An Interpretation of Process Capability Index and Process Performance Index

2 002 , V ol. 13, N o.2 p p . 285～294

A n In t e rpre t at ion o f P ro c e s s Cap abilit y In de x an d P ro c e s s P e rform an c e In de x

H o S o o N am

A b s tra c t

T h e cont r ol ch art is w idely u s ed t ool for m on it orin g of th e pr oces s . T his pap er deals w it h an in t erpret at ion of th e pr oces s capab ilit y in dex (P CI) an d pr oces s p erform an ce in dex (P P I) w h en th e con tr ol ch art is u s ed for m on it orin g of th e pr oces s .

T h e m ain differen ce b et w een t h e P CI an d P P I is h ow w e did estim at e th e pr oces s dev iation . T h e P CI u ses th e w ith in pr oces s v ariat ion an d t h e P P I u ses th e t ot al pr oces s v ariation , w hich is con cept u ally defin ed a s su m of b et w een pr oces s v ariat ion an d w it hin pr oces s v ariat ion .

E a sy in t erpr et ation s of t h e P CI an d P P I for field en g in eer s ar e de scrib ed. A n d s om e n ew appr oach es t o in t erpr et ation of t h e pr oces s capabilit y an d perform an ce in dex m ay b e u seful in early st abilizat ion of n ew proces s .

K ey W or d s a n d P hra s e s : P r oces s S p ecificat ion , P r oces s Dev iat ion , P r oce s s Capabilit y In dex (P CI), P r oces s P erform an ce In dex (P P I)

1 . 서론

현대의 생산시스템은 고객의 다양한 욕구에 부응하기 위하여 전형적인 다품종소량 생산시스템으로 특징지워져 있다고 볼 수 있다. 제품의 경쟁력을 결정짓는 요소로서 품질, 가격, 시간 등을 들 수 있으나 현대의 제품경쟁력은 품질과 시간에 크게 의존한 다고 볼 수 있다. 여기서 시간이란 적시에 고객의 요구를 앞서 반영하는 제품의 안정 적인 출시를 의미하며, 이를 위하여 동시공학적인 설계기법과 DF A 및 DF M A 기법이 중요시 되고 있다. 또한, 품질의 향상을 위하여 설계품질이 더욱 중요시되고 있으며, 이를 효과적으로 달성하기 위하여 DF S S , H OQ, QF D 등의 기법이 널리 사용되고 있 다.

1. 부산시 사상구 주례2동 산69- 1, 동서대학교 정보시스템공학부 산업공학전공 조교수 E - m ail: hsn am419@dongs eo.ac.kr

일반적으로 신제품을 설계하여 이를 생산하기 위한 공정의 설계단계에서 공정규격 (생산자규격)은 소비자규격 (제품규격)의 강화된 형태로 반영되는 것이 일반적이다. 공 정규격에 기초하여 공정을 설계하고, 제품의 양산체제에 들어갈 때 여러 가지 요인을 고려한 시뮬레이션 및 시험생산과정을 거쳤음에도 불구하고 신규공정의 조기 안정화 는 쉽게 달성되지 못하는 측면이 있다.

신규공정의 모니터링과 공정능력을 분석하는 작업은 공정의 조기 안정화를 위하여 대단히 중요한 내용이며, 본 논문에서는 신규공정의 안정화 및 공정의 능력을 해석하 기 위한 모니터링에서 공정능력지수(pr ocess capability index ; P CI)와 공정성과지수 (pr oces s perform an ce in dex ; P P I)를 어떻게 측정하고 활용할 수 있는가에 관한 방법 을 제시하고, 잘못 해석되어질 수 있는 부분에 관한 사례를 들어 합리적이고 효과적 인 공정분석에 대한 기준을 제안하고자 한다.

2 . 공정능력지수와 공정성과지수 2 .1 공정능력지수

일반적으로 공정능력은 양적인 능력(공정용량(proces s capacity ))과 질적인 능력(공 정능력(pr ocess capability ))으로 나눌 수 있다. 양적인 능력이란 설비 또는 인력이 단 위시간에 얼마나 생산할 수 있는가의 측도이며, 질적인 능력은 공정의 관리특성이 설 계된 공정규격을 얼마나 제대로 만족시키면서 운영되는지를 평가하는 측도이다.

