Ž> ø m Ç S Ë À X Ø0 n ÉÊ Ý ­ Ž³ o ø v ÚP Ê ] Ø

­

Ž> ø m Ç S Ë À X Ø0 n ÉÊ Ý ­ Ž³  o  ø v ÚP Ê ] Ø

ƒ

‘

šî m ‡ Ú ^∗



© œt @ /† < Ɠ § ( Ž É Ó' „   Ó ü t o † < Æõ , " é ¶ Å Ò 220-702 (2008¸   3 Z 4 10{ 9  ~ à Î6 £ §)

Û

¼H { 9 a A  7 HZ O `  ¦ 6 £ § _  Ä ºÅ Ò © œÃ º\  ¦ ° ú   H r / B N ç ß –\ " f | 9 | ¾ ӆ < Êà º µ 1 Ïí ß –   H  â Ä º– Ð S X ‰  © œ % i  . Õ ª o

“ ¦ 
_  Û ¼º ú ˜  © œõ  e ” _ _   © œ  ñ Œ •6   x ( J $ ™[ > `  ¦ ° ú   H — ¸4 S q\  & h 6   x % i  . Õ ª   õ  6 £ § _  Ä ºÅ Ò © œÃ º

\ 

¦ ° ú   H r / B N ç ß –\ " f• ¸  © œ  ñ Œ •6   x ( J $ ™[ > _   Ҡ ñ € ª œÜ ¼– Ð & ñ K t t  · ú §Ü ¼€   Û ¼º ú ˜  _ " t o — : r s  ” > r F ½ + É Ã

º  H e ” t ë ß –    ï î ß –& ñ ½ + É Ã º  H \ O 6 £ §`  ¦ ˜ Ð% i  .

PACS numbers: 04.20.-q, 04.40.-b, 04.50.+h Keywords: Ä ºÅ Ò © œÃ º, Û ¼º ú ˜  © œ, _ " t o — : r

I. " e  ] Ø

Û

¼º ú ˜  © œ“ É r 7 ˜'  © œ“   > s t  © œs 
 J $ ™" f © œ“   ×  æ§ 4  © œ õ   8Ô  ¦ # Q ‰ & ³@ /& h “   : Ÿ x{ 9  © œs  : r s 
 Ä ºÅ ҏ : r \ " f B Ä º  

€

ª œ “ ¦ ×  æ כ ¹ô  Ç % i  Ö ¸`  ¦ ô  Ç  [1]. Õ ª  X < Û ¼º ú ˜  © œ_   © œ  ñ



Œ

•6   x ( J $ ™[ >   Ҡ ñ € ª œÜ ¼– Ð & ñ K & ’ Ü ¼€   î ß –& ñ ô  Ç _ " t o — : r s

 ” > r F ½ + É Ã º \ O 6 £ § s  ç ß –é ß –ô  Ç Û ¼H { 9 a A  7 HZ O Ü ¼– Ð s p  š ¸ A

„  \  7 £ x" î ÷ &% 3   [2]. s   z  ´“ É r { 9 ì ø Í © œ@ / : r& h “   ×  æ§ 4 



© œ`  ¦ “ ¦ 9 # Œ• ¸  ð ø Ít s “ ¦ [3], Ä » ô  Ç s Ä » M :ë  H \  Û

¼º ú ˜  ^  ¦Ï þ ˜f . Ë • ¸ ” > r F ½ + É Ã º \ O 6 £ § s  7 £ x" î ÷ &% 3   [4]. þ j



 H \   H 6 £ § _  Ä ºÅ Ò © œÃ º\  ¦ ° ú   H (AdS) r / B N ç ß –Ü ¼– Ð  7 H _ 

S X

‰  © œ÷ &% 3   [5]. Õ ª  X < AdS r / B N ç ß –\ " f  H  © œ  ñ Œ •6   x (  J $

™[ >   Ҡ ñ € ª œ{ 9  € 9 כ ¹  H \ O “ ¦,   " f Û ¼º ú ˜  _ " t o — : r õ 

^

 ¦Ï þ ˜f . Ë • ¸ ” > r F ½ + É Ã º e ” 6 £ § s  · ú ˜ 9& ’   [6].

½

¨+ þ A@ /g A`  ¦ ° ú   H r / B N ç ß –\ " f  H  © œ@ / : r \ " f_  { 9 ì ø Í& h  ý

a³ ð  ¨ 8 Š _   Ä »\ • ¸ Ô  ¦ ½ ¨ “ ¦ Û ¼H { 9 a A  7 HZ O `  ¦ & h 6   x ½ + É Ã

º e ”   [3]. s   7 HZ O `  ¦  6   x €   & h   H& h Ü ¼– Ð ¨ î ¨ î ô  Ç r / B N ç

ß –\ " f  ^ ‰×  æ§ 4 >  (self-gravitating systems)_  ” > r F   0

p x$ í `  ¦ · ú ˜ à º e ” “ ¦, Ä » ô  Ç  7 HZ O `  ¦  ^ ‰×  æ§ 4 > _  î ß –& ñ $ í ó

