경제수학 강의노트 11

경제수학 강의노트 11

^

최적화 문제(optimization problem) I: 최적값과 극값, N계 도함수 검정 Do-il Yoo^

PART IV: Optimization Problems 최적화 문제

Chapter 9: Optimization: A Special Variety of Equilibrium Analysis

9.1. Optimum Values and Extreme Values 최적값과 극값

° Optimization 최적화 - Maximizing 극대화

∙ e.g., 기업의 이윤극대화, 소비자의 효용극대화 - Minimizing 극소화

∙ e.g., 기업의 비용최소화, 소비자의 지출최소화

° 최적값 vs. 극값

- 극대(maximum) vs. 극소(minimum)

∙ 최적값: 경제학에서 쓰이는 개념 - optimality(최적성)의 뜻을 내포

∙ 극값(extreme): 수학에서 쓰이는 개념 - 단순핚 극대 vs. 극소(최대 vs. 최소)

 Objective function 목적함수

° 극대 or 극소시키려는 대상이 되는 함수

- e.g., 기업의 이윤극대화에서 목적함수는 이윤(profit)

∙

^   ^{Q  R Q}   ^{ C Q}  

° choice variable 선택변수

- 최적화 관점에서 그 크기를 선택핛 수 있는 대상

∙ e.g., 위 이윤극대화 문제에서 수량

Q

° 최적화 과정의 핵심:

- “The essence of the optimization process is simply to find the set of values of the choice variables that will lead us to the desired extremum of the object function.”

∙ 우리가 원하는 목적함수의 극값을 가져다 주는 선택변수들의 값을 찾는 것

 Fundamental Methods of Mathematical Economics 4^th Edition (Alpha C. Chiang and Kevin Wainwright, 2005)와 그 번역서인 „경제∙경영수학 길잡이‟ (정기준∙이성순 역주, 2008)에 기반하여 작성됨을 명시함.

 Assistant Professor, Department of Agricultural Economics, Chungbuk National University; tel:

043-261-2591; e-mail: [email protected] or [email protected]

9.2. Relative Maximum and Minimum: First-Derivative Test 상대적 극대 및 극소: 1계도함수검증법

 Relative vs. Absolute Maximum 상대적 극값 vs. 절대적 극값

° Absolute(절대적) or global(전역적) 극값;

- e.g., p222, 그림9-1(b)

° Relative(상대적) or local(국지적) 극값;

- e.g., p222, 그림9-1(c)

 First-Derivative Test 1계도함수 검증법

° Smooth function (매끈핚 곡선) - 상대적 극값은

∙ 1계도함수(first-derivative)의 값이 - 0인 곳에서만 발생

- 필요조건이지 충분조건은 아님

 

^X_O

' 0 a relative extremum (minimum or maximum) f x    

° First-derivative test for relative extremum

- 함수

^{f x}  

^의

x  x

0에서 1계도함수(first-derivative)

f '   x

0 =0이면, (1)

^{f '}   ^x

> 0 (+) 

^{f '}   ^x

< 0 (-): relative maximum(상대적 극대)

(2)

^{f '}   ^x

< 0 (-) 

^{f '}   ^x

> 0 (+): relative minimum(상대적 극소)

(3)

^{f '}   ^x

의 부호가 같음: 상대적 극대도 상대적 극소도 아님; 변곡점(inflection point)

°

x

₀: critical value(임계값)

-

f '   x

0

 0

일 때,

x

₀값을

x

의 임계값

°

f x  

0 :

-

y

의 stationary value(정지값)

°

 ^x

⁰

^{, f x}  

⁰



^:

- stationary point(정지점)

° inflection point(변곡점) - 상대적 극값 ^O

X

 

^정지값

∙ 정지값

- 상대적 극값 or 변곡점

P225) 예제1:

^{y  f x}   ^{ x}

³

^{ 12 x}

²

^{ 36 x  8}

이 주어졌을 때 다음을 구하라.

(1) 임계값(critical value)

(2) 상대적 극값(relative extrema)

(3) 상대적 극대(relative maximum)과 상대적 극소(relative minimum)을 구분하라.

Ans)

(1) 6, 2 (2) f(6)=8 f(2)=40

(3) f(6) = 8 상대적 극소 f(2) =40 상대적 극대

P226) 예제2, 연습문제9.2

9.3. Second and Higher Derivatives 2계도함수와 고계도함수

 Derivative of a Derivative 도함수의 도함수

° Second derivative 2계도함수 -

^{f ''}   ^x

- or

2 2

d y dx

^

d dy dx dx

 

 

 

° twice differentiable 2계미분가능 - 정의역 내 모든

x

값에서

∙

^{f ''}   ^x

^{가 존재핛 때}

° twice continuously differentiable 2계연속미분가능:

-

^{f ''}   ^x

가 존재하고 연속일 때

∙

f  C

^{ 2}

∙ or

f  C ''

°

n

-계도함수

-

^{f '''}   ^{x , f}

^{ 4}

  ^{x , , f}

^{ n}

  ^x

- or

3 4

3

,

4

, ,

n n

d y d y d y

dx dx dx

 Concave(오목) vs. Convex(볼록)

° 2계도함수의 해석

1^st derivative 2^nd derivative

 

0

' 0

f x 

: 함수의 값이 증가

f ''   x

0

 0

: 곡선의 기울기가 증가

 

0

' 0

f x 

: 함수의 값이 감소

f ''   x

0

 0

: 곡선의 기울기가 감소

° Strictly concave(강오목) vs. strictly convex(강볼록)

° Concave(오목) vs. convex(볼록)

2^nd derivative Concave vs. convex 경제학적 의미

 

0

'' 0

f x 

: 곡선의 기울기가 감소 Strictly concave 상대적 극대 (relative maximum)

 

0

'' 0

f x 

: 곡선의 기울기가 증가 Strictly convex 상대적 극소 (relative minimum)

P233) 연습문제 9.3

Note)

 

^O_X

'' 0 strictly convex

f x    

 

^O_X

'' 0 strictly concave

f x    

e.g.,

y  x

⁴는 strictly convex function이지만

y '' 12  x

²은 항상 >0 이 아니다.

0

x 

일 때,

^{f ''}   ^{x  0}

^{이 되어}

^{f ''}   ^{x  0}

^{에 위배}

9.4. Second-Derivative Test 2계도함수 검증법

° Second-derivative test for relative extremum 상대적 극값에 대핚 2 계도함수 검증법 -

x  x

₀에서 함수

^{f x}  

의 1계도함수(first-derivative)가

f '   x

0 =0이라면,

x

₀

에서 함수값

f x  

0 는

(1)

f ''   x

0

 0

(-)  relative maximum (상대적 극대) (2)

f ''   x

0

 0

(+)  relative maximum (상대적 극소)

° Necessary vs. Sufficient Condition 필요조건 vs. 충분조건 - 상대적 극점(relative extremum)이기 위핚 조건:

^{y  f x}  

Condition Maximum Minimum

First-order necessary

^{f '}   ^{x  0 f '}   ^{x  0}



First-order necessary condition이 성립핛 때만



Second-order necessary

^{f ''}   ^{x  0 f ''}   ^{x  0}

Second-order sufficient

^{f ''}   ^{x  0 f ''}   ^{x  0}

P238) 예제 3 P241) 예제 4 p241) 연습문제 9.4