OP”⊥AB”이므로 AP”=BP”= AB”
= _6'3=3'3(cm) OP”=r cm라고 하면 O’A”=2r cm 이므로 △OAP에서
(2r)¤ =(3'3)¤ +r¤ , r¤ =9
∴ r=3(cm) (∵ r>0) 따라서 큰 원의 반지름의 길이는
2r=2_3=6(cm) 6 cm
1 2
1 2
6'3 cm O
P B
A
2r cm r cm
0795
점 O에서 AB”에 내린 수선 의 발을 H라고 하면
A’H”=BH”= AB”
= _12=6(cm)
큰 원의 반지름의 길이를 R cm, 작은 원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 △OAH에서
R¤ -r¤ =6¤ =36
∴ (색칠한 부분의 넓이)=pR¤ -pr¤
=p(R¤ -r¤ )
=36p(cm¤ ) 36p cm¤
1 2
1 2
12 cm R cm r cm
H B A
O
0800
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C’M”의 연장선은 이 원의 중 심을 지나므로 원의 중심을 O, 반지 름의 길이를 r cm라고 하면
O’A”=r cm, O’M”=(r-2) cm
yy`
이므로 △AOM에서 r¤ =(r-2)¤ +4¤, 4r=20
∴ r=5(cm) yy`
따라서 이 원의 넓이는
p_5¤ =25p(cm¤ ) yy`
25p cm¤
A
C
M
B
O 4 cm r cm (r-2) cm
2 cm
0803
단계 채점요소 배점
원의 반지름의 길이를 r cm로 놓고 OA”, O’M”의 길이를 r로 나타내기 40%
원의 반지름의 길이 구하기 40%
원의 넓이 구하기 20%
점 C에서 D’A”에 내린 수 선의 발을 H라고 하면
DP”=D’A”=9 cm CP”=CB”=4 cm
∴ DC”=DP”+CP”
=9+4
=13(cm) yy`
H’A”=CB”=4 cm이므로 D’H”=9-4=5(cm)
△DHC에서
CH”="√13¤ -5¤ ='∂144=12(cm)
∴ AB”=CH”=12 cm yy`
A D
H C
O B P 9 cm
4 cm
∴ ( ABCD의 둘레의 길이)
=AB”+BC”+CD”+D’A”
=12+4+13+9
=38(cm) yy`
38 cm
0804
단계 채점요소 배점
DC”의 길이 구하기 30%
AB”의 길이 구하기 40%
ABCD의 둘레의 길이 구하기 30%
PO”를 그으면
∠PAO=90˘이고 ∠APO=30˘
이므로 △APO에서 O’A”=6 tan 30˘=6_
=2'3(cm) yy`
∠PAO=∠PBO=90˘이므로 APBO에서
∠AOB=360˘-(90˘+60˘+90˘)
=120˘ yy`
∴ (색칠한 부분의 넓이)=p_(2'3 )¤ _
=4p(cm¤ ) yy`
4p cm¤
120 360 '3
3
A
B
P O
6 cm 30˘
120˘
0805
단계 채점요소 배점
O’A”의 길이 구하기 40%
∠AOB의 크기 구하기 30%
색칠한 부분의 넓이 구하기 30%
OD”, OF”를 그으면 ADOF는 정사각형이므로 원 O의 반지름의 길이를 r cm라고 하면
AD”=AF”=r cm
BD”=BE”=6 cm, CF”=CE”=9 cm이므로
AB”=(r+6) cm, AC”=(r+9) cm yy`
△ABC에서
15¤ =(r+6)¤ +(r+9)¤
r¤ +15r-54=0, (r-3)(r+18)=0
∴ r=3(cm)(∵ r>0) yy`
따라서 원 O의 넓이는
p_3¤ =9p(cm¤ ) yy`
9p cm¤
A
D F
E C
B
O 6 cm 9 cm r cm
0806
OF”를 긋고 내접원 O의 반 지름의 길이를 r cm라고 하면
r(7+8+9)=12'5
∴ r='5(cm)
CF”=CE”=a cm라고 하면 BD”=BE”=(9-a) cm, AD”=AF”=(8-a) cm 이므로
AB”=(9-a)+(8-a)=7
∴ a=5(cm)
△OCF에서
OC”="√5¤ +('5)¤ ='ß30(cm)
'ß30 cm 1
2
9 cm 7 cm 8 cm
B C
D
E F A
O r cm
0802
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단계 채점요소 배점 원의 반지름의 길이를 r cm로 놓고 AB”, AC”를 r로 나타내기 40%
원의 반지름의 길이 구하기 40%
원의 넓이 구하기 20%
점 E에서 DC”에 내 린 수선의 발을 H라고 하면 EH”=BC”=10 cm EF”=x cm라고 하면 EB”=HC”=x cm이므로 D’H”=(10-x) cm DF”=DC”=10 cm이므로 DE”=(10+x) cm
