Numerical Simulation of Convection-dominated Flow Using SU/PG Scheme

수 공 학

제32권 제3B 호·2012년 5월 pp. 175 ~ 183

SU/PG 기법을 이용한 이송이 지배적인 흐름 수치모의

Numerical Simulation of Convection-dominated Flow Using SU/PG Scheme

송창근*·서일원**

Song, Chang Geun·Seo, Il Won

···

Abstract

In this study, Galerkin scheme and SU/PG scheme of Petrov-Galerkin family were applied to the shallow water equations and a finite element model for shallow water flow was developed. Numerical simulations were conducted in several flumes with convection-dominated flow condition. Flow simulation of channel with slender structure in the water course revealed that Galerkin and SU/PG schemes showed similar results under very low Fr number and Re number condition. However, when the Fr number increased up to 1.58, Galerkin scheme did not converge while SU/PG scheme produced stable solutions after 5 iter- ations by Newton-Raphson method. For the transcritical flow simulation in diverging channel, the present model predicted the hydraulic jump accurately in terms of the jump location, the depth slope, and the flow depth after jump, and the numerical results showed good agreements with the hydraulic experiments carried out by Khalifa(1980). In the oblique hydraulic jump simulation, in which convection-dominated supercritical flow (Fr=2.74) evolves, Galerkin scheme blew up just after the first iteration of the initial time step. However, SU/PG scheme captured the boundary of oblique hydraulic jump accurately without numerical oscillation. The maximum errors quantified with exact solutions were less than 0.2% in water depth and velocity cal- culations, and thereby SU/PG scheme predicted the oblique hydraulic jump phenomena more accurately compared with the previous studies (Levin et al., 2006; Ricchiuto et al., 2007).

Keywords:

···

요 지

본 연구에서는 천수방정식에 Galerkin법과 Petrov-Galerkin 기법의 일종인 SU/PG 기법을 적용하여 유한요소 천수흐름 해 석 모형을 개발하고, 다양한 실험수로에서 이송이 지배적인 흐름을 수치 모의하였다. 수로 내부에 얇은 판 형태의 구조물이 존재하는 경우 Fr 수와 Re 수가 매우 낮은 흐름에서는 Galerkin 기법과 SU/PG 기법이 동일한 결과를 나타냈으나, Fr=1.58인 경우 Galerkin법은 발산하여 해를 얻을 수 없었다. 이 경우 SU/PG법은 Newton-Raphson법에 의한 5회의 반복 에 의해 수렴된 유속결과를 구할 수 있었다. 사류와 상류가 혼재하여 천이류가 나타나는 단면확대 수로 모의에서 SU/PG 기법을 이용한 본 연구의 경우 상류단 수심조건이 잘 유지되며, 도수가 발생하는 지점 및 도수에 의한 수심 경사, 도수 후 의 수심이 모두 Khalifa(1980)의 실험결과와 매우 근사하였다. 이송이 지배적인 사류(Fr=2.74)에 의한 사각도수 모의의 경 우에도 Galerkin 기법은 최초 모의시간의 첫 번째 반복 이후 발산하였으나, SU/PG 기법은 도수 경계면을 수치진동 없이 잘 포착하였으며, 해석해와 비교한 수심 및 유속의 최대 오차는 0.2% 이내로 나타나 기존 연구(Levin 등, 2006; Ricchiuto 등, 2007)에 비해 더욱 정확한 결과를 도출하였다.

핵심용어: Galerkin, SU/PG, 사류, 천이류, 천수방정식, 사각도수

···

1. 서 론

홍수나 태풍 시 발생되는 도수나 해일과 같이 국부적으로 흐름특성이 변하는 현상을 수치 모의하는 경우 유동모형은 공간적으로 연속적인 수심을 유지한 채 질량과 운동량을 보 존하므로 불연속적인 흐름특성을 반영하지 못하게 되어 수 치진동이 발생한다 . ^{따라서 이를 방지하기 위해서 수치기법}

은 소산 (dissipative) 성을 포함해야 한다 (Berger 와 Stockstill,

1995). Brooks 와 Hugh(1982) 가 Navier-Stokes 방정식에 cross-

wind 문제를 해결하기 위한 SU/PG 기법을 제안한 이래로 ,

St. Venant 방정식이나 천수방정식에도 이와 같은 소산기법

을 적용한 연구가 1980 년대 중반부터 진행되었다 . Katopodes

(1984a) 는 1 차원 실험수로에서 Galerkin 법을 변형하여 선택 적 감쇠 (selective damping) 를 재현할 수 있는 DG(dissipative Galerkin) ^{기법을 개발하였으며} , Katopodes(1984b) ^는 Katopodes

(1984a) 기법을 2 차원 영역으로 확장하였다 . Katopodes

*정회원·서울대학교건설환경공학부박사후연구원

(E-mail : [email protected])

**정회원·교신저자·서울대학교건설환경공학부교수

(E-mail : [email protected])

