고려만큼이나 중요하게 생각해야 할 것은 학습자의 정 의적 측면에 대한 배려라고 할 수 있다. 즉 발견식의 방법이나 학습자의 충정적 인 조작활동을 통한 탐구 방식의 학습, 또는 교사와 학생이 같이 학습 활동을 전 개하는 방식 등으로 학습자의 능동적이고 적극적인 학습 활동에의 개입을 중시 하는 소위 활동주의 학습원리의 적용도 전체적인 학습 효과를 극대화시킬 수 있 는 좋은 방법이 될 수 있을 것이다.10)
가가가가. . . 구체적 . 구체적 조작물을 구체적 구체적 조작물을 조작물을 조작물을 이용한 이용한 이용한 이용한 수학학습수학학습수학학습수학학습
주위에 많은 학생들을 통해 흔히 느끼는 일이지만 어려서는 수학공부에 흥미를 가지고 수학을 잘 한다던 아이가 학년이 점점 높아감에 따라 호기심과 기쁨을 잃어버리고 수학 공부를 기피하는 현상이 뚜렷이 나타나는 경우가 종종 있다. 이
10) 고의화, 특별보충대상자를 위한 조작교구와 게임을 활용한 대수교육의 효과 연구, 이화여자대학 교 교육대학원 석사학위 논문, (2001).
런 학생에게 수학 학습에 대한 인식을 새로이 심어 주면서, 보다 즐겁고 논리적 으로 사고할 수 있는 힘을 길러 주는 것은 중요한 일이다.
진정한 학습이란 사물을 제대로 이해하는 것이다. 하지만 사물을 관찰하고 분석 하여 어떤 결론을 도출해 낼 때 처음부터 논리적인 접근에 의해서만 이루어지는 것은 아니다. 많은 경우 오히려 흥미와 관심을 통해 문제가 인식되면, 직관에 의 해 문제의 동기가 설정되고 그 후에야 논리적 추론의 과정을 거쳐 문제의 핵심 에 접근해 간다. 그리고 궁극적으로 ‘참’인 결과를 얻어낸다.
수학을 학문적으로 접근하는 과정은 매우 엄격하고 그 논의하는 대상이 매우 추상적이다. 그래서 수학은 난해하다든지 다루기 힘든 학문이라는 선입견이 심어 져 쉬운 것과 안일함을 추구하는 사람들에게는 어려운 대상이 되어 왔다. 수학을 어려워하고 귀찮아하는 사람들에게 수학에 대한 지속적인 흥미와 탐구심을 갖도 록 도와 주는 것이 필요하다.
수학을 어려워하는 학생들에게 수학은 먼저 학습이라기 보다는 놀이를 위한 시 간이 되도록 한다면 즐기는 가운데 깊은 사고력을 키울 수 있으며 또한 새로운 것을 배웠다는 작은 성취감마저 맛볼 수 있을 것이다.
Piaget(1952)에 따르면 사고기능의 발달이 환경과의 상호작용(동화와 조절)을 통해 일어나므로, 교사는 학생의 발달 단계에 맞는 적절한 경험을 제공하여 호기 심과 학습 동기를 유발시켜야 한다. 중학교 1학년의 학생들은 구체적 조작기에서 형식적 조작기로 넘어가는 과도기에 있다고 볼 수 있으므로 구체적인 경험을 바 탕으로 하여 논리적인 사고를 도입할 필요가 있다. 이렇게 함으로써 학습 활동의 긍정적인 태도가 길러지고 논리적인 사고방법과 사고과정을 발달시킬 필요가 있 는 것이다.
제7차 교육과정은 개정의 기본 방향을 ‘수학적 힘의 신장’으로 설정하면서, 이 를 구현하기 위한 실천적인 항목으로 고려하고 있는 학습자의 활동 중시, 수학적 흥미와 자신감의 고양, 계산기, 컴퓨터 및 구체적 조작물의 적극적 활용, 다양한 교수·학습 방법과 평가의 활용 등이 모두 수학의 필요성과 실현 가능성을 보장해 주고 있다고 볼 수 있다.