△DEH에서
(10+x)¤ =10¤ +(10-x)¤
40x=100 ∴ x= (cm)
∴ DE”=DF”+EF”
=10+ = (cm) 25 cm
2 25
2 5 2
5 2
A D
F
C B
E H
O 10 cm
(10-x) cm x cm
10 cm
0807
CE”를 그으면 BF”⊥CE”이고 CE”=8 cm
△BCE에서 BE”="√10¤ -8¤
='3å6=6(cm) DF”=EF”=x cm라고 하면 AF”=(10-x) cm
△ABF에서
(6+x)¤ =(10-x)¤ +8¤
32x=128 ∴ x=4(cm) 4 cm
x cm x cm (10-x) cm
8 cm 8 cm
10 cm A
B C
D E
F
0808
AP”=AQ”=AR”
=AS”=AT”
AP”=x cm라고 하면 BP”=(20-x) cm CQ”=CG”=15-(20-x)
=x-5(cm) CH”=CQ”이므로
DR”=DH”=11-(x-5)=16-x(cm)
DI”=DR”이므로 ES”=EI”=7-(16-x)=x-9(cm) EJ”=ES”이므로
FT”=FJ”=3-(x-9)=12-x(cm)
∴ AF”=x+(12-x)=12(cm) 12 cm 20 cm
15 cm
11 cm 7 cm 3 cm A
B
P Q
RS I H G
C O¡ O™
O£
O¢
D E T J F
0809
원 O의 반지름의 길이 가 4 cm이므로 원 O'의 반지 름의 길이를 r cm라고 하면 O’O'”=(4+r) cm, OH”=OE”-H’E”
=OE”-O’'F”
=(4-r) cm O’'H”=FE”=BC”-(4+r)
=10-(4+r)=(6-r) cm
△OHO'에서
(4+r)¤ =(4-r)¤ +(6-r)¤
r¤ -28r+36=0
∴ r=14—4'ß10 그런데 0<r<4이므로
r=14-4'ß10(cm) (14-4'ß10) cm
4 cm A
H
D
B C O
E F
O'
8 cm r cm
(6-r) cm (4-r) cm
10 cm
0810
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07 원주각
∠x= ∠AOB= _110˘=55˘ 55˘
∠x=2∠APB=2_20˘=40˘ 40˘
∠x= ∠AOB= _60˘=30˘ 30˘
∠x=2∠APB=2_135˘=270˘ 270˘
∠x=∠APB=60˘ 60˘
∠x=∠PBQ=25˘ 25˘
반원에 대한 원주각의 크기는 90˘이므로
∠APB=90˘
∴ ∠x=180˘-(90˘+35˘)=55˘ 55˘
∠ABQ=90˘, ∠AQB=∠APB=70˘이므로
∠x=180˘-(90˘+70˘)=20˘ 20˘
QB”를 그으면
∠AQB=∠APB=25˘
∠BQC=∠BRC=35˘
∴ ∠x=∠AQB+∠BQC
=25˘+35˘
=60˘ 60˘
OB”를 그으면
∠AOB=2∠APB
=2_20˘=40˘
따라서 ∠BOC=100˘-40˘=60˘이므로
∠x= ∠BOC= _60˘=30˘
30˘
μAB=μCD이므로 ∠CQD=∠APB=15˘
∴ x=15 15
μAB=μCD이므로 ∠ACB=∠DBC=40˘
∴ x=40 40
0822 0821
1 2 1
2
A B
C
P Q
O x 20˘
100˘
0820
A B
C P
Q x R
O 35˘
25˘
0819 0818 0817 0816 0815 0814
1 2 1
0813
20812
1 2 1
0811
2∠APB=∠CQD이므로 μAB=μCD
∴ x=4 4
∠BAD=90˘이므로 △ABD에서
∠ADB=180˘-(90˘+60˘)=30˘
∠ADB=∠DBC이므로
μAB=μCD ∴ x=7 7
∠APB : ∠CQD=50˘ : 20˘=5 : 2이므로 μAB : μ CD=5 : 2, x : 4=5 : 2
2x=20 ∴ x=10 10
μAB : μ BC=9 : 3=3 : 1이므로
∠APB : ∠BPC=3 : 1, x˘ : 25˘＝3 : 1
∴ x=75 75
∠x=∠BAC=35˘ 35˘
∠x=∠ABD=180˘-(45˘+70˘)=65˘ 65˘
∠ACD=∠ABD=30˘이므로
∠x=180˘-(80˘+30˘)=70˘ 70˘
∠ACB=∠ADB=40˘, ∠ABD=∠ACD=55˘
이므로 △ABC에서
∠x=180˘-(55˘+30˘+40˘)=55˘ 55˘
∠A+∠C=180˘이므로
∠x+85˘=180˘ ∴ ∠x=95˘ 95˘
∠x=∠A=80˘ 80˘
ㄱ. ∠A+∠C=180˘이므로 ABCD는 원에 내접 한다.
ㄴ. ∠B=180˘-(45˘+60˘)=75˘이므로 ∠B+∠D+180˘
따라서 ABCD는 원에 내접하지 않는다.
