예시와 길잡이
▶ 166쪽
이 단원을 학습하면서 다음 중 하나를 선택하여 포트폴리오를 만들어 보자.
수학 독후감 수학 마인드맵 수학 일기
수학 신문 수학 포스터 수학사 보고서
1. 여러 가지 적분법 2. 정적분의 활용
적분법
학습 내용 ■ 치환적분법과 부분적분법 ■ 여러 가지 함수의 부정적분과 정적분
■ 정적분과 급수의 합 사이의 관계 ■ 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이
■ 입체도형의 부피 ■ 속도와 거리
학습 계획
이 단원에서 학습할 내용을 알아보고 나의 학습 계획을 적어 보자.
•예습과 복습을 하겠다.
•수업에 적극적으로 참여하겠다.
•과제를 열심히 하겠다.
‘적분법’ 은 왜 배울까?
어떤 물질의 대략적인 크기(부피)는 컴퓨터로 그 물질의 단면을 여러 방향에서 일정한 간격으로 단층 촬영하여 얻어진 단면의 넓이를 이용하여 구할 수 있다.
이때 단층 촬영하는 간격을 작게 할수록 물질의 크기를 보다 정확히 알 수 있는데, 이는 적분법과 연관이 있다.
적분법은 피라미드나 빗살무늬 토기와 같은 입체도형의 부피를 구하는 데 사용될 뿐만 아니라 곡선의 길이, 넓이 등으로 나타낼 수 있는 다양한 상황의 문제를 해결하는 데 활용된다.
여러 가지 적분법
1
수학 과학
“뜨거운 물과 차가운 물을 냉동실에 동시에 넣었을 때, 어떤 것의 냉각 속도가 더 빠를까?”
뉴턴의 냉각 법칙에 의하면 어떤 물체의 시간에 따른 온도 변화율은 그 물체와 주변 환경 사이의 온도 차에 비례한다. 이때 물체의 온도 변화율은 시간에 대한 지수함수로 나타낼 수 있다. 따라서 지수함수의 적분을 이용하면 시간에 따른 물체의 온도를 알 수 있다.
[참고 자료: 오가미 마사시 외, 임정 옮김, “수학으로 풀어 보는 물리의 법칙”]
“지수함수를 적분하면 어떤 함수가 될까?”
다음 정적분을 구하시오.
⑴/0!`5x$`dx ⑵/-1!x{x$-x}`dx
2
1
다음 부정적분을 구하시오.⑴?x#`dx ⑵?x@{x@-1}`dx
함수 y=xN ( n 은 실수)의 부정적분은 어떻게 구할까?
함수 y=xN (n은 실수)의 부정적분을 구해 보자.
❶ n=-1일 때, 함수 y=xN의 미분으로부터
[ 1n+1xN"!]'=xN이므로 ? xN`dx= 1n+1xN"!+C 이다.
❷ n=-1일 때, 로그함수의 미분으로부터
{ln`|x|)'=1x 이므로 ? 1
x`dx=ln`|x|+C 이다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
두 함수 y=x-4, y=x-3@의 부정적분을 구하려고 한다. 빈칸에 알맞은 것을 추측하 여 써넣으시오. (단, C는 적분상수)
•여러 가지 함수의 부정적분을 구할 수 있다.
여러 가지 함수의 부정적분
함수 y=xN (n은 실수)의 부정적분
❶
n=-1일 때, ? xN`dx= 1n+1xN"!+C
❷
n=-1일 때, ? 1x`dx=ln`|x|+C
F '{x}=f{x}일 때, 함수 F{x}를 f{x}의 부정적 분이라 하고
? f{x}`dx=F{x}+C (단, C는 적분상수) 고등학교 수학 II
[ 13x#]'=x@이므로 ?x@`dx= 13x#+C [- 13x_#]'=x_$이므로 ?x_$`dx=
{3x3!}'=x-3@이므로 ?x-3@`dx=
빈칸에 알맞은 것을 써넣어 보자.
⑴? x_@`dx= 1-2+1x_@"!+C=- 1x+C
⑵? 2x`dx=2? 1x`dx=2 +C
다음 부정적분을 구하시오.
⑴
? x_%`dx⑵
? jxk`dx⑶
? - 1 2x`dx01
⑴ ? 3x$-x+1x@ `dx=?[3x@- 1x+1 x@ ]`dx
=? 3x@`dx-? 1x`dx+? x_@`dx
=x#-ln`|x|-1 x+C
⑵ ? x@-1
jxk `dx=?
{
x2#-x-2!}
`dx=?x2#`dx-?x-2!`dx
=2
5x2%-2x2!+C=2
5x@jxk-2jxk+C
답 ⑴x#-ln`|x|-1
x+C ⑵ 2
5x@jxk-2jxk+C 다음 부정적분을 구하시오.
⑴
? 3x$-x+1x@ `dx
⑵
? x@-1jxk `dx
1
다음 부정적분을 구하시오.
⑴
? x#-3x@+5x# `dx
⑵
? {jxk-1}@jxk `dx
02
지수함수의 부정적분은 어떻게 구할까?
지수함수의 미분으로부터
{eX}'=eX이므로 ? eX`dx=eX+C
{aX}'=aX`ln`a {a>0, a=1}이므로 ? aX`dx= aXln`a+C 이다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
지수함수의 부정적분
❶ ?
eX`dx=eX+C❷ ?
aX`dx= aXln`a+C (단, a>0,a=1)
빈칸에 알맞은 것을 써넣어 보자.
⑴? eX_!`dx=? eX\e_!`dx= 1e ? eX`dx=1
e\eX+C=eX_!+C
⑵? 3@X`dx=? {3@}X`dx=? 9X`dx= 9X +C
다음 부정적분을 구하시오.
⑴
? eX"@`dx⑵
? {2#X-5_X}`dx03
100`!C의 보리차를 온도가 20`!C인 실내에 두었을 때 t분 후 보리차의 온도를 `f{t}`!C라고 하면 보리차의 온도의 변화 율 f '{t}는
f '{t}=-8e-10t
이라고 한다. 이때 10분 후 보리차의 온도를 구하시오.
[참고 자료: 오가미 마사시 외, 임정 옮김, “수학으로 풀어 보는 물리의 법칙”]
04
수학 생활
삼각함수의 부정적분은 어떻게 구할까?
삼각함수의 미분으로부터
{sin`x}'=cos`x이므로 ? cos`x`dx=sin`x+C {cos`x}'=-sin`x이므로 ? sin`x`dx=-cos`x+C {tan`x}'=sec@`x이므로 ? sec@`x`dx=tan`x+C
{sec`x}'=sec`x`tan`x이므로 ? sec`x`tan`x`dx=sec`x+C 이다.
같은 방법으로 삼각함수의 부정적분을 구하면 다음과 같다.
삼각함수의 부정적분
❶
?sin`x`dx=-cos`x+C❷
?cos`x`dx=sin`x+C❸
?sec@`x`dx=tan`x+C❹
?csc@`x`dx=-cot`x+C❺
?sec`x`tan`x`dx=sec`x+C❻
?csc`x`cot`x`dx=-csc`x+C빈칸에 알맞은 것을 써넣어 보자.
⑴?{2`sin`x-cos`x}`dx=2?sin`x`dx-?cos`x`dx
=-2`cos`x-sin`x+C
⑵?sec`x{sec`x-2`tan`x}`dx=?sec@`x`dx-2?sec`x`tan`x`dx
= - +C
다음 부정적분을 구하시오.
⑴
?{3`cos`x-2`sin`x}`dx`⑵
? 2+cos`x sin@`x `dx05
삼각함수의 부정적분을 구할 때는 주어진 삼각함수를 적분하기 쉬운 형태로 변형한 다음 적분한다.
⑴? cos@`x1-sin`x`dx=? 1-sin@`x1-sin`x`dx
=? {1+sin`x}{1-sin`x}
1-sin`x `dx
=? {1+sin`x}`dx
=x-cos`x+C
⑵sin@`x+cos@`x=1의 양변을 cos@`x로 나누면 tan@`x+1=sec@`x
따라서
? tan@`x`dx=?{sec@`x-1}`dx
=tan`x-x+C
답 ⑴x-cos`x+C ⑵tan`x-x+C 다음 부정적분을 구하시오.
⑴
? cos@`x1-sin`x`dx⑵
? tan@`x`dx2
다음 부정적분을 구하시오.