구체적 조작물의 활용은 그 자체의 활동으로만 끝나지 않고 그것이 재창조로
이어져야 한다. 수학교육의 목표 중에 하나는 여러 가지 생활 현상을 수학적으로 고찰하는 경험을 통하여 수학의 기초적인 개념, 원리, 법칙과 이들 사이의 관계 를 이해할 수 있다고 하였다. 이를 위해 탱그램이나 펜토미노, 퍼즐 등을 이용한 지적 활동 경험을 통해 평면지각력이나 도형에 대한 기본 개념을 습득할 수 도 있다. 이는 수학적인 관찰이나 조작적인 경험을 통해 수량이나 도형에 관한 기본 원리와 법칙, 개념을 습득하는 인지적인 한 측면이다. 그러나 구체적 조작물을 이용한 수학의 또 다른 기능은 정의적인 측면에 있다. 즉, 구체적 조작물을 활용 한 수업을 함으로써 수학에 대한 관심과 흥미를 유발하여 대상을 수학적으로 명 확하게 처리하고 표현하려는 태도를 기르는 데에도 기여할 수 있다. 학생들은 놀 이와 재미를 추고하려는 특성을 가지고 있으므로 이러한 욕구에 맞는 조작 교구 를 통해 자발적인 참여를 유도하여 수학 학습에 대한 긍정적인 태도를 길러줄 수 있다.11)
C.
C. C.
C. 협동학습 협동학습 협동학습 협동학습
가가가가. . . 협동학습의 . 협동학습의 협동학습의 협동학습의 개념 개념 개념 개념
협동학습 이론은 학생들간의 상호작용을 유도하는 방법이나 협동을 구조화하 는 방식에 따라서 연구자들마다 약간씩 달리 설명하고 있다.
Slavin(1980)에 의하면 협동학습은 학생들이 학습 집단에서 학습 활동을 하고 그 집단의 성적에 기초를 둔 보상과 인정을 받는 교실 상황에서의 학습 방법, 또 는 학습 능력이 각기 다른 학생들이 동일한 집단 목표를 향하여 소집단에서 함 께 활동하는 수업 방법으로서, 팀 동료를 서로 격려하고 도우며 학습이 부진한 동료와 협력학습을 하는 학습체제라고 하였으며, Cole과 Chan(1987)은 협동학 습이란 학생들이 그들 집단의 학업 수행에 근거해서 보상이나 인정을 받는 과제 구조를 활용하는 학습방법이라고 하였다12). 이희도(1998)는 이질적인 능력을 지 닌 학생들로 소집단을 구성하여 공통과제를 구성원간의 상호협력으로 해결해 나
11) 고의화, 특별보충대상자를 위한 조작교구와 게임을 활용한 대수교육의 효과 연구, 이화여자대학 교 교육대학원 석사학위 논문, (2001).
12) 박성익, 교수․ 학습 방법의 이론과 실제(Ⅱ), 서울 : 교육과학사, (1998).
가는 방법이라고 하였으며, 문용린(1988)은 학급의 목표에 따라 그 학급의 집단 역동성이 달라짐에 착안하여 수업 운영을 협동적으로 이끌어 가려는 전략이라고 하였다. Schniedewind and Davidson(1987)은 협동적인 교실 학습이란 학생들 이 공통의 목표를 향하여 함께 활동함으로써 서로 돕고, 학생들의 다양한 기능이 존중되고 이용되며, 모든 사람이 집단을 위해 무엇인가 기여하게 되고, 그리고 교사는 이런 일이 일어나도록 과제를 구조화하는 학습이라고 하였다13)
이러한 정의들에 따르면, 협동학습이란 학습 활동을 수행하는 과정에서 집단 구 성원들 사이에 상호작용을 하면서 공동으로 과제를 성취하거나 학습목표를 달성 하려는데 그 목적을 두고 있음을 알 수 있다. 즉 학습자들은 집단 내에서 서로경 쟁을 하거나 개별적으로 학습하는 것보다 협동적으로 학습 활동을 전개해 갈 때 기대하는 학업성취를 보다 효과적이며 효율적으로 이룰 수 있게 된다.
이상에서 살펴본 바와 같이 협동학습은 소집단 구성원간의 긍정적 상호작용을 극대화해서 인지적 발달을 도모하며, 소집단 구성원들이 공동의 학습목표를 가지 고 그 목표를 달성하기 위해서 역할을 분담하고 개별적인 책무성을 가지고 다른 구성원들과 도움을 주고 받는 상호작용을 통하여 집단 구성원 모두에게 유익한 결과를 얻고자 하는 학습전략이라고 할 수 있다14).
나나나나. . . 협동학습 . 협동학습 협동학습 협동학습 모형모형모형모형
협동학습은 크게 과제중심 협동학습, 보상중심 협동학습, 교과중심 협동학습, 그리고 기타 협동학습 등 네 가지 유형으로 구분할 수 있다. 과제 중심 협동학습 은 Jigsaw모형, GI모형, Co-op Co-op 모형으로, 보상중심 협동학습은 STAD, TGT, JigsawⅡ,Ⅲ모형으로, 교과중심 협동학습은 수학과를 위한 TAI모형, 국어 과를 위한 CIRC모형, 사회과를 위한 DME모형으로 나누어지며 기타 협동학습으 로는 LT 모형, PRO-CON 모형, CDP모형 등이다.15)
13) 이동원, 집단경쟁과 집단부경쟁 협동학습이 학업성취와 학습동기에 미치는 효과, 계명대학교 대 학원 박사학위 논문, (1991).