공정능력은 관리 및 평가의 대상이 되는 공정이 관리상태(in contr ol)에 있을 때 측 정하는 것이 의미 있으며, 공정능력의 정량화 및 지수화를 위하여 공정규격과 공정산 포 및 공정평균의 추정이 필요하다.

일반적으로 제1세대 공정능력지수 C

는 망목특성인 경우 다음과 같이 규격폭과 공 정특성치의 산포와의 비로서 표현할 수 있다(Jur an (1974), M ont gom ery (1991)).

C

= US L - L S L

6 (2.1)

여기서 USL 과 L SL 은 각각 공정특성에 대한 규격상한과 규격하한을 의미하며, 는 공정산포를 의미한다. 지수 C

는 규격폭과 공정의 산포에만 의존하므로 공정특성 의 평균이탈에 대하여 공정능력을 제대로 평가할 수 없는 단점이 있다. 지수 C

에서 분모를 6 로 정한 것은, 일반적으로 지수(index )는 1 또는 100을 기준으로 정하게 되 는데, 여기서는 특성이 정규분포를 따른다는 가정하에 C

=1(0.27%의 불량률)을 기준 으로 지수화 하였기 때문이다.

한편, 지수 C

에 대한 단점을 보완하여 Kane (1986)는 공정평균의 치우침을 고려하 여 다음과 같은 제2세대 P CI C

를 제안하였다.

C

= US L - L S L

6 ( 1 - k) (2.2)

여기서 k는 공정평균( )이 규격에 대하여 M (목표값 또는 규격중심)으로부터의 상

대적 이탈정도(off t ar getn ess ) 또는 치우침의 정도를 나타내는 값으로 다음과 같이

정의된다.

k = |M - |

( US L - L S L ) / 2 (2.3 ) 지수 C

는 공정평균이 목표값으로부터의 이탈정도에 따라서 선형적으로 감소하며, 공정산포( )가 일정하다면 공정평균(또는 공정평균의 추정값)이 목표값과 일치할 때 가장 커질 수 있으며, 이 때는 C

와 일치하게 된다. 또한, 치우침의 정도를 나타내는 k의 값이 1이상이 되면 공정불량률이 0.5를 넘어서게 되므로 C

를 0으로 정의한다.

지수 C

는 일반적으로 정도의 차이는 있으나 항상 존재하기 마련인 치우침을 반 영하여 공정의 질적인 능력을 가늠하는 측도이기 때문에 널리 사용되며, 이러한 측면 에서 실제 공정능력(actual pr ocess capability )이라 하며, 지수 C

는 k = 0일 경우, 즉 치우침을 보정해 주기만하면 달성될 수 있는 공정능력이라 하여 잠재적인 공정능 력(pot ential pr oces s capability )이라 한다.

한편, 망소특성 및 망대특성에서의 공정능력지수는 각각 C

, C

로 정의되며, 이 들은 다음과 같다.

, C

= US L -

3 C

= - L S L

3 (2.4 )

또한, 일반적으로 다음이 성립한다.

C

= m in ( C

, C

) (2.5 ) 한편, H siang an d T agu chi (1985), Chen , Chen g an d Spirin g (1988)은 평균제곱오차 (M S E )의 개념을 이용한 제2세대 공정능력지수의 다른 형태인 C

을 제안하였는데, 이는 지수 C

에서 공정산포 대신에 M SE를 사용함으로서 공정산포와 공정평균의 치우침을 간접적으로 반영하여 공정능력을 평가하는 것이며 다음과 같이 정의된다.

C

= US L - L S L

6 E ( X - M )

= US L - L S L 6 [

+ ( - M )

]

= C

1

1 + ( - M )

/

(2.6)

여기서 C

C

이 성립하고 치우침이 없으면, 즉 = M이면 C

= C

이 된다.

