비모수 변환과 공간 변동성이 고려된 지반 공학의 신뢰성 해석

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공 학 박 사 학 위 논 문

비모수 변환과 공간 변동성이 고려된

지반 공학의 신뢰성 해석

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y

2014년 8월

서울대학교 대학원

생태조경․지역시스템공학부

지역시스템공학전공

비모수 변환과 공간 변동성이 고려된

지반 공학의 신뢰성 해석

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지도교수

손 영 환

이 논문을 공학박사 학위논문으로 제출함

2014년

6월

서울대학교 대학원

생태조경․지역시스템공학부 지역시스템공학전공

봉

태

호

봉태호의 공학박사 학위논문을 인준함

2014년

7월

위 원 장

(

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부위원장

(

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원

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인)

위

원

(

인)

국문초록

지반 물성의 불확실성과 공간 변동성은 안정해석이나 설계 시 예상치 못한 결과를 불러올 수 있으므로 이에 대한 많은 연구가 이루어지고 있 으며,국제적으로 이를 반영한 설계법이 표준화되어 가고 있다. 본 연구에서는 신뢰성 해석에 있어 보다 합리적인 결과를 도출하기 위하여 현장 물성의 통계적 특성을 가정하지 않고 그대로 반영할 수 있 는 비모수적 확률분포 변환방법을 제안하였으며,이를 활용한 비정규 랜 덤필드의 재현을 통하여 공간 변동성을 고려한 확률론적 해석을 수행하 였다.제안된 방법은 압밀,지하수내 오염물질이동,사면안정과 같은 다 양한 지반 공학적 문제에 적용하였으며,실제 현장 데이터 활용을 통한 신뢰성 해석을 수행함으로써 기존 확률변수의 분포 가정에 따른 결과와 비교․분석하고 공간 변동성이 해석 결과에 미치는 영향을 평가하였다. 결과적으로 실제 지반 물성의 확률분포는 가정된 확률분포와 비교하여 많은 확률적 차이가 존재하였으며 이에 따른 신뢰성 해석결과도 큰 차이 가 나타났다.또한,공간 변동성은 지반의 전체적인 거동에 대한 불확실 성 해석에 있어 많은 영향을 미치는 것으로 나타났으며 올바른 신뢰성 해석을 위해서는 이에 대한 고려가 필요한 것으로 나타났다.제안된 방 법을 통하여 지반 물성을 재현할 경우 실제 물성의 확률분포를 효과적으 로 재현할 수 있었으며 이를 통한 비정규 랜덤필드의 생성으로 공간 변 동성을 고려한 신뢰성 해석을 수행할 수 있었다.따라서 제안된 방법을 통하여 현장 물성의 통계적 특성을 보다 합리적으로 고려할 수 있을 것 으로 판단된다. 또한,공간 변동성이 고려된 신뢰성 해석 수행 시 계산 효율성을 향 상시키기 위하여 개선된 확률론적 응답면 기법인 TWSRSM과 SDRSM 을 제안하였으며,두 기법의 차이점 및 적용방법을 제시하였다.공간 변 동성을 고려한 해석은 두 가지 유형으로 분류하였으며 각 유형에 따른

확률론적 응답면 기법의 적용절차를 제시하고,지반 공학적 문제에 적용 하여 계산 효율성 및 정확성을 평가하였다.제안된 확률론적 응답면 기 법은 기존 MCS에 비하여 매우 적은 횟수의 수치해석 실행만으로도 효 과적인 확률론적 해석이 가능하였으며,계산 횟수를 증가시키지 않고도 기존 확률론적 응답면 기법에 비하여 정확성을 향상시킬 수 있는 것으로 나타났다.따라서 이를 통하여 정확성을 유지하면서 공간 변동성을 고려 한 효율적인 확률론적 해석 수행이 가능할 것이라 판단된다. 주요어 :불확실성,공간 변동성,랜덤필드,비모수 변환, 확률론적 응답면 기법 학 번 :2005-21619

목

차

국문초록 ···ⅰ

목 차 ···ⅲ

ListofTables···ⅶ

ListofFigures···ⅸ

ListofAbbreviations···ⅹⅴ

ListofSymbols···ⅹⅴⅱ

제 1장 서론

···1 1.1연구 배경 및 필요성 ···1 1.2연구 목적 ···4

제 2장 연구사

···5 2.1공간 변동성을 고려한 신뢰성 해석 ···5 2.2확률론적 응답면 기법 ···8

제 3장 이론적 배경

···11 3.1지반 물성의 불확실성 (Uncertainty)···11 3.1.1불확실성의 원인 ···11 3.1.2불확실성의 정량화 ···16

3.2공간 변동성 (Spatialvariability)···20

3.2.1공간 변동성의 개념 ···20

3.2.2자기상관거리 ···21

3.3랜덤필드 (Random fields)···24

3.3.1랜덤필드의 개념 ···24

3.4Karhunen-Loèveexpansion···28 3.4.1랜덤필드 이산화 ···28 3.4.2랜덤필드의 오차추정 ···33 3.5신뢰성 해석 (Reliabilityanalysis)···36 3.5.1신뢰성 해석의 종류 ···36 3.5.2신뢰성 설계기법 ···38

3.6확률론적 응답면 기법 (Stochasticresponsesurfacemethod)···43

3.6.1확률론적 응답면 기법의 개요 ···44 3.6.2확률론적 응답면 기법 수행 ···47

제 4장 비모수적 변환을 통한 신뢰성 해석

···57 4.1비모수적 확률분포 변환 ···57 4.1.1비모수적 응답면 기법 ···57 4.1.2비모수적 확률분포 변환기법 ···67 4.2공간 변동성을 고려한 확률론적 해석 ···70 4.2.1 산정 ···70 4.2.2비정규 랜덤필드 변환 ···71

4.2.3LatinhypercubeMCS···73

제 5장 개선된 확률론적 응답면 기법

···75 5.1표적 가중된 확률론적 응답면 기법 ···75 5.2확률론적 이중 응답면 기법 ···78 5.3개선된 확률론적 응답면 기법의 적용 ···80

제 6장 지반 공학적 문제 적용

···85 6.1연직배수재가 설치된 지반의 압밀해석 ···85 6.1.1압밀의 이론적 배경 ···85

6.1.3비모수적 확률분포 변환 ···90 6.1.4압밀계수 랜덤필드 생성 ···95 6.1.5확률론적 해석 ···102 6.1.6개선된 확률론적 응답면 기법 적용 ···107 6.1.7소 결 ···117 6.2지하수내 오염물질이동 해석 ···119 6.2.1오염물질이동의 이론적 배경 ···119 6.2.2유효투수계수 ···121 6.2.3연구 대상지 및 투수특성 ···124 6.2.4비모수적 확률분포 변환 ···128 6.2.5투수계수 랜덤필드 생성 ···131 6.2.6확률론적 해석 ···135 6.2.7개선된 확률론적 응답면 기법 적용 ···138 6.2.8소 결 ···144 6.3강우침투를 고려한 사면안정해석 ···145 6.3.1강우침투 및 사면안정의 이론적 배경 ···145 6.3.2연구 대상지 및 해석조건 ···152 6.3.3강우침투에 따른 포화깊이 산정 ···157 6.3.4비모수적 확률분포 변환 ···159 6.3.5강도정수 랜덤필드 생성 ···162 6.3.6확률론적 해석 ···163 6.3.7개선된 확률론적 응답면 기법 적용 ···168 6.3.8소 결 ···173

제 7장 요약 및 결론

···175

Ref

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ence

···179

Li

stofTabl

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Table 3.1 Coefficients of variation of different soil properties for

summarydatafrom (a)LacasseandNadim (1996)and(b)

Lumb(1974)···17

Table3.2Summaryofautocorrelationdistances···23

Table3.3 Autocorrelationfunctions···30

Table3.4 Analyticalsolutionofeigenvalueandeigenfunction ···32

Table3.5 Transformation ofprobability density function asstandard normalrandom variable···48

Table 3.6 Random variable types and the corresponding orthogonal polynomials···49