14) 권용옥, STAD 협동학습이 수학과의 학업성취도에 미치는 영향, 국민대학교 교육대학원 석사논 문, (2003).
15) 정문성․김동성, 열린교육을 위한 협동학습의 이론과 실제, 서울 : 형설출판사, (1998).
본 연구에서 사용된 STAD 만 자세히 알아보도록 하자.
1. 1. 1. Slavin1. SlavinSlavinSlavin의 의 의 STAD 의 STAD (Student STAD STAD (Student (Student (Student Teams Teams Teams Teams Achievement Achievement Achievement Achievement Divisions)Divisions)Divisions)Divisions)
STAD 모형은 미국 존스 합킨스 대학교의 Slavin 등에 의하여 만들어진 STL 프로그램의 주요 요소인 ‘집단보상’, ‘개별적 책무성’, ‘성공기회의 균등’이라는 협 동 전략을 택하고 있다.
이 전략을 살펴보면 ‘집단보상’은 소집단에 계획된 기준 이상의 성취를 해야만 보상을 받게 되고, ‘개별적 책무성’은 집단의 성공은 모든 구성원 개인의 성취에 의존한다는 것을 말하며, ‘성공기회의 균등’은 구성원들 자신의 과거성취를 기준 으로 향상점수를 받게되므로 능력에 관계없이 누구나 집단의 성공에 기여할 수 있음을 의미한다. 즉 자신의 학업 능력 수준에 관계없이 최선을 다함으로써 얻은 향상점수를 받게되므로 능력에 관계없이 누구나 집단의 성공에 기여할 수 있음 을 의미한다. 즉 자신의 학업 능력 수준에 관계없이 최선을 다함으로써 얻은 향 상점수가 집단점수에 반영된다. 그러므로 구성원 모두는 집단에 공헌할 수 있는 균등한 기회를 가진다. 이것이 개별적책무성을 강화시키는 요소이다.
이러한 세 가지 특징을 가진 STL 프로그램으로 STAD모형은 한 팀이 4~5명으 로 구성되고, 일반적 협동학습의 전개 절차는 다음과 같다.16)
첫 번째, 교사는 학급 전체 학생들을 대상으로 학습할 내용을 소개한다.
두 번째, 학생들은 4~5명이 한 팀을 이룬 후, 팀 구성원 모두가 서로 가르치고 배우면서 동료의 학습을 지원하고 교정해 준다.
세 번째, 모든 학생들은 각자 형성평가를 받는다.
네 번째, 형성평가 점수는 각 학생의 과거점수와 비교하여 향상점수로 산출하 고, 개인별 향상점수를 협동팀의 총점수로 환산한다. 이 때 개인별 향상점수의 환산은 다음과 같이 한다. 각 팀에서 개인별 형성평가 점수가 1위인 학생들을 뽑 아서 점수 차레로 1,2,3등에게 8,6,4점을 각각 주고 나머지 학생들에게 2점을 팀 점수로 환산하여 준다. 그리고 각 팀별로 2위인 학생들끼리, 또 3위인 학생들끼 리 뽑아서 1위 학생들끼리의 점수환산 방식과 같은 방식으로 비교하여 개인별
16) 박성익, 교수․ 학습 방법의 이론과 실제(Ⅱ), 서울 : 교육과학사, (1998)
형성평가 점수를 팀 점수로 환산한다.
다섯 번째, 개인별 향상점수를 팀 점수로 합산한다. 이 때 향상점수는 기초점수 (지난 평균점수에서 5점을 뺀 것)와 형성평가 점수간의 차이점수를 말하며, 최대 로 10점까지 부여한다. 각각의 학생들은 자신의 과거 점수보다 좋은 점수를 얻 어서 집단에 공헌한다.
여섯 번째, 향상점수와 팀 점수를 공고하고, 정한 규칙에 따라 집단 보상을 한 다. 이때에는 최고 득점자와 팀 점수가 가장 높은 집단에게 보상을 준다.
일곱 번째, 학기말 성적은 기본적으로 개인의 득점수를 부여하나 때로는 향상점 수와 팀 점수를 포함시키기도 한다.
