2019 년 봄학기 강원대학교 컴퓨터과학전공 문양세
알고리즘 (Algorithm)
필요한 수학의 복습
수학 ~ 머리 아파 ~
그래서 ~, 어려운 것 빼고 ~
고등학교 시절에 , 이산수학 과목에서 , 아주 쉬운 것으로만 복습
복습 내용
표기법 ( 가 머야 ?)
함수
수학적 귀납법
정리 , 보조정리
로그
집합
순열과 조합
확률
필요한 수학의 복습
표기법
올림함수 (ceiling function)
x: 주어진 실수 x 보다 크거나 같은 가장 작은 정수
예 : 9/2 = 5, 3.3 = 4, 7 = 7, -3.3 = -3
내림함수 (floor function)
x: 주어진 실수 x 보다 작거나 같은 가장 큰 정수
예 : 9/2 = 4, 3.3 = 3, 7 = 7, -3.3 = -4
시그마를 사용한 합의 표현
필요한 수학의 복습
100
1
1 2 100
i
i i
1( 1)
1 2 2
n i
i i n n n
100 2 2 2 2 2
1
1 2 100
i
i i
2 2 2 2 21
1 2
( 1)(2 1)
n i
i i n
n n n
4 i
ij ?
함수 (function)
함수 f 는 변수 x 를 유일한 값 f(x) 로 연관 짓는 규칙 또는 법칙이다 . 함수는 튜플 (tuple, ordered pair) 을 결정하며 , 이들 튜플을 좌표에 그 리면 그래프가 된다 .
정의역 : x 값의 범위 (domain)
공변역 ( 변역 , 공역 ): 함수 f 가 정의되는 값의 범위 (codomain)
치역 : 정의역이 함수 f 에 의해 매핑된 범위 (range)
필요한 수학의 복습
( )
2f x x
y x
2수학적 귀납법 (mathematical induction) (1/2)
어떤 등식이 모든 n 에 대해서 성립함을 보이기 위해서 , 가능한 모든 n 을 등식에 대입하여 증명할 수는 없다 .
수학적 귀납법 :
주어진 등식이 n=1 일 때 성립함을 증명하고 , n 일 때 성립한다고 가정한 후 , n+1 일 때 성립함을 증명한다 .
그러면 , 도미노의 원리와 같이 모든 n 에 대해서 성립하는 것이다 .
필요한 수학의 복습
수학적 귀납법 (mathematical induction) (2/2)
수학적 귀납법을 이용한 증명 과정
귀납 기본 (Induction base):
n=1(
혹은 n=0) 에 대해 등식이 성립함을 증명한다 .귀납 가정 (Induction hypothesis):
임의의 n 에 대해 등식이 성립한다고 가정한다 .
귀납 단계 (Induction step):
등식이 n+1 에 대해서도 성립함을 증명한다 .
필요한 수학의 복습
수학적 귀납법 예제 (1/2)
모든 양의 정수 n 에 대해서 다음 등식이 성립함을 증명하라 .
증명
Induction base: n=1 일 때 성립한다 .
Induction hypothesis: n 일 때 성립한다고 가정한다 .
Induction step: 다음 과정에 의해 n+1 일 때 역시 성립한다 .
필요한 수학의 복습
1
( 1) 2
n
i
i n n
1
1
1(1 1) 2 1
i
i
1
1 1
2
( 1) 2 2 ( 1)
2 2
( 1) ( 1) 1 ( 1)( 2)
3 2
2 2 2
n n
i i
n n n
i i n
n n
n n
n n
수학적 귀납법 예제 (2/2)
모든 음이 아닌 정수 n 에 대해서 다음 등식이 성립함을 증명하라 .
증명
Induction base: n=0 일 때 성립한다 .
Induction hypothesis: n 일 때 성립한다고 가정한다 .
Induction step: 다음 과정에 의해 n+1 일 때 역시 성립한다 .
필요한 수학의 복습
1 0
2 2 1
n i n
i
0 0 0 1
0
2 2
i1 2 1
i
1 1 1 1
0 0
( 1) 1
1 2
2 2 2 2 1 2
2 2 1 2 1 2 1
n n
i i n n n
i i
n
n n
정리 (Theorem) 와 보조정리 (Lemma) (1/3)
필요한 수학의 복습
정리 (theorem)
정리란 참 (true) 으로 밝혀진 명제이다 .
A statement that has been proven to be true.
공리 (axiom, postulates)
증명된 정리 혹은 증명하고자 하는 정리의 가정이다 .
Assumptions (often unproven) defining the structures about which we are reasoning.
정리 (Theorem) 와 보조정리 (Lemma) (2/3)
필요한 수학의 복습
보조정리 (lemma)
다른 정리를 증명하는데 사용하는 간단한 정리이다 .
A minor theorem used as a stepping-stone to proving a major theorem.
“ 복잡한 내용이 정리이고 , 간단한 내용이 보조정리”를 의미하는 것은 아님 !
따름정리 (corollary)
어떤 정리가 증명되면 , 이에 의하여 자연스럽게 증명되는 정리이다 .
A minor theorem proved as an easy consequence of a major theorem.
정리 (Theorem) 와 보조정리 (Lemma) (3/3)
필요한 수학의 복습
가설 (conjecture)
증명되지는 않았지만 참으로 믿어지는 명제이다 .
A statement whose truth values has not been proven.