ø Íé ß –Ü ¼– Ð S X ‰  © œ½ + É Ã º e ”   [7]. ¢ ¸ô  Ç & h   H& h  AdS r / B N ç ß –

\

" f | 9 | ¾ ӆ < Êà º Ä »ô  Çô  Ç  â Ä º\   H Û ¼º ú ˜  _ " t o — : r õ  ^  ¦ Ï þ

˜f . Ë _  ” > r F › ¸| õ  î ß –& ñ › ¸| `  ¦ % 3 `  ¦ à º e ” 6 £ § s  · ú ˜ 9& ’ 



 [8]. Õ ª  X < & h   H& h  AdS r / B N ç ß –\ " f  H | 9 | ¾ ӆ < Êà º Ä » ô

 Ç{ 9  € 9 כ ¹ \ O “ ¦, d ” t # Q : £ ¤Z > ô  Ç Â Ò1 p xd ” `  ¦ ë ß –7 á ¤ €   Û ¼ º

ú

˜  © œs   v “ : r“    â Ä º• ¸ Ó ü t o & h Ü ¼– Ð ë  H ] j \ O   [9, 10]. s   â Ä º > | ¾ ÓJ $ ™" f– РÒ'  ³ ðï  r& h “   ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð % 3 # Qt 



 H \  -t  ³ ð‰ & ³“ É r µ 1 Ïí ß – Ù ¼– Ð Û ¼H { 9 a A  7 HZ O `  ¦ Õ ª@ /– Ð



 H & h 6   x ½ + É Ã º \ O % 3  .

∗

E-mail: [email protected]

‘

: r  7 Hë  H \ " f  H & h   H& h  AdS r / B N ç ß –\ " f | 9 | ¾ ӆ < Êà º µ 1 Ï í

ß –   H  â Ä º\ • ¸ & h 6   x ½ + É Ã º e ” • ¸2 Ÿ ¤ Û ¼H { 9 a A  7 HZ O `  ¦ S X ‰



© œ # Œ Û ¼º ú ˜  _ " t o — : r _  ” > r F › ¸| õ  î ß –& ñ $ í `  ¦  7 H _ ½ + É  כ s

 .

II. – ¥„ Ç  § ŽS ê sU Ž ˜ mÊ Ý Æ U ؎ Ò ÞU ê sX N ËÅ k Ä

Ä

ºÅ Ò © œÃ º Λ\  ¦ ° ú   H   " é ¶ r / B N ç ß –\ " f ×  æ§ 4  © œõ   © œ  ñ



Œ

•6   x   H Û ¼º ú ˜  © œ φ\  ¦ ° ú   H — ¸4 S q  Õ ª| ½ Ót î ß –“ É r L = − √

−g  1

16πG (R + 2Λ) + 1

2 (∂ µ φ) ² + V (φ)  (1) s

 . # Œl " f R“ É r Û ¼º ú ˜  / B GÒ  ¦ s “ ¦ V (φ)  H Û ¼º ú ˜  © œ_ 



© œ  ñ Œ •6   x ( J $ ™[ > s  . ½ ¨+ þ A@ /g A`  ¦ ° ú   H _ " t o — : r \  @ /ô  Ç

&

ñ & h  r / B N ç ß –_  > | ¾ ÓJ $ ™" f  H † ½ Ó © œ ds ² = −e ^−2δ(r) N (r)dt ² + dr ²

N (r) + r ² dΩ ² (2) Ü

¼– Ð × þ ˜½ + É Ã º e ”  . s  Qô  Ç > | ¾ ÓJ $ ™" f\  ¦ ° ú   H r / B N ç ß –“ É r Á º ô

 Ç@ /\ " f δ(r)s  Ä »ô  Çô  Ç ° ú כ\  ] X   H €  " f N(r)s  Ä »ô  Çô  Ç

° ú

כ\  ] X   H €  " f & h   H& h Ü ¼– Ð ¨ î ¨ î ô  Ç r / B N ç ß –, r ² \  q Y V

  H ° ú כÜ ¼– Ð ] X   H €   & h   H& h  AdS r / B N ç ß –s  .



 à º[ þ t`  ¦ Á º " é ¶ Ü ¼– Ð ë ß –[ þ t l  0 A # Œ Û ¼H { 9 a A B > h © œ Ã

º κ\  ¦ • ¸{ 9  “ ¦,

κr → r, κ ⁻¹ φ → φ, κ ⁻⁴ V (φ) → V (φ)

–

Ð F & ñ _   . Õ ª Q€    Õ ª| ½ Ót î ß – (1)`  ¦ " é ¶» ¡ ¤ ™ èô  Ç ³ ð

‰

&

³“ É r | 9 | ¾ ӆ < Êà º m(r)`  ¦ • ¸{ 9  €   L = − ¯ 4π

κ e ^−δ(r)  − m ⁰ (r)