다다다다. . . 협동학습에 . 협동학습에 협동학습에 협동학습에 관한 관한 선행 관한 관한 선행 선행 선행 연구 연구 연구 연구 고찰고찰고찰고찰
협동 학습에 관한 많은 선행 연구들 중 협동 학습이 효과적으로 이루어지기 위 한 방법에 관한 연구들을 살펴보자.
강승옥(2000)은 협동 학습의 효과는 능력 수준이 상이한 학습자들로 협동 학습 진단을 구성할 때가 능력수준이 동일한 학습자들로 협동 학습 집단을 구성할 때 보다 더 크다고 한다. 또한, 강승옥(2000)은 능력 수준이 동일한 학습자들로써 협동학습 집단이 구성되는 경우에는 집단보상 유무에 관계없이 동일하지만, 능력 수준이 이질적인 학습자들로써 협동 학습 집단이 구성되는 경우에는 집단 보상 이 주어질 때가 주어지지 않을 때보다 협동 학습의 효과가 더 크다고 한다. 그리 고 방효인(2000)은 수학과 협동 학습에서 성별에 의한 짝 구성 방법은 혼성 팀 이 가장 바람직하다고 하였다.
이상을 정리해 보면, 협동 학습을 구성하는 데 집단 구성은 이질 집단으로 하 고, 집단 보상이 주어져야 하여야 한다는 것을 알 수 있다.17)
이것은 본 연구 수업에 적용한 협동 학습에 적절하게 참조되었다.
17) 김혜민, 수학과 수업에 적용한 협동학습에 관한 연구 : 7-가 단계의 유리수의 뺄셈을 중심으로, 경희대학교 교육대학원 석사학위 논문, (2003).
Ⅲ Ⅲ
Ⅲ. Ⅲ . . . 연구 연구 연구 방법 연구 방법 및 방법 방법 및 및 및 절차 절차 절차 절차
A.
A. A.
A. 연구 연구 연구 대상 연구 대상 대상 대상
가 가가
가. . . . 대상 대상 대상 대상 집단집단집단집단
본 연구는 서울 소재 U 학원 중학교 1학년을 대상으로 실험집단(구체적 조작물 +협동학습) 16명, 비교집단Ⅰ(구체적 조작물만 이용한 수업) 16명, 비교집단 Ⅱ(
협동학습만 이용한 수업) 16명에 대한 학업성취도에 대한 사전․사후 검사, 실험 실시 전에 이루어진 사전 성취도 검사성적과 실험 후에 본 사후 성취도 검사성 적을 비교․분석 하였다.
나 나나
나. . . 동질성 . 동질성 동질성 동질성 검사검사검사검사
본 연구를 실행하기 위하여 세 집단이 동질 집단임을 밝히고자 사전 학업성취 도를 검사하였다. 학생수가 30명 미만이므로 t-검증을 실시하였다.
<
<
<
<표표표-1> 표-1> -1> 실험집단-1> 실험집단실험집단, 실험집단, , , 비교집단비교집단비교집단Ⅰ비교집단Ⅰ, ⅠⅠ, , 비교집단, 비교집단비교집단Ⅱ비교집단Ⅱ 사전 ⅡⅡ 사전 사전 사전 학력 학력 학력 검사결과학력 검사결과검사결과검사결과
위의 결과를 가지고 두 집단간의 평균차의 유의성을 다음과 같이 검정하였다.
(1) (1) (1)
(1) 실험집단 실험집단 실험집단 실험집단 비교집단비교집단비교집단Ⅰ비교집단ⅠⅠⅠ
유의수준
에 대한 양측검사의 기각역이│ │ ≥
인 검사도구 구분 학생수 평균 표준편차
사전 학력 검사
실험집단 16 60.313 20.369
비교집단Ⅰ 16 56.875 18.786
비교집단Ⅱ 16 57.5 23.594
데, 사전검사결과
│ │
이므로 ≤
이 되어서 귀무가설
을 기각하지 않는다. 따라서 실험집단과 비교집단Ⅰ은 동질집단임을 알 수 있다.(2)(2)(2)
(2)실험집단 실험집단 실험집단 비교집단실험집단 비교집단비교집단비교집단ⅡⅡⅡⅡ
유의수준
에 대한 양측검사의 기각역이│ │ ≥
인 데, 사전검사결과│ │
이므로 ≤
이 되어서 귀무가설
을 기각하지 않는다. 따라서 실험집단과 비교집단Ⅱ은 동질집단임을 알 수 있다.(3) (3) (3)
(3) 비교집단비교집단비교집단비교집단ⅠⅠⅠⅠ과 과 과 과 비교집단비교집단비교집단Ⅱ비교집단ⅡⅡⅡ
유의수준
에 대한 양측검사의 기각역이│ │ ≥
인 데, 사전검사결과│ │
이므로 ≤
이 되어서 귀무가설
을 기각하지 않는다. 따라서 비교집단Ⅰ과 비교집단Ⅱ은 동질집단임을 알 수 있 다.<
<
<
<표표표표-2> -2> -2> -2> 세 세 세 세 집단 집단 집단 집단 간의 간의 사전 간의 간의 사전 사전 사전 학업성취도 학업성취도 학업성취도 학업성취도 결과 결과 결과 결과 비교비교비교비교 검사
