전자장 2012년 2학기 중간시험 문제지 및 답안지

* 다음 문제에 답하시오. 1.다음은 Maxwell 방정식이다. 물음에 답하시오.(필수, 45) ① Maxwell 방정식을 쓰고, E, H, D, B 단위와 이들 사이의 관계를 나타내 는 보조식 3개를 쓰시오? ② 발산정리와 Stokes 정리를 쓰고, 수식이 의미하는 바를 설명하시오.. ○ 벡터의 발산(divergence) 표면적이 S 인 미소체적 Δv 로부터 외부로 빠져나가는 임의의 물리 량인 벡터 A 의 총량을 미소체적 Δv 로 나눈 스칼라 값

○ 발산정리(divergence theorem) 또는 가우스 정리(Gauss theorem) 임의의 체적 V 에서 발산되는 총량 = 체적 V 의 폐곡면 S 를 통 해 빠져나가는 총량 (찐방 공식으로 찐방 내부에서 발생한 김은 찐 방 표면을 통해서 빠져나가는 양과 같다. 틀리면 찐방이 부풀어 오르 거나 쪼그라짐)

2012_2 전자기학 중간고사 답안지

E 전계, 전기력선 밀도 V/m N/C Lines/m2 H 자계, 자기력선 밀도 A/m N/Wb Lines/m2 D 전속밀도, 전속선 밀도 C/m2 _{- Lines/m}2 B 자속밀도, 자속선 밀도 Wb/m2 T=104 Gauss Lines/m 2 도전률 투자율 유전률 법칙 의 : , : , : ) s m e s m eE B H J E Ohm D = , = , = (

0

,

,

,

Ñ

×

=

Ñ

×

=

¶

¶

+

=

´

Ñ

¶

¶

-=

´

Ñ

E

B

H

J

D

D

r

B

t

t

v s d A A S v D × = × Ñ

ò

® D r r r

lim

0 정의 수학적 ] [ P P _P (a) 양의 발산 (b) 음의 발산 (c) 0의 발산 dv A s d A V S r r r

ò

ò

× = Ñ×

○ 벡터의 회전(circulation) 미소면적 ∆S 를 감싸는 폐경로 L을 따라 벡터 A를 선적분한 값을 미소면적 ∆S 로 나눈 것 ○ 스톡스 정리(Stokes theorem) : 벡터 A에 대한 면적 S 를 감싸는 폐곡선 L 상의 선적분은 면적 S 를 수직으로 관통하는 의 법선성분의 면적분 n s l d A Lim A L s 0 _úˆ ú û ù ê ê ë é D × = ´ Ñ

ò

® D r v r 회전 벡터의 방향 P 회전 벡터의 방향 P

ò

ò

× = Ñ´ × S LA dl A ds r r r r ) ( A ´ Ñ 면S s d l d L 폐곡선 미소면적 미소길이

+

=

③ 정전계와 정자계 조건에 대해 기술하시오.

○ 자유공간에서 정전계의 기본 가정 (미분형, 적분형)

○ 비자성 매질에서 정자계의 기본 가정 (미분형, 적분형)

④ Maxwell 법칙을 이용해 암페어 주회법칙(Ampere Circuit law)을 유도 하시오. ○오른손 엄지 손가락 방향으로 전류가 흐르면, 주변에 나머지 손가락으로 감싸는 방향에 자계가 발생 미분형 정전계 Maxwell 방정식 적분형 정전계 Maxwell 방정식 (Gauss 법칙) e r_V E = × Ñ 0 = ´ Ñ E 0 e Q s d E S = ×

òò

0 = ×

ò

CE dl 미분형 정자계 Maxwell 방정식 적분형 정자계 Maxwell 방정식 0 = × Ñ B J B=m₀r ´ Ñ 0 = ×

òò

S s d B I l d B c × =m0

ò

nI l d H J H C = × Þ = ´ Ñ

_ò

직류전류 자계 직선도선 전류가 흐르는 방향 형성된 자계의 방향 책의 안쪽에서 흘러나오는 방향의 전류 형성된 자계 책의 안쪽으로 흘러들어가는 방향의 전류 형성된 자계

⑤ 2개의 항등식을 쓰고, 수식이 의미하는 바를 설명하시오. : 스칼라계의 기울기의 회전은 0이다. : 임의의 벡터계 회전의 발산은 0이다.

