회로해석 9장

IT CookBook, 기초 회로이론(개정판)

Ø

RLC

회로의 표준형과 완전응답계산 방법의 이해

Ø

표준형이 아닌 회로에서 상태변수에 의한

회로표현 및 완전응답계산 방법 이해

Ø

RLC 회로로 구한 2차 미분방정식의 풀이법 이해

학습목표

3/32

9.1 표준

RLC

회로의 완전응답

9.2 표준

RLC

회로의 과도응답

9.3 일반

RLC

회로해석을 위한 상태변수 기법

Section 9.1

표준

RLC

회로의 완전응답

•표준RLC회로는 병렬RLC회로와 직렬RLC회로를 말한다.

5/32 q 직렬 무전원응답

RLC

회로 •메시 전류i를 구하려고 KVL을 적용하면 다음과 같은 식이 나온다. •그리고 이 식의 양변을 미분하면

Section 9.1

표준

RLC

회로의 완전응답

•위 식을 정리하면 다음과 같은 2차 미분방정식이 된다.

7/32 q 표준 병렬

RLC

회로 •전압v (t)에 관한 수식을 유도하려고 KCL을 적용하면 다음 식이 된다. •식의 양변을 미분하여 정리하면 다음 2차 미분방정식을 얻을 수 있다.

Section 9.1

표준

RLC

회로의 완전응답

q 표준 2차 미분방정식 •식 (9.1)과 식 (9.2)을 통합하여 하나의 표준 2차 미분방정식을 만들면 •단, τ는 직렬RLC회로의 경우, L/R 병렬RLC회로의 경우, RC 다. •결국 인덕터 전류iL(t)와 커패시터 전압vc(t)의 완전응답은 표준회로 식 (9.3)의2차 미분방정식의 해를 구하는 문제로 귀결된다.

9/32 q 2차 미분방정식의 표준형 •위 식과 같은 수식이 주어졌을 때2차 미분방정식의 일반해는 의 등차방정식으로 얻을 수 있는등차해와 f(t) 함수 모양에 따라 얻는특수해의 합으로 이루어진다.

Section 9.2

표준

RLC

회로의 과도응답

9.2.1

9.2.1 2

2차

차 미분방정식의

미분방정식의 등차해

등차해

q 2차 미분방정식의 등차해와 특성방정식 •2차 미분방정식의 등차해는 등차방정식의 해를 구하여 얻을 수 있다. •등차해를 구하려면 가상해[식 (9.6)]를 식 (9.5)에 대입하여 s 값을 계산한다. •그러므로Aest_{의 값이 0이 아니면s}2_{+ a} 1s+ a0= 0 이 된다. •이것은 실제로시스템 고유 특성을 나타내는 방정식이기도 해서 특성방정식이라고 부른다.

11/32 •2차 미분방정식의 해는 방정식이 2차 식이므로 해 역시 두 개다. •두 해를 각각s1, s2라고 가정하면 등차해는 아래 두 가지 모두 가능하다. •따라서 최종 등차해는 이 두 가지 해를 결합하여 얻을 수 있다. •A1과A2의 값은 초기값x(t0)와 dx(t0)/dt의 값을 대입하여 구한다.

Section 9.2

표준

RLC

회로의 과도응답

q [유의점]

RLC

회로의 초기값 •RLC회로해석에서 잘못된 연산을 피하려면 인덕터의 초기전류iL(t0+)와 커패시터의 초기전압vc(t0+)을 초기값으로 사용해야만 한다. •또한 초기값x(t0)와dx(t0)/dt를 얻기 위해 다음 두 관계식을 적절히 이용한다. •[그림 9-1]병렬RLC회로의 경우, iL(t0+), vc(t0+)이 초기값으로 주어졌을 때 초기값v(t₀+_{)는 주어진v} c(t0+)로 가늠하고 초기값dv(t0)/dt는 다음과 같은 식으로 구할 수 있다.

₍

_{()= ()= ()& + + =0}

₎

L C R R L C t v t v t i i i v

13/32 q 표준

RLC

회로에서 2차 미분방정식 •이때 이 2차 미분방정식의 특성방정식은 식 (9.8)이 된다. •그러므로 2차 방정식 근의 공식으로 근s₁, s₂를 구하면 다음과 같다.