⑴
? sin@`x1+cos`x`dx⑵
? cot@`x`dx07
시간 t에 따른 가정용 교류 전압을 f{t}`V라고 할 때, 교류 전압 의 변화율 f '{t}는
f '{t}=-220j2 k`sin`t 라고 한다. t=p
4 일 때, 교류 전압을 구하시오. [단, f [p 2 ]=0]
[참고 자료: J. Walker 외, “Principles of Physics”]
06
수학 생활
치환적분법이란 무엇일까?
위의 개념 열기에서 d
dx f{ g{x}}= d
dx{2x+3}!)=20{2x+3}(이므로
?{2x+3}(`dx= 120{2x+3}!)+C임을 추측할 수 있다.
일반적으로 합성함수를 적분할 때는 적분하려는 함수의 식의 일부를 새로운 변수로 바꾸어 놓고 적분하면 편리하다.
함수 f{x}의 한 부정적분을 F{x}라 하고, 미분가능한 함수 g{t}에 대하여 x=g{t}로 놓으면
F{x}=F{ g{t}}
이다.
이때 F{x}를 t에 대하여 미분하면 d
dt F{x}= d
dx F{x}\dx
dt=f{x}g '{t}=f{ g{t}}g '{t}
이므로
F{x}+C=? f{ g{t}}g '{t}`dt
이다. 이때 F{x}+C=? f{x}`dx이므로 다음이 성립한다.
? f{x}`dx=? f{ g{t}}g '{t}`dt
이와 같이 한 변수를 다른 변수로 바꾸어 적분하는 방법을 치환적분법이라고 한다.
미분가능한 두 함수 y=f{u}, u=g{x}에 대 하여
dy dx=dy
du\du dx
두 함수 f{x}=x!), g{x}=2x+3에 대하여 다음 물음에 답하시오.
1
합성함수의 미분법을 이용하여 ddx`f{ g{x}}를 구하시오.
2 1
의 결과를 이용하여 부정적분 ?{2x+3}(`dx를 추측하시오.•치환적분법을 이해하고, 이를 활용할 수 있다.
치환적분법
이상을 정리하면 다음과 같다.
치환적분법
미분가능한 함수 g{t}에 대하여 x=g{t}로 놓으면 ?f{x}`dx=?f{g{t}}g'{t}`dt
⑴4x+5=t, 즉 x=t-5
4 로 놓으면 dx dt=1
4이므로 ? j4x+5l`dx=?jt`\ 14`dt=1
4?t2!`dt
=1
6t2#+C=1 6tjt+C
=1
6{4x+5}j4x+5l+C
⑵3x-1=t, 즉 x=t+1
3 로 놓으면 dx dt=1
3이므로 ? sin`{3x-1}`dx=?sin`t\1
3`dt=1
3?sin`t`dt
=-1
3`cos`t+C=-1
3`cos`{3x-1}+C
답 ⑴ 1
6{4x+5}j4x+5l+C ⑵-1
3`cos`{3x-1}+C 다음 부정적분을 구하시오.
⑴
? j4x+5l`dx⑵
? sin`{3x-1}`dx1
다음 부정적분을 구하시오.
⑴
? {4-2x}&`dx⑵
? 1 j2x+9l`dx⑶
? e#X"^`dx⑷
? cos`{2-8x}`dx01
? f{ g{x}}g '{x}`dx 꼴의 부정적분에서 t=g{x}로 놓으면 dt
dx=g '{x}이 므로 치환적분법에 따라 다음이 성립한다.
? f{ g{x}}g '{x}`dx=? f{t}`dt
⑴ t=x@으로 놓으면 dt
dx=2x이므로 ? xex@`dx=1
2?ex@\2x`dx=1
2?eT`dt=1
2eT+C=1 2ex@+C
⑵ t=cos`x로 놓으면 dt
dx=-sin`x이므로 ? cos#`x`sin`x`dx=-?t#`dt=-1
4t$+C=-1
4`cos$`x+C
답 ⑴ 1
2ex@+C ⑵ -1
4`cos$`x+C 다음 부정적분을 구하시오.
⑴
? xex@`dx⑵
? cos#`x`sin`x`dx2
다음 부정적분을 구하시오.
⑴
? 2x{x@+3}@`dx
⑵
? {ln`x}@x `dx02
수학 기르기
함수 f{x}의 한 부정적분을 F{x}라고 할 때, 부정적분 ? f{ax+b}`dx를 함수 F를 사용하여 나타내 보자. (단, a=0, a, b는 상수)
1
함수 F{ax+b}의 미분을 이용하여 부정적분 ?f{ax+b}`dx를 추측해 보자.2
치환적분법을 이용하여 부정적분 ?f{ax+b}`dx를 구하고,1
의 결과와 비교해 보자.추론
추론할 때는
자신의 지식과 경험을 바탕으로 논리적으로 수학 적 추측을 이끌어 낸다.
? f '{x}
f{x} `dx 꼴의 부정적분은 어떻게 구할까?
치환적분법을 이용하여 ? f '{x}
f{x}`dx 꼴의 부정적분을 구해 보자.
t= f{x}로 놓으면 dtdx=f '{x}이므로
? f '{x}
f{x}`dx =? 1
f{x}\ f '{x}`dx
=? 1t`dt
=ln`|t|+C
=ln`| f{x}|+C 이다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
? f '{x}
f{x} `dx 꼴의 부정적분 ?f'{x}
f{x} `dx=ln`|f{x}|+C
⑴? 3x@x#+2`dx=? {x#+2}' x#+2 `dx
=ln`|x#+2|+C
⑵? cot`x`dx=? cos`xsin`x`dx
=? {sin`x}' sin`x `dx
=ln`|sin`x|+C
답 ⑴ln`|x#+2|+C ⑵ ln`|sin`x|+C 다음 부정적분을 구하시오.
⑴
? 3x@x#+2`dx
⑵
? cot`x`dx3
다음 부정적분을 구하시오.
⑴
? 2eXeX+3`dx⑵
? 1x`ln`x`dx03
다음 부정적분을 구하시오.
⑴
? x@+3x+2x-1 `dx⑵
? 3x{x+3}`dx
04
일차함수 f{x}와 다항함수 g{x}를 스스로 정하고, 부정적분 ? g{x}
f{x}`dx를 구하시오.
05
⑴ 2x@+4x+3
x+2 =2x{x+2}+3
x+2 =2x+ 3
x+2이므로 ? 2x@+4x+3x+2 `dx=?[2x+ 3x+2 ]`dx
=x@+3`ln`|x+2|+C
⑵ 1
x{x+1}=1 x- 1
x+1이므로 ? 1x{x+1}`dx=?[ 1x- 1
x+1 ]`dx
=ln`|x|-ln`|x+1|+C
=ln`| xx+1 |+C
답 ⑴ x@+3`ln`|x+2|+C ⑵ln`| xx+1 |+C 다음 부정적분을 구하시오.
⑴
? 2x@+4x+3x+2 `dx⑵
? 1x{x+1}`dx
4
유리함수를 적분할 때는 그 함수를 간단한 유리함수의 합 또는 차로 나타내 어 적분하면 편리한 경우가 있다.
부분적분법이란 무엇일까?
위의 개념 열기에서 9 f{x}g{x}0'=eX+xeX이므로 양변을 x에 대하여 적분 하면
f{x}g{x}=? eX`dx+? xeX`dx
이다. 즉, ? xeX`dx=f{x}g{x}-? eX`dx에서 f{x}g{x}=xeX이므로
? xeX`dx=xeX-eX+C 이다.
함수의 곱의 미분법을 이용하여 곱의 꼴로 된 함수의 부정적분을 구해 보자.
두 함수 f{x}, g{x}가 미분가능할 때, 함수 f{x}g{x}를 x에 대하여 미분 하면
9 f{x}g{x}0'=f '{x}g{x}+f{x}g '{x}
이고, 이 식의 양변을 x에 대하여 적분하면
f{x}g{x} =?9 f '{x}g{x}+f{x}g '{x}0`dx
=? f '{x}g{x}`dx+? f{x}g '{x}`dx 이므로 다음이 성립한다.
? f{x}g '{x}`dx=f{x}g{x}-? f '{x}g{x}`dx 이와 같이 적분하는 방법을 부분적분법이라고 한다.
두 함수 f{x}=x, g{x}=eX에 대하여 다음 물음에 답하시오.
1
함수의 곱의 미분법을 이용하여 9 f{x}g{x}0'을 구하시오.2 1
의 결과를 이용하여 부정적분 ? xeX`dx를 추측하시오.•부분적분법을 이해하고, 이를 활용할 수 있다.