(A conjecture may be widely believed to be true, regardless.)
이론 (theory)
주어진 공리 (axiom) 으로부터 증명이 가능한 모든 정리 (theorem) 의 집합이 다 .
The set of all theorems that can be proven from a given set of axioms.
로그 (Logarithm) (1/2)
상용로그 (common logarithm): 밑이 10 인 로그
로그의 주요 특성 [ 위키 ]
필요한 수학의 복습
log10 1 log10,000 log10
4 4
log
log log
1. log 1 0 2.
3. log ( ) log log 4. log log log 5. log log
6.
a
a a
a x
a a a
a a a
y
a a
y x
a x
xy x y
x x y
y
x y x
x y
x
log
y a x
ay
로그 (Logarithm) (2/2)
자연로그 (natural logarithm): 밑이 e 인 로그 ( 위키 )
밑이 자연대수 e(= 2.718281828459…) 인 로그
예 :
적분을 사용한 자연로그 개념 :
함수 1/x 에서 , ln x 는 1 과 x 사이의 면적을 나타낸다 .
필요한 수학의 복습
log 10 ln10 2.3025851
e
1
1 ln a
ax
5 1
1
ln5 x
집합 (Set) (1/2)
집합 (set) 이란 순서를 고려하지 않고 중복을 고려하지 않는 객체 ( 원소 , 멤버 ) 들의 모임이다 .
집합의 표현 방법 : 원소 나열법 , 조건 제시법
원소 나열법 ( 예 : {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …})
조건 제시법 ( 예 : {x | x is integers})
집합의 항등 : 동일한 원소들로 이루어진 두 집합은 동일하다 . 주요 표기법 :
xS: x 는 집합 S 의 원소이다 .
: 공집합 (empty set) ( 원소가 하나도 없는 유일한 집합 )
필요한 수학의 복습
집합 (Set) (2/2)
합집합 : AB = {x | xA xB}
{2,3,5}{3,5,7} = {2,3,5,3,5,7} ={2,3,5,7}
교집합 : AB = {x | xA xB}.
{2,4,6}{3,4,5} = {4}
차집합 : A B = x xA xB
{1, 2, 3, 4, 5, 6} {2, 3, 5, 7, 11} = {1, 4, 6}
필요한 수학의 복습
순열과 조합 (1/3)
순열 (Permutation):
주어진 n 개 물체 중에서 k 개를 선택하여 나열하는 방법의 수
필요한 수학의 복습
조합 (Combination):
주어진 n 개 물체 중에서 k 개를 선택하는 방법의 수
( , ) ( 1) ( 1) !
( )!
P n k n n n k n
n k
( , ) !/ ( )! !
( , )
( , ) ! !( )!
n P n k n n k n
C n k
P k k k k n k
k
순열과 조합 (2/3)
조합의 예제 : 10 명으로 구성된 팀에서 경기에 나갈 선수 5 명을 선발하 는 방법은 모두 몇 가지인가 ?
10 명 중에서 5 명을 선발하되 , 5 명의 순서는 고려할 필요가 없으므로 ,
10 개의 원소 집합에서 5- 조합의 수를 구하는 문제임
결국 , 252 가지 이다 .
필요한 수학의 복습
10! 10!
(10,5) 252
5!(10 5)! 5! 5!
C
순열과 조합 (3/3)
순열의 예제 : 100 명이 참여한 경품 행사에서 , 1 등 , 2 등 , 3 등을 한 명 씩 선발하는 방법은 모두 몇 가지 인가 ?
3 등을 선발하는 방법 = 100 가지
2 등을 선발하는 방법 = 99 가지
1 등을 선발하는 방법 = 98 가지
결국 , 100 x 99 x 88 = 970,220 가지 이다 .
순열을 활용하면… .
100 명 중에서 세 명을 뽑아서 순서대로 나열하는 방법…
결국 , P(100,3) = 970,220 가지 이다 .
필요한 수학의 복습
확률 (Probability) (1/2)
표본공간 (sample space) 혹은 모집단 (population):
가능한 모든 결과의 집합 ( 예 : 주사위의 경우 , 1, 2, 3, …, 6) 사건 (event): 표본 공간의 부분집합
( 주사위에서 짝수가 나오는 사건의 집합 )
원소사건 : 단지 하나의 원소만 가지는 부분집합 ( 주사위에서 1 이 나오는 사건 )
필요한 수학의 복습
확률 (Probability) (2/2)
정의 : 표본공간이 n 개의 다른 결과를 가진 {e
1, e
2, ..., e
n} 이라 하자 . 각 사건 S 에 실수 p(S) 를 지정하는 함수가 다음 조건을 만족하면 ,
이를 확률함수 (probability function) 라 한다 .
1 i n 에 대해서 , 0 p(
e
i) 1 이다 .p(
e
1) + p(e
2) + … + p(e
n) 1 이다 .사건 S 에 대한 p(S) 는 S 에 속하는 원소사건들의 확률의 합이다 . ( 예 : p(S) = p(
e
1) + p(e
2) + p(e
7) if S = {e
1,e
2,e
7})필요한 수학의 복습
생판 처음 본 것이라고요 ?
필요한 수학의 복습
고등학교 문과 수학의 일부분에 해당하는 쉬운 내용입니다 .
혹 어렵다고 생각되시면 ,
고등학교 참고서를 들춰보세요 ~