α + r ² {N (r) φ ⁰² 2 + U } 

(3)

-359-

  ) a  . # Œl " f á Ô e ” “ É r r \  @ /ô  Ç p ì  r`  ¦ _ p  “ ¦

N (r) = 1 − m(r)

r + βr ² , U = V (φ) − V (φ ∞ )

α = 8πG

κ ² , β = − κ ² Λ + αV (φ _∞ )

3 (4)

s

 . & h   H › ¸| “ É r β \  _ K    & ñ H † d`  ¦ Å Ò3 l q  . 7 £ ¤ β = 0 s “ ¦ m(r) → O(1)s €   & h   H& h Ü ¼– Ð ¨ î ¨ î ô  Ç r / B N ç ß –, β >

0 s “ ¦ m(r) → O(r ^3− ) s €   & h   H& h  AdS r / B N ç ß –s  .  



" f q 2 Ÿ ¤ Ä ºÅ Ò © œÃ º Λ e ” # Q• ¸ V (φ ∞ ) \  _ K  & h   H& h  Ü

¼– Ð ¨ î ¨ î ô  Ç r / B N ç ß –s  | ¨ c à º e ” 6 £ §`  ¦ Å Ò3 l q  .



Õ ª| ½ Ót î ß – (3)`  ¦ m(r) õ  δ(r)– Ð   ì  r`  ¦ 2 [ €    “   Ã

» “   ~ ½ Ó& ñ d ” 

δ ⁰ (r) = −α r φ ⁰²

2 , m ⁰ (r) = αr ² [N (r) φ ⁰²

2 + U ] (5)

\

 ¦ % 3 “ ¦, φ(r)– Ð   ì  r`  ¦ 2 [ €   φ ⁰⁰ (r) +  N

0 (r)

N (r) − δ ⁰ (r) + 2

r φ ⁰ (r) = 1 N (r)

dU dφ (6)

`

 ¦ % 3   H  . & ñ & h  r / B N ç ß –\ " f  H r ç ß –ý a³ ð t_  Û ¼H { 9 a A



Ä »• ¸ M :ë  H \  δ(r)\  e ” _ _   © œÃ º\  ¦  8½ + É Ã º e ” Ü ¼Ù ¼– Ð δ(0) = 0 Ü ¼– Ð † ½ Ó © œ ‚  × þ ˜½ + É Ã º e ”  . ¢ ¸ô  Ç _ " t o — : r _   â Ä º

"

é

¶& h \ " f  H m(0) = 0 s  . s   z  ´[ þ t`  ¦ s 6   x # Œ  “   Ã

» “   ~ ½ Ó& ñ d ”  (5)\  ¦ & h ì  r €  

δ(r) = −α Z r

0

d˜ r ˜ r φ ⁰²

2 = δ(∞) + α Z ∞

r

d˜ r ˜ r φ ⁰² 2

m(r) = α e ^δ(r) Z r

0

d˜ r e ^{−δ(˜ r)} r ˜ ² [(1 + β ˜ r ² ) φ ⁰² 2 + U ]

\

 ¦ % 3   H  . " î Ñ þ ˜y  δ(r)õ  m(r)“ É r Û ¼º ú ˜  © œë ß –_  # 3 † < Êà º e ”

`  ¦ Å Ò3 l q  .

III. X ì È ¿ R <{  E? 0Ñ ÷ ; c .U  ƒ »”  ô

î

 r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ”  (6)`  ¦ ˜ Ѐ   U (φ)  H Á ºô  Ç@ /\ " f F G @ /& h e ” 

`

 ¦ · ú ˜ à º e ”  .   " f U(φ) → m ² S φ ² /2 + O(φ ³ ) s  . # Œ l

" f m ^S   H Û ¼º ú ˜  © œ_  | 9 | ¾ Ós “ ¦ φ ∞ = 0 Ü ¼– Ð Z  ~ € Œ ¤ .

ë ß

–{ 9  m ² _S ≥ 0 s €   & h   H& h  AdS › ¸| `  ¦ ë ß –7 á ¤   H Û ¼º ú ˜ 



© œ_  & h   H' Ÿ I   H

φ(r) → b

r ⁿ

⁺

+ · · · , n _± = 3 2 ±

s 9 4 + m ² _S

β (7) s

“ ¦, m ² S < 0 s €   φ(r) → a

r ⁿ

⁻

+ · · · + b

r ⁿ

⁺

+ · · · (8) s

 . Û ¼º ú ˜  © œs  q 2 Ÿ ¤  v “ : r s t ë ß – Breitenlohner- Freedman (BF)  Ò1 p xd ”  m ² _S > −9β/4\  ¦ ë ß –7 á ¤ €   AdS r

/ B N ç ß –\ " f  H 6 £ § \  -t \  _ ô  Ç Ô  ¦ î ß –& ñ $ í s  \ O 6 £ §`  ¦ Å Ò3 l q

  [9]. 7 £ ¤  v “ : r \  @ /ô  Ç & h   H' Ÿ I  (8)• ¸ BF  Ò1 p xd ” `  ¦ ë

ß –7 á ¤ €   Ó ü t o & h Ü ¼– Ð  { © œô  Ç  כ s  .