부분적분법
이상을 정리하면 다음과 같다.
부분적분법
두 함수 f{x},g{x}가 미분가능할 때,
?f{x}g'{x}`dx=f{x}g{x}-?f'{x}g{x}`dx
다음 부정적분을 구하시오.
⑴
?x`cos`x`dx⑵
?ln`x`dx1
⑴ f{x}=x, g'{x}=cos`x로 놓으면 f'{x}=1, g{x}=sin`x이므로 ?x`cos`x`dx=x`sin`x-?sin`x`dx=x`sin`x+cos`x+C
⑵ f{x}=ln`x, g'{x}=1로 놓으면 f'{x}= 1
x, g{x}=x이므로 ?ln`x`dx=x`ln`x-? 1x\x`dx=x`ln`x-? dx
=x`ln`x-x+C
답 ⑴x`sin`x+cos`x+C ⑵ x`ln`x-x+C
다음 부정적분을 구하시오.
⑴
? x`sin`2x`dx⑵
? xe@X`dx01
| 참고 | 부분적분법을 이용할 때, 미분하여 간단해지는 것을 f{x}로, 적분하기 쉬운 것을 g'{x}
로 놓으면 편리하다.
다음 두 가지 방법에서 한 가지를 택하여 부정적분 ? ln`xx `dx를 구하고, 자신의 풀이 방법을 친구에게 설명하시오.
02
부분적분법 치환적분법
부분적분법을 여러 번 적용하여 부정적분을 구해 보자.
부정적분 ?eX`cos`x`dx를 구하시오.
2
f{x}=eX, g'{x}=cos`x로 놓으면 f'{x}=eX, g{x}=sin`x이므로 ?eX`cos`x`dx=eX`sin`x-?eX`sin`x`dx yy`①
?eX`sin`x`dx에 부분적분법을 다시 한 번 적용하자.
u{x}=eX, v'{x}=sin`x로 놓으면 u'{x}=eX, v{x}=-cos`x이므로 ?eX`sin`x`dx=-eX`cos`x+?eX`cos`x`dx yy`②
②를 ①에 대입하여 정리하면
?eX`cos`x`dx=eX`sin`x-[-eX`cos`x+?eX`cos`x`dx]
2?eX`cos`x`dx=eX{sin`x+cos`x}
따라서 ?eX`cos`x`dx= 12eX{sin`x+cos`x}+C 답 1
2eX{sin`x+cos`x}+C
다음 부정적분을 구하시오.
⑴
? eX`sin`x`dx⑵
? x@eX`dx03
수학 기르기 부정적분 ? sin`x`cos`x`dx를 수현이와 재연이가 말한 방법으로 각각 구하고, 그 결과 를 서로 비교해 보자.
문제 해결
문제를 해결할 때는
문제의 조건과 정보를 파악하고 풀이 계획을 세 운다.
f{x}=sin`x, g'{x}=cos`x 로 놓고 구할 거야.
수현
f{x}=cos`x, g'{x}=sin`x 로 놓고 구할 거야.
재연
여러 가지 함수의 정적분은 어떻게 구할까?
닫힌구간 [a, b]에서 연속인 함수 f{x}의 한 부정적분을 F{x}라고 하면 /aB`f{x}`dx={F{x}}aB=F{b}-F{a}
이다.
함수 f{x}=5x$+3에 대하여 정적분 /0@ f{x}`dx를 구하려고 한다. 빈칸에 알맞은 것을 써넣으시오.
•여러 가지 함수의 정적분을 구할 수 있다.
여러 가지 함수의 정적분
빈칸에 알맞은 수를 써넣어 보자.
⑴ 닫힌구간 [0,p]에서 연속인 함수 f{x}=sin`x의 한 부정적분은 F{x}=-cos`x이므로 /0|sin`x`dx={-cos`x}0|=-cos` +cos`0=
⑵ 닫힌구간 [1,2]에서 연속인 함수 f{x}=1
x@의 한 부정적분은 F{x}=-1 x 이므로 /1@ 1
x@`dx={-1 x }1@=
다음 정적분을 구하시오.
⑴
/1E 1x`dx⑵
/0!{eX+e_X}`dx01
? f{x}`dx
=?{5x$+3}`dx
=
/0@ f{x}`dx
=/0@{5x$+3}`dx
={ }0@
= 이제 정적분
/0@f{x}`dx를 구해 볼까?
/aA`f{x}`dx=0 a>b일 때, /aB`f{x}`dx
=-/bA`f{x}`dx 고등학교 수학 II
치환적분법을 이용하여 정적분은 어떻게 구할까?
닫힌구간 [a, b]에서 연속인 함수 f{x}의 한 부정적분을 F{x}라고 하면 /aB`f{x}`dx=F{b}-F{a} yy`
①
이다.
여기서 미분가능한 함수 g{t}에 대하여 x=g{t}로 놓으면 치환적분법에 따라
? f{x}`dx=? f{ g{t}}g '{t}`dt=F{ g{t}}+C
가 성립한다. 이때 g{t}의 도함수 g '{t}가 a=g{a}, b=g{b}일 때, a, b를 포함하는 구간에서 연속이면
/;> f{ g{t}}g '{t}`dt ={F{ g{t}}};>=F{ g{b}}-F{ g{a}}
=F{b}-F{a} yy`
②
이다.따라서
①
,②
에서 다음이 성립한다./aB`f{x}`dx=/;> f{ g{t}}g '{t}`dt
이상을 정리하면 다음과 같다.
치환적분법을 이용한 정적분
닫힌구간 [a, b]에서 연속인 함수 f{x}에 대하여 미분가능한 함수 x=g{t}의 도함 수 g'{t}가 a=g{a}, b=g{b}일 때 a,b를 포함하는 구간에서 연속이면
/aBf{x}`dx=/;>f{g{t}}g'{t}`dt
2x+1=t, 즉 x=t-1
2 로 놓으면 dx
dt=1 2 x=0일 때 t=1, x=4일 때 t=9이므로 /0$ j2x+1l`dx=/1( jt\1
2`dt={ 13tjt }1(= 263 답 26
3 정적분 /0$ j2x+1l`dx를 구하시오.
1
다음 정적분을 구하시오.
⑴
/0!{3x-1}%`dx⑵
/0@3xex@`dx02
x@+a@, x@-a@, a@-x@ ( a는 상수) 꼴을 포함하는 함수의 정적분은 적분변수 를 삼각함수로 치환하여 정적분을 구하는 경우도 있다.
⑴ x=sin`h[-p
2 <h<p
2 ]로 놓으면 dx
dh =cos`h x=0일 때 h=0, x=1
2일 때 h=p 6이므로 /02! 1
11-x@3`dx=/06" 1
11-sin@`h3\cos`h`dh=/06" 1
cos`h\cos`h`dh
=/06"dh={ h }06"=p 6
⑵ x=tan`h[-p
2 <h<p
2 ]로 놓으면 dx
dh =sec@`h x=0일 때 h=0, x=j3k일 때 h=p
3이므로 /0j3 1
x@+1`dx=/03" 1
tan@`h+1\sec@`h`dh=/03" 1
sec@`h\sec@`h`dh
=/03"dh={ h }03"=p 3
답 ⑴ p 6 ⑵ p
3 다음 정적분을 구하시오.
⑴
/02! 111-x@3`dx
⑵
/0j3 1 x@+1`dx2
다음 정적분을 구하시오.
⑴
/0! 11-x@3`dx⑵
/0@ 1 x@+4`dx03
부분적분법을 이용하여 정적분은 어떻게 구할까?
닫힌구간 [a, b]에서 연속인 도함수를 갖는 두 함수 f{x}, g{x}에 대하여 9 f{x}g{x}0'=f '{x}g{x}+f{x}g '{x}
이므로 f{x}g{x}는 f '{x}g{x}+f{x}g '{x}의 한 부정적분이다.
따라서
/aB9 f '{x}g{x}+f{x}g '{x}0`dx={ f{x}g{x}}aB 이므로 다음이 성립한다.
/aB f{x}g '{x}`dx={ f{x}g{x}}aB-/aB f '{x}g{x}`dx
이상을 정리하면 다음과 같다.
부분적분법을 이용한 정적분
닫힌구간 [a,b]에서 연속인 도함수를 갖는 두 함수 f{x},g{x}에 대하여 /aBf{x}g'{x}`dx={`f{x}g{x}}aB-/aBf'{x}g{x}`dx
정적분 /1E 4x`ln`x`dx를 구하시오.