(1984c) 는 Fourier 분석을 이용하여 DG 기법의 증폭오차와 위상오차를 해석하였다 . 그러나 DG 기법은 충격파를 흡수하

기 위해 풍상계수 (upwind coefficient) 를 과대하게 입력해야

하는 단점이 있으므로 , Hicks 와 Steffler(1992) 는 DG 기법 을 개선하여 진행파와 역진파에 의한 양방향 특성유속을 풍 상행렬에 포함한 1 차원 CDG(characteristic dissipative Galerkin) 법을 개발하였다 . Hicks 와 Steffler(1994) 는 1 차원

Saint-Venant 방정식에 Taylor-Galerkin, least-square, CDG

기법을 적용하여 , 수치기법에 따른 안정성과 정확도를 비교

하였으며 , 그 결과 CDG 기법이 다른 방법에 비해 우수함을

밝혀냈다 . 이 후 Ghanem(1995) 은 1 차원 CDG 기법을 확장 하여 2 차원 천수흐름모형을 개발하였다 .

국내에서 유한요소 모형을 이용하여 천수흐름을 해석한 연 구는 대부분이 RMA-2 나 RIVER-2D 및 CCHE-2D 와 같은 상용모형의 적용이 주를 이루고 있으며 , 유한요소 흐름모형

의 개발에 관한 연구로는 윤태훈 (1982) 이 항만 내 토사이동

을 예측하기 위해 유한요소모형을 개발한 연구 , 한건연 등

(2005) 이 급변부정류 해석을 위한 유한요소법을 개발하여 적

용한 연구 , ^{김태범 등} (2006) ^이 CDG ^{기법을 천수방정식에}

적용하여 만곡수로와 단면축소 수로에서의 흐름분석을 수행

한 연구 등이 있다 . 이 모형들 중 한건연 등 (2005) 과 김태

범 등 (2006) 이 개발한 모형은 앞서 기술한 충격파가 발생하

거나 불연속 흐름이 생성된 경우 선택적 감쇠 (selective

damping) 에 의해 진행파와 후퇴파의 포착에 효과적인

Katopodes(1984b) 의 이론을 적용한 모형으로 , 엄밀한 의미에

서 CDG 기법에 해당한다고 할 수 있다 . CDG 기법은 SU/

PG ^{기법의 일종이나 보존형 방정식에 적용되고 이송행렬을}

구성하기 위해 고유벡터 행렬의 역행렬을 구해야 하며 , 풍상 계수를 0.0 부터 0.5 의 범위에서 조정해야 하므로 매개변수를

포함하지 않는 SU/PG 기법에 비해 변수추정 과정을 수행해

야 하는 번거로움이 있다 .

유한요소법의 가중잔차법은 가중함수에 따라 그림 1 과 같이 여러 방법으로 분류된다 . 가중함수를 형상함수와 같게 두는

Galerkin 법 , 형상함수에 섭동함수를 더한 Petrov-Galerkin 법 , 충

동함수를 사용하는 Collocation ^법 , ^{잔차식의 변수에 대한 편미}

분값을 가중함수로 사용하는 최소자승법 등이 있다 . 본 연구에 서는 유한요소법의 여러 기법 중 가장 널리 이용되는 Galerkin

법과 Petrov-Galerkin 기법 중 이송이 지배적인 경우 흐름방향으

로 섭동함수를 더하여 수치진동을 억제하는 SU/PG 기법을 이 용하여 천수흐름 해석모형을 개발하고 가중함수에 따른 이송 이 지배적인 흐름을 다양한 실험수로에서 수치모의하였다 .

본 연구에서는 서일원과 송창근 (2010) 에서 상술한 과정에 의해 구해진 다음의 비보존형 천수방정식을 지배방정식으로 사용하였다 .

(1) (2)

위 식에서 는 종횡방향 수심평균 유속 , ^{g는 중}

력가속도 , n은 조도계수 , ν는 난류동점성계수 , H와 h는 기준선으로부터 하상까지의 거리와 수심을 나타낸다 . 질량보 존방정식인 식 (1) 과 운동량보존방정식인 식 (2) 를 유한요소 법에 의해 이산화하기 위해서 주요 미지수인 v와 h를 u로 대표하고 다음과 같이 근사한다 .

(3)

여기서 , N

( x , y ) 는 요소의 형상과 차수에 따라 결정되는 형 상함수이다 . 식 (3) 을 지배방정식인 식 (1)-(2) 에 대입하면 근사된 값이므로 0 이 아닌 잔차식 이 유도된다 .