ô

 Ǽ #  | 9 | ¾ ӆ < Êà º m(r)\  @ /ô  Ç ~ ½ Ó& ñ d ”  (5)\  ¦ ˜ Ѐ   ˜ Ð: Ÿ x _  Û

¼º ú ˜  © œ ° ú  s  m ² S ≥ 0“    â Ä º\   H Á ºô  Ç@ /\ " f_  | 9 | ¾ Ó

†

< Êà º_  ° ú כ m(∞)  H Ä »ô  Ç  . Õ ª Q
 & h   H& h  AdS r / B N ç

ß –_  Û ¼º ú ˜  © œs  BF  Ò1 p xd ” `  ¦ ë ß –7 á ¤   H  v “ : r“    â Ä º



 H Û ¼º ú ˜  © œ_  & h   H' Ÿ I  (8)\  ¦ ~ ½ Ó& ñ d ”  (5)\  @ /{ 9  €   m(r) → − β

2 αa ² n ₋ r ³⁻²ⁿ

⁻

+ · · · (9)

\

 ¦ % 3 “ ¦, n − < 3/2 s Ù ¼– Ð m(∞)  H µ 1 Ïí ß –ô  Ç .

Û

¼º ú ˜  © œ_  & h   H' Ÿ I  (7)s # Q" f | 9 | ¾ ӆ < Êà º m(r)s  Á

ºô  Ç@ /\ " f Ä »ô  Ç €   _ " t o — : r _  \  -t   H M 0 = 4π

κα m(∞)

= 4π κ

Z ∞ 0

dr e ^−∆(r) r ² (1 + βr ² ) φ ⁰²

2 + U  (10) s

 . # Œl " f

∆(r) = δ(r) − δ(∞) = α Z ∞

r

d˜ r ˜ r φ ⁰²

2 (11) s

Ù ¼– Ð \  -t  M 0 “ É r Û ¼º ú ˜  © œ\ ë ß – _ ” > r   H # 3 † < Êà ºs 



. Õ ª  X <  Õ ª| ½ Ót î ß – (3)\   “  à » “   ~ ½ Ó& ñ d ”  (5)\  ¦

@

/{ 9  “ ¦ _ " t o — : r \  @ /ô  Ç & h ì  r ½ ¨ç ß –“   r = 0õ  r = ∞\  ¦

“

¦ 9 €   Ä »´ ò  Œ •6   x | ¾ ӓ É r \  -t  M 0 \  f ” ] X  q Y V† < Ê`  ¦ · ú ˜ Ã

º e ”   [3,7].   " f \  -t  M ⁰ \  Û ¼º ú ˜  © œÜ ¼– Ð   ì  r

`

 ¦ 2 [ €   î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ”  (6)s  % 3 # Q”   .

&

h

  H& h  AdS r / B N ç ß –\ " f  H m(∞)  Ä »ô  ǽ + É € 9 כ ¹ \ O 

“

¦, z  ´] j– Ð Û ¼º ú ˜  © œs  BF  Ò1 p xd ” `  ¦ ë ß –7 á ¤   H  v “ : r“  

 â

Ä º | 9 | ¾ ӆ < Êà º m(r)_  & h   H' Ÿ I   H (9) s Ù ¼– Ð Á ºô  Ç@ /\ 

"

f µ 1 Ïí ß –ô  Ç .   " f > | ¾ ÓJ $ ™" f_  & h   H ³ ð‰ & ³ë ß –Ü ¼– Ð % 3 # Q t

  H \  -t  M 0 “ É r Ä »ô  Ç t  · ú § " f Û ¼H { 9 a A  7 HZ O `  ¦ Õ ª

@

/– Ð & h 6   x ½ + É Ã º \ O  . Õ ª Q
 AdS @ /g A\  _ K  ˜ Д > r ÷ &  H K

x 9 ž Ðm î ß – \  -t  M“ É r \  -t  M ⁰ \  & h   H' Ÿ I  (8)`  ¦

° ú

  H Û ¼º ú ˜  © œÜ ¼– Ð “  ô  Ç # Œì  r _  † ½ Ó[ þ t`  ¦  8ô  Ç  כ s “ ¦,    õ

& h Ü ¼– Ð µ 1 Ïí ß –   H † ½ Ó[ þ t“ É r " f– Ð ™ è ÷ &# Q Ä »ô  Çô  Ç ° ú כë ß – z

Œ

™  H   [10].   " f M ^φ \  ¦ M 0 \   8K t   H # Œì  r _  † ½ Ó[ þ t

×

 æ \ " f µ 1 Ïí ß –   H † ½ Ó[ þ t`  ¦ ] jü @ô  Ç  כ s  “ ¦ €  , Ä »ô  Çô  Ç

° ú

כ`  ¦ ° ú   H K x 9 ž Ðm î ß – \  -t  M“ É r

M = M f + M φ (12)