3
f{x}=ln`x, g'{x}=4x로 놓으면 f'{x}=1
x, g{x}=2x@이므로 /1E4x`ln`x`dx={ 2x@`ln`x }1E-/1E2x`dx=2e@-{ x@ }1E
=2e@-{e@-1}=e@+1 답 e@+1
다음 정적분을 구하시오.
⑴
/1E ln`xx@ `dx
⑵
/02"3x`cos`x`dx04
함수 y=xN (n은 실수)의 부정적분
① n=-1일 때, ?xN`dx= 1n+1xN"!+C ② n=-1일 때, ?1
x`dx=ln`|x|+C 지수함수의 부정적분
① ?eX`dx=eX+C ② ?aX`dx= aXln`a+C (단, a>0, a=1) 삼각함수의 부정적분
① ?sin`x`dx=-cos`x+C ② ?cos`x`dx=sin`x+C ③ ?sec@`x`dx=tan`x+C ④ ?csc@`x`dx=-cot`x+C ⑤ ?sec`x`tan`x`dx=sec`x+C
⑥ ?csc`x`cot`x`dx=-csc`x+C 치환적분법과 부분적분법을 이용한 부정적분
① 치환적분법: 미분가능한 함수 g{t}에 대하여 x=g{t}로 놓으면 ?f{x}`dx=?f{g{t}}g'{t}`dt
② 부분적분법: 두 함수 f{x}, g{x}가 미분가능할 때
?f{x}g'{x}`dx=f{x}g{x}-?f'{x}g{x}`dx
다음 정적분을 구하시오.
⑴ /0!e_@X"!`dx ⑵ /06"x`cos`3x`dx
3
다음 부정적분을 구하시오.
⑴ ? j2+3xl`dx ⑵ ?{x+1}eX`dx
2
다음 부정적분과 정적분을 구하시오.
⑴ ? {2jxk-1}@
x `dx
⑵ ?{e#X-3X}`dx
⑶ /4"3"{sec@`x+csc@`x}`dx
1
다음 문장이 참이면 표, 거짓이면 ×표를 하시오.
1
? [- 1x@ ]`dx=1x+C이다.
2
? 2Xln`2`dx=2X+C이다.
4
치환적분법을 이용하면?cos` x2`dx=1 2`sin`x
2+C이다.
3
ddx ?sin`x`dx=-sin`x이다.
III
- 1. 여러 가지 적분법정답과 해설 ▶ 196쪽
모든 실수 x에 대하여 f{x}>0이고 f'{x}
f{x} =-2, f{0}=1 e 일 때, 함수 f{x}를 구하시오.
7
다음 정적분을 구하시오.
⑴ /2#xjx-2l`dx
⑵ /02"cos#`x`dx
8
다음 정적분의 값을 구하시오.
/1@ 2x+1
x@+3x `dx-/1@ 2x-2 x@+3x `dx
9
곡선 y=f{x} 위의 임의의 점 {x, y}에서 접하는 접선의 기울기가 4x%-x+2
x@ 이고, 이 곡선이 점 {1, -5}를 지날 때, 함수 f{x}를 구하시오.
4
다음 부정적분을 구하시오.
⑴ ? e@X 1+e@X`dx
⑵ ? cos`x-sin`x sin`x+cos`x`dx
6
다음 부정적분을 구하시오.
⑴ ? x@
1x#+13`dx
⑵ ? {ln`x}#
x `dx
5
n>2인 자연수 n에 대하여 In=/0!xNeX`dx`
라고 할 때, 10I4+2I5의 값을 구하시오.
14
다음 정적분을 구하시오.
⑴ /0! 1 14-x@3`dx
⑵ /0# 4 x@+9 `dx
10
함수 f{x}에 대하여 f'{x}={4x+1}`ln`x
이고 f{1}=3일 때, f{e}의 값을 구하시오.
11
?e@X`sin`x`dx=e@X{a`sin`x+b`cos`x}+C 가 성립할 때, 상수 a, b의 값을 구하시오.
(단, C는 적분상수)
12
어떤 용수철에 질량이 1`g인 추를 매달아 아래 쪽으로 2`cm만큼 잡아 당겼다 놓으면 추는 지 면과 수직인 방향으로 진동한다. 이때 추를 놓
은 지 t초 후 추의 높이를 f{t}`cm라고 하면 f'{t}=k`sin`2pt`
가 성립한다. 진동하는 추의 최대 높이가 7`cm일 때, 다음 물음에 답하시오.
(단, k는 상수, f{0}=3)
⑴ 양수 k의 값을 구하시오.
⑵ 13
6 초 후 추의 높이를 구하시오.
13
f{t}
지면
문제해결
100`g인 !$C의 t년 후의 양을 f{t}`g이라고 하면 f '{t}=100keKT {k=-0.00012}
인 관계식이 성립한다고 한다. 10000년 후의 !$C의 양을 구해 보자. (단, e-1.2=0.3으로 계산한다.)
1
활동 목표 여러 가지 적분법을 활용하여 실생활 문제를 해결할 수 있다.
다음 글을 읽고 물음에 답해 보자.
방사성 동위 원소인 !$C는 시간이 지나면 스스로 붕괴되기 때문에 일정량의 !$C는 시간이 지날 수록 그 양이 점차 줄어든다. 이러한 !$C의 성질을 이용하여 오래된 동물의 화석이나 유물의 연대를 측정할 수 있는데, 이를 방사성 탄소 연대 측정법이라고 한다. 또 !$C의 양이 처음 양의
1
e 까지 감소하는 데 걸리는 평균 시간을 !$C의 평균 수명이라고 한다.
2002년 경주시 탑동 나정 일대에서 팔각형 건물터가 발견되었는데, 이 터에서 발견된 숯을 방 사성 탄소 연대 측정법으로 측정한 결과 기원후 480~630년, 즉 통일 신라 시대에 건립된 것
으로 추정할 수 있었다. [참고 자료: 이적, “선덕여왕”]
방사성 탄소 연대 측정법을 활용한 사례를 한 가지 찾아서 발표해 보자.
3
조사하고 발표하기자연수 n에 대하여 Ln을 Ln=/0N{-kteKT}`dt
라고 하면 !$C의 평균 수명은 극한값 lim
n`! E Ln과 같다고 한다. k=-0.00012일 때, !$C의 평균 수 명은 몇 년인지 구해 보자. (단, 소수점 아래 첫째 자리에서 반올림한다.)
2
자기 평가
적분법의 개념, 성질을 이용하여 과제를 해결하였는가?
적분법의 유용성과 가치를 인식하였는가?
과제 해결 방법을 점검하는 과정이 있었는가?
정적분의 활용
2
수학 역사 기원전 370년경에 그리스의 수학자 에우독소스(Eudoxos, B.C. 400?~B.C. 350?)는
‘실진법(悉盡法)’을 소개하였다. 실진법은 전체 넓이에서 절반 이상의 넓이를 차지하는 부분 을 빼고 다시 나머지 넓이의 절반 이상의 부분을 빼는 과정을 반복하면 결국 무시할 수 있을 정도로 아주 작은 부분만 남게 되어 전체 넓이를 구할 수 있는 방법이다. 그리스의 수학자 아르키메데스(Archimedes, B.C. 287?~B.C. 212)가 실진법을 응용하여 포물선으로 둘 러싸인 도형의 넓이를 구하였는데, 이것이 정적분의 기원으로 알려져 있다.
[참고 자료: 제리 킹, 박영훈 옮김, “10 LESSONS”]
“다각형의 넓이의 합을 이용하여 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수 있을까?”
곡선 y=x@-4와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.
2
1
다음 극한값을 구하시오.⑴ lim
n`! E
?n k=1
1
k{k+1} ⑵ lim
n`! E
?n k=1
k n@
도형의 넓이를 급수의 합을 이용하여 구할 수 있을까?
다음 그림은 제주도 지도를 모눈종이 위에 나타낸 것이다. 모눈 한 칸의 가로의 실제 거리가 각각 20`km, 10`km, 5`km일 때, 물음에 답하시오.
•정적분과 급수의 합 사이의 관계를 이해할 수 있다.