지금까지 언급한 공정능력의 다양한 측도에서 지수의 산출에는 공정산포를 추정하 여야 하는데, 일반적으로 관리도를 이용하여 공정을 모니터링하고 동시에 공정능력을 분석하는 경우에 공정능력지수의 산출은 를 부분군내의 산포(

)에 기초하여 추정 하게 된다. 공정능력지수는 공정이 통계적으로 관리상태에 있을 때, 부분군간의 산포 를 고려하지 않고 공정고유의 우연변동만을 고려하여 산출한 것이다. 따라서 공정능 력지수는 공정이 관리상태에 있지 않을 때는 공정산포가 과소추정될 가능성이 상당히 크며, 이에 기초한 불량률의 추정은 실제보다 적게 추정되는 경향이 있다.

2 .2 공정성과지수

공정능력은 공정이 관리상태에 있을 때, 공정의 질적인 능력을 나타내는 양으로 정

의하였다. 공정이 관리상태에 있는지를 검토하기 위하여 X - R 또는 X S - 관리도가 널리 사용되며, 여기에서 얻어지는 산포의 측도는 다음과 같이 구할 수 있고, 이는 부 분군내의 변동만 반영하는 것이다.

또는

= R

d

( n )

= S

c

( n ) (2.7 ) 여기서 n은 관리도에서 부분군의 크기를 의미하며, d

( n ) 또는 c

( n )은 정규분포 에서 각각 범위 및 표본표준편차가 공정산포 의 불편추정량(unbiased estim at or )이 되도록 하는 상수로서 부분군의 크기 n에 의존한다. 또한 R 와 S는 각 부분군에서 얻어진 범위와 표준편차들의 평균을 의미한다.

일반적으로 공정을 모니터링할 때 관리도를 사용하고, 이에 기초하여 공정능력지수 를 산출할 경우에 공정산포의 추정은 식 (2.7)과 같이 부분군내의 변동(w ithin sub g r ou p v ariat ion )에 기초한 공정산포의 추정값

이 사용된다. 그러나 부분군간 의 변동이 클 경우에 식 (2.7)의 공정산포 추정량은 실제 공정산포의 측도로서 사용되 기에는 문제가 있다.

일반적으로 합리적인 부분군(ration al subgr oup )의 형성은 군내에서는 특성이 동질 성을 확보하도록 구성하게 된다. 따라서 부분군의 형성이 합리적으로 이루어지고 군 간의 변동이 다소 클 경우에는 식 (2.7)의 산포추정법은 실제 공정산포(actual pr oces s dev iat ion )를 과소추정 (un der estim at e )하는 경향이 있게 된다 (송문섭, 남호수 (2002)).

공정성과지수(Pr oces s P erform an ce Index ; PPI)는 이와 같은 공정산포( )의 추정방 법과 관련하여 부분군내의 변동에 기초한 산포(

)뿐만 아니라, 부분군간의 변동 (부 분군내 평균값들 간의 변동)에 기초한 산포(

)을 포함하는 총변동 (t ot al v ariation )을 이용하여 공정산포를 추정하고, 이에 기초하여 공정의 성능을 진단하는 측도로 사용 되며, 다음과 같이 정의된다.

P

= US L - L S L

6

(2.8 )

여기서

는 개념적으로

+

로 표현할 수 있으며, 편의상 공정성과지수 P

와 P

의 추정값을 혼동이 없는 범위 내에서 동일하게 취급하기로 한다. 또한, 식 (2.8 )에서

의 추정량으로 S를 사용하며, S는 다음과 같이 정의된다.

T

= S = 1 k n

k i = 1

n

j = 1

( x

- x )

(2.9)

한편, 치우침을 고려하여 다음과 같이 공정성과지수를 정의할 수 있으며, 여기서 k 는 식 (2.3)에서 정의된 것과 동일하다.

