복합재료의 파괴기준
Failure Criteria of Composite Materials
손병직( Byung-Jik Son) 정회원｜건양대학교｜부교수｜[email protected]
1. 서 론
복합재료의 우수한 장점으로 인해 산업분야에서 복합재료의 사용이 계속해서 증대되고 있다. 항공 우주, 기계, 스포츠 분야 등에는 물론, 최근에는 건 설분야에서도 연구 및 적용이 활발하게 진행되고 있다. 이처럼 복합재료의 사용이 증대되면서 대두 되는 문제점은 복합재료로 구성된 교량 및 각종 구조물의 안전성을 정확하게 검토하는 것이다. 복 합재료의 파괴이론은 복합재료의 특성 때문에 매우 복잡하고 어렵다.
복합재료의 파괴기준에 대한 주제는 최근 30∼
40년 사이 많은 연구자에 의해서 연구되어져 왔다1
∼9). 많은 연구를 통해서 수많은 이론들이 있지만, 일반적으로 통용되는 파괴기준이 없다는 것이다.
Fig. 1은 1996년에 AIAA(American Institute of Aeronautics and Astronautics)에서 조사한 복합재료 파괴기준의 사용현황을 나타낸 것이다1). Maximum Strain 기준이 30%, Maximum Stress 기준이 22%, Tsai-Hill 기준이 17%, Tsai-Wu 기준이 12% 사용
다. Fig. 1은 비록 15년전의 조사이지만, 현재도 비 슷하게 파괴기준을 사용하는 것으로 판단되며, 다 만 보다 진일보한 Hashin 및 Puck의 파괴기준의 사용이 늘어나고 있다5∼6).
복합재료의 파괴기준은 등방성 재료와 비교해 볼 때, 이론 및 적용이 어렵고, 통용되는 파괴이론 이 없어, 결함 및 취약 부위를 판단하기가 쉽지 않 다. 이에 본 기사에서는 복합재료 파괴기준들을 소 개함으로서, 복합재료의 안전성 검토에 도움을 주 고자 한다. 본 기사에서 소개할 파괴기준은 현재 많이 사용되고 있는 Maximum Stress, Maximum Strain, Tsai-Hill, Tsai-Wu, Hashin1∼2) 파괴기준이다.
Fig. 1 Results of AIAA composites failure criteria survey1)
2. 파괴기준
본 기사의 목적이 복합재료 파괴기준의 이해를 돕기 위한 것이기 때문에 평면응력상태(2-D)로 가정하여 기 술하고자 한다. 평면응력 상태에서 재료의 강도는 Table 1과 같다. 또한, 파괴모드는 Table 2와 같이 정의될 수 있다. 모드1은 섬유(fiber) 파괴모드를, 모드2, 3은 모재 (matrix)의 파괴모드를 나타낸다.
파괴기준을 3가지 그룹 즉, 한계기준(Limit Criteria), 상호기준(Interactive Criteria), 분리모드기준(Separate Mode Criteria)으로 분류하여 설명하기로 한다.
Symbols Description
and tensile and compressive strengths, respectively, in fiber direction (1-axis)
and
tensile and compressive strengths, respectively, in transverse direction (perpendicular to fibers, 2-axis)
shear strength
*For a strain based analysis, the corresponding failure strains are and
Table 1. The material strength in a composite system
Mode Description
Mode 1 Fiber Breakage : longitudinal stress() or longitudinal strain() dominates lamina failure
Mode 2
Transverse Matrix Cracking : transverse stress() or transverse strain() dominates lamina failure
Mode 3 Shear Matrix Cracking : shear stress() or shear strain() dominates lamina failure
Table 2. Modes of failure in 2-D criteria
2.1 한계기준(Limit Criteria)
이 기준은 응력 (또는 변형률 ) 과 대응되는 강도를 비교함으로서 파괴강도 및 파괴 모드를 결정하는 방법이다. Table 3과 같이 Maximum Stress와 Maximum Strain 기준이 있으며, 응력 또는
변형률 사이의 상호작용이 고려되지 않는다.