정적분과 급수
1
제주도의 내부에 있거나 테두리에 걸쳐 있는 정사각형의 넓이의 합을 M`km@, 내 부에 있는 정사각형의 넓이의 합을 m`km@라고 할 때, 다음 표를 완성하시오.[그림 1] [그림 2] [그림 3]
M 4800 3400 2700
m 1600
M-m 1100
2
모눈 한 칸의 가로의 길이를 점점 작게 한다면 M-m의 값은 어떤 값에 가까워지 는지 추측하시오.[그림 1] [그림 2] [그림 3]
곡선 y=x@과 직선 x=1 및 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 급수의 합을 이용하여 구해 보자.
오른쪽 그림과 같이 닫힌구간 [0, 1]을 n 등분 하면 각 구간의 오른쪽 끝점의 x좌표는 차례로
1 n ,
2 n ,
3
n , y, nn
이고, 이에 대응하는 y의 값은 각각 [ 1n ]@, [
2 n ]@, [
3
n ]@, y, [nn ]@
이다.
O y 1
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\n-1n y y=x@
x 1
y n!n@n#
따라서 색칠한 직사각형의 넓이의 합을 Un이라고 하면 다음이 성립한다.
Un =1
n\[ 1n ]@+1
n\[ 2n ]@+1
n\[ 3n ]@+ y +1
n\[nn ]@
= 1
n#{1@+2@+3@+ y +n@}
= 1
n#\n{n+1}{2n+1}
6 =1
6 [1+1
n ][2+1 n ]
같은 방법으로 오른쪽 그림에서 색칠한 직사 각형의 넓이의 합을 Ln이라고 하면 다음이 성 립한다.
Ln =1
n\0+1
n\[ 1n ]@+1
n\[ 2n ]@
+ y +1
n\[ n-1n ]@
= 1
n#\n{n-1}{2n-1}
6
=1 6 [1-1
n ][2-1 n ]
그런데 구하는 도형의 넓이를 S라고 하면 Ln<S<Un이므로
n`lim!ELn<S< lim
n`!E Un 이고,
n`lim!E Un=1 3 , lim
n`!ELn=1 3 이므로 구하는 도형의 넓이는 S=1
3 이다.
이와 같이 도형의 넓이나 부피는 주어진 도형을 작은 기본 도형으로 잘게 나 누어 값을 구하고, 그 값의 합의 극한값으로 구할 수 있다.
O y 1
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\n-1n y y=x@
x 1
y n!n@n#
곡선 y=x#과 직선 x=1 및 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이 S를 급수의 합을 이용하여 구하려고 한다.
⑴
닫힌구간 [0, 1]을 n 등분 할 때, 각 구간의 오 른쪽 끝점의 x좌표를 차례로 구하시오.⑵
오른쪽 그림에서 색칠한 직사각형의 넓이의 합 Un을 n에 대한 식으로 나타내시오.⑶
도형의 넓이 S를 구하시오.01
O y y=x#
n@ x
n! n# 1
1
y y \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\n-1n
?n k=1k@
=n{n+1}{2n+1}
6 고등학교 수학 I
연속함수의 경우에는
n`lim! E Un과 lim
n`! E Ln이 일 치한다는 것이 알려져 있 다. 따라서 lim
n`! E Un과
n`! Elim Ln 중에서 한 가지만 구하면 된다.
이와 같은 방법을 구분 구적법이라고 한다.
정적분과 급수의 합 사이에는 어떤 관계가 있을까?
함수 f{x}가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 f{x}>0일 때, 곡선 y=f{x}
와 두 직선 x=a, x=b 및 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이 S를 구해 보자.
오른쪽 그림과 같이 닫힌구간 [a, b]를 n 등분 하여 양 끝점과 각 분점을 차례로
a=x0, x1, x2, y, xk, y, xn=b 라고 하면 각 구간의 길이 DELTAx는
DELTAx=b-a n
이고, 이때 색칠한 직사각형의 넓이의 합 Sn은
Sn=f{x1)DELTAx+f{x2)DELTAx+ y +f{xn)DELTAx=?n
k=1`f{xk}DELTAx 이다.
여기서 n의 값이 한없이 커지면 Sn이 S로 수렴함이 알려져 있다.
따라서
S= lim
n`!E Sn= lim
n`!E
?n k=1
`f{xk}DELTAx 가 성립한다.
이때 정적분과 넓이의 관계에 따라 S=/aB f{x}`dx이므로
n`lim!E
?n
k=1`f{xk}DELTAx=/aB f{x}`dx 이다.
예를 들어 아래의 왼쪽 그림에서 곡선 y=x@과 직선 x=1 및 x축으로 둘러 싸인 도형에 대하여 색칠한 직사각형의 넓이의 합 Sn은 Sn=?n
k=1[ kn ]@\1 n 이 고, n=10, 20, 30, y일 때의 Sn의 값을 공학적 도구를 이용하여 구하면 아 래의 오른쪽 표와 같다.
O y 1
y y=x@
x 1
y n!
이 표에서 n의 값이 커짐에 따라 Sn의 값은 /0! x@`dx= 13 에 한없이 가까워 짐을 알 수 있다.
일반적으로 함수 f{x}
가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이면 극한값
n`! Elim
?n
k=1`f{xk}DELTAx가 항상 존재함이 알려져 있다.
y
O
y=f{x}
x0 x2 x3yxn-1–¡
y x1
a
xn b
x
y=x@
x y=x@
x y=x@
x
정적분과 급수의 합 사이의 관계를 이용하여 다음 극한값을 구하시오.
lim
n`! E
1
n[sin`p
n +sin`2p
n +sin`3p
n +y+sin`np n ]
02
n`lim!E
1
n%{1$+2$+3$+ y+n$}= lim
n`!E
?n
k=1[ kn ]$\1 n 이때 f{x}=x$, a=0, b=1로 놓으면
DELTAx=
b-a n =1n, xk=a+k
DELTAx=
k n 따라서 정적분과 급수의 합 사이의 관계에 따라 limn`!E
1
n%{1$+2$+3$+ y +n$}=/0!x$`dx={1
5x%}0!= 15 답 1 5 정적분과 급수의 합 사이의 관계를 이용하여 다음 극한값을 구하시오.
lim
n`! E
1
n%{1$+2$+3$+ y +n$}
1
정적분과 급수의 합 사이의 관계
함수 f{x}가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이면 lim
n`!E
?n
k=1f{xk}
DELTAx=/aB
f{x}`dx[단,DELTAx=
b-an ,xk=a+k
DELTAx]
이상을 정리하면 다음과 같다.
각 구간의 왼쪽 끝점에 서의 함숫값을 이용하면 lim
n`! E n-1?
k=0`f{xk}DELTAx =/aB`f{x}`dx
f{x}=ln`{1+x}, a=0, b=1 로 놓을 거야.
윤아
f{x}=ln`x, a=1, b=2 로 놓을 거야.
수현
정적분과 급수의 합 사이의 관계를 이용하여 극한값 lim
n`! E
1
n - ln [1+ 1n ]+ln [1+ 2n ]+ln [1+ 3n ]+ y +ln [1+ nn ]=
을 구하려고 한다. 다음 학생의 대화에서 한 가지 방법을 택하여 극한값을 구하고, 자신 의 풀이 방법을 친구에게 설명하시오.
03
곡선과 좌표축 사이의 넓이는 어떻게 구할까?
위의 개념 열기에서 곡선 y=f{x}{0<x<3}와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이는
/0#| f{x}|`dx =/0! f{x}`dx+/1@9-f{x}0`dx+/2# f{x}`dx
=A-B+C 이다.
일반적으로 함수 f{x}가 닫힌구간 [a, b]에서 연속일 때, 곡선 y=f{x}와 x축 및 두 직선 x=a, x=b로 둘러싸인 도형의 넓이 S는
S=/aB| f{x}|`dx 이다.
또 함수 g{y}가 닫힌구간 [c, d]에서 연속일 때, 곡선 x=g{y}와 y축 및 두 직선 y=c, y=d로 둘러 싸인 도형의 넓이 S는
S=/cD| g{y}|`dy 이다.
오른쪽 그림과 같은 곡선 y=f{x}{0<x<3}
에 대하여
/0! f{x}`dx=A, /1@ f{x}`dx=B, /2# f{x}`dx=C
일 때, 곡선 y=f{x}와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 A, B, C로 나타내시오.
•곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수 있다.
넓이
O x
y y=f{x}
1 2 3
y
O x
y=f{x}
b a
S
y
O x
x=g{y}
d
c S
다음 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.