Table3.7Two-dimensionalPolynomialChaoses···51

Table3.8Three-dimensionalPolynomialChaoses···52

Table6.1Statisticalpropertiesofthecoefficientofconsolidation···88

Table6.2Statisticofgoodness of fit test···92

Table6.3ProbabilisticResultsofconsolidationanalysis···105

Table6.4Probabilitythat islessthan   ···112

Table6.5Statisticalpropertiesofthe ···126

Table6.6Thepropertiesofdeterministicparameters···127

Table6.7Physicalpropertiesofsoil···153

Table6.8SWCC fittingparametersandwettingfrontsuction···153

Table6.9Initialconditionsofinfiltrationanalysis···153

Table6.10ParametersofshearstrengthandSWCC ···154

Table6.11Statisticalpropertiesofsoilstrengthparameters ···155

Table6.12Thefailureprobabilityofslopeduetorainfallinfiltration ···163

Li

stofFi

gur

es

Fig3.1Sourcesofuncertaintyingeotechnicalsoilparameters···11

Fig3.2Uncertaintyinsoilpropertyestimates···12

Fig3.3Inherentsoilvariability···13

Fig3.4probabilisticcharacterizationoftransformationmodel···15

Fig3.5Spatialvariationofsoilproperty···20

Fig3.6Spatialvariabilitybyautocorrelationdistanceandvariance··22 Fig3.7Interpretationofarandom fieldforfixed···24

Fig3.8Interpretationofarandom fieldforfixed···25

Fig3.9Covariancesurfacefunctionsforautocorrelationdistance···31

Fig3.10Eigenvaluesofcovariancefunction···33

Fig3.11Eigenfunctionsofcovariancefunction···34

Fig 3.12 Consideration of soilvariability in geotechnicaldesign in EUROCODE 7···36

Fig3.13Classificationoftheapproaches···38

Fig3.14Surrogatemodeltoreplacetheoriginalmodel···44

Fig3.15ThedifferencebetweentheRSM andSRSM ···46

Fig3.16SchematicdepictionoftheSRSM ···47

Fig3.17RootsofHermitepolynomialsofordertwotofive···54

Fig4.1Theweightfunctionaccordingtotheinfluencedistance···59

Fig4.2Overfittingproneconditions···61

Fig4.3TheerrorofRSFsusingmulti-polynomial···62

Fig4.4Therelationshipbetweenempiricalvalueand ingeneralPDF ···63

Fig4.5Thetypesofgrowthpattern···63

Fig4.7ComparisonoftheRSFsforsamplepoints···66

Fig4.8GenerationoftheempiricalCDF···67

Fig 4.9Schematicdepiction ofnon-parametricprobability distribution transformation···68

Fig4.10Thematrixresizingofweightfunction···69

Fig4.11Flowchartof generator···71

Fig4.12Schematicdepictionofgeneratingnon-Gaussianrandom fields···72

Fig4.13PossibleLHS ofsize5fortworandom variables ···73

Fig5.1SchematicdepictionoftheTWSRSM ···76

Fig5.2SchematicdepictionoftheSDRSM ···78

Fig5.3Typeofnumericalanalysisconsideringrandom fields···81

Fig6.1Locationofstudyarea(Yeonjongdo)···86

Fig6.2 accordingtothedepthandcoefficientofcorrelation···87

Fig6.3Probabilityhistogram andcumulativedistributionfunction···88

Fig6.4 Schematicview ofthesoilcylinderwithaverticaldrain···89

Fig6.5ComparisonoftheEmpiricalCDF withtheassumedCDFs·90 Fig6.6P-P plot(assumedPDFs)···91

Fig6.7ComparisonoftheEmpiricalCDF withtheCDF by non-parametrictransformation···93

Fig6.8P-P plot(non-parametrictransformation)···94

Fig6.9Eigenvaluesforautocorrelationdistance···95

Fig6.10Errorofvarianceinrandom field···96

Fig6.11Errorofvarianceincovariancesurfacefunctions···97

Fig6.12Removaloferrorofvarianceinboundaryarea···98

Fig6.13Covariancesurfacefunctionsforautocorrelationdistance(r) ···99

Fig6.15Realizationoftherandom fieldfor and···101

Fig6.16Simulationexamplesofconsolidationdegree···102

Fig6.17Cumulativedistributionfunctionsof ···103

Fig6.18DifferenceintheprobabilisticresultsaccordingtothePDF

···104

Fig6.19Standarddeviationbyautocorrelationdistance···107

Fig6.20Sensitivityofthedegreeofconsolidationfortherandom

variableinrandom field···108

Fig6.21Sensitivitygradientfortherandom variables···109

Fig6.22Theaverageprobabilityerrorsandvarianceerrorsfor

autocorrelationdistance···110

Fig6.23Therangeofthedegreeofconsolidationforagroup···111

Fig6.24ComparisonoftheCDFsofthedegreeofconsolidationby

thereliabilityanalysismethods···113

Fig6.25ProbabilityerrorsbyTWSRSM ···114

Fig6.26AverageprobabilityerrorsbytheSDRSM ···115

Fig6.27Cumulativedistributionfunctionsof bytheSDRSM ···116

Fig6.28Theprocessofcontaminanttransport···119

Fig6.29Thegroundwaterflow throughthelayeredsoil···121

Fig6.30Thesoilprofileofthestudyarea···124

Fig6.31  accordingtothedepthandcoefficientofcorrelation··125

Fig6.32Probabilityhistogram andcumulativedistributionfunction126

Fig6.33ComparisonoftheEmpiricalCDF withtheLog-normalCDF

···128

Fig6.34P-P plot(forLog-normal)···129

Fig6.35ErrorofprobabilitybyassumedPDF···129

Fig6.36ComparisonoftheEmpiricalCDF withtheCDF by

Fig6.37P-P plot(fornon-parametrictransformation)···130

Fig6.38EigenvaluesofbyKLE terms···131

Fig6.39Errorofvarianceinrandom field···132

Fig6.40Comparisonofthemeanandstandarddeviationof···133

Fig6.41ChangesofCOV accordingtotheautocorrelationdistance134 Fig6.42TheCDFsofrelativeconcentrationforautocorrelation distance···135

Fig6.43Comparisonoftheaveragerelativeconcentrationprofiles·136 Fig6.44ThedifferencebetweentheprobabilisticresultsbythePDF of  ···137

Fig6.45Probabilityhistogram andcumulativedistributionfunction139 Fig6.46Thereproductionoftheprobabilitydistributionof by non-parametrictransformationmethod···140

Fig6.47Collocationpointsand4th-orderHermitepolynomials···141

Fig6.48TheCDFsofrelativeconcentrationbynon-parametric transformationmethod···142

Fig6.49Averageprobabilityerroraccordingtothenumberof samplingpoints···143

Fig6.50Infiltrationintoalayeredsoilprofileunderaninitially pondedcondition···147

Fig6.51Infiniteslopeconfiguration···150

Fig6.52Studyareaandcontourmapofstudyslope···152

Fig6.53Probabilityhistogram andcumulativedistributionfunction155 Fig6.54Rainfallintensityfortimelapse···156

Fig6.55Infiltrationcapacityandcorrectedrainfallintensity···157

Fig6.56Infiltrationrateofsoilandsaturateddepth···158

Fig6.58Cumulativedistributionsbythenumberofsamplingpoints

···161

Fig6.59Spatialdistributionofsoilstrengthparametersinslope····162

Fig6.60Influenceoftheautocorrelationlengthonfailureprobability·· ···163

Fig 6.61 Comparison ofprobability results by transformation method ···164

Fig6.62Frequencyofthecriticaldepth···165

Fig6.63Failureprobabilityaccordingtothesaturateddepth···166

Fig6.64Frequencyofthefailuredepth···167

Fig6.65ComparisonoftheCDFsofsafetyfactorbythereliability analysismethods···169

Fig6.66ProbabilityerrorsbyTWSRSM ···170

Fig6.67AverageprobabilityerrorsbytheSDRSM ···171

Li

stofAbbr

evi

at

i

ons

CDF :CumulativeDistributionFunction

COV :CoefficientofVariation

KLE :Karhunen-Loèveexpansion

LAS :Localaveragesubdivision

LHS :LatinHypercubeSampling

MCS :Montecarlosimulation

MPFP :MostprobableFailurePoint

NPTP :Non-ParametricTransformationofProbabilitydistribution

PCE :PolynomialChaosExpansion

PDF :ProbabilityDistributionFunction

RSF :ResponseSurfaceFunction

RSM :ResponseSurfaceMethod

SDRSM :StochasticDoubleResponseSurfaceMethod

SRSM :StochasticResponseSurfaceMethod

SWCC :Soil-WaterCharacteristicCurve

Symbol Description

∙ Trendfunction

∙ deviationfrom trend

 mean

 standarddeviation

∙ autocorrelationfunction

∙ autocovariancefunction

 separationdistance

 autocorrelationdistances

 random variable

  random field

∙ weightedfunction

_ eigenvalue

_ _{eigenfunction}

_ Kronecker-deltafunction

 reliabilityindex

 standardnormalrandom variable

∙ Hermitepolynomial

제 1장 서론

1.