⑥ Maxwell 법칙을 이용해 연속방정식(Equation of Continuity)을 유도하시오 ○ 자유공간에서 Maxwell 제 2 법칙은 다음과 같다. 이 수식에 “임의의 벡터계 회전의 발산은 0이다”라는 항등식을 적용하면 다음과 같이 된 다. 여기서, Maxwell 제 3 법칙( )을 적용하면 다음과 같이 된다. ⑦ Lorentz 힘의 방정식을 쓰고, 간단히 설명하시오. - 움직이는 전하는 전계 뿐만 아니라 자계에 의해서도 힘을 받는다.(실험식) ⑧ 물질상수 r, e, m와 R(저항), C(정전용량), L(유도용량)과의 관계를 수식으로 나타내시오.(이때 형상에 따른 기호를 반드시 같이 표기 해야 함) ○ 저항률 r (=1/s)인 물채의 저항률 (W) ○ 유전률이 e인 콘덴서의 정전용량(C) (단, Edge부분의 전계 집중을 무시) 0 ) (Ñ º ´ Ñ V

0

)

(

Ñ

´

º

×

Ñ

A

t ¶ ¶ + = ´ Ñ H J D

0

)

(

Ñ

´

º

×

Ñ

H

(

D

)

t

J

H

r

Ñ

×

r

¶

¶

+

×

Ñ

º

º

´

Ñ

×

Ñ

Þ

(

)

0

r = × Ñ Dr

t

J

t

J

¶

¶

-=

×

Ñ

\

=

¶

¶

+

×

Ñ

r

r

0

r

r

면적 S 간격 d 유전률 e

]

[F

d

S

C

=

e

]

[W

=

S

R

r

l

길이 ℓ 저항률 e (도전률 s 역수) 면적 S

)

:

(

]

[

)

(

E

u

B

N

u

전하의

속도

q

F

r

=

r

+

r

´

r

r

○ 투자률이 m인 이고, 권선수가 n인 솔레노이드(또는 전자석)의 유도용량(L) (단, Edge부분 에서의 누설자속은 무시) ⑨ ▽×A, ▽·A, ▽V의 의미와 읽는방법을 기술하시오. ○ ▽×A : 벡터의 단위 면적당 회전(circulation) 미소면적 ∆S 를 감싸는 폐경로 L을 따라 벡터 A를 선적분한 값을 미소면적 ∆S로 나눈 것 ○ ▽·A : 단위체적당 벡터의 발산(divergence) 표면적이 S 인 미소체적 Δv 로부터 외부로 빠져나가는 임의의 물리량인 벡 터 A[lines] 의 총량을 미소체적 Δv 로 나눈 스칼라 값 ○ ▽V : 한 점에 있어서 스칼라계의 최대 기울기

]

[

2

H

s

n

L

l

m

=

길이 ℓ 투자율 m 면적 S 권선수 n 회전 벡터의 방향 P 회전 벡터의 방향 P n s l d A Lim A L s 0 _úˆ ú û ù ê ê ë é D × = ´ Ñ

ò

® D r v r P _P P (a) 양의 발산 (b) 음의 발산 (c) 0의 발산 v s d A A S v D × = × Ñ

ò

® D r r r

lim

0 3 ˆ 2 ˆ 1 ˆ 3 3 2 2 1 1 u h V a u h V a u h V a V _{u u u} ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ º Ñ )] ( 3 ) ( 2 ) ( 1 [ 1 3 2 1 2 3 1 1 3 2 3 2 1 u u u hh A u A h h u A h h u h h h A ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ º × Ñ r 3 3 2 2 1 1 3 2 1 3 2 1 1 2 3 ˆ ˆ ˆ 1 u u u u u u A h A h A h u u u a a a h h h A ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = ´ Ñ r