Maximum Stress Maximum Strain
Fiber (Mode 1)
≧ or
≧
≧ or
≧
Matrix (Mode 2)
≧ o r
≧
≧ or
≧ Shear
(Mode 3)
≧
≧ Characteri
stic
⋅Non-interactive
⋅Failure Mode : O
Table 3. Limit Criteria
Fig. 2는 전형적인 한계기준(Limit Criteria)의 파 괴포락선을 나타낸 것이다. 섬유방향, 모재방향, 전 단의 성분들이 서로 관계가 없음(Non-interactive)을 알 수 있다. Maximum Strain의 파괴포락선은 Maximum Stress의 파괴포락선과 비슷하나, 약간 비스듬하게(skew) 경사져 있다. 이러한 차이는 프 아송비()에 영향이며, 가 클수록 경사가 커지 며 프아송비가 0이면, 2개의 파괴기준은 동일하다.
또한, 보통 복합재료에서 ≫ 이기 때문에, 수 직방향()으로 더욱 경사지게 된다.
복합재료에서 응력과 변형률의 관계는 식(1)로 표현되며, 재료 변형률강도는 식(2)와 같다. 또한, 프아송비 은 식(3)으로부터 구할 수 있다.
,
(1)
(2)
(3)
Fig. 2 A typical Limit Criteria envelope
2.2 상호기준(Interactive Criteria)
이 기준은 하나의 2차식 또는 고차의 다항식을 사용 함으로서 파괴강도를 결정하는 방법이다. Tsai and Wu 가 제안한 일반적인 2차 다항식의 형태는 식(4)와 같고 전단응력의 부호를 무시하고( ), 2-D 기준으로 한정하면 식(5)와 같다.
≧ ⋯
( , , ) (4)
≧ (5)
식(5)에서 파라미터 , 의 변화에 의해, Tsai-Hill, Tsai-Wu, Azzi-Tsai, Hoffman, Chamis 등 많은 이론들이 만들어진다. 대표적인 Tsai-Hill, Tsai-Wu 기준이 Table 4와 같으며, 식(5)와 같이 하나의 식으로 표현되기 때문에 파괴모드를 예측할 수 없다. 다만, 응력과 강도의 비를 비교함으로서 간접적으로 파괴모드를 예측할 수는 있다. Table 4 를 참조하여, Tsai-Hill, Tsai-Wu 기준을 정리하면 각각 식(6), (7)과 같다.
≧ (6)
≧ (7)
Tsai-Hill Tsai-Wu
*
**
***
Characteri stic
⋅Interactive
⋅Failure Mode : △ (Indirectly)
Table 4. Interactive Criteria
* if , if
** if , if
*** if , if
Fig. 3은 전단응력 가 0일 때, 전형적인 상호 기준(Interactive Criteria)의 파괴포락선을 나타낸 것 이다. 이차원적인 응력 상호작용을 허용하기 때문 에 파괴포락선은 곡선형태로 나타난다. Tsai-Wu는 선형적인 항( )을 포함하지만 Tsai-Hill을 오직 이차항만을 포함하기 때문에, 곡선의 형태가 다르 다. Tsai-Hill은 찌그러진 달걀모양이며, Tsai-Wu는 비스듬한 타원모양을 나타낸다.
Fig. 4는 일 때를 도시한 것이다.
Tsai-Hill은 의 영향이 거의 없는 반면, Tsai-Wu 는 의 영향이 매우 크다는 것을 알 수 있다.
Fig. 3 A typical Interactive Criteria envelope
Fig. 4 A typical Interactive Criteria envelope for
2.3 분리모드기준(Separate Mode Criteria)
이 기준은 모재(matrix) 파괴기준을 섬유(fiber) 파괴기준으로부터 분리하여 생각하자는 기준이다.