도구 구분 학생수 평균 표준편차 검증 기각역
사전 학력 검사
실험집단 16 60.313 20.369
│ │
│ │ ≥
비교집단
Ⅰ
16 56.875 18.786
│ │
│ │ ≥
비교집단
Ⅱ
16 57.5 23.594
│ │
│ │ ≥
B. B. B.
B. 연구 연구 연구 연구 방법 방법 방법 방법
중학교 1학년 학생들은 문자와 식의 기본 개념을 습득하지 못하여 다음 단계로 의 학습이 어려운 경우가 많이 있다. 이러한 학생들이 수업에 대한 활력을 찾을 수 있게 하고, 학업성취도를 향상시키기 위하여 효과적인 학습지도방법의 개발은 매우 필요하다고 생각된다. 문자와 식 단원에서 구체적 조작물을 이용한 협동학 습을 통하여 수학적인 개념을 스스로 터득하도록 유도하고, 자기 주도적으로 학 습에 임할 수 있게 하는 방안을 모색하는 것으로 이에 따른 연구문제는 다음과 같다.
가. 구체적 조작물을 이용하여 수업을 진행 하였을 때와 협동학습만을 이용하여 수업 하였을 때, 수학 학업 성취도에 어떠한 차이점이 있는가?
나. 협동학습만 하였을 때와 학생들이 구체적 조작물을 이용하면서 협동학습 하 였을 때, 수학 학업 성취도에 어떠한 차이점이 있는가?
다. 구체적 조작물을 이용하여 수업을 진행 하였을 때와 학생들이 구체적 조작물 을 이용면서 협동학습을 하였을 때 수학 학업 성취도에 어떠한 차이점이 있는 가?
<<표<<표표-3> 표-3> -3> 실험집단-3> 실험집단, 실험집단실험집단, , 비교집단, 비교집단비교집단Ⅰ비교집단Ⅰ, ⅠⅠ, 비교집단, , 비교집단비교집단비교집단ⅡⅡ 비교ⅡⅡ 비교비교비교․․․․분석분석분석분석
가가가
가. . . . 수업 수업 수업 수업 전전전전,,,,후후후후
비교집단Ⅰ 구체적 조작물을 이용한 수업
비교집단Ⅱ 협동학습(STAD)을 이용한 수업
실험집단 구체적 조작물을 사용하여 협동학습(STAD)을 이용한 수업
본 연구는 중학교 1학년 16명을 대상으로 사전․사후 검사, 실험 실시 전에 이루 어진 사전 성취도 검사성적과 실험 후에 본 사후 성취도 검사성적을 비교․분석 하였다.
<<<표<표표-4> 표-4> -4> 사전-4> 사전사전사전․․․․사후 사후 사후 사후 비교비교비교비교
사전검사 실험처치 사후검사
‣ 성취도 검사 ‣ 구체적 조작물, 협동학 습을 이용한 수학 교수- 학습
‣ 성취도 검사
나 나나
나. . . . 수업시간수업시간수업시간수업시간
<<<<표표표-5>표-5>-5>-5>비교집단비교집단Ⅰ비교집단비교집단ⅠⅠⅠ의 의 의 의 수업시간수업시간수업시간수업시간
단원 Ⅲ. 문자와 식
활동유형 구체적
조작물이용 본시학습목
표
단계 시간 학습내용
교수학습활동 유의사항
교사 학생
도입 5 전시학습
학습목표
전시학습 확인 우수 소집단
칭찬
전시학습 복습
전개 30
본시학습 (구체적 조작물
이용)
전체학습 설명경청
정리 10 개별시험 정리
<
<<
<표표표표-6>-6>-6>-6>비교집단 비교집단 Ⅱ비교집단 비교집단 ⅡⅡⅡ의 의 의 의 수업시간수업시간수업시간수업시간
단원 Ⅲ.문자와 식
활동유형
소집단 협동학습
(STAD) 본시학습목
표
단계 시간 학습내용
교수학습활동 유의사항
교사 학생
도입 5 전시학습
학습목표
전시학습 확인 우수 소집단
칭찬
전시학습 복습
전개
5 본시학습 전체학습 설명경청
10 소집단
협동학습 토론 유도 소집단 활동 열외없는 참여
18 조별발표 결과정리 조별발표
정리 7 개별시험 정리
<
<
<
<표표표-7> 표-7> -7> -7> 실험집단의 실험집단의 실험집단의 수업시간실험집단의 수업시간수업시간수업시간