1연구 배경 및 필요성

자연 상태에서 대부분 흙의 특성은 매우 높은 변동특성을 갖고 있으 며 공간에 따라 균질하지 않다.이러한 흙의 이질성은 크게 지질학적 이 질성과 퇴적환경이나 응력이력에 따라 발생되는 흙의 고유한 공간 변동

성에 의한 이질성으로 분류할 수 있다 (Elkatebetal.,2003).따라서 지

반 공학적 문제 해석에 사용되는 대부분의 토질 역학적 정수들은 불확실 성을 갖고 있으며,여기에 측정오차,실험오차,해석모델의 오차 등으로

인한 불확실성이 더해지게 된다 (Christian,2004;Lacasse and Nadim,

1996;Whitman,2000;Ronold,1992;DeGrootandBaecher,1993).기존

지반문제의 안정해석은 결정론적 방법 (Deterministicmethod)을 기반으 로 안전율의 개념을 도입하고 지반 물성의 대푯값을 이용한 해석을 수행 하여 지반의 불확실성을 반영할 수 없는 한계가 있다.최근에는 이러한 한계를 극복하고 지반을 보다 현실적으로 고려하고자 지반 물성을 확률 변수로 고려하여 불확실성을 정량적으로 고려할 수 있는 확률론적 해석 (probabilistic analysis) 방법에 대한 연구가 활발히 이루어지고 있다

(Phoon and Honjo,2005;Griffiths and Fenton,2007;Dithinde,2012;

Wu,2013;김원철 등,2005).실제 설계에 있어서도 각 설계 정수가 갖는

불확실성을 보다 합리적으로 고려하여 설계에 반영하고자 미국의

AASHTO-LRFD (Load and Resistance Factored Design)설계법이나

유럽의 Eurocode7,캐나다의 CHBDC에서와 같이 신뢰도에 기반을 둔

설계기준이 제시되었다.우리나라도 2012년 신뢰도 이론에 근거한 ‘도로

교설계기준 한계상태설계법’이 제정되어 보다 합리적이고 경제적인 설계

를 기대할 수 있으며 설계기준의 국제적 표준화,선진화라는 점에서 확 률론적 해석에 대한 필요성이 점점 대두되고 있다.

하지만,지반 물성의 불확실성은 단순한 무작위성 (randomness)이 아 닌 공간에 따른 상관성을 갖고 있으며 일반적으로 가까운 거리에 있는 경우 서로 강한 상관성을 보이며 거리가 증가하면서 상관성은 감소하게 된다.지반 물성이 상관성을 갖는 공간적 범위는 모암의 종류,생성원인, 퇴적환경 등 다양한 원인에 의하여 매우 다르게 나타나며 지반 물성의 종류에 따라서도 다른 상관거리를 갖게 된다.공간 변동성이 고려되지 않으면 지반 물성을 한 개의 확률변수로 취급하므로 공간적 위치에 관계 없이 모두 동일한 값을 나타낸다.따라서 지반 전체가 극단치를 갖는 경 우가 증가하게 되므로 지반 물성의 변동성을 과대평가 하게 되며,지반 거동의 불확실성을 확대하는 측면이 있다.하지만 실제 지반의 공학적 거동은 극단치보다 국부적으로 평균화된 물성에 지배를 받기 때문에 이 러한 공간 변동성은 더욱 중요하게 인식되고 있다. 지반의 신뢰성 해석에 있어서 또 다른 중요한 요소는 확률변수의 통 계적 특성을 제대로 파악하는 것이다.신뢰성 해석결과는 확률변수의 통 계적 특성에 직접적인 영향을 받으며 잘못된 통계적 특성은 잘못된 결과 를 도출하게 된다.Phoon etal.(2005)는 확률분포를 가정하는 것보다 가능한 많은 실제 측정치를 이용하여 신뢰성 해석을 수행하도록 제안하 였다.일반적으로 물성치의 통계적 특성은 자료 부족으로 인하여 올바른 특성을 찾기란 매우 어려우며 자료의 크기가 작은 경우 경험적 확률분포

의 형태를 따르지 않는 것으로 알려져 있다 (Benjamin and Cornell,

1970).또한,자료가 충분하다 하더라고 가정되는 확률분포는 실제 분포 와 많은 차이가 발생할 수 있으며,특정 확률분포들은 시뮬레이션 수행 시 재현하기 어려우므로 해석의 편의상 일반적으로 많이 사용되는 정규 혹은 로그정규 확률분포를 가정하여 확률론적 해석을 수행하게 된다.따 라서 현장의 지반 물성자료를 활용하여 통계적 특성을 파악하고 해석에 반영할 수 있는 방법에 대한 연구는 결과의 신뢰성 향상을 위하여 매우 중요하다.

이를 반영하려는 노력이 이루어지고 있지만 아직까지 신뢰성 기반의 해 석과 설계에 있어 지반 물성의 공간 변동성은 인식의 부족과 함께 적절 히 고려되지 못하고 있다.해석결과를 설계에 활용하기 위해서는 공간 변동성을 고려하여 하중 또는 저항에 대한 확률분포를 산정할 수 있어야 한다.하지만 공간 변동성을 고려할 경우 해석절차가 복잡하고 기존 해 석에 비하여 많은 계산을 필요로 하게 된다. 일반적으로 공간 변동성을 고려하기 위해서는 공간에 대한 이산화가 필요하며 이산화된 랜덤필드는 수치해석과 결합하여 입력값의 불확실성 및 공간변동성을 효과적으로 평가할 수 있다.하지만 이산화된 지점은 서로 다른 확률분포를 갖게 되며 수치해석과 결합됨으로써 계산량은 매 우 크게 증가하게 된다.따라서 기존 Montecarlo시뮬레이션 (MCS)과 같은 모의법에 의한 방법은 적용하기 쉽고 정확한 결과를 도출할 수 있 지만 매우 계산 집약적이 작업이 되며 분산감소기법 (Variance

Reduction Techniques)을 적용하여 시행횟수를 줄이더라도 여전히 많은

시간을 요구하게 된다.따라서 이를 현실적으로 설계에 반영하기 위해서 는 보다 쉽고 간편한 방법을 통하여 확률분포를 산정할 수 있는 방안이 모색되어야 할 필요가 있다.

1.

2연구 목적

본 연구의 목적은 크게 두 가지로 구분할 수 있다.첫 번째는 지반 물성치의 확률분포를 가정하지 않고 현장 데이터의 통계적 특성을 신뢰 성 해석에 그대로 반영하며,지반의 공간 변동성을 고려한 신뢰성 해석 을 수행하여 기존 신뢰성 해석에 비하여 보다 합리적인 결과를 도출하는 것이다.이를 위하여 현장 데이터의 확률분포를 그대로 해석에 재현할 수 있는 비모수적 확률분포 변환방법을 제안하고자 한다.지반의 공간 변동성은 제안된 방법을 통하여 비정규 랜덤필드를 생성하는 절차를 제 시하고 이에 따라 현장 물성치의 통계적 특성을 갖는 랜덤필드를 재현하 고자 한다.제안된 방법은 지반에서 발생할 수 있는 다양한 공학적 문제 의 해석에 적용하여 기존 방법과의 비교를 통하여 결과를 분석하고,공 간 변동성이 확률론적 해석결과에 미치는 영향을 평가하고자 한다. 두 번째는 공간 변동성을 고려한 신뢰성 해석을 수행함에 있어 보다 빠르고 간편한 해석을 위하여 계산 효율성을 향상시키고자 한다.이를 위하여 랜덤필드와 결합된 수치해석 문제를 결합방식 및 물성의 특성을 고려한 두 가지 형태로 구분하고 서로 다른 절차를 통한 확률론적 응답 면 기법 적용 방법을 제안하고자 하며,이에 대한 적용성을 평가하고자 한다.또한,정확성 향상을 위하여 개선된 확률론적 응답면 기법을 제안 하고 신뢰성 해석 결과의 정확성 및 효율성을 평가하고자 한다.