M f = 4π κ

Z ∞ 0

dr h

e ^−∆(r) r ² {(1 + βr ² ) φ ⁰² 2 + U } i

f

s

 . # Œl " f [. . .] ^f   H ì ø Í â r\  @ /ô  Ç & h ì  r \ " f µ 1 Ïí ß – 



 H † ½ Ó[ þ t“ É r ] j     H ³ ðl s  . M ^f   H Û ¼º ú ˜  © œ\ ë ß – _

” > r   H # 3 † < Êà ºs “ ¦, M φ   H & h   H' Ÿ I  (8)\  e ”   H > à º a, · · · , b 1 p x \  _ ” > r   H Ä »ô  Çô  Ç ° ú כe ” `  ¦ l % 3   . \ V\  ¦ [ þ t

€

 , m ² _S = −2β“    â Ä º M ^φ   H 4ab/3 \  q Y Vô  Ç  [11].

IV. ­ Ž³  o  ø v ÚP Ê ] Ø8 ý Ç X Ø< 0 ºü g ÅÊ Ý Ž ˜ mX N ËV R Ë

B

> h  à º λ\  @ /ô  Ç  6 £ § õ  ° ú  “ É r Û ¼º ú ˜  © œ_  Û ¼H { 9 a A



 ¨ 8 Š`  ¦ “ ¦ 9   [2,3]:

φ λ (r) = φ(λr). (13)

#

Œl " f φ ^λ=1 (r)“ É r î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ”  (6)_  K \  K { © œô  Ç .

M _φ   H (8) \  e ”   H Á ºô  Ç@ /\ " f_  > à º° ú כ\  _ ” > r “ ¦ Á ºô  Ç

@

/  H Û ¼H { 9 a A   ¨ 8 Š (13) \  @ / # Œ “ ¦& ñ & h s Ù ¼– Ð M ^φ   H Û

¼H { 9 a A   ¨ 8 Š õ  Á º › ' a  .   " f K x 9 ž Ðm î ß – \  -t  (12) _  B > h  à º — ¸e ”  M _λ \  ¦

M λ = M f,λ + M φ

M _f,λ = 4π κ

Z ∞ 0

dr h

e ^−∆(r) r ² {( 1 λ + βr ²

λ ³ ) φ ⁰² 2 + U

λ ³ } i

f

–

Ð ³ ð‰ & ³½ + É Ã º e ”  .

Û

¼º ú ˜  _ " t o — : r s  ” > r F   9€   dM _λ /dλ| _λ=1 = 0 s # Q  ô

 Ç . 7 £ ¤ Z ∞

0

dr h

e ^−∆(r) r ² {(1 + 3βr ² ) φ ⁰²

2 + 3U } i

f

= 0 (14) ë

ß –{ 9  U (φ) ≥ 0s €   s  d ” “ É r " î Ñ þ ˜y  $ í w n ½ + É Ã º \ O  .  



" f Û ¼º ú ˜  _ " t o — : r s  ” > r F   9€    â > & h  r = 0õ  r =

∞  s \ " f U(φ) < 0“   % ò % i s  ” > r F K   ô  Ç . # Œl " f α = β = 0 s €    – Ð ¨ î ¨ î ô  Ç   " é ¶ r / B N ç ß –\ " f Û ¼º ú ˜  _

"

t o — : r s  ” > r F ½ + É Ã º \ O 6 £ §`  ¦ 7 £ x" î ô  Ç Derrick & ñ o   ) a   [2].  © œ  ñ Œ •6   x ( J $ ™[ >  U (φ) = V (φ) − V (φ _∞ )  H & ñ _ \  _

K  U(φ ∞ ) = 0 s Ù ¼– Ð & h   H& h  AdS r / B N ç ß –\ " f | 9 | ¾ ӆ < Ê Ã

º µ 1 Ïí ß –   H  â Ä º\  ¦ Ÿ í† < Êô  Ç { 9 ì ø Í o  ) a Derrick & ñ o   H



6 £ § õ  ° ú   :  © œ  ñ Œ •6   x ( J $ ™[ >  V (φ) Á ºô  Ç@ /\ " f þ j™ è

° ú

כ`  ¦ t €   Û ¼º ú ˜  _ " t o — : r s  ” > r F ½ + É Ã º \ O  . s  כ `  ¦   Ë

¨– Ð ´ ú ˜ €   V (φ _∞ )   © œ  ñ Œ •6   x ( J $ ™[ > _  þ j™ è° ú כs   



  F G @ /° ú כ\  K { © œ €   Û ¼º ú ˜  _ " t o — : r s  ” > r F ½ + É Ã º e ” 6 £ §

`

 ¦ _ p ô  Ç .

ë

ß –{ 9  î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” _  K  φ λ=1 (r) s  C 0 A/ B N ç ß –\ " f þ j™ è

\

 -t   © œI \  K { © œ €   Õ ª K   H î ß –& ñ ½ + É  כ s   [2,7,12].