2. 권선수 N을 갖는 갖는 길이 매우 긴 솔레노이드(길이 l, 단면적 s, 투자율 m) 의 유도용량을 유도하시오. (누설 자속은 무시) (10) ○ 매우 긴 솔레노이드 내부의 자속밀도는 무한대의 반경을 갖는 토로이드 코일로 간주 할 수 있다. 따라서, 내부는 균일. 3. 반경 b의 원형단면을 갖는 무한히 긴 비자성 도체에 정상전류 I가 균일하게 흐르고 있다. 도체 내부와 외부에서의 자속밀도 B를 구하시오.(10) ○ 이 문제는 원통 대칭에 대한 문제이며, 따라서 Ampere의 주회 법칙을 사용하는 것이 간편하다. 도체를 z축을 따라 놓게 되면 자속밀도는 f 방향이 되며, z 축을 중심으로 한 임의의 원형 폐경로에 대해서 일정하게 된다. 다음 그림에서와 같이 도체 내부와 외부에 대해 2 원형적분 경로 C₁과 C₂에 대해 선적분을 실시함으로써 자속밀도 B를 구할 수 있다. 1) 도체 내부 ( r₁≤ b) C₁에 의해 둘러 싸인 면을 통과하는 전류는 따라서, 암페어 주회법칙에 의해 I l d B c × =

m

0

ò

C

₂

C

₁

r

₂

r

₁ b 1 0 1 1 2 0 1 1 1 1 1 1 ˆ , ˆ 2 1 I B r d r B l d B d r a l d B a B C m p f f _f p f f f f = Þ × = = = = r

_ò

r r

_ò

r I b r I b r I 2 1 2 2 1 1 ÷ ø ö ç è æ = = p p b r b I r a B a B = = 2 1 £ 1 0 1 1 , 2 ˆ ˆ p m f f f r l l l l l r r S n I n L nIS BS nI H B nI H nI H nI l d H 2 m m m m = F = \ = = F Þ = = = Þ = Þ = ×

ò

길이 ℓ 투자율 m 면적 S 권선수 n

2) 도체 외부 ( r₁≥ b) 즉, 도체외부의 경로 C₂ 내에는 총 전류 I를 모두 포함한다. 따라서, 암페어 주회법칙 에 의해 이것에 의해 구한 자속밀도를 반지름의 함수로 나타내면 다음과 같다 ) ( 2 ˆ , ˆ _{2 2 0} 2 0 2 2 2 2 2 2 2 I B r d r B l d B d r a l d B a B C m p f f _f p f f f f = Þ × = = = = r