제 2장 연구사

2.

1공간 변동성을 고려한 신뢰성 해석

자연 상태에서 흙은 균질하지 않으며 다양한 원인에 의한 불확실성을 포함하고 있다.특히 흙의 특성은 무작위적인 불확실성이 아닌 공간적 상관구조에 따른 변동특성을 나타내며 지반의 공학적 문제에 있어 거동 에 크게 영향을 미치는 것으로 알려져 있다. 공간 평균화된 물성

(spatially averagedsoilproperties)은 지반의 변동성을 감소시키며 공간

변동성이 충분히 고려되지 못하면 지반 물성의 변동성을 과대평가할 수 있다.따라서 많은 연구자들에 의하여 다양한 지반 거동 및 공학적 문제 를 해석하는데 공간 변동성을 고려한 연구가 수행되었다.

압밀해석에 대하여 Badaouietal.(2007)은 Thin-layer방법을 통하

여 수직방향에 대한 공간 변동성을 고려한 1차원 압밀해석을 수행하였으 며 지반의 이질성은 간극수압소산과 입자의 재배열의 거동이 균질한 지 반과 다르게 나타남을 보이고 압밀을 지연시키는 원인이 된다고 하였다. Huang et al. (2008)은 확률유한요소법을 통하여 1차원 비연립 (uncoupled)압밀에 대한 상관거리와 변동계수에 따른 영향을 세 가지 유효 압밀계수를 통하여 조사하였으며,Barietal.(2012)는 연약지반에

서 Localaveragesubdivision (LAS)방법을 통하여 투수계수와 체적압

축계수의 랜덤필드를 재현하고 공간 변동성에 따른 영향을 규명하였다. 또한,봉태호 등 (2012)는 압밀계수의 랜덤필드를 급수전개방법을 통하 여 재현하고 공간변동성에 따른 압밀도의 영향을 평가하였다. 지하수 흐름에 관한 연구로는 Harterand Jim Yeh (1996)은 새로운 방법 개발을 통하여 이질성을 갖는 가변적인 포화토에서 용해 플룸 (plume)의 이동에 대한 통계적 모멘트를 분석하였으며 임의의 주어진 시 간에 대하여 매우 이질적이거나 강한 이방성을 갖는 토양의 경우 평균

농도 플룸의 횡방향 확산은 과소평가되는 반면 종방향 확산은 과대평가

된다고 하였다.Wheateretal.(2000)은 well-capture지역에서의 대수층

의 불확실성과 확산의 규모 의존에 대한 문제를 연구하였으며 확률론적

수치모델링 절차를 제시하였으며,well-protection 지역에 대한 불확실성

해석에 적용하고 지하수 관리에 대한 결과를 논의하고 지하수 관리에 보

다 합리적인 해결책을 제공함을 나타내었다.Bhattacharjeeetal.(2002)

는 흙의 물리적,지구 화학적 이질성을 고려한 바이러스 이동에 대한 연

구를 수행하여 바이러스 이동모델을 제시하였으며,Hu etal.(2003)은

수치적 모멘트 방법 (numericalmomentmethod)를 적용하여 투수계수

에 대한 다양한 규모의 이질성을 고려한 지하수 흐름과 용질 운반을 연 구하였다.지하수 흐름에 대한 연구에서 확률변수로 고려되는 지반 물성 은 투수계수이며 대부분의 연구에서 확률분포는 로그정규분포로 가정하 여 해석을 수행한 것으로 나타났다. 사면안정해석에 대하여 Tanetal.(2000)은 암반사면 내의 강도에 대 한 공간 변동성을 고려하면 신뢰지수는 높아지고 파괴확률은 감소한다고

하였으며,LiandLumb (1987),El-Ramly etal.(2002)과 Cho(2007)는

한계평형법 (limitequilibrium method)을 통한 사면안정해석에서 지반

물성의 공간변동성을 고려한 해석을 수행하였으며 공간 변동성은 안전율 의 평균에는 영향을 주지 않지만 표준편차에 큰 영향을 미치며 자기상관 거리가 커질수록 안전율의 분포가 더 넓은 범위로 커지며 파괴확률은 증 가한다고 하였다.GriffithsandFenton (2004)는 확률유한요소법을 통한 사면안정해석을 위하여 LAS를 통한 랜덤필드를 생성한 뒤 강도감소법 에 의하여 파괴확률을 산정하였으며 기존 공간 변동성을 고려하지 않을 경우 파괴확률을 비보수적으로 예측할 수 있다고 하였다.또한,Griffiths etal.(2009)는 공간 변동성을 고려한 확률유한요소법을 통하여 공간 변 동성을 무시하였을 때보다 더 높은 파괴확률을 갖는 파괴면을 찾을 수 있다고 하였다.

etal.,2005),침투해석에 대한 영향 (Fenton and Griffiths,1996;Cho,

2012; 조성은, 2011), 응력-변형에 대한 흙의 거동 (kim and

Santamarina,2006),지진 해석에 관한 영향 (황혜진,2011),콘저항력의

공간 변동성에 대한 연구 (정종홍,2008)등 많은 공학적 문제 해석에 있 어 공간 변동성에 대한 연구가 이루어지고 있다. 동일한 문제를 해석하더라도 공간 변동성을 고려하는 방법 즉,어떤 이론에 의하여 랜덤필드를 생성하였는지에 따른 차이와 해석 모델에 따 른 차이가 존재하였지만 공간 변동성에 대한 영향은 비슷하였으며 공간 변동성을 고려하지 않았을 때에 비하여 보다 합리적인 결과를 도출할 수 있는 것으로 나타났다.

2.

2확률론적 응답면 기법

신뢰성 해석 방법 중 MCS 기법은 수학적으로 정식화하기 힘든 경우 나 한계상태식이 음함수 (implicitfunction)의 형태로 나타나는 경우에도 쉽게 적용가능하기 때문에 다양한 분야에서 널리 활용되고 있다.하지만, 해석하고자 하는 대상의 규모가 커지고 모델이 복잡해지면 수치해석은 매우 계산 집약적인 작업이 되며 한 번의 해석 수행을 위해서도 많은 시 간을 필요로 하게 된다.따라서 정확성을 떨어뜨리지 않고 계산횟수를

감소시키기 방법으로 중요도 추출법 (importancesampling)이나 Markov

chainMonteCarlo시뮬레이션 (Au,2001),quasi-MonteCarlo시뮬레이

션 (RobinsonandAtcitty,1999)등과 같은 다양한 분산감소기법이 제안

되었다.또 다른 방법으로는 계산량이 많은 수치적 모델을 근사적인 모 델로 교체하여 해석을 수행하는 방법으로 일반적으로 사용되는 근사모델

방법은 응답면 기법 (response surface method),인공신경망 (artificial

neuralnetwork)기법,크리깅 (kriging)기법 등이 있다.확률론적 응답

면 기법 (StochasticResponseSurfaceMethod,SRSM)은 기존 응답면

기법을 확률변수를 입력값으로 활용하도록 확장시킨 방법으로 SRSM의 적용에 대한 연구는 Isukapallietal.(1998)이 환경적,생물학적 시스템 에 SRSM을 적용시켜 불확실성에 대한 해석을 수행하였으며 MCS 결과 와 매우 흡사한 결과를 얻을 수 있음을 증명하였다.이후 Isukapalliet al.(2000)은 자동 미분을 SRSM과 결합하여 효율적인 민감도 및 불확실 성 분석을 수행한 바 있다.Wang and Kim (2006)은 켄틸레버 보의 해 석에 SRSM을 적용하여 정확성과 효율성을 증명하고 SRSM을 통한 강

건한 (robust) 설계와 민감도 분석을 제안하였다.Phoon and Huang

(2007)은 무한사면안정해석에 있어 collocation기반의 SRSM을 적용하고

표본점의 선정에 따른 해석결과를 비교하였다.Bong et al.(2012)은

행한 바 있다.또한,봉태호 등 (2013)은 저수지 제체의 침투수량 해석에 있어 기존 범용적인 수치해석프로그램에 대하여 이동최소자승법이 결합 된 확률론적 응답면 기법을 적용하여 효과적으로 확률론적 해석을 수행 할 수 있음을 증명하였다. 확률론적 응답면 기법의 성능을 향상시키기 위한 연구는 크게 두 가 지로 분류할 수 있다.첫 번째는 PCE의 계수에 대하여 보다 정확한 예 측을 위하여 효과적인 표본점 생성에 대한 기법을 연구하는 것이며,두 번째는 계수의 산정 시 동일한 표본점 수를 이용하더라도 보다 진보된 전략을 통하여 응답면의 성능을 향상시키는 것이다. 수학적으로 다루기 쉬운 비선형식에 대해서는 PCE의 미지의 계수는 일반적으로 확률변수의 기대값에 대한 가중함수를 갖는 Galerkin방법을