ㄷ. AD”∥BC”이므로 ∠A+∠B=180˘
이때 ∠B=∠C이므로 ∠A+∠C=180˘
따라서 ABCD는 원에 내접한다.
ㄹ. ∠CDE=∠B이므로 ABCD는 원에 내접한다.
이상에서 ABCD가 원에 내접하는 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.
ㄱ, ㄷ, ㄹ
0833 0832 0831 0830 0829 0828 0827 0826 0825 0824 0823
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∠B+∠D=180˘이므로
∠x+105˘=180˘ ∴ ∠x=75˘ 75˘
∠B=180˘-(50˘+45˘)=85˘이므로
∠x=∠B=85˘ 85˘
∠BAD=180˘-50˘=130˘이므로
∠x=∠BAD=130˘ 130˘
∠B=180˘-(90˘+25˘)=65˘이고
∠B+∠D=180˘이므로
65˘+∠x=180˘ ∴ ∠x=115˘ 115˘
∠PQC=∠BAP=102˘이고 PQCD는 원에 내접하므로
∠PQC+∠x=180˘, 102˘+∠x=180˘
∴ ∠x=78˘ 78˘
∠x=∠ACB=40˘ 40˘
∠ACB=∠ABT=50˘이므로
∠x=180˘-(50˘+60˘)=70˘ 70˘
∠CAB=∠CBT'=55˘, ∠ABC=90˘이므로
∠x=180˘-(55˘+90˘)=35˘ 35˘
∠CAB=∠CBT'=70˘이므로
∠x=2∠CAB=2_70˘=140˘ 140˘
다른풀이
∠CAB= ∠COB= ∠x이므로
∠x=70˘ ∴ ∠x=140˘
∠x=∠BCA=180˘-(80˘+30˘)=70˘ 70˘
∠ABC=90˘이므로
∠x=∠BAC=180˘-(35˘+90˘)=55˘ 55˘
∠x=∠BTQ=∠DTP=∠y=55˘
∠x=55˘, ∠y=55˘
∠ABT=∠x=∠y=45˘
∠x=45˘, ∠y=45˘
0846 0845 0844 0843
1 2
1 2 1
2
0842 0841 0840 0839 0838 0837 0836 0835
0834
∠x=∠BAT=65˘∠ABT=∠DCT=55˘이므로 △ABT에서
∠y=180˘-(65˘+55˘)=60˘
∠x=65˘, ∠y=60˘
0847
®`BAD에 대한 원주각의 크기가 105˘이므로 중심각의 크기는
2_105˘=210˘
∠y=360˘-210˘=150˘이고
∠x= ∠y= _150˘=75˘
∴ ∠x+∠y=75˘+150˘=225˘ ③
1 2 1
2
0848
⑴ OB”를 그으면
∠BOC=2∠A
=2_70˘=140˘
OB”=OC”이므로
∠x= (180˘-140˘)=20˘
⑵ OB”를 그으면
∠AOB=2∠APB
=2_35˘=70˘
∠BOC=2∠BQC
=2_20˘=40˘
∴ ∠x=70˘+40˘
=110˘
⑴ 20˘ ⑵ 110˘
O P
Q 35˘
20˘
A
B x C 1
2
x
B C
A
O 70˘
140˘
0849
∠BOD=140˘이므로
∠BAD= _140˘=70˘
△APD에서
70˘=38˘+∠ADC ∴ ∠ADC=32˘ 32˘
1 2
0850
오른쪽 그림과 같이 점 D를 잡으 면 ®ADC에 대한 중심각의 크기는 360˘-108˘=252˘이므로 yy`
∠ABC= _252˘=126˘ yy`
AOCB에서
∠x=360˘-(62˘+108˘+126˘)=64˘ yy`
64˘
1 2
O
D 62˘
108˘
252˘
A B
x C
0851
단계 채점요소 배점
®ADC에 대한 중심각의 크기 구하기 30%
∠ABC의 크기 구하기 30%
∠x의 크기 구하기 40%
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O’A”, OB”를 그으면
∠OAP=∠OBP=90˘이므로 AOBP에서
∠AOB
=360˘-(90˘+90˘+50˘)
=130˘
∴ ∠x= ∠AOB=1_130˘=65˘ ③
2 1
2
x
B
C P
A
O 130˘ 50˘
0852
O’A”, OB”를 그으면
∠AOB=2∠ACB
=2_48˘=96˘
APBO에서
∠PAO=∠PBO=90˘이므로
∠APB=360˘-(90˘+96˘+90˘)
=84˘ 84˘
96˘
A
B
C P O
48˘
0853
O’A”, OB”를 긋고 오른쪽 그 림과 같이 점 D를 잡으면