Sobolev 공간 내에서 정의되는 가중함수 에 의한 내

적을 잔차식에 취하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다 . (4)

본 연구에서는 유한요소법의 여러 방법 가운데 가장 고전

적이며 널리 이용되는 Galerkin 법 과 이송이 지배적

인 경우 흐름 방향으로 섭동함수를 더하여 수치진동을 억제

하는 SU/PG 기법 을 가중함수로 선택하여 상류 ,

천이류 및 사류의 흐름조건을 가지는 실험수로에서 천수흐 름을 해석하였다 . SU/PG 기법은 댐붕괴나 홍수량 유입과 같이 급격하게 흐름조건이 변화하는 경우나 천이류가 발생

∂

∂

---+h

∇ v ⋅

v ∇ ⋅ (

)

∂v ∂

---+

( v ∇ ⋅ )v

∇ (

)

h---

∇ (

∇v )

v v

– +

⋅

=

v

(

, )

u (

, , ) u ≈

(

, , ) u

( )

(

, )

j 1=

∑n

=

R u ( )

≠

(

, )

w_i

∫ Ω

^{⋅ R}

^Ω

w_i=N_i

( )

w_i=N_i+p_i

( )

그림 1. 가중함수에 따른 유한요소법의 분류

하는 경우 , 충격파의 전달과 같은 흐름해석에 있어서 기존의

Galerkin 기법에 비해 더욱 안정적인 해를 도출하는 것으로

알려져 있다 (Bova 와 Carey, 1996; Akin 과 Tezduyar, 2003).

또한 천수방정식의 이송항에 의한 가속도의 영향을 보다 정 확하게 반영하게 되므로 , 기존 수치기법에 비해 안정적이다 .

SU/PG 기법에서는 가중함수로 다음과 같은 식을 이용한다

(Brooks and Hughes, 1982).

(5)

여기서 , 는 유속의 Euclid norm 이며

는 구적점 , 는 요소의 Reynolds 수를 나타낸다 .

는 요소의 특성길이 (Yu 와 Heinrich, 1987) 로 다음과 같은 식에 의해 구해진다 .

(6)

위 식에서 h

과 h

는 요소망을 구성하는 변의 평균길이와 유속의 내적의 합을 흐름방향으로 투영한 값을 나타낸다 .

앞서 서술한 한건연 등 (2005) 과 김태범 등 (2006) 이 개발한

CDG ^{기법의 가중함수는 다음과 같이 표현된다} .

(7)

위 식에서 와 는 각각 x , y방향의 상향가중 유체 이송 행렬 , ω는 풍상계수 (upwinding coefficient) 이며 , 와

는 Katopodes(1984b) 가 제안한 다음의 값을 취한다 . (8)

식 (5) ^{와 식} (7) ^{을 비교해 보면} , SU/PG ^기법과 CDG ^기

법의 가중함수의 차이를 알 수 있다 . SU/PG 기법의 가중함 수인 식 (5) 는 유속과 형상함수 편미분의 내적에 의해 가중 된 섭동함수가 유체의 흐름방향으로 작용하게 되어 , 천수방 정식의 비선형 이송항의 불안정성을 감소시키게 된다 . ^식

(7) 에서는 진행파와 역행파의 특성값 (eigenvalue) 의 크기가

유체이송 행렬 와 에 의해 조정되어 상향가중이 반

영되지만 0.0 과 0.5 사이의 값을 가지는 풍상계수 ω를 결

정해야 한다 .

3. 이송이 지배적인 흐름 수치모의

본 연구에서는 표 1 과 같은 실험수로의 조건에서

Galerkin 법과 SU/PG 기법을 적용하여 유한요소법의 가중함수

가 이송이 지배적인 천수흐름에 미치는 영향을 해석하였다 . 5.08 cms 의 유량이 폭 2.54 m, 경사도 0.001, 조도계수

0.020 인 수로에 유입되는 경우 Manning 공식에 의해 정상

수심은 2.32 m 로 계산된다 . 그림 2 는 위의 조건을 가지는

1 m 높이의 위어를 포함한 수로에서의 시간에 따른

Galerkin 법과 SU/PG 기법에 의한 자유수면의 형상을 비교한

것이다 . 그림 2 와 같이 흐름이 최초로 위어에 도달하는 시 간인 t =30 초 때까지 두 기법 모두 동일한 수면형상을 나 타냈으나 위어를 통과한 후 상하류방향으로 모두 불규칙한 파가 전달되어 t =100 초에 해당하는 그림 2(d) 에서 Galerkin 법 은 수치진동이 발생하였다 . 이와 같은 수치진동은 시간이 흐

를수록 더욱 심해져 t =380 초 이후에는 Galerkin 법은 발산

w_i N_i h

α

2

v

--- u

^∂

∂

^∂

∂

⎝

⎠

⎛ ⎞

+

=

v α

( γ ⁄

)

⁄ γ γ v

⁄

h h 1

---

v (

)