_ò

r r

_ò

r

C

₂

C

₁

r

₂

r

₁ b 0 b r b I p m 2 0

4. 아래 그림은 자기이력(hysteresis0 곡선을 나타낸 것이다. 각 점들이 의미하는 것과 큐리 온도에 대하여 설명하시오. 그리고 ferrite 자성체의 특징은?(10) ○ 강자성체에 외부 자계가 인가될 때, 자기모멘트를 갖는 자구(magnetized domain)들의 벽은 자구의 영역을 확장시키려는 형태로 인가자계를 향해 정렬하게 된다. 그 결과 자속밀도는 증가하게 된다. 이때, 약한 자계를 인가한 경우, 즉 그림에서 점 P1이라면 자격의 이동은 복 귀가 가능하다. 그러나, 인가자계가 강해 P1지점을 지나면 자벽 이동은 더 이상 복귀되지 않고 인가자계의 방향을 향해 자구 회전이 일어나게 된다. 따라서 외부자계를 없애도 잔류 자속이 남아있게 된다. 예를 들어 인가자계가 P2점에서 0으로 줄어들면 B-H 관계는 더 이상 P2P1O를 따르지 않고 그림에서 점선으로 표시한 것과 같이 P2로부터 P2’로 떨어지게 된다. 이러한 자화의 현상을 자기이력(Hysteresis)이라고 한다. 인가된 자계가 더 강하게 되면(P2를 지나 P3까지) 자벽이동과 자구회전은 모든 자기모멘트 가 인가자계에 완전 정렬하기 때문에 포화하게 된다. 만일 인가자계가 P3에서 0으로 줄어 들면 자속밀도는 0으로 떨어지지 않고 Br을 갖게되며, 이 값은 최대로 인가되는 자계강도에 의존한다. 강자성체는 잔류자속이 존재하기 때문에 영구자속으로 만드는 것이 가능하다. 시료의 자속을 0으로 만들기 위해 반대방향으로 Hc의 자계강도를 인가해야만 한다. Br과 마찬가지로 Hc도 인가자계강도의 최대값에 의존한다. 위 곡선의 면적은 단위체적당 에너지 손실(Hysteresis loss)에 대응한다. 자기이력 손실은 자 벽이동과 자구 회전에 따른 마찰에너지이다. 자성체가 발전기, 모터, 변압기 등에 사용하기 위해서는 매우 작은 인가자계에서도 큰 자화를 가져야만 한다.작은 곡선 면적을 가지며 높 고, 좁은 자기이력 특성을 갖는 강자성체를 soft 강자성체, 반면에 좋은 영구자석들은 소자 화(demagnetization)되는데 큰 저항을 가져야 한다. 이는 매우 큰 항자력 Hc를 갖고, 따라서 넓 은 자기이력 곡선 특성을 가져야 하며, 이러한 재료를 hard 강자성체라고 한다. 강자성체의 온도가 올라가서 열에너지가 자기쌍극자의 결합에너지를 초과할 경우, 자구들 은 무질서해지고 전체적으로 자속이 0으로 상쇄된다. 이 임계온도를 큐리 (Curie) 온도라고 한다. 대부분의 강자성체의 큐리온도는 섭시 수백~1,000도 사이이다. 또한 ferrite라는 자성체 는 큰 투자율에 비해 저항이 매우 크기 때문에 와전류에 의한 손실이 작다. 따라서, FM 안테 나 코어, 고주파변압기, 위상천이기 등에 사용된다. • OP1P2P3: 정규자화곡선 (normal magnetization curve) • Br: 잔류자속밀도 (residual or remanent flux density) [Wb/m2_]

• Hc: 항자계강도 (ciercive field intensity)

5. 반대 방향으로 각각 전류 I₁, I₂가 흐르는 무한대의 가는 두 평행도선 사이 에서 단위길이당 힘을 구하시오 (도선 간격은 d).(10) ○ 다음 그림처럼 yz 평면 상에 도선을 놓으며, 도선2에 미치는 단위길이당의 힘 ( ) 은 암페어 주회법칙을 적용하면 (문제 2참고) 이것은 윗 식에 대입하면 즉, 케이블끼리는 각각의 전류곱에 비례해서 서로 밀어내는 힘이 작용한다.

(

ˆ

)