∠OAP=∠OBP=90˘이므로 AOBP에서
∠AOB=360˘-(90˘+52˘+90˘)
=128˘
이때 ∠ACB는 ®ADB에 대한 원주각이므로
∠ACB=1(360˘-128˘)=116˘ 116˘
2
D 128˘
A
B C
O 52˘ P
0854
O’A”, OB”를 그으면
∠AOB=360˘-2_112˘
=136˘
∠PAO=∠PBO=90˘이므로 APBO에서
∠x=360˘-(90˘+136˘+90˘)=44˘ ② 참고
오른쪽 그림에서 P’A”, PB”가 원 O 의 접선일 때
① ∠b=2∠AQB
② ∠a=360˘-∠b
=360˘-2∠AQB
A
B
Q a b
O P
A
B
x Q O
P 112˘
0855
∠x=∠DAC=20˘이고
△PBC에서
64˘=20˘+∠y ∴ ∠y=44˘
∴ ∠y-∠x=44˘-20˘=24˘ ①
0857
⑴ ∠DBC=∠DAC=50˘
∠BAC=∠BDC=35˘
따라서 △ABC에서
∠x=180˘-(35˘+50˘+70˘)
=25˘
⑵ ∠BDC=∠BAC=62˘이고
∠ACB=∠ADB=36˘
따라서 △DBC에서
∠x=180˘-(62˘+36˘+25˘)
=57˘
⑴ 25˘ ⑵ 57˘
0858
QB”를 그으면
∠AQB=∠APB=35˘
∠BQC=∠BRC=22˘
∴ ∠x=35˘+22˘=57˘
② B
C P
x Q
R
A 35˘
22˘
0856
μAB에 대한 원주각의 크기가 같으므로
∠ACB=∠ADB=20˘ yy`
△DPB에서 ∠DBC=20˘+25˘=45˘ yy`
∴ ∠x=45˘+20˘=65˘ yy`
65˘
0859
단계 채점요소 배점
∠ACB의 크기 구하기 40%
∠DBC의 크기 구하기 30%
∠x의 크기 구하기 30%
DB”를 그으면
∠ADB=90˘이고
∠CDB=∠CAB=36˘이므로
∠ADC=90˘-36˘=54˘
54˘
B
C D
A 36˘ O 36˘
0860
⑴ AD”를 그으면
∠ADC=90˘이고
∠ADB=∠AEB=48˘이므로
∠x=90˘-48˘=42˘
⑵ AC”를 그으면
∠ACB=90˘이고
∠ACD=∠ABD=32˘
∴ ∠x=32˘+90˘=122˘
⑴ 42˘ ⑵ 122˘
A 32˘ B
x C D
O B
C x D E
A O 48˘ 48˘
0861
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AD”를 그으면
∠ADB=90˘이고
∠CAD= ∠COD= _64˘
=32˘
이므로 △PAD에서
∠CPD=180˘-(90˘+32˘)
=58˘ ③
1 2 1
2
B
C D
P
A O
64˘
32˘
0862
∠ACO= ∠AOD= _58˘=29˘
∠ACB=90˘이고 CE”는 ∠ACB의 이등분선이므로
∠ACE=∠BCE=45˘
∴ ∠x=45˘-29˘=16˘ 16˘
1 2 1
0863
2원의 중심 O를 지나는 선분 A'B 를 그으면
∠A'CB=90˘이고 ∠A=∠A'이므로 tan A=tan A'= =2'3 2'3 A’'C”=4'3
∴ A’'C”=2(cm)
∴ A’'B”=øπ(4'3)¤ +2¤ ='5å2=2'1å3(cm)
따라서 원 O의 지름의 길이는 2'1å3 cm이다. 2'1å3 cm 4'3
A’'C”
A A'
B C
O 4'3 cm
0864
∠ACB=90˘이므로 sin 30˘= =
2BC”=8 ∴ BC”=4(cm) cos 30˘= =
2AC”=8'3 ∴ AC”=4'3(cm) 따라서 △ABC의 둘레의 길이는
8+4+4'3=12+4'3(cm) (12+4'3) cm '32
AC”
8 1 2 BC”
8
0865
BO”의 연장선이 원 O와 만나는 점을 A'이라고 하면
∠BA'C=∠BAC=60˘
∠BCA'=90˘이므로 sin 60˘= = '3 A’'B”=4'3
∴ A’'B”=4(cm) 4 cm
'3 2 2'3 A’'B”
2'3 cm 60˘
60˘
A A'
B C
O
0866
반원에 대한 원주각의 크기는 90˘
이므로
∠ACB=90˘
∴ ∠ABC=∠ACD=x yy`
△ABC에서
AC”="√20¤ -12¤ ='∂256=16이므로 sin x=sin B= = =
cos x=cos B= = = yy`
∴ sin x_cos x= _ = yy`
12 25 12
25 3 5 4 5
3 5 12 20 BC”