⑴
y=sin`2x{0<x<p}, x축⑵
y=ln`x, y축, y=0, y=21
⑴ 닫힌구간 {0, p
2}에서 sin`2x>0이고, 닫힌구간 {p
2, p}에서 sin`2x<0이므로 구하는 넓이 S는 S=/0||sin`2x|`dx
=/02"sin`2x`dx+/2"|{-sin`2x}`dx
={- 12`cos`2x}02"+{1
2`cos`2x}2"| =1+1=2
⑵ y=ln`x에서 x=eY이므로 구하는 넓이 S는 S=/0@eY`dy={eY}0@
=e@-1
답 ⑴ 2 ⑵e@-1
O p
y
y=sin 2x{0<x<p}
2" x
O y
y=ln x
1 x 2
다음 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.
⑴
y=eX, x축, x=0, x=1⑵
y=x#+1, y축, y=0, y=201
수학 기르기
오른쪽 그림과 같이 곡선 y=tan`x [-p
2 <x<p
2 ]와 y축 및 직선 y=1로 둘러싸인 도형의 넓이를 S라고 하자. 다음 두 학생 의 대화를 읽고, 세민이가 말한 방법으로 S를 구해 보자.
문제 해결
문제를 해결할 때는
문제의 조건과 정보를 파악하고 해결 방법을 찾
는다. O 4" x
y
1
y=tan`x
S
y=tan`x를 x=g{y} 꼴로 나타내지 못하겠어.
민호
곡선 y=tan`x가 두 점 {0, 0}, [ p
4, 1]을 지나니까 정적분
/04"tan`x`dx의 값을 이용하면 S를 구할 수 있을 것 같은데….
세민
두 곡선 y=eX, y=e_X과 두 직선 x=-1, x=1로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시
2
오.두 곡선의 교점의 x좌표는 x=0
닫힌구간 [-1, 0]에서 eX<e_X이고, 닫힌구간 [0, 1]에서 eX>e_X이므로 구하는 넓이 S는
S=/-1!|eX-e_X|`dx
=/-1){e_X-eX}`dx+/0!{eX-e_X}`dx
={-e_X-eX}-1) +{eX+e_X}0!
=[e+1e-2]+[e+1e-2]
=2[e+1e-2]
답 2[e+1e-2]
O 1 x
-1
y y=eX y=e_X
다음 도형의 넓이를 구하시오.
⑴
두 곡선 y=1x, y=jxk와 두 직선 x=1
4, x=4로 둘러싸인 도형
⑵
두 곡선 y=sin`x, y=cos`x와 두 직선 x=0, x=p로 둘러싸인 도형02
두 곡선 사이의 넓이는 어떻게 구할까?
두 함수 f{x}, g{x}가 닫힌구간 [a, b]에서 연 속일 때, 두 곡선 y=f{x}, y=g{x} 및 두 직선 x=a, x=b로 둘러싸인 도형의 넓이 S는
S=/aB| f{x}-g{x}|`dx 이다.
y
O x
y=f{x}
y=g{x}
a b
S
•입체도형의 부피를 구할 수 있다.
부피
입체도형의 부피는 어떻게 구할까?
오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 3인 반구가 있다. 반구의 밑면에 평행하고 중심에서의 거리가 x인 평면으로 반구를 자 른 단면의 넓이를 S{x}라고 하면 S{x}=p{9-x@}이다.
1
정적분 /0# S{x}`dx를 구하시오.2
이 반구의 부피를 구하고,1
의 결과와 비교하시오.3
x
S{x}
위의 개념 열기에서 /0# S{x}`dx=18p이고, 반구의 부피는 4
3p\3#\ 12=18p이므로 정적분 /0# S{x}`dx는 반구의 부피와 같다.
오른쪽 그림과 같이 어떤 입체도형에 대하여 한 직선을 x축으로 정할 때, x좌표가 각각 a, b {a<b}인 점을 지나고 x축에 수직인 두 평면 사 이에 있는 부분의 부피를 구해 보자.
닫힌구간 [a, b]를 n 등분 하여 양 끝점과 각 분점을 차례로
a=x0, x1, x2, y, xk, y, xn=b 라 하고, 각 구간의 길이를 DELTAx라고 하자.
또 x축에 수직이고 x좌표가 xk{k=1, 2, y, n}인 점을 지나는 평면으로 입체도형을 자를 때 생기는 단면의 넓이를 S{xk}라고 하면 이 단면을 밑면으 로 하고 높이가 DELTAx인 기둥의 부피는 S{xk}DELTAx이므로 이들 n개의 기둥의 부피 의 합 Vn은 다음과 같다.
Vn=
?n
k=1S{xk}DELTAx
이탈리아의 수학자 카발리 에리(Cavalieri, F. B., 1598~1647)는 입체의 단 면의 넓이의 비를 이용하 여 부피의 관계를 연구하 였다.
x xk
a
x0 xk+Δx
=
xn
=b
S{xk}따라서 주어진 입체도형의 부피 V는 정적분과 급수의 합 사이의 관계에 의 하여
V= lim
n`!E Vn= lim
n`!E
?n
k=1S{xk}DELTAx=/aB S{x}`dx 이다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
입체도형의 부피
닫힌구간 [a,b]의 임의의 점 x에서 x축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 S{x}인 입체도형의 부피 V는
V=/aBS{x}`dx (단, S{x}는 닫힌구간 [a,b]에서 연속)
정적분을 이용하여 밑면의 반지름의 길이가 4이고 높이가 8인 원뿔의 부피를 구하시오.
1
오른쪽 그림과 같이 원뿔의 꼭짓점을 원점 O, 꼭짓점에서 밑면에 내린 수선을 x축으로 정하자.
이때 x좌표가 x{0<x<8}인 점을 지나고 x축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이를 S{x}라고 하면 단면과 밑면 의 반지름의 길이의 비가 x：8이므로 넓이의 비는
S{x}：16p=x@：8@
즉, S{x}=p 4 x@
따라서 구하는 부피 V는 V=/0*S{x}`dx=/0*p
4 x@`dx={ p
12 x#}0*=128 3 p
답 128 3 p
닮음비가 m：n인 두 평면도형의 넓이의 비는 m@：n@이다.
8 4
x x
S{x}
O
정적분을 이용하여 밑면의 넓이가 30이고 높이가 5인 사각뿔의 부피를 구하시오.
01
오른쪽 그림과 같이 높이가 10인 그릇이 있다. 그릇에 담긴 물의 높이가 x일 때, 수면은 한 변의 길이가 j3x+15 l인 정 사각형이다. 이 그릇의 부피를 구하시오.
2
오른쪽 그림과 같이 밑면의 두 대각선의 교점을 원점 O, 그 점을 지나고 밑면에 수직인 직선을 x축으로 정하자.
이때 x좌표가 x{0<x<10}인 점을 지나고 x축에 수직 인 평면으로 자른 단면의 넓이를 S{x}라고 하면 S{x}=3x+15
따라서 구하는 부피 V는
V=/0!)S{x}`dx=/0!){3x+15)`dx
={
3
2x@+15x}0!)=300 답 300
10
O x 10 x
높이가 4인 입체도형을 밑면으로부터 x인 지점에서 밑면에 평행한 평면으로 자른 단면 은 가로의 길이가 1eX+e_X 3이고 가로와 세로의 길이의 비가 1：2인 직사각형이다. 이 입체도형의 부피를 구하시오.
02
수학 기르기 다음 그림과 같이 높이가 h로 같은 정사각뿔과 원뿔이 있다. 정사각뿔의 밑면의 한 변의 길이는 a이고, 원뿔의 밑면의 반지름의 길이는 r일 때, 다음 물음에 답해 보자.
h r h
a
1
정사각뿔과 원뿔을 그 밑면과 평행한 한 평면으로 동시에 자를 때 생기는 두 단 면의 넓이의 비를 구해 보자.2
정적분을 이용하여 정사각뿔과 원뿔의 부피의 비를 구하고,1
의 결과와 비교해 보자.문제 해결
문제를 해결할 때는
문제의 조건과 정보를 파악하고 풀이 계획을 세 운다.
입체도형의 단면의 넓이와 부피는 어떤 관계가 있을까?
직선 위에서 점이 움직인 거리는 어떻게 구할까?
일반적으로 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서 속도가 v{t}이고, 시각 t0에서 위치를 x0이라고 할 때, 다음이 성립한다.
❶ 시각 t에서 점 P의 위치 x는 x=x0+/
t0t v{t}`dt❷ 시각 t=a에서 t=b까지 점 P의 위치의 변화량은
/aB v{t}`dt❸ 시각 t=a에서 t=b까지 점 P가 움직인 거리는
/aB|v{t}|`dt 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서 속도가 v{t}=3t@-6t일 때, 다음 물음에 답하시오.1
시각 t=3에서 점 P의 위치를 구하시오.2
시각 t=0에서 t=3까지 점 P가 움직인 거리를 구하시오.•속도와 거리에 대한 문제를 해결할 수 있다.