단원 Ⅲ. 문자와 식
활동유형
소집단 협동학습(대 수모형+ST
AD) 본시학습목
표
단계 시간 학습내용
교수학습활동 유의사항
교사 학생
도입 5 전시학습
학습목표
전시학습 확인 우수 소집단
칭찬
전시학습 복습
전개
8
본시학습 (구체적 조작물
이용)
전체학습 설명경청
10 소집단
협동학습
토론 유도 (구체적 조작물
이용하도록 지도)
소집단 활동(구체적 조작물 이용)
열외없는 참여
15 조별발표 결과정리 조별발표
정리 7 개별시험 정리
다 다다
다. . . . 소집단 소집단 소집단 소집단 구성구성구성구성
<
<<
<도도도도-2>-2>-2>-2>
라라라
라. . . . 단원 단원 단원 단원 설정의 설정의 설정의 설정의 이유이유이유이유
문자식은 기하와 해석을 포함한 모든 수학의 언어로서 수학을 학습하기 위해 없어서는 안 되는 기초가 됨은 물론이고 수학을 이용하는 다른 제 분야의 학습 의 기초가 되는 매우 중요한 내용이나 지금까지의 연구 결과는 중학교 1학년 수 학의 주요한 학습 내용인 문자식의 학습이 만족스럽게 이루어지지 못함으로써 그 이후의 학습에 부정적인 영향을 미치고 있음을 지적해 왔다18). 또한 문자식 이 본격적으로 도입되기 시작하는 중학교 1학년 수학은 대수학습의 기초로서 보 다 신중하고 의식적인 교수학적 노력이 요망되는 부분으로서 학생들이 여러 가 지 수량 사이의 관계를 문자를 간결하게 나타내고 문자식이 갖는 일반성과 문자
18) 우정호, 학교수학의 교육적 기초, 서울대학교 출판부, (1998).
상 중 상 중
중 하 중 하
상 중 상 중
중 하 중 하
교 탁
사용의 유연성을 이해할 수 있도록 지도하는 것이 필요하다고 하였다19). 중학교 1학년 7-가 단계에서 문자와 식 단원은 앞으로 8-가 단계에서 유리수와 소수, 9-가 단계에서의 무리수와 실수의 개념, 10-가 단계에서의 실수의 연산과 복소 수 등과 관련된 많은 문제를 해결하는 데 필요한 사고이다.
따라서 본 연구는 7-가 단계의 수학 학습 내용 Ⅲ. 문자와 식을 연구 단원으로 설정하였다. 7-가 단계에서 학습해야 할 연구 내용 단원의 학습 목표는 다음과 같다20).
<문자와 식의 학습 목표>
① 문자를 사용하여 식을 쓰는 방법을 알고, 식을 간단히 나타낼 수 있게 한다.
② 주어진 식의 문자에 수를 대입하여 식의 값을 구할 수 있게 한다.
③ 일차식의 뜻을 알게 한다.
④ 상수와 일차식의 곱을 간단히 하고, 두 일차식의 합과 차를 구할 수 있게 한 다.
마 마마
마. . . . 지도방안 지도방안 지도방안 지도방안 선정 선정 선정 선정 이유이유이유이유
선생님이 구체적 조작물을 사용함으로써 수학적인 개념을 파악하게 하고 문제 를 해결하는 것에서 학생들이 직접 구체적 조작물을 사용하여 스스로 수학적인 개념을 파악하게 되고 협동학습을 통해 또래끼리의 상호작용을 통해 수학적 사 고를 한다면 수학을 어려워하고 싫어하는 학생일지라도 일단은 호기심을 갖을 것이고 또래집단이기 때문에 서로의 눈높이가 맞아 수학시간이 어렵고 지루한 시간이 되지 않고 즐거운 수학시간, 기다려지는 수학시간이 되도록 하기 위하여 교과서의 학습내용을 구체적 조작물, 협동학습을 이용하여 학생들이 적극적으로 문제해결에 참여하는 것을 목표로 재구성 하였다.
19)김남희, 대수적 언어 학습으로서의 문자식의 지도. 대한수학교육학회논문집, 8, 2,(1998).
20) 교육부, 전게서, p.11, (1999).