AB”
4 5 16 20 AC”
AB”
A D B
C
O x
x 20
12
0867
단계 채점요소 배점
∠ABC=∠ACD=x임을 알기 40%
sin x, cos x의 값 구하기 50%
sin x_cos x의 값 구하기 10%
⑴ μAB=μ BC이므로 ∠ADB=∠BDC=40˘이고
∠BAC=∠BDC=40˘이므로 △ABD에서
∠x=180˘-(40˘+40˘+45˘)=55˘
⑵ AC”를 그으면 μ BD=μCD이므로
∠CAD=∠DAB=32˘
이때 AB”가 원 O의 지름이므로
∠ACB=90˘
따라서 △ABC에서
∠x=180˘-(90˘+32˘+32˘)=26˘
⑶ μAD=2μ BC이므로
∠ABD=2∠BAC=2_20˘=40˘
∴ ∠x=∠APB=180˘-(20˘+40˘)
=120˘
⑷ ∠APB= _240˘=120˘
μPB= μPA이므로 ∠PAB= ∠PBA, 즉
∠PBA=2∠PAB=2∠x
△PAB에서 120˘+∠x+2∠x=180˘이므로 3∠x=60˘ ∴ ∠x=20˘
⑴ 55˘ ⑵ 26˘ ⑶ 120˘ ⑷ 20˘
1 2 1
2 1 2
A B
C D
O 32˘
32˘
x
0868
△ACP에서 ∠CAP=70˘-25˘=45˘
원의 둘레의 길이를 l cm라고 하면 45˘ : 180˘=6p : l
∴ l=24p(cm) 24p cm
0869
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μAB : μ CD=3 : 2이므로
∠ADB : ∠CBD=3 : 2 yy`
∠ADB=∠x라고 하면
∠CBD= ∠x
△DBP에서 ∠x= ∠x+25˘
∠x=25˘ ∴ ∠x=75˘ yy`
75˘
1 3
2 3 2
3
0870
단계 채점요소 배점
∠ADB : ∠CBD=3 : 2임을 알기 40%
∠ADB의 크기 구하기 60%
μAB : μ BC : μ CA=2 : 3 : 4이므로
∠C : ∠A : ∠B=2 : 3 : 4
그런데 ∠A+∠B+∠C=180˘이므로
∠A=180˘_ =60˘
∠B=180˘_ =80˘
∠C=180˘_ =40˘
∠A=60˘, ∠B=80˘, ∠C=40˘
2 2+3+4
4 2+3+4
3 2+3+4
0871
μAB의 길이는 원주의 이므로
∠ACB=180˘_ =20˘ yy`
μCD의 길이는 원주의 이므로
∠DBC=180˘_ =36˘ yy`
따라서 △PBC에서
∠x=20˘+36˘=56˘ yy`
56˘
1 5
1 5 1 9
1
0872
9단계 채점요소 배점
∠ACB의 크기 구하기 40%
∠DBC의 크기 구하기 40%
∠x의 크기 구하기 20%
∠ADC는 ®ABC에 대한 원주각이므로
∠ADC=180˘_ 1+2 =60˘ 60˘
1+2+3+3
0873
BC”를 그으면 μ BD의 길이는 원주
의 이므로
∠BCD=180˘_ =30˘
이때 μAC : μ BD=4 : 3이므로
∠ABC : ∠BCD=4 : 3 ∴ ∠ABC=40˘
따라서 △PCB에서
∠APC=30˘+40˘=70˘ 70˘
1 6 1
6
A
P B
D
C 30˘ 40˘
0874
② ∠BAC=180˘-(40˘+60˘+40˘)=40˘
③∴ ∠BAC=∠BDC=40˘
③ ∠ABD=∠ACD=55˘
④ ∠BAC=∠BDC=90˘
⑤ ∠BDC=110˘-80˘=30˘
∴ ∠BAC=∠BDC=30˘
따라서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있지 않은 것은 ①
이다. ①
0875
⑴ 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로
∠ACB=∠ADB=32˘
따라서 △PBC에서
∠DPC=32˘+54˘=86˘
⑵ △ABD에서
∠ADB=180˘-(70˘+50˘)=60˘
따라서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로
∠x=∠ADB=60˘
⑴ 86˘ ⑵ 60˘
0876
네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로
∠ADB=∠ACB=22˘
△APC에서 ∠DAC=35˘+22˘=57˘
∴ ∠x=22˘+57˘=79˘ 79˘
0877
∠ACD=∠x라고 하면 ∠ABD=∠x이고