=

w_i N_i

ω

^∂

∂

∆

^∂

∂

∆

⎝ ⎠

⎛ ⎞

+

=

Wx Wy

x

∆

y

∆

x

∆

_{⎝ ⎠} ^{⎛ ⎞} _∂ξ

^∂

_{⎝ ⎠} ^{⎛ ⎞} _∂η

^∂

∆

_{⎝ ⎠} ^{⎛ ⎞ ∂} _∂ξ

_{⎝ ⎠} ^{⎛ ⎞} _∂η

^∂

Wx Wy

표 1. 수치모의 조건 구분

흐름 관련 변수 요소망

u∞

(m/s) (m)^h∞

^최대

^{요소수 절점수}

포함한 위어를 수로

포함한 구조물을 수로

0.05 2.0 0.03 0.013 1,320 1,312

1.5 2.0 1.58

사행수로

단면확대수로

사각도수

_그림 2. 위어를 포함한 수로에서의 수면 형상

하였다 . 반면 SU/PG 기법에 의한 모의는 위어를 통과한 이

후 ( 그림 2(d)) 상하류 방향으로 점차 안정적인 수면이 형성

되며 그림 2(f) 와 같이 위어 상류구간에서 M1 형상이 나타

났고 위어를 지나면서 수위가 하강한 후 다시 정상수심으로 근접해가는 물리적으로 올바른 결과를 도출하였다 . 식 (5) 와

같이 SU/PG 기법을 이용하는 경우 유속과 형상함수 편미분

의 내적에 의해 상향가중된 섭동함수가 유체의 흐름방향으 로 작용하게 되므로 , 천수방정식의 비선형 이송항의 불안정

성을 감소시켜 Galerkin 기법에 비해 안정적인 수치모의 결

과를 도출하였다 .

그림 3 과 4 는 수로 내부에 얇은 판 형태의 구조물이 존

재하는 경우 Fr 수에 따른 유속장과 유선분포를 도시한 것 이다 . 이 경우 Lienhard(1966) 가 제시한 바와 같이 Re 수 에 따라 구조물 후면에서의 흐름거동이 크게 바뀌게 되어 Re 수가 5 미만인 경우에는 흐름의 분리가 발생하지 않고 완전한 층류 흐름이 나타나지만 , Re 수가 증가하여 15 정도 인 경우에는 구조물 후면에서 대칭의 와가 발생하게 된다 .

그림 3(a) 와 4(a) 는 Fr =0.03 인 경우로 느린 유속에 의해 Re 수가 0.5 로 매우 낮은 층류흐름에 해당하며 , 구조물을 중 심으로 좌우 대칭에 가까운 유속 및 유선분포가 나타났다 .

이 경우 Galerkin 법과 SU/PG 법은 동일한 결과를 도출하였

다 . 하지만 최대 Fr 수가 1.58( Re =15) 로 사류에 해당하는

흐름을 모의한 경우 Galerkin 법은 발산하여 해를 얻을 수

없었다 . 이 경우 SU/PG 법은 Newton-Raphson 법에 의한 5

회의 반복에 의해 그림 3(b) 와 같이 최대유속이 하류 방향

으로 치우쳐서 좌우 벽면에서 발생하며 구조물 후면에는 느 린 유속이 지배적인 흐름결과를 도출하였다 . 정상상태 조건 으로 모의를 수행하였기 때문에 그림 4(b) 와 같이 판 후면 에 대칭적인 후류가 두드러졌다 .

그림 5 ^{는 폭} 1 m, ^사행도 1.52 ^{인 두 개의 만곡부를 가}

지는 사행수로에서 표 1 의 경계조건을 입력하여 얻어진 등

유속도를 도시한 것이다 . 서일원과 송창근 (2010) 에서 본 연

구에서 적용한 것과 동일한 유한요소망을 이용하여 4 가지 수리실험 조건에 의한 실측 자료를 이용하여 수치모형의 매 개변수 결정 및 모형의 검증을 수행한 바 있으므로 , 본 연 구에서는 이송이 지배적인 흐름조건에서 가중함수에 따른 유 속분포만을 분석하였다 . 두 번째 만곡부 내측에서 최대 Fr 수가 1.0 ^이었으며 Galerkin ^법과 SU/PG ^{기법 모두 첫 번째}

만곡부까지는 유사한 결과를 나타내었다 . 하지만 두 번째 만

그림 3. 구조물을 포함한 수로에서의 유속장

그림 4. 구조물을 포함한 수로에서의 유선 분포 그림 5. 최대 Fr 수가 1.0 일 때 사행수로에서의 유속장 비교

곡부 내외측에서 SU/PG 기법에 의한 유속이 Gakerkin 법에

비해 10% 높게 나타났다 . 이는 천이류 발생에 따른 강한

이송흐름이 SU/PG 기법의 섭동함수에 반영되어 주 흐름방향 으로 작용하였기 때문인 것으로 판단된다 .