이용하여 산정할 수 있다 (Villadsen and Michelsen,1978).Tatang

(1995)는 Galerkin 방법의 경우 모델의 구성식을 알아야하지만 일반적으 로 다뤄지는 대부분의 모델들은 내재적 (implicit)으로 표현되거나 입력 과 출력사이의 관계를 알 수 없는 블랙박스 (black-box)형태의 모델이 므로 이에 대한 적용을 위하여 확률론적 선점법 (Probabilistic collocation Method)을 제안하였다.이 방법은 선택된 선점에 대하여 모 델의 결과값이 정확하게 예측되도록 요구하기 때문에 선점에서의 오차는 0과 같다.하지만 확률론적 선점법은 기저다항식보다 1차 높은 Hermite 다항식의 근에 대한 조합으로 선점들이 선택되므로 입력변수와 기저다항 식의 차수가 증가함에 따라 선점의 개수는 기하급수적으로 증가하게 된 다.따라서 선점의 최적 선택에 대한 문제가 발생하게 되며 선점의 선택 에 따라 다른 확률론적 결과를 도출하게 된다.또 다른 단점으로는 때때 로 Hermite다항식의 근이 높은 확률빈도를 갖는 값을 갖지 않기 때문 에 적절하지 못한 PCE가 수행될 수 있다는 점이다.따라서 Isukapalli (1999)는 이를 보안하기 위하여 간단한 휴리스틱 (heuristic)기법을 이용 하여 근의 조합에 따른 선점들로부터 적절한 선점들을 선택하는 방법을 제안하였다.

응답면에 대한 표본점을 증가시키지 않고 보다 정확한 결과를 예측하

기 위한 방법으로 Hosderetal.(2007)은 임의 추출,Latinhypercube와

Hemmasy표본 추출방법에 따른 SRSM의 정확성과 수렴성에 대한 비교

연구를 수행하였다.Sudret(2008)은 기존 SRSM은 모든 표본점이 동일

한 가중치로 취급되지만 발생확률이 높은 공간의 표본점은 평균제곱오차 에 더 큰 영향을 기여를 할 수 있으므로 표본점의 확률론적 가중치를 고

려해야함을 제안하였다.Xiong etal.(2011)은 SRSM에서 세 가지 샘플

링 기법 (Gaussian quadrature,Latin hypercube design,Momomial

cubature rule)에 대한 확률론적 가중치를 결정하는 방법을 개발하였으

며,이에 따른 표본점에 가중치를 부여하여 확률론적 해석을 수행함으로 써 보다 정확한 결과를 얻을 수 있음을 증명하였다.

제 3장 이론적 배경

3.

1지반 물성의 불확실성 (

Uncer

t

ai

nt

y)

3.1.1불확실성의 원인 지반 물성의 불확실성은 우연적 (aleatory) 불확실성과 인지적 (epistemic)불확실성의 두 가지 형태로 나눌 수 있다 (Fig.3.1).우연적 불확실성은 지반 물성의 자연적 가변성을 나타내며 공간 변동성의 함수 로 나타낼 수 있다.이 불확실성은 줄이거나 없앨 수 없으며 ‘통계적 불 확실성’으로 알려져 있다.인지적 불확실성은 어떤 현상에 대한 정보나 지식의 부족에 의해서 발생하는 불확실성으로 ‘체계적 불확실성’으로도 알려져 있다.표본의 불확실성은 물성들이 한정적인 자료들로부터 예측 되기 때문에 발생하며 실험의 불확실성은 장비나 저장방법의 결함에 의 한 것이다.인지적 불확실성은 추가 정보를 수집하거나 측정장비 및 방

법을 개선함으로써 감소시킬 수 있다 (LacasseandNadim,1996).

Aleatory

Uncertain in soil properties

Epistemic Spatial Variability Random Testing Errors Measurements Procedures Statistical Error (Too Few Data)

Fig3.1Sourcesofuncertaintyingeotechnicalsoilparameters

Kulhawy (1992)은 지반 물성 예측에서의 불확실성은 고유 변동성

(inherentvariability),측정오차 (measurementerrors)와 변환 불확실성

(transformation uncertainty)세 가지 요인에 기인하는 것으로 분류하였

다 (Fig.3.2). Inherent soil variability Soil property In-situ measurement Transformation models Estimated soil properties Data scatter Statistical uncertainty Model uncertainty Inherent soil variability Measurement errors

Fig3.2Uncertaintyinsoilpropertyestimates

3.1.1.1지반의 고유 변동성 지반의 고유 변동성은 다양한 지질학적,환경적,물리화학적 과정에 따른 결과로,이들 대부분의 과정들은 계속 진행되고 있으며 지반의 물 성은 변하게 된다.이러한 자연적 과정 때문에 현장에서의 지반 물성은 수직적,수평적으로 매우 다양하게 나타나게 된다.Fig.3.3은 현장에서 지반 물성 ()의 고유한 공간적 변동성을 나타낸다.공간적 변동성은 추 세 함수,와 변동성분,으로 분리할 수 있으며 변동성분은 지반 의 고유한 변동성을 의미한다.    (3.1)

Ground surface Layer 1

Layer i Layer j Deviation from trend, v(z)

Trend, T(z) Soil property, Y(z)

z

l1 i l j l Scale of fluctuation, dV

Fig3.3Inherentsoilvariability(PhoonandKulhawy,1999)

3.1.1.2측정 오차

모든 지반의 물성은 물리적 수단에 의하여 측정되는데,이런 측정과 정은 지반의 불확실성을 추가하게 된다.측정된 물성의 전체적인 변동성

은 다음과 같이 표현할 수 있다 (Lumb,1971;Orchantetal.,1988).

_  (3.2)

여기서,는 측정오차를 나타내며 식 (3.1)에 대입하면 다음과 같

다.

두 불확실성 요소 와 는 서로 관련이 없는 원인으로부터 도

출되었으므로 일반적으로 상관성이 없는 것으로 가정한다 (Baecher,

1986;Filippasetal.,1988).

측정오차는 장비,측정절차,시험자,임의 시험오차 (random testing errors)에 따른 영향 등에 의하여 발생하게 된다.장비의 영향은 측정 장 비의 부정확성과 반복적인 실험에 대한 시스템적 변동성이다.또한,현존 하는 시험 혹은 측정절차의 한계에 의하여 오차가 발생하기도 한다.일 반적으로 시험결과는 시험자의 의존도가 매우 높으며 복잡한 시험절차 과정이 간단한 절차보다 더 높은 변동성을 갖게 된다.임의 시험오차는 시험결과의 잔여 분산을 의미하며 이는 지반의 고유한 변동성에 의한 원 인이 아니다. 3.1.1.3변환 불확실성 지반 공학적 실험에 의한 직접적인 측정치는 일반적으로 설계에 바로 적용할 수가 없다.따라서 시험 측정치를 적절한 설계값으로 변환하기 위한 변환 모델이 필요하다.대부분의 변환모델은 시험적 결과의 피팅 (fitting)을 통하여 얻어지므로 불확실성의 정도를 어느 정도 파악할 수 있다. 하지만 변환 불확실성은 이론을 이상화 (idealization), 단순화 (simplification)함에 따라 이론적 관계에 대하여 여전히 존재한다.변환 모델에서 데이터의 분산은 확률론적 방법을 사용하여 정량화할 수 있다. 일반적인 변환 모델은 회귀분석을 통하여 평가되며 회귀곡선에서 데이터

의 분산정도는 평균이 0인 확률변수 (random variable)로 모델링된다.확

D es ig n P ro pe rt y, Measured Property, Histogram of measured property uncertainty v(z) and e(z) Histogram of transformation uncertainty Transformation model