△APC에서 ∠PAC=∠x-50˘
△ABQ에서 ∠x+(∠x-50˘)=100˘
2∠x=150˘ ∴ ∠x=75˘ 75˘
0878
OB”를 그으면
∠OBA=∠OAB=25˘
∠OBC=∠OCB=40˘
∴ ∠ABC=25˘+40˘=65˘
ABCD가 원에 내접하므로
∠x=180˘-65˘=115˘
A D
B x y
C O 25˘
25˘
40˘ 40˘
0879
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∠y=2∠ABC=2_65˘=130˘
∴ ∠y-∠x=130˘-115˘=15˘ ①
⑴ AD”=BD”이므로 △ABD에서
∠DAB=∠DBA= (180˘-40˘)=70˘
ABCD가 원에 내접하므로
∠x=180˘-70˘=110˘
⑵ ∠ADB=90˘이므로 △DAB에서
∠DAB=180˘-(90˘+30˘)=60˘
ABCD가 원에 내접하므로
∠x=180˘-60˘=120˘
⑴ 110˘ ⑵ 120˘
1 2
0880
∠BCE=∠BDE=62˘이므로 △BCF에서
∠x=20˘+62˘=82˘
ABDE가 원에 내접하므로
∠y=180˘-62˘=118˘
∴ ∠x+∠y=82˘+118˘=200˘ 200˘
0881
BC”=CD”에서 μBC=μ CD이므로
∠BAC=∠BDC=∠CAD=∠CBD
∠BAC+∠CAD=80˘이므로
∠BAC= _80˘=40˘
△ABD에서 ∠ABD=120˘-40˘=80˘이므로
∠x=180˘-(80˘+80˘)=20˘
∠y=∠ABD=80˘
∴ ∠y-∠x=80˘-20˘=60˘ 60˘
1 2
x
y A
D
B
C 80˘
120˘
0882
⑴ ABCD가 원에 내접하므로
∠x=∠BAD=100˘
이때 ∠BCD=180˘-100˘=80˘이므로
∠y=2∠BCD=2_80˘=160˘
⑵ ABCD가 원에 내접하므로 ∠ABC=∠ADE=70˘
∠x+30˘=70˘
∴ ∠x=40˘
또한 BC”가 원 O의 지름이므로 ∠BDC=90˘
△DBC에서
∠BCD=180˘-(30˘+90˘)=60˘
∠y+60˘=180˘ ∴ ∠y=120˘
⑴ ∠x=100˘, ∠y=160˘ ⑵ ∠x=40˘, ∠y=120˘
0883
∠BDC=∠BAC=55˘이므로
∠ADC=45˘+55˘=100˘
ABCD가 원에 내접하므로
∠ABE=∠ADC=100˘ 100˘
0884
△DCE에서 ∠DCE=100˘-35˘=65˘
ABCD가 원에 내접하므로
∠BAD=∠DCE=65˘ 65˘
0885
®ADC의 길이는 원주의 이므로
∠ABC=180˘_ =120˘
ABCD가 원에 내접하므로
∠ADC=180˘-∠ABC=180˘-120˘=60˘ yy`
®`BCD의 길이는 원주의 이므로
∠DAB=180˘_ =108˘
ABCD가 원에 내접하므로
∠DCE=∠DAB=108˘ yy`
∴ ∠ADC+∠DCE=60˘+108˘=168˘ yy`
168˘
3 5
3 5 2 3
2
0886
3단계 채점요소 배점
∠ADC의 크기 구하기 40%
∠DCE의 크기 구하기 40%
∠ADC와 ∠DCE의 크기의 합 구하기 20%
① ∠ADC=180˘-(45˘+15˘)=120˘
②∴ ∠ABC+∠ADC=180˘
② ∠DCE+∠BAD
③ ∠BDC, ∠ACD의 크기를 알 수 없다.
④ ∠ADC=∠ABE=100˘
⑤ ∠A+∠C=180˘ ②, ③
0887
ABCD가 원에 내접하려면
∠BDC=∠BAC=54˘이어야 하므로 △PCD에서
∠x=180˘-(54˘+96˘)=30˘ 30˘
0888
ABCD가 원에 내접하려면
∠ABC=∠ADE=180˘-130˘=50˘ yy`
△ABF에서 ∠DAE=50˘+35˘=85˘ yy`
따라서 △ADE에서
∠x=180˘-(85˘+50˘)=45˘ yy`
45˘
0889
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다른풀이
ABCD가 원에 내접하려면
∠ABC+130˘=180˘ ∴ ∠ABC=50˘
△ABF에서 ∠DAE=50˘+35˘=85˘
따라서 △ADE에서
130˘=∠x+85˘ ∴ ∠x=45˘
항상 원에 내접하는 사각형은 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180˘이다.