4. 단면확대수로 도수 모의

그림 6(a) 와 같이 수로 폭이 서서히 확대되는 점확대수로

의 경우 상하류단 경계조건에 의해 상류단에서는 사류흐름 이 생성되고 단면팽창부에서 도수가 발생하며 이후 상류흐 름이 나타나는 현상을 모의할 수 있다 . 이와 같이 사류와 상류가 혼재하는 단면확대수로에서의 도수를 모의하기 위한 경계조건은 다음과 같이 부여하였다 . 유입 경계면에 사류조 건을 입력해야 하므로 천수방정식의 3 가지 변수에 해당하는 종 방향 유속 u =1.94 m/s, 횡방향 유속 v =0 m/s, 수심 h =0.0976 m 을 모두 할당하였다 . 유출 경계면에는 상류조건을 입력해 야 하므로 상류단에 입력된 유량이 일정하게 유지되는 조건 인 u =0.302 m/s 와 v =0 m/s 를 부여하였다 . 수치모의를 위한 유한요소망은 그림 6(b) ^{와 같이} 1,632 ^{개의 요소로 구성하여}

모의결과의 비교 대상인 Younus 와 Chaudhry (1994) 가 제 작한 격자망 수와 유사한 조건을 유지하도록 하였다 .

상기 언급한 유한요소망과 경계조건을 이용하여 천수방정 식의 두 매개변수에 해당하는 조도계수와 점성계수를 다음 과 같이 결정하였다 . 조도계수의 경우 ,

및 세가지 값을 고려하여 Khalifa(1980) 가 동일

한 조건에서 수행한 수리실험 결과와 비교하였다 . 상류단 수 심이 매우 얕으므로 모의영역 전반에 걸친 수심분포는 조도

계수에 민감하게 반응하여 그림 7(a) 와 같이 도수가 발생하

는 위치와 최대 Fr 수가 나타나는 위치가 크게 변화하였다 .

이상의 모의결과를 바탕으로 세 곡선 중 Khalifa(1980) 의 실험결과와 가장 잘 일치하는 을 조도계수로 선정

하였다 . 그림 7(b) 는 점성계수에 따른 수심분포 양상을 나타

낸다 . SU/PG 기법은 이송이 지배적인 방향으로 가중함수에

섭동함수를 더해 수치적 안정성을 향상시키는 기법이므로 점 성계수의 값을 일반적인 수치모의에 비해 큰 값으로 입력해 야 한다 . 따라서 본 모의에서는 0.14 m

/s, 0.15 m

/s, 0.17 m

/s 및 0.20 m

/s 등 4 가지 동점성계수를 고려하여 민감도 분석을 수행하였다 . 그 결과 점성계수가 커질수록 도수가 발 생하는 구간의 수심 경사가 완만해지며 최소수심이 증가하 는 경향을 보였다 . 수치모의에 고려된 점성계수 중 0.15 m

/s 을 입력한 경우 최소 수심과 도수 수심분포가 Khalifa

(1980) 의 실험결과와 가장 잘 일치하여 이 값을 점성계수로

결정하였다 .

이상의 조도계수와 점성계수를 부여하여 SU/PG 기법에 의한 단면확대 수로에서의 도수현상을 수치모의하고 그 결 과를 인공점성계수를 사용한 유한차분모형인 Younus 와

Chaudhry(1994) 의 수치모의 결과와 Khalifa(1980) 의 수리 실험결과와 비교하여 그림 8 에 수록하였다 . 점선으로 표현된

Younus 와 Chaudhry(1994) 의 경우 조도계수와 점성계수에

관한 민감도 분석을 통해 Khalifa(1980) 의 수리실험 결과와

가장 잘 일치하는 매개변수를 사용했음에도 불구하고 상류 단 경계면에 수심조건으로 입력한 m 가 유지되지 않고 실제 부여된 값보다 수심이 낮았으며 , 최소 수심과 그

발생 위치가 Khalifa(1980) 의 실험결과와 다소 차이가 있었

다 . 그리고 도수 후의 수심이 실험치에 비해 2 cm 정도 낮

게 나타났다 . 그러나 SU/PG 기법을 이용한 본 연구의 경우

상류단 수심조건이 잘 유지되며 , 도수가 발생하는 지점 및

n=0.020

n=0.016

h=0.0976

그림 6. 단면확대 수로 수치모의 조건 및 유한요소망

그림 7. 매개변수에 따른 수심 분포

그림 8. 단면확대 수로에서 도수 발생에 의한 수심 비교

도수에 의한 수심 경사 , ^{도수 후의 수심이 모두} Khalifa (1980) 의 실험결과와 매우 근사하였다 . 그림 9 와 그림 10 은 각각 도수발생에 의한 3 차원 수심분포와 평면 상의 Fr 수

분포를 나타낸다 . 상류단과 하류단의 수심 차가 약 12 cm

발생하며 x =1.0 m ^{부근에서 도수가 발생하였다} ( ^그림 9). ^이

에 따라 그림 10 과 같이 사류과 상류가 공존하는 천이류 흐름이 안정적으로 모의되었다 .