3.1.2불확실성의 정량화

지반 물성의 불확실성은 평균,표준편차와 확률밀도함수 (Probability

Distribution Function,PDF)로 표현되는 확률변수에 의하여 가장 잘 정

의된다 (Lacasse and Nadim,1996).평균(_)과 표준편차(_)는 다음과

같이 표현할 수 있다. __{ ≈ }  



    _ (3.4) _







 _

_

_≈



_{ }



    _ _



 (3.5) 여기서, _는 변수를 나타내며 은 자료의 수이다. 변동계수

(CoefficientofVariation,COV)는 표준편차를 평균으로 정규화한 무차

원의 통계치이며 확률변수의 변동성에 대한 지표로 활용된다. _{ }  _ (3.6) 지반공학분야에서 주로 사용되는 확률분포함수는 정규분포 (Normal

distribution),로그정규분포 (Log-normaldistribution),그리고 균등분포

(uniform distribution)이다.균등분포는 특정 범위에서 값이 존재할 확

률이 일정할 때 사용된다.지반 물성치의 일반적인 변동계수 및 확률분

Table3.1Coefficientsofvariationofdifferentsoilpropertiesforsummarydatafrom (a)LacasseandNadim

(1996)and(b)Lumb(1974)

(a)Soilproperty Soiltype PDF Mean COV(%)

Coneresistance SandClay LN * *

Clay N/LN

Undrainedshearstrength

Clay(triaxial) LN * 5-20 Clay LN 10-35 Clayeyslit N 10-30 Ratio_′_ Clay N/LN * 5-15 Plasticlimit Clay N 0.13-0.23 3-20 Liquidlimit Clay N 0.30-0.80 3-20

Submergedunitweight Allsoils N 5-11(kN/m3_{) 0-10}

Frictionangle Sand N * 2-5

Voidratio,porosity,initialvoidratio Allsoils N * 7-30

Overconsolidationratio Clay N/LN * 10-35

(b)Soilproperty

Density Allsoils 5-10

Voidsratio Allsoils 15-30

Permeability Allsoils 200-300

Compressibility Allsoils 25-30

Undrainedcohesion(clay) Allsoils 20-50

Tangentofangleofshearingresistance(sand) Allsoils 5-15

확률분포는 지반 물성치가 어느 구간에 얼마만큼 분산되어 있는지를 나타내는 것으로 정규분포를 가지는 확률변수 의 PDF는 다음과 같다. _{  }



_{ }   exp 



_{ }  



_    _



_ 



(3.7) 이에 따라 확률변수 는 평균과 표준편차를 이용하여 _ _로 표 현할 수 있다.확률변수 에 대하여   ln가 정규분포를 가지는 경우 가 로그정규분포를 가진다고 하며 다음과 같이 표현할 수 있다.   

_

_  _  exp 



_{ }  



_    _







  ∞    ∞ (3.8)   ln이므로 식을 에 대하여 다시 쓰면 다음과 같다. _{  }



_{ }   exp 



_{ }  



_  ln _



_ 



  ≧  (3.9) _ ln 



_

_ _ 



   



_(3.10) _ ln_{ }   _ (3.11)

누적분포함수 (CumulativeDistributionFunction,CDF)는 확률변수가

특정한 값과 같거나 작을 확률을 나타내는 함수로 PDF에 대한 구간별 누적 확률값을 나타낸다.가 보다 작거나 같을 확률은 다음과 같이 나 타낼 수 있다.

  ≦  



 ∞ 

 (3.12)

3.

2공간 변동성 (

Spat

i

alvar

i

abi

l

i

t

y)

3.2.1공간 변동성의 개념 지반 물성은 무작위성이 아닌 거리에 따라 점진적인 변화 (gradual variation)양상을 나타내는 공간적 의존성을 보인다.이러한 공간 변동성 은 제거하거나 줄일 수 없는 흙의 고유한 불확실성으로 이를 고려하여 지반 물성을 예측함으로써 보다 나은 결과를 얻을 수 있다.식 (3.1)을  방향에 관한 함수로 표현하면 다음과 같으며,거리에 따른 공간 변동 성은 Fig.3.5와 같이 나타날 수 있다.    (3.13) 추세함수는 일반적으로 회귀분석을 통하여 산정되며 추세제거에 따른 변동성분은 일반적으로 비상관성을 갖는 값으로 가정된다.하지만 데이 터의 표본거리가 매우 크지 않으면 이러한 가정은 지질학적 자료의 질을 떨어뜨리게 된다.지반 물성은 추세곡선에 대한 변동성분이 파형으로 나 타나는 강한 공간 상관구조를 갖는 경향이 있다. ) (X w _{T( X)} ) ( X Y X

통계적으로 변동성분 사이의 상관성은 추세곡선으로 설명할 수 없는 자료 공간패턴의 중요한 부분을 함축하고 있다.이러한 상관구조는 계측 되지 않은 지역의 물성에 대한 예측 정확성을 향상시키고 설계의 신뢰성 을 평가하는데 중요하다. 지반의 공간 의존적 성질을 정량적으로 고려하기 위한 방법으로 지반 내 특성이 강한 상관성을 나타내는 공간적 범위를 표현하기 위하여

Vanmarcke(1983)는 변동모수 (scaleoffluctuation)의 개념을 도입하였

다.변동모수가 크다는 것은 넓은 영역에 걸쳐 지반 물성이 강한 상관성 을 가짐을 의미하는 것으로 지반 물성이 공간상에서 점진적으로 변화하 며,반면에 작은 변동모수를 갖는다는 것은 지반 물성의 상관성이 좁은 영역에서 나타나고 지반 물성의 변동성은 크게 나타나게 된다.결론적으 로 변동모수가 큰 지반은 공간상에서 매우 균질한 (uniform)특성을 가 지며,반면에 변동모수가 작으면 공간상에서 무작위적 (randomness)인 특성을 지니게 됨을 의미한다. 3.2.2자기상관거리 일반적으로 지반특성에 대한 랜덤필드에서 변동모수는 공분산함수에 대한 상관거리로 대체되는데 DeGrootandBaecher(1993)는 자기상관함 수가 까지 감소하는 거리인 자기상관거리 (autocorrelation distance) 를 지표로 사용하였다.추세성분이 제거된 변동성분 와 의 상 관성은 자기상관함수라 불리는 두 성분의 분리거리 (  _ _)에 의한 함수로 표현할 수 있으며 다음 식과 같이 표현된다. _{  }   __{ } (3.14) 여기서,은 자기상관함수이며 는 변동성분의 분산을 나

타낸다.__{ }는 __{ }와 같으며 분리 거리 에 대 한 공분산이다. 만약 분리된 거리가 0이면 자기상관함수는 1의 값을 갖으며 대부분의 지반 물성은 거리가 증가함에 따라 자기상관함수가 0으로 감소한다.만 약 자기상관함수에 변동성분의 분산,을 곱하면 다음과 같은 자 기공분산 함수,를 얻을 수 있다.  __{ } (3.15) 자기상관함수와 자기공분산 함수의 관계는 자기상관과 자기공분산이 분리거리의 함수라는 것만 제외하면 상관계수와 공분산의 관계와 동일하 다.지반 물성값의 자기상관거리 ()및 분산 ()에 따른 변동성의 차이 는 Fig.3.6과 같다. Low r High r H ig h σ 2 L ow σ 2

Soilproperty autocorrelation

distance(m) Source

Undrainedshear

strength =2.5～ 6.0 AsoakaandGrivas,1982

Penetrometer

resistance =40.0～ 70.0 Mulla,1988

Shearstrength _ =2.0 Ronold,1990

Permeability _ =12.0～ 16.0 Unluetal.,1990

Shearstrength  =2.0 _ =20.0 Soulieetal.,1990 Permeability  =3.2 _ =25.0 Rehfeldetal.,1992 Permeability  =0.2～ 1.0 _ =2.0～ 10.0 Hessetal.,1992

Coneresistance _ =1.5 Chaissonetal.,1995

Coneresistance _ =20～ 35 VrouwenvelderandCalle,

2003

Coneresistance  =0.8～ 1.8 Popescuetal.,1995

Dilatometer _ =0.5～ 2.0 Jaksaetal.,2004

Huberetal.(2009)는 여러 연구자들에 의해 제시된 다양한 지반 물

성의 자기상관거리를 요약하였으며,이를 Table3.2에 정리하였다.

3.