등변사다리꼴, 직사각형, 정사각형은 대각의 크기의 합이 180˘
이므로 항상 원에 내접한다. ㄴ, ㄹ, ㅂ
0890
BD”를 그으면 ABDE가 원 에 내접하므로
∠A+∠BDE=180˘에서
∠BDE=180˘-76˘=104˘
∴ ∠BDC=138˘-104˘=34˘
∴ ∠BOC=2∠BDC=2_34˘=68˘ 68˘
A
B
D E
C O 76˘
138˘
0891
BD”를 그으면 ABDE가 원에 내접하므로
∠ABD=180˘-102˘=78˘
∠CBD= ∠COD
= _98˘=49˘
∴ ∠B=78˘+49˘=127˘ 127˘
1 2 1 2
A
B D
E
C 74˘
98˘102˘
O
0892
AD”를 그으면 ABCD가 원에 내접하므로
∠BAD=180˘-110˘=70˘
∠FAD=120˘-70˘=50˘
따라서 ADEF가 원에 내접하므로
∠E=180˘-50˘
=130˘ 130˘
A
B
D E F
C 70˘
50˘
110˘
0893
BE”를 그으면 yy`
ABEF가 원에 내접하므로
∠ABE+∠F=180˘
또한 BCDE가 원에 내접하므로
∠CBE+∠D=180˘ yy`
A
B
C D
E F
∴ ∠B+∠D+∠F
=(∠ABE+∠CBE)+∠D+∠F
=(∠ABE+∠F)+(∠CBE+∠D)
=180˘+180˘
=360˘ yy`
360˘
0894
단계 채점요소 배점
보조선을 그어 2개의 사각형으로 나누기 30%
원에 내접하는 사각형의 대각의 크기의 합이 180˘임을 이용하기 40%
∠B+∠D+∠F의 크기 구하기 30%
ABCD가 원에 내접하므로
∠CDQ=∠B=56˘
△PBC에서 ∠DCQ=56˘+24˘=80˘
따라서 △DCQ에서
∠x=180˘-(56˘+80˘)=44˘ 44˘
0895
ABCD가 원에 내접하므로
∠QDC=∠ABC=∠x
△PBC에서 ∠DCQ=∠x+43˘
따라서 △DCQ에서
∠x+(∠x+43˘)+33˘=180˘
2∠x=104˘ ∴ ∠x=52˘ 52˘
0896
∠ADP=∠QDC=∠a라고 하면
△PAD에서 ∠DAB=∠a+42˘
△DCQ에서 ∠x=∠a+40˘
ABCD가 원에 내접하므로 (∠a+42˘)+(∠a+40˘)=180˘
2∠a=98˘ ∴ ∠a=49˘
∴ ∠x=49˘+40˘=89˘ 89˘
0897
ABCD가 원에 내접하므로
∠ABC=180˘-130˘=50˘
△BCP에서 ∠DCQ=∠x+50˘
따라서 △DCQ에서 (∠x+50˘)+42˘=130˘
∴ ∠x=38˘ 38˘
0898
PQ”를 그으면 ABQP, PQCD가 각각 두 원 O, O'에 내접하므로
∠DPQ=∠ABQ=100˘
∴ ∠QCD=180˘-100˘=80˘ ③
A
D
Q P
B C
O' 100˘O
100˘
0899
단계 채점요소 배점
∠ABC의 크기 구하기 40%
∠DAE의 크기 구하기 30%
∠x의 크기 구하기 30%
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∠PAB= ∠POB= _150˘=75˘
PQ”를 그으면 ABQP, PQCD가 각각 두 원 O, O'에 내접하므로
∠PQC=∠PAB=75˘
∴ ∠PDC=180˘-75˘=105˘ 105˘
A
P D
B Q
C O' O
150˘
75˘
75˘
1 2 1
0900
2DBQP가 원에 내접하므로
∠BQP=∠ADP=85˘ yy`
PQCE가 원에 내접하므로
∠CEP=∠BQP=85˘ yy`
85˘
0901
단계 채점요소 배점
∠BQP의 크기 구하기 50%
∠CEP의 크기 구하기 50%
ABCH가 원에 내접하므로
∠HCD=∠HAB=95˘
HCDG가 원에 내접하므로
∠FGD=∠HCD=95˘
GDEF가 원에 내접하므로
∠DEF=180˘-95˘=85˘ 85˘
0902
∠ACB=∠ABT=58˘이므로
∠AOB=2_58˘=116˘
이때 △OAB는 O’A”=OB”인 이등변삼각형이므로
∠OAB=1(180˘-116˘)=32˘ ⑤
2
0903
∠ACB=∠ABT=80˘
μAB=2μ BC이므로
∠ACB : ∠CAB=2 : 1 80˘ : ∠CAB=2 : 1
∴ ∠CAB=40˘ 40˘
0904
⑴ ∠CAB= _150˘=75˘
∠ACB=∠BAT'=74˘
따라서 △ABC에서
∠x=180˘-(74˘+75˘)=31˘
⑵ AP”=AT”이므로 ∠ATP=∠APT=36˘
∠ABT=∠ATP=36˘
따라서 △BPT에서
∠x=180˘-(36˘+36˘+36˘)=72˘
⑴ 31˘ ⑵ 72˘
1
0905
2P’A”=PB”이므로 △PBA에서
∠PBA=∠PAB= (180˘-62˘)=59˘ yy`
PT≥가 원 O의 접선이므로
∠ABC=∠TAC=72˘ yy`
∴ ∠x=180˘-(59˘+72˘)=49˘ yy`
49˘
1 2
0906
단계 채점요소 배점