속도와 거리
좌표가 1인 점에서 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서 속도가 v{t}=eT_!-1일 때, 다음을 구하시오.
⑴
시각 t=1에서 점 P의 위치⑵
시각 t=0에서 t=2까지 점 P의 위치의 변화량과 움직인 거리01
빈칸에 알맞은 수를 써넣어 보자.
원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서 속도가 v{t}=sin`pt일 때
⑴ 시각 t=1에서 점 P의 위치 x는 x=/0!sin`pt`dt=
⑵ 시각 t=0에서 t=2까지 점 P가 움직인 거리는
/0@|sin`pt|`dt=/0 sin`pt`dt+/`@ {-sin`pt}`dt=
평면 위에서 점이 움직인 거리는 어떻게 구할까?
위의 개념 열기에서 DELTA t가 충분히 작을 때, 점 A에서 점 B까지 움직인 거리 s는 선분 AB의 길이에 가까워지며
ABZ=1{DELTAx}@+3{DELTAy}@ 3 이다.
좌표평면 위에서 점 P의 시각 t에서 위치가 {x, y}이고, x, y가 시각 t의 함 수일 때, t=a에서 t=b까지 점 P가 움직인 거리 s를 구해 보자.
점 P가 출발 후 시각 t까지 실제로 움직인 거리 를 s{t}라 하고, 시각 t에서 점 A{x, y}에 있던 점 P가 시각 t+DELTA t에서 점 B{x+DELTAx, y+DELTAy}로 이동했다고 하자.
그러면 DELTA t가 매우 작을 때 움직인 거리 s{t}의 증분 DELTAs는 ABZ=1{DELTAx}@+3{DELTAy}@ 3에 가까우므로
s'{t} = lim
DELTAt`!0 DELTAs DELTA t
= lim
DELTAt`!0 1{DELTAx}@+{DELTAy}@ 3 DELTA t = lim
DELTAt`!0r[ DELTAxDELTA t ]@+y[ DELTAyDELTA t ]@ y
=r[dx dt ]@+y[
dy dt ]@ y 이다. 즉, s'{t}는 점 P의 속력이다.
따라서 s{t}는 속력 s'{t}의 한 부정적분이므로 t=a에서 t=b까지 점 P가 움직인 거리 s는
s=s{b}-s{a}=/aB s'{t}`dt=/aB r[dx dt ]@+y[
dy dt ]@ y`dt 이다.
O A
B y
x x y
x+Δx Δx
Δs Δy y+Δy
P
좌표평면 위에서 시각 t일 때 점 A{x, y}에 있던 점 P가 오른쪽 그림과 같이 곡선을 따라 시각 t+
DELTA t일
때 점 B{x+DELTAx, y+DELTAy}로 이동했다고 한다. DELTA t가
충분히 작을 때, 점 A에서 점 B까지 움직인 거리 s는 어떤 선분의 길이에 가까워지는지 말하고, 그 길이를구하시오. O
A B y
x x y
x+Δx Δx
Δy y+Δy
P
한편 함수 y=f{x}{a<x<b}의 그래프는 좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서 위치가 {x, y}일 때
x=t, y=f{t}{a<t<b}
로 나타낸 곡선으로 볼 수 있다.
즉, x=a에서 x=b까지의 곡선 y=f{x}의 길이 L은 t=a에서 t=b까지 점 P가 움직인 거리와 같다.
따라서 곡선의 길이 L은
L =/aB r[ dxdt ]@+y[ dydt ]@ y`dt=/aB 11+9 f '3{t}0@ 3`dt 이다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
평면 운동에서 움직인 거리
❶ 점
P의 시각 t에서 위치가 {x,y}이고, x,y가 시각 t의 함수일 때, t=a에서 t=b 까지 점 P가 움직인 거리 s는s=/aBr[ dxdt ]@+y[ dydt ]@ y`dt
❷
x=a에서 x=b까지의 곡선 y=f{x}의 길이 L은 L=/aB11+9f'3{x}0@3`dx좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서 위치가 {x, y}이고, x=1 2t@-t, y=4
3tjt k 일 때, t=0에서 t=1까지 점 P가 움직인 거리를 구하시오.
1
dx
dt=t-1, dy
dt=2jtk 이므로 점 P가 움직인 거리는 /0!4{t-1}@+{2jtk}@6`dt=/0!1{t+1}@3`dt
=/0!{t+1}`dt
={1
2t@+t}0!= 32
답 3 2
좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서 위치가 {x, y}이고, x=eT`cos`t, y=eT`sin`t 일 때, t=0에서 t=1까지 점 P가 움직인 거리를 구하시오.
02
x=0에서 x=5까지의 곡선 y=1
3xjx k의 길이를 구하시오.
2
dy dx= jxk
2 이므로 곡선의 길이는 /0%r1+[ jxk
2 ]@y`dx=/0%j4+xk 2 `dx
={1
3{4+x}2#}0%= 193 답 19 3
다음 구간에서의 곡선의 길이를 구하시오.
⑴
y=12{eX+e_X}, [-1, 1]
⑵
y=ln`x 2 -x@4 , [1, e]
03
수학 기르기 반지름의 길이가 r인 원의 둘레의 길이가 2pr임을 확인하려고 한다. 다음 두 학생의 대 화에서 한 가지 방법을 택하여 이를 확인하고, 자신의 풀이 방법을 친구에게 설명해 보자.
의사소통ㅣ문제 해결
설명할 때는
수학적 언어로 자신의
생각을 조리 있게 표현한다. 원의 방정식 x@+y@=r@에서 y=-1r@-x@3임을 이용하여 구할 거야.
원 위의 점 P{x, y}에 대하여 x=r`cos`t, y=r`sin`t로 놓고, 이를 이용하여 구할 거야.
현우 민지
곡선 y= 1
x+1과 x축 및 두 직선 x=0, x=4로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.
2
다음 빈칸에 알맞은 것을 써넣으시오.
lim
n`! E
?n
k=1`ln`[4+ k2n ]\1 n =/0! `dx
1
정적분과 급수의 합 사이의 관계
함수 f{x}가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이면 lim
n`! E
?n
k=1f{xk}
DELTAx=/aB f{x}`dx
[단,DELTAx=
b-an , xk=a+k
DELTAx]
곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이
① 함수 f{x}가 닫힌구간 [a, b]에서 연속일 때, 곡선 y=f{x}와 x축 및 두 직선 x=a, x=b로 둘러싸인 도형의 넓이 S는
S=/aB|f{x}|`dx
② 함수 g{y}가 닫힌구간 [c, d]에서 연속일 때, 곡선 x=g{y}와 y축 및 두 직선 y=c, y=d로 둘러싸인 도형의 넓이 S는
S=/cD|g{y}|`dy
③ 두 함수 f{x}, g{x}가 닫힌구간 [a, b]에서 연속일 때, 두 곡선 y=f{x}, y=g{x} 및 두 직선 x=a, x=b로 둘러싸인 도형의 넓 이 S는 S=/aB|f{x}-g{x}|`dx
입체도형의 부피: 닫힌구간 [a, b]의 임의의 점 x에서 x축에 수직인 평 면으로 자른 단면의 넓이가 S{x}인 입체도형의 부피 V는
V=/aBS{x}`dx (단, S{x}는 닫힌구간 [a, b]에서 연속) 평면 운동에서 움직인 거리
① 점 P의 시각 t에서 위치가 {x, y}이고, x, y가 시각 t의 함수일 때, t=a에서 t=b까지 점 P가 움직인 거리 s는
s=/aBr[ dxdt ]@+[ dydt ]@y`dt
② x=a에서 x=b까지의 곡선 y=f{x}의 길이 L은 L=/aB11+9f'{x}0@3`dx
다음 문장이 참이면 표, 거짓이면 ×표를 하시오.
1
극한값 limn`!E
?n k=1
1 n[2+k
n]#을 정적분 으로 나타내면 /0!{2+x}#`dx이다.
2
곡선 x=sin`y{-p<y<p}와 y축 으로 둘러싸인 도형의 넓이는 /-\| sin`y`dy이다.3
닫힌구간 [0, p]의 임의의 점 x에서 x축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 항상 3인 입체도형의 부피는 3이다.4
좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서 위치가 {x, y}이고,x=2t+5, y=1
2t@+1일 때, t=0 에서 t=1까지 점 P가 움직인 거리 는 /0!14+t@3`dt이다.