C. C. C.
C. 연구 연구 연구 연구 기간 기간 기간 기간
본 연구의 기간은 2006년 3월부터 2007년6월까지 약16개월이 소요되었는데 그 구체적인 내용은 다음과 같다.
<
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<표표표표-8> -8> -8> -8> 연구 연구 절차 연구 연구 절차 절차 및 절차 및 및 및 내용내용내용내용
D. D. D.
D. 검사도구 검사도구 검사도구 검사도구
본 연구의 목적은 구체적 조작물과 협동학습을 통한 활동지를 활용함으로써 나 타나는 학생들의 반응을 탐구하고, 학업 성취도의 향상 정도를 파악하여 수학 교 수-학습의 활동 방안을 제시하고자 하는 것으로 학업 성취도 검사를 검사도구로
절 차 내 용 기 간
연구 계획
연구 주제 설정 2006.3~2006.8
문헌 연구 및 선행 자료
조사 2006.8~2006.11
연구 준비 연구 대상 선정 및 수업지도안작성
2006.12~2007.3
연구 실행 수업 실시 및 평가 2007.3~2007.4
연구 결과 및 분석 결과 처리 및 분석 2007.4~2007.6
설정하였다.
가 가가
가. . . . 사전 사전 사전 사전 성취도 성취도 성취도 성취도 검사검사검사검사....
학업 성취면의 사전 검사는 중학교 1학년 1학기(7-가)에 학습한 정수와 유리 수 단원의 학업 성취를 평가한 25문항(객관식20문항, 주관식 5문항)의 수학 성 적을 사용하였다. 검사지는 김명주(2003)‘문자와 식’단원 개념형성을 위한 효과 적인 지도방안 연구에서 사용된 사전 검사지를 이용하였고 45분동안 실시하였 다.
나 나나
나. . . . 사후 사후 사후 사후 성취도 성취도 성취도 성취도 검사검사검사검사
세 집단간에 학업성취도가 의미 있는 차이를 나타내는지를 분석하기 위하여 학업 성취면의 사후 검사는 실험기간 학습한 문자와 식 단원의 학업 성취를 평 가한 25문항(객관식 20문항, 주관식 5문항)의 수학 성적을 사용하였다. 이 검사 는 사전 검사와 마찬가지로 김명주(2003)‘문자와 식’단원 개념형성을 위한 효과 적인 지도방안 연구에서 사용된 사후 검사지를 이용하였고, 동일하게 45분동안 실시하였다.
다 다다
다. . . . 통계처리통계처리통계처리통계처리
본 연구는 실험 결과에 의한 검증을 위하여 수집된 자료를 다음과 같이 통계 처리 하였다. 실험집단, 비교집단Ⅰ, 비교집단Ⅱ 전체간의 동질성 확인은 사전 학 력 검사 각각에서 평균차로 검증하였다. 사후 효과 검증은 사후 학력 검사 각각 에서 평균차로 검증하였다. 전체집단에 대한 비교를 위하여 t-검정을 하였으며, 동질성 확인도 t-검정을 하였다.
Ⅳ Ⅳ Ⅳ
Ⅳ. . . . 학습지도안 학습지도안 학습지도안 학습지도안 설계 설계 설계 설계
(1) (1) (1)
(1) 단원명 단원명 단원명 단원명 ::::ⅢⅢⅢ. Ⅲ. . 문자와 . 문자와 문자와 식문자와 식식식 (2)
(2) (2)
(2) 단원의 단원의 단원의 단원의 이론적 이론적 이론적 배경이론적 배경배경배경 ㈎ 문자 기호의 역사적 개관
수학의 역사에서 문자 기호가 언제부터 사용되었는지 정확히 말하기는 어렵다.
그러나 문자 기호를 대수적으로 취급하여 대수학을 발전시킨 사람은 비에트 (1540~1603)로 알려져 있다. 비에트의 기호법에서는 미지수와 기지수를 모두 문자로 나타내었기 때문에, 미지수나 기지수를 같은 형식으로 계산할 수 있었다 는 점에서 획기적인 것으로 볼 수 있다.
문자기호를 사용하는 방법은 그 이후로 데카르트(1595~1650)에 의해 완성되었 는데, 그는 미지수에는 문자 ⋯를, 그리고 기지수에는 문자 ⋯를 사용 했었다. 이 때부터 오늘날과 같이 형식적인 면에서 완전한 문자 기호의사용이 이 루어졌다.