Section 9.2

표준

RLC

회로의 과도응답

•이때제동상수 σ와 공명주파수 ω0를 각각 σ = 1/2τ , ω02= 1/LC 로 정의 하여 치환하면 다음과 같다. •따라서식 (9.3)은 근s1, s2의 값에 따라 다음 네 가지 경우 중 하나의 형태로 등차해를 갖고, 이것은 곧표준RLC 회로의 과도응답과 같다.

15/32 q 경우 1: 제동된 경우(σ2_{< ω} 02) • 으로 정의하면복소수 근이 된다. •따라서등차해는 다음과 같다.

LC

1

2

1

0

=

=

v

t

s

Section 9.2

표준

RLC

회로의 과도응답

•마지막 항은 정현파를 뜻하므로 과도응답이 된다.

17/32 q 경우 2: 과제동된 경우 (σ2_{> ω} 02) •위의근이 모두 실수인 경우로 과도응답은 다음과 같은 실수 지수함수가 된다.

LC

1

2

1

0

=

=

v

t

s

Section 9.2

표준

RLC

회로의 과도응답

q 경우 3: 임계제동된 경우 (σ2_{= ω} 02) •s₁= s₂의중근을 가지고 제동되는 경우와 과제동되는 경우의 임계값을 가지게 되어, 이에 해당하는 과도응답은 다음과 같다.

LC

1

2

1

0

=

=

v

t

s

19/32 q 경우 4: 비제동된 경우(σ = 0) •이때는s1= +jωd, s2= -jωd의 경우이므로 이에 해당하는 과도응답은 다음과 같다. •이 함수는 순수 정현파로 변환될 수 있다.

LC

1

2

1

0

=

=

v

t

s

Section 9.2

표준

RLC

회로의 과도응답

q 직렬

RLC

회로의 과도응답 [그림 9-9] 직렬RLC회로의 소자가 다음과 같은 값을 가진다. t> 0 일 때 전류i(t)의 값을 구하라.

예제 9-1

21/32

예제 9-1

q제동

(

σ

2

_{< ω}

02

)

000 , 10 1 250 2 2 1 0= = = = = LC L R w t s

Section 9.2

표준

RLC

회로의 과도응답

23/32

예제 9-1

000 , 10 1 000 , 100 2 2 1 0= = = = = LC L R w t s

q과제동

(

σ

2

_{> ω}

02

)

Section 9.2

표준

RLC

회로의 과도응답

예제 9-1

q임계제동

(

σ

2

_{= ω}

02

)

000 , 100 1 000 , 100 2 2 1 0= = = = = LC L R w t s

25/32

예제 9-1

q비제동

(

σ =0

)

000 , 10 1 5 . 0 2 2 1 0= = = = = LC L R w t s

Section 9.2

표준

RLC

회로의 과도응답

9.2.2

9.2.2

RLC

RLC

회로의

회로의 정상상태응답

정상상태응답

q 표준

RLC

회로의 정상상태응답 •주어진 입력전원의 형태에 따라 함수형태가 다르다. •DC 값의 입력과 정현파 입력(AC)에 대해서 각각 다른 정상상태응답을 가진다.

27/32 q DC 입력에 대한 정상상태응답 •인덕터는 단락시키고커패시터는 개방시켜서 얻을 수 있다. •[그림 9-9] 회로의 정상상태응답은 다음과 같이 커패시터를 개방시키고 인덕터를 단락시켜 만든 회로로 구한다. •즉, DC 입력전압v0= 1[V]에 의한 전류 i(t)의 정상상태응답은 다음과 같다.

Section 9.2

표준

RLC

회로의 과도응답

q 지수함수 입력회로의 완전응답 다음과 같은 소자 값을 가지는 [그림 9-12] 회로에서t> 0일 때 인덕터 전류 i(t)를 구하라. q 입력지수함수의 지수 값이 과도응답의 지수 값과 같은 중근을 가질 때

예제 9-2

예제 9-3

필요

값이

의

)

0

(

),

0

(

dt

di

i

L L

29/32

예제 9-2

0 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( , 0 ) 0 ( : = = = = L v L v dt di i C L L L 가정