 " f d ² M _λ /dλ ² 

 λ=1 ≥ 0 s €   _ " t o — : r“ É r ì ø Í â ~ ½ ӆ ¾ Ó_  | 

×

¼a Ë >\  @ /K  î ß –& ñ ½ + É  כ s  . 7 £ ¤ Z ∞

0

dr h

e ^−∆(r) r ² {(1 + 6βr ² )φ ⁰² + 12U } i

f ≥ 0 (15) Õ

ª  X < ” > r F › ¸|  (14)\  ¦ ~ ½ Ó& ñ d ”  (15)\  @ /{ 9  €   Û ¼º ú ˜  _

"

t o — : r _  î ß –& ñ › ¸| “ É r Z ∞

0

dr h

e ^−∆(r) r ² φ ⁰² i

f ≤ 0 (16)

s

  ) a  . " î Ñ þ ˜y  s   Ò1 p xd ” “ É r $ í w n | ¨ c à º \ O “ ¦,  © œ  ñ Œ •6   x (

J $ ™[ > _  ³ ð‰ & ³õ • ¸ Á º › ' a  .   " f Û ¼º ú ˜  _ " t o — : r“ É r

&

h

  H& h Ü ¼– Ð ¨ î ¨ î ô  Ç r / B N ç ß –s 
 AdS r / B N ç ß –\ " f
 Õ ªo 

“

¦ | 9 | ¾ ӆ < Êà º_  µ 1 Ïí ß – # ŒÂ Òü < Á º › ' a >  † ½ Ó © œ ì ø Í â ~ ½ ӆ ¾ Ó_ 

|

× ¼a Ë >\  @ / # Œ î ß –& ñ t  · ú § .

V. + s Ç Â ] Ø õ m Í ‚ ºÂ ] Ø

6

£

§ _  Ä ºÅ Ò © œÃ º\  ¦ ° ú   H r / B N ç ß –\ " f  H | 9 | ¾ ӆ < Êà º Á ºô  Ç

@

/\ " f µ 1 Ïí ß –½ + É Ã º e ” “ ¦,   " f > | ¾ ÓJ $ ™" f_  & h   H ³ ð‰ & ³ë ß – Ü

¼– Ð % 3 # Qt   H  ^ ‰×  æ§ 4 > _  \  -t • ¸ µ 1 Ïí ß –½ + É Ã º e ”  .

Õ

ª  X < | 9 | ¾ ӆ < Êà º\  ¦ µ 1 Ïí ß – >    H Û ¼º ú ˜  © œ_  & h   H' Ÿ I 



 H 1 l x r \  K x 9 ž Ðm î ß – \  -t \  # Œì  r _  † ½ Ó[ þ t`  ¦  8 > 

“ ¦,   õ & h Ü ¼– Ð K x 9 ž Ðm î ß – \  -t \  ¦ Ä »ô  Ç >  ë ß –Ž  H



.   " f ‘ : r  7 Hë  H \ " f  H | 9 | ¾ ӆ < Êà º Á ºô  Ç@ /\ " f µ 1 Ïí ß –

  H  â Ä º\ • ¸ Û ¼H { 9 a A  7 HZ O `  ¦ & h 6   x ½ + É Ã º e ” • ¸2 Ÿ ¤ Ä »ô  Ç ô

 Ç ° ú כ`  ¦ ° ú   H K x 9 ž Ðm î ß – \  -t \  ¦  6   x % i  .

&

h

  H& h  AdS r / B N ç ß –\ " f  H  © œ  ñ Œ •6   x ( J $ ™[ > _   Ҡ ñ

€

ª œÜ ¼– Ð & ñ K | 9  € 9 כ ¹ \ O Ü ¼Ù ¼– Ð Û ¼º ú ˜  _ " t o — : r s  ” > r F 

½

+ É Ã º e ”  . Õ ª Q
 ” > r F › ¸| õ  î ß –& ñ › ¸| `  ¦ 1 l x r \  “ ¦ 9

€   & h   H& h Ü ¼– Ð ¨ î ¨ î ô  Ç r / B N ç ß –s 
 AdS r / B N ç ß –\ " f
, Õ

ªo “ ¦ | 9 | ¾ ӆ < Êà º_  µ 1 Ïí ß – # ŒÂ Òü < Á º › ' a >  Û ¼º ú ˜  _ " t o 

—

: r“ É r † ½ Ó © œ ì ø Í â ~ ½ ӆ ¾ Ó_  | × ¼a Ë >\  @ / # Œ î ß –& ñ t  · ú §6 £ §

`

 ¦ · ú ˜€ Œ ¤ .

