7-2 중첩법

7-2 중첩법

한 개 이상의 복수하중이 동시에 작용하는 경우에 생기는 θ, y는 각 하중에 의하여 생기는 θ, y 를 구하여 중첩법(superposition)으로 구할 수 있다. 즉, 보에 작용하는 하중에 대한 각각의 θ, y를 구할 수 있는 하중상태로 분해할 수 있으므로 이 방법이 유용하다.

(1) 외팔보에 두 개의 집중하중이 작용하는 경우

그림 7-4 외팔보의 집중하중의 중첩

D면의 경사각(θ_D)은 P₁에 대한 식 (7-3)과 P₂에 대한 식 (7-7)의 합이다.

1 2

D D D

dy

θ dx θ θ

∴ = = +

2

1 2

1 (2 )

[ ]

2 2

z

P x l x P a EI

= − +

처짐(y_D)도 식 (7-4)와 식 (7-8)의 합이다.

1 2

D D D

y y y

∴ = +

2 2

1 2

1 [ (3 ) (3 )]

6 6

z

P x P a

l x x a

= EI − + −

(2) 단순보에 두 개의 집중하중이 작용하는 경우

그림 7-5과 같은 경우 P₁하중에 의한 θ_E1, y_E1, P₂에 의한 θ_E2, y_E2를 구하여 각각 중첩해 주면 된다.

그림 7-5 중첩하중(집중하중)

1 2

E E E

θ θ θ

∴ = +

2 2 2 2 2 2

1 1 2 2

1 2

( 3 ) ( 3 )

6

6

Pb Pb

l b x l b x

lEI lEI ′

= − − + − −

x′은 필요하면 x′=l-x로 바꾸어 주면 된다.

b₁, b₂는 계산이 편리한 데로 정하면 된다.

2

1 E

E

E

y y

y = +

∴

(3) 단순보의 일부분에 등분포하중이 작용하는 경우

부분적인 등분포하중인 문제는 미소집중하중으로 생각하여 구한 값을 합산하면 된다. 그림 6의 기본형에 적용시켜 P대신 w₀db를 써서 식 (7-11), (7-12)를 사용한다. 이 때 w₀db가 BC사이에서 연속이므로 b 에 관하여 0에서 a까지 적분(중첩)하면 x단면의 θ_E, y_E가 계산된다.

2 2 2

0 0

( )

1 ( 3 )

6

a E

z

w db b

dy l b x

dx EI l

θ = = ∫ ^⋅ − −

2 2 2 2

0

(2 6 )

24

w a l a x

lEI

− −

=

2 2 2

0 0

( )

1 ( )

6

a E

z

w db bx

y l b x

EI l

= ∫ ⋅ − −

2 2 2 2

0

(2 2 )

24

w xa l a x

lEI

− −

=

그림 6 부분적인 분포하중

M_B만이 작용하는 값을 중첩하면 된다.

[예제 7-7] 단순보 AB가 그림 7와 같이 양단에 모멘트 M_A, M_B를

받고 있다. 보의 양단에서의 회전각 θ_A, θ_B 및 중앙에서의 처짐을 구하라.

풀이

(1) M_A만이 작용하는 경우 식 (7-16) 으로부터

(2) M_B만이 작용하는 경우

그림 7 양단의 M이 작용하는 경우

(-는 반시계 방향을 의미)