5. 사각도수

Fr 수가 1 보다 큰 사류가 그림 11 과 같이 수로 폭이 감 소하는 벽면을 따라 흐르는 경우 편향된 경계면에 의해 급

격히 수심이 증가하며 사각 정재파 (oblique standing wave)

가 형성된다 . 이 경우 파의 선단부는 편향 전의 벽면과

β의 각도를 이루며 하류로 전파되는 사각도수 (oblique

hydraulic jump) 가 발생한다 . 이와 같은 사각도수 문제는 사

류에 의한 파의 선단부를 경계로 수심 , 유속 및 Fr 수가 불연속적으로 변하게 되므로 이송이 지배적인 충격파를 포 착하기 위해 개발된 수치기법의 검증 문제로 최근 들어 널 리 이용되고 있다 (Levin ^등 , 2006; Ricchiuto ^등 , 2007).

충격파 형성 전의 수심 ( ^h

), ^접근유속 ( ^v

) ^{및 Fr 수} ( ^Fr

),

편향벽면 각도 ( θ ) 등에 의해 다음 식 (9)-(11) 과 같이 파의 전파각 ( β ), 도수 수심 ( h

) 및 도수 유속 ( v

) 에 관한 해석해를 얻을 수 있다 (Chow, 1973).

(9)

(10) (11)

그림 12(a) 에 사각도수 모의를 위한 계산영역과 초기조건

및 경계조건을 수록하였다 . 실험수로는 종횡방향으로 각각

40 m 와 30 m 의 길이를 가지며 , x =10 m 부터 우측 벽면이 수로방향으로 θ =8.95

편향된 경계면을 포함한다 . 일반적으 로 사류를 모의하기 위해서는 유입경계에 유속과 수심조건 을 부여하며 , 유출경계에는 경계조건을 부여하지 않는다

(Vreugdenhil, 1994). 따라서 본 연구에서는 사류에 의한 사

각도수를 모의하기 위해 그림 12(a) 와 같이 유입경계면에 유

속 ( u

=8.57 m/s, v

=0) 과 수심 ( h

=1.0 m) 조건을 입력하 였고 , 유출경계면에는 경계조건을 입력하지 않았다 . 이 경우

상류단 경계면은 Fr

=2.74 인 사류조건을 유지하게 된다 . 좌

우측 벽면에서는 불투수조건과 활동조건을 입력하였으며 , 초 기조건으로는 유입경계조건과 동일한 조건을 유지하였다 . 수

tan

θ

β _⎝ ^⎛

β

_⎠ ^⎞

β

β

= h_s h_∞

--- 12--- 1 8=

_⎝ ^⎛

^β

_⎠ ^⎞

v

v

--- cos=

β

( β θ

) 그림 9. ^{단면확대 수로에서 도수 발생에 의한} 3 ^{차원 수심 분포}

그림 10. 단면확대 수로에서의 Fr 수 분포

그림 11. 사류에 의한 사각도수 (oblique hydraulic jump) 평면도

그림 12. 사각도수 모의 조건 및 유한요소망

치모의를 위해 그림 12(b) 와 같은 절점수 4,941 개 , 요소수

4,800 ^{개인 계산격자망을 제작하였다} . ^{유한요소망은 종방향으}

로는 80 개 , 횡방향으로는 60 개의 사각요소망을 이용하여 구 성하였다 .

이상의 조건을 입력하여 본 연구에서 개발한 유한요소모형

에 의한 사각도수 모의 결과를 그림 13-15 ^{에 도시하였다} .

그림 13 은 SU/PG 기법에 의한 등유속도 및 유속벡터도를

나타낸다 . Galerkin 기법을 적용한 경우 최초 모의시간의 첫

번째 반복 (iteration) 이후 발산하였으므로 , 모의 결과는 모두

SU/PG ^{기법에 의한 것만을 수록하였다} . ^{이 그림에서 본 연}

구에서 개발한 모형이 도수경계면을 수치진동 없이 잘 포착 하고 있으며 , 이를 기준으로 유속이 양분되고 있음을 알 수 있다 . 그림 14 에 사각도수에 의한 모의영역에서의 수심 및 Fr 수 분포를 나타내었다 . x =0 인 유입경계면을 따라 부여된 수심조건 ( h

=1.0 m) 과 Fr 수 조건 ( Fr

=2.74) 에 의해 편향

된 벽면이 시작되는 x =10 m 부터 수로 우측의 수심이 1.5

m 로 급격히 상승하여 형성된 사면이 하류단까지 유지되었다 .

이에 따라 Fr 수는 수심이 높은 영역에서는 낮게 분포하고 나머지 영역에서는 상류단 유입경계조건과 동일하게 나타났

다 . 그림 15 는 x =40 m 인 유출 경계면을 따른 수심 및 Fr

수를 해석해와 비교하여 도시한 것이다 . 하류경계면의 수로 폭 ( w ) 을 이용하여 횡방향 거리를 무차원화한 이 그림에서 본

모형에 의해 계산된 수심값이 식 (10) 에 의해 계산된 해석

해에 의한 수심 1.5 m 와 사각도수의 영향을 받지 않은 부

분에서의 수심 1.0 m ^{에 매우 근사하였다} . ^식 (11) ^{에 의하면}

사각도수 영역에서의 유속은 m/s 로 계산되며 이

에 따른 Fr 수는 2.075 로 도수의 영향을 받지 않는 2.74 에

비해 낮게 나타난다 . 그림 15(b) 는 이를 정확하게 재현하고

있음을 알 수 있다 .