‘

: r  7 Hë  H \ " f  H  7 H _ _  ç ß –¼ # † < Ê`  ¦ 0 A # Œ   " é ¶ r / B N ç

ß –`  ¦ & ñ % i  . Õ ª Q
 e ” _ _  D " é ¶ r / B N ç ß –\ " f Û ¼ º

ú

˜  _ " t o — : r _  î ß –& ñ › ¸| `  ¦ ½ ¨K ˜ Ѐ   (D − 3)

Z ∞ 0

dr h

e ^−∆(r) r ^D−2 φ ⁰² i

f

≤ 0

`

 ¦ % 3   H  .   " f  Œ ™ " é ¶ r / B N ç ß –_  Û ¼º ú ˜  _ " t o — : r“ É r ô  Ç

>

& h Ü ¼– Ð(marginally) î ß –& ñ t ë ß – D > 3 " é ¶ r / B N ç ß –_  Û

¼º ú ˜  _ " t o — : r“ É r — ¸¿ º î ß –& ñ t  · ú §6 £ §`  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

ô

 Ç > h_  Û ¼º ú ˜  © œë ß –`  ¦ ° ú   H — ¸4 S q\ " f # Œ Q > h_  Û ¼º ú ˜



 © œ`  ¦ ° ú   H q ‚  + þ A r Õ ª  — ¸4 S q– Ð  7 H _ \  ¦ S X ‰  © œ½ + É Ã º e ” 

“

¦, Õ ª    : r • ¸ 1 l x{ 9 † < Ê`  ¦ ~ 1 >  · ú ˜ à º e ”  . Õ ª Q
 4 Ÿ ¤ ™ è Û ¼ º

ú

˜  © œ_   â Ä º  H r ç ß –\  _ ” > r   H 0 A © œ_  ” > r F  M :ë  H \  Û

¼º ú ˜  _ " t o — : r _  î ß –& ñ $ í `  ¦ S X ‰& ñ & h Ü ¼– Ѝ  H ´ ú ˜½ + É Ã º \ O “ ¦



© œ  ñ Œ •6   x ( J $ ™[ > _  ³ ð‰ & ³\      \  ¦  כ s  . ¢ ¸ô  Ç & h   H

&

h  AdS r / B N ç ß –\ " f_  Skyrme — ¸4 S qs 
 € ª œ-x 9 Ý ¼ > s t 



© œ — ¸4 S q\ " f• ¸ Ä » ô  Ç Û ¼H { 9 a A  7 HZ O `  ¦  6   x # Œ  ^ ‰

×

 æ§ 4 > _  î ß –& ñ $ í `  ¦  7 H _ ½ + É Ã º e ” `  ¦  כ s   [7,13].

Ä

ºÅ Ò © œÃ º € ª œ_   Ҡ ñ\  ¦ ° ú   H × ¼t '  r / B N ç ß –\ " f_  _ " t o

— : r \  @ /ô  Ç Û ¼H { 9 a A  7 HZ O “ É r  | t ¨ î €  _  ” > r F \  _  K

 7 á §  8 4 Ÿ ¤ ¸ ú š  . s   â Ä º  | t ¨ î €  s  Û ¼H { 9 a A   

¨ 8

Š \  @ / # Œ “ ¦& ñ & h s  ÷ &# Q  Ù ¼– Ð Õ ª   ¨ 8 Š/ B Nd ” `  ¦ φ λ (ρ) = φ(ρ ^λ ), ρ = r

r _h

–

Ð × þ ˜ô  Ç  [3,7,8]. # Œl " f r h   H  | t ¨ î €  _  ì ø Í â s  .

&

h

  H& h  AdS r / B N ç ß –\ " f_  ^  ¦Ï þ ˜f . Ë \  @ /ô  Ç Û ¼H { 9 a A   

¨ 8

Š • ¸  ð ø Ít s  . s   â Ä º   õ & h Ü ¼– Ð % 3 # Qt   H  ^ ‰

×

 æ§ 4 > _  ” > r F › ¸| õ  î ß –& ñ › ¸| “ É r ô  Ç > h_  Û ¼º ú ˜  © œë ß –`  ¦

° ú

  H — ¸4 S q\ " f• ¸  © œ{ © œs  4 Ÿ ¤ ¸ ú š “ ¦,  © œ  ñ Œ •6   x ( J $ ™[ > _ 

³

ð‰ & ³\      Ø Ô . Õ ª Q
 @ / Òì  r _  K   H à ºu K $ 3 & h 

“

  ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð % 3 # Qt Ù ¼– Ð @ /à º& h Ü ¼– Ð 4 Ÿ ¤ ¸ ú šK  ˜ Ðs   H › ¸

|

d ” [ þ t • ¸ à ºu K $ 3 & h Ü ¼– Ѝ  H # Q§ > t  · ú §>  & h 6   x ½ + É Ã º e ” 



.