[ / ] ] [ 12 2 12 I a B N m F N B l d I F z C m r r r r r ´ -= ¢ Þ ´ =

_ò

12 F ¢r

d

I

₁

I

₂ 21

F ¢

r

B

12

r

12

F ¢

r

x

y

z

d I a B _x p m 2 ˆ 0 1 12 = -r ] / [ 2 ˆ 0 1 2 12 N m d I I a F _y

p

m

= ¢ Þ r

6. 다음과 같이 자기적으로 결합된 2개의 루프에서 다음을 구하시오. (단 루 프 C₁의 전류와 권선수는 I₁, N₁이고, C₂의 전류와 권선수는 I₂, N₂이다) (15) (1) 루프 C₁의 자기유도용량(self inductance) : L₁₁ (2) 두 회로 사이의 상호 유도 용량 (mutual inductance) : L₁₂ (3) 두 회로 사이에 저장된 총 자기에너지 : W ¡ 루프 C1에서 전류 i₁이 0부터 I₁까지 증가할 때, 유도기전력을 극복하기 위해 한일은 ¡ 루프 C1에서 전류 i₁을 I₁으로 유지하고, 루프 C2에서 전류 i₂를 0부터 I₂까 지 증가할 때, i₂에 의한 자속의 일부가 루프 C1에 결합되어 유도기전력 을 발생. 이를 극복하고 일정하게 유지시키기 위해 한일은 ¡ 루프 C2에서 전류 i₂가 0부터 I₂까지 증가할 때, 유도기전력을 극복하기 위해 한일은 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 I L di i L dt i dt di L dt i v W I I C = = ÷ ø ö ç è æ = =

_ò

_ò

_ò

) ( 2 1 1 2 1 12 2 12 1 12 12 2 12 2 1 12 2 2 H d I N I N L I L N d S S s B s B × = F = \ = F = L Þ × = F

ò

ò

2 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 I L di i L dt i dt di L dt i v W I I C = = ÷ ø ö ç è æ = =

_ò

_ò

_ò

) ( 1 1 1 1 1 11 1 11 1 11 11 1 11 1 1 11 2 1 H d I N I N L I L N d S S s B s B × = F = \ = F = L Þ × = F

ò

ò

2 1 21 0 2 1 21 0 1 2 21 1 21 21 2 2 2 I I L di I L dt I dt di L dt I v W I I C ± = ± = ÷ ø ö ç è æ ± = =

_ò

_ò

_ò

7. 균일한 자계 내에 전류 I가 흐르는 직사각형 loop 가 yz 평면상에 놓여있다. (아래 그림 참고) loop에 작용하는 토크를 구하 시오. ○ 벡터 B를 수직성분( )과 수평성분( )으로 분리하면 여기서, 루프의 자기모멘트( )는 따라서 직사각형 루프에 미치는 전체 토크는 x y z zB a Br_^ = ˆ ^ Br y y x x II a B a B Br = ˆ + ˆ II Br 2 1 ˆ Ibb a mr =- _z mr

(

)

(

)

(

x y y x

)

y x x y y y x x z II B a B a b Ib B b Ib a B b Ib a B a B a b Ib a B m B m T ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1 2 1 2 1 2 1 -= + -= + ´ -= ´ = ´ = r r r r r z y x B B B _{y z} x a a a B= + +

8. 이상적인 변압기의 1 차측 전압과 전류가 각각 v₁(t), i₁(t)이고 2 차측 전압과 전 류가 각각 v₂(t), i₂(t)이다. 다음 물음에 답하시오.(10) (1) 1-2차측 전압과 권선수와의 관계, 1-2차측 전류과 권선수와의 관계는? ○ 위 그림에서 자속 F로궤적을 나타낸 바와 같이 자기회로에 대한 폐경로에서 좌측은 순기자력을 나타내며, Lenz의 법칙에 의해 2차회로의 유도기자력은 1차회로에 의 해 형성된 자속의 반대방향이 된다. 은 자기회로의 reluctance라고 하며 구조와 관련되고 코어재료의 투자율에 반비례한다.이상적인 변압기에서 누설자속이 없다고 가정하면, 투자 율은 무한대리고, reluctance는 0이 된다. 따라서 위의 수식은 다음과 같이 된다. 즉, 이상적 인 변압기의 1차측과 2차측 전류의 비는 권위의 수에 반비례한다. (2) 부하 임피던스가 R_L일 때, 1차측에서 본 유효 임피던스를 구하시오. ○ Faraday 법칙에 따르면, 위의 그림과 같이 2차측 권선이 부하저항 RL로 종단되었을 때, 1차측에 연결된 소스 쪽으로 바라본 유효저항은 다음과 같이 부항저항에 권선비의 제곱을 곱한 것과 같다. 정형소스 v1(t)와 부하 임피던스 ZL에 대하여 소스 쪽에서 본 유효부하는 (N1/N2)2ZL로 임피던 스 변환된다. F Â = - _{2 2} 1 1i N i N Â 1 2 2 1 2 2 1 1 0 N N i i i N i N - = Þ = dt d N v dt d N v₁= ₁ F, ₂ = ₂ F