3랜덤필드 (

Random f

i

el

ds)

3.3.1랜덤필드의 개념 지반의 물리적 특성은 시간이나 공간에 따라 다르게 나타나며 이와 같이 시간이나 공간이 다른 물리량의 불확실성은 확률과정 (random process)이나 랜덤필드를 통하여 모델링 되어야 한다.랜덤필드   는 확률변수들의 집합으로 해석할 수 있으며 ∈,∈Ω이다.여기서 는 n차원 유클리드 공간 영역이며,Ω는 표본공간 (sample space)을 나타낸다.첫 번째 랜덤필드의 해석은 공간상에 고정된 지점,_∈ 가 주어짐에 따른 랜덤필드 _ 로 의 함수이므로 확률변수이며 Fig. 3.7과 같다.

Fig3.7Interpretationofarandom fieldforfixed

두 번째 랜덤필드의 해석은 표본공간의 특정 표본,∈Ω가 고정됨에

따른 랜덤필드  로 의 함수로 Fig.3.8과 같은 필드의 재현을 나

Fig3.8Interpretationofarandom fieldforfixed 여기서,가 1차원 이상의 공간에서 변화하는 경우를 랜덤필드라 한 다. 3.3.2랜덤필드 이산화 방법 지반 물성의 공간적 변동성은 랜덤필드로 표현할 수 있다.유한요소 법이나 유한차분법과 같은 수치해석법은 불연속적인 특성을 가지므로 공 간 변동성을 고려한 해석을 수행하기 위해서는 랜덤필드의 공간적 이산 화 (discretization)가 필요하다.기존 랜덤필드 이산화 방법은 크게 3가지

그룹으로 분류할 수 있다 (SudretandDerKiureghian,2000).

3.3.2.1점 이산화법 (Pointdiscretization method)

임의의 점 에서의 확률변수 는 다음 식과 같이 함수 로 표

현할 수 있다.

점의 개수는 확률변수의 양에 따라 결정되며 의 통계적 특성은 _에서 랜덤필드의 통계적 특성이다.두 확률변수 _와 _의 공분 산은 자기공분산함수로부터 구할 수 있으며 이에 따라 공분산 행렬을 구 할 수 있다.행렬의 값은 항상 양의 값을 갖으며 이것은 이 방법의 주요 장점 중 하나이다.단점은 선택된 두 점 사이의 거리가 랜덤필드의 상관 길이에 비해 작아야 한다는 것이다.따라서 확률변수의 수가 필드의 랜 덤 특성을 덮을 수 있을 정도로 많아야 하므로 오직 큰 상관거리를 갖는 랜덤필드를 생성하는데 유용한다.점 이산화법을 통한 랜덤필드 생성 방

법으로는 중심점법 (Midpoint method), 형상함수법 (Shape function

method),적분점법 (Integration pointmethod),최적선형추정법 (optimal

linearestimationmethod,OLE)등이 있다.

3.3.2.2평균 이산화법 (Averagediscretization method)

확률변수 _는 다음 식과 같이 해석영역 ∆에서 의 가중적분으 로 표현된다. _



∆   (3.17) 추계론적 유한요소법에 사용될 때,해석영역 ∆은  요소의 면적과 같다.이 방법의 단점은 사각형이 아닌 요소의 근사치는 (-)값을 갖는 공분산 행렬이 발생할 수 있으며 확률변수의 확률분포함수는 정규확률분 포를 갖는 랜덤필드를 제외하고는 구하기 어렵거나 불가능할 수도 있다. 따라서 이 방법은 랜덤필드가 정규확률분포를 갖는 경우에만 제한적으로 적용할 수 있다.평균 이산화법을 통한 랜덤필드 생성 방법으로는 공간

3.3.2.3급수전개 이산화법 (Seriesexpansion discretization method) 급수전개 이산화법은 다음과 같이 직교하는 확률변수 _와 결정론적 함수 의 급수를 통하여 랜덤필드를 표현하는 방법이다.   



   ∞ __ (3.18) 랜덤필드는 유한한 항까지의 전개를 통해서 확률변수의 집합으로 표 현되며 이것은 랜덤필드의 이산화로 간주할 수 있다.이 방법의 가장 큰 장점은 확률변수의 수는 유한 요소망에서 요소 수와 독립적이며 작은 수 의 항을 고려하는 것만으로도 작은 분산오차를 보장할 수 있다는 점이

다. 급수전개를 통한 이산화법으로는 KLE (Karhunen-Loève

expansion),OSE (Orthogonal series expansion), EOLE (Expansion

3.

4Kar

hunen-Loèveexpansi

on

지반의 공간 변동성은 랜덤필드를 통하여 효과적으로 나타낼 수 있으 며 3.2.2절에서 언급한 바와 같이 랜덤필드를 생성하기 위한 다양한 방법 이 존재한다.하지만 점 이산화법이나 평균 이산화법과 같은 경우 랜덤 필드를 정확하게 근사하기 위해서는 많은 수의 확률변수가 필요하다는 점에서 효율성이 낮으며 보다 효율적인 이산화를 위하여 다양한 급수 전 개법들이 개발되었다.특히,급수 전개법들 중에서 KLE에 의한 랜덤필 드 이산화는 모든 정규직교기저 중에서 가장 효율적이며 자기상관함수가 지수함수인 경우 분산오차가 작아 높은 정확성을 갖는 것으로 나타났다

(Buckheit,1996;Sudretand DerKiureghian,2000).따라서 본 연구에

서는 KLE를 통하여 랜덤필드 이산화를 수행하였다.

3.4.1랜덤필드 이산화

KLE는 자기공분산함수의 스펙트럼 분해 (spectraldecomposition)를

기반으로 한 랜덤필드 생성 방법으로 비상관 랜덤변수와 결정론적 직교 함수에 관하여 2차 모멘트 특성을 제공한다. KLE에 의한 평균 과 분산 을 갖는 랜덤필드, 는 다 음과 같이 표현할 수 있다 (SpanosandGhanem,1989).    _ _



   ∞



___ ∈ (3.19) 여기서,와 는 각각 입력변수에 대한 공분산함수  의 고 유치 및 고유함수를 나타낸다. 공분산함수는 대칭, 양정치 (positive definite)이며,Mercer의 정리에 따라 다음 식과 같은 스펙트럼 분해를

갖는다. _ _ 



   ∞ _____ (3.20) _는 비상관 랜덤변수로 이루어진 벡터로 식 (3.21)과 같다. _{  }



_  



_ _ (3.21) 

_





  (3.22a) 

_

__

_

 _ (3.22b)

여기서, 는 Kronecker-delta함수이다.공분산함수의 고유치 및 고

유함수는 다음 식에 의하여 주어지는 두 종류의 프레드홀름 (Fredholm) 적분방정식의 해로써 얻을 수 있다.



_Ω_ ____  ___ (3.23) 특히,고유함수는 다음 식을 만족하는 완전 직교한 성질을 갖는다.



_Ω__  _ (3.24) 지반공학 분야에서 사용되는 자기상관함수는 Baecherand Christian

(2003)과 Rackwitz(2000)에 의하여 제시되어 있으며,Table3.3에 정리

Table3.3Autocorrelationfunctions

Model Autocorrelationfunction

Singleexponential  

Squaredexponential



 





Cosineexponential  cos

Whitenoise _{  }i f  

Binarynoise(linear)   



i f ≤ 

  

 :distanceoftwopoints

 :autocorrelationdistance

본 연구에서는 지반분야에서 가장 널리 사용되는 지수형태의 자기상 관함수를 적용하였으며,이에 따른 공분산함수는 다음과 같다. _ _  _  _(3.25) 해석 공간 내 이산화된 각 지점사이의 상관성은 공분산 표면함수를 통하여 쉽게 확인할 수 있으며,Fig.3.9는 해석영역이 [-3,3]이며 자기 상관거리가 1,2,3m인 경우 지수형태의 공분산 표면함수를 나타낸다.

(a)r=1.0m (b)r=2.0m (c)r=3.0m

공분산 표면함수의 그래프에서 공분산값이 크다는 것은 높은 상관성 을 의미하며 그래프를 통하여 실제 자기 자신과의 상관성이 가장 크게 나타나며 거리가 멀어질수록 상관성이 감소하여 작은 공분산 값이 나타 남을 확인할 수 있다.자기상관거리에 따른 그래프를 비교하면,자기상관 거리가 클수록 각 지점에서의 거리에 따른 상관성이 커지므로 전체적인 공분산값이 증가하게 되며 더 완만한 그래프를 나타내는 것을 확인할 수 있다. 랜덤필드의 1차원 해석영역 (Ω)을 [-a,a]라고 하면 고유치 및 고유 함수는 식 (3.26)에 의하여 주어지는 적분방정식의 해로써 얻을 수 있으

며 Ghanem and Spanos (2012)가 제시한 해석해 (Table 3.4)를 통하여

쉽게 구할 수 있다. 



