게임의 표시

게임의 표시

제2강

게임의 4요소

• 경기자(Player)

• 경기규칙(Rule of the Game)

• 경기결과(Outcome)

• 보수(Payoff)

동전맞추기게임1

예 : 동전맞추기게임1

• 두 명의 경기자 (경기자 1,2) 가 동시에 동 전 하나를 바닥에 놓아 동전의 앞면 또는 뒷면을 보여주어 같은 종류가 나오면 경기 자1이 2에게 1달러를 주고, 서로 다른 종 류가 나오면 경기자2가 1에게 1달러를 준 다. (Mas-Colell, Whinston and Green,

1995)

• 연습1 : 위 게임의 4요소는?

• 경기자 : 1,2

• 경기규칙 : 동시에 동전을 낸다

• 경기결과 : HH, HT, TH, TT

• 보수 : (1,-1), (-1,1)

게임의 구분

• 게임은 크게 교대행동게임과 동시진행게 임으로 구분된다.

확장형 게임

• 경기자들이 교대로 선택을 하는 게임을 표 시

• 나무에서처럼 가지가 좌우로 확장해서 퍼 져나가는 형태를 띠기 때문에 확장형 게임 이라고 부른다.

게임나무

• 뿌리root : 처음의 의사결정

• 마디node : 의사결정, 뿌리와 끝을 포함

• 가지branch : 마디에서 할 수 있는 선택 혹은 행동 (대안)

• 끝terminal node : 게임이 종료. 결과를 표시

예 : 동전맞추기게임2

• 경기자1이 먼저 동전을 바닥에 놓아 앞면 또는 뒷면을 보여준다. 경기자2는 이것을 확인한 후 동전을 바닥에 놓아 앞면 또는 뒷면을 보여준다. 같은 면이 나오면 경기 자1은 2에게 1달러를 건네며, 다른 면이 나오면 경기자2가 1에게 1달러를 건넨다.

(Mas-Colell, Whinston and Green, 1995)

동전 맞추기 게임2

교대행동게임의 다른 예 : 바둑

• 바둑게임을 게임나무로 표시한다면?

• 알파고와 게임나무

정보집합

• 의사결정마디들의 집합으로서 게임의 진행에 의해 그곳에 도달한 경기자는 그것을 서로 구분하지 못 한다.

• 이러한 무지는 게임의 전 단계에서 상대방 경기자 가 취한 선택을 관찰하지 못한 것에 기인한다.

• 점선으로 이루어진 폐곡선으로 표시한다.

• 예 : 동전맞추기게임3

예 : 동전맞추기게임3

• 경기자1이 먼저 동전을 바닥에 내려놓으 나 경기자2는 자신의 동전을 바닥에 내려 놓을 때까지 경기자1이 내려놓은 동전이 앞면인지 뒷면인지를 알지 못한다. 경기자 2가 동전을 바닥에 내려놓고 같은 면이 나 오면 경기자1이 2에게 1달러를 건네고 서 로 다른 면이 나오면 경기자2가 1에게 1달 러를 건넨다. (Mas-Colell, Whinston and Green, 1995)

동전맞추기게임3을 확장형으로

표시하라~

동전맞추기게임3

Think about

• 동전맞추기게임1의 확장형 표시는 동전맞 추기게임3과 동일하다. Why?

Because…

• 경기자2 (혹은 경기자1) 가 선택할 때 경기 자 1 (혹은 경기자2) 이 어떤 선택을 했는 지 모르기 때문이다.

• 따라서, 동전맞추기게임1도 게임3과 동일 한 확장형 게임으로 표시할 수 있다.

전략

• 한 경기자가 모든 가능한 상황에서 어떤 선택을 해 야할지를 지시해주는 비상계획 contingency plan 혹은 결정규칙 decision rule 이다.

• 즉 한 경기자가 다다를 수 있는 모든 정보집합에서 어떤 선택을 해야할지를 지시해주는 행동계획을 말함.

• 여기서 비상계획이라는 표현에 유의할 필요가 있 다. 전략은 설령 실제로 다다르지 않을지도 모르는 정보집합에 대해서도 일정한 선택을 지시하는 행 동계획을 포함하는 것이다.

연습2

• 동전맞추기게임2,3에서 각 경기자의 전략 은 무엇인가?

• 먼저, 각 경기자의 정보집합을 확인해야 한다.

• 게임2 : 경기자1의 정보집합 하나, 경기자2의 정보집합 두개

• Got it?

• How about Game3?

• 경기자1의 정보집합 하나, 경기자2의 정보집 합도 하나 !

• 따라서 게임2에서 경기자1의 전략은 (H,T), 경기자2의 전략은 (HH,HT,TH,TT)

• 또, 게임3에서 경기자1의 전략은 (H,T), 경 기자2의 전략도 (H,T)

전략조합

• 경기자 i의 전략을 이라고 하면, 벡터 을 전략조합이라고 한다.

• 즉, 전략조합이란 모든 경기자들의 실제 취한 전략을 한데 모아놓은 것이다.