( )

(

)

(

)

( )

eff L eff R N N R i N N v N N i v R 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 ÷÷ ø ö çç è æ = Þ = =

( )

eff ZL N N Z 2 2 1 1 ÷÷ ø ö çç è æ =

전자장 중간시험 (2012. 10)

*다음 문제 중 105점에 해당하는 문제를 선택해서 답하시오(단, 1번 문제는 필수) 1. 다음 물음에 답하시오. (필수, 45점) (1) Maxwell 방정식을 쓰고, E, H, D, B 단위와 이들 사이의 관계를 나타내는 보조 식 3개를 쓰시오. (2) 발산정리와 Stokes 정리를 쓰고, 수식이 의미하는 바를 설명하시오. (3) 정전계와 정자계 기본 조건에 대해 기술하시오.(미분형과 적분형)

(4) Maxwell 법칙을 이용해 암페어 주회법칙(Ampere Circuit law)을 유도하시오. (5) 2개의 항등식을 쓰고, 의미하는 바를 설명하시오.

(6) Maxwell 법칙을 이용해 연속방정식(Equation of Continuity)을 유도하시오. (7) Lorentz 힘의 방정식을 쓰고, 간단히 설명하시오. (8) 물질상수 r, e, m와 R(저항), C(정전용량), L(유도용량)과의 관계를 수식으로 나타내시오.(이때 형상에 따른 그림과 기호를 반드시 같이 표기 해야 함) (9) ▽×A, ▽·A, ▽V의 의미와 읽는방법을 기술하시오. 2. 권선수 N을 갖는 갖는 매우 긴 솔레노이드(길이 l, 단면적 s, 투자율 m)의 유도용 량을 유도하시오. (누설 자속은 무시) (10) 3. 반경 b의 원형단면을 갖는 무한히 긴 비자성 도체에 정상전류 I가 균일하게 흐 르고 있다. 도체 내부와 외부에서의 자속밀도 B를 구하시오.(10) 4. 아래 그림은 자기이력(hysteresis) 곡선을 나타낸 것이다. 각 점들이 의미하는 것 과 큐리 온도에 대하여 설명하시오. 그리고 ferrite 자성체의 특징은?(10) 5. 반대 방향으로 각각 전류 I₁, I₂가 흐르는 무한대의 가는 두 평행도선 사이에서 단위길이당 힘을 구하시오 (도선 간격은 d).(10)

6. 다음과 같이 자기적으로 결합된 2개의 루프에서 다음을 구하시오. (단 루프 C₁의 전류와 권선수는 I₁, N₁이고, C₂의 전류와 권선수는 I₂, N₂이다) (15) (1) 루프 C₁의 자기유도용량(self inductance) : L₁₁ (2) 두 회로 사이의 상호 유도 용량 (mutual inductance) : L₁₂ (3) 두 회로 사이에 저장된 총 자기에너지 : W 7. 균일한 자계 내에 전류 I가 흐르는 직사각형 loop가 xy 평면상에 놓여있다. (아래 그림 참고) loop에 작용하는 토크를 구 하시오. (10) 8. 이상적인 변압기의 1차측 전압과 전류가 각각 v₁(t), i₁(t)이고 2차측 전압과 전류가 각각 v₂(t), i₂(t)이다. 다음 물음에 답하시오.(10) (1) 1-2차측 전압과 권선수와의 관계, 1-2차측 전류와 권선수와의 관계는? (2) 부하 임피던스가 R_L일 때, 1차측에서 본 유효 임피던스를 구하시오. x y z y x B B B _{y z} x a a a B = + +