III
- 2. 정적분의 활용정답과 해설 ▶ 199쪽
두 곡선 y=sin`x, y=cos`2x와 두 직선 x=0, x=p
2로 둘러싸인 도형의 넓이를 구 하시오.
6
원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P 의 시각 t에서 속도가 v{t}=1
2-cos`t일 때, 시각 t=0에서 t=p까지 점 P가 움직인 거리를 구하시오.
4
곡선 x=y@-1{y>0}과 두 직선 y=0, y=x-1로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시 오.
7
곡선 y=ln`x와 원점에서 이 곡선에 그은 접 선 및 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하 시오.
8
높이가 p인 어떤 그릇에 물을 넣는다고 하자.
물의 높이가 x일 때, 수면의 넓이는 1+sin`x 라고 한다. 이 그릇의 부피를 구하시오.
3
정적분과 급수의 합 사이의 관계를 이용하여 다음 극한값을 구하시오.
n`lim! E
1
n[q2+ 1ne+q2+ 2ne+q2+ 3ne +y+q2+nne]
5
지름의 길이가 4인 반원을 밑면으로 하는 입 체도형이 있다. 이 입체도형을 반원의 지름 AB에 수직인 평면으로 자른 단면이 다음 그 림과 같이 정삼각형일 때, 이 입체도형의 부 피를 구하시오.
4 A
B
12
다음 그림과 같이 반지름의 길이가 1인 원이 좌표평면에서 x축을 따라 매초 1라디안씩 굴 러간다. 원 위의 한 점 P가 원점에서 출발할 때, t=0에서 t=2p까지 점 P가 움직인 거 리를 구하시오.
P O
y
x P
P
2p
좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서
13
위치가 {x, y}이고, x=j3k`sin`t+cos`t, y=j3k`cos`t-sin`t일 때, t=0에서 t=2p 까지 점 P가 움직인 거리를 구하시오.
10
x=- 12에서 x= 12까지의 곡선 y=ln`{1-x@}의 길이를 구하시오.
11
함수
f{x}=jx`cos`xl [0<x<p
2 ]에 대하여 곡선 y=f{x}와 x축 으로 둘러싸인 부
분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 두 점 P{x, 0}, Q{x, f{x}}를 지나고 x축에 수 직인 평면으로 이 입체도형을 자른 단면이 선분 PQ를 지름으로 하는 반원일 때, 이 입 체도형의 부피를 구하시오.
9
yO
P Q
2" x f{x}= x cosx
추론
1
을 이용하여 ?En=1 1
n@<2가 성립함을 설명해 보자.
2
활동 목표 정적분을 이용하여 급수의 수렴과 발산을 알 수 있다.
다음은 급수 ?E
n=1
1
n@ 에 관한 일화이다.
오른쪽 그림과 같이 곡선 y= 1
x@에 대하여 닫힌구간 [0, n]을 n 등분 하여 만든 직사각형의 넓이의 합을 Sn이라고 하면 Sn=1+1
2@+1
3@+ y +1 n@
이다. Tn=1+/1N 1x@`dx라고 할 때, Sn과 Tn의 대소 관계를 말해 보자.
1
O x
y
1 2 3 1
yy n-1 y=\\\\\\\\\\\\\\\\\{x>0}1
x@
n
자기 평가
정적분의 원리, 개념을 이용하여 과제를 해결하였는가?
수학적 언어로 해결 과정을 명확하게 표현하였는가?
과제 해결 방법을 점검하는 과정이 있었는가?
정적분을 이용하여 ?E
n=1
1
n=E임을 설명해 보자.
3
한 번 더 해결하기
곡선 y=1
x에 대하여 닫힌구간 [1, n+1]을 n 등분 하면 될 거야! 스위스의 수학자 야곱 베르누이(Bernoulli, J., 1654~1705)는 급수 ?E
n=1
1
n@ 이 수렴함을 처 음 보인 것으로 유명하다. 그를 비롯하여 여러 수학자가 이 급수의 합을 구하려고 했지만 실패 하였다. 그 후 야곱의 동생 요한 베르누이(Bernoulli, John, 1667~1748)의 제자였던 오일 러는 1735년에 ?E
n=1
1 n@=p@
6 임을 알아냈다. 이 이야기를 들은 요한은 “형님이 살아 계셨더라 면….”이라고 하면서 아쉬워했다. [참고 자료: 김홍종, “미적분학 1”]
정적분을 이용하여 ?E
n=1
1
n@<2가 성립함을 확인해 보자.
과학! 수학과
통 하다 식빵의 단면의 넓이 를 통해
그 모양 을 알 수 있을까?
의사는 청진기를 이용하여 환자의 심장이나 폐에서 나는 소리를 듣고, 이로부터 병을 진단한다. 이처럼 외부에서 측정되는 데이터를 통해 내부의 성질에 대한 정보를 찾아내 는 형태의 문제를 ‘역 문제’라고 하는데, 수학과 관련된 역 문제의 대표적인 예로 다음과 같은 식빵 문제를 생각할 수 있다.
“아랫면이 사각형인 식빵이 놓여 있는데, 식빵의 윗부분의 모양을 모른다고 하자. 우 리가 알고 있는 것은 아랫면에 수직인 임의의 평면으로 식빵을 잘랐을 때 생기는 단면 의 넓이뿐이라면 이 정보를 가지고 식빵의 윗부분의 모양을 알 수 있을까?”
이는 입체를 모든 방향의 평면으로 자른 단면의 넓이를 알 때, 입체의 모양을 복원할 수 있는지를 묻는 문제로 2차원 평면의 정보를 통해 적분을 이용하여 3차원 입체에 대 한 정보를 이끌어 내는 문제이다. 이러한 식빵 모양 복원 문제는 1917년 체코의 수학자 라돈( Radon, J., 1887~1956)이 수집한 데이터를 바탕으로 구체적인 복원 공식을 세 움으로써 해결되었다. [참고 자료: 한국과학문화재단, “교양으로 읽는 과학의 모든 것 1”]
정적분 /0|{sin`x+cos`x}@`dx를 구하시 오.
1
함수 f{x}의 한 부정적분을 F{x}라고 할 때, 다음 중 ?e@Xf{e@X}`dx와 같은 것은?
(단, f{x}=0, C는 적분상수)
① 1
4 F{e@X}+C ② 1
2 F{e@X}+C
③ F{e@X}+C ④ 2F{e@X}+C
⑤ 4F{e@X}+C
2
정적분 /0j3 k 1
x@+9`dx를 구하시오.
3
함수 f{x}에 대하여 f'{x}={x-1}e@X 이고 f{0}=-3
4일 때, f{1}의 값을 구하 시오.
4
곡선 y=ln`x와 x축 및 두 직선 y=x, y=2 로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.
5
함수 f{x}=eX+2의 역함수를 g{x}라고 할 때, /0!f{x}`dx+/3E"@g{x}`dx의 값을 구 하시오.
6
[10~14 ] 다음 문제의 풀이 과정을 자세히 쓰시오.
함수 f{x}= 4
x@-4의 한 부정적분을 F{x}
라고 할 때, F{8}-F{3}의 값을 구하시오.
10
함수 f{x}=2x+3jxk에 대하여 극한값
n`lim! E
1 n
?n k=1
f[2+2kn ]를 구하시오.
11
곡선 y=2`tan`x와 직선 x=p
4 및 x축으로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형을 x축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정 사각형일 때, 이 입체도형의 부피를 구하시 오.
y
O
x 4"
x=4"
y=2`tan`x
7
좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서 위치가 {x, y}이고, x=sin`t-t`cos`t, y=t`sin`t+cos`t일 때, t=0에서 t=p까 지 점 P가 움직인 거리는?
① p@
4 ②
p@
2 ③ p@
④ 2p@ ⑤ 4p@
8
x=2에서 x=8까지의 곡선 y=1
8x@-ln`x 의 길이를 구하시오.
9
III
. 적분법정답과 해설 ▶ 200쪽
다음 그림과 같이 곡선 y=jxk와 y축 및 두 직선 x=a, y=2로 둘러싸인 두 도형을 각 각 A, B라고 하자. 두 도형 A, B의 넓이가 서로 같을 때, 상수 a의 값을 구하시오.
(단, a>4)
O x
y
2
x=a A
B y=2 y=jxk