     _   (3.26)

Table3.4Analyticalsolutionofeigenvalueandeigenfunction

 =odd  =even _    _  _   



   _  sin cos_ _{  }



  _  sin sin_ 여기서,는 홀수일 경우 식 (3.27),짝수일 경우 식 (3.28)의 해이 며 초월함수로 그래프나 MATLAB의 ∙ 함수를 이용하여 구할 수 있다.

_ tan   (3.27) _ tan   (3.28) 3.4.2랜덤필드의 오차추정 정확한 랜덤필드의 근사를 위해서는 KLE는 전개항을 무한대 (∞)로 수행하여야 하지만 실제 적용을 위해서는 다음 식과 같이 적절한 유한개 의 항 ()을 선정하여 랜덤필드를 생성하게 된다.    _ _



   



_  (3.29) 항의 전개를 나타내는 값의 증가에 따른 일반적인 고유치 및 고유함 수의 변화는 Fig.3.10,Fig.3.11과 같다.

Fig3.11Eigenfunctionsofcovariancefunction 고유치는 KLE의 가 증가함에 따라 초기 급격하게 감소하고 점점 0 에 수렴하는 경향을 나타낸다.따라서 항이 어느 정도 증가하게 되면 이 에 대한 고유값은 거의 0에 가까워지며 랜덤필드에 미치는 영향도 감소 하므로 제한된 항의 개수는 이를 통하여 간접적으로 선정할 수 있다.고 유함수의 경우 sin함수 및 cos함수로 이루어진 주기함수로 값이 증가함 에 따라 그 주기가 점점 짧아짐을 확인할 수 있다.특히,해석영역의 중 심을 기준으로 홀수항의 경우 좌우 대칭인 함수를 나타내며 짝수항의 경 우 좌우 역대칭인 함수를 나타낸다. 제한된 항 ()까지 KLE를 통하여 재현된 랜덤필드의 분산은 다음 식과 같이 나타낼 수 있다.    _ _ 



     (3.30) 일반적으로 포함되는 항의 수가 많을수록 분산은 목표값에 수렴하 게 되므로 제한된 항까지 KLE를 수행하게 되면 항상

 _ _ _ _ 의 관계를 보이게 된다.따라서 적절한 항까지 전개 를 수행하지 않으면 이산화된 랜덤필드의 값은 실제 지반의 변동성을 과 소평가할 수 있다.해석영역에서의 분산이    _{인 경우,항} 까지 전개함에 따른 변동성에 대한 오차의 추정은 식 (3.31)에 의하여 나타낼 수 있다 (DiegoandVincenzo,2009).   _    



_

   ∞ 



  







  ∞ __   



    __ (3.31)

3.

5신뢰성 해석 (

Rel

i

abi

l

i

t

y anal

ysi

s)

3.5.1신뢰성 해석의 종류 신뢰성 설계란 공학문제에 필연적으로 내재될 수밖에 없는 임의성 (randomness),불확실성 (uncertainty)을 정량적으로 고려하여 설계를 수 행하는 것으로 설계 시 지반 물성의 불확실성을 고려하기 위해서는 불확 실성을 정량화하고 이에 따른 변동성이 해석결과에 미치는 영향을 파악 해야 하는데 이는 신뢰성 해석을 통하여 이루어진다. Fig. 3.12는 EUROCODE 7에서 지반 설계 시 지반의 변동성을 고려하는 과정을 나 타낸다.여기에는 두 가지 과정의 부분안전율 보정을 제공하고 있으며 첫째는 결정론적 방법에 의한 보정이고,두 번째는 반 (semi)확률론적 혹은 전 (full)확률론적 방법에 의한 보정이다. Deterministic methods Procedure 1 Historical methods Empirical methods Semi-probabilistic Methods (Level Ⅰ) Probabilistic methods Procedure 2 FORM (Level Ⅱ) Full probabilistic (Level Ⅲ) Calibration Calibration Calibration Partial factor design Method c Method a Method b

Fig3.12Considerationofsoilvariabilityingeotechnicaldesignin

신뢰성 설계를 수행하기 위해서는 불확실성 전파 (propagation)에 대 한 해석이 우선적으로 이루어져야 하며 다양한 확률론적 접근방법이 존 재한다.지반 물성의 불확실성은 확률변수로 표현되며 불확실성의 공간 적 특성은 이산화된 확률변수의 집합으로 구성된 랜덤필드에 의하여 모 델링된다.확률론적 접근방법은 결과로부터 얻고자하는 정보의 종류에 따라 다음과 같이 세 가지로 분류할 수 있다 (Sudret and Der Kiureghian,2000).

․ 응답변동성법 (Responsevariabilitymethods)

․ 신뢰성법 (Reliabilitymethods)

․ 확률유한요소법 (Stochasticfinitemethods)

이들 방법은 불확실성을 정량적으로 고려하고자 하는 기본적 목적은 동일하지만 결과에 대한 정보의 차이가 존재하게 된다.응답변동성법은 불확실성 전파에 따른 응답의 확률밀도함수나 응답량의 통계적 모멘트를 계산을 목적으로 하며,신뢰성법은 한계상태식을 정의하고 시스템의 파 괴확률을 평가하는 것을 목적으로 한다.일반적으로 파괴는 거의 발생하 지 않는 사건과 관련이 있으므로 매우 작은 확률을 갖는 확률분포의 꼬 리부분이 관심영역이 된다.확률유한요소법은 랜덤필드로 간주되는 전체 적인 확률 구조를 평가하는 것을 목적으로 한다.따라서 각 이산화된 지 점들의 확률분포를 산정하고 평가하게 된다.응답변동성법과 신뢰성법의 입력값은 확률변수이며 이에 대한 응답량 또한 확률변수이다.반면에 확 률유한요소법의 응답은 랜덤필드로 나타나며 이에 따라 전체적인 확률 구조를 평가할 수 있다.Fig.3.13은 확률론적 접근방법 분류에 따른 개 요를 나타낸다.

) (x fy

x

(a) (b) (c)

Fig3.13Classificationoftheapproaches(a)Responsevariability

methods(b)Reliabilitymethods(c)Stochasticfiniteelementmethods.

3.5.2신뢰성 설계기법 3.5.2.1Level1신뢰성 설계법 Level1의 신뢰성 설계법은 신뢰성 해석에 의한 확률론적 안전성 평 가라는 기본 틀을 유지하면서 기존의 확정론적 접근법에 기초하여 마련 된 설계시방서에서와 유사한 형태의 설계지침을 제공한다.즉,이 방법에 서는 최종적으로 구조물이 확보해야 할 안전도를 목표 신뢰도 지수 (targetreliability index)로 삼아 기존의 안전계수 개념과 유사하게 각 저항성분과 하중성분에 대해 목표한 안전성을 확보하기 위한 부분안전계 수(partialsafetyfactor)들을 계산하여 이용한다.다음과 같이 하나의 저 항성분 과 하나의 하중성분 에 의해 정의되는 한계상태식은 다음과 같이 표현할 수 있다.   (3.32) 신뢰도지수 는 다음과 같으므로,

  







_

 

_



_

 

_ (3.33) 하중성분의 평균과 표준편차,저항성분의 표준편차가 결정된 경우에 목표 신뢰도지수 를 보장하도록 하기 위한 저항성분의 평균은 다음과 같이 얻어진다. _ _ _



_ _ (3.34) 동일한 안전도 를 위한 설계를 목적으로 하더라도 한계상태식을 정 의하는 확률변수의 이산성이 클수록 저항성분의 평균도 증가하므로,확 정론적 입장에서 일반적으로 이용되는 중심안전계수 (central safety factor)_가 증가되어야 함을 알 수 있다. _{ } _ _ (3.35) 한계상태식에 대하여 확률론적으로 신뢰도지수  이상의 안전도가 보장되기 위해서는 한계상태식의 평균과 표준편차를 각각   라고 할 때,다음의 조건을 만족해야 한다. _ ≥ _ _ (3.36) 한계상태식의 평균 _와 표준편차 _는 다음의 식으로 나타내어진다. _ _ _ (3.37)