표 2 는 정상상태 도달 이후의 모의결과를 해석해 및 기존 연구자들의 결과와 정량적으로 비교한 것이다 . 식 (9)-(11) 에 의해 구해진 해석해의 값을 기준으로 기존 연구결과와 비교

해 보면 본 연구에서 적용한 SU/PG ^{기법에 의해 계산된}

충격파 발생 영역 내부 절점에서의 평균 유속 ( ), 평균 v

v

그림 13. 사각도수에 의한 유속장

그림 14. 사각도수에 의한 수심 및 Fr 수

그림 15. 유출 경계에서의 수심 및 Fr 수 비교

수심 ( h

), 평균 Fr 수 ( Fr

) 및 사각 ( β ) 의 값이 다른 연구자들 에 의해 수치모의된 값에 비해 해석해와 더욱 근사하였다 .

해석해와 비교한 수심 및 유속의 최대 오차는 0.2% 이내로

나타났으며 , 특히 수심의 경우 수치모의에 의한 오차가 발생

하지 않았다 . 따라서 본 연구에서 적용한 SU/PG 기법이 이

송이 지배적인 사류에 의한 사각도수 현상을 스펙트럴 요소

법을 사용한 Levin 등 (2006) 과 보존형 잔차법을 적용한

Ricchiuto 등 (2007) 에 비해 더욱 잘 모의하고 있음을 알 수

있다 .

본 연구에서는 Galerkin 법과 SU/PG 기법을 이용한 천수흐 름 해석 모형을 개발하고 천이류 및 사류 흐름 문제에 적용 하였다 . 위어를 포함한 수로에서의 자유수면의 형상을 비교

한 결과 Galerkin 법은 위어를 통과한 불규칙한 흐름이 상하

류 방향으로 전파되어 점점 수치진동이 발생하고 해가 발산

하였으나 SU/PG 기법은 점차 안정적인 수면이 분포하여 위

어 상류구간에서 M1 ^{형상이 나타났고 위어를 지나면서 수}

위가 하강한 후 다시 정상수심으로 근접해가는 결과를 얻었 다 . 수로 내부에 얇은 판 형태의 구조물이 존재하는 수로에

서 최대 Fr =1.58 인 흐름을 모의한 경우 Galerkin 법은 발산

하여 해를 얻을 수 없었지만 SU/PG 법은 Newton-Raphson

법에 의한 5 회의 반복에 의해 하류 방향으로 치우쳐서 최대 유속이 발생하며 구조물 후면에는 느린 유속이 지배적인 흐 름결과를 도출하였다 . 두 개의 만곡부를 가지는 사행수로에 서 최대 Fr 수가 1.0 ^{인 흐름을 해석한 결과 첫 번째 만곡}

부까지는 두 기법 모두 유사한 결과를 나타냈지만 두 번째 만곡부 내외측에서 SU/PG 기법에 의한 유속이 Gakerkin 법에

비해 10% 높게 나타났다 . 이는 천이류 발생에 따른 강한

이송흐름이 SU/PG ^{기법의 섭동함수에 반영되어 주 흐름방향}

에 작용하였기 때문인 것으로 판단된다 . 사류와 상류가 혼재

하는 단면확대 수로 모의에서 SU/PG 기법을 이용한 본 연

구의 경우 상류단 수심조건이 잘 유지되며 , 도수가 발생하는 지점 및 도수에 의한 수심 경사 , ^{도수 후의 수심이 모두}

Khalifa(1980) 의 실험결과와 매우 근사하여 인공점성항을 이

용한 Younus 와 Chaudhry(1994) 의 수치모의에 비해 천이류 현상을 정확하게 모의할 수 있었다 . 이송이 지배적인 사류

( Fr =2.74) 에 의한 사각도수 모의의 경우에도 Galerkin 기법 은 최초 모의시간의 첫 번째 반복 이후 발산하였으나 , SU/

PG 기법은 도수경계면을 수치진동 없이 잘 포착하였으며 ,

해석해와 비교한 최대 오차는 0.2% 이내로 나타나 기존 연

구 (Levin 등 , 2006; Ricchiuto 등 , 2007) 에 비해 더욱 정확 한 결과를 도출하였다 .

감사의 글

본 연구는 국토해양부 건설기술혁신사업 (11 기술혁신 C06)

및 서울대학교 SIR BK21( 안전하고 지속가능한 사회기반건 설 ) 사업단의 연구비 지원으로 수행되었습니다 . 본 연구는 서울대학교 공학연구소 및 건설환경종합연구소의 지원으로 수행되었습니다 .