P

= US L - L S L

6 S ( 1 - k) (2.10)

정의에서 보듯이 공정능력지수와 공정성과지수의 차이점은 공정산포의 추정방법에

있으며, 두 지수 모두 공정의 질적인 능력을 평가하는 측도임에는 차이가 없다. 다만

이들 측도의 결과에 대하여 어떻게 해석하고 실제로 프로세스의 개선을 위하여 어떠

한 방안을 고려하여야 하는가에 대한 한 방안을 제시하고자 한다.

2 .3 공정능력지수와 공정성과지수의 비교 및 해석

공정의 질적인 성능을 평가하는 측도로서 공정능력지수와 공정성과지수를 설명하였 다. 이제 두 측도의 해석과 활용에 관하여 논하고자 한다. 일반적으로 두 지수에 대하 여 다음과 같은 해석을 해 볼 수 있다.

1) 공정이 관리상태에 있을 때 C

와 P

는 비슷한 값을 가지게 된다. : 공정이 통 계적으로 관리상태에 있으면 부분군간의 산포

가 작은 값을 가지게 되며,

는

W

와 큰 차이를 보이지 않게 된다. 따라서 이 경우에는 C

와 P

는 비슷하게 된 다.

2) C

와 P

가 비슷하면서 동시에 충분히 큰 값(분야와 공정특성에 따라 다르지 만 통상 1.0 이상)을 가지게 될 때, 공정은 이상적인 관리상태라고 할 수 있다. : 부분 군의 형성이 합리적으로 이루어져 있고, 부분군내의 변동이 작다면 우연변동이 작음 을 의미하며, 이 경우에 C

는 큰 값을 가질 수 있다. 또한, 부분군간의 변동이 동시 에 작게 관리된다면 4M 요소간의 안정적인 관리가 이루어지고 있음을 의미하며, 이 러한 경우 C

와 P

가 동시에 큰 값을 가질 수 있다.

2) 관리도상에서 C

는 공정평균으로부터 다소 벗어난 점에 대하여 P

보다 덜 민 감하다. : C

는 부분군내의 산포만 고려하기 때문에 부분군내의 데이터가 동질적으 로 공정규격에서 이탈하더라도 공정능력을 산출하는데 반응하지 못하는 단점이 있다.

3 ) C

의 값이 충분히 크지 않고, C

P

이면 부분군간의 변동이 크며 4M 요 소간의 안정화가 이루어지지 않았음을 의미한다. : 예를 들어 C

=1.33이고 P

=0.66 이면 부분군내의 변동은 작으나, 부분군간의 변동, 즉 4M 요소간의 변동이 큼을 의미 한다. 이 경우에는 우연변동에 대한 관찰보다 자재별, 설비별, 작업자별, 공정운영 방 법별로 유의차가 발생하는지를 우선적으로 검토해 볼 필요가 있다. 이 때는 C

보다

P

를 이용하여 공정의 질적인 능력을 평가하는 것이 합리적이다.

4 ) 경우에 따라서 C

P

< 일수도 있다. : 일반적으로

=

+

이므로

>

가 성립한다. 그러나 현실적으로

는 표준편차를 이용하여, 그리고

는 범위 에 기초하여 추정을 하기 때문에

<

인 경우가 발생될 수 있으며, 이 경우에는 C

< P

가 된다. 그러나 P

가 C

보다 심각하게 커지는 경우는 현실적으로 발생 하지 않는다.

5 ) C

가 충분히 큼에도 P

가 작으면 공정품질수준이 낮을 수 있다.

6 ) C

는 단기적(short t erm )인 또는 우연변동에 의한 공정능력을, 그리고 P

는 장기적(long term )인, 4M 요소를 포함하는 전반적인 변동에 의한 공정능력을 나타낸 다.

7 ) C

는 (공정이 관리상태에 있을 때)미래의 공정능력에 대한 측도가 될 수 있다.

그러나 P

는 미래의 공정능력에 대한 측도로 사용하기 곤란하다. : 공정이 관리상태

에 있을 때, C

는 우연변동을 고려하여 결정된다. 공정이 관리상태에 있기만 하면 미래의 공정능력도 C

와 유사하리라 추측이 가능하다. 그러나 P

는 4M 요소를 포 함하는 전체적인 변동에 의하여 측정된다. 미래의 4M 요소간의 변동은 예측의 대상 이 될 수 없는 것이다.