㈏ 방정식의 역사적 개관
동서양을 막론하고 방정식의 문제는 오랜 역사를 가졌으나 초기에 발달한 내 용은 자세히 알 수가 없다. 동양에서는 1세기 경에 쓰여졌다고 전해진 ‘구장산 술’의 제9장 방정장에서 자엊ㅇ식이 취급되고 있다. ‘방정식’ 이라고 하는 말은 여기에서 유래된 것이고 ‘방’은 비교한다는 뜻이며, ‘정’은 식을 뜻하고 있다.
이차방정식의해법이 정리된 형식으로 책에 쓰여진 것은 9세이 이다. 7세기 이 전까지 아라비아에는 수와 기호는 전혀 없었으나, 뒤에 인도, 이집트, 그리스의 수학이 통합되어 아라비아의 수학이 탄생하면서 이차방정식의 해법도 비로서 식 으로 정리된 것이다.
삼차방정식의 해법은 이탈리아 수학자 타르탈리아가 발견하였다. 그리고 사차 방정식의 해법은 타르탈리아와 동시대의 이탈리아 수학자 카르다노의 저서에서
볼 수 있다. 한편 사차방정식의 해법이 카르다노의 책에 실려 있기는 하나, 그것 을 발견한 것은 카르다노의 제자인 페라리라고 전해지고 있다. 삼차방정식이나 사차방정식의 일반적인 해법을 취급한 것은 프랑스의 수학자 비에트이다. 그는 수학에서의 해석적 방법을 명확하게 사용한 최초의 사람이다.
삼차방정식과 사차방정식의 해법이 해결되자 많은 수학자들이 오차방정식의 해 법에 참여했다. 그러나 이 문제는 19세기 초기의 노르웨이의 아벨(1802~1829) 과 프랑스의갈루아(1811~1832)에 의해 결정되었다.
아벨과 갈루아는 ‘오차 이상의 방정식에는 그 계수의 사칙연산과 근호만을 사용 해서 얻어질 수 있는 근의 공식은 존재하지 않는다’라는 결론을 내리고 있다.
(3) (3)(3)
(3)단원의 단원의 단원의 학습 단원의 학습 학습 학습 목표목표목표목표
㈎ 문자를 사용하여 식을 나타내는 방법과 문자로 표현된 식을 간단히 하는 방 법을 안다.
㈏ 방정식에 대하여 알아보고, 등식의 성질을 이용하여 일차방정식을 풀 수 있 다.
㈐ 일차방정식을 활용하여 실생활의 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.
(4) (4) (4)
(4) 단원의 단원의 단원의 단원의 주안점주안점주안점주안점 ㈎ 문자와 식 ① 문자의 사용
문자를 사용하여 식을 간단히 나타내어보고, 식의 값을 구하여 본다.
② 일차식의 계산
일차식의 뜻을 알고, 일차식과 수의 곱셈과 나눗셈을 하여 본다. 또, 동류항의 뜻 을 알고 이를 이용하여 다항식을 간단히 하여 본다.
㈏ 일차방정식 ①등식
등식과 방정식의 뜻을 알고, 등식의 성질을 이용하여 방정식을 풀어 본다.
② 일차방정식의 풀이
등식의 성질을 이용하여 여러 가지 일차방정식의 풀이를 하여 본다.
㈐ 일차방정식의 활용
일차방정식을 여러 가지 실생활 문제에 활용하여 본다. 또한 일차방정식이 실생 활에 어떻게 활용되고 있는지 알아보고, 이를 해결하여 본다.(심화과정)
(5) (5) (5)
(5) 단원의 단원의 단원의 단원의 지도상의 지도상의 지도상의 유의점지도상의 유의점유의점유의점
㈎ 문자와 식
① 다양한 문제 상황을 통해 문자사용의 필요성을 알게 한다.
② 일차식의 계산은 하나의 문자에 관한 일차식만을 다루고, 일차방정식을 푸는 데 도움이 되는 정도로 다룬다.
③ 식의 값을 구하는 데 기본적인 수에서의 사칙계산 연습이 충분한지를 확인 한다.
㈏ 일차방정식
① 일차방정식의 풀이 과정에서 이용되는 등식의 성질을 확인하여 이해를 깊게 하여 유의한다.
② 일차방정식에서 계수가 문자인 경우는 다루지 않는다.
③ 방정식에서 「부정」,「불능」이라는 용어는 사용하지 않는다.
④「미지수가 1개인 일차방정식」으로 도입한 후에 전개 과정에서 간단히 「일 차방정식」또는 「방정식」이라는 용어를 사용한다.
㈐ 일차방정식의 활용
① 주어진 문제에 알맞은 방정식을 세울 수 있게 한다.
② 방정식의 활용 문제에서 구한 해가 문제의 뜻에 맞는지 반드시 검토하는 습 관을 갖도록 하는 것이 바람직하다.