• 한 전략조합에 의해 경기진행경로가 만들 어진다.

s

) ,..., ,...,

( s

s

s

s 

벡터

(2,3,4)

전략형 게임

• 동시진행게임을 표시한다.

• 각 전략조합과 그에 따라 경기자들이 종국 적으로 받게 되는 보수조합을 같이 한 자 리에 병렬해서 표현하는 방식을 이른바 전 략형 strategic (혹은 정상형 normative) 게 임이라고 한다.

연습3

동전맞추기게임1을 전략형으로 표시하라 !

동전맞추기게임2를 전략형으로 표시하고 문제점을 지적하라 !

힌트

• 먼저 각 경기자의 전략을 구해야 한다.

• 그러기 위해서는 각 경기자의 정보집합을 확인해야 하는 것은 물론이다.

각 행은 경기자1의 전략을, 각 열은 경기자2의 전략을 각각 나타낸다

전략형 표시는 게임진행의 동학적 경로를 포착하지 못한다.

말하자면 전략형 게임은 확장형 게임을 축약하여 표현한 것이라고 볼 수 있다.

상호변환

• 확장형 게임은 언제나 전략형으로 전환이 가능하다. (전환하는 방법은 이미 설명)

• 그러나 전략형 게임을 확장형 게임으로 전 환하는 것은 불완전하다. 전략형 게임이

유일한 동학적 경로를 만들어내지 못하기 때문이다.

변환

• 게임1의 전략형 게임에 상응하는 확장형 게임은 두 가지이다.

• What are those?

축약된 전략형 게임

• 상대방 경기자의 모든 전략에 대해 동일한 보수를 가져다 주는 전략은 “동일하다

equivalent”고 말한다.

• “동일한” 전략은 하나만 남기고 표시된 전 략형 게임을 축약된 전략형 게임이라고 부 른다.

한 확장형 게임(Fudenberg and

Tirole, 1991)

한 확장형 게임

이 게임의 전략형 표시는?

연습4 (Kreps) : 과점

• 두 기업이 한 상품을 생산하며 서로 경쟁하고 있다. 상품의 생산단가는 5달러이며, 최대생 산량은 500 이다. 상품가격은 두 기업의 총생 산량과 다음의 수요곡선에 의해 결정된다.

P=1,000-2Q (Q는 총생산량)

• 위 과점게임의 확장형 표시와 전략형 표시를 스케치해보라.

• 만약 한 기업이 생산결정을 하기 전에 다른 기업의 생산결정을 알 수 있다면 위 질문의 답이 어떻게 변하게 될까?

...

...

1

0 125 500

2

0 125 500



 



 875 , 61

875 , 61

쿠르노 게임 Cournot

쿠르노 게임의 전략형 표시

0 1

500

0 1 …… 500

...

...

1

0 250 500

2

0 250 500



 



 875 , 61

875 , 61

쉬타겔버그 게임 Stackelberg

Leader

Follower

쉬타겔버그 게임의 전략형 표시

0 1 2

500

0,0 0,1 0,2 …… 500,500

연습4 (Kreps) : 진실게임

• 경기자 1,2와 게임관리자가 있다. 게임관리자가 먼저 동전을 던져 앞면(H) 또는 뒷면(T)이 나온 것을 확인한다. (이때, 앞면 이 나올 확률은 80%라고 한다) 게임관리자는 그 결과를 경기 자1에게 알려준다. 경기자1은 경기자2에게 앞면(H) 또는 뒷면 (T)이 나왔다고 말한다. 경기자2는 경기자1의 말(words)을 바 탕으로 앞면(H) 또는 뒷면(T)이 나왔다고 추측한다. 만약 그 추 측이 맞으면 1달러를 얻고 그렇지 않으면 아무 것도 얻지 못 한다. 경기자1은, 경기자2의 추측이 앞면(H)이면 2달러를, 뒷 면(T)이면 아무 것도 얻지 못한다. 그런데 그 추측이 자신의 말 과 일치하면 추가로 1달러를 얻지만, 다르면 추가되는 것은 없다. 이 모든 규칙은 경기자들의 공통지식(common

knowledge)이다.

• 위 게임을 확장형으로 표시하라.

• 표시한 확장형 게임을 전략형으로 표시하라.

경기자1이 스스로 동전을 던져

이를 확인하고 말하는 경우

전략적으로 달라진 것은 무엇인가?

관리자 H 0.8 T 0.2

1 1

H T H T

2



 





??

??

H T H T H T H T



 





??

?? …….

??

정보집합기대치

관리자 H 0.8 T 0.2

1 1

H T H T

2



 



 0

8 . 0

H T H T H T H T



 



 4 . 2

8 .

0 



 



 6 . 1

8 .

0 …….

전략형 표시

0.8, 2.4 ?? ?? ??

?? ?? 0.8, 1.6 0.8, 0

H

T

HH HT TH TT

참고문헌

• Fudenberg and Tirole, Game Theory, 1991, MIT Press

• Kreps, A Course in Microeconomic Theory, 1990.