즉, 한계기준(Limit Criteria)과 상호기준(Interactive Criteria)를 통합한 진일보한 기준이다. Hashin-Rotem, Hashin, Puck 등 다양한 이론들이 있지만, 본 기사 에는 Table 5와 같이 Hashin-Rotem과 Hashin 이론 만 소개하기로 한다.
Hashin-Rotem과 Hashin의 전형적인 파괴포락선 은 전단응력이 없을 경우( ), Maximum Stress의 파괴포락선과 동일함을 알 수 있다.
Hashin-Rotem Hashin
Fiber (Mode 1)
≧ or
≧
≧ or
≧ Matrix
(Mode 2)
≧ *
≧ *
Characteris tic
⋅Interactive
⋅Failure Mode : O
Table 5. Separate Mode Criteria
* if , if
3. 파괴기준의 비교
본 장에서는 수치예제를 통해서, 5개의 기준 (Maximum Stress, Maximum Strain, Tsai-Hill, Tsai-Wu, Hashin)을 비교⋅고찰하고자 한다. 재료의 물성치는 Table 6과 같이 Carbon/Epoxy 복합재료 로 선정하였다.
130.0 GPa 1200 MPa
10.0 GPa 1000 MPa
5.0 GPa 60 MPa
0.35 200 MPa
95 MPa
Table 6. Material properties for Carbon/Epoxy laminate
3.1 vs
Table 7은 평면에서 파괴기준을 비교한 것이며, 범례(legend)는 대표적으로 하나만 나타내 었다. 일 때, 5개의 기준은 모두 파괴강도점 ( )을 지난다. Maximum Stress와
Maximum Strain은 에 관계없이 일정하며, 두 기준은 비슷하나 Maximum Strain이 프아송비의 영 향 때문에 비스듬하게(skew) 경사져있다. 비스듬하 게 경사된 크기는 축으로 , 축으로
이다.
Tsai-Hill, Tsai-Wu, Hashin의 파괴포락선은 와 상호작용의 영향으로 가 커질수록 작아짐을 알 수 있으며, Tsai-Hill은 Hashin의 , , 축에 접하는 곡선임을 알 수 있다. 또한, Tsai-Wu 는 전단응력이 파괴강도에 도달할 때( ±), 어느 정도의 , 에 저항함을 알 수 있다
3.2 vs
Table 8, 9는 평면에서 파괴기준을 비교 한 것이며, Table 8은 가 인장일 때의 변화를, Table 9는 가 압축일 때의 변화를 나타낸 것이 다. 일 때, 5개의 기준은 모두 파괴강도점 ( )을 지난다.
일 때, Maximum Stress와 Maximum Strain은 정확히 일치하며, 의 압축측에는 Hashin 과도 일치한다. 또한, 일 때, 의 인장측에 는 Tsai-Hill과 Hashin이 일치한다.
가 증가할 때, Maximum Stress는 변화가 없으 며, Maximum Strain은 프아송비의 영향으로 의 부호에 따라 축 좌우로 만큼 이동한다. 또 한, 가 증가할 때, Tsai-Hill과 Hashin은 의 부 호에 관계없이 감소하지만, Tsai-Wu는 가 인장 일 때는 감소하지만, 압축일 때는 오히려 증가하다 가 감소하는 다소 불안정한 거동을 나타낸다. 심지 어 Tsai-Wu는 가 재료의 파괴상태에 도달할 때 ( ), 평면에서 파괴에 대하여 상 당한 여유를 가지는 것으로 나타났다.
3.3 vs
Table 10, 11은 평면에서 파괴기준을 비 교한 것이며, Table 10은 이 인장일 때의 변화 를, Table 11은 이 압축일 때의 변화를 나타낸 것이다. 일 때, 5개의 기준은 모두 파괴강도 점( )을 지난다.
일 때, Maximum Stress와 Maximum Strain은 정확히 일치하며, Tsai-Hill과 Hashin도 정 확하게 일치한다.