8 ) 공정이 관리상태에 있지 않을 경우 C

또는 C

에 기초한 공정불량률의 추정 은 오차가 클 수 있으며, P

또는 P

에 기초한 불량률의 추정이 보다 나은 정보를 제공한다.

9 ) 공정불량률은

에 기초하여 추정하는 것이 바람직하며, 이는 P

가 공정불량 률에 관한 보다 나은 정보를 제공하는 것과 상통하는 것이다.

10) 일반적으로 신규공정에서는 공정요소들 간에 안정화가 조기에 달성되지 못하는 경우가 많다. 이런 경우에는 공정능력지수보다는 공정성과지수에 의한 공정의 질적인 평가가 합리적인 측도가 될 수 있다.

3 . 공정성능분석 예제

[표 3.1]의 데이터는 정규분포 N ( 0 , 0 . 1

)로부터 5개의 난수를 발생시켜 얻은 데이 터에 N ( 10 , 0 . 1

)에서 발생한 1개의 난수를 더하여 부분군의 크기 5인 부분군을 20 개 생성한 것이다. 여기서 공정규격은 10 .0 0 . 5이라고 가정하고, 목표값 (t ar g et v alu e )은 10 .0으로 한다. 즉, L S L = 9 . 5 , US L = 10 . 5이며, 데이터 모델을 다음과 같 이 표현할 수 있다.

x

= y

+ e

; i = 1 , 2 , , 20, j = 1 , 2 , , 5

여기서 y

N ( 10 . 0 , 0 . 1

) , e

N ( 0 , 0 . 1

)이고 이들은 서로 독립이다.

표의 데이터를 이용하여 관리도를 그려보면 [그림 3.1]과 같다. 그림은 S T A T IS T ICA 6.0의 In du st rial S t atist ics an d S ix S igm a 모듈(ST AT IST ICA S y st em Refer en ce (2002))을 이용하여 6종류의 그래프롤 그려본 것이다. 그림의 왼쪽 위부터 아래로 x , R - 관리도 및 개별 측정치 plot , 그리고 오른쪽 위부터 아래로는 정규확률 그림(norm al probability plot ), 규격과 C

및 P

를 비교한 Capability plot , 그리고 공정특성의 분포와 규격 및 산포와의 관계를 그린 Capability H ist ogr am 으로 구성되어 있다. 참고로 정규분포에 대한 적합도 검정의 결과는 다음과 같고, 데 이터는 정규분포에서의 표본으로 보아도 무방하다고 할 수 있다.

Ch i - S qu a re = 3 .06 4 9 8 , df = 3 (a dju s t e d ), p - v alu e = 0 .3 8 17 1

일반적인 공정분석에서 이들 6개의 그림으로 공정특성의 정규성과 공정평균 및 공

정산포의 관리상태, 각 부분군에서 이상점의 존재유무 등을 일목요연하게 살펴볼 수

있으며, 예에서는 공정평균이 관리상태에 있지 않음을 볼 수 있다. 즉, 5, 6, 10, 14, 15

번째 부분군에서의 공정평균이 관리한계를 벗어남을 알 수 있다. 그러나 이들에 대응

하는 산포관리도에서는 문제가 없음을 알 수 있다. 즉, 5개의 점들은 부분군내에서 동

질적으로 목표값에서 벗어나 있음을 알 수 있다.

< 표 3 .1 > 예제의 공정데이터

< 표 3 .2 > 정규성의 가정하에 공정불량률의 추정

여기서 관리도를 통한 공정능력의 측정에 있어서 유의해야할 내용 중의 하나는 관

리한계를 벗어나는 점이 반드시 부적합으로 판정되는 것은 아니라는 것이다. 일반적

으로 Sh ew hart 형태의 관리도에서 관리한계선(contr ol limit s )은 공정규격(pr ocess

specificat ion s )과는 무관하게 공정산포에 의하여 결정되기 때문이다. 다만 대략적으로

관리한계선이 규격한계(specification lim it s )선보다 안쪽에 위치하는 것이 바람직하며,

반대의 경우에는 대량의 부적합이 발생하게 되고, 관리한계선은 공정에 대한 조기경

보(early w arnin g )기능을 상실하게 된다. 즉, 이 경우에는 관리한계를 이탈하지 않더

라도 공정부적합이 빈번하게 발생할 가능성이 높은 것이다.