Õ ª| ½ Ót î ß – (1)– Ð ¬ ¹ ÷ &  H Û ¼º ú ˜  © œ — ¸4 S q“ É r  © œ ç ß – é

ß –ô  Ç + þ AI s  . { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ѝ  H   É r + þ AI _   © œ  ñ Œ •6   x • ¸

“

¦ 9K   ô  Ç . \ V\  ¦ [ þ t€   Û ¼º ú ˜  / B GÒ  ¦ õ   © œ  ñ Œ •6   x   H Rφ ² † ½ ӕ ¸ “ ¦ 9½ + É Ã º e ”   [14]. ¢ ¸ô  Ç Ú Ôê ø ÍÛ ¼-n H  s  : r õ 

° ú

 “ É r Û ¼º ú ˜  © œ`  ¦ ° ú   H — ¸4 S q\ " f  H # QÖ ¼ 1 p x y Œ • á ÔY Ue ” s  Ó

ü

t o & h  á ÔY Ue ” “  t \  ¦ €  $  " î r K   “ ¦ [15], Õ ª á ÔY U e ”

\ " f_  \  -t  ³ ð‰ & ³`  ¦ Û ¼H { 9 a A  7 HZ O \   6   x # Œ  

^

‰×  æ§ 4 > _  î ß –& ñ $ í `  ¦  7 H _  # Œ  ½ + É  כ s  .

P

c p 8 ý ò k >

s

  7 Hë  H“ É r 2007¸  • ¸  © œt @ /† < Ɠ § “ §? / ƒ  ½ ¨q  t " é ¶ \  _

ô  Ç  כ e ” .

Y

c p w Š à U Ø ”  ô

[1] Y. Fujii and K. Maeda, The Scalar-Tensor Theory of Gravitation (Cambridge University Press, Cam-

bridge, England, 2003).

[2] G. H. Derrick, J. Math. Phys. 5, 1252 (1964).

[3] M. Heusler and N. Straumann, Class. Quantum Grav. 9, 2177 (1992).

[4] M. Heusler, J. Math. Phys. 33, 3497 (1992); A. E.

Mayo and J. D. Bekenstein, Phys. Rev. D 54, 5059 (1996).

[5] D. Sudarsky and J. A. Gonz´ alez, Phys. Rev. D 67, 024038 (2003).

[6] T. Torii, K. Maeda and M. Narita, Phys. Rev. D 64, 044007 (2001); U. Nucamendi and M. Salgado, Phys. Rev. D 68, 044026 (2003).

[7] S. W. Kim, J. Lee and D. H. Park, Phys. Lett. B 336, 163 (1994); D. H. Park, J. Kor. Phys. Soc. 27, 377 (1994).

[8] D. H. Park, to appear in Class. Quantum Grav.

[9] P. Breitenlohner and D. Z. Freedman, Ann. Phys.

144, 249 (1982); P. Breitenlohner and D. Z. Freed- man, Phys. Lett. B 115, 197 (1982).

[10] M. Henneaux, C. Mart´ınez, R. Troncoso R and J.

Zanelli, Phys. Rev. D 70, 044034 (2004); A. J. Am- sel and D. Marolf, Phys. Rev. D 74, 064006 (2006);

M. Henneaux, C. Mart´ınez, R. Troncoso R and J.

Zanelli, Ann. Phys. 322, 824 (2007); T. Hertog, Class. Quantum Grav. 24, 141 (2007).

[11] T. Hertog and G. T. Horowitz, JHEP 0407, 073 (2004); T. Hertog and G. T. Horowitz, Phys. Rev.

Lett. 94, 221301 (2005).

[12] O. Brodbeck, M. Heusler M and N. Straumann, Phys. Rev. D 53, 754 (1996).

[13] R. Bartnik and J. McKinnon, Phys. Rev. Lett. 61, 141 (1988); P. Bison, Phys. Rev. Lett. 64, 2844 (1990); J. Bjoraker and Y. Hosotani, Phys. Rev.

Lett. 84, 1853 (2000); E. Radu and D. H. Tchrakian, Phys. Rev. D 73, 024006 (2006); N. Shiiki and N.

Sawado, Phys. Rev. D 71, 104031 (2005).

[14] E. Winstanley, Class. Quantum Grav. 22, 2233 (2005); E. Radu and E. Winstanley, Phys. Rev. D 72, 024017 (2005).

[15] K. Maeda, Phys. Rev. D 39, 3159 (1989); Y. M. Cho and D. H. Park, Gen. Rel. Grav. 23, 741 (1991); Y.

M. Cho, Phys. Rev. Lett. 68, 3133 (1992).

Scaling Arguments and Scalar Solitons

D. H. Park ^∗

Department of Computer and Electronic Physics, Sangji University, Wonju 220-702 (Received 10 March 2008)

Scaling arguments are generalized to gravitating systems with diverging mass function in an asymptotically anti-de Sitter spacetime and are applied to minimally coupled scalar field models with an arbitrary interaction potential. It is shown that although scalar solitons are possibly formed when the interaction potential is not positive definite, they can never be stable under radial perturbations.

PACS numbers: 04.20.-q, 04.40.-b, 04.50.+h

Keywords: Cosmological constant, Scalar field, Soliton

∗

E-mail: [email protected]