참고문헌

김태범

^최성욱

^민경덕

^{유한요소법을 이용한 수심적}

분 흐름의 수치모의

^{대한토목학회논문집}

대한토목학회

제

권 제

호

서일원

송창근

천수흐름 해석을 위한

차원 유한요소모형 의 개발

^{대한토목학회논문집}

^{대한토목학회}

^제

^{권 제}

^호

윤태훈

유한요소법에 의한 항만에서의 토사이송추정모형

대한토목학회논문집

대한토목학회

제

권 제

호

한건연

^박경옥

^백창현

^최규현

^{기법에 의한}

^차

원 하천 동수역학 해석

^{대한토목학회논문집}

대한토목학회

제

권 제

호

Akin, J.E. and Tezduyar, T.E. (1996) A symmetric formulation and SU/PG scheme for the shallow-water equations, Comput.

Methods Appl. Mech. Engrg., Vol. 193, pp. 1909-1922.

Alcrudo, F. and Garcia-Navarro, P. (1993) A high-resolution Godunov- type scheme in finite volumes for the 2D shallow-water equa- tions, Int. J. Numer. Methods Fluids, Vol. 16, pp. 489-505.

Berger, R.C. and Stockstill, R.L. (1995) Finite-element model for high-velocity channels, J. Hydraul. Engrg., Vol. 121, No. 10, pp. 710-716.

Bova, S.W. and Carey, G.F. (1996) A symmetric formulation and SU/PG scheme for the shallow-water equations, Adv. Water Resour., Vol. 19, No. 3, pp 123-131.

Brooks, A.N. and Hughes, T.J.R. (1982) Streamline Upwind/

Petrov-Galerkin Formulations for Convection Dominated Flows with Particular Emphasis on the Incompressible Navier- Stokes Equations, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., Vol.

32, pp. 199-259.

Chow, V.T. (1973) Open channel hydraulics, McGraw Hill.

Ghanem, A.H.M. (1995) Two-dimensional finite element modeling of flow in aquatic babitats. Ph.D. Thesis, University of Alberta, Edmonton, Alberta.

Hicks, F.E. and Steffler, P.M. (1992) Characteristic dissipative Galerkin scheme for open channel flow, J. Hydraul. Engrg., Vol. 118, No. 2, pp. 337-352.

Hicks, F.E. and Steffler, P.M. (1994) Comparison of finite element methods for the St. Venant equations, Int. J. Numer. Methods Fluids, Vol. 20, pp. 99-113.

Katopodes, N.D. (1984a) A dissipative Galerkin scheme for open- channel flow, J. Hydraul. Engrg., Vol. 110, No. 4, pp. 450-466.

Katopodes, N.D. (1984b) Two-dimensional surges and shocks in open channels, J. Hydraul. Engrg., Vol. 110, No. 6, pp. 794- Katopodes, N.D. (1984c) A Fourier analysis of dissipative FEM812.

channel flow model, J. Hydraul. Engrg., Vol. 110, No. 7, pp.

927-944.

Khalifa, A. (1980) Theoretical and experimental study of the radial

표 2. 사각도수 모의 결과

구분

^β

해석해

Levin

(2006)

^값

오차

Ricchiuto

(2007)

^값

오차

SU/PG

^값

오차

v

hydraulic jump, Ph.D. dissertation, University of Windsor, Windsor, Ontario, Canada.

Levin, J.C., Iskandarani, M., and Haidvogel, D.B. (2006) To con- tinue or discontinue: Comparisons of continuous and discontin- uous Galerkin formulations in a spectral element ocean model, Ocean Modelling, Vol. 15, pp. 56-70.

Lienhard, J.H. (1996). Synopsis of lift, drag, and vortex frequency data for rigid circular cylinder, Bulletin 300, Washington State University.

Ricchiuto, M., Abgrall, R., and Deconinck, H. (2007) Application of conservative residual distribution schemes to the solution of the shallow water equations on unstructured meshes, J. Com- put. Phys., Vol. 222, pp. 287-331.

Seo, I.W. and Song, C.G. (2011) Numerical simulation of laminar flow past a circular cylinder with slip conditions, Int. J. Numer.

Methods Fluids, Vol. 68, No. 12, pp. 1538-1560.

Vreugdebhil, C.B. (1994) Numerical method for shallow water flow, Kluwer Academic Publishers, Amsterdam.

Younus, M. and M. Hanif Chaudhry, M.H. (1994) A depth-aver- aged turbulence model for the computation of free-surface flow, J. Hydraulic Res., Vol. 32, No. 3, pp. 415-444.

Yu, C.C. and Heinrich, J.C. (1987) Petrov-Galerkin method for multidimensional, time-dependent, convective-diffusion equa- tion, Int. J. Numer. Methods Engrg., Vol. 24, pp. 2201-2215.

(

^접수일

^심사일

^{심사완료일}