∠PBA의 크기 구하기 40%
∠ABC의 크기 구하기 40%
∠x의 크기 구하기 20%
△ABD에서
∠BAD=180˘-(34˘+58˘)=88˘
ABCD는 원에 내접하므로
∠y=180˘-∠BAD=180˘-88˘=92˘
또한 직선 CT는 원의 접선이므로
∠DBC=∠DCT=46˘
△BCD에서
∠x=180˘-(46˘+92˘)=42˘
∴ ∠y-∠x=92˘-42˘=50˘ 50˘
0907
∠ADB=∠ACB=32˘
이때 ABCD가 원에 내접하므로
∠CBA=180˘-∠CDA
=180˘-(46˘+32˘)=102˘
∴ ∠CAT=∠CBA=102˘ 102˘
다른풀이
∠CAB=∠CDB=46˘이므로 △ABC에서
∠CBA=180˘-(32˘+46˘)=102˘
∴ ∠CAT=∠CBA=102˘
0908
μAB=μ BC이므로
∠ACB=∠BAC= (180˘-106˘)=37˘
이때 AD”∥BC”이므로
∠CAD=∠ACB=37˘ (엇각)
∴ ∠DCT=∠CAD=37˘ 37˘
1 2
0909
ABCD는 원에 내접하므로
∠ADC=180˘-110˘=70˘
△DCP에서
70˘=∠DCP+46˘ ∴ ∠DCP=24˘
∴ ∠CAD=∠DCP=24˘ 24˘
0910
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BT”를 그으면 AB”는 원 O의 지름 이므로 ∠ATB=90˘
또한 PT≥는 원 O의 접선이므로
∠ABT=∠ATC=68˘
△ATB에서
∠x=180˘-(90˘+68˘)=22˘
△ATP에서
68˘=22˘+∠y ∴ ∠y=46˘
∴ ∠y-∠x=46˘-22˘=24˘ ④
x
y BP 68˘ 68˘
A
C T O
0911
A’T”를 그으면 AB”는 원 O의 지 름이므로 ∠ATB=90˘
△ATB에서
∠BAT=180˘-(90˘+25˘)
=65˘
또한 PT≥는 원 O의 접선이므로
∠PTA=∠ABT=25˘
따라서 △APT에서
65˘=∠APT+25˘ ∴ ∠APT=40˘ 40˘
A
B O
P T
25˘
25˘
65˘
0912
BT”를 그으면 BC”는 원 O의 지름이므로
∠BTC=90˘
∠TBC=∠TAC=55˘
△BTC에서
∠BCT=180˘-(55˘+90˘)=35˘
∠BTP=∠BCT=35˘이므로 △BPT에서
55˘=∠x+35˘ ∴ ∠x=20˘ 20˘
B C
P x
55˘
55˘
35˘
35˘
A
T O
0913
A’T”를 긋고 ∠PBT=∠x 라고 하면 PT”=BT”이므로
∠BPT=∠PBT=∠x yy`
△BPT에서
∠BTC=∠x+∠x=2∠x 접선과 현이 이루는 각의 성질에 의해
∠BAT=∠BTC=2∠x yy`
이때 AB”가 원 O의 지름이므로 ∠ATB=90˘
따라서 △ATB에서
2∠x+∠x+90˘=180˘, 3∠x=90˘ ∴ ∠x=30˘
∴ ∠BTC=2∠x=2_30˘=60˘ yy`
60˘
B
P x
x
2x 2x A
T C
O
0914
단계 채점요소 배점
∠BPT=∠PBT=∠x로 놓기 30%
∠BAT=∠BTC=2∠x임을 알기 40%
∠BTC의 크기 구하기 30%
△BED는 BD”=BE”인 이등변삼각형이므로
∠BED= (180˘-50˘)=65˘
이때 BC”가 원 O의 접선이므로
∠DFE=∠BED=65˘
따라서 △DEF에서
∠EDF=180˘-(65˘+48˘)=67˘ 67˘
1 2
0915
△PBA는 P’A”=PB”인 이등변삼각형이므로
∠PBA= (180˘-52˘)=64˘
또한 P’A≥가 원 O의 접선이므로
∠ABC=∠CAD=75˘
∴ ∠CBE=180˘-(64˘+75˘)=41˘ 41˘
1 2
0916
△BED는 BD”=BE”인 이등변삼각형이므로
∠BED= (180˘-54˘)=63˘
∴ ∠x=∠BED=63˘
BC”는 원 O의 접선이므로
∠CEF=∠EDF=62˘
△CFE는 CF”=CE”인 이등변삼각형이므로
∠CFE=∠CEF=62˘
∴ ∠y=180˘-(62˘+62˘)=56˘
∴ ∠x+∠y=63˘+56˘=119˘ 119˘
1 2
0917
△PCD에서 ∠DCQ=38˘+24˘=62˘
△CQD는 QC”=QD”인 이등변삼각형이므로
∠CDQ=∠DCQ=62˘
∴ ∠x=180˘-(62˘+62˘)=56˘
BC”를 그으면
∠BCP=∠BDC=24˘이므로
∠BCD=180˘-(24˘+62˘)
=94˘
이때 ABCD는 원에 내접하므로
∠y+94˘=180˘ ∴ ∠y=86˘
∴ ∠x+∠y=56˘+86˘=142˘ 142˘
P x Q
y
B
38˘ C 62˘
62˘
24˘
24˘
A
D
0918
두 원에 공통인 접선 PT를 그으면
∠BPT=∠BAP=65˘
∠DPT=∠DCP=70˘
∴ ∠APB=180˘-(65˘+70˘)
=45˘ 45˘
A C
P
T D
B 65˘
65˘ 70˘
70˘