이 증가할 때, Maximum Stress는 변화가 없으 며, Maximum Strain은 프아송비의 영향으로 의 부호에 따라 축 좌우로 만큼 이동한다. 또 한, 이 증가할 때, Tsai-Hill은 의 부호에 관계 없이 감소하지만, Tsai-Wu와 Hashin은 이 인장일 때만 감소한다. 이 압축일 때, 이 증가함에 따 라 Hashin은 일정하며, Tsai-Wu는 파괴기준이 오히 려 증가하다가 감소하는 다소 불안정한 거동을 나 타낸다. 심지어 Tsai-Wu는 이 재료의 파괴상태에 도달할 때( ), 평면에서 파괴에 대 하여 상당한 여유를 가지는 것으로 나타났다.
±
±
±
Table 7. Comparison of lamina failure criteria under biaxial stress
Table 8. Comparison of lamina failure criteria under biaxial stress for tension
Table 9. Comparison of lamina failure criteria under biaxial stress for compression
Table 10. Comparison of lamina failure criteria under biaxial stress for tension
Table 11. Comparison of lamina failure criteria under biaxial stress for compression
4. 결 론
평면응력 상태에서의 복합재료 파괴기준에 대해 서 살펴보았다. 현재 많이 사용되고 있는 5개의 파
괴기준의 개요 및 실제재료에 대한 예제를 통해 파괴기준을 개략적으로 소개를 하였다.
복합재료의 파괴기준을 크게 3가지 즉, 한계기준 (Limit Criteria), 상호기준(Interactive Criteria), 분리 모드기준(Separate Mode Criteria)로 구분할 수 있으
며, 각각 장단점을 가지고 있다. 가장 손쉽게 적응 할 수 있는 파괴이론은 한계기준인 Maximum Stress와 Maximum Strain이지만, 한계기준의 단점 으로는 각각 응력들의 상호관계를 고려할 수 없다 는 데 있으며, 보수적인 기준이다.
상호기준은 각각 응력들의 상호관계를 고려할 수는 있지만, 파괴기준식이 하나의 식으로 표현되 기 때문에 파괴모드를 직접적으로 예측할 수 없다 는 단점이 있다. 또한, Tsai-Wu는 평면에서
가 압축일 때와 평면에서 이 압축일 때는 다소 불안정한 거동을 보이는 것으로 나타났 다. 이에 분리모드기준은 한계기준 및 상호기준의 장점을 살린 기준이다. 즉, 분리모드기준은 파괴모 드를 예측할 수 있으며, 각각 응력들의 상호관계를 고려할 수 있다. 하지만, Hashin 기준 역시 넘어야 될 과제가 많이 있다3∼4). Hashin의 기본 개념을 발 전 및 확립한 Puck 기준이 최근 각광을 받고 있다5
∼6). 이론의 타당성이 검증되고 많은 실험을 통하여 다른 기준보다 그 우수성이 입증되고 있다5∼6). 추 후에 이 Puck 이론에 대해서 소개하고자 한다.
이와 같이 복합재료에 대한 파괴기준은 어렵고 복잡하기 때문에, 실제 선택하기가 쉽지 않다. 복 합재료의 파괴기준은 각 상황을 정확하게 고려하 고, 실험과의 타당성 등을 토대로 합리적으로 선택 을 해야 할 것이다.
참고문헌
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for Fibre-Reinforced Polymer Composites”, DEMEGI, FEUP.
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6. A.S. Kaddour, M.J. Hinton and P.D. Soden (2004) “A comparison of the predictive capabilities of current failure theories for composite laminates: additional contributions”, Composite Science and Technology 64, 449-476.
7. G. Narayana Naik and A.V. Krishna Murty (1999) “A failure mechanism-based approach for design of composite laminates”, Composite Structures 45, 71-80.
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Gopalakrishnan (2005) “A failure mechanism based failure theory for laminated composites including the effect of shear stress”, Composite Structures 69, 219-227.
9. A.C. Orifici, I. Herszberg and R.S. Thomson (2008) “Review of methodologies for composite material modelling incorporating failure”, Composite Structures 86, 194-210.