Section 9.2

표준

RLC

회로의 과도응답

[예제 9-2]에서

i

_s(

t

) = 3

e

-6t_{일 때}

_i

₍

_t

_{)의 완전응답은?}

예제 9-3

0 ) 0 ( ) 0 ( , 0 ) 0 ( : = = = L v dt di i C L L 가정

31/32 q [유의점] 정상상태응답과 과도응답이 같은 지수를 가질 때 •지수함수를 입력전원으로 가질 때 정상상태응답과 과도응답이 서로 같은 지수 값(-at )을 가지면 중근으로 고려하고, Be-at_대신Bte-at_{로 가정하여 계산해야 한다.}

Section 9.3

일반

RLC

회로해석을 위한 상태변수 기법

q 상태변수 기법 •주어진 복잡한RLC회로가 간단한RLC직,병렬회로로 변환이 불가능할 때 상태변수 기법을 이용하여 회로를 분석하면 답을 얻을 수 있다. •상태변수기법은다차 미분방정식을 상태변수의 1차 미분 벡터형태로 표현한 상태변수 방정식으로 변환하여 회로를 해석하는 것이다.

33/32 q 상태변수를 이용한 회로해석 [그림 9-13]의 회로에서C1= 4F, C2=2F , R1=R2= 0.25W, R3= 0.5W 이 주어졌을 때, t> 0 에서의v1(t)의 값을 구하라.

예제 9-4

V

v

a

=

10

v

b

=

6

V

V v V v 10 ) 0 ( , 5 ) 0 ( : 2 1 = = 가정

Section 9.3

일반

RLC

회로해석을 위한 상태변수 기법

예제 9-4

0

,

9

2

2

)

(

4 1

=

-

-

+

>

--

_e

_t

e

t

v

t t

35/32 q [참고 9-1] 회로해석에 의한 DC 입력회로의 정상상태응답 계산 •[그림 9-13] 회로의 정상상태응답은 입력전원이 DC이므로인덕터는 단락, 커패시터는 개방하여 얻은 회로의 회로해석으로 얻을 수 있다. •즉, v₁은 전압분배기 원리와중첩의 원리를 이용하여 다음과 같은 식으로 구할 수 있다.

Section 9.3

일반

RLC

회로해석을 위한 상태변수 기법

q 상태변수 방정식 •단, x1, x2, …는 상태변수고, u1, u2, …는 입력이다.

37/32

9.3.1

9.3.1 상태변수

상태변수 기법을

기법을 이용한

이용한 회로해석

회로해석 기법

기법

q 상태변수 기법을 이용한 일반 회로해석 순서 ① 상태변수를 모든 인덕터의 전류iL(t)와 커패시터의 전압vc(t)로 잡는다. ② 초기값iL(0+), vc(0+)을 구한다. ③ KCL과 KVL을 이용하여각 상태변수에 관한 1차 연립 미분방정식을 세운다. ④ 미분연산자s를 이용하여s의 연립방정식을 만든다. ⑤ 크래머법칙 수식의 분모를 0으로 두는특성방정식을 만든다. ⑥ 특성방정식의 근으로과도응답을 구한다. ⑦ 크래머법칙에 의하여 선택된 변수xn(t)에 대한 2차 미분방정식을 구한다. ⑧ 미분방정식에서 적절한정상상태응답을 구한다. ⑨ 과도응답과 정상상태응답을 합하여완전응답을 구한다. ⑩ ③에서 구한 1차 미분방정식에서dxn(0+)/dt의 값을 구한다. ⑪ 초기값xn(0+), dxn(0+)/dt에서 과도응답의 상수 값A1, A2의 값을 구한다.

Section 9.3

일반

RLC

회로해석을 위한 상태변수 기법

q 상태변수 기법에 의한 일반

RLC

회로의 체계적 해석법 [그림 9-15]의 회로에서t > 0일 때i(t)를 상태변수 기법으로 구하라.

예제 9-5

39/32

예제 9-5

0

,

2

14

12

)

(

2 3 1

=

-

+

>

-t

e

e

e

t

v

t t t

Section 9.3

일반

RLC

회로해석을 위한 상태변수 기법

q 상태변수 기법에 의한 복잡한 회로 해석 [그림 9-19]의 회로에서 상태변수 방정식을 이용하여v1(t)에 대한 미분 방정식을 구하라.

예제 9-6