한편, 예제에서 공정이 관리상태에 있지 않지만 이를 무시하고 C

및 C

를 계산 해 보면 다음과 같고, 이들은 각각 1.532 및 1.487로 상당히 높은 편이다.

C

= US L - L S L

6

( 1 - k ) = C

( 1 - k)

= 1 .532 ( 1 - 0 . 0295 )

= 1 .487

여기서

은 부분군내의 공정산포의 추정값으로 다음과 같다.

W

= R

d

( 5) = 0 . 1088

이 결과를 공정능력지수 본연의 지표인 불량률의 측도(임태진, 변시섭(2000))로서 C

및 C

를 활용한다면 공정품질수준은 상당히 높은 수준으로 추측할 수 있다. 그 러나 정규성의 가정하에 공정불량률을 추정해 보면 < 표 3.2> 와 같으며, 전체불량률 773 (P P M )은 C

(치우침이 없는 경우) 또는 C

의 값이 대략 1.06일 경우의 값으로 볼 수 있다.

< 표 3 .3 > 공정능력 및 공정성과의 분석결과

(a ) 공정능력분석 (Capability A n aly sis ) (b ) 공정성과분석(P erform an ce A n aly sis )

한편, 공정성과분석 결과를 살펴보면

= 0 . 148이고, 이는 공정능력지수의 산출에 사용된 부분군내 산포의 추정값, 즉 범위를 이용한

= 0 . 1088보다 상당히 큼을 알 수 있다. 여기서 공정성과지수를 구해보면 < 표 3.3> 의 (b )와 같다. 즉,

P

= US L - L S L

6

( 1 - k) = P

( 1 - k)

= 1 . 1263 ( 1 - 0 . 0295 )

= 1 . 093 1

공정성과지수 P

에 기초한 공정불량률의 추정은 정규분포이론에 따른 불량률의

추정과 근사함을 알 수 있다. 즉, 공정이 안정적이지 못할 경우에는 C

에 기초한 공 정능력의 평가는 바람직하지 않은 특성을 가지고 있음을 알 수 있다.

[그림 3 .1] 공정능력 분석을 위한 6 가지 그림

4 . 결론

본 논문에서는 공정의 질적인 능력을 평가하는 측도인 공정능력지수와 공정성과지 수의 활용 및 해석에 대하여 살펴보았다. 특히 신규공정의 해석과 조기 안정화를 위 하여 공정의 실시간 모니터링 및 공정능력분석은 중요한 작업으로 이를 효과적으로 수행할 경우 신규공정의 초기수율을 상당히 높은 수준으로 향상시킬 수 있다.

기본적으로 공정능력지수는 부분군내의 변동을 기준으로 산출하여 4M 요소의 변동

을 안정화 시킨다는 조건하에 미래의 공정능력에 대한 예측지수로서의 활용이 가능하

며, 공정불량률의 추정은 4M 요소간의 변동을 포함하는 전체 변동을 고려하여 추정

하는 것이 합리적이다. 공정성과지수는 전체변동에 대한 공정의 질적인 성능측도로서

안정화되지 않은 신규공정의 성능측도로 활용하는 것이 좋을 것이다.

공정능력지수와 공정성과지수의 특성과 이들의 산출과정, 그리고 해석방법에 대하 여 나름의 제안을 하였는데, 해석부분에 대하여 최근에도 다양한 방법과 논의가 활발 하게 진행되고 있다. 생산현장의 엔지니어들이 가지고 있는 공정지식과 통계적 방법 론의 보다 용이한 접목을 위하여 많은 논의가 필요한 것으로 사료된다.

참고문헌

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[ 2002년 6월 접수, 2002년 10월 채택 ]